广东省湛江市高三数学模拟(二模)试卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z |30A x x =∈-≤，{}1,2B =，则A B ⋃=（）A.{}0,1,2 B.{}2,1,0,1,2-- C.{}2,1,1,2-- D.{}1,0,1,2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意列举法表示集合A ，再根据并集的运算求解即可.【详解】解：由题，{}{}2Z |301,0,1A x x =∈-≤=-，{}1,2B =，则A B ⋃={}1,0,1,2-.故选：D.2.已知复数isin z θθ=+（R θ∈，i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A.2 B.C.3D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数模的公式以及同角三角函数关系得z =，利用三角函数值域即可得到答案.【详解】由题意得z ==当cos 1θ=±时，等号成立，故max z =故选：D.3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为233，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的性质，求出3b a =，求出双曲线的渐近线方程，进而得解.【详解】设双曲线22221x y a b -=的半焦距为c ，因为双曲线22221x y a b -=的离心率为3，所以3c e a ==，解得3c a =，由222+=a b c ，得22222223133b c a a a a ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33b a =，所以渐近线方程为333a b y x x xa a =±=±=±，所以两条渐近线的倾斜角分别为π6和5π6，因为5ππ2π663-=，所以，两条渐近线所夹的锐角为2πππ33-=；即双曲线的两条渐近线的夹角为π3.故选：C.4.已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（）A.5分钟B.10分钟C.15分钟D.20分钟【答案】B 【解析】【分析】求出游客到地面的距离为m y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式，然后解不等式100y >，可得出结果.【详解】设游客到地面的距离为m y ，设y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式为()()sin 0,0y A t b A ωϕω=++>>，则60A =，10A b -+=，可得70b =，函数()sin y A t b ωϕ=++的最小正周期为30T =，则2ππ15T ω==，当0=t 时，游客位于最低点，可取π2ϕ=-，所以，πππ60sin 7060cos 7015215tty ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，由100y >，即π60cos 7010015t -+>，可得π1cos 152t <-，所以，()2ππ4π2π2π3153t k k n +<<+∈N ，解得()30103020k t k k +<<+∈N ，因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟.故选：B.5.现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）A.27π8B.33π8 C.45π8D.55π8【答案】D 【解析】【分析】作轴截面图，求出圆台的母线长，底面半径长，结合侧面积公式可得其解.【详解】作轴截面图如下：ABC 为圆锥的轴截面，点O 为与侧面相切球的球心，点,E F 为切点，由已知，可得4AB BC AC ===，2OE OF ==，60ACB ∠= ，OE AC ⊥，在OEC △中，32OE =，90OEC ∠= ，30OCE ∠= ，所以32OC CE ==，又4AC =，所以52AE =，所以圆台的母线长为52，因为CE CF =，60ECF ∠=o ，所以ECF △为等边三角形，所以32EF =，所以圆台的侧面积3555ππ2428S ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：D.6.已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若π4A =，则AB OC ⋅ 的最大值为（） A.12B.22C.1D.【答案】C 【解析】【分析】由题设易知OB OC ⊥且AB OB OA =- 、AB OC OA OC ⋅=-⋅ ，进而判断AB OC⋅最大时,OA OC的关系即可得答案.【详解】由圆O 是△ABC 的外接圆，且π4A =，故OB OC ⊥，所以AB OB OA =- ，则AB OC OB OC OA OC ⋅=⋅-⋅ ，所以cos ,AB OC OA OC OA OC ⋅=-⋅=- ，故,OA OC 反向共线时AB OC ⋅ 最大，所以max ()1AB OC ⋅=.故选：C7.已知()20232202301220231x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则122023111a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.1-B.0C.1D.20231012【答案】A 【解析】【分析】根据二项式系数的性质可得出()20231100,1,2,,2023k k k a a -+== ，结合此性质可求得122023111a a a ++⋅⋅⋅+的值.【详解】()20231x -的展开式通项为()()()120232023C C 10,1,2,,2023kkk kk k T x x k +=⋅-=⋅-= ，所以，()()2023C 10,1,2,,2023kk k a k =⋅-= ，所以，()()()()2023202322023202320232023202320232023C 1C 11C C 10kkk k k kk k k k a a -----⎡⎤+=⋅-+⋅-=-⋅+⋅-=⎣⎦，所以，()20231100,1,2,,2023k k k a a -+== ，且01a =，所以，122023012202311111111a a a a a a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭020231202210111012011111111a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故选：A.8.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c>> B.b a c>> C.b c a>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（）A.平面α内存在直线l 与直线m 平行B.平面α内存在直线l 与直线m 垂直C.存在平面γ与直线m 和平面α都平行D.存在过直线m 的平面β与平面α垂直【答案】BD 【解析】【分析】利用反证法可判断A 选项；对直线m 与α的位置关系进行分类讨论，结合图形可判断B 选项；利用图形可判断C 选项；利用面满垂直的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若直线m 与α相交，且平面α内存在直线l 与直线m 平行，由于m α⊄，则//m α，这与直线m 与α相交矛盾，假设不成立，A 错；对于B 选项，若m α⊂，则在平面α内必存在l 与直线m 垂直，。

广东省湛江市高三模拟测试（二）数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（）A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】设则即故解a=3,b=4,则复数在复平面内对应的点在第一象限故选：A2.已知全集，则集合的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题=, 则集合,故其子集个数为故选：C3.已知实数是给定的常数，函数的图像不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当m=0,C符合题意，当m≠0>0,设的两根为则<0,则两个极值点异号，则D不合题意，故选:D.4.平行四边形中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题则（）（）=故选：B5.设分别为离心率的双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于两点，若四边形的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题,故渐近线方程为以为直径的圆的方程为，联立，得y=,由双曲线与圆的对称性知四边形为平行四边形，不妨设则四边形的面积S=得ac=,又，得a=1,c=故选：A6.现有甲班四名学生，乙班三名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有人，且必须参加的方法有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】由题按甲乙班参加人数分情况讨论如下：若甲班1人，乙班3人，共1种方法；若甲班2人，乙班2人，共种方法；若甲班3人，乙班1人，共种方法；故甲、乙两班每班至少有人，且必须参加的方法有1+9+9=19种故选：D7.