初中数学教程画轴对称图形_1

说这两个图形关于这条直线成轴对称. 不同的对称轴对应不同的轴对称图形．
练习 如图所示，把一个正方形纸片三次对折后沿虚线剪下，则展开平纸片所得的图形是（ ）.
求作： △ABC 关于直线 l 对称的图形．
轴垂直平分． 练习 求作△ABC关于直线
l
对称这的△A条′ B′ C直′. 线叫做对称轴，折叠后重合的点
（图1）动手试一试： 如何剪能剪 出B 选项？
（图2）
A
B
C
D
初中数学
例 将一个正方形纸片依次按图1中 a，b的方式对折，
然后沿图 c 中的虚线裁剪，成图 d 样式，将纸展开铺平， 所得到的图形是图2中的（D ）.Fra bibliotek（图1）
（图2） B
A
B
C
D
练习 如图所示，把一个正方形纸片三次对折后沿虚线
剪下，则展开铺平纸片所得的图形是（ C ）.
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称的图形，
练习 求作△ABC关于直线 l 对称的△A′ B′ C′.
如果它能够与另一个图形重合，那么就 练习 如图，有一个英语单词，三个字母都关于直线 l 对称，请补全字母，补全后的单词是________．
已知：点 A 和直线 l .
上折
右折 右下方折 沿虚线剪开
接这些对称点即可．
初中数学
例 （3）已知： △ABC和直线 l .
求作： △ABC关于直线 l 对称的图形．
B
作法：
A
C
1. 如图，分别作出点 A，B ，
C关于直线 l 的对称点 A′ ，
l B′ ，C′ ;
2. 连接A′ B′ ，B′ C′ ，C′ A′ ;
A′

13.2 画轴对称图形第1课时作轴对称图形【知识与技能】1.通过动手操作体验如何作轴对称图形.2.能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形.3.能利用轴对称变换设计一些简单的图案.【过程与方法】通过实际操作获取作轴对称图形的方法,并应用于简单的图案设计.【情感态度】通过图案设计等活动,培养学生的动手操作能力\,审美及数学兴趣,发展学生的空间观念.【教学重点】作一个图形经轴对称变换后的图形.【教学难点】通过动手操作总结轴对称变换的特征.一、情境导入，初步认识利用多媒体向学生展示剪纸图片,供学生欣赏,并请学生交流:如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?问题1 请学生拿出画有一个简单风筝(如图形状)的半透明纸,把这张纸对折后描图,学生画好后打开对折的纸,观察并回答下列问题:(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?(2)两个图形成轴对称有什么特征?问题 2 如果改变对称轴的方向和位置,结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠,描图,打开纸.你发现了什么?【教学归纳】由学生画图、操作、观察后总结出:(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.(2)新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点,连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.问题除上面所用的描图法;还可用什么方法画出轴对称变换后的图形?请学生间交流探讨.例1(1)如图1,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形.(2)将△ABC的位置移至图2,图3,图4时,再作出关于直线l对称的图形.并验证画法.【归纳总结】一个平面图形都是由一些点组成,点动成线,故要画一个图形经轴对称后的图形,只要找到一些特殊点,作出这些特殊点的对称点即可.【教学说明】利用轴对称变换,可以设计出精美的图案.有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案.例2 操作并思考:如图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的三角形沿黑线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺开.(1)你会得到怎样的图案?先猜一猜,再做一做.(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试.(3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再去掉含90°角的部分展开后的结果又会怎样?为什么?解:(1)得到一个有2条对称轴的图形.(2)按照上面的做法，实际相当于折出了正方形的2条对称轴，因此图中得到的图案一定有2条对称轴.(3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴.【教学说明】教师参与,与学生一起操作,力求使图案与花边完美.三、运用新知，深化理解1.把下列图形补成关于直线l对称的图形.2.如图,利用轴对称变换画出花瓶的另一半.3.如图，左边的旗子经过几次轴对称变换,可以变成右边的旗子?你能设计一种变换方案吗?4.如果我们把台球桌做成等边三角形形状,那么从AC中点D处出发的球,能否依次经BC,AB两条边反射后回到D处?如果认为不能,请说明理由;如果认为能,请作出球运动的路线.【教学说明】指导学生解答上述习题时，要注意引导学生：（1）画轴对称图形时，要先画好关键的对应点；（2）在已知成轴对称的图形时，利用成轴对称的图形的性质，找出对称轴.【答案】4.能.运动路线如图的D→E→F→D四、师生互动，课堂小结教师请学生回忆本节内容,学生发言谈收获,最后引导总结.1.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.2.经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分.3.画一个图形经轴对称变换后的图形,关键是找到图形上的一些点,作出这些点的对称点.1.布置作业：从教材“习题13.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，重视学生的实际操作和观察发现与表述能力.教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系（如例2）调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。

