2015山东高考数学题高一选编
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绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷(共50分)一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 (1) 已知集合A={X|X ²-4X+3<0},B={X|2<X<4},则A B=(A )(1,3) (B )(1,4) (C )(2,3) (D )(2,4) (2)若复数Z 满足1Zi i=-,其中i 为虚数单位,则Z= (A )1-i (B )1+i (C )-1-i (D )-1+i(3)要得到函数y=sin (4x-3π)的图像,只需要将函数y=sin4x 的图像()(A )向左平移12π个单位 (B )向右平移12π个单位 (C )向左平移3π个单位 (D )向右平移3π个单位(4)已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC=60o,则BD CD =(A )- (B )- (C ) (D )(5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是 (A )(-,4) (B )(-,1) (C )(1,4) (D )(1,5) (6)已知x,y 满足约束条件,若z=ax+y 的最大值为4,则a= (A )3 (B )2 (C )-2 (D )-3 (7)在梯形ABCD 中,∠ABC=,AD//BC ,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(A ) (B ) (C )(D )2(8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N (0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附:若随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ²),则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)(A )4.56% (B )13.59% (C )27.18% (D )31.74% (9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆否相切,则反射光线所在直线的斜率为() (A )或(B 或 (C )或(D )或(10)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a 的取值范围是()(A )[,1](B )[0,1] (C )[(D )[1, +第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
2015年高考理数真题试卷(山东卷)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(2015·山东)已知集合,,则( )A. (1,3)B. (1,4)C. (2,3)D. (2,4)2.(2015·山东)若复数满足,其中为虚数为单位,则=()A. 1-B. 1+C. -1-D. -1+3.(2015·山东)要得到函数的图象,只需要将函数的图象()A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位4.(2015·山东)已知菱形的边长为,,则=()A. B. C. D.5.(2015山东)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A. B. C. D.6.(2015·山东)已知满足约束条件,若的最大值为4,则()A. 3B. 2C. -2D. -37.(2015.山东)在梯形中,,.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D. 28.(2015·山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布,则%,%A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%9.(2015·山东)一条光线从点射出,经轴反射后与圆相切,则反射光线所在直线的斜率为()A. 或B. 或C. 或D. 或10.(2015·山东)设函数,则满足的取值范围是()A. B. C. [) D. [)二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.(2015·山东)观察下列各式:……照此规律,当n N时,________ .12.(2015·山东)若“”是真命题,则实数m的最小值为________ .13.(2015·山东)执行右边的程序框图,输出的T的值为________ .14.(2015山东)已知函数的定义域和值域都是,则________ .15.(2015·山东)平面直角坐标系中,双曲线C 1:的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点,则的离心率为________ . 三.解答题,本大题共6小题,共75分16.(2015·山东)设,求解下列问题:(1)求的单调区间;(2)在锐角△ A B C 中,角∠ A , B , C ,的对边分别为a , b , c ,若= 0 , a = 1 ,求△ A B C 面积的最大值.(1)求的单调区间;(2)在锐角中,角,的对边分别为,若,求面积的最大值.17.(2015·山东)如图,在三棱台中,分别为的中点.(1)求证:平面;(2)若平面,求平面与平面所成的角(锐角)的大小.18.(2015·山东)设数列的前n项和为.已知..(1)求的通项公式(2)若数列满足,求的前n项和.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的前n项和.19.(2015·山东)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.20.(2015·山东)平面直角坐标系xoy中,已知椭圆:的离心率为,左、右焦点分别是F 1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆:为椭圆上任意一点,过点的直线y=kx=m交椭圆于,两点,射线交椭圆于点.(1)求的值;(1)求面积的最大值答案解析部分一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算,一元二次不等式【解析】【解答】=,所以【分析】本题考查集合的概念与运算,利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集,本题属基础题,要求学生最基本的算运求解能力.2.【答案】A【考点】复数的基本概念【解析】【解答】因为,所以,,所以,Z=1-【分析】本题考查复数的概念和运算,采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.本题属于基础题,注意运算的准确性.3.【答案】B【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】因为,所以要得到函数的图像,只要将函数的图像向右平移个单位.【分析】本题考查了三角函数的图象,重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握,能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题,反映学生对所学知识理解的深度.4.【答案】D【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】因为=【分析】本题考查了平面向量的基础知识,重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握,属基础题,要注意结合图形的性质,灵活运用向量的运算解决问题.5.【答案】A【考点】绝对值不等式的解法【解析】【解答】原不等式同解与如下三个不等式解集的并集;(1)(2)(3)解(1)得:,解(2)得:,解(3)得:,所以,原不等式的解集为.故选A.【分析】本题考查了含绝对值的不等式的解法,重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式(组)从而求解的能力,本题属中档题.6.【答案】B【考点】简单线性规划,简单线性规划的应用【解析】【解答】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示,若的最大值为4,则最优解可能为或,经检验,是最优解,故选B.