2021届高考数学一轮复习训练第2讲一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法考情分析1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．基础知识1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左侧化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确信一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集的确信受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有紧密联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．假设一元二次不等式通过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)(现在Δ＝b 2－4ac ＞0)，那么可依照“大于取两边，小于夹中间”求解集．2.(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号阻碍不等式的解集；不要忘了二次项系数是不是为零的情形；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；假设不能因式分解，那么可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 题型一 一元二次不等式的解法【例1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，那么x 0的取值范围是( )A. (－∞，－ 1)∪(1，＋∞)B. (－∞，－1)∪[1，＋∞)C. (－∞，－3)∪(1，＋∞)D. (－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案：B解析：f (x 0)>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1⇔x 0≥1，或x 0<－1.【变式1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的概念域为________．解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的概念域为[1,3)． 答案 [1,3)考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】7. 假设不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，那么a 的取值范围是________．答案：a ≥－5解析：由题意，分离参数后得，a ≥－(x ＋4x)，设f (x )＝－(x ＋4x)，x ∈(0,1]，那么只要a ≥[f (x )]max 即可，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，因此[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5. 【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0， 当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0， 即0＜x ＜2a.当a ＜0时，2a＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜0.题型三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4a ＋2a －1＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，a －2a ＋3＞0，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2，因此a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．【变式3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g －1≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]． 重难点冲破【例4】设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)假设x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数． [解析] (1)求导得f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋x －a 2x＝(x －a )(2ln x ＋1－a x)．因为x ＝e 是f (x )的极值点，因此f ′(e)＝(e －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a e ＝0，解得a ＝e 或a ＝3e.经查验，符合题意，因此a ＝e 或a ＝3e(2)①当0＜x ≤1时，关于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，第一有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2， 解得3e －2e ln 3e≤a ≤3e＋2e ln 3e由(1)知f ′(x )＝x －a ⎝⎛⎭⎪⎫2ln x ＋1－a x .令h (x )＝2ln x ＋1－a x，那么h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且h (3e)＝2ln(3e)＋1－a3e≥2 ln(3e)＋1－3e ＋2e ln 3e 3e＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 3e －13ln 3e ＞0.又h (x)在(0，＋∞)内单调递增，因此函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，那么1＜x 0＜3e,1＜x 0＜a .从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增． 因此要使f (x )≤4e 2对x ∈(1,3e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f x 0＝x 0－a 2ln x 0≤4e 2，1f 3e ＝3e －a 2ln 3e ≤4e 2，2成立．由h (x 0)＝2ln x 0＋1－ax 0＝0，知a ＝2x 0ln x 0＋x 0.(3)将(3)代入(1)得4x 20ln 3x 0≤4e 2.又x 0＞1，注意到函数x 2ln 3x 在(1，＋∞)内单调递增，故1＜x 0≤e.再由(3)和函数2x ln x ＋x 在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a ≤3e. 由(2)解得，3e －2e ln3e≤a ≤3e＋2e ln 3e.因此3e －2e ln 3e≤a ≤3e.综上，a 的取值范围为3e －2e ln 3e≤a ≤3e.巩固提高一、选择题1.已知集合M ＝{y |y ＝2x ，x >0}，N ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，那么M ∩N 为( ) A. (1,2) B. (1，＋∞) C. [2，＋∞) D. [1，＋∞)答案：A解析：集合M ＝{y |y >1}，集合N ＝{x |0<x <2}，因此M ∩N ＝(1,2)． 2. 不等式x 2－4>3|x |的解集是( )B. (－∞，－1)∪(4，＋∞)C. (－∞，－4)∪(1，＋∞)答案：A解析：∵|x |2－3|x |－4>0， ∴(|x |－4)(|x |＋1)>0，∴|x |>4，x >4或x <－4，选A 项．3. 在R 上概念运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )⊗(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A. 1B. 2C. 4D. 8答案：C解析：(x －a )⊗(x －b )>0，即(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，该不等式的解集为[2,3]，说明方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.4.不等式x －2x 2－1<0的解集为( )A. {x |1<x <2}B. {x |x <2且x ≠1}C. {x |－1<x <2且x ≠1}D. {x |x <－1或1<x <2} 答案：D解析：(x －2)(x 2－1)<0， (x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2，应选D 项．5.已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，那么实数a 的取值范围是( ) A. a <－35或a >1B. －35<a <1C. －35<a ≤1或a ＝－1D. －35<a ≤1答案：D解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立， 故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1<0，不恒成立， ∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0. 解得－35<a <1. 综合①②③可知，a 的取值范围是－35<a ≤1.。