8．如图所示，在直线MN上求作一点P，使∠MPA＝∠NPB.
解：①作点A关于MN的对称点A′； ②连结BA′交MN于点P，连接AP，则∠MPA＝∠NPB
9．如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和 △A″B″C″关于直线EF对称．
(1)画出直线EF； (2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角 α的数量关系．
3．如图，分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是( C)
4．以直线l为对称轴画出图形的另一半． 解：图略
5．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形．
6．如图，小新把一张含30°角的直角三角形纸板ABC沿较短边的垂 直平分线翻折，则∠BOC的度数为_6_0_°_．
7．如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC， 请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称也以格点为顶点的三角形，这 样的三角形共用__5__个．
Байду номын сангаас
(1)如图，连接B′B″，作线段B′B″的垂直平分线EF，则直线EF是△A′B′C′ 与△A″B″C″的对称轴
(2)连结BO，B′O，B″O，∵△ABC和△A′B′C′关于MN对称，∴∠BOM＝ ∠B′OM，又∵△A′B′C′和△A″B″C″关于EF对称，∴∠B′OE＝∠B″OE， ∴∠BOB″＝∠BOB′＋∠B′OB″＝2∠B′OM＋2∠B′OE＝2(∠B′OM＋ ∠B′OE)＝2∠MOE＝2α，即∠BOB″＝2α
第十二章 全等三角形
13．2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
1．已知对称轴l和一点A，要画出点A关于l的对称点A′，可采用以下方 法：过点A作对称轴l的___垂_，线垂足为点O，延长___A_至O ___A_′，使___O_A＝ _O_A_′_，则点A′就是点A关于直线l的对称点．

《画轴对称图形》教学设计——第1课时作轴对称图形一、教材分析之前我们知道了如何寻找轴对称图形的对称轴，本节课学生需要知道，已知原图形与对称轴，如何画轴对称之后的图形。

这也是对称变换的核心知识，也为今后数学与其他学科的知识内容（如物理的镜面反射）打下基础。

二、教学目标知识与技能目标：能画出简单平面图形作轴对称后的图形，了解画一般轴对称图形的方法；过程与方法目标：经历画轴对称图形的一般过程，掌握基本的数学作图规范；情感、态度与价值目标：培养审美情操，培养学习兴趣。

三、教学重难点重点：作平面图形的轴对称图形；难点：作轴对称图形的一般步骤中所包含的原理。

四、教学方法：讲授法、讨论法五、教具：几何画板、电子白板六、教学设计（一）情境导入在之前的学习中，我们已经认识了轴对称图形，也对它有了一定的了解，那么同学们回顾一下什么是轴对称图形定义是什么生活中也有许多轴对称，例如现在在我们身边的，我们的黑板、桌子、椅子、我们戴的眼镜等等。

师PPT展示轴对称图形师提问：（1）这些图案有什么共同特点（2）能否根据其中的一部分画出整个图案设计意图：回顾轴对称图形的定义、性质，为本节课的学习做铺垫。

用身边的事物引课，激发学生的学习兴趣。

（二）探索新知在一张半透明纸张的左边部分，画出左脚印，如何由此得到相应的右脚印教师以双手为例，双手张开，双手合拢来演示。

教师将在半透明纸上提前画好左手印拿出来，让学生画出右手印。

教师在左手图上指出一个点，让学生指出并画出它的对称点。

追问：像这样的对称点一共有多少对得出结论：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形。

设计意图：通过画左右手掌印，让学生感受轴对称图形的形成过程，培养学生的动手能力。

同时让学生明确：折痕所在的直线就是它们的对称轴。

提问并归纳：（1）画出的轴对称图形的形状、大小和原图形有什么关系（2）画出的轴对称图形的点与原图形上的点有什么关系（3）对应点所连线段与对称轴有什么关系设计意图：归纳总结轴对称的性质，为轴对称作图做铺垫。

初中数学集体备课活页纸环节1：教师提问1.猜一猜：下列图片被遮住了一半，请说出图片的名称2.操作：如图所示,在一张半透明纸的左边部分,画一只左脚印,把这张纸对折后描图,打开对折的纸,就能得到相应的右脚印.思考：1、认真观察,左脚印和右脚印有什么关系?2.对称轴是折痕所在的直线,即直线l ,它与图中的线段PP’是什么关系?环节2:师友释疑1.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小;2.新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;3.连接任意一对对应点的线段被对称轴.第二步：互助探究环节1:师友探究如果有一个图形和一条直线,如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢?探究：例1、已知点A和直线l，以直线l 为对称轴，作点A经轴对称变换后所得的图形点A′．例2已知：线段AB和直线l作出与线段AB关于直线l成轴对称的图形例2 已知三角形ABC和直线l，作出三角形ABC关于直线l对称的图形．方法总结：作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤：环节2：教师讲解lA BlABlAB第三步：分层提高环节1 师友训练1 如图，把下列图形补成关于直线l 对称的图形2．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立．①12×231=132×21;②12×462=___________;③18×891=__________;④24×231=___________.3.下列每对文字图形中，能看成关于虚线对称的有：_________（只需要序号）．4.如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝50°，则∠CFD的度数为()A．20°B．30°C．40°D．50°5．如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB 的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，求线段MN的长EABPMNFl l l第四步：总结归纳环节1：师友归纳•这节课我学会（懂得）了……•这节课我想对师傅（学友）说……环节2：教师归纳第五步：师友反馈环节1：师友检测1．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．2.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为________.3.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形环节2：教师评价一、本节课最佳师友是…二、课后作业必做：选做：板书设计。

