151第2章 机械波一．基本要求1．理解机械波产生的机制和波动的特征。
2．掌握简谐波的概念以及描述简谐波的物理量：波长、周期、波速和相位。
3．掌握波函数的建立过程，能根据任一点的振动方程写波函数，并理解波函数的物理意义．掌握振动曲线和波形曲线的区别和联系，能够从波形曲线获取有关信息。
4．理解波的能量以及与能量有关的物理量：能量密度、波的强度．掌握振动的能量和波的能量的差异。
5．了解惠更斯原理，并能用它解释波的衍射、反射和折射。
6．掌握波的迭加原理，特别波的干涉，以及干涉的特例——驻波。
7．掌握多普勒效应。
二．内容提要和学习指导（一）机械波的基本概念1．定义：机械振动在弹性媒质中传播形成机械波。
2．产生的条件：①产生振动的波源；②传播振动的弹性媒质；3．分类：①按振动方向分为：纵波和横波；②按波面形状分为：平面波、球面波和柱面波等；③按频率分为：次声波(ν<20Hz)、声波(20Hz <ν<2⨯104Hz)、超声波(ν>2⨯104Hz)；④按波源是否谐振分为：简谐波和非简谐波。
（二）波动的描述1．描述波的基本物理量：（1）波的周期T （频率ν、圆频率ω）：1/2/T νπω==，波场中各质元振动的周期，由波源决定，与介质无关，它反应波在时间上的周期性．．．．．．．．．．．．。
（2）波速u ：单位时间内振动所传播的距离．它决定于介质的弹性性质和介质的密度，与波源无关．值得注意的是：波速与质元的振动速度是两个不同的概念；（理想的流体中只能传播纵波，其波速ρ/K u =；固体中横波的波速ρ/G u =，纵波的波速ρ/E u =；柔软的轻绳中只能传播横波，其波速μ/T u =）；（3）波长uT λ=：沿波的传播方向两个相邻同相点之间的距离，或者说波在一个周期内向前传播的距离．它反应波在空间上的周期性．．．．．．．．．．．．． （4）波的相位：设0x =处的质元在t 时刻的振动相位是0t ωφ+，波沿x 轴正（反） 向传播，则位于x 处的质元在t 时刻的振动相位为0(/)t x u φωφ=+ ；2．波动的几何描述：①波线：表示波的传播方向的直线或曲线；②介质中位相相同的点构成的面叫等相面，位置在波的最前方的等相面称为波前或波面；③在各向同性均匀介质中，波线与波面正交；④沿波线单位长度上完整波的个数称为波数，2/k πλ= 称为角波数，2/k n πλ= 称为波矢量（n是沿波传播方向的单位矢量）；3．波动的解析函数描述：（1）平面波的微分方程 0122222=∂∂-∂∂tu x ξξ，其解满足叠加原理。
应用动力学的规律，152导出不同介质中平面波方程，可以给出波速。
2u =弹性模量/质量密度。
此方程的重要性在于：任意物理量ξ，不管它是力学量位移（对机械波），还是其它量，如电场强度E ，磁场强度H等，只要它对坐标和时间的关系满足这个方程，这一物理量就必定以平面波的形式传播，其中u 就代表这种波的传播速度。
正是由于此方程是线性微分方程，才决定了由此方程解出的波函数必定遵守叠加原理。
（2）平面简谐波的波函数 沿x 轴正向传播：00(,)cos[()]cos[2()]x t xx t A t A u T ξωφπφλ=-+=-+； 沿x 轴反向传播：00(,)cos[()]cos[2()]x t xx t A t A u T ξωφπφλ=++=++； 物理意义：给定0x x =，波函数给出坐标0x x =的质元的振动方程，其图示是振动曲线；指定0t t =，波函数给出0t 时刻不同坐标x 的质元的位移，其图示为0t 时刻的波形曲线（注意振动曲线和波形曲线的区别）；（3）由振动方程写波函数的关键：沿着波的传播方向，相位依次滞后2x x uωπφλ∆=∆=∆；4．波动的图线描述——波形曲线以横坐标表示x ，纵坐标表示ξ，在t 固定的情况下，绘出的ξ随x 变化的曲线称为波形曲线．波形曲线表示在某一时刻各质元离开平衡位置的位移随质元平衡位置的变化关系。
从波形曲线可获如下信息：①由波形曲线和波的传播方向能判断任意质点的振动情况；②由不同时刻的波形曲线能判断波的传播方向；③由波形曲线和波的传播方向能写出波函数；5．波的能量特征（1）介质质元的能量：①动能)(sin 21222uxt A V E k -=ωω∆ρ；②势能 )(sin 21222u xt A V E p -=ωω∆ρ；③总能222sin ()x E VA t uρω=∆-；（2）波的能量密度222sin ()x w A t u ρω=-，平均能量密度2212w A ρω=；（3）波的能流密度222sin ()wu A u t kx ρωω==- ，平均能流密度2212I A u ρω= ；（4）能量特点：①动能和势能同相变化，在最大位移处同时为零，在平衡位置处同时最大；②总能量随时间变化，质元在不断地吸收和放出能量，质元的机械能不守恒；③能量以速度u向前传播；（5）波的吸收：介质对波的吸收可用衰减系数α描述，α取决于介质的吸收性质。
波振幅衰减规律：xeA A α-=0；波强度按xeI I α20-= 规律减弱。
（6）声波、超声波、次声波、声强级：频率在20000~20Hz 的机械纵波称为声波。