第七章 不等式第二节 一元二次不等式及其解法A 级·基础过关|固根基|1.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，2} B ．{0，1，2} C ．{1}D ．{1，2，3}解析：选A ∵A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x|0<x≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．故选A.2．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x<2，则m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．(－∞，0)解析：选D 由不等式的解集形式知m<0.故选D.3．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.4．(2019届内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为( )解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数f(x)＝－x 2－x ＋2，那么y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.5．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5]D ．[－2，4]解析：选D 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0可化为(x －1)(x －a)<0， 当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a 的取值范围是a∈[－2，4]，故选D.6．不等式2x ＋1<1的解集是________．解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1x ＋1>0⇒x>1或x<－1.答案：{x|x>1或x<－1}7．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，则实数c 的值为________．解析：因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，所以函数的最小值为0，可得Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝14a 2.又因为关于x 的不等式f(x)<c 可化成x 2＋ax ＋b －c<0，所以x 2＋ax ＋14a 2－c<0，若不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，也就是方程x 2＋ax ＋14a 2－c ＝0的两根分别为x 1＝m ，x 2＝m ＋8，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝14a 2－c ， 可得|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即(－a)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－c ＝64，解得c ＝16.答案：168．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则a ＝________，b 的取值范围是________．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min ＝f(－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2. 又因为f(x)>0恒成立，即b 2－b －2>0成立， 解得b<－1或b>2.答案：2 (－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函数f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0；当x∈(－3，2)时，f(x)>0.(1)求f(x)在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 当x∈(－3，2)时，f(x)>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－ba ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5，所以f(x)＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max ＝f(0)＝18，f(x)min ＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c≤0，要使－3x 2＋5x ＋c≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512. 10．解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0.解：对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a< 2 时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0时，即a ＝± 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个相等的实根，当a ＝2时，原不等式的解集为{x|x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x|x ＝－2}；当Δ>0，即a>2或a<－ 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}．综上，当a>2或a<－ 2 时，解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}；当a ＝ 2 时，解集为{x|x ＝2}；当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－2}；当－2<a<2时，解集为∅.B 级·素养提升|练能力|11.设f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]，当a∈[－1，1]时都成立，则t 的取值范围是( )A ．－12≤t ≤12B ．t ≥2或t≤－2或t ＝0C ．t ≥12或t≤－12或t ＝0D ．－2≤t≤2解析：选B 若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]时都成立，由已知易得f(x)的最大值是1，∴1≤t 2－2at ＋1对a∈[－1，1]时都成立，即2ta －t 2≤0对a ∈[－1，1]都成立．设g(a)＝2ta －t 2(－1≤a≤1)，欲使2ta －t 2≤0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0⇒t ≥2或t ＝0或t≤－2.故选B.12．(一题多解)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：选C 解法一：令f(x)＝x 2＋ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1－a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.当0<－a 2<12，即－1<a<0时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1－a 24，要使不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，只需1－a 24≥0，显然成立．当－a 2≥12，即a≤－1时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54＋a2，同理，要使原不等式恒成立，需有54＋a 2≥0，解得a≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a≥0时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，f(x)>f(0)＝1>0恒成立． 综上，a 的取值范围是a≥－52，其最小值为－52.故选C.解法二：因为x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以不等式x 2＋ax ＋1≥0可化为a≥－x －1x ，令f(x)＝－x －1x ，则f′(x)＝－1＋1x 2＝（1－x ）（1＋x ）x 2>0，所以f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52，由题意得a≥－52，故a 的最小值为－52.故选C.13．(2019届云南昆明适应性检测)关于x 的不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，则b －a ＝________．解析：画出函数f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象，如图．可得f(x)min ＝f(2)＝1，由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤34x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，所以a≤1<b，f(a)＝f(b)＝b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b ，34b 2－3b ＋4＝b ，由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝43或b ＝4.当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83，不符合题意，舍去．所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 答案：414．函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1)当x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)因为当x∈R 时，x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立， 只需Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即a 2＋4a －12≤0， 所以实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g(x)的图象恒在x 轴或x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2. ②如图②，g(x)的图象与x 轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g （－2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≥4，a ≤73，解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x 轴有交点， 但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a2≥2，7＋a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.所以－7≤a≤－6，综上，实数a 的取值范围是[－7，2]．(3)令h(a)＝xa ＋x 2＋3，当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h （4）≥0，h （6）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

2021届浙江省高考数学一轮学案：第二章第1节不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法含解析第1节不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法考试要求1。

了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型;3。

通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4。

会解一元二次不等式．知识梳理1。

两个实数比较大小的方法（1）作差法错误!（2)作商法错误!2.不等式的性质（1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2）传递性：a＞b,b＞c⇒a＞c;（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c;a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d;（4)可乘性:a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；（5)可乘方:a＞b＞0⇒a n＞b n（n∈N，n≥1）；（6)可开方:a＞b＞0⇒n，a ＞错误!(n∈N，n≥2)。

3。

三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2）有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实数根ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集错误!错误!Rax2＋bx＋c＜0 （a ＞0)的解集｛x｜x1＜x＜x2｝∅∅[常用结论与易错提醒］1。

倒数性质（1）a＞b，ab＞0⇒错误!＜错误!.(2)a＜0＜b⇒错误!＜错误!。

2.有关分数的性质若a＞b＞0，m＞0,则(1）真分数的性质错误!＜错误!；错误!＞错误!(a－m＞0)。

（2)假分数的性质错误!＞错误!；错误!＜错误!（b－m＞0)。

3。

对于不等式ax2＋bx＋c〉0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形。

4.当Δ〈0时，ax2＋bx＋c〉0(a≠0）的解集为R还是，要注意区别。

诊断自测1。

判断下列说法的正误.(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(）(2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2）,则必有a＞0。