在中，内角所对的边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵a cos B＝（4c﹣b）cos A．∴sin A cos B＝4sin C cos A﹣sin B cos A即sin A cos B+sin B cos A＝4cos A sin C∴sin C＝4cos A sin C∵0＜C＜π，sin C≠0．∴1＝4cos A，即cos A，则故选：A．8.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的共有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】由题设a=3m+2=5n+3,m,n,则3m=5n+1当m=5k,n不存在；当m=5k+1，n不存在当m=5k+2,n=3k+1，满足题意当m=5k+3,n不存在；当m=5k+4,n不存在；故2≤a=15k+8≤2019,解,k∈Z,则k=0,1,2…134,共135个故选：C.9.已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：①若，则；②若，且，则；③若，则；④，则.其中真命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对①若，则或m,n异面，故错误；对②，由线面平行的判定定理知：若，且，则，正确对③，若，则则，正确对④，设在面内任取点O,作OA OB由，得OA OB 故OA OB则又，正确综上真命题的个数是3个故选：C.10.把函数的图像向左平移个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x-）]＝故选：B．11.已知直线不过坐标原点，且与椭圆相交于不同的两点的面积为，则的值是（）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】由题直线斜率k不存在时，设直线x=t>0，则A(t,), B(t,),S= ,解t=则k存在时，设，与椭圆联立得,，点O到直线l的距离d=得，即①又=将①代入得故选：B12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知单调递增，，则，故为奇函数，当时，不等式恒成立等价为即恒成立，故在时恒成立当x=0时，0恒成立，a当x>0时，,设则设则单增，又，则当0<x<1,当x>1,故即，故单调递增，当x ,故，综上故选：C二、填空题13.已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．【答案】【解析】则又故切线方程为y=x+1故答案为y=x+114.若实数满足不等式组，且的最小为，则实数______．【答案】【解析】画出可行域如图阴影部分所示：当过A 时取得最小值，联立得A ,则，解m =故答案为15.设，且，则______．【答案】【解析】故tan又=故，则16.圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角大小为的扇形.正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____． 【答案】【解析】设圆锥的母线长为l ,圆锥底面周长为=圆锥高为设正四棱柱的底面边长为2a ,高为h ,则得正四棱柱体积V =,设=令得当,故的最大值为故答案为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）设，求.解：（1）当时，当时，满足上式，（2）由可得18.三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且为中点，如图.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值. （1）证明：是等腰直角三角形，为中点，平面平面平面平面（2）解：平面为二面角的平面角，为等边三角形，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则设平面的法向量，则即取设与平面所成角为，则故平面所成角的正弦值为.19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：参考公式：回归直线的方程是：，其中，.（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望. 解：（1）所以月支出关于月收入的线性回归方程是：（2）可能取值为故的分布列为：数学期望.20.已知动圆过定点，且和直线相切，动圆圆心形成的轨迹是曲线，过点的直线与曲线交于两个不同的点.（1）求曲线的方程；（2）在曲线上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）设动圆圆心到直线的距离为，根据题意，动点形成的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，抛物线方程为.（2）根据题意，设，直线方程为，代入抛物线方程，整理得的若设抛物线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点，设，则，同理可得解得在曲线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.21.已知正实数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若在内有解，求的取值范围.解：令，解得当时，即时在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；当时，即时，函数在定义域上单调递增；当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减. 综上所述，当时，在上，函数单调递增；在上，函数单调递减；当时，函数在定义域上单调递增；当时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减.（2）若在内有解，则由（1）可知，当，即时，，函数在上单调递增，，解得；当，即1<a <2时，在时，，函数在上单调递减，在时，，函数在上单调递增，令，函数在上单调递增.恒成立，当，即时，，函数在上单调递减，不成立，综上所述：.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，点，直线（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于点，求的值.解：（1）又曲线的直角坐标方程为：（2）将直线的参数方程化为标准形式为：（为参数），代入曲线方程，得恒成立23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）解不等式； （2）若对于任意恒成立，求实数最小值，并求当取最小值时的范围. 解：（1） 当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得.综上可得，原不等式的解集为. （2）若恒成立，则恒成立，又最小值为..的此时解得.。

2021届广东省湛江市高三下学期二模数学试题一、单选题 1．已知复数151iz i-=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．2-C ．2iD ．2i -【答案】B【分析】根据复数的除法运算求解即可. 【详解】因为()()()()1511532111i i i z i i i i -+-===---+， 所以复数z 的虚部为2-， 故选：B2．已知a b >，则（ ） A ．ln ln a b > B ．22a b >C ．22a b >D ．11a b -->【答案】C【分析】由23>-时，可判定A ，B 错误；由21>时，可判定D 错误；根据指数函数2x y =的单调性，可判定C 正确.【详解】对于A 、B 中，例如：23>-时，可得A ，B 错误； 对于D 中，例如：21>时，1121--<，所以D 错误；对于C 中，因为指数函数2xy =是R 上的增函数，由a b >，可得22a b >，所以C 正确. 故选：C.3．()()()2342340123413121x x x a a x a x a x a x +++++=++++，则01234a a a a a ++++=（ ）A ．49B ．56C ．59D ．64【答案】C【分析】令1x =，可得各项系数和.【详解】令1x =，()()()2340123413121159a a a a a ++++=+++++=. 故选：C.用.若2012()n n f x a a x a x a x =++++，则展开式中：(1)各项系数之和为(1)f ； (2)024(1)(1)2f f a a a +-+++=；(3)135(1)(1)2f f a a a --+++=.4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为23的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．16B ．163C ．183D ．21【答案】D【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，故()1122113363123232133222V S S S S h ⎛⎫=++=⨯++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D5．