14.2.2完全平方公式(1)

1.理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算.2.经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力.3.培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想.学习重点：对两数和的平方公式的理解，熟练完全平方公式进行简单的计算. 学习难点：对公式的理解，包括它的推导过程，结构特点，语言表述及其几何解释.学习过程：一.自主学习（1）两数和乘以这两数的差的公式是什么？（2）口述多项式乘以多项式法则.（3）计算（2x－1）（3x－4）（5x＋3）（5x－3）二.合作探究1、计算下列多项式的积，你能发现什么规律？归纳：写出公式.（1）（a＋b）2 （2）（a - b）2文字叙述：练习1:（1）P110 例3 （2）P110 练习1、2（3）变式：运用完全平方公式计算2.运用完全平方公式计算：P110、例4变式：3拼图导出：（a+b）2=a2+2ab+b2你能根据图1,谈一谈（a+b）2=a2+2ab+b2吗？（a－b）2=a2－2ab+b2你能根据图2,谈一谈（a－b）2=a2－2ab+b2吗？5.提高：可将（a－b）看成是[a＋(－b)]，就将减法统一成加法，即：，在今后的计算中可直接应用.（1）（2）（3）思考：随堂练习1.计算：⑴（2a＋3b）2；⑵（2a＋）2三、运用公式求代数式的值:例1：例2：已知a+b=7,ab=2.求：的值。

例3的值。

四．盘点提升1．判断正误：（1）（b-4a）2=b2-16a2．（）（2）（a+b）2=a2+ab+b2．（）（3）（4m-n）2=16m2-4mn+n2．（）（4）（-a-b）2=a2-2ab+b2．（）2．在下列各式中，计算正确的是（）A．（2m-n）2=4m2-n2 B．(5x-2y)2=25x2-10xy+4y2C．(-a-1)2=-a2-2a-1 D (-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b23. 利用完全平方公式进行简便计算:（1）1022（2）1992（3）（x＋2）2－（x－2）24.计算：⑴⑵5.已知求和的值。

人教版八年级数学上册第十四章14.2.2完全平方公式（第1课时）教学目标：１、完全平方公式的推导及其应用；２、完全平方公式的几何背景；３、体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．教学重点：（1）完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；（2）完全平方公式的应用．教学难点：完全平方公式的推导、其几何解释、公式结构特点及其应用．教学过程：一、回顾旧知1、多项式乘多项式法则：2、(x+p)(x+q)=3、平方差公式：(a+b)(a-b)=二、课前小测1、速度大比拼•(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)•(a-b) (a-b)-(a+b) (a+b)•(-3x+4y) (-3x+4y)2、智力大比拼一个正方形的边长为acm,若边长增加 2cm，则新正方形的面积增加了多少？三、激发学生兴趣，例题引出本节内容例题：(x+3)² - x²除了平方差公式计算，你还有别的方法吗？活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2=（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2=（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．活动2 在上述活动中我们发现（a＋b）2＝；（a-b）2＝a2-2ab+b2，是否对任意的a、b，上述式子都成立呢？学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳，用多项式乘法法则可得（a+b）2=（a+b）（a+b）=a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b 2（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2．二.问题引申，总结归纳完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即（a+ b）2=a2+2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2．记忆口诀：首平方，尾平方,积的2倍放中央.在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：（1）左边为两个数的和或差的平方。