2.1 一元二次不等式解法及运用(提升）一、单选题1．（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因，，则a>0，b<0，，A 不正确；，则，B 不正确；又，即，则，，C 正确；由得，D 不正确.故选：C2．（2021·天津高三一模）已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】（由函数为增函数）对于A ，，故正确；对于B ，取，，故错误；对于C ，取，显然不成立，故错误；对于D ，假设成立，则，即，可得，而时，不能一定有，故不成立.,a b ∈R 0ab <0a b +>a b >11a b<0b a a b+>22a b >a b<0ab <a b >110,0a b><0,0b a a b <<0b aa b +<0a b +>0a b >->22()a b >-22a b >0a b >->||a b >0,0,lnlg y xx y x y >>>11x y>sin sin y x>y x x y<10x y yxe >lnlg y x x y> ln ln lg lg y x x y ∴->-ln lg ln lg y y x x∴+>+0x y ∴>>ln lg y x x =+011x x y y>>⇒>,2y x ππ==sin 0sin 1y x =<=2,1y x ==10x y yxe >ln ln10x y yxe >ln10y xx y>22ln10y x >0y x >>22ln10y x >故选：A3．（2021·全国高三专题）若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为（ ）AB ．C ．D．【答案】D【解析】关于的不等式()的解集为空集所以，，得，∴，令，则，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值为4，故选：D.4．（2020·上海市建平中学）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的整数的值之和是（ ）A ．13B ．18C ．21D ．26【答案】C 【解析】x 210x bx c a++<1ab >1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--24x 210x bx c a++<1ab >10a >240c b a -≤24ab c ≥221(2)122(1)12(1)a b c ab a b T ab ab ab +++=+≥---1ab m -=0m >212(1)(1)22422m m m T m m++++≥=++≥2m =1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--设，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5<a ⩽8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21.故选C.5．（2020·全国高三）设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是（ ）A ．B ．18C ．8D ．-6【答案】C【解析】因为是关于的一元二次方程的两个实根所以由韦达定理得 ，且所以2()6f x x x a =-+260x x a -+≤()()2010f f ⎧⎪⎨>⎪⎩…2226201610a a ⎧-⨯+⎨-⨯+>⎩…,a b x 2260x mx m -++=22(1)(1)a b -+-494-,a b x 2260x mx m -++=26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩()2460m m ∆=--≥()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+-=-+--++=--2349444m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭且或由二次函数的性质知，当时，函数取得最小值为即的最小值为故选C.6．（2021·山西太原市）设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，若A⊆[1，3]，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则不等式的解集，①若，则，即，解得②若，则，∴综上，故实数的取值范围是故选A．7．（2021·全国高三专题练习）已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（）A．2－<m<2＋B．m<2C．m<2＋D．m≥2＋【答案】C【解析】令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)＝0，有或,3m≥2m≤-3m=2349444y m⎛⎫=--⎪⎝⎭822(1)(1)a b-+-8111,5⎛⎤- ⎥⎝⎦111,5⎛⎤⎥⎝⎦112,5⎛⎤⎥⎝⎦(]1,3-222f x x ax a=-++（）2220x ax a-++≤[]13A⊆，A∅=24420a a=-+V（）＜220a a--＜12a＜＜-A∅≠()()103013ffa∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<<⎩1125a≤≤1115a-<≤a111]5-（，()()2410m m∆=--+<()121110mf m m∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩解得，所以m <2＋.故选：C8．（2021·全国高三专题练习）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）A ．0B ．-2C ．D ．-3【答案】B【解析】，，由对勾函数性性质可知，当为减函数，当时，为增函数，故，即恒成立，，故的最小值为-2故选：B9．（2021·浙江高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.10．（2021·全国高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意构造函数：，由于当时，不等式恒成立，即，解得，即 ，故选A.11．（2021·四川成都市·高三月考）给出下列命题:①且;②22m -<<+2m ≤-210x ax ++≥(]0,2x ∈a 52-(]0,2x ∈ 2110x ax x a x∴++≥⇔+≥-()0,1,x ∈()1f x x x =+()12x ,∈()1f x x x=+()()min 1112f x f ==+=2a -≤2a ≥-a ()2223122x axx a -+<a (0,1)-3(,)4+∞3(0,43(,)4-∞22231()22x axx a -+<222(3)11()()22x ax x a --+<222(3)x ax x a ->-+22(32)0x a x a +-+>22(32)40a a ∆=--<34a >a 3(,)4+∞()1,2x ∈240x mx ++<m 5m ≤-5m <-5m <5m ≥()()241,2f x x mx x =++∈，12x ∈（，）240x mx ++<()()1020f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩45m m ≤-⎧⎨≤-⎩5m ≤-11x y x y -≠⇔-≠1y x -≠;③.其中真命题的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于①，且的逆否命题为：或，因为：或是真命题，所以原命题是真命题；对于②，由得，解得或，所以是假命题；对于③，由得，由得，即，因为， 即，所以是真命题.故选：C.12．（2021·全国高三专题练习）下列选项中，使成立的的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】故选A.13．（2020·湖北高三期中）已知，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意，函数，令，111x x <⇒>22330aba b ab a b>⇔>-012311x y x y -≠⇔-≠1y x -≠1x y -=1y x -=⇔1x y -=1x y -=1y x -=⇔1x y -=11x <10xx-<1x >0x <22a b ab >()0ab a b ->330ab a b>-()330ab a b ->()()220ab a b a ab b -++>22223024b a ab b a b⎛⎫⎛⎫++=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3300ab a b ab a b ->⇔->22330aba b ab a b >⇔>-21x x x<<x (,1)-∞-(1,0)-(0,1)(1,)+∞22(1)(1)11,01{,{{ 1.11,0(1)(1)0x x x x x xxx x x x x x x x x+-<<<-<<∴∴∴<-><-++<> 或原不等式可化为，或2()41f x x x a =+++,(())0x R f f x ∀∈≥⎫+∞⎪⎪⎭[2,)+∞[1,)-+∞[3,)+∞2()41f x x x a =+++()2241(2)33t f x x x a x a a ==+++=+-+≥-又由恒成立，即对任意恒成立，当时，即时，，解得，此时无解；当时，即时，，解得，综上可得，实数a 的取值范围为.14．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知，，对任意的实数均有，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，对任意的实数均有，令，则有对任意的恒成立；若，则，原不等式可化为，因为，所以解不等式可得或，因，所以不满足原不等式对任意的恒成立；即不满足题意；若，当时，，则原不等式可化为，令，则是开口向上的二次函数，且零点为和，为使对任意的恒成立；只有；当时，；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不能满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或,(())0x R f f x ∀∈≥()0f t ≥3t a ≥-32a -≤-1a ≤()min (2)30f t f a ==-≥3a ≥32a ->-1a >()2min (3)20f t f a a a =-=--≥2a ≥[2,)+∞a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥2+a b 1581782a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥t x =()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞0b ≤0t b -≥()()210t a t a +--≥()2221311024a a a a a ⎛⎫+--=++=++> ⎪⎝⎭()()210t a t a +--≥21t a ≥+t a ≤-21a a +>-[)0,t ∈+∞0b ≤0b >0a ≥0t a +≥()()210t b t a ---≥()()()21f t t b t a =---()f t t b =21t a =+()()210t b t a ---≥[)0,t ∈+∞21b a =+0a <0a ->21a b a -<<+()()()210t a t b t a +---≥()()210t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩21t a ≥+a t b -≤≤21b a <+[)0,t ∈+∞21b a a <-<+()()()210t a t b t a +---≥()()2010t b t a t a -≥⎧⎪⎨+--≥⎪⎩，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得或，不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得，不满足原不等式对任意的恒成立；综上，为使对任意的恒成立，只有，所以，令，则其是开口向上的二次函数，对称轴为，所以其在上单调递增，因此.故选：D.二、多选题15．（2021·烟台市教育局高三三模）已知，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】对A ，由，，且可得，则，()()210t b t a t a -≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩21t a ≥+b t a ≤≤-21a a -<+[)0,t ∈+∞21a a b -<+<()()()210t a t b t a +---≥()()2010t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩t b ≥21a t a -≤≤+21a b +<[)0,t ∈+∞=-b a ()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥21t a ≥+t a =-[)0,t ∈+∞21b a =+()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥t a ≥-[)0,t ∈+∞()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞21a b a ≥⎧⎨=+⎩222111511522222216848a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211522248y a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭14a =-[)0,+∞2220022y a a =++≥++=0a >0b >1a b -=e e 1a b ->e e 1a b -<914a b-≤222log log 2a b -≥0a >0b >1a b -=0a b >>()()11ba abbb eee e e e -=-=--，，又，，即，故A 正确；对B ，令，则，故B 错误；对C ，，当且仅当时等号成立，故C正确；对D ，，当且仅当，即时等号成立，故D 正确.故选：ACD.16．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知实数a ，b ，c ，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则的最小值为8C ．若，，则D ．若，则【答案】ABC 【解析】选项A 中，则A 正确；B ，，当且仅当，即时，等号成立，则B 正确；选项C 中，因为，所以，则，所以，则C 正确；若，满足，而，D 不正确，故选:ABC ．17．（2021·全国高三专题练习）下列四种说法中正确的有（ ）A ．命题“，”的否定是“，”；B ．若不等式的解集为，则不等式的解集为C ．复数满足，在复平面对应的点为，则D ．