13.2.1 画轴对称图形学习目标：1.会画已知图形关于某条直线对称的图形.2.能利用轴对称图形的一些性质设计图案. 一、学前准备1.尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）（1）如图1所示，△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，请你作出它的对称轴1l .（2）如图2所示，△ABC 与△A′B′C′成轴对称，请你作出对称轴2l .二、预习导航 （一）预习指导活动1探索轴对称图形的性质（阅读教材第67页，探索轴对称图形的性质） 2.如图，观察下面彩蝶剪纸形成过程并填空：（1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l 对称的图形，这个图形与原图形的 、 完全相同.（2）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l 的 . （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴 .CAB图1图2活动2画轴对称的图形（阅读教材第67～68页，画已知图形关于某条直线对称的图形）3.如图，观察下面画线段AB关于直线l对称的图形的过程并填空：（1）几何图形都可以看作由点组成，只要画出这些点的，再连接这些，就可以得到原图形的.（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要画出图形中一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的，连接这些，就可以得到原图形的.预习疑惑：（二）预习检测4.如图，画出与△ABC关于直线l对称的图形△A'B'C'.三、课堂互动问题1画轴对称图形5 如图，点P是∠AOB内的一点，且点P关于射线OA，OB的对称点为P1，P2，连接P1，P2，交OA于点M，交OB于点N.（1）根据题意，把图形补充完整（用尺规作图）；（2）若P1P2=5 cm，求△PMN的周长.方法总结：四、总结归纳1. 你有什么收获？（从知识、方法、规律方面总结）2. 你还有哪些疑惑？3. 你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？4. 在展示中，哪位同学是你学习的榜样？哪个学习小组的表现最优秀？教（学）后记：五、达标检测1.把下列图形补成关于直线l对称的图形.2.如图，画出与△ABC关于直线l对称的图形△A'B'C'.3.下图是在方格纸上画出的一个风筝的一半,请以直线l为对称轴画出风筝的另一半.《13.2.1 画轴对称图形》参考答案一、学前准备1.略.二、预习导航2.（1）形状；大小；（2）对称点；（3）垂直平分.3.（1）对称点；对称点；轴对称图形；（2）对称点；对称点；轴对称图形.4.解：如图，△A’B’C’为所求.三、课堂互动5.解：（1）如图所示.（2）∵P与P1关于OA对称，∴OA为线段PP1的垂直平分线.∴MP=MP1.同理可得:NP=NP2.∵P1P2=5 cm，∴C△PMN=MP+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=5 cm.五、达标检测1.解：如图：2.解：如图所示，△A’B’C’为所求.3.解:如图所示.。

画出对称轴的基本方法
1. 先找个基准呀！就像建房子得找平地一样。

比如说画个正方形，那四条边不就是最好的基准嘛！
2. 然后用眼睛瞅瞅，大致感觉一下对称的方向，这可很重要哦！画个三角形的时候，你就想想从哪个角度看它最对称。

3. 拿把直尺比着呀，可别歪了，要像走直线一样直直的。

画个长方形，直尺就是你的好帮手哟！
4. 轻轻画条线，别太用力，就像温柔地对待小猫咪一样。

画个圆形的时候，小心翼翼地画出那条对称轴。

5. 画错了咋办？哎呀，没关系啦！擦掉重来就好，就像走路摔了一跤，爬起来继续呗。

好比画个复杂的图案，错了就改嘛！
6. 多练习几次呀，不练习怎么能画好呢？就像学走路，多走走就稳了。

画个对称的花朵，多试试才能画得漂亮呀！
7. 观察细节呀，别忽略了小地方，有时候细节决定成败呢！画个对称的建筑时，那些小装饰也得照顾到呀！
8. 和小伙伴比比看呀，看看谁画得更好，多有意思！画个对称的风筝，比比谁的更漂亮。

9. 保持耐心哦，别着急，心急可吃不了热豆腐。

画个很难的对称图形时，耐心就是关键啦！
我觉得呀，只要掌握了这些基本方法，多练习，大家都能画出漂亮的对称轴！。

BC连..对对接应应B点点B',交连连对线线称被被轴对对于称称点轴轴O平垂(图分直略平). 分
D过.对点应B,点B'作连B线E,B互'F相与平对称行轴垂直,垂足分别为E和F,
则BE=B'F,
图①关闭图②∴△源自EO≌△B'FO.关闭
∴B BO=B'O.
解析 答案
快乐预习感知
1
2
3
4
4.以直线l为对称轴画出下图的另一半.
的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些 对称点
,
就可以得到原图形的 轴对称图形 .
快乐预习感知
3.如图,在方格纸中画出与△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1.
解 △A1B1C1如图所示.
快乐预习感知
运用轴对称解决实际问题 【例题】
如图,P,Q分别为△ABC的边AB,AC上的两个定点,在BC上求作一 点D,使△DPQ的周长最短.
第1课时 画轴对称图形
快乐预习感知
1.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形,这个
图形与原图形的 形状 、 大小 完全相同;新图形上的每一点
都是原图形上的某一点关于直线l的 对称点 ;连接任意一对对
应点的线段被 对称轴 垂直平分.
2.几何图形都可以看作由点组成,对于某些图形,只要画出图形中
快乐预习感知
1
2
3
4
2.如图,在4×4正方形网格中,已有3个小方格涂成了黑色.现在要从
其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色,使整个涂成黑色的图 形成为轴对称图形,这样的白色小方格有( )
如图,有 4 个位置使之成为轴对称图形. A.1个 B.2个 C.3个D.4个

4个方形轴对称图形画法步骤方形轴对称图形是指具有对称轴的正方形图形。

下面是四个常见的方形轴对称图形的画法步骤：1.十字花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点画一条垂直线和一条水平线，将正方形分为四个小正方形。