频率高于20000Hz 的机械波称为超声波,153频率低于20Hz 的机械波称为次声波。
强度为I 的声波声强级定义为)/lg(100I I L I = ,其单位为分贝（dB ）。
其中122010/I w m -=。
关于波的描述的总结：①波是振动状态的传播，传播速度是u ；②波是振动相位的传播，传播速度是u；③波是波源信息的传播，传播速度是u ；④波是波面沿波线传播，传播速度是u；⑤波是波形曲线的传播，传播速度是u ；⑥波是波源能量的传播，传播速度是u。
（三）波的衍射、反射和折射1．基本原理：①惠更斯原理：波传到的各点都可看成是发射子波的波源，其后任意时刻这些子波波面的包迹就是新波面；②用惠更斯原理作图法可得波的衍射、反射和折射定律。
2．波的衍射：波遇到障碍物时，改变直线传播方向，进入障碍物阴影区域中传播。
3．波的反射定律：反射线、入射线和界面法线在同一平面内，且反射角等于入射角。
4．波的折射定律：折射线、入射线和界面法线位于同一平面内，且12sin sin u i u γ=。
5．振幅关系：定义波阻Z u ρ=，设平面波由波阻为1Z 的介质向波阻为2Z 介质垂直入射到两介质交界面上，则：反射波振幅为121112()Z Z A A Z Z -'=+，透射波振幅为112122Z A A Z Z =+；反射系数为22111221112()I A Z Z R I A Z Z ''-===+，透射系数2212121122212)(4Z Z Z Z A Z A Z I I T +===。
①1=+T R ；②21,Z Z 互换，R 和T 不变；③21Z Z =，则：1,0==T R ；④21Z Z >>或21Z Z <<，则：0,1=≈T R ；⑤12Z Z <，1A '和1A 反号，表示在反射点反射波发生了位相π的突变，这种情况称为“半波损失”。
（四）波的相干叠加1．干涉的概念：几列波在空间相遇时，在叠加区域内各质元的合振幅不随时间变化； 2．干涉条件：同频率、同振向、同相位（或相位差恒定） 3．干涉点的合振幅：φ∆++=cos 2212221A A A A A （其中212/r φφφπλ∆=--∆）；→波场的强度分布：φ∆cos 22121I I I I I ++=4．干涉加强和减弱的条件：（1）相位差表述：①2k φπ∆=时，干涉加强；②(21)k φπ∆=+时，干涉减弱； （2）波程差表述（2010φφ=）①22r kλ∆=时，加强；②(21)2r k λ∆=+时，减弱；5．干涉的特例——驻波：传播方向相反的等振幅相干波叠加形成驻波，其标准波函数为：(,)2cos(2/)cos x t A x t ξπλω=驻波的特征：（1）振幅特征：①振幅2cos 2/A x πλ是x 的周期函数且不随t 而变；②相邻两波节154（或相邻两波腹）之间的距离为2/λ；（2）相位特征：①波幅两侧对应处等幅同相；②波节两侧对应处等幅反相；③相邻两波节之间各点的振动同相；④驻波中没有相位的传播，驻波不是波，而是一种振动模式；（3）能量特征：①波腹处无势能，波节处无动能；②当各点位移最大时，只有势能，且波节处势能密度最大；③当各点位移为零时，只有动能，且波腹处动能密度最大；④在相邻的两波节间动能和势能相互转换，平均能流为零，驻波中没有能量的传播。
关于驻波的总结：驻波不是行波，而是一种特殊的振动。
因为：驻波没有振动状态的传播；没有振动相位的传播；没有波形曲线的传播；没有波动能量的传播。
（4）在有边界的物体上（如各种管弦乐器），只能存在频率离散的驻波简谐振动，这些 离散的简振频率称为本征频率，其中最低频称为基频，其它频率是基频的整数倍，依次称为二次，三次，···谐频。
系统以基频或谐频作简谐振动称为系统的简正模式。
当系统所受的驱动力频率等于某个简正模频率时，这个模式的振动就会被激发。
系统的振动可以是各种简正模式的叠加。
如两端固定、长为L 的弦上可形成弦驻波：(1,2,)2n unn Lν==⋅⋅⋅ （四）多普勒效应观察者或波源相对于介质运动时，观察者接收到的波频率不等于波源频率的现象，称为多普勒效应．观察者接收到的频率与波源频率的关系为：rr s su v u v νν±=±。
此式中正负号规定为：由观察者指向波源为正方向，若观察者和波源的运动方向与正方向相同，则上式中取正号；若观察者和波源的运动方向与正方向相反，则上式中取负号。
当点波源在介质中运动速度s v 大于这种介质中的相速时，波面形成以点波源位置为顶点的圆锥面。
此锥体称为马赫锥。
这种波称为冲击波。
设波源运动速度s v ，波速为u ，u v M s /= 为马赫数。
马赫锥的顶角α为M /1)2/sin(=α三．习题解答和分析2.1．已知波函数为)01.05.2(cos 20x t y -=π，式中单位分别为cm 和s 。
求波长、周期、波速。
【解】)(20001.02cm ==ππλ；)(8.05.22s T ==ππ；200250(/)0.8u cm s T λ===。
2.2．波在空气、水、钢中的传播速度分别为340、1500、5300m/s ，试求频率为600Hz 的声波和频率为Hz 5102⨯的超声波在空气、水、钢中传播时的波长。
【解】u λν=→/u λν=。
