重力加速度测量（设计性实验）
【实验目的】
（1）推导单摆测量重力加速度的公式。
（2）掌握单摆测量重力加速度实验的实验设计方法及验证方法。
（3）掌握间接测量量不确定度的计算方法。
（4）了解单摆测量重力加速度实验的主要误差来源。
（5）估算实验仪器的选取参数并设计实验数据记录表格。
【设计实验】
设计性实验的设计过程主要有以下几步：
（1）根据待测的物理量确定出实验方法（理论依据），推导出测量的数学公式；判定方法误差给测量结果带来的影响。
（2）根据实验方法及误差设计要求，分析误差来源，确定所需要采用的测量仪器（包括量程、精度等）以及测量环境应达到的要求（如空气、电磁、振动、温度、海拔高度等）。
（3）确定实验步骤、需要测量的物理量、测量的重复次数等。
（4）设计实验数据表格及要计算的物理量。
（5）实验验证。要用测得的实验数据，采用误差理论来验证实验结果。若不符合测量要求，则需对上述步骤中的有关参数做出适当调整并重做实验，据测得的实验数据进行实验验证，以此类推直到符合要求为止。
设计实验的原则应在满足设计要求的前提下，尽可能选用简单、精度低的仪器，并能降低对测量环境的要求，尽量减少实验测量次数。
【设计要求】
（1）测定本地区的重力加速度，要求重力加速度的相对不确度小于0.5%，即
g 0.5u g ≤%。确
定所需仪器的量程和精度，以及测量参数（摆长和摆动次数）。
（2）本实验是测量重力加速度的设计性实验，但考虑到设计难度、仪器资源的限制等因素，规定其实验方法采用单摆法。
（3）可用仪器有：钢卷尺（1 mm/2 m ，表示最小分度值为1 mm ，量程为2 m ，下同）、钢直尺（1 mm/1 m ）、游标卡尺（0.02 mm/20 cm ）、普通直尺（1 mm/20 cm ）、电子秒表（0.01 s ）、单摆实验仪（含摆线、摆球等）。
【实验内容】
（1）原理分析。写出单摆法测量公式完整的推导过程及近似要求，并画出原理图（查阅相关书籍及网站）。
（2）误差分析。分析实验过程中的主要误差来源并估算。
（3）不确定度的推导与计算。
（4）估算实验参数（摆长和摆动次数）。
（5）设计实验步骤与数据表格。
（6）实验与验证。
【设计提示】
（1）用单摆测量重力加速度，单摆的振幅很小（＜5︒）时，其周期T 为
2T = （4.10.1） 式中 l —— 单摆的摆长；
g —— 重力加速度。
由上式可得：
g
L T 22
4π= （4.10.2） （2）摆的振动周期T 和摆角θ之间的关系，经理论推导可得
.......]2
sin )4231(2sin )21(1[22220+⨯⨯++=θθT T （4.10.3） 式中T 0为接近θ0的周期，即 g
L T π20= （4.10.4） 如果略去2sin 4θ
及其后的各项，则
)2
sin 411(20θ+=T T （4.10.5） （3）重力加速度的大小随着地理纬度和海拔高度而改变。此外，由于地球内部密度的非均匀分布，导致某些地区有重力异常现象。
（4）提示：由2
24T L g π=，可写出g 的相对不确定度u g /g 的表示式 21222⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=T u L u g u T L g （4.10.6） 按不确定度的等量分配原则 22g l 12u u l g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ （4.10.7） 22g T 212u u T g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（4.10.8） 在实验之前是无法统计与确定随机误差大小的，所以在设计实验参数时，先暂不考虑不确定度A 类分量，只考虑不确定度B 类分量，即
B u = （5.10.9） （5）估计摆长。在测量摆长时，可能有如下的系统误差：
① 测量所用仪器的仪器误差（∆a 1）。
② 测量时尺子与摆线不平行所造成的误差（∆a 2）。
③ 摆线自身弹性所造成的误差（∆a 3）。
④ 摆球大小、偏心的影响（∆a 4）。
确定测量摆长用的仪器，分别估算出上面各项误差的大小，代入式（4.10.9），算出u l ，再代入式（4.10.7），可得到摆长l 的最小取值，然后根据实际情况并考虑到实验中的随机误差影响，确定出摆长的最终取值。
（6）估计摆动次数。在测量摆动时间时通常只考虑两类误差：计时的仪器误差和人的反应误差。仪器误差（∆t 1）为0.01 s （电子秒表），而反应误差则产生于开始计时和停止计时，通常认为是0.2 s ，因此∆t 2＝∆t 3＝0.2 s （取误差最大情况）。
确定计时所用的仪器，将上述误差代入式（4.10.8），可得摆动的总时间t 。由上面得到的l 估算出周期的大小（估算时g 取为9.8 m/s 2），再利用关系t ＝nT 就可以得到摆动次数n 的下限，同时考虑到实验中的随机误差影响，确定出n 的最终取值。
注意：L 和n 的最终取值应比设计值稍大一些。但不要相差得太多。
【实验思考】
（1）测量单摆的摆长有三种方法：
① 211L L L +=
；② 21d L L +=；③ 22d L L -= 式中 L 1 —— 绳长；
L 2 —— 绳长＋摆球直径。
L 1、L 2用米尺测量，d 用游标卡尺测量，通过误差计算，选何种方法较好？
（2）能不能用普通的手表或电子表来替代秒表测量摆动时间？如果能，那么设计过程该怎么调整？
（3）用实验验证：L 与n 中哪一个对g 的测量结果影响最大。
（4）观察在不同的摆角下所测出的周期与用式（4.10.1）计算的结果相比较，结果说明什么？