【分析】本题考查了简单的线性规划问题,通过确定参数的值,考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性,意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.7.【答案】C【考点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】直角梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1,母线长为2的圆柱挖去一个地面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的几何体,所以该几何体的体积为:V=V圆柱-V圆锥=【分析】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算,重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算,体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查,此题属中档题.8.【答案】B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】用表示零件的长度,根据正态分布的性质得:,故选B【分析】本题考查了正态分布的有关概念与运算,重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率,意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.9.【答案】D【考点】直线的一般式方程,圆的标准方程,直线与圆的位置关系【解析】【解答】有光的反应原理知,反射光线的反向延长线必过点,设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程:,即:.又应圆与光线相切:,所以,,整理得:,解得:,或,故选D【分析】本题考查了圆与直线的方程的基础知识,重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断,意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.10.【答案】C【考点】指数函数的实际应用,分段函数的应用【解析】【解答】当时,,所以,即符合题意.当时,,若,则,即:,所以适合题意综上,的取值范围是[),故选C【分析】本题以分段函数为切入点,深入考查了学生对函数概念的理解与掌握,同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用,渗透着对不等式的考查,是一个多知识点的综合题.二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.【答案】【考点】组合数公式的推导,进行简单的合情推理【解析】【解答】因为第一个等式右端为:;第二个等式右端为:;第三个等式右端为:·由归纳推理得:第n个等式为:所以答案应填:【分析】本题考查了合情推理与组合数,重点考查了学生对归纳推理的理解与运用,意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力,关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律,从而得到结论.此题属基础题.12.【答案】1【考点】正切函数的值域,命题和命题的取值【解析】【解答】若“∀x∈0,π4,tanx≤m”是真命题,则没大于或等于函数y=tanx在0,π4的最大值应为函数y=tanx在0,π4为增函数,所以,函数在y=tanx在0,π4的最大值为1,所以,m≥1,即m的最小值为1【分析】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点,意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力,注意等价转化的思想的应用,此题属中档题.13.【答案】【考点】定积分,程序框图【解析】【解答】初始条件成立方;运算第一次:成立;预算第二次:不成立;输出的值:,结束【分析】本题考查了循环结构与定积分的计算,意在考查学生对程序框图的理解和基本的计算能力,以程序框图为载体,可以展开对数列、函数、不等式、定积分等多种知识点的考查,此题是一个范例.解题中要注意运算的准确性.14.【答案】-32【考点】指数函数的图像与性质【解析】【解答】若a>1,则fx在-1,0上为增函数,所以a-1+b=-11+b=0次方程无解;若0<a<1,则fx在-1,0为减函数,所以a-1+b=01+b=-1,解得a=12b=-2,所以a+b=-32【分析】本题考查了函数的有关概念与性质,重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用,利用方程的思想解决参数的取值问题,注意分类讨论思想方法的应用.15.【答案】【考点】抛物线的标准方程,双曲线的标准方程【解析】【解答】设所在的直线方程为,则所在直线方程为,解方程组,得,所以点的坐标为,抛物线的焦点的坐标为:.应为是的垂心,所以,所以,所以,【分析】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质,意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力,三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.三.解答题,本大题共6小题,共75分16.【答案】(1)函数的单电递增区间是;单调递减区间是(2)【考点】基本不等式,诱导公式一,三角函数的恒等变换及化简求值,余弦定理【解析】【解答】(1)由题意知由可得由可得所以函数的单调递增区间是;单调递减区间是(2)由得由题意知为锐角,所以有正弦定理:可得:即,当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为【分析】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式,意在考查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力,余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成熟的思路.17.【答案】(1)证法一:连接DG,CO,设CD∩GF=O,连接OH在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点可得DF∥GC,DF=GC所以四边形DFCG为平行四边形则0为CD的中点,又H为BC的中点所以OH∥BD又平面平面所以平面.证法二在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点可得BH∥EF,BH = EF ,所以四边形BHEE为平行四边形可得BE∥HF;在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH ∥AB又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面.ABED因为BD平面ABED所以BD∥平面FGH(2)解:解法一:设AB=2,则CF=1在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点由可得四边形DGCF为平行四边形,DG ∥CFC⊥平面ABC所以DG⊥平面ABC在△ABC中,由AB⊥BC,,G是AC中点,所以.A B = BC. GB⊥GC因此GB,GC,GD两两垂直,以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G—xyz所以,,,可得,故=,设是平面的一个法向量,则由得可得平面的一个法向量应为是平面的一个法向量=,所以COS<,>所以平面与平面所成的解锐角的大小为解法二作HM⊥AC于点M,作MN⊥GF于点N,连接NM由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC所以HM⊥平面ACFD所以∠MNH即为所求的角在△BGC中,MH∥BG,MH二,由可得从而由平面,平面得因此所以所以平面FGH平面ACFD所成角(锐角)的大小为【考点】与二面角有关的立体几何综合题,用空间向量求直线与平面的夹角,二面角的平面角及求法【解析】【分析】(1)思路一:连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH,先证明OH∥BD,从而由直线平面平行的判定定理得BD∥平面HDF;思路二:先证明平面FGH∥平面ABED,再由平面与平面平行的定义得到BD∥平面HDF。
