1996年考研数学二试题及答案

1996数学二考研真题及答案理工数学二试题详解及评析一、填空题（1）设y=某+e某2'，则y|某=0=.23【答】1.3某223某1【详解】y=某+e1+e2，21'所以y|=.某=03（2）∫(某d某=.【答】2.【详解】∫(某d某=∫11(某+22'1某2d某11)=∫2+∫d某=0+2=2(3)微分方程y+2y+5y=0的通解为.【答】y=e某''(C1co2某+C2in2某).2【详解】特征方程λ+2λ+5=0的解为λ=1±2i，所以通解为y=e 某(C1co2某+C2in2某)31inln1+=.某某（4）lim某inln1+某→∞【答】2.【详解】方法一：令=t,则由洛必达法则知某原式＝liminln(1+3t)inln(1+t)t→0t=lim31t→0coln(1+3t)1+3tcoln(1+t)1+t=lim31t→01+3t1+t=2方法二：直接利用三角函数和差化积公式.原式＝1+3ln1+ln1+113lim某→∞2某in+某2co某2ln+2=lim某1某→∞2某in+12=lim某→∞2某in某+1 =2（5）由曲线y=某+1某,某=2及y=2所围图形的面积S=【答】ln212.【详解】S=∫2某+11某2d某=122某+ln某2某2|11=ln22二、选择题（1）设当某→0时，e某(a某2+b某+1)是比某2高阶的无穷小，则（A）a=2,b=1.（B）a=1,b=1（C）a=12,b=1（D）a=1,b=1【答】应选（A）【详解】方法一：由于某→0时，e某=1+某+1某2+o(某22)】【则由lim某→0e(a某+b某+1)某22某→0某=0=lim(1b)某+a某2+o(某2)22某必有1b=0,解得a=方法二：因lim某→0a=02,b=1.2e某2a某b,=lim某→02某e某(a某2+b某+1)某2某→0某→0又lim2某=0,lime2a某b=1b必有b=1,从而(某)e某2a某be某2a原式＝lim=lim=12a=0,某→0某→02某2所以a=1.22（2）设函数f(某)在区间(δ,δ)内有定义，若当某∈(δ,δ)时，恒有f(某)≤某，则某=0必是f(某)（A）间断点.（B）连续而不可导的点(C)可导的点，且f'(0)=0（D）可导的点，f'(0)≠0【】【答】应选（C）.【详解】由定义lim某→0f(某)f(0)f(某)f(某)=lim=lim2某=0，某→0某→0某某某由题设必有f(0)=0因此f'(0)=0（3）设f(某)处处可导，则（A）当limf(某)=∞,必有limf某→∞'(某)=∞,（B）当limf某→∞'f(某)=∞,(某)=∞,，必有某lim→∞'某→+∞（C）当limf(某)=+∞,必有limf某→+∞(某)=+∞,（D）当limf某→+∞'f(某)=+∞,(某)=+∞,，必有某lim→+∞【】【答】应选（D）.【详解】方法一：利用举反例排除不正确选项.令f(某)=某,则limf'、（C）均不正确.(某)=±∞,但f'(某)=1，可见（A）因而只有（D）是正确选项.方法二：若limf某→+∞'(某)=+∞,则存在M>0及某0>0，当某>某0时，f'(某)>M于是当某>某0时，有f(某)f(某0)=f从而有'(ξ)(某某0)>M(某某0)f(某)>f(某0)+M(某某0)→+∞(某→+∞)（4）在区间(∞,+∞)内，方程某+某co某=0（A）无实根.（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根【】【答】应选（C）【详解】令f(某)=某+某co某,由于f(某)=f(某)，故f(某)为偶函数，因此只需考虑f(某)=0在(0,+∞)内的实根情况.当某≥0时，f(某)=某+某co某,4121412141213114f(某)=某+某2+in某42'可见，当某∈0,ππ'时，在f某>0,f某()()0,内单调增加，且f(0)=1，f22π>1，2因此f(某)=0在0,当某≥π上有唯一实根；2π2时，f(某)>0，故在(0,+∞)上f(某)仅存在唯一实根根据f(某)关于y轴对称的性质，f(某)=0在(∞,+∞)上有且仅有两个实根.（5）设f(某),g(某)在区间[a,b]上连续，且g(某)<f(某)<m,（m 为常数），由曲线y=g(某),y=f(某),某=a及某=b所围成平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体积为（A）（B）（C）（D）∫∫∫babπ2mf(某)+g(某)f(某)g(某)d某,π2mf(某)g(某)f(某)g(某)d某,πmf(某)+g(某)f(某)g(某)d某,πmf(某)g(某)f(某)g(某)d某,【】abab∫a【答】应选（B）【详解】因为dV=πmg(某)()22π(mf(某))d某V=∫πmg(某)d某∫aπmf(某)d某a=∫π2mf(某)g(某)f(某)g(某)d 某a所以正确选项应为（B）三、计算bb2b2∫ln0.【详解】方法一：原式＝∫ln2e=+∫ln2ln2某0=+lne某+2=+ln22((|ln20方法二：令e某=int,则d某=cotdt,intπππcot1dt=π2dtπ2intdtint6int6π原式＝π62=ln(cct+cott)π6=ln2+22(方法三：原式＝=t,则t21=+=1dt2201t1t=（2）求+ln2+2(d某∫1+in某【详解】方法一：原式＝1in某1某tan=+C∫co2tco某某d某=∫原式＝∫22某某某co+in1+tanec2某d1+tan22=2∫=+C2某某1+tan1tan+22方法二：某=tf(u2)du∫d2y0(3)设，其中f(u)具有二阶导数，且f(u)≠0，求2.22d某y=f(t)【详阶】因为d某=f(t2)dtdy=4tf(t2)f'(t2),dt所以dydy==4tf'(t2),d某dtdyddy1==2d某dtd某dt(4)求函数f(某)=2'22''2+fttft42()()ft21某在某=0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.1+某【详解】f(某)在在某=0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式为：f(某)=f(0)+f'(0)某+1''1n1n+1f(0)某2+"+f()(0)某n+f()(θ某)某n+1n!2!n+1!其中0<θ<1.可见，关键是求出f(某)在在某=0点的k阶导数f(k)(0),k=0,1,2,",n+1由于f(某)=21,1+某(1)2k!k=1,2,",n+1kf()(某)=)k+1((1+某)所以f(某)=12某+2某+"+(1)2某+(1)2nnn+12某n+1(1+θ某)n+2(0<θ<1)（5）求微分方程y+y=某的通解.【详解】对应的齐次方程的特征方程为：λ+λ=0解得λ=0,λ=1故齐次方程的通解为y=C1+C2e设非齐次方程的特解为：某a某+b某+c,代入原方程，得a=某''22(2),b=1,c=2,3因此，原方程得通解为y=某3某2+2某+C1+C2e某3（6）设有一正椭圆柱体，其底面得长、短分别为2a,2b,用过此柱体底面得短轴与底面成α角π<<0α，求此楔形体的体积V.的平面截此柱体，得一楔形体（如图）2【详解】方法一：底面椭圆的方程为：某2y2+=1,以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边为a2b2令一直角边长为α,故截面面积为a2y2S(y)=12tanα2b楔形体积为V=2∫方法二：ba2y22a2btanα12tanαdy=2b3某2y2底面椭圆的方程为2+2=1,以垂直于某轴平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，ab其一边长为2y=2令一边长为某tanα，故截面面积S(某)=2α楔形体的体积V=∫a2a2b2αd某=tanα3四、计算不定积分【详解】方法一：arctan某∫某21+某2arctan某arctan某arctan某=∫某21+某2∫某2∫1+某2==arctan某112+∫某arctan()某某1+某22arctan某111212 +∫2d某某arctan()某2某1+某22arctan某11某22(arctan某)+ln=+C某221+某2方法二：令某=tant,则原式＝2cctt1)dt=(∫=2arctan某)+C=12某2,某<13五、设函数f(某)=某,1≤某≤212某16,某>2（1）写出f(某)的反函数g(某)的表达式；（2）g(某)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点.【详解】（1）由题设，f(某)的反函数为某<1g(某)=1≤某≤8某+16,某>812（2）由于函数f(某)在(∞,+∞)内单调增加且连续，故反函数g(某)在在(∞,+∞)内单调增加且连续，没有间断点.由于f'(0)=0，且f(0)=0，故某=0是g(某)的不可导点，f(1)=1和f(2)=8是g(某)的两个可能的不可导点，由于f'(10)=4,f'(1+0)=3,所以某=1是f(某)的不可导点，因此g(某)在f(1)=1处不可导；又f2(1+0)=f'(20)=12,故f(某)在某=2处可导，因此g(某)在某=f(2)=8处可导.六、设函数y=y(某)由方程2y2y+2某y某=1所确定，试求y=y(某)的驻点，并判别322它是否为极值点.【详解】对原方程两边求导，得3y2y'2yy'+某y'+y某=0,令y=0，得y=某，代入原方程，有2某某1=0从而解得唯一的驻点某=1.在（某）式两边对某求导得3y2y+某y+2(3y1)y+2y1=0,2'''2'32()因此y''|(1,1)=>02故驻点某=1是y=y(某)的极小点.七、设f(某)在区间[a,b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0,f存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b)，使f【详解】方法一（用反证法）若不存在ξ∈(a,b)，使f'(a)f'(b)>0，证明：(ξ)=0及f''(η)=0.(ξ)=0，则在区间(a,b)内恒有f(某)>0或f(某)<0，不妨设f(某)>0（对f(某)<0，类似可证），则f(某)f(b)f(b)=lim=lim某→b某→b某bf(某)f(a)f'(a)=lim+=lim+某→a某→a某a'f(某)≤0,某bf(某)≥0某a从而f'(a)f'(b)≤0，这与已知条件矛盾，即在(a,b)内至少存在一点ξ,使f(ξ)=0(ξ)=f(b)及罗尔定理，知存在η1∈(a,ξ)和η2∈(ξ,b)，使再由f(a)=ff'(η1)=f'(η2)=0.'又在区间[η1,η2]上，对f方法二：不妨设f'(某)应用罗尔定理，知存在η∈(η1,η2)(a,b)，使f''(η)=0.，即(a)>0,f'(b)>0（对f'(a)<0,f'(b)<0时类似可证）lim+某→af(某)f(某)>0,lim>0,某→b某b某a由极限的保号性，存在某1∈(a,a+δ1)和某2∈(bδ2,b)使得f(某1)>0及f(某2)<0，其中δ1,δ2为充分小的正数，显然某1<某2在区间[某1,某2]上应用介值定理知，存在ξ∈(某1,某2)(a,b)使f以下证明类似方法一.八、设f(某)为连续函数，'y+ay=f(某)的解f(某)，其中a是正常数；（1）求初值问题=0y|某=0ka某（2）若f(某)≤k（k为常数），证明：当某≥0时，有y(某)≤(1e).a(ξ)=0【详解】（1）原方程的通解为y(某)=ea某f(某)ea某d某+C=ea某F(某)+C,∫其中F(某)是f(某)e的任一原函数a某由y(0)=0,得C=F(0)故y(某)=ea某a某atF某F0=eftedt,()()()∫0at某或者在原方程的两端同乘以e，得y'ea某+ayea某=f(某)ea某从而ye所以ye(a某')=f(某)e某0a某a某=∫f(t)eatdt,a某或y(某)=e（2）∫f(t)e某atdt,f(某)≤ea某∫f(t)eatdt≤kea某∫eatdt 某某ka某a某e(e1)ak=(1ea某)(某≥0)a≤。

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设2lim()8xx x a x a→∞+=-，则a = ln2 .(2) 设一平面经过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为2x +2y –3z = 0 ．(3) 微分方程''2'2xy y y e -+=的通解为)1sin cos (21++=x c x c e y x(4) 函数)ln(2２ ＋ｚy x u +=)在A (1，0，1)处沿点A 指向点B (3，-2，2)方向的方向导数为12.(5) 设A 是4 ⨯3矩阵，且A 的秩r(A)=2,而B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-301020201，则r(AB) = 2 .二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 已知2)()(y x ydydx ay x +++ 为某函数的全微分，则a 等于 (D)(A) –1. (B) 0 . (C) 1 . (D) 2.(2) 设()x f 有二阶连续导数, 且(0)0f '=,0()lim 1x f x x→''=,则 (B)(A) )0(f 是()x f 的极大值 (B) )0(f 是()x f 的极小值(C) (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D) )0(f 不是()x f 的极值, (0,(0))f 也不是曲线y =()x f 的拐点.(3) 设0n a >(1,2,)n = ，且∑∞=1n n a 收敛,常数(0,)2πλ∈,则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑ (A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 （C ） 发散 (D) 敛散性与λ有关.(4) 设()x f 有连续的导数，(0)0f =，)0('f ≠0，F ()x =,)()(202dt t f t x x-⎰且当0→x 时，)('x F 与k x 同阶无穷小，则k 等于 (C)(A) 1. （B ）2. (C) 3. (D) 4.(5) 四阶行列式 4433221100000000a b a b b a b a 的值等于 (D)(A) 4321a a a a -4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C)（2121b b a a -）（4343b b a a -） (D) （3232b b a a -）（4141b b a a -） 三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长,其中0>a .解：()sin r a θθ'=-，……2分22()ds r r d θ'=+22(1cos )(sin )2|cos |2a d a d θθθθθ=++-=……3分 利用对称性，所求心形线的全长0022cos 8sin822s a d a a ππθθθ===⎰. ……5分(2) 设101=x ,n n x x +=+61(n=1,2,…)，试证数列{}n x 极限存在，并求此极限.证：由110x =及216164x x =+==，知12x x >.假设对某正整数k 有1k k x x +>，则有11266k k k k x x x x +++=+>+=，故由归纳法知，对一切正整数n ，都有1n n x x +>.即{}n x 为单调减少数列. ……3分又由16n n x x +=+，显见0(1,2,)n x n >= ，即{}n x 有下界. 根据极限存在准则，知lim n n x →∞存在.……4分令lim n n x a →∞=，对16n n x x +=+两边取极限，得6a a =+从而260a a --=.因此32a a ==-或.因为0(1,2,)n x n >= ,所以0a ≥.舍去2a =-，故极限值3a =. ……5分四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)(1) 计算曲面积分⎰⎰++Szdxdy dydz z x ）（2,其中S 为有向曲面22y x z +=，(10≤≤z )，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.解一： 以1S 表示法向量指向z 轴负向的有向平面221(1)z x y =+≤，D 为1S 在XOY平面上的投影区域，则1(2)()S Dx z dxdy zdxdy dxdy π++=-=-⎰⎰⎰⎰.……2分记Ω表示由S 和1S 所围的空间区域，则由高斯公式知1(2)(21)S S x z dxdy zdxdy dv +Ω++=-+⎰⎰⎰⎰⎰212421113000336()6242r r r d rdr dz r r dr ππθππ⎡⎤=-=--=--=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. ……5分 因此13(2)()22S x z dxdy zdxdy πππ++=---=-⎰⎰. ……6分解二： 以,yz xy D D 表示S 在,YOZ XOY 平面平面上的投影区域，则(2)Sx z dxdy zdxdy ++⎰⎰2222(2)()(2)()yzyzxyD D D z y z dydz z y z dydz x y dxdy =--+--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224()yzxyD D z y dydz x y dxdy =--++⎰⎰⎰⎰……2分其中3111222214(1)3yzyD z y dydz dy z y dz y dy--=-=-⎰⎰⎰4204431sin cos 334224y t tdt πππ==⋅⋅⋅=⎰；21222()2xyD x y dxdy d r rdr ππθ+=⋅=⎰⎰⎰⎰，……5分所以1(2) 4.222S x z dxdy zdxdy πππ++=-+=-⎰⎰. ……6分(2) 设变换⎩⎨⎧+=-=ay x v y x u 2 可把方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y z y x z x x 简化为02=∂∂∂v u z，求常数a .解：,2z z z z z z a x u v y u v∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂.……1分 22222222z z z z x u u v v ∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂,2222222(-2)zz z z a a x yu u v v ∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂, 2222222244z z z z a a y u u v v ∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂. ……4分将上述结果代入原方程，经整理后得2222(105)(6)0z z a a a u v v∂∂+++-=∂∂∂. 依题意知a 应满足260,1050a a a +-=+≠且，解之得3a =.……6分五、(本题满分7分) 求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和.解：设22()(||1)1nn x S x x n ∞==<-∑，……1分则2111()()211n n S x x n n ∞==--+∑，其中122111111n n n n n n x x x x x n n n ∞∞∞-=====--∑∑∑. 23111(0)1n nn n x x x n x n ∞∞===≠+∑∑.……3分设11()n n g x x n∞==∑，则11111()(||1)1n n n n g x x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'===< ⎪-⎝⎭∑∑. 于是00()()(0)()ln(1)(||1)1x x dtg x g x g g t dt x x t'=-===--<-⎰⎰.从而21()[ln(1)][ln(1)]222x x S x x x x x =-------221ln(1)(||10)42x x x x x x+-=+-<≠且.……5分 因此221153ln 2(1)2284nn s n ∞=⎛⎫==- ⎪-⎝⎭∑. ……7分六、(本题满分7分)设对任意0>x ,曲线)(x f y =上点))(,(x f x 处的切线在y 轴上的截距等于⎰xdt t f x0)(1,求)(x f 的一般表达式. 解：曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-. ……1分 令0X =，得截距()()Y f x xf x '=-.……3分由题意，知01()()()xf t dt f x xf x x '=-⎰. 即0()[()()]x f t dt x f x xf x '=-⎰.上式对x 求导，化简得()()0xf x f x ''+=， ……5分即('())0d xf x dx=，积分得1'()x f x C =. 因此12()ln f x C x C =+（其中12,C C 为任意常数）.……7分七、(本题满分8分)设)(x f 在[]1,0上具有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤)(''，其中b a ,都是非负常数，c 是()0,1内的任意一点.证明22)('b a c f +≤.证：2()()()()()(),(*)2!f x c f x f c f c x c ξ''-'=+-+其中(),01c x c ξθθ=+-<<. ……2分在(＊)式中令0x =，则有211()(0)(0)()()(0),01;2!f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<<在(＊)式中令1x =，则有222()(1)(1)()()(1),01;2!f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<<上述两式相减得22211(1)(0)()()(1)()2!f f f c f c f c ξξ'''''⎡⎤-=+--⎣⎦. ……5分 于是22211|()|(1)(0)()(1)()2!f c f f f c f c ξξ'''''⎡⎤=----⎣⎦ 222111(1)|(0)||()|(1)|()|2!2!f f f c f c ξξ''''≤++-+22[(1)]2ba a c c ≤++-+. ……7分又因22(0,1),(1)1c c c ∈-+≤，故|()|22bf c a '≤+. ……8分八、(本题满分6分)设T A I ξξ=-,其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明： (1) A A =2的充要条件是1=ξξT ；(2) 当1=ξξT 时,A 是不可逆矩阵. 证：(1) 2()()2T T T T T A I I I ξξξξξξξξξξ=--=-+(2)(2)T T T T I I ξξξξξξξξ=--=--.A A =2即(2)T T T I I ξξξξξξ--=-，亦即()T T I ξξξξ-=O ，因为ξ是非零列向量，0T ξξ≠，故A A =2的充要条件是10T ξξ-=，即1T ξξ=.