函数()2221x xf x x --=+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项进行排除，由此确定正确选项． 【详解】()()f x f x =--，故A 错误；()31242f =>，故B ，C 错误． 故选：D6．在90A ∠=︒的等腰直角ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，BC AF CE λμ=+，则λ=（ ）A ．23-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】A【分析】以A 为原点建立直角坐标系，设直角边长为2，写出各点坐标，计算可得λ的值.【详解】以A 为原点建立直角坐标系，设()2,0B ，()0,2C ，则()1,1F ，()1,0E ，则()2,2BC =-，()()()1,11,2,2AF CE λμλμλμλμ+=+-=+-，所以222λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，所以23λ=-.故选：A7．已知F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为（ ） A 5B ．12C ．33D ．22【答案】A【分析】求得过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线，利用圆心到此直线的距离列方程，化简求得离心率.【详解】过椭圆C 的下顶点()0,b -且斜率为34的直线方程为33,044y x b x y b =---=， (),0F c，由点到直线距离公式，得c =，即2232c bc b =+，()()220c b c b -+=，则20,2c b b c -==. 又222a b c =+，即()222225a c c c =+=，解得c a =故选：A8．已知函数()21xf x x ea -=-有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．220,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】先分离参数，再将零点问题转化成两个函数的交点问题来求解即可． 【详解】由21210x x x e a a x e ---=⇒=， 设()21xg x x e-=，()()12xg x ex x -'=-，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<， 当()0,2x ∈时，()0g x '>， 当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减， 故()00g =，()42g e=， 因为函数()21xf x x e a -=-有三个零点，故40a e<<．故选：B二、多选题9．某学校组织学生参加劳动实践，学生需要手工制作一种模具，劳动实践结束后，学由以上统计结果，下列判断正确的是（ ） A ．男生制作合格品个数的方差更大B ．女生制作合格品个数的分布更接近正态分布.C ．男生制作合格品个数的分布更接近正态分布D ．该班女生制作合格模具的平均能力要低于男生 【答案】ACD【分析】根据茎叶图中男生组的数据和女生组的数据分布情况，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：对于A ，由茎叶图中数据知，男生组的数据较为分散，波动性大，所以方差大，女生组的数据比较集中，波动性小，方差小，所以选项A 正确；对于B ，女生组的数据比较集中，但对称性不高，不接近于正态分布，所以选项B 错误；对于C ，男生组的数据较为分散，但对称性好，更接近于正态分布，所以选项C 正确；对于D ，男生组的数据分布在20左右，女生组的数据集中在10～20，所以女生组数据的平均值小于男生组，选项D 正确． 故选：ACD ．10．已知集合{}23180A x x x =∈--<R ，{}22270B x x ax a =∈++-<R ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若A B =，则3a =- B ．若A B ⊆，则3a =- C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥ D ．若BA 时，则63a -<≤-或6a ≥【答案】ABC【分析】求出集合A ，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断． 【详解】{}36A x x =∈-<<R ，若A B =，则3a =-，且22718a -=-，故A 正确.若A B ⊆，则()()2233270a a -+⋅-+-≤且2266270a a ++-≤，解得3a =-，故B 正确.当B =∅时，()224270a a --≤，解得6a ≤-或6a ≥，故C 正确. 故选：ABC ． 11．已知函数()cos 21sin xf x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π+=-B ．()f x的最大值为4-C ．()f x 是奇函数 D ．()f x 的最小值为12-【答案】AB【分析】由()()cos 2cos 2,1sin 1sin x xf x f x x xπ+-=-=-，可判定A 正确；由()2cos 212sin 1sin 1sin x xf x x x-==++ 1422sin 1sin x x ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，集合基本不等式，可判定B 正确；由函数奇偶性的定义，可判定C 不正确；由π132f ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，可判定D 不正确. 【详解】由题意，函数()cos 21sin xf x x=+，可得()()()()()()cos 2cos 2cos 2,1sin 1s cos 21si in n n 1si x x x xf x f x x x x xπππ+-+=-==+-+--=+，所以A正确；由()2cos 212sin 1422sin 41sin 1sin 1sin x x f x x x x x -⎛⎫===-++≤- ⎪+++⎝⎭，当且仅当sin 12x =-时等号成立，故B 正确； 由()()()cos 2cos 21sin 1sin x xf x x x--==+--，所以()()f x f x -≠-，所以C 不正确；由2π1cos π132π321sin 3f ⎛⎫--⎪⎛⎫⎝⎭-===-<- ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，所以D 不正确.12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，112n n na a +=⋅，则（ ）A ．数列{}n a 是等比数列B ．1n n a a +≤恒成立C ．3n S <恒成立D ．2n S ≤恒成立【答案】BC【分析】根据条件写出12112n n n a a +++=⋅，两式作比可得212n n a a +=，为隔项等比数列，由112nn n a a +=⋅，代入1n =计算可得212a =，代入212n n a a +=可求出通项公式，进而求出前n 项和公式，从而判断选项的正误. 【详解】11211122n n n n n n a a a a ++++=⇒=⋅⋅，故212n n a a +=，又11a =，故212a =， 故1221,2121,22n n nn k a n k -⎧⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎩，k *∈N ，所以A 错误，B 正确； 32213,212133,22n n nn k S n k-⎧⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，k *∈N ，所以C 正确，D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：数列中出现1,n n a a +两项的和或积时，经常令1n +代替n 再写一项，两式做差或做商，从而找出隔项的关系，进而求出通项公式.三、填空题13．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线C 上一点，且12π2F PF ∠=，12F PF △的面积为2a ，则双曲线C 的渐近线方程为【答案】0x y ±=【分析】利用双曲线的定义和勾股定理可求得2122PF PF b ⋅=，再利用三角形的面积公式可得出a b =，进而可得出双曲线C 的渐近线方程. 【详解】122PF PF a -=，222124PF PF c +=，则2222221212122444PF PF PF PF PF PF c a b ⋅=+--=-=，所以，2122PF PF b ⋅=，因为122F PF π∠=，所以，12221212F PF S PF PF b a ===△，可得a b =. 因此，双曲线C 的渐近线方程为by x x a=±=±，即0x y ±=. 故答案为：0x y ±=.【点睛】方法点睛：双曲线中的焦点三角形：双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 构成的12PF F △称为焦点三角形，在处理双曲线中的焦点三角形问题时，可结合双曲线的定义122PF PF a -=以及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等）来求解.14．