(整理)常数项级数的审敛法

1
p1


1 4p


( p 0) 的收敛性
]

1 np
而调和级数 n11n 发散
1 xp


dx
其部分和
3
1
p1
]
p11[




(n
[
n
n1

1 1)
1
p1
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

22
说明 : 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .

例如 p - 级数
1
n1 n p
un

1 np
,
n
un


1 nn

p

1

(n )
p 1 级数收敛
但
p 1 级数发散
23
例14 判断下列级数的敛散性
1.
n n1 2n
解： un

n 2n
lim n
n
nN
nN

即 un2收敛
n1
8
(2)
un un1

1 2 (un

un1 )
因
n1
un

、
n1
un1

均收 敛,所 以
n1
1 2
(un

un1 )收 敛


un un 1 收 敛
n1
9


定理3. (比较审敛法的极限形式) 设 un 和 vn 是
nn n!
11
lim n (1 1 )n
1 e
n
故级数
n1
n! nn
收敛.
19

1
(4)
n1 (2n 1) 2n
lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法

而级数
1 1发散, 级数
1 发散.
n1 n 1 k2 k
n1 n(n 1)
4

第二节 常数项级数审敛法（2-3大节）教学目标：1、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法，会用根值审敛法.2、掌握p 级数的收敛与发散条件.3、掌握交错级数的莱布尼兹审敛法，掌握绝对收敛与条件收敛的概念及性质. 课时安排：6课时 重点: 1. 正项级数的2.交错级数的莱布尼茨判别法。

3.一般项级数的绝对收敛条件；收敛的判别法.难点：常数项级数的审敛法 教学法：讲授法一.正项级数的审敛法： 1.正项级数：1, 0n n n u u ∞=≥∑2.正项级数的特点：①1{}n n n S S S +≤⇒单调增数列②n n n n n 1u limS {S }∞→∞=⇔∃⇔∑收敛有界（充要条件）③若n n n n 1u limS ∞→∞=⇔=+∞∑发散3.比较判别法（正项级数）①结论：（定理）大敛⇒小敛，小散⇒大散即：n n n 1n 1u ,v ∞∞==∑∑：ⅰ n n n n n 1n 10u v ,v u ∞∞==≤≤⇒∑∑若收敛收敛ⅱ n n n 1n 1u v ∞∞==∑∑若发散，则发散②简证： n n n n u S ,v ,σ→→∑∑设以ⅰ为例来证n n n n n n n n n 1v {}u v ,S {S }u σσ∞=⇒≤≤⇒⇒∑∑ 是收敛的有界又则有界收敛③比较判别法的极限形式：0lim 0,n n n n n n n n n n n n l l u v u u v v u v v u u v ⎧<<+∞⇒⎪⎪=⇒⇒⇒⎨⎪+∞⇒⇒⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑，与敛散性相同发散发散，收敛收敛，发散发散，收敛收敛④使用比较判别法应注意的问题：ⅰ“同性相比”（敛的和敛的比，散的和散的比）ⅱ 和标准去比.11.--:111.--ln 1p p a p b P n p p l P n n p ⎧⎪⎪⎪>⇒⎧⎪⎨⎨≤⇒⎩⎪⎪>⇒⎧⎪⎨⎪≤⇒⎩⎩∑∑与等比级数比收敛级数发散收敛准级数发散ⅲ 、“敏锐”眼光，“先见之明”，“抓大头”，熟记等价无穷小公式。

收敛
收敛
1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛

三、绝对收敛与条件收敛


sin n
;
(2)
n 1
(1)


2 n n
. en
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n

1 n 4 收敛 , n 1



n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
(2) 令
(n 1) 2 n 1 u n 1 e lim lim n u n n n2 n e 2 1 n 1 1 lim 1 n e n e
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
n 1 1
例如 ： (1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
(1)

n 1
n 均为绝对收敛. n 10
例7. 证明下列级数绝对收敛 :
(1)
4 n n 1
1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n

sin 1 n ～

1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n12 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 n n 1

第十章
第二节 常数项级数的审敛法
（Interrogate of constant term series）
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结与思考练习
2020年11月4日星期三
1
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一、正项级数及其审敛法
(Interrogate of positive term series)
设
为正项级数, 且
则
(1) 当 (2) 当
时, 级数收敛 ;
或
时, 级数发散 .
证: (1)
收敛 , 由比较审敛法可知
2020年11月4日星期三
15
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(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
1
1 an
1 2
0，
发散．
n1 1 an
（3）当 a 1时， 1
1 an1 aຫໍສະໝຸດ n由于级数n1
1 a
n
收敛，所以级数
1 n1 1 an
收敛．
综上所述，当 0 a 1 时，原级数发散，当 a 1时，
原级数收敛．
2020年11月4日星期三
8
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例3
讨论
p
级数 1
1 2p
n 1
n n n
n1 n
n
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11
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所以级数