……3分 (2) 用反证法：当1T ξξ=时A A =2.若A 可逆，则有121A A A A --=，从而A I =.这与T A I I ξξ=-≠矛盾，故A 是不可逆矩阵.……6分九、(本题满分8分)已知二次型32312132132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2. (1) 求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程123(,)4f x x x =表示何种二次曲面.解：(1) 此二次型对应矩阵为A =51315333c -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭， ……1分因()2r A =，故513||153033A c-=--=-，解得3c =.容易验证此时A 的秩的确是2. ……3分这时，||(4)(9)I A λλλλ-=--，故所求特征值为0,4,9λλλ===.……6分 (2) 由上述特征值可知，123(,,)1f x x x =表示椭圆柱面. ……8分十、填空题 (本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A 生产的概率是37.(2) 设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2))2N 的随机变量，则随机变量||ξη- 的数学期望(||)E ξη-＝2π.十一、(本题满分6分)设,ξη是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布律为1(),1,2,33P i i ξ===. 又设max{,},min{,}X Y ξηξη==.(1) 写出二维随机变量(,)X Y 发分布律；(2) 求随机变量X 的数学期望.解：(1)Y X1 2 3 11 / 9 0 02 2 / 9 1 / 9 032 / 92 / 91 / 9……4分(2) 13522()1239999E X =⋅+⋅+⋅=……6分 注：写对分布律中的1个数得1分，2～4个得2分，5～7个得3分，8～9个得4分.数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题 】三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 计算积分dxdy y x D⎰⎰+22，其中D=(){}x y x x y y x 2,0,22≤+≤≤ .解：原式2cos 40d r rdr πθθ=⋅⎰⎰3408cos 3d πθθ=⎰……3分 42340088110(1sin )sin sin sin 23339d ππθθθθ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰……5分(2) 【 同数学一 第三、（1）题 】 (3) 【 同数学一 第三、（2）题 】四 ~ 七、【 同数学一 第四 ~ 七题 】 八、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)(1) 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的基础解系.解：110011100111100001010011100010⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分解得基础解系为12(1,0,1,0,1),(1,1,0,0,0)ξξ=--=-. ……6分(2) 【 同数学一 第八题 】九、(本题满分8分)【 同数学一 第九题 】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设322)(x e x y -+=, 则==|'x y 1/3.(2)=-+⎰-1122)1(dx x x 2 .(3) 052=+'+''y y y 的通解为)2sin 2cos (21x c x c e y x +=-. (4) =+-+∞→)]11ln(sin )31ln([sin lim xx x x 2 .(5) 由曲线1y x x =+,2x =及2y =所围图形的面积S =1ln 22-. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设当0→x 时，)1(2++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则 （A ）(A) 121==b a ， (B) 11==b a ， (C) 121=-=b a ， (D) 11=-=b a ，. (2) 设函数()f x 在区间),(δδ-内有定义，若当),(δδ-∈x 时，恒有2()f x x ≤，则0x = 必是()f x 的 （C ）(A) 间断点(B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点，且(0)0f '=.(D) 可导的点，且(0)0f '≠(3) 设()f x 处处可导，则 （D ）(A) 当lim ()x f x →-∞=-∞时，必有lim ()x f x →-∞'=-∞．(B) 当lim ()x f x →-∞'=-∞时，必有lim ()x f x →-∞=-∞．(C) 当lim ()x f x →+∞=+∞时，必有lim ()x f x →+∞'=+∞．(D) 当lim ()x f x →+∞'=+∞时，必有lim ()x f x →+∞=+∞．(4) 在区间),(∞-∞内，方程 0cos 2141=-+x x x（C ）(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根 (C) 有且仅有二个实根 (D) 有无穷多个实根 (5) 设()()f x g x 、在区间[,]a b 上连续，且()()g x f x m <<（m 为常数），则曲线()y g x =，()y f x =，x a =及x b =所围成图形绕直线y m =旋转而成的旋转体体积为 （B ）(A)⎰-+-badx x g x f x g x f m .)]()()][()(2[π(B)⎰---ba dx x g x f x g x f m .)]()()][()(2[π (C)⎰-+-b adx x g x f x g x f m .)]()()][()([π (D)⎰---badx x g x f x g x f m .)]()()][()([π三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分) (1) 计算⎰--2ln 021dx e x解一：原式2ln 2ln 22220111x x xxee dx ee e --=-=--+-⎰⎰……3分 ln 22033ln(1)ln(23)x x e e --=-=++.……5分解二：令sin xet -=，则cos sin tdx dt t-=， 原式2222666cos 1sin sin sin t dt dt tdt t t ππππππ==-⎰⎰⎰……3分 2633ln(csc cot )ln(23)t t ππ=-+=+-. ……5分(2) 求⎰+x dxsin 1解一：原式21sin cos x dx x-=⎛⎜⎠ ……2分 1tan cos x C x=-+.……5分解二：原式222sec 2(cos sin )(1tan )222x dxdx x x x ==++⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎠⎠ ……3分2(1tan )222(1tan )1tan 22x d C x x+-==+++⎛⎜⎜⎜⎠.……5分(3) 设2022()[()]tx f u duy f t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰,其中()f u 具有二阶导数，且()0f u ≠，求22d y dx .解：222(),4()(),dx dy f t tf t f t dt dt'==所以22224()()4()()dydy tf t f t dt tf t dx dx f t dt''===. ……2分 22222214[()2()]()d y d dy f t t f t dx dx dt dx f t dt '''+⎛⎫== ⎪⎝⎭. ……5分 (4) 求函数()f x =xx+-11在0x =点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式.解：2()11f x x=-+，()1(1)2!()(1,2,,1)(1)k k k k f x k n x +-⋅==++ . ……3分 所以12122()122(1)2(1)(1)n n n n n x f x x x x ξ+++=-+++-+-+ (ξ在0与x 之间).……5分 (5) 求微分方程2'''x y y =+的通解.解一：对应的齐次方程的特征方程为20λλ+=，解之得0,1λλ==-，故齐次方程的通解为12xy C C e -=+.……2分设非齐次方程的特解为2()x ax bx C ++，代入原方程得1,1,23a b c ==-=. 因此，原方程的通解为3212123x y x x x C C e -=-+++. ……5分 解二：令p y '=，代入原方程得2p p x '+=，……2分故()()220022xxxxx x p ex e dx C e x exe e C --=+=-++⎰.再积分得到20(22)xy x x c e dx -=-++⎰3212123x x x x C C e -=-+++. ……5分 解三：原方程为2()y y x ''+=，两边积分得3013y y x C '+=+. ……3分30213x x y e x C e dx C -⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎜⎠()320213663x x x x x x e x e x e xe e C e C -⎡⎤=-+-++⎢⎥⎣⎦3212123x x x x C C e -=-+++. ……5分 (6) 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为22a b 、，用过此柱体底面的短轴且与底面成α解（20πα<<）的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积V.解一：底面椭圆的方程为22221x y a +=，以垂直于y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边长为221y a b -，另一直角边长为221y a bα-，故截面面积222()1tan 2a y S y b α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，……3分 楔形体的体积为22220221tan tan 23ba y a bV dy b αα⎛⎫=-=⎪⎝⎭⎰. ……5分解二：底面椭圆的方程为22221x y +=，以垂直于x 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，其一边长为22221x y b a=-tan x α，故截面面积22()21x S x bx aα=-，……3分楔形体的体积为32222222002221tan 1tan 33ab x a x a b V dx b a a ααα⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰. ……5分 四、(本题满分8分) 计算不定积分⎰+.)1(22dx x x arctgx解一：原式22arctan arctan 1x x dx dx x x =-+⎛⎛⎜⎜⎠⎠……2分 22arctan 1(arctan )(1)2x dx x x x x =-+-+⎛⎜⎠ ……4分 2222arctan 1111()(arctan )212x d x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠ ……6分 222arctan 11(arctan )ln 221x x x C x x=--+++. ……8分解二：令tan x t =，则原式2(csc 1)t t dt -⎰=……2分 2cos 1cot sin 2t t t dt t t =-+-⎰……4分21cot ln |sin |2t t t t C =-+-+……6分 22arctan 1(arctan )21x x C x x =-+++.……8分五、(本题满分8分)设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<-=.2,1612,21,,1,21)(32x x x x x x x f(1) 写出()f x 的反函数()g x 的表达式；(2) 问()g x 是否有间断点与不可导点，若有，指出这些点.解：(1) 由题设，()f x 的反函数为3112()1816812x x g x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩. ……4分(2) ()g x 在(,)-∞+∞内处处连续，没有间断点.……5分 ()g x 的不可导点是01x x ==-及.……8分 （注：多写一个不可导点8x =扣1分）六、(本题满分8分)设函数()y y x =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定. 试求()y y x =的驻点，并判 别它们是否为极值点.解：对原方程两边求导可得2320()y y yy xy y x '''-++-=*……2分令0y '=，得y x =.将此代入原方程有32210x x --=.从而解得唯一的驻点1x =. ……5分()*式两边求导，得22(32)2(31)210y y x y y y y ''''-++-+-=.因此(1,1)1|02y ''=>，故驻点1x =是()y y x =的极小值点. ……8分七、(本题满分8分)设()f x 在区间[,]a b 上具有二阶导数，且()()0f a f b ==，'()'()0.f a f b >证明存在(,)a b ξ∈和),(b a ∈η，使()0f ξ=及0)(''=ηf .证一：先用反证法证明存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. 若不存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，则在区间(,)a b 内恒有()0f x >或()0f x <. 不妨设()0f x >（对()0f x <，类似可证），则()()()()lim lim 0x b x b f x f b f x f b x b x b--→→-'==≤--， ……3分 ()()()()lim lim 0x a x a f x f a f x f a x ax a ++→→-'==≥--.从而()()0f a f b ''≤，这与已知条件矛盾. 这即证得存在(,)a b ξ∈,使得()0f ξ=. ……5分再由()()()f a f f b ξ==及罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ηξηξ∈∈和，使得12()()0f f ηη''==. 又在区间12[,]ηη上对()f x '应用罗尔定理知，存在12(,)(,)a b ηηη∈⊂，使()0f η''=.……8分证二：不妨设()0,()0f a f b ''>>（对()0,()0f a f b ''<<类似可证），即()lim 0x a f x x b +→>-，()lim 0x b f x x b-→>-. 故存在11(,)x a a δ∈+和22(,)x b b δ∈-，使1()0f x >及2()0f x <，其中12,δδ为充分小的正数. 显然12x x <，在区间12[,]x x 上应用介值定理知，存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈⊂，使得()0f ξ=. ……5分 以下同证一. 八、(本题满分8分) 设()f x 为连续函数.(1) 求初值问题0'()0|x y ay f x y -+=⎧⎪⎨=⎪⎩的解()y y x =，其中a 是正常数； (2) 若()f x k ≤(k 为常数)，证明：当0≥x 时，有()(1).ax k y x e a-≤-证一：(1) 原方程的通解为()[()][()]axax ax y x ef x e dx C e F x C --=+=+⎰， ……2分其中()F x 是()axf x e 的任一原函数.由(0)0y =得(0)C F =-，故()[()(0)]()xax ax at y x e F x F e f t e dt --=-=⎰.……4分 (2) 0()()xaxat y x ef t e dt -≤⎰……6分 0xaxat kee dt -≤⎰(1)(1),0ax ax ax k k e e e x a a--≤-=-≥. ……8分证二：在原方程的两端同乘以ax e ，得()ax ax ax y e aye f x e '+=.从而()()ax axye f x e '=，……2分 所以0()xaxat yef t e dt =⎰或0()xaxat y ef t e dt -=⎰.……4分（2）同证一数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设方程yy x =确定y 是x 的函数，则dy =(1ln )dxx y +.(2) 设⎰+=c x dx x xf arcsin )(，则=⎰)(x f dx 231(1)3x C -. (3) 设（00,y x ）是抛物线c bx ax y ++=2上的一点，若在该点的切线过原点，则系数,,a b c应满足的关系是200(),c a ax c b ≥=或任意.(4) 设 123222212311111231111n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠= ，则线性方程组B X A T=的解是(1,0,,0)T X =(5) 设由来自正态总体X ～)9.0,(2μN 容量为9的简单随机样本，得样本均值5=X ，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 ( 4.412 , 5.588 ) 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 累次积分dr r r r f d ⎰⎰20cos 0)sin ,cos (πθθθθ可以写成 (D)(A) dx y x f dy y y ⎰⎰-102),(. (B)dx y x f dy y ⎰⎰-1102),(. (C)dy y x f dx ⎰⎰101),(. (D)dy y x f dx x x ⎰⎰-12),(.(2) 下述各选项正确的是 (A)(A) 若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛，则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B) 若1n nn u v∞=∑收敛，则21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛(C) 若级数1n n u ∞=∑发散，则1n u n≥ (D) 若级数1nn u∞=∑收敛，且n n u v ≥(1,2,)n = ，则级数1nn v∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异),2(≥n A *是矩阵A 的伴随矩阵，则 (C)(A) (A *)*=A A n 1- (B) (A *)*=A A n 1+(C) (A *)*=A An 2-(D) (A *)*=A An 2+(4) 设有任意两个n 维向量组12,,,m ααα 和12,,,m βββ ，若存在两组不全为零的12,,,mλλλ 和12,,,m k k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-= ,则 (D)(A) 12,,,m ααα 和 12,,,m βββ 都线性相关 (B) 12,,,m ααα 和 12,,,m βββ 都线性无关 (C) 11221122,,,,,,,m m m m αβαβαβαβαβαβ+++--- 线性无关 (D)11221122,,,,,,,m m m m αβαβαβαβαβαβ+++--- 线性相关(5) 已知0<P (B )<1,且P )()(])[(2121B A P B A P B A A +=+,则下列选项成立的是 (B)(A) )()(])[(2121B A P B A P B A A P +=+ (B) )()()(2121B A P B A P B A B A P +=+ (C) 1212()()()P A A P A B P A B +=+ (D) )()()()()(2211A B P A P A B P A P B P += 三、(本题满分6分)设()f x =()00,0xg x e x x x -⎧-≠⎪⎪⎨⎪⎪=⎩若若，其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1g =, (0)1g '=-. (1) 求()f x '； (2) 讨论()f x '-∞+∞在（，）上的连续性.解：(1) 当0x ≠时，有22[()]()()()(1)()x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x---''+-+-++'==. ……1分 当0x =时,有20()(0)lim xx g x e f x-→-'= ……2分 00()()(0)1lim lim 222x x x x g x e g x e g x --→→'''''+--===. ……3分所以2()()(1)0()(0)102x xg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩若若.……4分(2) 因为在0x =处，有0lim ()x f x →'00()()()(1)()lim lim22x x xx x g x xg x g x e x e g x e x ---→→''''''+-+-+-== (0)1(0)2g f ''-'==.……5分 从而()f x '在0x ≠处连续，所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.……6分四、(本题满分6分)设函数()z f u =，方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是x 、y 的函数，其中()f u 、()u ϕ可微；(),()p t u ϕ' 连续，且()1u ϕ'≠. 求 ()()z zp y p x x y∂∂+∂∂. 