三维计算三角形边角

三角形边角计算公式咱们在数学的世界里，三角形那可是个“常客”，今天就来好好聊聊三角形边角的计算公式。

说起三角形，我想起之前有一次去公园散步，看到几个小朋友在玩拼图游戏，其中就有三角形的拼图。

他们拼得可认真了，还争论着哪个三角形更大，哪个更小。

这让我意识到，对于三角形的理解和计算，从小朋友开始就充满了好奇和探索。

三角形的边角关系中，最基本的公式就是正弦定理和余弦定理啦。

正弦定理是这样的：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径。

用公式表示就是 a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R （其中 R 是三角形外接圆的半径）。

这个定理在解决三角形中的边和角的关系问题时，那可真是“大显身手”。

比如，已知一个三角形的两个角和一条边，要求另外两条边的长度。

这时候，正弦定理就能派上用场。

假设咱们有个三角形 ABC ，已知角A 是 30°，角B 是 60°，边 a 的长度是 5 。

那咱们可以先通过三角形内角和 180°求出角 C 是 90°。

然后根据正弦定理，b/sinB = a/sinA ，即 b / sin60° = 5 / sin30°，通过计算就能得出 b 的长度。

余弦定理也很重要哦！对于任意三角形，有 a² = b² + c² - 2bc·cosA ，b² = a² + c² - 2ac·cosB ，c² = a² + b² - 2ab·cosC 。

举个例子来说，如果知道一个三角形的三条边的长度，想求其中一个角的大小，余弦定理就能帮忙。

比如说有个三角形的三边分别是 a = 3 ，b = 4 ，c = 5 ，要求角 A 的大小。

那咱们就用余弦定理，cosA = (b²+ c² - a²) / (2bc) ，代入数值就能算出 cosA 的值，然后再通过反三角函数就能得出角 A 的度数。

三角形的边角关系定理三角形是初中数学中重要的几何形体之一，它的边角关系定理是我们学习三角形的基础。

在这篇文章中，我将为大家详细介绍三角形的边角关系定理，并通过实例和分析来说明其应用。

希望这些知识对中学生和他们的父母有所帮助。

1. 三角形的内角和定理三角形的内角和定理是指三角形内角的度数之和等于180度。

这个定理对于解决三角形的角度问题非常有用。

例如，我们可以用内角和定理来求解一个已知两个角度的三角形的第三个角度。

假设一个三角形的两个角度分别是60度和80度，那么第三个角度可以通过180度减去这两个角度的和来得到，即180度 - 60度 - 80度= 40度。

2. 三角形的外角和定理三角形的外角和定理是指三角形的一个外角等于其余两个内角的和。

这个定理可以用来求解三角形的外角度数。

例如，如果一个三角形的两个内角分别是60度和80度，那么它的一个外角可以通过将这两个内角相加来得到，即60度 + 80度 = 140度。

3. 直角三角形的边角关系定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是90度。

直角三角形的边角关系定理包括勾股定理和正弦定理。

勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理可以用来求解直角三角形的边长。

例如，如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度可以通过计算3的平方加上4的平方，再开平方根来得到，即√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。

正弦定理是指直角三角形中，正弦值与边长之间的关系。

根据正弦定理，直角三角形中一个锐角的正弦值等于与该角对应的直角边与斜边之间的比值。

这个定理可以用来求解直角三角形中的角度。

例如，如果一个直角三角形的斜边长度是5，而一个锐角的对边长度是3，那么这个锐角的正弦值可以通过计算3除以5来得到，即sinθ = 3/5。

4. 三角形的角平分线定理三角形的角平分线定理是指三角形的内角的平分线相交于三角形的内心，且内心到三个顶点的距离相等。

西安龙文教育一对一授课案教师： 学生： 日期： 星期： 时段：课 题 直角三角形的边角关系学习目标与分析锐角三角函数、特殊角的三角函数、三角函数的应用 学习重点 三角函数的应用及计算 学习方法考点归纳+例题解析+强化训练学习内容与过程教师分析与批改直角三角形的边角关系 第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点） 1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。

即tanA =baA =∠∠的邻边的对边A■例1已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，AD =8，BD =4，求tanA 的值。

2、坡度的定义及表示（难点)我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。

坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lh a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。

的垂直距离为300m ，求山的坡度.3、正弦、余弦的定义在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。

即sinA =ca=∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 。

即cosA =cb=∠斜边的邻边A■例3在△ABC 中，∠C =90°，BC =1，AC =2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。

通过计算你有什么发现？请加以证明。

4、三角函数的定义（重点）锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数。

直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系： （1）三边之间关系：222c b a =+； （2）锐角之间关系：∠A +∠B =90°； （3）边角之间关系：sinA =c a ，cosA =c b ，tanA =ba。

三角形的边角关系定理三角形的边角关系定理是指在一个三角形中，三条边与三个内角之间存在一定的关系。

这个定理可以帮助我们解决与三角形相关的各种问题，例如求解缺失的边长或角度，判断三角形的类型等等。

在研究三角形的边角关系定理之前，我们首先需要了解一些基本的概念。

一个三角形由三条边和三个内角组成。

三角形的内角和为180度，即三个内角的度数之和为180度。

首先，我们来介绍三角形的最基本的边角关系定理——三角形内角和定理。

在任意三角形中，三个角的度数之和等于180度。

也就是说，对于一个三角形ABC来说，∠A + ∠B + ∠C = 180度。

在三角形的边角关系定理中，我们通常还会用到正弦定理和余弦定理。

正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的比值与其对应的角度正弦值的比值是相等的。

即对于一个三角形ABC来说，可以得到以下公式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C其中，a、b、c分别为三角形ABC的三条边的长度，∠A、∠B、∠C为三角形ABC的三个内角的度数。