数学试卷 第1页(共21页)数学试卷 第2页(共21页)数学试卷 第3页(共21页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B )第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2430{|}A x x x =-+<,24{|}B x x =<<,则AB = ( )A .1,3()B .1,4()C .2,3()D .2,4()2.若复数z 满足z1i-=i ,其中i 为虚数单位,则z=( )A .1i -B .1i +C .1i --D .1i -+3.要得到函数πsin(4)3y x =-的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象( )A .向左平移π12个单位B .向右平移π12个单位C .向左平移π3个单位D .向右平移π3个单位4.已知菱形ABCD 的边长为a ,60ABC ∠=︒,则BD CD =( )A .232a -B .234a -C .234aD .232a5.不等式|||52|1x x ---<的解集是 ( )A .(,4)-∞B .(,1)-∞C .(1,4)D .(1,5)6.已知x ,y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4,则a =( )A .3B .2C .2-D .3-7.在梯形ABCD 中,π2ABC ∠=,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A .2π3B .4π3C .5π3D .2π8.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N (0,23),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 ( )(附:若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ,则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=,(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=)A .4.56%B .13.59%C .27.18%D .31.74%9.一条光线从点(2-,3-)射出,经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线所在直线的斜率为 ( )A .53-或35-B .32-或23-C .54-或45-D .43-或34-10.设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩<≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是( )A .2[,1]3B .[0,1]C .2[,)3+∞D .[1,)+∞第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.观察下列各式:001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4;;;;……照此规律,当n ∈*N 时,012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12.若“∀x ∈[0,4π],tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为_______. 13.执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为_______.14.已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-,则a b +=_______.15.平面直角坐标系xOy 中,双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=:()的渐近线与抛物线222C x py =:0p >()交于点O ,A ,B .若OAB △的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页(共21页)数学试卷 第5页(共21页)数学试卷 第6页(共21页)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.(Ⅰ)求f x ()的单调区间; (Ⅱ)在锐角ABC △中,角A ,B ,C ,的对边分别为a ,b ,c .若2f A ()=0,a =1,求ABC △面积的最大值.17.(本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中,AB =2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点. (Ⅰ)求证:BD ∥平面FGH ;(Ⅱ)若CF ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,CF =DE ,∠BAC =45︒,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.18.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求{}n b 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得1-分;若能被10整除,得1分.(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX . 20.(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,左、右焦点分别是1F ,2F ,以点1F 为圆心,以3为半径的圆与以点2F 为圆心,以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆2222144 x y E a b +=:,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .(i )求||||OQ OP 的值;(ii )求ABQ △面积的最大值.21.(本小题满分14分)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a ∈R .(Ⅰ)讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若0x ∀>,()0f x ≥成立,求a 的取值范围.数学试卷 第7页(共21页)数学试卷 第8页(共21页)数学试卷 第9页(共21页)2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】2{|4+3<0}{|13}A x x x x x =-=<<,()2,3A B =I ,答案选C .【提示】求出集合A ,然后求出两个集合的交集. 【考点】解一元二次不等式,集合间的运算. 2.【答案】A【解析】2(1i)i i +i 1+i z =-=-=,1i z =-,答案选A .【提示】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可. 【考点】复数代数形式的四则运算. 3.【答案】B【解析】πsin 412y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,需将函数sin 4y x =的图象向右平移π12个单位,答案选B .【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可. 【考点】三角函数的图象及其变换. 4.【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ,60ABC ∠=︒可知18060120BAD ∠=︒-︒=︒,2223()()+cos120+2BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a =--=-=-︒=uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g g ,答案选D .【提示】根据2()()+BD CD AD AB AB AB AD AB =--=-uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g 代入可求.【考点】向量的运算. 5.【答案】A【解析】1x <时,1(5)42x x ---=-<成立 当15x ≤<时,1(5)262x x x ---=-<解得4x <;当5x ≥,1(5)42x x ---=<不成立,综上4x <,答案选A .【提示】运用零点分区间,求出零点为1,5,讨论①当1x <,②当15x ≤<,③当5x ≥,分别去掉绝对值,解不等式,最后求并集即可. 【考点】绝对值符号和分类讨论的思想. 6.