解：由()z f u =可得();();z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂ ……1分在方程()()x yu u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数，得()()u uu p x x x ϕ∂∂'=+∂∂, ……2分 ()()u uu p y y yϕ∂∂'=-∂∂. ……3分 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-； ……5分 于是()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u φφ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦. ……6分五、(本题满分6分) 计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰. 解一： 2200(1)(1)x x x x xe xe dx dx e e +∞+∞--=++⎛⎛⎜⎜⎠⎠011xxd e +∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠ ……1分00111xxx dx e e ∞+∞=-+++⎛⎜⎠ ……2分 011x dx e+∞=+⎛⎜⎠. ……3分令x e t =，则1dx dt t=.于是2101(1)(1)x x xe dx dt e t t +∞+∞--=++⎛⎛⎜⎜⎠⎠ ……4分 1111ln 11t dt t t t +∞+∞⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭⎛⎜⎠ ……5分 ln 2=.……6分解二：21(1)1x x xxe dx xd e e ---⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎛⎛⎜⎜⎠⎠111x xx dx ee --=-++⎛⎜⎠ 11x x x x e dx e e-=-++⎛⎜⎠ln(1)1x x xxe e C e =-+++. ……3分 所以20lim ln(1)ln 2(1)1x x x x x x xe xe dx e e e +∞--→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎛⎜⎠. ……4分其中lim ln(1)lim ln(1)11x x x x xxx x xe xe e x x e e e →+∞→+∞⎡⎤⎡⎤-+=-+-+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ lim ln 00011x x x x x e e e →+∞⎡⎤=-+=+=⎢⎥++⎣⎦ ……5分 因此20ln 2ln 2(1)x x xe dx e +∞--=+=+⎛⎜⎠. ……6分六、(本题满分5分)设)(x f 在区间[0,1]上可微，且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰，求证：存在ξ)1,0(∈，使0)()(='+ξξξf f .证：设()()F x xf x =. 由积分中值定理，可见存在1(0,)2η∈.使112201()()()2xf x dx F x dx F η==⎰⎰. ……2分由已知条件，有1201(1)2()2()()2f xf x dx F F ηη==⋅=⎰.……3分 由于(1)(1)()F f F η==，……4分并且()F x 在[,1]η上连续，在(,1)η上可导.故由罗尔定理知：存在(,1)(0,1)ξη∈⊂，使得()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=.……5分七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时，售出的商品数量Q 可以表示成c bp aQ -+=，其中,,a b c 均为正数，且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；(2) 要使销售额最大，商品单价p 应取何值？最大销售额是多少？ 解：(1) 设售出商品的销售额为R ，则a R PQ P c a b ⎛⎫==-⎪+⎝⎭，令22()0()ab c P b R p b -+'==+. 得00ab bp b a bc c c ==>. ……2分 当0bp a bc c <<时，有0R '>.所以随p 的增加，相应的销售额也增加. ……4分当bp a bc c>时，有0R '<.所以随p 的增加，相应的销售额将减少.……5分 (2) 由(1)知，当bp a bc c=时，销售额R 取得最大值，最大销售额为2max (/)()/R ab c b c a bc ab c==. ……6分八、(本题满分6分)求微分方程x y x y dx dy 22+-=的通解. 解：令y z x =，则dy dzz x dx dx=+. ……1分 当0x >时，原方程化为21dz z x z z dx +=+21dx x z =-+， ……3分 其通解为221ln(1)ln 1C z z x C z z x+=-++或＝,……5分代回原变量，得通解22(0)y x y C x +>＝.……6分当0x <时，原方程的解与0x >时相同.九、(本题满分8分)设矩阵A= 010010000010012y ⎫⎛⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭(1) 已知A 的一个特征值为3，试求y ； (2) 求矩阵P ，使(AP)T(AP)为对角矩阵.解：(1) 因为22||(1)[(2)21]0I A y y λλλλ-=--++-=. 当3λ=时，代入上式解得2y =.……3分于是0100100000210012A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (2) 由T A A =，得2()()T T AP AP P A P =.而矩阵21000010000540045A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ……4分 考虑二次型22222222212343412344495585()55T X A X x x x x x x x x x x x =++++=++++， ……6分 令1122334444,,,5y x y x y x x y x ===+=，即11223344100001000014/50001x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 取10000100400150001P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎭-⎪⎪⎝，则有100001000050()(900)05TAP AP ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.……8分(2) 另解：2A 的特征值为11λ=（三重），29λ=.……5分对应于11λ=的特征向量为123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1),T T T ααα===-经正交标准化后，得向量组123(1,0,0,0),(0,1,0,0),)22T T Tβββ===；……6分 对应于29λ=的特征向量为4(0,0,1,1)T α=,经单位化后,得422Tβ=. ……7分令()123410000100,,,00220022P ββββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎝，则210000100001000()()09T T P A P AP AP ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.……8分十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα 是齐次线性方程组AX = 0的一个基础解系，向量β不是方程组 AX= 0的解，即A β≠0. 试证明向量组β，β+1α，β+2α，…，β+t α线性无关. 解：设有一组数12,,,,t k k k k ，使得1()0tiii k k ββα=++=∑，……1分 即11()()t tiiii i k k k βα==+=-∑∑ （1）……2分上式两边同时左乘矩阵A ，有11()()0t tiiii i k k A k A βα==+=-=∑∑.因为0A β≠，故10tii k k=+=∑ （2）……4分从而，由（1）式得1()0tiii k α=-=∑.由于向量组1,.......,t αα是基础解系，所以120t k k k ==== .……6分 因而由（2）式得0k =.因此向量组β，β+1α，……，β+t α线性无关.……8分十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获得利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生二次故障多获得利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少？解：以X 表示一周五天内机器发生故障的天数，则X 服从参数为(5,0.2)的二项分布.即55{}0.20.8(0,1,2,3,4,5)kk kP X k C k -==⋅⋅=……2分 于是5{0}0.80.328P X ===, 145{1}0.20.80.410P X C ==⋅⋅=;……3分2235{2}0.20.80.205P X C ==⋅⋅=;{3}1{0}{1}{2}0.057P X P x P x P x ≥=-=-=-==. ……4分以Y 表示所获利润，则()Y f X ==10,05,10,22,3X X X X =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪≥⎩若若若－若，……5分所以100.32850.41000.20520.057 5.216EY =⨯+⨯+⨯-⨯=（万元）.……7分十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程x 2+ Bx + C = 0，其中B,C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的 点数.求方程有实根的概率p 和有重根的概率q .解：一枚色子（骰子）掷两次，其基本事件总数为36. 方程组有实根的充分必要条件是224,4B BC C ≥≤. ……2分B1 2 3 4 5 6 使2/4C B ≤的基本事件个数 0 1 2 4 6 6 使2/4C B =的基本事件个数11……4分因此，使方程组有实根的基本事件个数为1246619++++=.于是1936p =. ……5分 同理，使方程组有重根的基本事件个数为112+=，于是213618q ==. ……6分十三 (本题满分6分)设12,,,n X X X 独立且与X 同分布，k k EX α=(1,2,3,4)k =.求证：当n 充分大时，∑==n i i n X n z 121近似服从正态分布，并求出其分布参数. 解：依题意，12,,,n X X X 独立同分布，于是22212,,,n X X X 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX k α==，有……1分 22i EX α=，2422242()i i i DX EX EX αα=-=-； ……2分 2211nn i i EZ EX n α===∑，……3分 22422111()n n i i DZ DX n nαα===-∑……4分根据中心极限定理2242()/n n U n αα=-即当n 充分大时，n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布.……6分数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 设)1ln(2x x y ++=，则3x y '''=532(4) 五阶行列式aa a a a a a a a---------11110001100011000123451a a a a a =-+-+-.(5) 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+,以X 表示3个零件中合格品的个数，则P (X=2)=1124. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设0)()(00=''='x f x f ,0)(0>'''x f , 则下列选项正确的是 (D)(A) )(0x f '是)(x f '的极大值 (B) )(0x f 是)(x f 的极大值(C) )(0x f 是)(x f 的极小值 (D) ))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点 (2) 【 同数学三 第二、(3) 题 】 (3) 【 同数学四 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学四 第二、(4) 题 】(5) 设A ，B 为任意两个事件，且A ⊂B , P (B )>0，则下列选项必然成立的是 (B)(A) ()()P A P A B < (B) ()()P A P A B ≤ (C) ()()P A P A B > (D) ()()P A P A B ≥ 三、(本题满分6分)【 同数学四 第三题 】 四、(本题满分7分) 设2(,)xyt f x y e dt -=⎰，求222222yfx y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂解：22x y fye x-∂=∂， ……2分 22x y f xey-∂=∂，222322x y f xy e x -∂=-∂， ……4分 222322x y f x ye y -∂=-∂，22222(12)x y f x y ex y-∂=-∂∂. ……6分 于是222222222x y x f f y f ey x x y x y -∂∂∂-+=-∂∂∂∂. ……7分五、(本题满分6分)【 同数学四 第五题 】六、(本题满分7分)【 同数学四 第七题 分值不同 】 七、(本题满分9分)已知一抛物线通过x 轴上的两点A ( 1, 0 )，B ( 3, 0 ).(1) 求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x 轴与该抛物线所围图形的面积； (2) 计算上述两个平面图形绕x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比. 解：(1) 设过,A B 两点的抛物线方程为(1)(3)y a x x =--， 则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为110|(1)(3)|S a x x dx =--⎰……1分1204||(43)||3a x x dx a =-+=⎰. ……2分 抛物线与x 轴所围图形的面积为321|(1)(3)|S a x x dx =--⎰……3分 3214||(43)||3a x x dx a =-+=⎰.……4分所以12S S =.(2) 抛物线与两坐标轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为12210[(1)(3)]V a x x dx π=--⎰……5分124320[(1)4(1)4(1)]a x x x dxπ=---+-⎰5324120(1)4(1)38[(1)].5315x x a x a ππ--=--+=……6分抛物线与x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为32221[(1)(3)]V a x x dx π=--⎰353241(1)4(1)(1)53x x a x π⎡⎤--=--+⎢⎥⎣⎦ ……7分216.15a π=……8分 所以12198V V =.……9分八、(本题满分5分)设)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()()ba f x dx fb b a=-⎰ 求证：在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使 )(ξf ' = 0.证：因为()f x 在[,]a b 上连续，由积分中值定理可知，在(,)a b 内存在一点c ，使得()()()baf x dx f c b a =-⎰. ……2分 即()()()baf x dxf c f b b a==-⎰.……3分因为()f x 在[,]c b 上连续，在(,)c b 内可导，故由罗尔定理，在(,)c b 内至少存在一点出ξ，使得()0f ξ'=，其中(,)(,)c b a b ξ∈⊂.……5分九、(本题满分9分)已知线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+t= x - 6x - x - x -1=7x +px + x 2+3x -1= 4x + 6x - x + 2x 0= x 3+2x -x x 4321432143214321，讨论参数p, t 取何值时，方程组有解? 无 解? 当有解时, 试用其导出组的基础解系表示通解.解：方程组系数矩阵A 的增广矩阵为11230104112164101221327100800116100002A p p t t ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭……3分(1) 当2t ≠-时，()()A A ≠秩秩，方程组无解. ……4分 (2) 当2t =-时，()()A A =秩秩，方程组有解.……5分(a) 若8p =-,得通解1212141122(,010001x c c c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数）.……7分(b) 若8p ≠-得通解1112(0001x c c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数）.……9分十、(本题满分7分)设有4阶方阵A 满足条件30I A +=，I A A T2=，0A <，其中I 是4阶单位阵，求方阵A 的伴随阵*A 的一个特征值.解：由3|(3)|0I A A I +=--=，得A 的一个特征值3λ=-. ……1分 又4|||2|2||16T AA I I ===，2||||||16T A A A ==.于是||4A =-.……3分由于||0A <，知A 可逆.设A 的对应于特征值3λ=-的特征向量为α，则3A αα=-，由此得11(3)A A A αα--=-.即113A αα-=-，知13-是1A -的特征值. ……5分 由于*114||(4)()33A A A αααα-==--=，所以*A 有特征值43.……7分十一、(本题满分7分)【 同数学四 第十一题 】 十二、(本题满分6分)某电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ> 0的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布.解：以(1,2,3)i X i =表示第i 个电气元件无故障工作的时间，则123,,X X X 相互独立且同分布，其分布函数为1,0()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩若，若，……1分设()G t 是T 的分布函数.当0t ≤时，()0G t =.当0t >时，有(){}1{}G t P T t P T t =≤=->……3分 1231{,,}P X t X t X t =->>>……4分 1231{}{}{}P X t P X t P X t =->⋅>⋅> ……5分 31[1()]F t =-- ……6分 31t e λ-=-.……7分总之，31,0()00t e t G t t λ-⎧->=⎨≤⎩若，若，于是T 服从参数为3λ的指数分布.。