步骤三：从每个小正方形的中心点向外画一条垂直线和一条水平线，与正方形的边相交。

步骤四：连接相交点，形成一个十字花纹的方形轴对称图形。

2.格子花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点向四个方向分别画一条垂直线和一条水平线，将正方形分成四个小正方形。

步骤三：在每个小正方形的四个角上画一个小正方形。

步骤四：连接相邻小正方形的对角线，形成一个格子花纹的方形轴对称图形。

3.雪花花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点向四个方向分别画一条垂直线和一条水平线，将正方形分成四个小正方形。

步骤三：在每个小正方形的中心点画一个小正方形。

步骤四：在每个小正方形的边上画一个小正方形。

步骤五：依次连接相邻小正方形的对角线，形成一个雪花花纹的方形轴对称图形。

4.旋转花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点向四个方向分别画一条垂直线和一条水平线，将正方形分成四个小正方形。

步骤三：在每个小正方形的边上画一个小正方形。

步骤四：依次连接相邻小正方形的对角线，形成一个旋转花纹的方形轴对称图形。

这些方形轴对称图形的画法步骤简单明了，通过不同的组合和变化，可以创造出更多丰富多样的方形轴对称图形。

2、下列图形中，是轴对称图形的是【 B 】
3、在艺术字中，有些汉字是轴对称图形，下
列不是轴对称图形的是【 D 】 A、田 B、中 C、王 D、上
4、下列图形中，有且只有三条对称轴的是
【D 】
5、仔细观察下图中的图形，并按规律在横 线上画出合适的图形。
＿＿＿
6、如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方 向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪
世界上有一种爱很伟大，那就是母爱！世上有一个人最值得我们去回报，那就是母亲。 母亲像什么，母亲像天使一样把一点一滴汗水与祝福慢慢地撒在我们的心里。
母亲是什么，母亲为我们打开成长的大门，母亲是上帝派下来哺育我们的天使。 在人生崎岖坎坷的旅途上，是谁给予你最真诚、最亲切的关爱，是谁对你嘘寒问暖，时刻给予你无私的奉献；是谁不知疲倦地教导着你为人处世的道理；是谁为了你的琐事而烦恼？
眼光和思维所涉及的面，尽量往大了走、往高了去，则是人人可以努力靠近的。 综上：儒家拿得起、佛家放得下、道家想得开，合起来其实就是一句话：带着佛家的出世心态，凭着道家的超世眼界，去做儒家入世的事业。这也正是南怀瑾所说的人生最高境界：佛为心，道为骨，儒为表，大度看世界。车水马龙的闹市里，双眸里闪烁着都市的霓虹，衣服上沾满着汽车 曾经有一个人，她永远占据在你心最柔软的地方，你愿用自己的一生去爱她，这个人，叫“母亲”；有一种爱，它可以让你随意的索取、享用，却不要你任何的回报，不会向你抱怨，总是自己一个人默默地承受着这一切。这种爱，叫“母爱”！
当你已经承受不住外界所带来的种种压力时，母亲为你顶起一片天空，抵挡所有风雨；当你心无慰籍时，她开导你、教育你，教导你“退一步海阔天空”的哲理；当你遇到困难与挫折或因情绪不好而对她大发脾气时，她默默承受但仍坚强地开导；当你因学习而疲劳、心烦时，她会送上一杯热茶，不需任何语言，一切感情均化为泪水落于掌心，一切尽在不言中…… 当你遇到危险时，她不顾一切地救助你，即使失去生命也毫无怨言；当你感到伤痛绝望时，她比你更加痛心悲伤，却必须要坚强地劝慰你，让你安心；当你欢心愉悦时，她会陪你一起分享心中的喜悦，但是却绝对不会多霸占一点，让你的心变得空虚无物……

作：作出对应点所连线段的垂直平分线.
如图，把下列图形补成关于直线 l 对称的轴对称图形.
的线段PQ，使PQ与AC关于某条直 思考2：已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′.
连接对应点的线段被对称轴垂直平分
线段AD被直线l垂直平分.
线对称，且P，Q为格点． △ABC与△DEF全等.
A
（2）过点B作直线l的垂线，垂足为P，
在垂线上截取PB′=PB，点B′就是点B关于
直线l的对称点.
（3）连接A′B′，则线段A′B′即为所求.
P B′ O A′ l
例1：如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直
线l对称的图形.
分析：△ABC可以由三个顶点的位
B
C
置确定，只要能分别画出这三个顶 A
作法：（1）过点A作直线l的垂
A
线，垂足为O； （2）在垂线上截取OA′=OA，点 A′就是点A关于直线l的对称点.
O
l
A′
思考2：已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的
对称线段A′B′.
B
作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足
为O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是
点A关于直线l的对称点.
点M关于直线l的对称点一定在△DEF内.
C
点M关于直线l的对称点一定在△DEF内.
（1）△ABC与△DEF全等吗？全等的两个图形一定可以通过轴对称变换得到吗？
知识点 画轴对称图形
分析：根据物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，作出倒影关于这条直线成轴对称的图形即可.
Q
（2020·吉林中考）如图是3×3的正方形网格，每个小
随堂练习
1.用纸片剪一个三角形，分别沿着它一边的中线、高、 角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不 能重合？