现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为______. 【答案】13【分析】3个班分5个名额，每班至少一个有2种情况：一个班分3个，其余各分1个；2个班各分2个，另一个班分一个，求得总数，然后再求甲分到2个名额的数目即可. 【详解】3个班分5个名额，每班至少一个有2种情况：一个班分3个，其余各分1个；2个班各分2个，另一个班分一个，则分配的总数为12336C C +=，甲班恰好分配到两个名额，则余下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法， 所以甲班恰好分配到两个名额的概率为2163= 故答案为：1315．在三棱锥D ABC -中，ABC 是以A ∠为直角的等腰直角三角形，DBC △是边长为2的等边三角形，二面角A BC D --的余弦值为D ABC -的【答案】8π【分析】作出三棱锥的外接球，找到其球心，根据题干条件找到外接球半径与已知边，角的关系，从而求得外接球半径，即可得到外接球表面积.【详解】如图，设BC的中点为E，过点E作平面ABC的法线EO，过BCD△的重心F作平面DBC的法线FO，EO与FO交于点O，则O为三棱锥D ABC-的外接球的球心.又1333EF DE==，6cos3DEA∠=-3cos3FEO∠=.又3cos3EFFEOOE∠==，所以1OE=，28π.故答案为：8π.【点睛】关键点点睛：找到球心与边长，角度的关系，在直角三角形中求得外接球半径.四、双空题16．写出一个以()1,0为对称中心的偶函数______，该函数的最小正周期是______.【答案】()πcos2f x x= 4【分析】偶函数又有周期的可考虑余弦型函数，注意对称中心即可．【详解】只要写出符合条件的函数即可，如()πcos2f x x=，该函数的最小正周期是4.故答案为：()πcos2f x x=；4．（答不唯一）．17．如图，在平面四边形ABCD 中，5π6DAB ∠=，π4ADC ∠=，222AB AC ==，1CD =.（1）求cos ACD ∠的值； （2）求BC 的值. 【答案】（126-（214【分析】（1）先由正弦定理求得CAD ∠，根据三角形内角和求出ACD ∠，从而求得cos ACD ∠；（2）由（1）可知2π3BAC ∠=，再结合余弦定理即可求得结果． 【详解】（1）由正弦定理，得sin sin AC CDADC CAD=∠∠，21sin 2CAD =∠.所以1sin 2CAD ∠=，故π6CAD ∠=.所以ππππcos cos πcos 6464ACD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∠=-+=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππππ26cos cos sin sin 6464-=-+=. （2）由（1）可知π6CAD ∠=，所以2π3BAC ∠=. 由余弦定理，得2222π2cos 143BC AB AC AB AC =+-⋅⋅=， 所以14BC =18．已知：数列{}n a 中，11a =，22a =，2144n n n a a a ++=-，n *∈N . （1）证明数列{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；【答案】（1）证明见解析，12n n a -=；（2）()121nn T n =-+.【分析】（1）化简递推关系可得211220n n n n a a a a +++-=-=，即可证明并得到通项公式；（2）根据错位相减法求和即可.【详解】（1）证明：由2144n n n a a a ++=-，得()211222n n n n a a a a +++-=-． 又2120a a -=，所以211220n n n n a a a a +++-=-=．故12n na a +=，所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列． 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）解：由n n b na =，得12n n b n -=⋅，01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅， ①2321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅， ②由①－②得()23112122222212112nn nn n n T n n n ---=+++++-⋅=-⋅=----，则()121nn T n =-+．【点睛】关键点点睛：根据递推关系式2144n n n a a a ++=-得出211220n n n n a a a a +++-=-=是解题的关键，属于中档题.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB ==，2BC =，E ，P 分别是11B C 和1CC 的中点，点F 在棱11A B 上，且12B F =.（1）证明：1//A P 平面EFC ；（2）若1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，求二面角P CF E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）9214. 【分析】（1）证明线线平行，从而推出线面平行.（2）利用题设得三条两两垂直的线段，建系求平面法向量，利用法向量夹角求所求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：如图，连接1PB 交CE 于点D ，连接DF ，EP ，1CB .因为E ，P 分别是11B C 和1CC 的中点，故11//2EP CB ，故112PD DB =. 又12B F =，113A B =，故1112A F FB =，故1//FD A P . 又FD ⊂平面EFC ，所以1//A P 平面EFC .（2）由题意知AB ，BC ，1BB 两两垂直，以B 为坐标原点，以1BB 的方向为z 轴正方向，分别以BA ，BC 为x 轴和y 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系B xyz -.则()0,2,0C ，()10,0,3B ，()2,0,3F ，()0,1,3E ，30,2,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设()111,,n x y z =为平面EFC 的法向量，则00n EF n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11112030x y y z -=⎧⎨-=⎩，可取3,3,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设()222,,m x y z =为平面PFC 的法向量，则00m PF m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222232202302x y z z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可取()1,1,0m =.所以233922cos ,14391112n m n m n m +⋅===⎛⎫++⨯+ ⎪⎝⎭. 由题意知二面角P CF E --为锐角， 所以二面角P CF E --的余弦值为214. 【点睛】方法点睛：若二面角的平面角不便作出，且几何体中有便于建系的垂直条件时，常通过建系求相关平面的法向量，从求二面角的余弦值.20．某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元.小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单（含20单）每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元.小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下直方图（如图2）.（1）分别求出“销售员”的日薪1y （单位：元）与销售件数1x 的函数关系式、“送外卖员”的日薪2y （单位：元）与所送单数2x 的函数关系式；（2）若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪1X 和“送外卖员”的日薪2X （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）的数学期望，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由.【答案】（1）11111112050,5,30,5,x x x y x x x +≤∈⎧=⎨>∈⎩N N ，22222222223,20,420,2040,4.540,40,x x x y x x x x x x ≤∈⎧⎪=-<≤∈⎨⎪->∈⎩NN N；（2）选择做“送外卖员”，理由见解析.【分析】（1）根据两份工作日薪的计算方法，求得两个函数关系式.（2）求得日薪1X 和2X 的分布列，进而计算出两份工作日薪的期望值，从而做出决策. 