因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数目录
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收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
机动 目录
单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
机动
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结束
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
n
n
机动
目录

反之，若 an 发散，则 bn 发散.
n1
n1
证明
(1) 设 bn
an bn ,
n1
且 sn a1 a2 an b1 b2 bn
即部分和数列有界
an收 敛. n1
(2) 设 sn (n ) 且 an bn ,
则 n sn 不是有界数列
bn发 散. n1
p
级
数
当 当
p p
1时 1时
, ,
收敛 发散
补充：积分审敛法
例２ 判定级数
1
的敛散性
n1 n 2n
解 由于
11 n 2n 2n (n 2)
而等比级数
1
n1 2n
收敛，由比较审敛法知原级数收敛．
例 3 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
(1) n1
n;
ln(1 1 )
(2) n1
n;
解
(1)
n 时，1 cos 1 n
～
1 2n2
而
1 收 敛 ， 故原级数收敛
n1 2n2
(2) n
时，ln(1
1)～ n
1 n
而
1发散，
故原级数发散
n1 n
注: ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用的等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x,arcsin x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
n!
(2) n1 10n ;
(1)若an与bn是同阶无穷小，则 an与 bn同敛散

定理3（正项级数的比较审敛法的极限形式）
设 un与 v n都 是 正 项 级 数 , 如果
n 1 n 1
un lim l , 则 n v n
(1) 当0 l 时, 两级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0时,若 v n收 敛, 则 un收 敛;
n 1 n 1
sn 1
n
1
1 dx 1 1 1 1 1 p1 p 1 n p1 xp

1 即sn有界, 则p 级数 p 收敛.( p 1) n 1 n
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
通常取
v 是敛散性已知的级数作为比较的
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 positive term series
定义 如果级数 un中各项均有 un 0，
n 1
这种级数称为正项级数. 特点 部分和数列 s1 s2 sn
{ sn } 单调增加.
这时,只可能有两种情形:
. (1) 当n 时, sn . 级 数 un必 发 散
n 1 n 1

(3) 若un是vn的低阶无穷小 , 则级数 vn发 散 时,
级 数 un必 发 散 .
n 1
n 1
注 由比较审敛法可推出如下快速的审敛法 设分母,分子关于n的最高次数分别为 p和q ,

当p q 1时, 级数 un ( un 0) 收敛; 当p q 1时, 级数 un 发散.
n1 n n1源自标准, 用于判断 un的收敛性. 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例2 讨论下列正项级数的敛散性. 1 n . (1) 2 sin n ; ( 2) 3 n 1 n( n 1) n1 n 2 解 (1) 0 un 2n sin n 2 n n 3 3 3

n= n =1
∞
(n + 1)(n + 4)
1
.
1 解 (1).un = > = , 2 n(n + 1) (n + 1) n + 1 1 1 1 (2).un = < = 2, (n + 1)(n + 4) n ⋅ n n
1 ∑n + 1发散 故原级数发散。 发散, 故原级数发散。 n=1
1 ∑ n 2 收敛 故原级数收敛。 收敛, 故原级数收敛。 n =1
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、比较审敛法 、 2、比值审敛法 、 3、根值审敛法
0 ≤ un ≤ v n un = l (0 < l < +∞), (2) 极限形式 lim n→∞ v n u n +1 lim =ρ n→∞ u n
(1) 一般形式
lim n un = ρ
n→∞
11
比值审敛法失效, 注：ρ=1时,比值审敛法失效 必须用其他的方法来判别 时 比值审敛法失效 必须用其他的方法来判别.
1 的敛散性. 例8 判别级数 ∑ (2n − 1) ⋅ 2n 的敛散性 n=1
∞
un+1 解 lim n→ ∞ u n
1 (2n + 1) ⋅ 2(n + 1) = lim (2n − 1) ⋅ n = 1 = lim n → ∞ (2n + 1) ⋅ (n + 1) n→ ∞ 1 (2n − 1) ⋅ 2n
3、根值审敛法
判别级数的敛散性: 例9. 判别级数的敛散性
n
(1).∑
1 n ; (2).∑ n n =1 n n =1 3n-1