1996年考研数学二试卷及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设232()x y x e -=+,则0x y ='=＿＿＿＿＿＿.(2)121(x dx -+=⎰＿＿＿＿＿＿.(3) 微分方程250y y y '''++=的通解为＿＿＿＿＿＿.(4) 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦＿＿＿＿＿＿.(5) 由曲线1,2y x x x=+=及2y =所围图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设当0x →时,2(1)xe ax bx -++是比2x 高阶的无穷小,则 ( )(A) 1,12a b == (B) 1,1a b == (C) 1,12a b =-=- (D) 1,1a b =-=(2) 设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义,若当(,)x δδ∈-时,恒有2|()|f x x ≤,则0x =必是()f x 的 ( ) (A) 间断点 (B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点,且(0)0f '= (D) 可导的点,且(0)0f '≠(3) 设()f x 处处可导,则 ( )(A) 当lim ()x f x →-∞=-∞,必有lim ()x f x →-∞'=-∞(B) 当lim ()x f x →-∞'=-∞,必有lim ()x f x →-∞=-∞(C) 当lim ()x f x →+∞=+∞,必有lim ()x f x →+∞'=+∞(D) 当lim ()x f x →+∞'=+∞,必有lim ()x f x →+∞=+∞(4) 在区间(,)-∞+∞内,方程1142||||cos 0x x x +-= ( )(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根 (C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根(5) 设(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续,且()()g x f x m <<(m 为常数),由曲线(),y g x =(),y f x x a ==及x b =所围平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体体积为 ( )(A) [][]2()()()()bam f x g x f x g x dx π-+-⎰(B) [][]2()()()()bam f x g x f x g x dx π---⎰(C) [][]()()()()bam f x g x f x g x dx π-+-⎰(D)[][]()()()()bam f x g x f x g x dx π---⎰三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)计算ln 0⎰.(2) 求1sin dxx +⎰.(3) 设2022(),[()],t x f u du y f t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰其中()f u 具有二阶导数,且()0f u ≠,求22d y dx .(4) 求函数1()1xf x x-=+在0x =点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式. (5) 求微分方程2y y x '''+=的通解.(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为22a b 、,用过此柱体底面的短轴与底面成α角(02πα<<)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V .四、(本题满分8分)计算不定积分22arctan (1)xdx x x +⎰.α五、(本题满分8分)设函数2312,1,(),12,1216, 2.x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩(1) 写出()f x 的反函数()g x 的表达式；(2) ()g x 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.六、(本题满分8分)设函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定,试求()y y x =的驻点,并判别它是否为极值点.七、(本题满分8分)设()f x 在区间[,]a b 上具有二阶导数,且()()0f a f b ==,()()0f a f b ''>,试证明：存在(,)a b ξ∈和(,)a b η∈,使()0f ξ=及()0f η''=.八、(本题满分8分)设()f x 为连续函数,(1) 求初值问题0(),0x y ay f x y ='+=⎧⎪⎨=⎪⎩的解()y x ,其中a 为正的常数；(2) 若|()|f x k ≤(k 为常数),证明：当0x ≥时,有|()|(1)ax ky x e a-≤-.答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】13132221132x xy x e e ,---⎛⎫⎛⎫'=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭02111323x y =⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.(2)【答案】2注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有原式()1122112121022x x dx dx --⎡⎤⎡⎤=+-==+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. (3)【答案】()12cos2sin 2xy ec x c x -=+因为250y y y '''++=是常系数的线性齐次方程,其特征方程2250r r ++=有一对共轭复根1212r ,r i.=-±故通解为()12cos2sin 2xy e c x c x -=+.(4)【答案】2因为x →∞时,sin ln 1ln 1k k kx x x⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k 为常数),所以, 原式3131lim sin ln 1lim sin ln 1lim lim 312x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】1ln 22-曲线1y x ,x =+2y =的交点是()12,,2211,x y x x x '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭当1x >时 1y x x=+(单调上升)在2y =上方,于是212211211ln 2ln 2.22S x dxx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭⎰二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由()21x e ax bx -++()()222112!x x x ax bx ο⎛⎫=+++-++ ⎪⎝⎭()()()222112b x a x x x οο⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭令,可得 10111202b ,a ,b .a ,-=⎧⎪⇒==⎨-=⎪⎩应选(A). 方法2：用洛必达法则.由2200(1)2lim lim 0,2x x x x e ax bx e ax bx x→→-++--=洛 有 ()lim 210 1.xx e ax b b b →--=-=⇒=又由 0022121limlim 02222x x x x e ax b e a a a x →→----===⇒=. 应选(A).(2)【答案】(C)方法一：首先,当0x =时,|(0)|0(0)0f f ≤⇒=. 而按照可导定义我们考察2()(0)()00(0)f x f f x x x x x x x-≤=≤=→→,由夹逼准则, 0()(0)(0)lim0x f x f f x→-'==,故应选(C).方法二：显然,(0)0f =,由2|()|f x x ≤,(,)x δδ∈-,得2()1(,0)(0,)f x x xδδ≤∈-,,即2()f x x 有界,且 200()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x x →→-⎛⎫'==⋅= ⎪⎝⎭. 故应选(C).方法三：排除法.令3(),(0)0,f x x f '==故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C). (3)【答案】(D)方法一：排除法.例如()f x x =,则(A),(C)不对；又令()xf x e -=,则(B)不对.故应选择(D).方法二：由lim ()x f x →+∞'=+∞,对于0M >,存在0x ,使得当0x x >时,()f x M '>.由此,当0x x >时,由拉格朗日中值定理,0000()()()()()()()f x f x f x x f x M x x x ξ'=+->+-→+∞→+∞,从而有lim ()x f x →+∞=+∞,故应选择(D).(4)【答案】(C)令1142()||||cos f x x x x =+-,则()()f x f x -=,故()f x 是偶函数,考察()f x 在(0,)+∞内的实数个数：1142()cos f x x x x =+-(0x >).首先注意到(0)10f =-<,1142()()()10,222f πππ=+>>当02x π<<时,由零值定理,函数()f x 必有零点,且由314211()sin 042f x x x x --'=++>,()f x 在(0,)2π单调递增,故()f x 有唯一零点.当2x π≥时,11114242()cos ()()10,22f x x x x ππ=+-≥+->没有零点； 因此,()f x 在(0,)+∞有一个零点.又由于()f x 是偶函数,()f x 在(,)-∞+∞有两个零点.故应选(C). (5)【答案】(B)见上图,作垂直分割,相应于[],x x dx +的小竖条的体积微元22(())(())dV m g x dx m f x dx ππ=---[][](())(())(())(())m g x m f x m g x m f x dx π=-+-⋅--- [][]2()()()()m g x f x f x g x dx π=--⋅-,于是 [][]2()()()()baV m g x f x f x g x dx π=--⋅-⎰,故选择(B).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)方法一：换元法.u =,则221ln(1),21u x u dx du u=--=-, 所以2ln 2200011111)2)11211u du du du u u u u==-=+----+⎰1ln(22==. 方法二：换元法.令sin xe t -=,则cos ln sin ,sin t x t dx dt t =-=-,:0ln 2:26x t ππ→⇒→,ln 62026cos 1cos sin sin sin t t dt t dt t tππππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰2266ln(csc cot )cos ln(22t t t ππππ=--=-. 方法三：分部积分法和换元法结合.原式ln 2ln 0()x e e --==-⎰⎰22ln 2x xee--=-+⎰令xe t =,则:0ln 2:12x t →⇒→,原式2211ln(t =+=+⎰ln(22=-+.(3)这是由参数方程所确定的函数,其导数为22222()()24()()dydy f t f t t dt tf t dx dx f t dt'⋅⋅'===, 所以 2222221()(4())4()4()2()d y d dy dt d dt tf t f t tf t t dx dt dx dx dt dx f t ''''⎡⎤=⋅=⋅=+⋅⋅⎣⎦ 22224()2()()f t t f t f t '''⎡⎤=+⎣⎦. (4)函数()f x 在0x =处带拉格朗日余项的泰勒展开式为()(1)1(0)()()(0)(0),(01)!(1)!n n n n f f x f x f f x x x n n θθ++'=++++<<+.对于函数1()1xf x x -=+,有 12()12(1)1,1f x x x-=-=+-+2()2(1)(1),f x x -'=⋅-+ 3()2(1)(2)(1),f x x -''=⋅-⋅-+,,()(1)()2(1)!(1)n n n f x n x -+=-⋅+所以 ()(0)2(1)!,(1,2,3),n n fn n =-⋅ =故 121112()122(1)2(1)(01)1(1)n n n n n xx f x x x x xx θθ+++-==-+++-+- <<++. (5)方法一：微分方程2y y x ''+=对应的齐次方程0y y '''+=的特征方程为20r r +=,两个根为120,1r r ==-,故齐次方程的通解为12x y c c e -=+.设非齐次方程的特解2()Y x ax bx c =⋅++,代入方程可以得到1,1,23a b c ==-=, 因此方程通解为3212123xy c c ex x x -=++-+. 方法二：方程可以写成2()y y x ''+=,积分得303x y y c '+=+,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为30(())3dxdx xy e c e dx C -⎰⎰=++⎰33001(())()33xx x x xx e c e dx C e x de c e C --=++=++⎰⎰320(3)3x xx x e x e e x dx c Ce --=-++⎰ 332200(2)33x x xx x x x x x e e x dx c Ce e e x e xdx c Ce ----=-++=--++⎰⎰ 3202()3x x x x x x e e x e c Ce --=-+-++ 32123x x x x c Ce -=-+++. 方法三：作为可降阶的二阶方程,令y P '=,则y P '''=,方程化为2P P x '+=,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为220020()(22)2 2.x x x x x x xP e c x e dx e c x e xe e c e x x ---=+=+-+=+-+⎰再积分得 321223xx y c c e x x -=++-+. (6)建立坐标系,底面椭圆方程为22221x y a b+=.方法一：以垂直于y 轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形, 其中一条直角边长为22a x b y b=-22tan a b y bα-, 故截面面积为22221()()tan 2a S y b y bα=-⋅. 楔形体的体积为222220022()tan ()tan 3bb a V S y dy b y dy a b b αα==-=⎰⎰.方法二：以垂直于x 轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,其中一条边长为222b y a x a=-另一条边长为tan x α⋅, 故截面面积为22()2tan bS x x a x aα=-,楔形体的体积为22200222()tan tan 3aa b V S x dx x a x dx a b a αα==-=⎰⎰.四、(本题满分8分) 方法一：分部积分法.2222arctan arctan arctan (1)1x x xdx dx dx x x x x =-++⎰⎰⎰1arctan ()arctan (arctan )xd xd x x=--⎰⎰2211arctan arctan (1)2dx x x x x x -+-+⎰分部 22111arctan ()arctan 12x x dx x x x x =-+--+⎰ 22111arctan ln ln(1)arctan 22x x x x C x =-+-+-+.方法二：换元法与分部积分法结合.令arctan x t =,则2tan ,sec x t dx tdt ==,2222222arctan sec cot (1)tan (1tan )tan x t t t dx dt dt t tdt x x t t t ===++⎰⎰⎰⎰2(csc 1)(cot )t t dt td t tdt =-=--⎰⎰⎰21cot cot 2t t dt t -+-⎰分部 2cos 1cot sin 2x t t dt t x =-+-⎰211cot sin sin 2t t d t t t =-+-⎰21cot ln sin 2t t t t C =-+-+.五、(本题满分8分)【解析】为了正确写出函数()f x 的反函数()g x ,并快捷地判断出函数()g x 的连续性、可导性,须知道如下关于反函数的有关性质.(1) 由题设,函数()f x的反函数为1,()18,16,8.12xg x xxx⎧<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩(2) 方法一：考察()f x的连续性与导函数.注意2312,1,(),12,1216,2x xf x x xx x⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩在(,1),(1,2),(2,)-∞--+∞区间上()f x分别与初等函数相同,故连续.在1,2x x=-=处分别左、右连续,故连续.易求得24,1,()3,12,(1)4,(1)3,12,2(2)12,(2)12(2)12.x xf x x x f fxf f f-+-+-<-⎧⎪'''=-<<-=-=⎨⎪>⎩'''==⇒=由于函数()f x在(,)-∞+∞内单调上升且连续,故函数()g x在(,)-∞+∞上单调且连续,没有间断点.由于仅有0x=时()0f x'=且(0)0f=,故0x=是()g x的不可导点；仅有1x=-是()f x的不可导点(左、右导数∃,但不相等),因此()g x在(1)1f-=-处不可导.方法二：直接考察()g x的连续性与可导性.注意1,()18,16,8,12xg x xxx⎧<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩在(,1),(1,8),(8,)-∞--+∞区间上()g x分别与初等函数相同,故连续.在1,8x x=-=处分别左、右连续,故连续,即()g x在(,)-∞+∞连续,没有间断点.()g x 在(,1),(1,8),(8,)-∞--+∞内分别与初等函数相同,在0x =不可导,其余均可导.在1x =-处,1111(1),(1),43x x g g -++=--=-'⎛'''-==-== ⎝ (1)g '⇒-不∃.在8x =处,881161(8),(8),121212x x x g g -+-+=='+'⎛⎫''====⎪⎝⎭ (8)g '⇒∃.因此,()g x 在(,)-∞+∞内仅有0x =与1x =-两个不可导点.六、(本题满分8分) 方程两边对x 求导,得22320,(32)0.y y yy xy y x y y x y y x ''''-++-=-++-= ①令0,y '=得y x =,代入原方程得32210x x --=,解之得唯一驻点1x =；对①两边再求导又得22(32)(32)10x y y x y y y x y y '''''-++-++-=. ②以1,0x y y '===代入②得11210,0,2x y y =''''-==> 1x =是极小点.定理：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且00()0,()0f x f x '''=≠,那么 (1) 当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值； (2) 当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.七、(本题满分8分)首先证明(,)a b ξ∃∈,使()0f ξ=：方法一：用零点定理.主要是要证明()f x 在(,)a b 有正值点与负值点.不妨设()0,f a '>()0f b '>.由()()lim ()()0x a f x f a f a f a x a ++→-''==>-与极限局部保号性,知在x a =的某右邻域,()()0f x f a x a->-,从而()0f x >,因而111,,()0x b x a f x ∃>>>；类似地,由()0f b '>可证 2122,,()0x x x b f x ∃<<<.由零点定理,12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂,使()0f ξ=.方法二：反证法.假设在(,)a b 内()0f x ≠,则由()f x 的连续性可得()0f x >,或()0f x <,不妨设()0f x >.由导数定义与极限局部保号性,()()()()()lim lim 0x a x a f x f a f x f a f a x ax a +++→→-''===≥--,()()()()()lim lim 0x b x b f x f b f x f b f b x b x b ---→→-''===≤--,从而()()0f a f b ''≤,与()()0f a f b ''>矛盾.其次,证明(,)a b η∃∈,()0f η''=：由于()()()0f a f f b ξ===,根据罗尔定理,12(,),(,)a b ηξηξ∃∈∈,使12()()0f f ηη''==；又由罗尔定理, 12(,)(,),()0a b f ηηηη''∃∈⊂=.注：由0()0f x '>可得：在000(,),()()x x f x f x δ-<；在000(,),()()x x f x f x δ+>.注意由0()0f x '>得不到()f x 在00(,)x x δδ-+单调增的结果！ 4.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.八、(本题满分8分)(1) ()y ay f x '+=为一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为[]()()()ax ax ax y x e f x e dx C e F x C --⎡⎤=+=+⎣⎦⎰,其中()F x 是()axf x e 的任一原函数,由(0)0y =得(0)C F =-,故[]0()()(0)()xax ax at y x e F x F e e f t dt --=-=⎰.(2) 当0x ≥时,0()()()xxaxat axat y x ee f t dt ee f t dt --=⋅≤⎰⎰001(1)x x ax at ax at ax k ke e dt ke e e a a---⎛⎫≤⋅=⋅=- ⎪⎝⎭⎰.。