【详解】（1）“销售员”的日薪1y （单位：元）与销售件数1x 的函数关系式为11111112050,5,30,5,x x x y x x x +≤∈⎧=⎨>∈⎩NN，“送外卖员”的日薪2y （单位：元）与所送单数2x 的函数关系式为22222222223,20,420,2040,4.540,40,x x x y x x x x x x ≤∈⎧⎪=-<≤∈⎨⎪->∈⎩N N N.（2）由柱状图知，日平均销售量满足如下表格： 销售量/件 34567频率0.05 0.2 0.25 0.4 0.1所以1X 的分布列为所以()11100.051300.21500.251800.42100.1162X E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 由直方图可知，日送单数满足如下表格：所以2X 的分布列如下表：由直方图知，()2300.051000.251820.452750.23650.05183E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.由以上计算得()()21E X E X >，做“送外卖员”挣的更多， 故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适.【点睛】决策问题，利润或收益需要期望值最大的，成本或支出需要期望值最小的. 21．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点()0,4P 的动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当F 在l 上时，直线l 的斜率为2-. （1）求抛物线的方程；（2）在线段AB 上取点D ，满足PA PB λ=，AD DB λ=，证明：点D 总在定直线上.【答案】（1）28y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）利用直线l 的斜率列方程，化简求得p ，由此求得抛物线方程.（2）设直线l 的方程为()4x m y =-，联立直线l 的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系.利用向量的坐标运算建立(),D x y 中,x y 的关系式，由此求得D 点所在定直线方程.【详解】（1）由题意，得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则40202p -=--，解得4p =， 故抛物线的方程为28y x =.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，(),D x y ， 直线l 的方程为()4x m y =-.由()284y x x m y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得28320y my m -+=， 128y y m +=，1232y y m =.由PA PB λ=，AD DB λ=，得()1244y y λ-=-，()12y y y y λ-=-， 故112244y y y y y y λ--==--，化简得()12121224481y y y y my y y m -+==+--. 又()4x m y =-，故4414x y y xy ⎛⎫⎪-⎝⎭=--， 化简得2440xy y y x -+-=，即()()40x y y --=，则y x =或4y =.当点D 在定直线4y =上时，直线l 与抛物线C 只有一个交点，与题意不符. 故点D 在定直线y x =上.【点睛】在解析几何中的向量运算，可用来建立方程，通过化简方程来进行解题.22．已知函数()cos 2xf x e a x =+-，()f x '为()f x 的导函数.（1）讨论()f x '在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内极值点的个数；（2）若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）[)1,+∞. 【分析】（1）求得()'fx ，对a 进行分类讨论，利用导数研究()'f x 的单调性，从而求得()f x '在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内极值点的个数.（2）先根据()00f ≥求得1a ≥，利用放缩法得到()()f x h x ≥，利用导数证得()()00h x h ≥=，即()0f x ≥恒成立，由此确定a 的取值范围.【详解】（1）由()cos 2xf x e a x =+-，得()sin xf x e a x '=-.令()sin xg x e a x =-()cos xg x e a x '=-.因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以e 1x>，0cos 1x <<. 当1a ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增，即()f x '在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内无极值点；当1a >时，()sin xg x e a x ''=+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()0g x ''>，所以()cos xg x e a x '=-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.又()00cos010g e a a '=-=-<，ππ22ππcos 022g e a e ⎛⎫'=-=> ⎪⎝⎭，故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '=且()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以0x x =为()g x 的极小值点，此时()f x '在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内存在一个极小值点，无极大值点.综上所述，当1a ≤时，()f x '在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内无极值点；当1a >时，()f x '在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内存在一个极小值点，无极大值点. （2）若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则()0120f a =+-≥， 所以1a ≥.下面证明当1a ≥时，()0f x ≥在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立.因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤，所以1a ≥时，()cos 2cos 2xxf x e a x e x =+-≥+-.令()cos 2xh x e x =+-，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()sin xh x e x '=-令()sin xx e x ϕ=-()cos xx e x ϕ'=-.()sin x x e x ϕ''=+在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增.又ππ331ππsin 03322e e e ϕ---⎛⎫⎛⎫''-=+-=-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()cos xx e x ϕ'=-在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减. 又ππ22ππcos 022e e ϕ--⎛⎫⎛⎫'-=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππ331ππ11cos 03322e e e ϕ---⎛⎫⎛⎫'-=--=-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在1ππ,23x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使()10x ϕ'=，且1π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()h x '单调递增； ()1,0x x ∈时，()0x ϕ'<，()h x '单调递减，所以1x x =时，()h x '取得最大值，且()()1max h x h x ''=. 因为()10x ϕ'=，所以11cos xe x =，所以()h x 单调递减，所以π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()00h x h ≥=，即()0f x ≥成立. 综上，若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立， 则a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】含参数分类讨论函数的单调性、极值，需要根据导函数的结构，对参数进行分类讨论.。