n =1
其中
un > 0 , n =1, 2, L
定理7（莱布尼兹定理） 定理 （莱布尼兹定理）如果交错级数
n =1
∑ (−1)
∞
n−1
= u1 − u2 + u3 − u4 +L+ (−1) n−1un +L un
满足条件： 满足条件：
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
∞ n=1
∑ un = u1 + u2 + L+ un + L
∞
一般项取绝对值后所得级数记为
n =1
∑ | un | = |u1| + | u2| + L+ |un| + L
∞
∞
收敛， 1） （1）若 ∑ | un | 收敛， 则称原级数 ∑ un 绝对收敛
n =1 ∞
n=1
收敛， 发散， （2）若 ∑ | un | 发散， 而 ∑ un 收敛， ）
n −1 1 1 1 1 1 1 ( ) +( ) +L+ ( ) − − − 2 −1 2 +1 3 −1 3 +1 n −1 n +1
vn =
v2 = 2
∞
∞
v3 = 1
+L
∞ 2 2 ∑ vn = ∑ = ∑ 发散， 发散， 所以原级数发散 . n =2 n =2 n−1 n =1 n
（二）绝对收敛与条件收敛 考虑任意项级数 考虑任意项级数
∞
∞
（1）该结论的逆命题不成立。 ）该结论的逆命题不成立。 （2）定理提供了检验一般级数 ∑ un 是否收敛的一种 ） 有效方法。 有效方法。

n1
如果有 p 1,
使得
lim
n
n
p
un
存在,

则级数 un 收敛.
n1
例 3 判定下列级数的敛散性:
(1)
解
n1
(1)
sin 1 ; n
lim n n
1 (2) n1 3n
sin
1 n

lim
n
sin 1
n 1 n
;

1,
原级数发散.
1
n
(2)

lim
lim un1
n un
(lim n n
|
un
|

)