13.2 画轴对称图形第1课时画轴对称图形教学目标（一）教学知识点1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．（二）能力训练要求经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．教学重点1．轴对称变换的定义．2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．教学难点1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．2．利用轴对称进行一些图案设计．设置情境，引入新课在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．[生甲]将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，•得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．[生乙]准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．[师]大家回答得太好了，•这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．导入新课[师]刚才同学们说出了几种得到轴对称图形的方法，•由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．（电脑演示下面图案的变化过程）大家看大屏幕．对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．[师]下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，•再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．（学生动手做）结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，•这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．[师]我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．动手做一做．取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案为一组呢？为什么？（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些．投影仪演示学生的作品．[生甲]相邻两个图案成轴对称图形，相间的两个图案之间大小和方向完全一样．[生乙]都成轴对称关系．[生丙]得到与上面类似的两层花边，它仍然是轴对称图形．[师]下面我们做练习．随堂练习（课件演示）（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？（2）这个图形有几条对称轴？（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？答案：（1）轴对称图形．（2）这个图形至少有3条对称轴．（3）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，•得到一个多层的36°角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，•打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形．课时小结本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．活动与探究如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”，你想怎样剪？设法使剪的次数尽可能少．过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称变换的应用．结果：“小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整个图．“十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可．作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。

画点B、C的对称点F、G，然后顺次连接E、F、G得△
EFG，则△ EFG就是所求.
方法二：也可以利用全等知识进行作图，即先出A、C
的对称点E、G，然后分别以E、G为圆心，AB、CB为
半径作弧，两弧交于点F，则△ EFG就是所求.
知识拓展
二、确定对称点：四边形ABCD和四边形EFGH关于直线MN对称，连
知识梳理
例2：（2）画出△ ABC关于y轴对称的△ A2B2C2；
（3）是否存在点E，使△ ACE和△ ACB全等？若存在，直接写
出所有点E的坐标。
【结论】轴对称变换的作图的步骤是：①
求特殊点的坐标；②描点；③连线.
知识梳理
例3：在平面直角坐标系中，已知点
A（ − 3，1），B（ −
1，0），C（ − 2， − 1），请在下图中画出△ ABC，并画出与
分别为何值.
（1）A、B关于x轴对称；
（2）A、B关于y轴对称。
知识梳理
例2：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点横坐标不变、纵坐标互为
相反数可得
2m + n = 1
=1
，解得
− = −2
= −1
（2）根据关于y轴对称点的坐标特点纵坐标不变、横坐标互为
2m + n = −1
= −1
又∵点P（m，n），关于y轴的对称点的坐标为（1，b）
∴m=-1，n=b.
∴m=-1，n=2，故m+n=1.
知识梳理
例4：若点A（m + 2，3）与点B（ − 4，n + 5）关于y轴对称，则
m+n= 0 .
+2=4
=2
根据
；解得
；故m + n = 0

【教学目标】
1.在平面直角坐标系中，会画出关于x轴、y轴对称的点，进而探求关于x轴、y轴对称点的坐标规律.
2.通过找关于坐标轴对称的点之间的规律，以及在验证规律正确的过程中，培养学生语言能力、观察能力、归纳能力，养成良好的科学研究方法.
3.在找点与绘图的过程中，发展学生数形结合的思维意识，使学生形成数形结合的思想.
【板书设计】
画轴对称图形(1)
1.作轴对称图形的基本特征：……贴剪纸用
2.作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤：
(1)找点；(2)画点；(3)连线.
【教学反思】
本节课体现了以学生为主体，学生自己动手操作、演示，自己在画图中总结规律，学生动手、动口说得多，老师主要是以引导、启发为辅.
第2课时 画轴对称图形（2）
C(8，－5)
D(0，－1)
E(4，0)
关于x轴对称
关于y轴对称
3. 已知点P(2a＋b，－3a)与点P′(8，b＋2).
若点P与点P′关于x轴对称，则a＝________，b＝________.
若点P与点P′关于y轴对称，则a＝________，b＝________.
4.教师：接下来，我们一起来看看利用关于坐标轴对称的点的坐标变换规律，是否可以作出与一个图形关于x轴或y轴成轴对称的图形.
以北京地图为例引出新课，既可以激发学生的兴趣，又可以让学生感受到用坐标描述对称的重要性.
二、师生互动，探究新知
如图，在平面直角坐标系中你能画出点A(2，3)关于x轴、y轴的对称点吗？
说出你是怎么操作的？这么操作的依据是什么？
教师活动：出示点关于x，y轴对称点的坐标特点，进行知识小结.
强化结：关于坐标轴对称的点的坐标变换规律：
三、运用新知，解决问题

模块一对轴对称的初步认识轴对称图形两个图形成轴对称直观认识：直观认识：定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。

注意：轴对称图形指的是一个图形是轴对称图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形。

因此，轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，但是两个图形成轴对称只有一条对称轴。

模块二“将军饮马”问题“将军饮马”问题比较经典，在考试中出现的频率特别的高，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”问题和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试或者是考查比较难得“将军饮马”问题，考试的方法通常都是“将军饮马”的做法，综合考察。

模型I：最小问题ABlP'P•••ABP••••ABP••••ADPB2P•••OC1POA'C CEDF D BOABCPD'P模型II ：最大问题PB AlPB'B Al模块三 常见轴对称的模型角平分线模型：角平分线的中心思想应该是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种。