广东省湛江市数学高三理数第二次模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数z1=a+bi,z2=-1+ai，若|z1|<|z2|，则（）A . b<-1或b>1B . -1<b<1C . b>1D . b>02. （2分） (2019高三上·东莞期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·黄石期中) 已知数列{an}，则“{an}为等比数列”是“an2=an﹣1•an+1”的（）A . 充分必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2019高一上·淮南月考) 定义在R上的函数f(x)对任意0<x2<x1都有 <1，且函数y＝f(x)的图象关于原点对称，若f(2)＝2，则不等式f(x)－x>0的解集是（）A . (－2,0)∪(0,2)B . (－∞，－2)∪(2，＋∞)C . (－∞，－2)∪(0,2)D . (－2,0)∪(2，＋∞)5. （2分） (2017高一下·安徽期中) 已知△ABC中， = ，则B=（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·银川模拟) 已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则=（）A . ﹣6B . 12C . 6D . ﹣127. （2分）(2018·临川模拟) 设定义在R上的函数满足任意都有，且时，，则的大小关系（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·双鸭山月考) 圆截直线所得的弦长为，则（）A .B .C .D . 29. （2分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A . y=﹣4sin（x﹣）B . y=4sin（x﹣）C . y=﹣4sin（x+）D . y=4sin（x+）10. （2分）有一长为的斜坡，它的倾斜角为45°，现打算把倾斜角改成30°，则坡底要伸长（）m（精确到m）.A . 53B . 52C . 51D . 4911. （2分）椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·保定期末) 已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，＞0，若a=f（1），b=﹣2f（﹣2），c=（ln ）f（ln ），则a，b，c的大小关系正确的是（）A . a＜c＜bB . b＜c＜aC . a＜b＜cD . c＜a＜b二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最小值为﹣3，则k=________14. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在△ABC中，a=2，b=6，B=60°，则c=________．15. （1分）设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2…a5x5 ，那么的值为________16. （1分） (2018高一下·宜宾期末) 在正四棱锥中, ,若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为________．三、解答题 (共7题；共31分)17. （1分） (2017高三上·济宁期末) 数列{an}是公比为q（q＞1）的等比数列，其前n项和为Sn ．已知S3=7，且3a2是a1+3与a3+4的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设bn= ，cn=bn（bn+1﹣bn+2），求数列{cn}的前n项和Tn ．18. （5分）(2017·山东模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19. （5分） (2020高三上·泸县期末) 已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线，与以右焦点为圆心，半径为的圆相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）线段是椭圆过右焦点的弦，且，求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.20. （5分）(2018·郑州模拟) 已知函数，且 .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，试判断函数的零点个数.21. （5分）(2018·内江模拟) 某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（2）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（3）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望 .22. （5分）已知点P（1，m）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，F为焦点，且PF=3．（1）求抛物线C的方程；（2）过点T（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求•的值．23. （5分）选修4—5：不等式选讲已知 = （）．（Ⅰ）当时，解不等式．（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共31分)17-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。

广东省湛江市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(培优卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图，在等边三角形中，分别是线段上异于端点的动点，且，现将三角形沿直线折起，使平面平面，当从滑动到的过程中，则下列选项中错误的是（）A．的大小不会发生变化B．二面角的平面角的大小不会发生变化C．与平面所成的角变大D．与所成的角先变小后变大第(2)题已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题已知直线与圆：交于两点，则（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(5)题在复平面内，复数，则对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图象可能是（）A．B．C．D．第(7)题已知，向量，且，则在上的投影向量为（）A．B．5C．D．第(8)题已知，是虚数单位，若复数为纯虚数，则（）A．0B．1或-1C．D．1二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，，则下列说法正确的是（）A．B．C．若A，B是相互独立事件，则D．若A，B是互斥事件，则第(2)题已知，且，则下列不等式中成立的有（）A．B．C．D．第(3)题已知椭圆，点分别为的左､右焦点，点分别为的左､右顶点，过原点且斜率不为0的直线与交于两点，直线与交于另一点，则（）A．的离心率为B．的最小值为C．上存在一点，使D．面积的最大值为2三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高.第(2)题在正方形中，为线段的中点，若，则_______．第(3)题若双曲线x2 / 4－y2 / b2="1" (b＞0) 的渐近线方程为y=±1/2 x ，则b等于__________四、解答题（本题包含5小题，共77分。

【新结构】（湛江二模）广东省湛江市2024届高三下学期二模考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台设上、下底面的半径分别为a厘米，b厘米，高为c厘米，则该青铜器的容积约为取()A.立方厘米B.立方厘米C.立方厘米D.立方厘米3.函数在上的值域为()A. B. C. D.4.若复数的实部为4，则点的轨迹是()A.直径为2的圆B.实轴长为2的双曲线C.直径为1的圆D.虚轴长为2的双曲线5.已知，则()A. B. C.15 D.176.当，时，，这个基本不等式可以推广为当时，，其中且，考虑取等号的条件，进而可得当时，用这个式子估计可以这样操作：，则用这样的方；法，可得的近似值为()A. B. C. D.7.已知函数，，则()A.当有2个零点时，只有1个零点B.当有3个零点时，有2个零点C.当有2个零点时，有2个零点D.当有2个零点时，有4个零点8.在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，PB，PC与底面ABCD所成的角分别为，，且，则()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则()A.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万B.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势C.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为万D.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为万10.已知函数的定义域为R，不恒为零，且，则()A. B.为偶函数C.在处取得极小值D.若，则11.