【答案】B【解析】由+z ax y =得+y ax z =-,借助图形可知:当1a -≥,即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0,不符合题意;当01a ≤-<,即10a -<≤时有最大值+14a =,3a =,不满足10a -<≤;当10a -≤-<,即01a <≤时在1x y ==时有最大值+14a =,3a =,不满足01a <≤;当1a -<-时,即1a >时在2x =,0y =时有最大值24a =,2a =,满足1a >,答案选B .第6题图【提示】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z 的最大值.【考点】线性规划的问题. 7.【答案】C【解析】2215ππ12π1133V =-=gg g g ,答案选C . 【提示】画出几何体的直观图,利用已知条件,求解几何体的体积即可. 【考点】空间几何体体积的计算. 8.【答案】B【解析】0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=,答案选B . 【提示】由题意(33)68.26%P ξ-<<=,(66)95.44%P ξ-<<=, 可得0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=,即可得出结论. 【考点】正态分布.9.【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴的对称点的坐标(2,3)-,设反射光线所在的直线为+3(2)y k x =-,即230kx y k ---=,则1d ==,|5+5|k =解得43k =-或34-,答案选D .【提示】点(2,3)--关于y 轴的对称点为(2,3)-,可设反射光线所在直线的方程为:+3(2)y k x =-,利用直线与圆相切的性质即可得出.【考点】直线与圆的位置关系. 10.【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥,则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩,解得23a ≥,答案选C . 【提示】讨论()1f a ≥时,以及1a <,1a ≥,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围.【考点】函数的定义域.第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】14n - 【解析】具体证明过程可以是:012101212121212121211C +C+C ++C (2C +2C2n n n n n n n n n n ----------= 021122223121212121212121211=(C +C )+(C +C )+(C +C )++(C +C )2n n n n nn n n n n n n n ------------⎡⎤⎣⎦01212121121212121212111=(C +C +C ++C +C ++C )2422n n n n n n n n n n n ----------==【提示】仔细观察已知条件,找出规律,即可得到结果.【考点】排列组合的运算. 12.【答案】1【解析】“0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,tan x m ≤”是真命题,则πtan 14m ≥=,于是m 的最小值是1.【提示】求出正切函数的最大值,即可得到m 的范围. 【考点】三角函数的运算和命题真假.数学试卷 第10页(共21页)数学试卷 第11页(共21页) 数学试卷 第12页(共21页)13.【答案】116【解析】112011111++1++236T xdx x dx ===⎰⎰.【提示】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n ,T 的值,当3n =时不满足条件3n <,退出循环,输出T 的值为116.【考点】程序框图. 14.【答案】32-【解析】当1a >时,10+1+0a b a b -⎧=-⎪⎨=⎪⎩,无解;当01a <<时10+0+1a b a b -⎧=⎪⎨=-⎪⎩,解得2b =-,12a =,则13+222a b =-=-【提示】对a 进行分类讨论,分别题意和指数函数的单调性列出方程组 【考点】指数函数的定义域和值域的应用. 15.【答案】32【解析】1C :22221x y a b -=(0,0)a b >>的渐近线为b y x a =±则点2222,pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2222,pb pb B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,22:2(0)C x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则22222pb p a pb aa kb -==,即2254b a =,22222+94c a b a a ==,32c e a ==. 【提示】求出A 的坐标,可得22244AC b a k ab-=,利用OAB 的垂心为C 2的焦点,可得22414b a b ab a -⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,由此可求C 1的离心率. 【考点】双曲线的离心率. 三、解答题16.【答案】(Ⅰ)()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,k ∈Z()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k ∈Z .【解析】(Ⅰ)由11π()sin 21+cos 2+222f x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111sin 2+sin 2222x x =- 1sin 22x =-由ππ2π22π+22k x k -≤≤,k ∈Z ,得ππππ+44k x k -≤≤,k ∈Z ,则()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,k ∈Z ; 由π3π2π+22π+22k x k ≤≤,k ∈Z ,得π3ππ+π+44k x k ≤≤,k ∈Z ,则()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . (Ⅱ)在锐角ABC △中,1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,1sin 2A =,π,6A =而1a =,由余弦定理可得22π12cos 2(26b c bc bc bc =+-≥=,当且仅当b c =时等号成立.即bc =11π1sin sin2644ABC S bc A bc bc ===≤△,故ABC △ 【提示】(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得1()sin 22f x x =-,由ππ2π22π+22k x k -≤≤,k ∈Z 可解得()f x 的单调递增区间,由π3π2π+22π+22k x k ≤≤,k ∈Z 可解得单调递减区间.(Ⅱ)由1s i n 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,可得sinA ,cos A ,由余弦定理可得:bc ≤且当b c =时等号成立,从而可求1sin 2bc A ≤【考点】三角函数单调区间,三角形的面积公式. 17.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)60︒【解析】(Ⅰ)证明:如图1,连接DG ,DC ,设DC 与GF 交于点O .在三棱台DEF ABC -中,2AB DE =,则2AC DF =, 而G 是AC 的中点,DF AC ∥,则DF GC ∥, 所以四边形DGCF 是平行四边形,O 是DC 的中点,DG FC ∥.又在BDC △中,H 是BC 的中点,则OH DB ∥,又BD FGH ⊄平面,OH FGH ⊂平面, 故BD FGH ∥平面.第17题图1(Ⅱ)由,C F A B C ⊥平面可得DG ABC ⊥平面而AB BC ⊥,45BAC ∠=︒,则,GB AC ⊥ 于是GD ,GB ,GC 两两垂直,以点为G 坐标原点,GA,GB GD 所在的直线分别为,x ,y z 轴建立空间直角坐标系,如图2,2AB =,1DE CF ==,AC =,AG =B,(C ,(F ,22H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u r , 设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r则2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u ur uuu r g u u r uuu r g 即22220,22+0,yx z -=⎪⎨⎪=⎩取21x =,则21y =,2z =2n =u u r121cos ,2n n 〈〉==u r u u r ,故平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小为60︒.