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范0b > 1b e ∴>11e ->()11be e ∴->e e 1a b ->2,1a b ==e e 211e a b =-->()9191910104b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9b a a b =()22222222112log log log log lo 2g 22log b a b b b b a b ⎛⎫+⎛⎫==++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝=1b b=1b =0a b >>11a b>0,0,21a b a b >>+=21a b+0a b >>1ab =12a b a b<+0a b >>sin sin a b>110b a a b ab --=>214(2)48b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭4b a a b =11,24a b ==1,0ab a b =>>10>>>a b 11122,222a ab a a b a +=>=<⋅12a b a b <+,2a b ππ==0a b >>sin sin a b <x R ∀∈231x x >+x R ∃∈231x x <+210ax bx ++>{}13x x -<<23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ z 21z i -=z (),x y ()2221x y +-=1:32p x ≤≤()21:100q x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭p q a围是【答案】BCD【解析】选项A ：命题“，”的否定应该是“，”，故选项A 错误；选项B ：因为不等式的解集为，所以方程的两个根为和3，且.由，解出.所以不等式可化为：，即，解得或.所以不等式的解集为，故选项B 正确；选项C ：设，，所以满足.故选项C 正确；由得到：.当时，，所以有.由题意可得：，解得；当时，，[)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U x ∀∈R 231x x >+0x ∃∈R 02031xx ≤+210ax bx ++>{}13x x -<<210ax bx ++=1-0a <213b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23650ax bx ++<2450x x -++<2450x x -->1x <-5x >23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ i z a b =+()2i 2i 1z a b -=+-==()2221x y +-=()21100x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭()10x a x a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1a ≥1a a>1:q x a a≤≤1123a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩3a ≥01a <<1a a<所以有.由题意可得：，解得.因此，实数的取值范围是.故选项D 正确.故选：BCD.18．（2021·全国高三专题练习）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】ABC【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为，则解得，.又，故可以为6，7，8.故选：ABC19．（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）A ．-8B ．-5C ．1D ．41:q a x a≤≤1213a a⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩103a <≤a [)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U a Z ∈x 260x x a -+≤a 26y x x a =-+3x =x 260x x a -+≤3x =2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩a a 58a <≤a Z ∈a 2340x x +-<()222330x k x k k -+++>k【答案】ACD【解析】，解得，即，解得或，由题意知，所以或，即.故选：ACD三、填空题20．（2020·奉新县第一中学高三月考）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____【答案】或.【解析】由题意得应满足解得：或.故答案为：或.21．（2020·全国高三专题练习）要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，设，要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足，即，即，解得，即实数的取值范围是.22．（2021·固原市第五中学高三期末）若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..2340x x +-<41x -<<()222330x k x k k -+++>()[(3)]0x k x k --+>x k <3x k >+(4,1)-n (,)(3,)k k -∞⋃++∞1k ³34k +≤-(,7][1,)k ∈-∞-⋃+∞2(1)30mx m x -++=1-m 2m <-5m ≥+0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩2m <-5m ≥+2m <-5m ≥+x ()22120x a x a +-+-=a 21a -<<()22(1)2f x x a x a =+-+-x 22(1)20x a x a +-+-=()10f <220a a +-<(1)(2)0a a -+<21a -<<a 21a -<<(,1]x ∈-∞-21()2()12x xm m --<m【答案】【解析】不等式转化为,化简为，令,又,则,即恒成立，令，又，当时，取最小值，所以，恒成立,化简得，解不等式得.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习）设关于x 的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________【答案】【解析】设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解可以求得，又，所以或，则不等式为和，可分别求得和，因为位整数，所以和，所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：.24．（2021·全国高三专题练习）设函数,若对于恒成立,则的取值范围是________.【答案】()2,3-()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭2214x x m m +-<2211(22x x m m -<+12x t =(],1x ∈-∞-[)2,t ∈+∞22m m t t -<+2()f t t t =+[)2,t ∈+∞2t =()f t min ()(2)6f t f ==26m m -<260m m --<23m -<<()2,3-28(1)7160,()ax a x a a Z ++++≥∈10-28(1)716y ax a x a =++++a 0y ≥0a <167a ≥-a Z ∈2a =-1a =-22820x x --+≥290x -+≥22x --≤≤-33x -≤≤x 4,3,2,1x =----3,2,1,0,1,2,3x =---10-10-2()1,(0)f x mx mx m =--≠[1,3],()5x f x m ∈<-+m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或【解析】 要使上恒成立,则在上恒成立.令,当时,在上是增函数,,则当时,在上是减函数,,故:综上所述,的取值范围是.故答案为:.四、解答题25．（2021·全国高三专题练习）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )．【答案】答案见解析【解析】若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1．若a <0，原不等式等价于，解得或x >1．若a >0，原不等式等价于．①当a ＝1时，，无解； [1,3],()5x f x m ∈<-+∴260mx mx m -+-<2136024m x m ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭[1,3]x ∈213()624g x m x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭[1,3]x ∈0m >[1,3]∴max ()(3)760g x g m ==-<∴67m <607m <<0m <()g x [1,3]∴max ()(1)60g x g m ==-<∴6m <0m <m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭1x a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11a =()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭②当a >1时，，解，得；③当0<a <1时， ，解，得；综上所述，当a <0时，解集为或； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为．26．（2021·上海市）已知，其中.（1）当时，解关于的不等式；（2）若在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）∵，∴，∵，∴当时，的解集为当时，的解集为当时，的解集为（2）根据题意得，在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立即11a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<11a >()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<1|x x a ⎧<⎨⎩}1x >1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()()21f x ax a x =-+()13g x a x =-+a R ∈0a <x ()0f x <()()f x g x <[]2,3x ∈a 6a ≤()()21f x ax a x =-+()()21010ax a x ax a x -+<⇔--<0a <01a >>-()0f x <()1,0,a a ⎛⎫-∞+∞ +⎪⎝⎭ 1a =-()0f x <()(),00,-∞+∞ 1a <-()0f x <(),0,1a a ⎛⎫-∞+∞+⎪⎝⎭ ()2113ax a x a x -+<-+[]2,3x ∈()2140ax a x a -++<[]2,3x ∈()2114a x x x -+≤[]2,3x ∈21414111x a x x x x≤=-++-[]2,3x ∈min 1411a x x ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭∵在，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围是．27．（2021·全国高三）解关于x 的不等式：．【答案】见解析【解析】将不等式变形为.当a <0或时，有a < a 2，所以不等式的解集为或；当a =0或时，a = a 2=0，所以不等式的解集为且；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为或；28．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式：.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】原不等式移项得，即.∵，∴当时，当时，当时，综上所述：当时，解集为当时，解集为当时，解集为29．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式:【答案】当时，解集为 ；当 时，解集为或； 11y x x =+-[]2,3x ∈max 173133y =+-=14673a ≤=a 6a ≤()2230x a ax a -++>()2230x a a x a -++>()()20x a x a -->1a >{|x x a <2}x a >1a ={|,x x R ∈}x a ≠2{|x x a <}x a >x ()2220ax x ax a -≥-<()2220ax a x +--≥()()120x ax +-≥0a <()210x x a ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭20a -<<21x a≤≤-2a =-1x =-2a <-21x a -≤≤20a -<<21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭2a =-{}1x x =-2a <-21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭x 22(2)20().ax a x a a R -++>∈0a ={}0x x <0a <<2{|x x a>}x a <当或；当 时，解集为；当 时，解集为； 当；当；【解析】由则 因为，故对分情况讨论当时，则，所以，不等式的解集为 当 时，由，不等式的解集或 当或当 时，不等式的解集为当 时，不等式的解集为 当当30．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式【答案】当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.【解析】不等式可化为.①当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于.a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a <<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅22(2)20().ax a x a a R -++>∈(2)()0ax x a -->a R ∈a 0a =20x ->0x <{}0x x <0a <<(2)()0ax x a -->2{|x x a >}x a <a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a<<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅x 2(21)20()ax a x a R -++<∈0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a<<(1)(2)0ax x --<0a >1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭因为方程的两个根分别是2，，所以当时，，则原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，，则原不等式的解集是.②当时，原不等式为，解得，即原不等式的解集是.③当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于，由于，故原不等式的解集是或.综上所述，当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.1(2)0x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1a 102a <<12a<1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭12a =∅12a >12a <1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭0a =(2)0x --<2x >{|2}x x >0a <1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭12a<1{|x x a<2}x >0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a <<。