余弦定理是指在任意三角形ABC中，任意两边的平方和减去它们的连乘积，再减去对应的两倍边长与夹角余弦值的乘积，等于第三边的平方。

即对于一个三角形ABC来说，可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2abcos∠C这个公式在解决三角形相关问题时非常有用，可以帮助我们求解缺失的边长或角度。

三角形的边角关系定理还包括余弦定理的两个变形形式——正弦定理和弦定理。

正弦定理是余弦定理的一个变形形式，利用正弦定理可以帮助我们求解缺失的边长或角度。

正弦定理可以表示为：sin∠A/a = sin∠B/b = sin∠C/c弦定理是余弦定理的另一个变形形式，利用弦定理可以帮助我们求解缺失的边长或角度。

弦定理可以表示为：c/sin∠C = 2R （R为三角形的外接圆半径）在解决三角形问题时，我们可以根据具体情况选择使用三角形的边角关系定理中的哪个公式，以便更加准确地计算出所需要的结果。

三角形的三边关系1．三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．①三角形有三条边，三个内角，三个顶点.②组成三角形的线段叫做三角形的边;③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角简称角;④相邻两边的公共端点是三角形的顶点，⑤三角形ABC 用符号表示为△ ABC ，⑥三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C的小写字母 c 表示，AC 可用b表示，BC 可用 a 表示.1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接2:三角形是一个封闭的图形；3:△ ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义例例 1 图中三角形的个数是( )A．8 B．9 C．10 D．112．三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.1：三边关系的依据是：两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形; 若不满足，则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和例1 ：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( )A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10例2：下列各组条件中，不能组成三角形的是( )A. a+1、a+2、a+3 (a>3)B. 3cm、8cm、10 cmC. 三条线段之比为1:2:3D. 3a、5a、2a+1 (a>1)例3．△ ABC的三边长分别为4、9、x,⑴ 求x 的取值范围；⑵ 求△ ABC 周长的取值范围；⑶ 当x 为偶数时，求x ；⑷ 当△ ABC 的周长为偶数时，求x ；⑸ 若△ ABC 为等腰三角形，求x ．课堂练习1．已知长度为2cm,3cm,4cm,5cm 的四条线段，能组成多少个不等边三角形？2．已知等腰三角形的周长是14 cm ，底边与腰的比为 3 : 2 ，求各边的长.3．在ABC中，AB 9,BC 2，并且AC 为奇数，那么ABC的周长是多少？4．如图， D 是ABC内任意一点，BD 延长线与AC 交于 E 点，连结DC.求证：AB AC BD DC .3．三角形的高、中线、角平分线(1 ) 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。

《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习要求：1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。

会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和 高。

2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。

3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。

4．了解三角形的稳定性。

知识要点：一、三角形中的边角关系1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。

注意：三角形的中线平分三角形的面积。

2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。

3．三角形各角之间的关系：①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。

②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4．三角形的分类①三角形按边的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形②三角形按角的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧∆)()()(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形Rt5．三角形具有稳定性。

知识结构：二、命题与证明1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。

2．命题都可以写成：“如果……，那么……。

”的形式。

为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。

3．命题由题设、结论两部分组成。

“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。

4．命题分为真命题和假命题。

真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。

5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。

备考2019中考数学高频考点剖析专题十六平面几何之三角形边角问题考点扫描☆聚焦中考三角形边角问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括三角形三边关系、三角形中的中点线段、三角形内角和和三角形外角性质等四方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

也有少量的解析题。

解析题主要以涉及到三角形内角和计算为主。

结合近几年全国各地中考的实例，我们从四方面进行三角形边角问题的探讨：（1）三角形三边关系；（2）三角形中点线段；（3）三角形内角和．（4）三角形外角性质．考点剖析☆典型例题2018•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；B、8+8=16，16＞15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确；C、5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；D、6+7=13，13＜14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选：B．2018•贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（）A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．【解答】解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，故选：B．AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】要证EP⊥FP，即证∠PEF+∠EFP=90°，由角平分线的性质和平行线的性质可知，∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，∴∠PEF=∠BEF，∠EFP=∠EFD，∴∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，即EP⊥FP．【点评】本题的关键就是找到∠PEF+∠EFP与∠BEF+∠EFD之间的关系，考查了整体代换思想．2018·台湾·分）如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（）A．174 B．176 C．178 D．180【分析】连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID=∠AIC+∠CID 即可求出∠AID的度数．【解答】解：连接CI，如图所示．在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．∵I点为△ABC的内心，∴∠CAI=∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=∠ACB=28°，∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，又ID⊥BC，∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数．【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．【分析】首先根据四边形内角和为360度计算出∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，再根据∠1=∠2，∠3=∠4计算出∠2+∠3=70°，然后利用三角形内角和为180度计算出∠AOB的度数．【解答】解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC=360°，∠D+∠C=220°，∴∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=70°，∴∠AOB=180°﹣70°=110°．【点评】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握四边形内角和为360°，三角形内角和为180°．考点过关☆专项突破类型一三角形三边关系1. （2018•福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，52. （2018•常德）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．113. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm4.下列各组图形中，AD是的高的图形是( )A B C D5. （2018年江苏省泰州市•3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为．6. 如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，（1）求CD的取值范围；（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．类型二三角形内重点线段1. 下列说法不正确的是（）A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部2．（2018·广西梧州·3分）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．63.（2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= ．4．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．5. 已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．6. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．类型三、三角形内角和1．如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CE∥AB，得到∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，由于∠BCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，这个证明方法体现的数学思想是（）A、数形结合B、特殊到一般C、一般到特殊D、转化2．(2018四川省眉山市2分 ) 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。