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 已知全集I =N ，集合A ={x │x =2n ，n ∈N }，B ={x │x =4n ，n ∈N }，则 ( )(A) B A I =(B)B A I =(C) B A I =(D) B A I =(2) 当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a －x 与y =log a x 的图像( )(3) 若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是 ( )(A) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ (B) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ (C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ (D) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ(4) 复数54)31()22(i i -+等于( )(A) i 31+(B) i 31+-(C) i 31-(D) i 31--(5) 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l l ,γβ =∥m m 和αα⊂,,⊥γ，那么必有( )(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m(D)α∥β且α⊥γ(6) 当x x x f x cos 3sin )(,22+=≤≤-函数时ππ的( ) (A) 最大值是1，最小值是－1 (B) 最大值是1，最小值是－21 (C) 最大值是2，最小值是－2 (D) 最大值是2，最小值是－1(7) 椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是( )(A) (－3，5)，(－3，－3) (B) (3，3)，(3，－5) (C) (1，1)，(－7，1)(D) (7，－1)，(－1，－1))](arccos[sin )]2(arcsin[cos ,20)8(απαππα+++<<则若等于( )(A)2π (B) －2π (C)2π－2α (D) －2π－2α (9) 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )(A) 63a(B) 123a(C)3123a (D)3122a (10) 等比数列{}n a 的首项a 1=－1，前n 项和为S n ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于( )(A)32(B) －32 (C) 2 (D) －2(11) 椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是( )(A) (3，0)，(1，π)(B) (3，2π)，(3，23π)(C) (2，3π)，(2，35π)(D) (7，23arctg)，(7，23arctg -2π) (12) 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )(A) 130(B) 170(C) 210(D) 260(13) 设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ,直线l 过),0)(0,(b a 两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ( )(A) 2(B)3(C)2 (D)332 (14) 母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 ( )(A)π322 (B)π332 (C)π2(D)π362 (15) 设f (x )是(－∞，+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则f (7.5) 等于( )(A) 0.5 (B) －0.5(C) 1.5(D) －1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则P=(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）(18)40tg 20tg 340tg 20tg ++的值是(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)解不等式1)11(log >-xa ．(21)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求2cosCA -的值． 22．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1．(Ⅰ)求证：BE =EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足． ① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB =BC 得BF ⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ． ③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE =FG ， ④ ∵ ∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ， ⑤ ∵ ∴112121BB AA FG ==，即11,21EB BE BB BE ==故 23．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）24．已知l 1、l 2是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若12211,5l B A B A 求 、l 2的方程25．已知a 、b 、c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1．(Ⅰ)证明：│c │≤1；(Ⅱ)证明：当－1≤x ≤1时，│g (x )│≤2；(Ⅲ)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B(5)A(6)D(7)B(8)A(9)D(10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（16）2 （17）32 （18）3（19）42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．解：(Ⅰ)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-． 因为1－a <0，所以x <0， ∴.011<<-x a——5分(Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.11,011a xx由①得，x >1或x <0， 由②得，,110ax -<< ∴ax -<<111 ——10分综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111 ——11分(21)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°． ——2分∵,2260cos 2-=-∴22cos 1cos 1-=+CA 将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+ 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+ ——6分将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得)cos(222)2cos(C A C A --=- 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分,0)32cos 22)(22cos2(=+---C A C A ∵,032cos 22≠+-CA ∴.022cos2=--CA 从而得.222cos=-C A ——12分解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°． 设αα2,2=--=C A CA 则，可得α+= 60A ，α-= 60C ——3分所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα——7分依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ∴2243cos cos 2-=-αα整理得,023cos 2cos 242=-+αα——9分,0)3cos 22)(2cos 2(=+-αα∵03cos 22≠+α， ∴02cos 2=-α． 从而得222cos =-C A ． ——12分(22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．(Ⅰ) ①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1，——2分 ②∵面ABC ⊥侧面AC 1， ——3分 ③∵BE ∥侧面AC 1， ——4分 ④∵BE ∥AA 1， ——5分 ⑤∵AF =FC ，——6分(Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ． ∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ==， ∴,21111111B A C B DC DB ===∵∠B 1A 1C 1=∠B 1 C 1A 1=60°， ∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠D B 1A 1）=30°， ∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A——9分∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ， 所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角． ——11分∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C =90°， ∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°——12分 (23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ——5分化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ——7分 ∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯ )]01.001.01(22.11.11[1022101103 +⨯+⨯+⨯-⨯=C C ]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈ 1.4≈—— 9分∴x ≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．——10分(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，l 1、l 2的斜率都存在，因为l 1过点P )0,2(-且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即l 1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为).13(4)12)(1(4)22(2121212211-=---=∆k k k k设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1．——4分于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ——7分(Ⅱ)设),(),,(221111y x B y x A 由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ∴│A 1B 1│2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)222121))(1(x x k -+=2212121)1()13)(1(4--+=k k k ⑤ ——9分同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=⑥ 由22115B A B A =，得2222115B A B A =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+ 解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．(Ⅰ)证明：由条件当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1，取x =0得 │c │=│f (0)│≤1， 即│c │≤1．——2分(Ⅱ)证法一：当a >0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是增函数， ∴g (－1)≤g (x )≤g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1， ∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤│f (1)│+│c │≤2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(│f (－1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——5分当a <0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是减函数， ∴g (－1)≥g (x )≥g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≤│f (－1)│+│c │≤2， g (1)=a +b =f (1)－c ≥－(│f (1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——7分 当a =0时，g (x )=b ，f (x )=bx +c ． ∵－1≤x ≤1，∴│g (x )│=│f (1)－c │≤│f (1)│+│c │≤2． 综上得│g (x )│≤2． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得b ax x g +=)()2121(])21()21[(22--++--+=x x b x x a ])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= ),21()21(--+=x f x f ——6分当－1≤x ≤1时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f 即│g (x )│≤2．——8分(Ⅲ)因为a >0，g (x )在[－1，1]上是增函数，当x =1时取得最大值2， 即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2． ①∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1， ∴c =f (0)=－1．——10分因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图像的对称轴，由此得0,02==-b ab即 由① 得a =2． 所以 f (x )=2x 2－1． ——12分。

考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1989年)微分方程y〞－y＝eχ＋1的一个特解应具有形式(式中a，b 为常数) 【】A．aeχ＋bB．aχeχ＋bC．aeχ＋bχD．aχeχ＋bχ正确答案：B解析：y〞－y＝eχ＋1的特解应为方程y〞－y＝eχ和y〞－y＝1的特解之和，而特征方程为r2－1＝0，解得r＝±1 因此y－y＝eχ的特解应为y1*＝aχeχ，y〞－y＝1的特解应为y2*＝b 则原方程特解应具有形式y＝aχeχ＋b 知识模块：常微分方程2．(1998年)已知函数y＝f(χ)在任意点χ处的增量△y＝＋α，其中α是比△χ(△χ→0)的高阶无穷小，且y(0)＝π，则y(1)＝【】A．B．2πC．πD．正确答案：A解析：由于△y与△χ＋α，其α是比△χ(△χ→0)高阶的无穷小，则解此变量可分离方程得y＝Cearctanχ，再由y(0)＝π得C＝π故y＝兀earctanχ，y(1)＝π知识模块：常微分方程3．(2000年)具有特解y1＝e－χ，y2＝2χe－χ，y3＝3eχ的三阶常系数齐次线性微分方程是【】A．y〞′－y〞－y′＋y＝0B．y〞′＋y〞－y′－y＝0C．y〞′－6y〞＋11y′－6y＝0D．y〞′－2y〞－y′＋2y＝0正确答案：B解析：由本题所给三个特解可知，所求方程的特征方程的根为λ1＝1，λ2＝－1(二重)，故特征方程是(λ－1)(λ＋1)2＝0，展开得λ3＋λ2－λ－1＝0 从而，微分方程应为y′〞＋y′－y＝0，则应选B．知识模块：常微分方程4．(2002年)设y＝y(χ)是二阶常系数微分方程y〞＋py′＋qy＝e3χ满足初始条件y(0)＝y′(0)＝0的特解，则当χ→0时，函数的极限．【】A．不存在B．等于1C．等于2D．等于3正确答案：C解析：由于y(χ)是方程y〞＋py′＋qy＝e3χ满足初始条件y(0)＝y′(0)＝0的特解，在方程y〞＋py′＋qy＝e3χ中，令χ＝0 得y〞(0)＋Py′(0)＋qy(0)＝e0＝1 即y〞(0)＝1 所以应选C．知识模块：常微分方程5．(2003年)已知y＝是微分方程y′＝的解，则φ()的表达式为【】A．B．C．D．正确答案：A解析：将y＝代入方程y′＝得故应选A．知识模块：常微分方程填空题6．(1994年)微分方程ydχ＋(χ2－4χ)dy＝0的通解为_______．正确答案：(χ－4)y4＝Cχ．解析：该方程是一个变量可分离方程，即(χ－4)y4＝Cχ知识模块：常微分方程7．(1995年)微分方程y〞＋y＝－2χ的通解为_______．正确答案：y＝－2χ＋C1cosχ＋C2sinχ．解析：特征方程为r2＋1＝0，解得r1＝i，r2＝－I 齐次通解为＝C1cos χ＋C2sinχ易观察出非齐次一个特解为y*＝－2χ则原方程通解为y＝C1>cosχ＋C2sinχ－2χ知识模块：常微分方程8．(1996年)微分方程y〞＋2y′＋5y＝0的通解为_______．正确答案：y＝e－χ(C1cos2χ＋C2sin2χ)．解析：特征方程为r2＋2r＋5＝0，r1，2＝－1±2i 故通解为y＝C1e－χcos2χ＋C2e－χsin2χ．知识模块：常微分方程9．(1999年)微分方程y〞－4y＝e2χ的通解为________．正确答案：y＝C1e－2χ＋(C2＋χ)e2χ(C1，C2为任意常数)．解析：特征方程为r2－4＝0，r1，2＝±2 齐次通解为＝1e－2χ＋C2e2χ设非齐次方程特解为y*Aχe2χ代入原方程得A＝，故原方程通解为知识模块：常微分方程10．(2001年)过点(，0)且满足关系式y′arcsinχ＋＝1的曲线方程为_______·正确答案：yarcsinχ＝χ－．解析：由y′arcsinχ＋＝1 知(yarcsinχ)′＝1 则yarcsinχ＝χ＋C 由因此yarcsinχ＝χ－知识模块：常微分方程11．(2002年)微分方程yy〞＋y′2＝0满足初始条件的特解是_______．正确答案：y2＝χ＋1或y＝解析：令y′＝P，则，y〞＝，代入原方程得则所求的特解为y2＝χ＋1．知识模块：常微分方程12．(2004年)微分方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0满足的特解为_______．正确答案：解析：方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0可改写为设方程为一阶线性方程，则其通解为由知C＝1，则所求特解为y＝知识模块：常微分方程13．(2005年)微分方程χy′＋2y＝χlnχ满足y(1)＝－的解为_______．正确答案：解析：方程χy＋2y＝χlnχ是一阶线性方程，方程两端同除以χ得：y′＋＝lnχ，则通解为由y(1)＝－得，C＝0，则知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）（１９８７－２００９）考研数学命题研究组㊀编世纪高教编辑部１９８７年全国硕士研究生招生考试试题ʌ编者注ɔ１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二．（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋ａｘ），其中ａ为非零常数，则ｙᶄ＝，ｙᵡ＝．（２）曲线ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ在横坐标为１的点处的切线方程是；法线方程是．（３）积分中值定理的条件是，结论是．（４）ｌｉｍｎңɕｎ－２ｎ＋１()ｎ＝．（５）ʏｆᶄ（ｘ）ｄｘ＝，ʏｂａｆᶄ（２ｘ）ｄｘ＝．二㊁（本题满分６分）求极限ｌｉｍｘң０１ｘ－１ｅｘ－１()．三㊁（本题满分７分）设ｘ＝５（ｔ－ｓｉｎｔ），ｙ＝５（１－ｃｏｓｔ），{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．四㊁（本题满分８分）计算定积分ʏ１０ｘａｒｃｓｉｎｘｄｘ．五㊁（本题满分８分）设Ｄ是由曲线ｙ＝ｓｉｎｘ＋１与三条直线ｘ＝０，ｘ＝π，ｙ＝０围成的曲边梯形，求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一周所生成的旋转体的体积．六㊁证明题（本题满分１０分）（１）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且导数ｆᶄ（ｘ）恒大于零，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加．（２）若ｇ（ｘ）在ｘ＝ｃ处二阶导数存在，且ｇᶄ（ｃ）＝０，ｇᵡ（ｃ）＜０，则ｇ（ｃ）为ｇ（ｘ）的一个极大值．七㊁（本题满分１０分）计算不定积分ʏｄｘａ２ｓｉｎ２ｘ＋ｂ２ｃｏｓ２ｘ，其中ａ，ｂ是不全为０的非负常数．１１９８７年真题八㊁（本题满分１０分）（１）求微分方程ｘｄｙｄｘ＝ｘ－ｙ满足条件ｙｘ＝２＝０的特解．（２）求微分方程ｙᵡ＋２ｙᶄ＋ｙ＝ｘｅｘ的通解．九㊁选择题（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）（１）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘｅｃｏｓｘ（－ɕ＜ｘ＜＋ɕ）是（㊀㊀）（Ａ）有界函数．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）单调函数．（Ｃ）周期函数．（Ｄ）偶函数．（２）函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ（㊀㊀）（Ａ）当ｘңɕ时为无穷大．（Ｂ）在（－ɕ，＋ɕ）内有界．（Ｃ）在（－ɕ，＋ɕ）内无界．（Ｄ）当ｘңɕ时有有限极限．（３）设ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导，则ｌｉｍｘң０ｆ（ａ＋ｘ）－ｆ（ａ－ｘ）ｘ等于（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（ａ）．（Ｂ）２ｆᶄ（ａ）．（Ｃ）０．（Ｄ）ｆᶄ（２ａ）．（４）设Ｉ＝ｔʏｓｔ０ｆ（ｔｘ）ｄｘ，其中ｆ（ｘ）连续，ｓ＞０，ｔ＞０，则Ｉ的值（㊀㊀）（Ａ）依赖于ｓ，ｔ．（Ｂ）依赖于ｓ，ｔ，ｘ．（Ｃ）依赖于ｔ，ｘ，不依赖于ｓ．（Ｄ）依赖于ｓ，不依赖于ｔ．十㊁（本题满分１０分）在第一象限内求曲线ｙ＝－ｘ２＋１上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．２历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８８年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）设ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ａ，ｘɤ０，ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），ｘ＞０{在（－ɕ，＋ɕ）内连续，则ａ＝．（２）设ｆ（ｔ）＝ｌｉｍｘңɕｔ１＋１ｘ()２ｔｘ，则ｆᶄ（ｔ）＝．（３）设ｆ（ｘ）连续，且ʏｘ３－１０ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ，则ｆ（７）＝．（４）ｌｉｍｘң０＋１ｘæèçöø÷ｔａｎｘ＝．（５）ʏ４０ｅｘｄｘ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）ｆ（ｘ）＝１３ｘ３＋１２ｘ２＋６ｘ＋１的图形在点（０，１）处的切线与ｘ轴交点的坐标是（㊀㊀）（Ａ）－１６，０()．（Ｂ）（－１，０）．（Ｃ）１６，０()．（Ｄ）（１，０）．（２）若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上皆可导，且ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ），则必有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（－ｘ）＞ｇ（－ｘ）．（Ｂ）ｆᶄ（ｘ）＜ｇᶄ（ｘ）．