但是在这三种中，同学们在运用的过程中，往往第二种辅助线方式同学们最容易出错，因为在出现第二种情况时，同学们往往看不出来；第三种做法最能体现轴对称的本质。

翻折模型：其实可以这样说，翻折就是轴对称，轴对称就是翻折，而涉及到翻折往往不是单一考察，会和特殊四边形、一次函数中的图形结合考察，考察比较全面。

通常情况下，和四边形结合，会考察求边倒角，而和一次函数结合，让你求点坐标，考察比较综合。

【教师备课提示】模块三是为了让孩子们复习回忆以前学过的知识，所以老师可以略讲，重点是让孩子们练习。

（1）如图1-1，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB CD=，有下面的结论：①AB CD∥；②AC BD⊥；③AO OC=；④AB BC⊥，其中正确的结论有_______．（2）（成外）如图1-2，ABE△和ACD△是ABC△分别沿着AB，AC边翻折180︒形成的，若130BAC∠=︒，则EFC∠的度数是________．ODCBAlFEDCBA图1-1 图1-2（1）①②③；（2）100︒．【教师备课笔记】这道题主要考察轴对称的性质，对应边和对应的角度相等．在正ABC△内取一点D，使DA DB=，在ABC△外取一点E，使BDE DBC∠=∠，且BE BA=，求BED∠．AB CEDAB CED如图所示，连接DC．因为AD BD=，AC BC=，CD CD=，则ADC BDC△≌△，故30BCD∠=︒．而DBE DBC∠=∠，BE AB BC==，BD BD=，因此BDE BDC△≌△，故30BED BCD∠=∠=︒．【教师备课提示】这道题主要是让大家找到对称的感觉，实际上给我们的很多图实际是就是很多是轴对称，但是需要自己去添加辅助线去找到．模块一对轴对称的初步认识如图，已知60ABD ACD∠=∠=︒，且1902ADB BDC∠=︒-∠．求证：ABC△是等腰三角形．ABCDABCED延长BD到E，使得DE CD=，连接AE．∵1902ADB BDC∠=︒-∠，∴2180ADB BDC∠+∠=︒，即180ADC ADB∠+∠=︒．∵180ADE ADB∠+∠=︒，∴ADC ADE∠=∠，∵CD DE=，AD AD=，∴(SAS)ADC ADE△≌△，∴60ACD E∠=∠=︒，AC AE=，∵60ABD ACD∠=∠=︒，∴ABD E∠=∠，∴AB AE=，∴AB AC=∴ABC△是等腰三角形．（1）如图4-1，在ABC△中，90ACB∠=︒，以AC为一边在ABC△外侧作等边ACD△，过点D作DE AC⊥，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，15cmAB=，9cmBC=，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若PBC△的周长最小，则最小值为（）．A．21cm B．22cm C．24cm D．27cm（2）已知如图4-2，正方形ABCD的边长为3，E在BC边上，且1EC=，P是BD上一动点，则PE PC+的最小值（）．A．5B．11C．13D．15 PFEDC PEDCBA模块二“将军饮马”问题E'PECBA（1）C ；（2）C ．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型只有一个动点的情况，常考．（1）（四川竞赛改编）如图5-1所示，在等腰Rt ABC △中，3CA CB ==，E 是BC 上一点，满足2BE =，点P 是斜边AB 上任意一点，PC PE +的最大值和最小值分别记作s 和t ，求22s t -的值．（2）（全国初中联赛）如图5-2，设正ABC △的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA PM +的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22s t -的值．AB CE PABC MP图5-1 图5-2（1）226610s t -=+找点E 关于AB 的对称点'E ，连接'BE 、'PE ，所以''PC PE PC PE CE +=+≥， ABC △为等腰直角三角形， 45ABC ∴∠=︒，'90CBE ∴∠=︒当且仅当C 、P 、'E 三点共线时，PC PE +的值最小， 该最小值为222313+=．当点P 在AB 上移动时，极限情况在A 和B 位置. 当点P 位于点A 时，310PC PE AC CE +=+=+， 当点P 位于点C 时，5PC PE BC BE +=+=． 故PC PE +的最大值为310+．故226610s t -=+．（2）作点M 关于BC 的对称点'M ，连接'AM 、'PM ． 由点M 、'M 关于BC 对称可知，'PM PM =． 故''PA PM PA PM AM +=+≥ 当且仅当A 、P 、'M 共线时， 等号成立，故22(')7t AM ==．MPCBA另外两个临界位置在点B 和点C 处．当点P 位于点C 处时，23PA PM AC CM +=+=+； 当点P 位于点B 处时，3PA PM AB BM +=+=． 故22(23)743s =+=+，2243s t -=．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中只有一个动点的情况，而且是考察一个动点的最大和最小情况，关键是轴对称．（1）（2013-2014武侯区统考）在锐角三角形ABC 中，32BC =，45ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM MN +最小值是______________．（2）如图，30AOB ∠=︒，2OC =，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ，使得CM MN +最小，求出此最小值．CB AMN OC'ON MAB C（1）3；（2）如图所示，易得3CM MN +≥．（1）如图7-1，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．A BOPNMABO''P P'P NM（2）若60AOB =︒∠，其它条件不变，则PMN △的最小周长是多少．（1）分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''， 连接OP '、OP ''、P P '''、'P M 、"P N ，显然PMN △的周长，PM MN PN P M MN P N '''++=++， 由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥， 故PMN △的最小周长为P P '''，∵30AOB =︒∠，3OP OP OP '''===， ∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=，PMN △的最小周长为3．（2）33．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中有两个动点的情况，关键是轴对称，注意这个题我们从（1）中还可以得到不论P 在角内部的什么地方，以O ，P '、P ''为顶点的三角形始终是等边三角形．在ABC △中，45A =︒∠，7AB =，42AC =，点D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的动点，求DEF △的最小周长．BA E FDCD''D'FE DCBA285442543NMA BC当点D 固定时，分别作点D 关于AB 、AC 的对称点D '、D ''，应用上面结论可得DE EF DF D E EF FD D D ''''''++=++≥， ∵45A =︒∠，∴AD D '''△是等腰直角三角形，2D D AD '''=，故2DE EF DF AD ++≥，当AD 最小时，即AD 为ABC △的高，且D '、E 、F 、D ''四点共线，DEF △的周长最小为2AD ．求高AD 如图所示．最小周长为2825．（此三角形即为著名的垂足三角形）【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中三个动点的问题，属于难题．如图，I是ABC△的内心（三角形三条角平分线的交点），且CA AI BC+=．若80BAC∠=︒，求ABC∠和AIB∠的大小．