数学试卷 第13页(共21页)数学试卷 第14页(共21页) 数学试卷 第15页(共21页)第17题图2【提示】(Ⅰ)根据2AB DE =便可得到2BC EF =,从而可以得出四边形EFHB 为平行四边形,从而得到BE HF ∥,便有BE FGH ∥平面,再证明DE FGH ∥平面,从而得到BDE FGH 平面∥平面,从而BD FGH ∥平面;(Ⅱ)连接HE ,根据条件能够说明HC ,HG ,HE 三直线两两垂直,从而分别以这三直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,然后求出一些点的坐标.连接BG ,可说明1n BG=u r uuu r为平面ACFD 的一条法向量,设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ,根据2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r uuu r g u u r uuu r g 即可求出法向量2n u u r ,设平面FGH 与平面ACFD 所成的角为θ,根据12cos cos ,n n θ=〈〉u r u u r即可求出平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小. 【考点】线面的位置关系,两平面所夹的角 18.【答案】(Ⅰ)13,1,3,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩,n *∈N(Ⅱ)1132+11243n n n T -=-g ,n *∈N 【解析】(Ⅰ)由23+3nn S =得111(3+3)32a S === 11111(3+3)(3+3)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=-=≥,而11133a -=≠,则13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩n *∈N .(Ⅱ)由3log n n n a b a =及13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩可得311,1,log 31, 1.3n n nn n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩.n *∈N 23111231+++++33333n n n T --=L ①223411112321++++++3333333n n n n n T ---=L ② 由①-②得,223121111111+++++33333333n n n n T --=--L223111111113333333n n n --⎛⎫=-+++++- ⎪⎝⎭L 113313212131+91392233n n n n n n ---=+-=---g 132+11823nn =-g 1132+11243n n n T -=-g ,n *∈N . 【提示】(Ⅰ)利用23+3n n S =,可求得13a =;当1n >时,1123+3n n S --=,两式相减1222n n n a S S -=-,可求得13n n a -=,从而可得{}n a 的通项公式;(Ⅱ)依题意,3log n n n a b a =,可得113b =,当1n >时,31113log 313n n n n b n ---==-g ,于是可求得1113T b ==;当1n >时,121121++++13+23++(1)3)3n n n T b b b n ---=⋯⨯⨯⋯-⨯=(,利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T .【考点】等比数列的通项公式,数列前n 项和的问题. 19.【答案】(Ⅰ)125,135,145,235,245,3450+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯【解析】(Ⅰ)125,135,145,235,245,345.(Ⅱ)由题意知,全部“三位递增数”的个数为3984C =,随机变量X 的取值为:0,1-,1,当0X =时,可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合,即38C ; 当1X =-时,首先选择5,由于不能被10整除,因此不能选择数字2,4,6,8,可以从1,3,5,7中选择两个数字和5进行组合,即24C ;当1X =时,有两种组合方式,第一种方案:首先选5,然后从2,4,6,8中选择2个数字和5进行组合,即24C ;第二种方案:首先选5,然后从2,4,6,8中选择1个数字,再从1,3,7,9中选择1个数字,最后把3个数字进行组合,即1144C C . 则3839C 2(0)C 3P X ===,2439C 1(1)C 14P X =-==,1124443C C +C 11(1)C 42P X ===g ,0+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯.【提示】(Ⅰ)根据“三位递增数”的定义,即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)随机变量X 的取值为:0,1-,1分别求出对应的概率,即可求出分布列和期望. 【考点】排列与组合的有关问题.20.【答案】(Ⅰ)22+14x y =(Ⅱ)(ⅰ)2(ⅱ)【解析】(Ⅰ)由椭圆C :2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为,可知c e a ==,而222+a b c =,则2a b =,c =,左,右焦点分别是1(,)F 0,2,0)F ,圆1:F 22()+9x y =,圆2:F 22()+1x y =,有两圆相交可得24<<,即12<<,交点⎛,在椭圆C 上,则224134b b =g ,整理得4245+10b b -=,解得21b =,214b =(舍去). 故21b =,24a =,椭圆C 的方程22+14x y =.数学试卷 第16页(共21页)数学试卷 第17页(共21页)数学试卷 第18页(共21页)(Ⅱ)(ⅰ)椭圆E 的方程为22+1164x y =,设点P 00(,)x y 满足22+14x y =,射线PO :000(0)y y x xx x =<代入22+1164x y =可得点00(2,2),Q x y --于是||2||OQ OP ==.(ⅱ)点00(2,2),Q x y --到直线AB 距离等于圆点O 到直线AB 距离的3倍d == 22+,+1164y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩得22+4(+)16x kx m =整理得222(1+4)+8+4160k x kmx m -= 2222226416(4+1)(4)16(16+4)0k m k m k m ∆=--=->||AB =2222211||+16+4=||3612221+42(4+1)ABQ m m k m S AB d k k -=≤=g g g g △当且仅当||m =228+2m k =等号成立.而直线+y kx m =与椭圆C :222+14xy =有交点P ,则222++14y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩有解,即224|+|4x kx m +=,222(14)+8+440k x kmx m +-=有解, 其判别式22222216416(4+1)(1)16(4+1)0k m k m k m ∆=--=-≥,即221+4k m ≥,则上述228+2m k =不成立,等号不成立,设(]0,1t ,则ABQ S =△(]0,1为增函数, 于是当221+4k m =时max S ==△ 故ABQ △面积的最大值为【提示】(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和a ,b ,c 的关系,计算即可得到b ,进而得到椭圆C 的方程;(Ⅱ)求得椭圆E 的方程,(ⅰ)设P 00(,)x y ,||||OQ OP λ=,求得Q 的坐标,分别代入椭圆C ,E 的方程,化简整理,即可得到所求值;(ⅱ)将直线+y kx m =代入椭圆E 的方程,运用韦达定理,三角形的面积公式,将直线+y kx m =代入椭圆C 的方程,由判别式大于0,可得t 的范围,结合二次函数的最值,又ABQ △的面积为3S ,即可得到所求的最大值.