（Ｃ）ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＜ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）．（Ｄ）ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＜ʏｘ０ｇ（ｔ）ｄｔ．（３）若函数ｙ＝ｆ（ｘ），有ｆᶄ（ｘ０）＝１２，则当Δｘң０时，该函数在ｘ＝ｘ０处的微分ｄｙ是（㊀㊀）（Ａ）与Δｘ等价的无穷小．（Ｂ）与Δｘ同阶的无穷小．（Ｃ）比Δｘ低阶的无穷小．（Ｄ）比Δｘ高阶的无穷小．（４）由曲线ｙ＝ｓｉｎ３２ｘ（０ɤｘɤπ）与ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转而成的旋转体的体积为（㊀㊀）（Ａ）４３．（Ｂ）４３π．（Ｃ）２３π２．（Ｄ）２３π．（５）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）是微分方程ｙᵡ－２ｙᶄ＋４ｙ＝０的一个解，且ｆ（ｘ０）＞０，ｆᶄ（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在点ｘ０处（㊀㊀）（Ａ）有极大值．（Ｂ）有极小值．（Ｃ）某邻域内单调增加．（Ｄ）某邻域内单调减少．３１９８８年真题三㊁（本题共３小题，每小题５分，满分１５分）（１）已知ｆ（ｘ）＝ｅｘ２，ｆ［φ（ｘ）］＝１－ｘ且φ（ｘ）ȡ０，求φ（ｘ）并写出它的定义域．（２）已知ｙ＝１＋ｘｅｘｙ，求ｙᶄｘ＝０，ｙᵡｘ＝０．（３）求微分方程ｙᶄ＋１ｘｙ＝１ｘ（ｘ２＋１）的通解（一般解）．四㊁（本题满分１２分）作函数ｙ＝６ｘ２－２ｘ＋４的图形，并填写下表．单调增加区间单调减少区间极值点极值凹（ɣ）区间凸（ɘ）区间拐点渐近线五㊁（本题满分８分）将长为ａ的一段铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六㊁（本题满分１０分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）满足微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝２ｅｘ，且其图形在点（０，１）处的切线与曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋１在该点处的切线重合，求函数ｙ＝ｙ（ｘ）．七㊁（本题满分７分）设ｘȡ－１，求ʏｘ－１（１－ｔ）ｄｔ．八㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上有连续导数，且ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ．（１）求ｌｉｍａң０＋１４ａ２ʏａ－ａ［ｆ（ｔ＋ａ）－ｆ（ｔ－ａ）］ｄｔ；（２）证明：１２ａʏａ－ａｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ｘ）ɤＭ－ｍ（ａ＞０）．４历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８９年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共７小题，每小题３分，满分２１分）（１）ｌｉｍｘң０ｘｃｏｔ２ｘ＝．（２）ʏπ０ｔｓｉｎｔｄｔ＝．（３）曲线ｙ＝ʏｘ０（ｔ－１）（ｔ－２）ｄｔ在点（０，０）处的切线方程是．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２） （ｘ＋ｎ），则ｆᶄ（０）＝．（５）设ｆ（ｘ）是连续函数，且ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ʏ１０ｆ（ｔ）ｄｔ，则ｆ（ｘ）＝．（６）设ｆ（ｘ）＝ａ＋ｂｘ２，ｘɤ０，ｓｉｎｂｘｘ，ｘ＞０{在ｘ＝０处连续，则常数ａ与ｂ应满足的关系是．（７）设ｔａｎｙ＝ｘ＋ｙ，则ｄｙ＝．二㊁（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）已知ｙ＝ａｒｃｓｉｎｅ－ｘ，求ｙᶄ．（２）求ʏｄｘｘｌｎ２ｘ．（３）求ｌｉｍｘң０（２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）１ｘ．（４）已知ｘ＝ｌｎ（１＋ｔ２），ｙ＝ａｒｃｔａｎｔ，{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．（５）已知ｆ（２）＝１２，ｆᶄ（２）＝０及ʏ２０ｆ（ｘ）ｄｘ＝１，求ʏ１０ｘ２ｆᵡ（２ｘ）ｄｘ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀三㊁选择题（本题共６小题，每小题３分，满分１８分）（１）当ｘ＞０时，曲线ｙ＝ｘｓｉｎ１ｘ（㊀㊀）（Ａ）有且仅有水平渐近线．（Ｂ）有且仅有铅直渐近线．（Ｃ）既有水平渐近线，也有铅直渐近线．（Ｄ）既无水平渐近线，也无铅直渐近线．（２）若３ａ２－５ｂ＜０，则方程ｘ５＋２ａｘ３＋３ｂｘ＋４ｃ＝０（㊀㊀）（Ａ）无实根．（Ｂ）有唯一实根．（Ｃ）有三个不同实根．（Ｄ）有五个不同实根．（３）曲线ｙ＝ｃｏｓｘ(－π２ɤｘɤπ２)与ｘ轴所围成的图形，绕ｘ轴旋转一周所成的旋转体的体积为（㊀㊀）（Ａ）π２．（Ｂ）π．（Ｃ）π２２．（Ｄ）π２．５１９８９年真题（４）设两函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都在ｘ＝ａ处取得极大值，则函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）在ｘ＝ａ处（㊀㊀）（Ａ）必取极大值．（Ｂ）必取极小值．（Ｃ）不可能取极值．（Ｄ）是否取极值不能确定．（５）微分方程ｙᵡ－ｙ＝ｅｘ＋１的一个特解应具有形式（式中ａ，ｂ为常数）（㊀㊀）（Ａ）ａｅｘ＋ｂ．（Ｂ）ａｘｅｘ＋ｂ．（Ｃ）ａｅｘ＋ｂｘ．（Ｄ）ａｘｅｘ＋ｂｘ．（６）设ｆ（ｘ）在点ｘ＝ａ的某个邻域内有定义，则ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导的一个充分条件是（㊀㊀）（Ａ）ｌｉｍｈң＋ɕｈ［ｆ（ａ＋１ｈ）－ｆ（ａ）］存在．（Ｂ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ＋２ｈ）－ｆ（ａ＋ｈ）ｈ存在．（Ｃ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ＋ｈ）－ｆ（ａ－ｈ）２ｈ存在．（Ｄ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ）－ｆ（ａ－ｈ）ｈ存在．四㊁（本题满分６分）求微分方程ｘｙᶄ＋（１－ｘ）ｙ＝ｅ２ｘ（０＜ｘ＜＋ɕ）满足ｙ（１）＝０的特解．五㊁（本题满分７分）设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ʏｘ０（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ，其中ｆ为连续函数，求ｆ（ｘ）．六㊁（本题满分７分）证明方程ｌｎｘ＝ｘｅ－ʏπ０１－ｃｏｓ２ｘｄｘ在区间（０，＋ɕ）内有且仅有两个不同实根．七㊁（本题满分１１分）对函数ｙ＝ｘ＋１ｘ２填写下表．单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八㊁（本题满分１０分）设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ过原点，当０ɤｘɤ１时，ｙȡ０．又已知该抛物线与ｘ轴及直线ｘ＝１所围图形的面积为１３．试确定ａ，ｂ，ｃ的值，使此图形绕ｘ轴旋转一周而成的旋转体的体积Ｖ最小．６历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９０年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｃｏｓ３ｔ，ｙ＝ｓｉｎ３ｔ{上对应于ｔ＝π６处的法线方程是．（２）设ｙ＝ｅｔａｎ１ｘｓｉｎ１ｘ，则ｙᶄ＝．（３）ʏ１０ｘ１－ｘｄｘ＝．（４）下列两个积分的大小关系是：ʏ－１－２ｅ－ｘ３ｄｘʏ－１－２ｅｘ３ｄｘ．（５）设函数ｆ（ｘ）＝１，ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１，{则函数ｆ［ｆ（ｘ）］＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知ｌｉｍｘңɕｘ２ｘ＋１－ａｘ－ｂ()＝０，其中ａ，ｂ是常数，则（）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝１．（Ｂ）ａ＝－１，ｂ＝１．（Ｃ）ａ＝１，ｂ＝－１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上连续，则ｄʏｆ（ｘ）ｄｘ[]等于（）（Ａ）ｆ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｄｘ．（Ｃ）ｆ（ｘ）＋Ｃ．（Ｄ）ｆᶄ（ｘ）ｄｘ．（３）已知函数ｆ（ｘ）具有任意阶导数，且ｆᶄ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］２，则当ｎ为大于２的正整数时，ｆ（ｘ）的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（ｘ）是（㊀）（Ａ）ｎ！［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｂ）ｎ［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｃ）［ｆ（ｘ）］２ｎ．（Ｄ）ｎ！［ｆ（ｘ）］２ｎ．（４）设ｆ（ｘ）是连续函数，且Ｆ（ｘ）＝ʏｅ－ｘｘｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆᶄ（ｘ）等于（㊀㊀）（Ａ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｂ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（Ｃ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｄ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（５）设Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ，ｘʂ０，ｆ（０），ｘ＝０，{其中ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，ｆᶄ（０）ʂ０，ｆ（０）＝０，则ｘ＝０是Ｆ（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）连续点．（Ｂ）第一类间断点．（Ｃ）第二类间断点．（Ｄ）连续点或间断点不能由此确定．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）已知ｌｉｍｘңɕｘ＋ａｘ－ａ()ｘ＝９，求常数ａ．（２）求由方程２ｙ－ｘ＝（ｘ－ｙ）ｌｎ（ｘ－ｙ）所确定的函数ｙ＝ｙ（ｘ）的微分ｄｙ．７１９９０年真题（３）求曲线ｙ＝１１＋ｘ２（ｘ＞０）的拐点．（４）计算ʏｌｎｘ（１－ｘ）２ｄｘ．（５）求微分方程ｘｌｎｘｄｙ＋（ｙ－ｌｎｘ）ｄｘ＝０满足条件ｙｘ＝ｅ＝１的特解．四㊁（本题满分９分）在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的第一象限部分上求一点Ｐ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中ａ＞０，ｂ＞０）．五㊁（本题满分９分）证明：当ｘ＞０时，有不等式ａｒｃｔａｎｘ＋１ｘ＞π２．六㊁（本题满分９分）设ｆ（ｘ）＝ʏｘ１ｌｎｔ１＋ｔｄｔ，其中ｘ＞０，求ｆ（ｘ）＋ｆ１ｘ()．七㊁（本题满分９分）过点Ｐ（１，０）作抛物线ｙ＝ｘ－２的切线，该切线与上述抛物线及ｘ轴围成一平面图形．求此平面图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积．八㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋４ｙᶄ＋４ｙ＝ｅａｘ的通解，其中ａ为实数．８历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９１年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋３－ｘ），则ｄｙ＝．（２）曲线ｙ＝ｅ－ｘ２的凸区间是．（３）ʏ＋ɕ１ｌｎｘｘ２ｄｘ＝．（４）质点以速度ｔｓｉｎ（ｔ２）米／秒作直线运动，则从时刻ｔ１＝π２秒到ｔ２＝π秒内质点所经过的路程等于米．（５）ｌｉｍｘң０＋１－ｅ１ｘｘ＋ｅ１ｘ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）若曲线ｙ＝ｘ２＋ａｘ＋ｂ和２ｙ＝－１＋ｘｙ３在点（１，－１）处相切，其中ａ，ｂ是常数，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝０，ｂ＝－２．（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝－３．（Ｃ）ａ＝－３，ｂ＝１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀０ɤｘɤ１，２－ｘ，１＜ｘɤ２，{记Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ，０ɤｘɤ２，则（㊀㊀）（Ａ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，１３＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï㊀㊀（Ｂ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，－７６＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（Ｃ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，ｘ３３＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（Ｄ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀０ɤｘɤ１，２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（３）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）内有定义，ｘ０ʂ０是函数ｆ（ｘ）的极大值点，则（㊀㊀）（Ａ）ｘ０必是ｆ（ｘ）的驻点．（Ｂ）－ｘ０必是－ｆ（－ｘ）的极小值点．（Ｃ）－ｘ０必是－ｆ（ｘ）的极小值点．（Ｄ）对一切ｘ都有ｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ０）．（４）曲线ｙ＝１＋ｅ－ｘ２１－ｅ－ｘ２（㊀㊀）（Ａ）没有渐近线．（Ｂ）仅有水平渐近线．（Ｃ）仅有铅直渐近线．（Ｄ）既有水平渐近线又有铅直渐近线．（５）如图，ｘ轴上有一线密度为常数μ，长度为ｌ的细杆，若质量为ｍ的质点到杆右端的距离为ａ，已知引力系数为ｋ，则质点和细杆之间引力的大小为（㊀㊀）９１９９１年真题（Ａ）ʏ０－ｌｋｍμ（ａ－ｘ）２ｄｘ．０ｋｍμ（ａ－ｘ）２ｘ．（Ｃ）２ʏ０－ｌ２ｋｍμ（ａ＋ｘ）２ｄｘ．（Ｄ）２ʏｌ２０ｋｍμ（ａ＋ｘ）２ｄｘ．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）{求ｄ２ｙｄｘ２．（１）设ｘ＝ｔｃｏｓｔ，ｙ＝ｔｓｉｎｔ，（２）计算ʏ４１ｄｘｘ（１＋ｘ）．（３）求ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｘ２（ｅｘ－１）．（４）求ʏｘｓｉｎ２ｘｄｘ．（５）求微分方程ｘｙᶄ＋ｙ＝ｘｅｘ满足ｙ（１）＝１的特解．四㊁（本题满分９分）利用导数证明：当ｘ＞１时，ｌｎ（１＋ｘ）ｌｎｘ＞ｘ１＋ｘ．五㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋ｙ＝ｘ＋ｃｏｓｘ的通解．六㊁（本题满分９分）曲线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）和ｘ轴围成一平面图形，求此平面图形绕ｙ轴旋转一周所成的旋转体的体积．七㊁（本题满分９分）如图，Ａ和Ｄ分别是曲线ｙ＝ｅｘ和ｙ＝ｅ－２ｘ上的点，ＡＢ和ＤＣ均垂直ｘ轴，且ＡＢʒＤＣ＝２ʒ１，ＡＢ＜１，求点Ｂ和Ｃ的横坐标，使梯形ＡＢＣＤ的面积最大．八㊁（本题满分９分）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上满足ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－π）＋ｓｉｎｘ，且ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘɪ［０，π）．计算ʏ３ππｆ（ｘ）ｄｘ．０１１９９２年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｘ＝ｆ（ｔ）－π，ｙ＝ｆ（ｅ３ｔ－１），{其中ｆ可导，且ｆᶄ（０）ʂ０，则ｄｙｄｘｔ＝０＝．（２）函数ｙ＝ｘ＋２ｃｏｓｘ在[０，π２]上的最大值为．（３）ｌｉｍｘң０１－１－ｘ２ｅｘ－ｃｏｓｘ＝．（４）ʏ＋ɕ１ｄｘｘ（ｘ２＋１）＝．（５）由曲线ｙ＝ｘｅｘ与直线ｙ＝ｅｘ所围成的图形的面积Ｓ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）当ｘң０时，ｘ－ｓｉｎｘ是ｘ２的（㊀㊀）（Ａ）低阶无穷小．（Ｂ）高阶无穷小．（Ｃ）等价无穷小．（Ｄ）同阶但非等价的无穷小．（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀㊀ｘɤ０，ｘ２＋ｘ，㊀ｘ＞０，{则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（－ｘ）＝－ｘ２，㊀㊀㊀ｘɤ０，－（ｘ２＋ｘ），㊀ｘ＞０．{（Ｂ）ｆ（－ｘ）＝－（ｘ２＋ｘ），㊀ｘ＜０，－ｘ２，㊀㊀㊀ｘȡ０．{（Ｃ）ｆ（－ｘ）＝ｘ２，㊀㊀ｘɤ０，ｘ２－ｘ，㊀ｘ＞０．{（Ｄ）ｆ（－ｘ）＝ｘ２－ｘ，㊀ｘ＜０，ｘ２，㊀㊀ｘȡ０．{（３）当ｘң１时，函数ｘ２－１ｘ－１ｅ１ｘ－１的极限（㊀㊀）（Ａ）等于２．（Ｂ）等于０．（Ｃ）为ɕ．（Ｄ）不存在但不为ɕ．（４）设ｆ（ｘ）连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘ２０ｆ（ｔ２）ｄｔ，则Ｆᶄ（ｘ）等于（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｂ）ｘ２ｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｃ）２ｘｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｄ）２ｘｆ（ｘ２）．（５）若ｆ（ｘ）的导函数是ｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）有一个原函数为（㊀㊀）（Ａ）１＋ｓｉｎｘ．（Ｂ）１－ｓｉｎｘ．（Ｃ）１＋ｃｏｓｘ．（Ｄ）１－ｃｏｓｘ．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）求ｌｉｍｘңɕ３＋ｘ６＋ｘ()ｘ－１２．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｙ－ｘｅｙ＝１所确定，求ｄ２ｙｄｘ２ｘ＝０的值．１１（３）求ʏｘ３１＋ｘ２ｄｘ．（４）求ʏπ０１－ｓｉｎｘｄｘ．（５）求微分方程（ｙ－ｘ３）ｄｘ－２ｘｄｙ＝０的通解．四㊁（本题满分９分）{求ʏ３１ｆ（ｘ－２）ｄｘ．设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ２，㊀ｘɤ０，ｅ－ｘ，㊀㊀ｘ＞０，五㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝ｘｅｘ的通解．六㊁（本题满分９分）计算曲线ｙ＝ｌｎ（１－ｘ２）上相应于０ɤｘɤ１２的一段弧的长度．七㊁（本题满分９分）求曲线ｙ＝ｘ的一条切线ｌ，使该曲线与切线ｌ及直线ｘ＝０，ｘ＝２所围成的平面图形面积最小．八㊁（本题满分９分）已知ｆᵡ（ｘ）＜０，ｆ（０）＝０，证明对任何ｘ１＞０，ｘ２＞０，有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＜ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）．２１１９９３年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０＋ｘｌｎｘ＝．（２）函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）＋ｅｘ－ｘｙ２＝０所确定，则ｄｙｄｘ＝．（３）设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ１２－１ｔæèçöø÷ｄｔ（ｘ＞０），则函数Ｆ（ｘ）的单调减少区间是．（４）ʏｔａｎｘｃｏｓｘｄｘ＝．（５）已知曲线ｙ＝ｆ（ｘ）过点(０，－１２)，且其上任一点（ｘ，ｙ）处的切线斜率为ｘｌｎ（１＋ｘ２），则ｆ（ｘ）＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）当ｘң０时，变量１ｘ２ｓｉｎ１ｘ是（㊀㊀）（Ａ）无穷小．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）无穷大．（Ｃ）有界的，但不是无穷小．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）无界的，但不是无穷大．（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ２－１ｘ－１，㊀ｘʂ１，２，㊀㊀㊀㊀ｘ＝１，{则在点ｘ＝１处函数ｆ（ｘ）（㊀㊀）（Ａ）不连续．（Ｂ）连续，但不可导．（Ｃ）可导，但导数不连续．（Ｄ）可导，且导数连续．（３）已知ｆ（ｘ）＝ｘ２，０ɤｘ＜１，１，１ɤｘɤ２，{设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ（０ɤｘɤ２），则Ｆ（ｘ）为（㊀㊀）（Ａ）１３ｘ３，㊀０ɤｘ＜１，ｘ，㊀㊀１ɤｘɤ２．{（Ｂ）１３ｘ３－１３，０ɤｘ＜１，ｘ，㊀㊀㊀１ɤｘɤ２．{（Ｃ）１３ｘ３，０ɤｘ＜１，ｘ－１，１ɤｘɤ２．{（Ｄ）１３ｘ３－１３，０ɤｘ＜１，ｘ－１，㊀１ɤｘɤ２．{（４）设常数ｋ＞０，函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘｅ＋ｋ在（０，＋ɕ）内的零点个数为（㊀㊀）（Ａ）３．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）０．