B ACIB ACID40︒40︒20︒因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题变得容易解决．如图，在BC上取点D，使CD AC=，连接DI．因为CA AI BC+=，所以BD AI=．在ACI△和DCI△中，AC DC=，ACI DCI∠=∠，CI CI=．所以ACI DCI△≌△．于是AI DI=．所以DI BD=．因为80BAC∠=︒，所以40CAI∠=︒，40CDI∠=︒．又CDI∠是等腰BDI△的外角，所以1202DBI DIB CDI∠=∠=∠=︒，40ABC∠=︒．在AIB△中，40BAI∠=︒，20ABI∠=︒，所以180(2040)120AIB∠=︒-︒+︒=︒．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接DE、AE，将DEC△沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．（1）求证：BE AF=；（2）如果9AB=，:1:4EC BE=，求线段DE的长．（1）AB CD DF==，90ABE DFA==︒∠∠，AEB DAF=∠∠，∴ABE DFA△≌△，∴BE FA=（2）∵ABE DFA△≌△，∴AE DA=，设CE x=，则4BE x=，5BC BE CE x=+=，5AE AD BC x===，在ABE△中，222AB BE AE+=，2229(4)(5)x x∴+=，解得3x=，∴3CE=，又9CD AB==，∴22310DE CE CD=+=．模块三常见轴对称的模型FE CBDA已知：三点(3,1)A 、(4,1)B 、(6,0)C ，点P 为x 轴上一动点． （1）当OAP △与CBP △周长的和取得最小值时，求点P 的坐标； （2）求证：45AOC BCO ∠+∠=︒；（3）当35APB ∠=︒时，求OAP PBC∠+∠度数．P yxO 1234561232121A BC备用图y xO 1234561232121ABC备用图y xO 1234561232121A BC（1）如图1，作点A 关于x 轴的对称点A '，可得(3,1)A '-． 连接'A B 交x 轴于点P ．设直线A B '的解析式为()0y kx b k =+≠， 可得此直线的解析式为27y x =-． 当0y =时， 3.5x =．当AP BP +取得最小值时，可得OAP △与CBP △周长的和取得最小值，此时， 点P 的坐标为(3.5,0)．（2）如图2，设AA '交x 轴于点K ，连结A B '、A C '．则(3,0)K ，∴3OK CK ==，1AK A K '==，10OA CA '==， ∴OKA CKA '△≌．∴AOK A CK '∠=∠．∵(3,1)A '-，(4,1)B ，(6,0)C ，∴5A B BC '==，图1图2又∵A C '=222A C AB BC ''=+， ∴A BC '△为等腰直角三角形． ∴45BCA BCO A CO ''∠=∠+∠=︒， ∵AOC A CO '∠=∠， ∴45AOC BCO ∠+∠=︒．（3）当35APB ∠=︒时，()()360OAP PBC AOC BCO APO BPC ∠+∠=︒-∠+∠-∠+∠ 36045(18035)170=︒-︒-︒-︒=︒．【教师备课提示】这道题属于综合题，实际上相当于把将军饮马模型放到了坐标系中，和一次函数想结合，这种问题是学生们拉开差距的题型，因此希望通过这道题培养和锻炼孩子们的代几综合能力．（1）下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）•A．B．C．D．（2）一个汽车车牌在水中的倒影如图，该车的车牌照号码是（）A．WJ0103922 B．2593010WJC．WJ0103625 D．WJ0103925（1）D；（2）C.如图2-1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若1234∠=∠=∠=∠，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2-2，图2-3，图2-4中，四边形ABCD为矩形，且4AB=，8BC=．（1）在图2-2、图2-3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．（2）求图2-2，图2-3中反射四边形EFGH的周长．（3）如图2-4，请你猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明．图1ABGHHGFEDCBA4321FPENHQGM AB图2FEDCBA图2-1 图2-2模块一对轴对称的初步认识AB CDEF图3图42431HGFEDCBA图2-3 图2-4（1）如图所示（2）图2：853：85（3）连接BD，延长HG、CD交于点M，图2 图3AB CDEFGHHGFEDCBA4321MHGFEDCBA∵四边形ABCD是矩形，∴AB CD∥，∴3M∠=∠，又∵23∠=∠，∴2M∠=∠，∴EF GH∥，同理EH FG∥，∴四边形EFGH是平行四边形，∴GF HE=，又14∠=∠，GDF EHB∠=∠，∴GDF EHB△≌△，∴DF BH=，∵12∠=∠，∴1M∠=∠，∴GF GM=，又∵GD FM⊥，∴DF DM=，∴BH DM=，又∵BH DM=，∴四边形BDMH是平行四边形，∴BD MH MG HG FG HG==+=+，同理EH EF BD+=，∴2EFGHC BD=，为定值．【教师备课提示】这道题主要是考察关于轴对称的创新题，考察和锻炼学生们的思维和对新定义知识的理解接收能力．（1）如图3-1，已知A、B两村分别距公路l的距离'10kmAA=，'40kmBB=，且''50kmA B=．在公路l上建一中转站P使AP BP+的最小，则AP BP+的最小值为（）A．100km B．80km C．60km D．502km （2）如图3-2，正方形ABCD中，8AB=，M是DC上的一点，且2DM=，N是AC 上的一动点，求DN MN+的最小值与最大值．BlAP'B'AA DNMB C图3-1 图3-2（1）D；（2）找点D关于AC的对称点，由正方形的性质可知，B就是点D关于AC的对称点，连接BN、BM，由DN MN BN MN BM+=+≥可知，当且仅当B、N、M三点共线时，DN MN+的值最小，该最小值为226810+=．当点N在AC上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM与AC的交点，即DN MN+取最小值时；当点N位于点A时，8217DN MN AD AM+=+=+；当点N位于点C 时，8614DN MN CD CM+=+=+=．故DN MN+的最大值为8217+．（1）如图，正方形ABCD的边长是4，DAC∠的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ PQ+的最小值是________．（2）已知30AOB∠=°，点P在AOB∠内部，1P与P关于OB对称，2P与P关于OA对称，则1P、O、2P三点确定的三角形是（）．A．直角三角形B．等腰直角三角形C．腰底不等的等腰三角形D．等边三角形（1）22；（2）D．模块二“将军饮马”问题A DECQP如图所示，已知Rt ABC △中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为（ ）．A．125 B．245C ．5D ．6FEDCBAF"F'C'A'FEDCB A如图所示，DE EF FD ++的最小值为F F '''，且当F F AC ''''⊥时，F F '''去最小值，故选B ．如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．321EBADC321FE BADC如右图延长CE 、BA 相交于点F ，在BEC △和BEF △中12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△；∴12CE EF CF ==；∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠°同理390F ∠=-∠°；∴13∠=∠；∴ABD ACF △≌△；∴BD CF =；∴12CE BD =．模块三 常见轴对称的模型。