【考点】椭圆的标准方程,圆交点连线所形成三角形的有关问题 21.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)01a ≤≤【解析】(1)2()ln(+1)+()f x x a x x =-,定义域为(1,+)-∞21(21)(+1)+12++1()+(21)+1+1+1a x x ax ax af x a x x x x --'=-==设2()2++1g x ax ax a =-当0a =时,()1g x =,1'()01f x x =>+函数()f x 在(1,+)-∞为增函数,无极值点. 当0a >时,228(1)98a a a a a ∆=--=-,若809a ≥>时,0∆≤,()0g x ≥,'()0f x ≥函数()f x 在(1,+)-∞为增函数,无极值点. 若89a >时,0∆>,设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ,且12,x x <且121+2x x =-,而(1)10g -=>,则12114x x -<<-<,所以当1(1,)x x ∈-,()0g x >,()0f x '>()f x 单调递增; 当12(,)x x x ∈,()0g x <,()0f x '<,()f x 单调递减; 当2(,+)x x ∈∞,()0g x >,()0f x '>,()f x 单调递增; 因此此时函数()f x 有两个极值点;若0a <时,0∆>,但(1)10g -=>,121x x <-<, 所以当1(1,)x x ∈-,()0g x >,()0f x '>,()f x 单调递增; 当2(,+)x x ∈∞,()0g x <,()0f x '<,()f x 单调递减; 所以函数()f x 只有一个极值点.综上所述:当809a ≥≥时()f x 无极值点;当0a <时()f x 只有一个极值点;当89a >时()f x 有两个极值点. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当809a ≥≥时,()f x 在(0,+)∞单调递增,而(0)0f =,则当(0,+)x ∈∞时,()0f x >,符合题意; 当819a ≥≥时,(0)0g ≥,20x ≤,()f x 在(0,+)∞单调递增,而(0)0f =,则当(0,+)x ∈∞时,()0f x >符合题意;当1a >时,(0)0g <,20x >所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减,而(0)0f =,则当2(0,)x x ∈时,()0f x <,不符合题意;当0a <时,设()ln(1)h x x x =-+,当(0,+)x ∈∞时,1'()101+1+xh x x x=-=>,()h x 在(0,+)∞单调递增,因此当(0,+)x ∈∞时,()(0)h x h >=,ln(+1)0x <于是22()+()+(1)f x x a x x ax a x <-=-,当11x a>-时,2+(1)0ax a x -<此时()0f x <不符合题意.综上所述:a 的取值范围是01a ≤≤【提示】(Ⅰ)函数2()ln(+1)+()f x x a x x =-,其中a ∈R ,(1)x ∈-+∞,.212++1()+(21)+1+1ax ax a f x a x x x -'=-=.令2()2++1g x ax ax a =-.对a 与△分类讨论可得:(1)当0a =时,此时()0f x '>,即可得出函数的单调性与极值的情况. (2)当0a >时,(98)a a =-△.①当809a ≥>时,0≤△,②当89a >时,0>△,即可得出函数的单调性与极值的情况.(3)当0a <时,0>△.即可得出函数的单调性与极值的情况. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:(1)当809a ≥≥时,可得函数()f x 在(0,+)∞上单调性,即可判断出. (2)当819a ≥>1时,由(0)0g ≥,可得20x ≤,函数()f x 在(0,+)∞上单调性,即可判断出.(3)当1a <时,由(0)0g <,可得20x >,利用2(0,)x x ∈时函数()f x 单调性,即可判断出;(4)当0a <时,设()ln(+1)h x x x =-,(0,+)x ∈∞,研究其单调性,即可判断出【考点】函数的极值,函数恒成立求未知数的取值范围数学试卷第19页(共21页)数学试卷第20页(共21页)数学试卷第21页(共21页)。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)(1) 已知集合A={X|X ²-4X+3<0},B={X|2<X<4},则A B=C(A )(1,3) (B )(1,4) (C )(2,3) (D )(2,4) (2)若复数Z 满足1Zi i=-,其中i 为虚数单位,则Z=A (A )1-i (B )1+i (C )-1-i (D )-1+i(3)要得到函数y=sin (4x-3π)的图像,只需要将函数y=sin4x 的图像(C ) (A )向左平移12π个单位 (B )向右平移12π个单位(C )向左平移3π个单位 (D )向右平移3π个单位(4)已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC=60o,则BD CD=D(A )- (B )- (C ) (D )(5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是A(A )(-,4) (B )(-,1) (C )(1,4) (D )(1,5)(6)已知x,y 满足约束条件,若z=ax+y 的最大值为4,则a=B(A )3 (B )2 (C )-2 (D )-3(7)在梯形ABCD 中,∠ABC=,AD//BC ,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为C(A ) (B ) (C )(D )2(8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ²),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)B(A)4.56% (B)13.59% (C)27.18% (D)31.74% (9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆相切,则反射光线所在直线的斜率为(D)(A)或(B或(C)或(D)或(10)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a的取值范围是(C (A)[,1](B)[0,1](C)[(D)[1, +第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(文科) 第I 卷(共50分)本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}24A x x =<< ,()(){}130B x x x =--< ,则AB =(A )()1,3 (B )()1,4 (C )()2,3 (D )()2,42、若复数z 满足1zi i=- ,其中i 为虚数单位,则z = (A )1i - (B )1i + (C )1i -- (D )1i -+ 3、设0.61.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ,则,,a b c 的大小关系是(A )a b c << (B )a c b << (C )b a c << (D )b c a << 4、要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin 4y x =的图象 (A )向左平移12π个单位 (B )向右12π平移个单位 (C )向左平移3π个单位 (D )向右平移3π个单位5、设m R ∈ ,命题“若0m > ,则方程20x x m +-= 有实根”的逆否命题是 (A )若方程20x x m +-=有实根,则0m > (B ) 若方程20x x m +-=有实根,则0m ≤ (C ) 若方程20x x m +-=没有实根,则0m > (D ) 若方程20x x m +-=没有实根,则0m ≤6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。