下列命题为真命题的是()A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023年广东省湛江市普通高考第二次模拟测试数学试卷（湛江二模）✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为()A. B. C. D.2.已知集合，，则()A. B. C. D.3.广东省第七次人口普查统计数据显示，湛江市九个管辖区常住人口数据如表所示，则这九个管辖区的数据的第分位数是()管辖区常住人口赤坎区303824霞山区487093坡头区333239麻章区487712遂溪县886452徐闻县698474廉江市1443099雷州市1427664吴川市927275A.927275B.886452C.698474D.4877124.的展开式中，的系数是()A.40B.C.80D.5.如图，将一个圆柱N等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为()A. B. C. D.6.若与y轴相切的圆C与直线l：也相切，且圆C经过点，则圆C的直径为()A.2B.2或C.D.或7.当x，时，恒成立，则m的取值范围是()A. B. C. D.8.对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若，则的值可能为()A.2B.3C.D.10.一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔．已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则()A.第3层的塔数为3B.第6层的塔数为9C.第4层与第5层的塔数相等D.等差数列的公差为211.廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量单位：服从正态分布，且，下列说法正确的是() A.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为B.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在的概率为C.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480D.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在的个数的方差为12.已知双曲线C：的上焦点为F，过焦点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为()A. B. C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1.已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ）A．B．C．D．2. 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数关系，则（ ）A．B．C ．4D ．63. 柏拉图多面体是由柏拉图及其追随者研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体．经研究，世界上只有五种柏拉图多面体．如图，将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一个正八面体，这个正八面体即为柏拉图多面体的一种．则这个正八面体的体积为（）A．B．C．D．4. 设甲：，乙：，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.已知实数满足，则的最大值是（ ）A．B ．4C．D ．76. 设，，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知复数z满足，则（ ）A．B．C ．2D．8.曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）A．B．C．D．9.如图，在平行六面体中，，分别是，的中点，以为顶点的三条棱长都是，，则（）A．平面B．C ．四边形的面积为广东省湛江市2022届高三二模数学试题(2)广东省湛江市2022届高三二模数学试题(2)三、填空题四、解答题D ．平行六面体的体积为10.关于函数的描述正确的是（ ）A ．其图象可由的图象向左平移个单位得到B ．f (x )在上单调递增C ．f (x )在有2个零点D ．f (x )在的最小值为－111. 下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B．若随机变量，且，则．C ．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则D ．已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的一个周期为B．直线是的一条对称轴C ．点是的一个对称中心D ．在区间上单调递减13.已知全集，集合，，则集合________，________.14. 已知平面向量，，若，则______.15. 某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→ ，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB 1→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是________________．16. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足,.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设，若{b n }是递增数列，求实数a 的取值范围.17.在数列中,已知,.(1)若是等比数列,求的值；(2)求数列的通项公式.18.已知数列的前n项和为(1)证明：数列{}为等差数列；(2)，求λ的最大值．19. 已知椭圆的离心率，短轴长为2，、是椭圆上、下两个顶点，在椭圆上且非顶点，直线交轴于点，，是椭圆的左，右顶点，直线，交于点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线与轴平行．20. 中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量x（单位：克）与药物功效（单位：药物功效单位）之间具有关系.(1)估计该味中药的最佳用量与功效；(2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2，估计这批合成药的药物功效的平均值.21. 若数列满足，数列为数列，记．(1)写出一个满足，且的数列；(2)若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是；(3)对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由．。

一、单选题1. 某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）．A．B．C．D．2. “二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知春分的晷长为七尺五寸，立冬的晷长为一丈五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则冬至所对的晷长为（）A ．一尺五寸B ．一丈三尺五寸C ．一丈二尺五寸D ．九尺五寸3.双曲线：的渐近线恰好与曲线相切，则的离心率为（ ）A．B．C．D．4. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ）A ．3B ．2C．D．5. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的的表面积为（）A．B．C ．28D ．306.已知为实数，则（ ）A ．1B．C ．2D．7. 已知双曲线的左､右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．广东省湛江市2023届高三二模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题8. 已知定义域为的函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（ ）A．B．C．D．9. 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在线段上运动，则下列说法中正确的是（ ）A ．存在点，使得平面B．对于任意点，都有平面平面C ．当时，三棱锥的外接球的表面积为D ．当时，平面与正方体表面的交线所围成的图形是梯形10. 已知平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹为曲线，点到直线的距离的最小值为，下列结论正确的有（ ）A．曲线的方程为B．C．曲线的方程为D．11. 若函数在处取得极值，则（ ）A．B．为定值C．当时，有且仅有一个极大值D．若有两个极值点，则是的极小值点12.已知点在直线上移动，圆，直线，是圆的切线，切点为，.设，则（ ）A ．存在点，使得B ．存在点，使得C．当的坐标为时，的方程为D ．点的轨迹长度是13. 已知方程在上有两个不同的解，则的取值范围是______．14. 已知随机变量服从正态分布，，则______.15. 已知是首项为，公差为1的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是____16.