2021版高考数学一轮复习第六章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课时作业理202107122751．(2021年湖北模拟)若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)2．假如kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范畴是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．(2021年江西九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范畴是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)5．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．1C ．－1D ．36．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，则不等式f (x ＋2)<3的解集是_________．7．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，关于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是________．9．(2021年北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)关于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范畴．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立？证明你的结论．第2讲 一元二次不等式及其解法1．B 解析：由题意关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，可得ba＝1，且a <0.则(ax ＋b )(x －3)>0可变形为(x －3)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b a <0，即得(x －3)(x ＋1)<0.因此－1<x <3.因此不等式的解集是(－1,3)．故选B.2．C 解析：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，明显恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k 2－4k ·[－k ＋2]＜0.解得－1<k <0.∴－1＜k ≤0. 3．A 解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.4．A 解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max .令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2.∴a <－2.5．A 解析：由题意，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}．A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3.6．{x |－5<x <1} 解析：设x ≥0，因为f (x )是定义域为R 的偶函数，因此f (x )＝f (－x )＝x 2－2x .又f (x ＋2)＝f (|x ＋2|)，因此f (x ＋2)<3⇔f (|x ＋2|)＝(|x ＋2|)2－2|x ＋2|<3.因此(|x ＋2|－3)(|x ＋2|＋1)<0.因此0≤|x ＋2|<3，解得－5<x <1.因此原不等式的解集为{x |－5<x <1}．7．21 解析：设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图D115.图D115关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤0，f1＞0即⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝4－12＋a ≤0，f 1＝1－6＋a ＞0，解得5<a ≤8.又a ∈Z ，因此a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.8．①②③④ 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，∴a <0；－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－b a>0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0.故正确结论的序号为①②③④.9．解：(1)依题意，得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，因此x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，因此y ≥－2.因此当x ＝1时，y ＝f xx 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，因此要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成赶忙可．因此⎩⎪⎨⎪⎧g 0≤0，g 2≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0.解得a ≥34.故a 的取值范畴为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.10．解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72.令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32⇒x ＝－1.由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32.由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32.∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52，且b ＝1.∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a .依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立，∴a ≠1，且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0.由a －1>0，得a ＝32.∴f (x )＝32x 2＋x ＋1.证明如下： ∵32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32 ＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0.∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． ∴存在实数a ＝32，b ＝1，c ＝1，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切x ∈R 都成立．。