则 1 un 绝对收敛
n1
1 un
发散
n1
1 可能绝对收敛，可能条件收
敛，也可能发散

n1
(1)n
1 n2
(1)n 1
n1
n

(1)n1
n1
注意 一般而言，由 | un | 发散，并不能推出
显然 vn 0, 且 vn un , vn收敛,
n1



又 un (2vn un ),
n1
n1
un 收敛.
n1
上定理的作用： 任意项级数
正项级数


定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1



若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
1 np

1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知

§11. 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ). 若级数∑∞=1n n v 收敛,则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (k >0, ∀n ≥N ).若∑∞=1n n v 收敛, 则∑∞=1n n u 收敛; 若∑∞=1n n u 发散, 则∑∞=1n n v 发散.设∑u n 和∑v n 都是正项级数, 且u n ≤kv n (k >0, ∀n ≥N ). 若级数∑v n 收敛, 则级数∑u n 收敛; 反之, 若级数∑u n 发散, 则级数∑v n 发散.证 设级数∑∞=1n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞=1n n u 的部分和s n =u 1+u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n ≤v 1+ v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞=1n n u 收敛.反之, 设级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 必发散. 因为若级数∑∞=1n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.证 仅就u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )情形证明. 设级数∑v n 收敛, 其和为σ, 则级数∑u n 的部分和s n =u 1+ u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ + u n ≤v 1+v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界. 因此级数∑u n 收敛.反之, 设级数∑u n 发散, 则级数∑v n 必发散. 因为若级数 ∑v n 收敛, 由上已证明的结论, 级数∑u n 也收敛, 与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数1413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=p p p p p n n n 的收敛性, 其中常数p >0. 例1 讨论p -级数)0( 11>∑∞=p np n 的收敛性. 解 设p ≤1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当p ≤1时级数p n n11∑∞=发散.设p >1. 此时有]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n p n n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).对于级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n , 其部分和111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s .因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s . 所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n11∑∞=当p >1时收敛.综上所述, p -级数p n n11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 解 当p ≤1时, n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n发散, 由比较审敛法知,当p ≤1时级数pn n 11∑∞=发散. 当p >1时,]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n pn n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).而级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 是收敛的, 根据比较审敛法的推论可知,级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛.提示: 级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 的部分和为111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s ,所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛.p -级数的收敛性: p -级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的. 证 因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果l v u nnn =∞→lim(0<l <+∞),则级数∑∞=1n n u 和级数∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,(1)如果l v u n nn =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)如果+∞=>=∞→∞→n nn n n n v u l v u lim 0lim 或, 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑u n 和∑v n 都是正项级数,(1)如果lim(u n /v n )=l (0≤l <+∞), 且∑v n 收敛, 则∑u n 收敛; (2)如果lim(u n /v n )=l (0<l ≤+∞), 且∑v n 发散, 则∑u n 发散.证明 由极限的定义可知, 对l 21=ε, 存在自然数N , 当n >N 时, 有不等式l l v u l l n n2121+<<-, 即n n n lv u lv 2321<<, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数∑∞=11sinn n的收敛性.解 因为111sin lim =∞→nn n , 而级数∑∞=11n n发散,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sinn n发散. 例4 判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解 因为11)11ln(lim22=+∞→nn n , 而级数211n n ∑∞=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)若正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ:ρ=+∞→nn n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=+∞→nn n u u 1lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散. 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++n 是收敛的. 解 因为101lim 321)1( 321lim lim1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性.解 因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n nn n n n n , 根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1的收敛性.解 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n .这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 解 因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211nn ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.提示: 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n , 比值审敛法失效.因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.定理5(根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim)时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=∞→nn n u lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或+∞=∞→nn n u lim)时级数发散. 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→nn n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.例8 证明级数 1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn 是收敛的. 并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→nn u n nn n n n n ,所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为)3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n + nn n )1(1+=. 例6判定级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为21)1(221limlim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6(极限审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数,(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞→∞→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞=1n n u 发散;(2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n p n , 则级数∑∞=1n n u 收敛.例7 判定级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性.解 因为)(1~)11ln(22∞→+n n n , 故11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→n n n n u n n n n n , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛.例8 判定级数)cos 1(11nn n π-+∑∞=的收敛性.解 因为 222232321)(211lim )cos 1(1limlimπππ=⋅+=-+=∞→∞→∞→n n n n n n n u n n n nn ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.二、交错级数及其审敛法交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞=--11)1(n n n u , 其中0>n u .例如,1)1(11∑∞=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(11∑∞=---n n n n π不是交错级数.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅); (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足: (1)1+≥n n u u ; (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1.简要证明: 设前n 项部分和为s n .由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n <u 1), 所以收敛.设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n <u 1.因为 |r n |=u n +1-u n +2+⋅ ⋅ ⋅也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1)1(11∑∞=--n n n收敛, 并估计和及余项.证 这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)1111+=+>=n n u n n u (n =1, 2,⋅ ⋅ ⋅), (2)01lim lim ==∞→∞→nu n nn ,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n .三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:若级数∑∞=1||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1n n u收敛, 而级数∑∞=1||n n u 发散, 则称级∑∞=1n n u 条件收敛.例10 级数∑∞=--1211)1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--111)1(n n n 是条件收敛的.定理7 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.值得注意的问题:如果级数∑∞=1||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1n n u 也发散.§11．1 常数项级数的概念和性质11 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1||n n u 发散,则我们可以断定级数∑∞=1n n u 必定发散.这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n n u 也是发散的.例11 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性. 解 因为|221|sin n n na ≤, 而级数211nn ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n n na 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n n na 绝对收敛. 例12 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性. 解: 由2)11(21||n nn n u +=, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n n n , 可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.。

§11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：∑∞=1n n u 0≥n u (1)显然，部分和数列{}n s 单调增加：.21 ≤≤≤≤n s s s {}↑n s 1.收敛准则定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔部分数列{}n s 有界.例1判别正项级数∑∞=122sin n nn π的收敛性 解 nn n s 22sin22sin 2122ππ+++=n 2121212+++<121121121<-⎪⎭⎫⎝⎛-=n 有上界 级数收敛2.比较审敛法定理2 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且.),2,1( =≤n v u nn 若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；反之，若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散．分析：σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=1n n u 的部分和,),2,1(2121 =≤++≤+++=n v v v u u u s n n n σ即{}n s 有界,由TH1知∑∞=1n n u 收敛。

反之，设∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 必发散.因为若∑∞=1n nv收敛,由上面已证结论知∑∞=1n n u 也收敛，与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,如果级数∑∞=1n n v 收敛，且存在自然数N ，使当N n ≥时有)0(≥≤k kv u n n 成立,则级数∑∞=1n n u 收敛；如果级数∑∞=1n n v 发散，且当Nn ≥时有)0(≥≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.例2 讨论p —级数 )2(11∑∞=n pn的收敛性，其中常数p >0．解 设1≤p ，则,11n np≥但调和级数发散，故级数(2)发散． 设1>p ，当n x n ≤≤-1时，有,11p p xn ≤所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=≤=----⎰⎰11111)1(111111p p n n n n p p p n n p dx x dx n n ， ,3,2=n 考虑级数)3(,1)1(1111∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n p p n n 级数(3)的部分和⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-----11111)1(113121211p p p p p n n n s =.)1(111-+-p n 因 .1=n s 故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当p >1时收敛.总之：p —级数(2)当≤p 1时发散，当p >1时收敛．注：比较审敛法的：必须有参考级数。