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，设（i ）证明：有唯一正零点：（ii）记的正零点为，证明：当时，17. 中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在内的频数为3.(1)求的值；(2)已知抽取的名参赛人员中，成绩在和女士人数都为2人，现从成绩在和的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为，求的分布列与数学期望.18. 在平面直角坐标系中，，，设直线、的斜率分别为、且，（1）求点的轨迹的方程；（2）过作直线交轨迹于、两点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．19. 在三角形中，已知，.（1）求的值；（2）若的面积为，求边的长.20. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．(1)求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；(2)从竞赛成绩在，的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从随机抽取20名学生，用表示这20名学生中恰有k名学生竞赛成绩在内的概率，其中．当最大时，求k．21. 随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份编号123456销售金额／万元15.425.435.485.4155.4195.4若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；(2)试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程，其中，，样本相关系数；参考数据：，．。

一、单选题二、多选题1.已知函数，设，则A ．2B．C．D．2. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（ ）A ．是等差数列B ．是等比数列C．是等差数列D．是等比数列3. 已知是实数，命题；命题，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）A．B．C．D．5. 设随机变量X 服从正态分布N (1，)，若，则（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.66. 已知函数的定义域为，图象关于点对称，且当时，.若，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．7. 三内角，A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c，若，则（ ）A ．4B．C ．3D ．28. 在中，，E 为AD 的中点，则（ ）A．B．C．D．9. 下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（ ）A．B．C．D．10.在正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ）A．若在同一球面上，则B．若平面，则C ．若点到四点的距离相等，则D ．若平面，则广东省湛江市2023届高三二模数学试题(1)广东省湛江市2023届高三二模数学试题(1)三、填空题四、解答题11. 已知点在函数的图象上，若将的图象向左平移个单位后所得图象仍然经过点，则的值可以是（ ）A．B．C．D．12. 下列命题正确的是（ ）A ．“”是“”的充分不必要条件B ．命题“，”的否定是“，”C ．设，则“且”是“”的必要不充分条件D ．设，则“”是“”的必要不充分条件13. 圆有4个点到直线的距离为，则实数a 的范围为_____14.在等比数列中，为其前n 项和，若，，则的公比为______．15.的展开式中的系数是______．16. 已知平面四边形ABCD，，，，的面积为．(1)求；(2)若，，求CD 的长度．17.设椭圆过点，离心率为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关．18. 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．质量指标值频数9101786表1：甲流水线样本的频数分布表图1：乙流水线样本的频率分布直方图(1)根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中为样本容量）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82819. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围；(3)求证：.20. 如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，(1)求证：平面；(2)若二面角，求与面所成角的正弦值.21. 已知正项等比数列中，,且成等差数列.求数列的通项公式；若,求数列的前n项和.。

一、单选题二、多选题1. 已知复数z满足，若复数z 在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 图1是第七届国际数学教育大会()的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图2)，其中，则（）A．B．C．D．3. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设，，C 三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）A ．54种B ．240种C ．150种D ．60种4. 已知集合，，全集，则集合中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知函数的零点分别为，则（ ）A．B．C．D．7. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．8. 已知函数有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 三棱锥各顶点均在半径为2的球的表面上，，，平面与平面所成的角为，则下列结论正确的是（ ）A ．直线平面B ．三棱锥的体积为C．点到平面的距离为D ．点形成的轨迹长度为10.已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对广东省湛江市2023届高三二模数学试题(1)广东省湛江市2023届高三二模数学试题(1)三、填空题四、解答题称，则的值可能是（ ）A．B．C．D．11. 已知双曲线的虚轴长为2，过C 上点P 的直线l 与C 的渐近线分别交于点A ，B ，且点P 为AB 的中点，则下列正确的是（ ）A ．若且直线l 的斜率存在，直线l的方程为B ．若，直线l 的斜率为1C ．若离心率，D ．若直线l的斜率不存在，12. 设，其中若对一切恒成立，则以下结论正确的是（ ）．A ．；B ．；C．是奇函数；D ．的单调递增区间是；13. 函数，则_____；的值域为_____．14.在二项式的展开式中，若时，则含的项的系数是_______；若二项式系数的和与展开式中的常数项相等，则实数___________．15. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示.如果把根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为______.16. 已知函数；（1）若，求的值域；（2）在（1）的条件下，判断的单调性；（3）当时有意义求实的范围．17. 某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试.已知队员的测试分数y 与跳绳个数x满足如下关系.测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时1分钟，若第一次测完，测试成绩达到60分及以上，则以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行两次，根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内时测试的成绩，将数据按，，，分成4组，并整理得到如下频率分布直方图：(1)计算a值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）(2)将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，X表示队员甲在达标测试中的分数，求X的分布列与期望.18. 已知函数，(1)试判断函数在上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由.(2)设，若，证明：不等式在上恒成立.19. 已知在递减等比数列中，，其前项和是，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和，求的最大值.20. 已知函数，其中、为非零实常数.(1)若，的最大值为，求、的值.(2)若，是图像的一条对称轴，求的值，使其满足，且.21. 已知函数.(1)当时，求的单调区间和极值；(2)设为的极值点，证明：（i）当时，存在唯一的；（ii）对于任意，都有.。