课时作业1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析 在C 项中，对于方程x 2＋6x ＋10＝0，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式的解集为R .2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m <x <1m 答案 D解析 当0<m <1时，m <1m ，故不等式(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m <x <1m . 3．(2019·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln (－x 2＋4x －3)的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意知⎩⎨⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎨⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D.4．若集合A ＝{x |x 2－x <0}，B ＝{x |(x －a )(x ＋1)<0}，则“a >1”是“A ∩B ≠∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由题意得A ＝{x |0<x <1}，因为A ∩B ≠∅，所以只需要满足条件a >0即可，所以“a >1”是“A ∩B ≠∅”的充分不必要条件．5．(2019·吉林模拟)不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的充要条件是( )A ．m >2B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1答案 D解析 若不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立，则对于方程x 2－2x ＋m ＝0，Δ＝4－4m <0，解得m >1，所以m >1是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的充要条件，结合选项知选D.6．(2019·郑州模拟)已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a 的值为( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2答案 D解析 由题意可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0，由解集的特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2.故选D.7．(2019·江西九江模拟)不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2} 答案 B解析 当a ＝2时，不等式变为4x －1≥0，解得x ≥14，不符合题意；当a ＝－2时，不等式的解集为空集；当a ≠±2时，不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，即(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1<0恒成立．∴⎩⎨⎧a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65. 综上可知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65.故选B.8．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12 C.{}x |－2<x <1 D.{}x |x <－2或x >1答案 A解析 由题意，知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－ba ，(－1)×2＝2a⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1<x <12，故选A.9．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 答案 A解析 令f (x )＝x 2－ax ＋1，则f (0)＝1>0，由题意可得⎩⎨⎧f (1)≤0，f (2)＞0，解得2≤a ＜52.10．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2)B ．(a 2＋2,3a )C ．(3,4)D ．(3,6)答案 B解析 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )．故选B.11．(2019·桂林模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c . ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，∴c ＝9.12．(2020·广西陆川中学月考)关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．0<a <1D ．a <0答案 B解析 由题意得，当a ＝0时，原不等式化为－2x ＋1<0，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12；当a >0时，要使得关于x 的不等式的解集非空，则Δ＝4－4a >0⇒a <1，即0<a <1；当a <0时，不等式的解集非空恒成立．所以关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空时，实数a 的取值范围是a <1.所以关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是a ≤1，故选B.13．不等式2x 2－3|x |－35>0的解集为________． 答案 {x |x <－5或x >5}解析 2x 2－3|x |－35>0⇔2|x |2－3|x |－35>0⇔(|x |－5)(2|x |＋7)>0⇔|x |>5或|x |<－72(舍去)⇔x >5或x <－5.14．若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a <2x －x ，x ∈[1,5]有解，显然g (x )＝2x －x 在[1,5]上单调递减，g (x )max ＝g (1)＝1，∴a <1.15．若不等式a ·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞解析 不等式可变形为a >2x －14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.16．关于x 的不等式组⎩⎨⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k 的取值范围是________．答案 [－3,2)解析 由x 2－x －2>0，可得x >2或x <－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0，可得(2x ＋5)(x ＋k )<0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k >－52，－2<－k ≤3，解得－3≤k <2.17．已知二次函数f (x )满足f (－2)＝0，且2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立． (1)求f (2)的值； (2)求f (x )的解析式．解 (1)∵2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立， ∴4≤f (2)≤4，∴f (2)＝4. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (－2)＝0，f (2)＝4，∴⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝4，4a －2b ＋c ＝0，⇒⎩⎨⎧b ＝1，c ＝2－4a .∵ax 2＋bx ＋c ≥2x 恒成立，即ax 2－x ＋2－4a ≥0恒成立，∴a >0且Δ＝1－4a (2－4a )≤0⇒(4a －1)2≤0，∴a ＝14，c ＝2－4a ＝1，故f (x )＝x 24＋x ＋1. 18．设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .(1)若不等式f (x )<0的解集是{x |2<x <3}，求不等式bx 2－ax ＋1>0的解集； (2)当b ＝3－a 时，对任意的x ∈(－1,0]都有f (x )≥0成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为不等式x 2－ax ＋b <0的解集是{x |2<x <3}，所以x ＝2，x ＝3是方程x 2－ax ＋b ＝0的解．所以⎩⎨⎧ 2＋3＝a ，2×3＝b ，即⎩⎨⎧a ＝5，b ＝6，故不等式bx 2－ax ＋1>0为6x 2－5x ＋1>0.解不等式6x2－5x ＋1>0，得其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >12. (2)当b ＝3－a 时，f (x )≥0在区间(－1,0]上恒成立转化为x 2－ax ＋3－a ≥0在区间(－1,0]上恒成立，即a (x ＋1)≤x 2＋3在区间(－1,0]上恒成立，等价于a ≤x 2＋3x ＋1，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3x ＋1min . 设t ＝x ＋1，t ∈(0,1]，u ＝x 2＋3x ＋1＝(t －1)2＋3t ＝t ＋4t －2，则 u ′＝1－4t 2<0，所以当t ∈(0,1]时，u 关于t 单调递减， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t －2min ＝1＋4－2＝3，即a ≤3.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