思考
如果有一个图形和一条直线，如何画 出这个图形关于这条直线对称的图形呢？
例1 如图，已知△ABC 和直线l，画出与 △ABC关于直线l 对称的图形． B
C A
l
画法：（1）如图，过点A 画直
线l 的垂线，垂足为点O，在垂线上 B
截取OA′=OA，点A′就是点A 关
C
于直线l 的对称点；
A
（2）同理，分别画点B，C 关
13.2 画轴对称图形
第1课时 作轴对称图形
R·八年级上册
新课导入
你们会利用轴对称进行简单的图案设 计吗？今天我们就一起来学习怎样作轴对 称图形.
（1）知道轴对称变换前后的两个图形是全 等的，并且任意一对对应点所连线段被对称 轴垂直平分.
（2）已知一个图形和一条直线，会作出与这 个图形关于这条直线对称的图形.
沿中线折叠
沿高折叠
沿角平分线折叠
随堂演练
1.已知：直线AB与直线A′B′交于点P，并且 这两条直线关于直线l成轴对称，下列说法 正确的是（ ）
C
A.直线AB与直线A′B′的长度不相等
B.直线AB、A′B′与直线l不一定能交于
同一点
C.直线AB、A′B′与直线l一定交于P点
D.点P关于直线l的对称点不存在
于直线l 的对称点B′，C′；
O
l
A′ C′
（3）连接A′B′，B′C′，C所求．
如何验证画出的图形与 △ABC 关于直线l 对称？
画好后，可以 通过折叠的方法 验证一下.
B
C
A
O
l
A′ C′
B′
已知一个几何图形和一条直线，说一 说画一个与该图形关于这条直线对称的图 形的一般方法．

L B
A
A'
A L
A'
B'
B
B' ①
②
练习题：
判断下列画线段MN的轴对称图形，哪一个是正确的（ C）
N1 N （M1）
N （N1）N （M1） M来自以上答案 M1 都不对
M
M
N1
A
B
C
D
图形变式：
已知△ABC，直线L，画出△ABC关于直线
L对称的图L 形。
L
A A'
A A'
C'
B
C C'
B' B
C B'
C1 A1
B1
(1)你可以通过什么方法来验证你 画的是否正确?
(2)和其他同学比较一下，你的方 法是最简单的吗?
做一做 1 如图，已知点 A 和 直线l ，试画出
点A关于直线l的对称点A′并写出画法。
l
. . A
o
A’
作法：1.画AO l于O,
2.延长AO到 A’ , 使A’O = AO, 则点A’即为所求。
做一做 2 如图，已知线段 AB 和 直线l ，试
. 画出线段 AB关于直线l的对称线段并写出画法。
A l
A0 画法：
(1) 作点A的对称点A0 ，
(2) 作点B的对称点B0，
(3) 连结线段A0B0 .
.B0
则线段A0B0即为所求。 B
做一做 3 已知△ABC，直线l，画出△ABC关于
. 直线 l 对称的图形.
巩固练习：
1、在图中分别画出点A关于两条直线的对 称点 A'和A''。
2、画出所示图形关于直线L的对称图形。