考虑以下结论: ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差; ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为(A ) ①③ (B ) ①④ (C ) ②③ (D ) ②④ 7、在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭”发生的概率为 (A )34 (B )23 (C )13 (D )148、若函数()212x x f x a+=- 是奇函数,则使()3f x > 成立的x 的取值范围为(A )(),1-∞- (B )()1,0- (C )()0,1 (D )()1,+∞ 9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 (A)3 (B)3(C) (D) 10.设函数()3,1,2,1,xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩ 若546f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则b =(A )1 (B )78 (C )34 (D )12第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(山东卷)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}2|430A x x x =-+<,{}|24B x x =<<,则A B = ( ) (A )()1,3 (B )()1,4 (C )()2,3 (D )()2,42.若复数z 满足1zi i=-,其中i 是虚数单位,则z =( ) (A )1i - (B )1i + (C )1i -- (D )1i -+3.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin 4y x =的图像( ) (A )向左平移12π个单位 (B )向右平移12π个单位(C )向左平移3π个单位 (D )向右平移3π个单位4.已知菱形ABCD 的边长为a ,060ABC ∠=,则BD CD ⋅= ( )(A )232a - (B )234a - (C )234a (D )232a 5.不等式|1||5|2x x ---<的解集是( )(A )(),4-∞ (B )(),1-∞ (C )()1,4 (D ) ()1,56.已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,若z ax y =+的最大值为4,则a =( )(A )3 (B )2 (C )2- (D )3-7.在梯形ABCD 中,2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===。
将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) (A )23π (B )43π (C )53π(D )2π 8.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布()20,3N ,从中随机取一件,其长度误差落在区间()3,6内的概率为(附:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ,则()68.26%P μσξμσ-<<+=,()2295.44%P μσξμσ-<<+=)( )(A )4.56% (B )13.59% (C )27.18% (D )31.74%9.一条光线从点()2,3--射出,经y 轴反射与圆()()22321x y ++-=相切,则反射光线所在的直线的斜率为( ) (A )53-或35- (B )32-或32- (C )54-或45- (D )43-或34- 10.设函数()()()31121xx x f x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则满足()()()2f a f f a =的取值范围是( ) (A )[]2 (B )[]0,1 (C )[)2+∞ (D )[)1,+∞二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 。
数学试卷 第1页(共42页)数学试卷 第2页(共42页)数学试卷 第3页(共42页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B )第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2430{|}A x x x =-+<,24{|}B x x =<<,则AB = ( )A .1,3()B .1,4()C .2,3()D .2,4()2.若复数z 满足z1i-=i ,其中i 为虚数单位,则z=( )A .1i -B .1i +C .1i --D .1i -+3.要得到函数πsin(4)3y x =-的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象( )A .向左平移π12个单位B .向右平移π12个单位C .向左平移π3个单位D .向右平移π3个单位4.已知菱形ABCD 的边长为a ,60ABC ∠=︒,则BD CD =( )A .232a -B .234a -C .234aD .232a5.不等式|||52|1x x ---<的解集是 ( )A .(,4)-∞B .(,1)-∞C .(1,4)D .(1,5)6.已知x ,y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4,则a =( )A .3B .2C .2-D .3-7.在梯形ABCD 中,π2ABC ∠=,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A .2π3B .4π3C .5π3D .2π8.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N (0,23),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 ( )(附:若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ,则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=,(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=)A .4.56%B .13.59%C .27.18%D .31.74%9.一条光线从点(2-,3-)射出,经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A .53-或35-B .32-或23-C .54-或45-D .43-或34-10.设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩<≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是( )A .2[,1]3B .[0,1]C .2[,)3+∞D .[1,)+∞第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.观察下列各式:001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4;;;;……照此规律,当n ∈*N 时,012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12.若“∀x ∈[0,4π],tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为_______. 13.执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为_______.14.已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-,则a b +=_______.15.平面直角坐标系xOy 中,双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=:()的渐近线与抛物线222C x py =:0p >()交于点O ,A ,B .若OAB △的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页(共42页)数学试卷 第5页(共42页) 数学试卷 第6页(共42页)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.(Ⅰ)求f x ()的单调区间;(Ⅱ)在锐角ABC △中,角A ,B ,C ,的对边分别为a ,b ,c .若2f A()=0,a =1,求ABC △面积的最大值.17.(本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中,AB =2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点. (Ⅰ)求证:BD ∥平面FGH ;(Ⅱ)若CF ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,CF =DE ,∠BAC =45︒,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.18.