专题二不等式【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、不等式及其解法1.了解生活中的不等关系，会从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

1.考查内容:从近几年高考的情况看,本专题内容考查的重点是不等式的性质与解法,基本不等式及不等式的综合应用。

常与导数、函数零点等知识结合,常用到数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法.2.不等式是常考的内容，在选择题、填空题中，常考查不等式的性质、解法及应用基本不等式求最值；在解1。

不等式的性质及不等式的解法难度较小，对于含有参数的一元二次不等式的求解要学会分类讨论（特别是二次项系数、判别式符号均不确定的问题)。

2.对于利用基本不等式求最值的问题，要学会配凑方法,将之表示成“和定"或“积定"的形式,对于多次使用基本不等式求最值的问题,要保证每次的等号均能同时取到.3。

对于不等式恒成立问题,不能停留在具体的求解方法（比如分离参数法等）上，而是将较难的、生疏的问题经过分析、转化为基本的研究函数单调性的问题，积累具体分析、转化的经验.二、基本不等式与不等式的综合了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小）应用值问题。

答题中,常与导数结合研究与函数相关的大小关系.【真题探秘】§2.1不等式及其解法基础篇固本夯基【基础集训】考点一不等式的性质1。

若a〉b>0,c〈d〈0，则一定有（)A.ac >bdB。

ac〈bdC.ad>bcD。

ad〈bc答案D2.已知实数a=ln22，b=ln33,c=ln55，则a ，b,c 的大小关系是( )A 。

a<b<c B.c 〈a<b C.c<b 〈a D 。

b<a<c 答案 B3。

若a 〈0,b<0，则p=b 2a+a 2b与q=a+b 的大小关系为 .答案 p≤q考点二 不等式的解法4.不等式x 2+2x —3≥0的解集为（ ）A.{x ｜x≤—3或x≥1} B 。