（５）若ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ），在（０，＋ɕ）内ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＞０，则ｆ（ｘ）在（－ɕ，０）内（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＜０．（Ｂ）ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＞０．（Ｃ）ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＜０．（Ｄ）ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＞０．３１三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）设ｙ＝ｓｉｎ［ｆ（ｘ２）］，其中ｆ具有二阶导数，求ｄ２ｙｄｘ２．（２）求ｌｉｍｘң－ɕｘ（ｘ２＋１００＋ｘ）．（３）求ʏπ４０ｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．（４）求ʏ＋ɕ０ｘ（１＋ｘ）３ｄｘ．（５）求微分方程（ｘ２－１）ｄｙ＋（２ｘｙ－ｃｏｓｘ）ｄｘ＝０满足初值条件ｙ（０）＝１的特解．四㊁（本题满分９分）设二阶常系数线性微分方程ｙᵡ＋αｙᶄ＋βｙ＝γｅｘ的一个特解为ｙ＝ｅ２ｘ＋（１＋ｘ）ｅｘ，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．五㊁（本题满分９分）设平面图形Ａ由ｘ２＋ｙ２ɤ２ｘ与ｙȡｘ所确定，求图形Ａ绕直线ｘ＝２旋转一周所得旋转体的体积．六㊁（本题满分９分）作半径为ｒ的球的外切正圆锥，问此圆锥的高ｈ为何值时，其体积Ｖ最小，并求出该最小值．七㊁（本题满分９分）设ｘ＞０，常数ａ＞ｅ．证明：（ａ＋ｘ）ａ＜ａａ＋ｘ．八㊁（本题满分９分）设ｆᶄ（ｘ）在［０，ａ］上连续，且ｆ（０）＝０，证明：ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘɤＭａ２２，其中Ｍ＝ｍａｘ０ɤｘɤａｆᶄ（ｘ）．４１１９９４年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）若ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋ｅ２ａｘ－１ｘ，ｘʂ０，ａ，㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｘ＝０{在（－ɕ，＋ɕ）上连续，则ａ＝．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由参数方程ｘ＝ｔ－ｌｎ（１＋ｔ），ｙ＝ｔ３＋ｔ２{所确定，则ｄ２ｙｄｘ２＝．（３）ｄｄｘʏｃｏｓ３ｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ()＝．（４）ʏｘ３ｅｘ２ｄｘ＝．（５）微分方程ｙｄｘ＋（ｘ２－４ｘ）ｄｙ＝０的通解为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｌｉｍｘң０ｌｎ（１＋ｘ）－（ａｘ＋ｂｘ２）ｘ２＝２，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝－５２．（Ｂ）ａ＝０，ｂ＝－２．（Ｃ）ａ＝０，ｂ＝－５２．（Ｄ）ａ＝１，ｂ＝－２．（２）设ｆ（ｘ）＝２３ｘ３，ｘɤ１，ｘ２，㊀ｘ＞１，{则ｆ（ｘ）在点ｘ＝１处的（㊀㊀）（Ａ）左㊁右导数都存在．（Ｂ）左导数存在，但右导数不存在．（Ｃ）左导数不存在，但右导数存在．（Ｄ）左㊁右导数都不存在．（３）设ｙ＝ｆ（ｘ）是满足微分方程ｙᵡ＋ｙᶄ－ｅｓｉｎｘ＝０的解，且ｆᶄ（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在（㊀㊀）（Ａ）ｘ０的某个邻域内单调增加．（Ｂ）ｘ０的某个邻域内单调减少．（Ｃ）ｘ０处取得极小值．（Ｄ）ｘ０处取得极大值．（４）曲线ｙ＝ｅ１ｘ２ａｒｃｔａｎｘ２＋ｘ＋１（ｘ－１）（ｘ＋２）的渐近线有（㊀㊀）（Ａ）１条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）３条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）４条．（５）设Ｍ＝ʏπ２－π２ｓｉｎｘ１＋ｘ２ｃｏｓ４ｘｄｘ，Ｎ＝ʏπ２－π２（ｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，Ｐ＝ʏπ２－π２（ｘ２ｓｉｎ３ｘ－ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，则有（㊀㊀）（Ａ）Ｎ＜Ｐ＜Ｍ．（Ｂ）Ｍ＜Ｐ＜Ｎ．（Ｃ）Ｎ＜Ｍ＜Ｐ．（Ｄ）Ｐ＜Ｍ＜Ｎ．５１三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）设ｙ＝ｆ（ｘ＋ｙ），其中ｆ具有二阶导数，且其一阶导数不等于１，求ｄ２ｙｄｘ２．（２）计算ʏ１０ｘ（１－ｘ４）３２ｄｘ．（３）计算ｌｉｍｎңɕｔａｎｎπ４＋２ｎ()．（４）计算ʏｄｘｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘ．（５）如图，设曲线方程为ｙ＝ｘ２＋１２，梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ，曲边梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ１，点Ａ的坐标为（ａ，０），ａ＞０．证明：ＤＤ１＜３２．四㊁（本题满分９分）设当ｘ＞０时，方程ｋｘ＋１ｘ２＝１有且仅有一个解，求ｋ的取值范围．五㊁（本题满分９分）设ｙ＝ｘ３＋４ｘ２，（１）求函数的增减区间及极值；（２）求函数图形的凹凸区间及拐点；（３）求其渐近线；（４）作出其图形．六㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋ａ２ｙ＝ｓｉｎｘ的通解，其中常数ａ＞０．七㊁（本题满分９分）设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续且递减，证明：当０＜λ＜１时，ʏλ０ｆ（ｘ）ｄｘȡλʏ１０ｆ（ｘ）ｄｘ．八㊁（本题满分９分）求曲线ｙ＝３－ｘ２－１与ｘ轴围成的封闭图形绕直线ｙ＝３旋转所得的旋转体体积．６１１９９５年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｃｏｓ（ｘ２）ｓｉｎ２１ｘ，则ｙᶄ＝．（２）微分方程ｙᵡ＋ｙ＝－２ｘ的通解为．（３）曲线ｘ＝１＋ｔ２，ｙ＝ｔ３{在ｔ＝２处的切线方程为．（４）ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎ()＝．（５）曲线ｙ＝ｘ２ｅ－ｘ２的渐近线方程为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）和φ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上有定义，ｆ（ｘ）为连续函数，且ｆ（ｘ）ʂ０，φ（ｘ）有间断点，则（㊀㊀）（Ａ）φ［ｆ（ｘ）］必有间断点．（Ｂ）［φ（ｘ）］２必有间断点．（Ｃ）ｆ［φ（ｘ）］必有间断点．（Ｄ）φ（ｘ）ｆ（ｘ）必有间断点．（２）曲线ｙ＝ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）与ｘ轴所围图形的面积可表示为（㊀㊀）（Ａ）－ʏ２０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｂ）ʏ１０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ－ʏ２１ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｃ）－ʏ１０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ＋ʏ２１ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｄ）ʏ２０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（３）设ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）内可导，且对任意ｘ１，ｘ２，当ｘ１＞ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），则（㊀㊀）（Ａ）对任意ｘ，ｆᶄ（ｘ）＞０．（Ｂ）对任意ｘ，ｆᶄ（－ｘ）ɤ０．（Ｃ）函数ｆ（－ｘ）单调增加．（Ｄ）函数－ｆ（－ｘ）单调增加．（４）设函数ｆ（ｘ）在［０，１］上ｆᵡ（ｘ）＞０，则ｆᶄ（１），ｆᶄ（０），ｆ（１）－ｆ（０）或ｆ（０）－ｆ（１）的大小顺序是（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（１）＞ｆᶄ（０）＞ｆ（１）－ｆ（０）．（Ｂ）ｆᶄ（１）＞ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆᶄ（０）．（Ｃ）ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆᶄ（１）＞ｆᶄ（０）．（Ｄ）ｆᶄ（１）＞ｆ（０）－ｆ（１）＞ｆᶄ（０）．（５）设ｆ（ｘ）可导，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）（１＋ｓｉｎｘ）．若Ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，则必有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（０）＝０．（Ｂ）ｆᶄ（０）＝０．（Ｃ）ｆ（０）＋ｆᶄ（０）＝０．（Ｄ）ｆ（０）－ｆᶄ（０）＝０．７１三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）求ｌｉｍｘң０＋１－ｃｏｓｘｘ（１－ｃｏｓｘ）．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｘｅｆ（ｙ）＝ｅｙ确定，其中ｆ具有二阶导数，且ｆᶄʂ１，求ｄ２ｙｄｘ２．（３）设ｆ（ｘ２－１）＝ｌｎｘ２ｘ２－２，且ｆ［φ（ｘ）］＝ｌｎｘ，求ʏφ（ｘ）ｄｘ．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘａｒｃｔａｎ１ｘ２，ｘʂ０，０，㊀㊀㊀ｘ＝０，{试讨论ｆᶄ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．（５）求摆线ｘ＝１－ｃｏｓｔ，ｙ＝ｔ－ｓｉｎｔ{一拱（０ɤｔɤ２π）的弧长Ｓ．（６）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度ｖｔ＝０＝ｖ０．已知阻力与速度成正比（比例常数为１），问ｔ为多少时此质点的速度为ｖ０３？并求到此时刻该质点所经过的路程．四㊁（本题满分８分）求函数ｆ（ｘ）＝ʏｘ２０（２－ｔ）ｅ－ｔｄｔ的最大值和最小值．五㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｅｘ是微分方程ｘｙᶄ＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｘ的一个解，求此微分方程满足条件ｙｘ＝ｌｎ２＝０的特解．六㊁（本题满分８分）如图，设曲线Ｌ的方程为ｙ＝ｆ（ｘ），且ｙᵡ＞０．又ＭＴ，ＭＰ分别为该曲线在点Ｍ（ｘ０，ｙ０）处的切线和法线．已知线段ＭＰ的长度为（１＋ｙᶄ２０）３２ｙᵡ０（其中ｙᶄ０＝ｙᶄ（ｘ０），ｙᵡ０＝ｙᵡ（ｘ０）），试推导出点Ｐ（ξ，η）的坐标表达式．七㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｓｉｎｔπ－ｔｄｔ，计算ʏπ０ｆ（ｘ）ｄｘ．八㊁（本题满分８分）设ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）ｘ＝１，且ｆᵡ（ｘ）＞０，证明ｆ（ｘ）ȡｘ．８１１９９６年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝（ｘ＋ｅ－ｘ２）２３，则ｙᶄｘ＝０＝．（２）ʏ１－１（ｘ＋１－ｘ２）２ｄｘ＝．（３）微分方程ｙᵡ＋２ｙᶄ＋５ｙ＝０的通解为．（４）ｌｉｍｘңɕｘｓｉｎｌｎ１＋３ｘ()－ｓｉｎｌｎ１＋１ｘ()[]＝．（５）由曲线ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｘ＝２及ｙ＝２所围图形的面积Ｓ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设当ｘң０时，ｅｘ－（ａｘ２＋ｂｘ＋１）是比ｘ２高阶的无穷小，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝１２，ｂ＝１．㊀㊀（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝１．㊀㊀（Ｃ）ａ＝－１２，ｂ＝－１．㊀㊀（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝１．（２）设函数ｆ（ｘ）在区间（－δ，δ）内有定义，若当ｘɪ（－δ，δ）时，恒有ｆ（ｘ）ɤｘ２，则ｘ＝０必是ｆ（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）间断点．（Ｂ）连续而不可导的点．（Ｃ）可导的点，且ｆᶄ（０）＝０．（Ｄ）可导的点，且ｆᶄ（０）ʂ０．（３）设ｆ（ｘ）处处可导，则（㊀㊀）（Ａ）当ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝－ɕ，必有ｌｉｍｘң－ɕｆᶄ（ｘ）＝－ɕ．（Ｂ）当ｌｉｍｘң－ɕｆᶄ（ｘ）＝－ɕ，必有ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝－ɕ．（Ｃ）当ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝＋ɕ，必有ｌｉｍｘң＋ɕｆᶄ（ｘ）＝＋ɕ．（Ｄ）当ｌｉｍｘң＋ɕｆᶄ（ｘ）＝＋ɕ，必有ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝＋ɕ．（４）在区间（－ɕ，＋ɕ）内，方程ｘ１４＋ｘ１２－ｃｏｓｘ＝０（㊀㊀）（Ａ）无实根．（Ｂ）有且仅有一个实根．（Ｃ）有且仅有两个实根．（Ｄ）有无穷多个实根．（５）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）＜ｍ（ｍ为常数），由曲线ｙ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ及ｘ＝ｂ所围平面图形绕直线ｙ＝ｍ旋转而成的旋转体体积为（㊀㊀）（Ａ）ʏｂａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｂ）ʏｂａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｃ）ʏｂａπ［ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｄ）ʏｂａπ［ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．９１三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）计算ʏｌｎ２０１－ｅ－２ｘｄｘ．（２）求ʏｄｘ１＋ｓｉｎｘ．（３）设ｘ＝ʏｔ０ｆ（ｕ２）ｄｕ，ｙ＝［ｆ（ｔ２）］２，{其中ｆ（ｕ）具有二阶导数，且ｆ（ｕ）ʂ０，求ｄ２ｙｄｘ２．（４）求函数ｆ（ｘ）＝１－ｘ１＋ｘ在点ｘ＝０处带拉格朗日型余项的ｎ阶泰勒展开式．（５）求微分方程ｙᵡ＋ｙᶄ＝ｘ２的通解．（６）设有一正椭圆柱体，其底面的长㊁短轴分别为２ａ，２ｂ，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角０＜α＜π２()的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积Ｖ．四㊁（本题满分８分）计算不定积分ʏａｒｃｔａｎｘｘ２（１＋ｘ２）ｄｘ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀五㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）＝１－２ｘ２，ｘ＜－１，㊀㊀ｘ３，㊀㊀－１ɤｘɤ２，１２ｘ－１６，ｘ＞２．㊀㊀ìîíïïï（１）写出ｆ（ｘ）的反函数ｇ（ｘ）的表达式；（２）ｇ（ｘ）是否有间断点㊁不可导点，若有，指出这些点．六㊁（本题满分８分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｙ３－２ｙ２＋２ｘｙ－ｘ２＝１所确定，试求ｙ＝ｙ（ｘ）的驻点，并判别它是否为极值点．七㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上具有二阶导数，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，ｆᶄ（ａ）ｆᶄ（ｂ）＞０．证明：存在ξɪ（ａ，ｂ）和ηɪ（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０及ｆᵡ（η）＝０．八㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）为连续函数，（１）求初值问题ｙᶄ＋ａｙ＝ｆ（ｘ），ｙｘ＝０＝０{的解ｙ（ｘ），其中ａ是正常数；（２）若ｆ（ｘ）ɤｋ（ｋ为常数），证明：当ｘȡ０时，有ｙ（ｘ）ɤｋａ（１－ｅ－ａｘ）．０２１９９７年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知函数ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓｘ）ｘ－２，ｘʂ０，ａ，㊀㊀㊀ｘ＝０{在ｘ＝０处连续，则ａ＝．（２）设ｙ＝ｌｎ１－ｘ１＋ｘ２，则ｙᵡｘ＝０＝．（３）ʏｄｘｘ（４－ｘ）＝．（４）ʏ＋ɕ０ｄｘｘ２＋４ｘ＋８＝．（５）已知向量组α１＝（１，２，－１，１），α２＝（２，０，ｔ，０），α３＝（０，－４，５，－２）的秩为２，则ｔ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｘң０时，ｅｔａｎｘ－ｅｘ与ｘｎ是同阶无穷小，则ｎ为（㊀㊀）（Ａ）１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）３．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）４．（２）设在闭区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）＞０，ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＞０．记Ｓ１＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｓ２＝ｆ（ｂ）（ｂ－ａ），Ｓ３＝１２［ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）］（ｂ－ａ），则（㊀㊀）（Ａ）Ｓ１＜Ｓ２＜Ｓ３．（Ｂ）Ｓ２＜Ｓ１＜Ｓ３．（Ｃ）Ｓ３＜Ｓ１＜Ｓ２．（Ｄ）Ｓ２＜Ｓ３＜Ｓ１．（３）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）对一切ｘ满足ｘｆᵡ（ｘ）＋３ｘ［ｆᶄ（ｘ）］２＝１－ｅ－ｘ，若ｆᶄ（ｘ０）＝０（ｘ０ʂ０），则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极大值．（Ｂ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极小值．（Ｃ）（ｘ０，ｆ（ｘ０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（Ｄ）ｆ（ｘ０）不是ｆ（ｘ）的极值，（ｘ０，ｆ（ｘ０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（４）设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ＋２πｘｅｓｉｎｔｓｉｎｔｄｔ，则Ｆ（ｘ）（㊀㊀）（Ａ）为正常数．（Ｂ）为负常数．（Ｃ）恒为零．（Ｄ）不为常数．（５）设函数ｇ（ｘ）＝２－ｘ，㊀ｘɤ０，ｘ＋２，㊀ｘ＞０，{ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀ｘ＜０，－ｘ，㊀ｘȡ０，{则ｇ［ｆ（ｘ）］＝（㊀㊀）（Ａ）２＋ｘ２，㊀ｘ＜０，２－ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｂ）２－ｘ２，㊀ｘ＜０，２＋ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｃ）２－ｘ２，㊀ｘ＜０，２－ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｄ）２＋ｘ２，㊀ｘ＜０，２＋ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）求极限ｌｉｍｘң－ɕ４ｘ２＋ｘ－１＋ｘ＋１ｘ２＋ｓｉｎｘ．１２（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由ｘ＝ａｒｃｔａｎｔ，２ｙ－ｔｙ２＋ｅｔ＝５{所确定，求ｄｙｄｘ．（３）计算ʏｅ２ｘ（ｔａｎｘ＋１）２ｄｘ．（４）求微分方程（３ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２）ｄｘ＋（ｘ２－２ｘｙ）ｄｙ＝０的通解．（５）已知ｙ１＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ，ｙ２＝ｘｅｘ＋ｅ－ｘ，ｙ３＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ－ｅ－ｘ是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．（６）已知矩阵Ａ＝１１－１０１１００－１æèççöø÷÷，且Ａ２－ＡＢ＝Ｅ，其中Ｅ是３阶单位矩阵，求矩阵Ｂ．四㊁（本题满分８分）λ取何值时，方程组２ｘ１＋λｘ２－ｘ３＝１，λｘ１－ｘ２＋ｘ３＝２，４ｘ１＋５ｘ２－５ｘ３＝－１ìîíïïï无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．五㊁（本题满分８分）设曲线Ｌ的极坐标方程为ｒ＝ｒ（θ），Ｍ（ｒ，θ）为Ｌ上任一点，Ｍ０（２，０）为Ｌ上一定点．若极径ＯＭ０，ＯＭ与曲线Ｌ所围成的曲边扇形面积值等于Ｌ上Ｍ０，Ｍ两点间弧长值的一半，求曲线Ｌ的方程．六㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［０，１］上连续，在开区间（０，１）内大于零，并满足ｘｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋３ａ２ｘ２（ａ为常数），又曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝１，ｙ＝０所围的图形Ｓ的面积值为２，求函数ｙ＝ｆ（ｘ），并问ａ为何值时，图形Ｓ绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．七㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）连续，φ（ｘ）＝ʏ１０ｆ（ｘｔ）ｄｔ，且ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）ｘ＝Ａ（Ａ为常数），求φᶄ（ｘ）并讨论φᶄ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．八㊁（本题满分８分）就ｋ的不同取值情况，确定方程ｘ－π２ｓｉｎｘ＝ｋ在开区间(０，π２)内根的个数，并证明你的结论．２２１９９８年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０１＋ｘ＋１－ｘ－２ｘ２＝．（２）曲线ｙ＝－ｘ３＋ｘ２＋２ｘ与ｘ轴所围成的图形的面积Ａ＝．（３）ʏｌｎ（ｓｉｎｘ）ｓｉｎ２ｘｄｘ＝．（４）设ｆ（ｘ）连续，则ｄｄｘʏｘ０ｔｆ（ｘ２－ｔ２）ｄｔ＝．（５）曲线ｙ＝ｘｌｎｅ＋１ｘ()（ｘ＞０）的渐近线方程为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设数列｛ｘｎ｝与｛ｙｎ｝满足ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ＝０，则下列断言正确的是（㊀㊀）（Ａ）若｛ｘｎ｝发散，则｛ｙｎ｝必发散．（Ｂ）若｛ｘｎ｝无界，则｛ｙｎ｝必有界．（Ｃ）若｛ｘｎ｝有界，则｛ｙｎ｝必为无穷小．（Ｄ）若１ｘｎ{}为无穷小，则｛ｙｎ｝必为无穷小．（２）函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ｘ－２）ｘ３－ｘ的不可导点的个数为（㊀㊀）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（３）已知函数ｙ＝ｙ（ｘ）在任意点ｘ处的增量Δｙ＝ｙΔｘ１＋ｘ２＋α，其中α是比Δｘ（Δｘң０）高阶的无穷小，且ｙ（０）＝π，则ｙ（１）＝（㊀㊀）（Ａ）πｅπ４．（Ｂ）２π．（Ｃ）π．（Ｄ）ｅπ４．（４）设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ的某个邻域内连续，且ｆ（ａ）为其极大值，则存在δ＞０，当ｘɪ（ａ－δ，ａ＋δ）时，必有（㊀㊀）（Ａ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］ȡ０．（Ｂ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］ɤ０．（Ｃ）ｌｉｍｔңａｆ（ｔ）－ｆ（ｘ）（ｔ－ｘ）２ȡ０（ｘʂａ）．（Ｄ）ｌｉｍｔңａｆ（ｔ）－ｆ（ｘ）（ｔ－ｘ）２ɤ０（ｘʂａ）．（５）设Ａ是任一ｎ（ｎȡ３）阶方阵，Ａ∗是其伴随矩阵，又ｋ为常数，且ｋʂ０，ʃ１，则必有（ｋＡ）∗＝（㊀㊀）（Ａ）ｋＡ∗．（Ｂ）ｋｎ－１Ａ∗．（Ｃ）ｋｎＡ∗．（Ｄ）ｋ－１Ａ∗．三㊁（本题满分５分）求函数ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）ｘｔａｎ（ｘ－π４）在区间（０，２π）内的间断点，并判断其类型．３２四㊁（本题满分５分）确定常数ａ，ｂ，ｃ的值，使ｌｉｍｘң０ａｘ－ｓｉｎｘʏｘｂｌｎ（１＋ｔ３）ｔｄｔ＝ｃ（ｃʂ０）．五㊁（本题满分５分）利用代换ｙ＝ｕｃｏｓｘ将方程ｙᵡｃｏｓｘ－２ｙᶄｓｉｎｘ＋３ｙｃｏｓｘ＝ｅｘ化简，并求出原方程的通解．六㊁（本题满分６分）计算积分ʏ３２１２ｄｘｘ－ｘ２．七㊁（本题满分６分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度ｙ（从海平面算起）与下沉速度ｖ之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为ｍ，体积为Ｂ，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为ｋ（ｋ＞０）．试建立ｙ与ｖ所满足的微分方程，并求出函数关系式ｙ＝ｙ（ｖ）．八㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｆ（ｘ）是区间［０，１］上的任一非负连续函数．（１）试证存在ｘ０ɪ（０，１），使得在区间［０，ｘ０］上以ｆ（ｘ０）为高的矩形面积，等于在区间［ｘ０，１］上以ｙ＝ｆ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积；（２）又设ｆ（ｘ）在区间（０，１）内可导，且ｆᶄ（ｘ）＞－２ｆ（ｘ）ｘ，证明（１）中的ｘ０是惟一的．九㊁（本题满分８分）设有曲线ｙ＝ｘ－１，过原点作其切线，求由此曲线㊁切线及ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．十㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｙ（ｘ）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（ｘ，ｙ）处的曲率为１１＋ｙᶄ２，且此曲线上点（０，１）处的切线方程为ｙ＝ｘ＋１，求该曲线的方程，并求函数ｙ＝ｙ（ｘ）的极值．十一㊁（本题满分８分）设ｘɪ（０，１），证明：（１）（１＋ｘ）ｌｎ２（１＋ｘ）＜ｘ２；４２（２）１ｌｎ２－１＜１ｌｎ（１＋ｘ）－１ｘ＜１２．十二㊁（本题满分５分）设（２Ｅ－Ｃ－１Ｂ）ＡＴ＝Ｃ－１，其中Ｅ是４阶单位矩阵，ＡＴ是４阶矩阵Ａ的转置矩阵，Ｂ＝１２－３－２０１２－３００１２０００１æèççççöø÷÷÷÷，㊀㊀Ｃ＝１㊀２㊀０㊀１０㊀１㊀２㊀００㊀０㊀１㊀２０㊀０㊀０㊀１æèççççöø÷÷÷÷．求Ａ．十三㊁（本题满分６分）已知α１＝（１，４，０，２）Ｔ，α２＝（２，７，１，３）Ｔ，α３＝（０，１，－１，ａ）Ｔ，β＝（３，１０，ｂ，４）Ｔ，问：（１）ａ，ｂ取何值时，β不能由α１，α２，α３线性表示？（２）ａ，ｂ取何值时，β可由α１，α２，α３线性表示？并写出此表示式．５２１９９９年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｅｔｓｉｎ２ｔｙ＝ｅｔｃｏｓｔ{在点（０，１）处的法线方程为．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｌｎ（ｘ２＋ｙ）＝ｘ３ｙ＋ｓｉｎｘ确定，则ｄｙｄｘｘ＝０＝㊀㊀㊀．（３）ʏｘ＋５ｘ２－６ｘ＋１３ｄｘ＝．（４）函数ｙ＝ｘ２１－ｘ２在区间１２，３２[]上的平均值为．（５）微分方程ｙᵡ－４ｙ＝ｅ２ｘ的通解为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）＝１－ｃｏｓｘｘ，ｘ＞０，ｘ２ｇ（ｘ），ｘɤ０，{其中ｇ（ｘ）是有界函数，则ｆ（ｘ）在ｘ＝０处（㊀㊀）（Ａ）极限不存在．（Ｂ）极限存在，但不连续．（Ｃ）连续，但不可导．（Ｄ）可导．（２）设α（ｘ）＝ʏ５ｘ０ｓｉｎｔｔｄｔ，β（ｘ）＝ʏｓｉｎｘ０（１＋ｔ）１ｔｄｔ，则当ｘң０时，α（ｘ）是β（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）高阶无穷小．（Ｂ）低阶无穷小．（Ｃ）同阶但不等价的无穷小．（Ｄ）等价无穷小．（３）设ｆ（ｘ）是连续函数，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函数，则（㊀㊀）（Ａ）当ｆ（ｘ）是奇函数时，Ｆ（ｘ）必是偶函数．（Ｂ）当ｆ（ｘ）是偶函数时，Ｆ（ｘ）必是奇函数．（Ｃ）当ｆ（ｘ）是周期函数时，Ｆ（ｘ）必是周期函数．（Ｄ）当ｆ（ｘ）是单调增函数时，Ｆ（ｘ）必是单调增函数．（４） 对任意给定的εɪ（０，１），总存在正整数Ｎ，当ｎȡＮ时，恒有ｘｎ－ａɤ２ε 是数列｛ｘｎ｝收敛于ａ的（㊀㊀）（Ａ）充分条件但非必要条件．（Ｂ）必要条件但非充分条件．（Ｃ）充分必要条件．（Ｄ）既非充分条件又非必要条件．（５）记行列式ｘ－２ｘ－１ｘ－２ｘ－３２ｘ－２２ｘ－１２ｘ－２２ｘ－３３ｘ－３３ｘ－２４ｘ－５３ｘ－５４ｘ４ｘ－３５ｘ－７４ｘ－３为ｆ（ｘ），则方程ｆ（ｘ）＝０的根的个数为（㊀㊀）（Ａ）１．㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀（Ｃ）３．㊀㊀（Ｄ）４．６２三㊁（本题满分５分）求ｌｉｍｘң０１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘｘｌｎ（１＋ｘ）－ｘ２．四㊁（本题满分６分）计算ʏ＋ɕ１ａｒｃｔａｎｘｘ２ｄｘ．五㊁（本题满分７分）求初值问题（ｙ＋ｘ２＋ｙ２）ｄｘ－ｘｄｙ＝０（ｘ＞０），ｙｘ＝１＝０{的解．六㊁（本题满分７分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深３０ｍ，抓斗自重４００Ｎ，缆绳每米重５０Ｎ，抓斗抓起的污泥重２０００Ｎ，提升速度为３ｍ／ｓ．在提升过程中，污泥以２０Ｎ／ｓ的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①１Ｎˑ１ｍ＝１Ｊ；ｍ，Ｎ，ｓ，Ｊ分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．）七㊁（本题满分８分）已知函数ｙ＝ｘ３（ｘ－１）２，求（１）函数的增减区间及极值；（２）函数图形的凹凸区间及拐点；（３）函数图形的渐近线．八㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［－１，１］上具有三阶连续导数，且ｆ（－１）＝０，ｆ（１）＝１，ｆᶄ（０）＝０，证明：在开区间（－１，１）内至少存在一点ξ，使ｆ‴（ξ）＝３．九㊁（本题满分８分）设函数ｙ（ｘ）（ｘȡ０）二阶可导，且ｙᶄ（ｘ）＞０，ｙ（０）＝１．过曲线ｙ＝ｙ（ｘ）上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）作该曲线的切线及ｘ轴的垂线，上述两直线与ｘ轴所围成的三角形的面积记为Ｓ１，区间［０，ｘ］上以ｙ＝ｙ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积记为Ｓ２，并设２Ｓ１－Ｓ２恒为１，求此曲线ｙ＝ｙ（ｘ）的方程．７２十㊁（本题满分７分）设ｆ（ｘ）是区间［０，＋ɕ）上单调减少且非负的连续函数，ａｎ＝ ｎｋ＝１ｆ（ｋ）－ʏｎ１ｆ（ｘ）ｄｘ（ｎ＝１，２， ），证明数列｛ａｎ｝的极限存在．十一㊁（本题满分６分）设矩阵Ａ＝１１－１－１１１１－１１æèççöø÷÷，矩阵Ｘ满足Ａ∗Ｘ＝Ａ－１＋２Ｘ，其中Ａ∗是Ａ的伴随矩阵，求矩阵Ｘ．十二㊁（本题满分８分）设向量组α１＝（１，１，１，３）Ｔ，α２＝（－１，－３，５，１）Ｔ，α３＝（３，２，－１，ｐ＋２）Ｔ，α４＝（－２，－６，１０，ｐ）Ｔ．（１）ｐ为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α＝（４，１，６，１０）Ｔ用α１，α２，α３，α４线性表示；（２）ｐ为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．８２２０００年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０ａｒｃｔａｎｘ－ｘｌｎ（１＋２ｘ３）＝．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｘｙ＝ｘ＋ｙ所确定，则ｄｙｘ＝０＝．（３）ʏ＋ɕ２ｄｘ（ｘ＋７）ｘ－２＝．（４）曲线ｙ＝（２ｘ－１）ｅ１ｘ的斜渐近线方程为．（５）设Ａ＝１０００－２３０００－４５０００－６７æèççççöø÷÷÷÷，Ｅ为４阶单位矩阵，且Ｂ＝（Ｅ＋Ａ）－１（Ｅ－Ａ），则（Ｅ＋Ｂ）－１＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设函数ｆ（ｘ）＝ｘａ＋ｅｂｘ在（－ɕ，＋ɕ）内连续，且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝０，则常数ａ，ｂ满足（㊀㊀）（Ａ）ａ＜０，ｂ＜０．（Ｂ）ａ＞０，ｂ＞０．（Ｃ）ａɤ０，ｂ＞０．（Ｄ）ａȡ０，ｂ＜０．（２）设函数ｆ（ｘ）满足关系式ｆᵡ（ｘ）＋［ｆᶄ（ｘ）］２＝ｘ，且ｆᶄ（０）＝０，则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极大值．（Ｂ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极小值．（Ｃ）点（０，ｆ（０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（Ｄ）ｆ（０）不是ｆ（ｘ）的极值，点（０，ｆ（０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（３）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是大于零的可导函数，且ｆᶄ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＜０，则当ａ＜ｘ＜ｂ时，有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ）ｇ（ｂ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｇ（ａ）＞ｆ（ａ）ｇ（ｘ）．（Ｃ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｂ）．（Ｄ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ａ）ｇ（ａ）．（４）若ｌｉｍｘң０ｓｉｎ６ｘ＋ｘｆ（ｘ）ｘ３＝０，则ｌｉｍｘң０６＋ｆ（ｘ）ｘ２为（㊀㊀）（Ａ）０．㊀㊀（Ｂ）６．㊀㊀（Ｃ）３６．㊀㊀（Ｄ）ɕ．（５）具有特解ｙ１＝ｅ－ｘ，ｙ２＝２ｘｅ－ｘ，ｙ３＝３ｅｘ的３阶常系数齐次线性微分方程是（㊀㊀）（Ａ）ｙ‴－ｙᵡ－ｙᶄ＋ｙ＝０．（Ｂ）ｙ‴＋ｙᵡ－ｙᶄ－ｙ＝０．（Ｃ）ｙ‴－６ｙᵡ＋１１ｙᶄ－６ｙ＝０．（Ｄ）ｙ‴－２ｙᵡ－ｙᶄ＋２ｙ＝０．三㊁（本题满分５分）设ｆ（ｌｎｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）ｘ，计算ʏｆ（ｘ）ｄｘ．９２四㊁（本题满分５分）设ｘＯｙ平面上有正方形Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）０ɤｘɤ１，０ɤｙɤ１｝及直线ｌ：ｘ＋ｙ＝ｔ（ｔȡ０）．若Ｓ（ｔ）表示正方形Ｄ位于直线ｌ左下方部分的面积，试求ʏｘ０Ｓ（ｔ）ｄｔ（ｘȡ０）．五㊁（本题满分５分）求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２ｌｎ（１＋ｘ）在ｘ＝０处的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（０）（ｎȡ３）．六㊁（本题满分６分）设函数Ｓ（ｘ）＝ʏｘ０ｃｏｓｔｄｔ，（１）当ｎ为正整数，且ｎπɤｘ＜（ｎ＋１）π时，证明：２ｎɤＳ（ｘ）＜２（ｎ＋１）；（２）求ｌｉｍｘң＋ɕＳ（ｘ）ｘ．七㊁（本题满分７分）某湖泊的水量为Ｖ，每年排入湖泊内含污染物Ａ的污水量为Ｖ６，流入湖泊内不含Ａ的水量为Ｖ６，流出湖泊的水量为Ｖ３．已知１９９９年底湖中Ａ的含量为５ｍ０，超过国家规定指标．为了治理污染，从２０００年初起，限定排入湖泊中含Ａ污水的浓度不超过ｍ０Ｖ．问至多需经过多少年，湖泊中污染物Ａ的含量才可降至ｍ０以内？（注：设湖水中Ａ的浓度是均匀的）．八㊁（本题满分６分）设函数ｆ（ｘ）在［０，π］上连续，且ʏπ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，ʏπ０ｆ（ｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝０．试证明：在（０，π）内至少存在两个不同的点ξ１，ξ２，使ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．九㊁（本题满分７分）已知ｆ（ｘ）是周期为５的连续函数，它在ｘ＝０的某个邻域内满足关系式ｆ（１＋ｓｉｎｘ）－３ｆ（１－ｓｉｎｘ）＝８ｘ＋α（ｘ），其中α（ｘ）是当ｘң０时比ｘ高阶的无穷小，且ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导，求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（６，ｆ（６））处的切线方程．十㊁（本题满分８分）设曲线ｙ＝ａｘ２（ａ＞０，ｘȡ０）与ｙ＝１－ｘ２交于点Ａ，过坐标原点Ｏ和点Ａ的直线与曲线ｙ＝ａｘ２围成一平面图形．问ａ为何值时，该图形绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一㊁（本题满分８分）函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上可导，ｆ（０）＝１，且满足等式０３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）ｆᶄ（ｘ）＋ｆ（ｘ）－１ｘ＋１ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝０．（１）求导数ｆᶄ（ｘ）；（２）证明：当ｘȡ０时，不等式ｅ－ｘɤｆ（ｘ）ɤ１成立．十二㊁（本题满分６分）设α＝１２１æèççöø÷÷，β＝１１２０æèççççöø÷÷÷÷，γ＝００８æèççöø÷÷，Ａ＝αβＴ，Ｂ＝βＴα，其中βＴ是β的转置，求解方程２Ｂ２Ａ２ｘ＝Ａ４ｘ＋Ｂ４ｘ＋γ．十三㊁（本题满分７分）已知向量组β１＝０１－１æèççöø÷÷，β２＝ａ２１æèççöø÷÷，β３＝ｂ１０æèççöø÷÷与向量组α１＝１２－３æèççöø÷÷，α２＝３０１æèççöø÷÷，α３＝９６－７æèççöø÷÷具有相同的秩，且β３可由α１，α２，α３线性表示，求ａ，ｂ的值．１３２０００年真题２００１年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң１３－ｘ－１＋ｘｘ２＋ｘ－２＝．（２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）由方程ｅ２ｘ＋ｙ－ｃｏｓ（ｘｙ）＝ｅ－１所确定，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，１）处的法线方程为．（３）ʏπ２－π２（ｘ３＋ｓｉｎ２ｘ）ｃｏｓ２ｘｄｘ＝．（４）过点(１２，０)且满足关系式ｙᶄａｒｃｓｉｎｘ＋ｙ１－ｘ２＝１的曲线方程为．（５）设方程组ａ㊀１㊀１１㊀ａ㊀１１㊀１㊀ａæèççöø÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝１１－２æèççöø÷÷有无穷多解，则ａ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）＝１，㊀ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１，{则ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝等于（㊀㊀）（Ａ）０．㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）１．㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）１，㊀ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１．{㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）０，㊀ｘɤ１，１，㊀ｘ＞１．{（２）设当ｘң０时，（１－ｃｏｓｘ）ｌｎ（１＋ｘ２）是比ｘｓｉｎｘｎ高阶的无穷小，ｘｓｉｎｘｎ是比ｅｘ２－１高阶的无穷小，则正整数ｎ等于（㊀㊀）（Ａ）１．（Ｂ）２．（Ｃ）３．（Ｄ）４．（３）曲线ｙ＝（ｘ－１）２（ｘ－３）２的拐点个数为（㊀㊀）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（４）已知函数ｆ（ｘ）在区间（１－δ，１＋δ）内具有二阶导数，ｆᶄ（ｘ）严格单调减少，且ｆ（１）＝ｆᶄ（１）＝１，则（㊀㊀）（Ａ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＜ｘ．（Ｂ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＞ｘ．（Ｃ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＜ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＞ｘ．（Ｄ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＞ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＜ｘ．（５）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数ｙ＝ｆᶄ（ｘ）的图形为（㊀㊀）２３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）三㊁（本题满分６分）求ʏｄｘ（２ｘ２＋１）ｘ２＋１．四㊁（本题满分７分）求极限ｌｉｍｔңｘｓｉｎｔｓｉｎｘ()ｘｓｉｎｔ－ｓｉｎｘ，记此极限为ｆ（ｘ），求函数ｆ（ｘ）的间断点并指出其类型．五㊁（本题满分７分）设ρ＝ρ（ｘ）是抛物线ｙ＝ｘ上任一点Ｍ（ｘ，ｙ）（ｘȡ１）处的曲率半径，ｓ＝ｓ（ｘ）是该抛物线上介于点Ａ（１，１）与Ｍ之间的弧长，计算３ρｄ２ρｄｓ２－ｄρｄｓ()２的值．（在直角坐标系下曲率公式为Ｋ＝ｙᵡ（１＋ｙᶄ２）３２．）六㊁（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上可导，ｆ（０）＝０，且其反函数为ｇ（ｘ）．若ʏｆ（ｘ）０ｇ（ｔ）ｄｔ＝ｘ２ｅｘ，求ｆ（ｘ）．七㊁（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆᶄ（ｘ）＝ｇ（ｘ），ｇᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－ｆ（ｘ），且ｆ（０）＝０，ｇ（０）＝２，求ʏπ０ｇ（ｘ）１＋ｘ－ｆ（ｘ）（１＋ｘ）２[]ｄｘ．八㊁（本题满分９分）设Ｌ是一条平面曲线，其上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）（ｘ＞０）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在ｙ轴上的截距，且Ｌ经过点(１２，０)．（１）试求曲线Ｌ的方程；（２）求Ｌ位于第一象限部分的一条切线，使该切线与Ｌ以及两坐标轴所围图形的面积最小．九㊁（本题满分７分）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积Ｓ成正比，比例常数Ｋ＞０．假设在融化过程３３２００１年真题。