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求{}n b 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得1-分;若能被10整除,得1分.(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX .20.(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,左、右焦点分别是1F ,2F ,以点1F 为圆心,以3为半径的圆与以点2F 为圆心,以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆2222144 x y E a b +=:,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .(i )求||||OQ OP 的值;(ii )求ABQ △面积的最大值.21.(本小题满分14分)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a ∈R . (Ⅰ)讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若0x ∀>,()0f x ≥成立,求a 的取值范围.3 / 14数学试卷 第10页(共42页) 数学试卷 第11页(共42页)数学试卷 第12页(共42页)最大值24a =,2a =,满足1a >,答案选B .5 / 141012121212121211++C (2C +2C +2C ++2C )2n n n n n n n -------=121)++(C +C n n --1212112121211++C +C ++C )242n n n n n n n n -------== 【提示】仔细观察已知条件,找出规律,即可得到结果.利用OAB的垂心为数学试卷第16页(共42页)数学试卷第17页(共42页)数学试卷第18页(共42页)∥平面.故BD FGH7 / 14数学试卷 第22页(共42页) 数学试卷 第23页(共42页)数学试卷 第24页(共42页)21+1+29 / 14数学试卷第28页(共42页)数学试卷第29页(共42页)数学试卷第30页(共42页)11 / 14数学试卷第34页(共42页)数学试卷第35页(共42页)数学试卷第36页(共42页)13 / 14数学试卷第40页(共42页)数学试卷第41页(共42页)数学试卷第42页(共42页)。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(山东卷)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}2|430A x x x =-+<,{}|24B x x =<<,则AB =( )(A )()1,3 (B )()1,4 (C )()2,3 (D )()2,42.若复数z 满足1zi i=-,其中i 是虚数单位,则z =( ) (A )1i - (B )1i + (C )1i -- (D )1i -+3.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin 4y x =的图像( ) (A )向左平移12π个单位 (B )向右平移12π个单位 (C )向左平移3π个单位 (D )向右平移3π个单位4.已知菱形ABCD 的边长为a ,060ABC ∠=,则BD CD ⋅=( ) (A )232a -(B )234a - (C )234a (D )232a5.不等式|1||5|2x x ---<的解集是( )(A )(),4-∞ (B )(),1-∞ (C )()1,4 (D ) ()1,56.已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,若z ax y =+的最大值为4,则a =( )(A )3 (B )2 (C )2- (D )3- 7.在梯形ABCD 中,2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===。
将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) (A )23π (B )43π (C )53π(D )2π 8.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布()20,3N ,从中随机取一件,其长度误差落在区间()3,6内的概率为(附:若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ,则()68.26%P μσξμσ-<<+=,()2295.44%P μσξμσ-<<+=)( )(A )4.56% (B )13.59% (C )27.18% (D )31.74%9.一条光线从点()2,3--射出,经y 轴反射与圆()()22321x y ++-=相切,则反射光线所在的直线的斜率为( )(A )53-或35- (B )32-或32- (C )54-或45- (D )43-或34- 10.设函数()()()31121xx x f x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则满足()()()2f a f f a =的取值范围是( ) (A )[]23,1 (B )[]0,1 (C )[)23,+∞ (D )[)1,+∞二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 。
2015山东高考数学试题选编
1.已知集合A=}42|{},034|{2<<=<+-x x B x x x 则=B A ( ) A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D.(2,4) 3.要得到函数)3
4sin(π
-=x y 的图象,只需将x y 4sin =的图象( )
A.向左平移
12π个单位 B.向右平移12π
个单位 C.向左平移3π个单位 D.向右平移3
π
个单位
4.已知菱形ABCD 的边长为a ,060=∠ABC ,则CD BD ⋅=( )
A.2
2
3a - B.243a - C.243a D.223a
5.2|5||1|<---x x 的解集是( )
A.)4,(-∞
B.)1,(-∞
C.(1,4)
D.(1,5) 7.在梯形ABCD 中,2
π
=
∠ABC ,AD//BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形
ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A.π3
2 B.π3
4 C.π3
5 D.π2
9.一条光线从点(3,2--)射出,经y 轴反射后,与圆1)2()3(22=-++y x 相切,则反射光线所在直线的斜率为
A.3
5-或5
3- B.2
3-或3
2- C.4
5-或5
4- D.3
4-或4
3- 10.⎩⎨
⎧≥<-=1
,21
,13)(x x x x f x
,则满足)(2))((a f a f f =的a 的取值范围是
A.]1,32
[ B.[0,1] C.),3
2[+∞ D.[1,+∞)
12.若对任意]4
,0[π
∈x ,m x ≤tan 都成立,则实数m 的最小值为_____
14.已知函数)1,0()(≠>+=a a b a x f x 的定义域和值域都是[0,1-],则
=+b a ______(以上题目每小题
5分)
16.(本题12分)
)4
(cos cos sin )(2π
+
-=x x x x f (1)求)(x f 的单调区间
(2)在锐角ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若1,0)2
(==a A f 求ABC ∆面积的最大值
17.在三棱台ABC DEF -中,H G DE AB ,,2=分别为BC AC ,的中点 (1)求证://BD 平面FGH
19.设n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等) (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”
附:答案
1.C 3.B 4. D 5.A 7.C 9.D 10.C 1
2. 1 14.2
3- 16.2
12sin )(-=x x f (1)单增区间为)](4
,4
[Z k k k ∈+-π
πππ
单减区间为)](4
3,4
[Z k k k ∈+
+π
ππ
π (2)
4
3
2+ 19. 125, 135, 145, 235, 245, 345。