第2讲 一元二次不等式及其解法一、知识梳理1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根 有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x >x 2或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2} ∅∅1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0. 2．记住两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.二、教材衍化1．不等式2x 2－x －3>0的解集为________． 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >32或x <－12．若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x ＋m ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)解不等式时变形必须等价； (2)注意二次项的系数的符号；(3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况． 1．不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集为________．解析：不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．答案：{x |－3≤x ≤1}2．不等式2x (x －7)>3(x －7)的解集为________．解析：2x (x －7)>3(x －7)⇔2x (x －7)－3(x －7)>0⇔(x －7)(2x －3)>0，解得x <32或x >7，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32或x >7.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32或x >73．对于任意实数x ，不等式mx 2＋mx －1<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：当m ＝0时，mx 2＋mx －1＝－1<0，不等式恒成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0.综上，m 的取值范围是(－4，0]．答案：(－4，0]考点一 一元二次不等式的解法(基础型)复习指导| 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式． 核心素养：数学抽象、数学运算(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，则不等式f (x )>3的解集为________．(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．(3)解关于x 的不等式：12x 2－ax >a 2(a ∈R )．【解】 (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故填{x |x >1}． (2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋（－13）＝ba ，－12×（－13）＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2. 故填{x |x ≥3或x ≤2}． (3)因为12x 2－ax >a 2， 所以12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－a 4或x >a 3； ②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪x <－a 4或x >a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 3或x >－a 4.(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系； ③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．1．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（3x －4）（x －5）≥0，x －5≠0，解得x >5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，43∪(5，＋∞) 3．解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解：因为a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1； ③当0<a <1时，1a >1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a . 综上所述，当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1.考点二 一元二次不等式恒成立问题(综合型)复习指导| 此类问题的求解常利用转化思想，其思路为：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．角度一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0， 对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2. 所以实数a 的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (－2，2]一元二次不等式在R 上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax 2＋bx ＋c >0a >0，Δ<0ax 2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0角度二形如f(x)≥0(f(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．【解析】设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，所以Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，1≤a－2≤5，f（1）≥0，f（5）≥0，解得1<a<4或4≤a≤5，即1<a≤5.【答案】(1，5]形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．1．若函数y＝mx2－（1－m）x＋m的定义域为R，则m的取值范围是________．解析：要使y＝mx2－（1－m）x＋m有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m>0，（1－m）2－4m2≤0，解得m≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，求实数b的取值范围．解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又因为f(x)的图象开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2. 所以实数b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[基础题组练]1．不等式(x －2)(2x －3)<0的解集是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(2，＋∞) B ．R C ．⎝⎛⎭⎫32，2D ．∅解析：选C ．因为不等式(x －2)(2x －3)<0， 解得32<x <2，所以不等式的解集是⎝⎛⎭⎫32，2. 2．不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，1)解析：选A ．因为2x ＋1<1，所以2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，所以x <－1或x >1.3．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为{x |x <－12，或x >13}，则a －b a 的值为( )A ．56B ．16C ．－16D ．－56解析：选A ．由题意得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56.4．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－32，12 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A ．由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， 所以a <0，且⎩⎨⎧1－aba＝2，－ba ＝－3解得a ＝－1或a ＝13(舍去)，所以a ＝－1，b ＝－3，所以f (x )＝－x 2＋2x ＋3，所以f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0，解得x >12或x <－32.5．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A ．x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式可化为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a . 答案：⎝⎛⎭⎫a ，1a 8．(创新型)规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3， 化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. 答案：(－1，1)9．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入方程解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0，即为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎫－3，12. 10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)因为f (x )最小值是f (－1)＝0，且c ＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1f （－1）＝a －b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，因为F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，所以F (2)＋F (－2)＝8.(2)由题知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0，1]恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在x ∈(0，1]恒成立，根据单调性可得1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.[综合题组练]1．(多选)若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是( ) A ．b <0且c >0 B ．a －b ＋c >0 C ．a ＋b ＋c >0D ．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－2，1)解析：选ABD ．对于A ，a <0，－1，2是方程ax 2－bx ＋c ＝0的两个根，所在－1＋2＝1＝b a ，－1×2＝ca ，所以b ＝a ，c ＝－2a ，所以b <0，c >0，所以A 正确；令f (x )＝ax 2－bx＋c ，对于B ，由题意可知f (1)＝a －b ＋c >0，所以B 正确；对于C ，f (－1)＝a ＋b ＋c ＝0，所以C 错误，对于D ，因为对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，设其两根为x 1，x 2，所以x 1＋x 2＝－b a ＝－1，x 1x 2＝ca ＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－2，1)，所以D 正确．2．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B ．[－4，3] C ．[1，3]D ．[－1，3]解析：选B ．原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.3．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．答案：[2，8)4．(2020·河南郑州联考改编)已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则b ＝________；若对于任意x ∈[－1，0]，不等式f (x )＋t ≤4恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：由不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，可知－1和3是方程－2x 2＋bx ＋c ＝0的根，即⎩⎨⎧2＝b 2，－3＝－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6.所以不等式f (x )＋t ≤4可化为t ≤2x 2－4x －2，x ∈[－1，0]．令g (x )＝2x 2－4x －2，x ∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g (x )在[－1，0]上单调递减，则g (x )的最小值为g (0)＝－2，则t ≤－2.答案：4 (－∞，－2]5．(应用型)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x11 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.6．(综合型)(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.(1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值；(2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3)如果x 1x 2∈⎣⎡⎦⎤110，10，试求a 的取值范围．解：(1)因为关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，则(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋x 1＋x 2＋x 1·x 2＝1－1a ＋1a ＝1.(2)证明：由Δ≥0，得0<a ≤14.设f (x )＝ax 2＋x ＋1，则f (x )的对称轴与x 轴交点横坐标x ＝－12a ≤－2，又由于f (－1)＝a >0，所以f (x )的图象与x 轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，故x 1<－1且x 2<－1.(3)由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1a ，x 1·x 2＝1a⇒（x 1＋x 2）2x 1·x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝1a.因为x 1x 2∈⎣⎡⎦⎤110，10，所以1a ＝x 1x 2＋x 2x 1＋2∈⎣⎡⎦⎤4，12110⇒a ∈⎣⎡⎦⎤10121，14.又⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a ≥0⇒0<a ≤14，所以a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤10121，14.。