14．2.2完全平方公式一、教学目标1．完全平方公式的推导及其应用，完全平方公式的几何解释．2．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生逆向思维能力．二、教学重难点重点：完全平方公式的推导过程、结构特征、几何解释及灵活应用．难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．教学过程一、情境引入请同学们一起来探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个孩子，老人就给每个孩子三块糖……(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天有(a＋b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？解：(1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖．(2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖．(3)第三天老人一共给了这些孩子(a＋b)2块糖．二、互动新授像研究平方差公式一样，我们探究一下(a＋b)2的运算结果有什么规律．【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝__________；(2)(m＋2)2＝__________；(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝__________；(4)(m－2)2＝__________．学生自主探究：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝p2＋p＋p＋1＝p2＋2p＋1；(2)(m＋2)2＝(m＋2)(m＋2)＝m2＋2m＋m·2＋2×2＝m2＋4m＋4；(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝p2＋p·(－1)＋(－1)·p＋(－1)×(－1)＝p2－2p＋1；(4)(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝m2＋m·(－2)＋(－2)·m＋(－2)×(－2)＝m2－4m＋4.可以发现：(1)结果中的2p＝2·p·1；(2)结果中4m＝2·m·2；(3)、(4)与(1)、(2)比较只有一次项有符号之差．教师总结：上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，由于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2，所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．教师说明：这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式．完全平方公式是多项式乘法(a ＋b)(p ＋q)中p ＝a ，q ＝b 的特殊情形．【思考1】 你能根据教材图14.2－2和教材图14.2－3中图形的面积说明完全平方公式吗？教师引导学生自主探究．【例3】 运用完全平方公式计算：(1)(4m ＋n)2； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122. 【解】 (1)(4m ＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n 2＝16m 2＋8mn ＋n 2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝y 2－2·y·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝y 2－y ＋14. 启发：对于第(2)题，你还有其他的解法吗？学生自主探究：⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝y 2＋2·y·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝y 2－y ＋14. 【例4】 运用完全平方公式计算：(1)1022； (2)992.【解】 (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404；(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801.【思考2】 (a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？师生合作探究：因为互为相反数的两个数的偶次相等，所以(a＋b)2＝(－a－b)2，(a－b)2＝(b－a)2.但(a－b)2＝a2－2ab＋b2，a2－b2＝(a＋b)(a－b)，所以(a－b)2≠a2－b2.有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式．【回顾】运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号．在第二章中，我们学过去括号法则，即a＋(b＋c)＝a＋b＋c；a－(b＋c)＝a－b－c.反过来，就得到添括号法则：a＋b＋c＝a＋(b＋c)；a－b－c＝a－(b＋c)．也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．【例5】运用乘法公式计算：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.【解】 (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9；(2)(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.三、课堂小结四、板书设计五、教学反思本节课是在学习了平方差公式之后进行的，学习方法与上节课类似，但本课时中的内容多，难点也比较多，所以对课堂教学的组织要求就更高，因此在设计活动时，紧紧围绕着完全平方公式如何得到和应用这一中心问题展开，并根据活动情况不断地变换问题，以问题为核心调动学生参与活动的兴趣与积极性，在每一个教学环节都对学生提出不同的要求，指导他们自主探索与合作交流，更好地掌握模仿与记忆的学习方式．导学方案一、学法点津学生在运用完全平方公式时，要注意分清：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍．公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2.即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．2．添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．（二）规律方法总结1．运用完全平方公式时应注意以下几个方面：(1)(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2都叫完全平方公式，为了区别，把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．(2)公式的特征中，a 与b 可以是单项式也可以是多项式．2．添括号与去括号是一个互逆过程，添括号是否正确可将添括号的式子按去括号的法则去掉括号，看结果是否与原式相同来验证变形的正确性．课时作业设计一、选择题1．下列等式能成立的是( )．A ．(a －b)2＝a 2－ab ＋b 2B ．(a ＋3b)2＝a 2＋9b 2C ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(x ＋9)(x －9)＝x 2－92．(a ＋3b)2－(3a ＋b)2计算的结果是( )．A ．8(a －b)2B ．8(a ＋b)2C ．8b 2－8a 2D ．8a 2－8b 2二、填空题3．(a ＋b)2－(__________)＝(a －b)2.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫100122＝__________． 三、解答题5．已知m ＋1m＝3，求： (1)m 2＋1m 2； (2)m 4＋1m 4.【参考答案】1.C2.C3. 4ab4. 10100.255.解：(1)∵m＋1m ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＝9，m 2＋2＋1m 2＝9，∴m 2＋1m 2＝7. (2)∵m 2＋1m 2＝7，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 22＝49，m 4＋2＋1m 4＝49，∴m 4＋1m 4＝47.。

《完全平方公式》一、教材分析说课内容：《整式的乘除与因式分解》的《完全平方公式》。

教材的地位和作用：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，重要的数学方法“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。

而且它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起作十分重要的作用。

本节内容共安排两个课时，这次说课是其中第一个课时。

完全平方公式这一教学内容是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，教材从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。

教学目标和要求：由课标要求以及学生的情况我将三维目标定义为以下三点：知识与技能目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。

过程与方法目标：在学习的过程中使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。

情感与态度目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。

教学的重点与难点：根据对学生学习过程分析及课标要求我把重点定为：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。

而难点应为完全平方公式的应用以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用。

在教学过程中多处留有空白点以供学生独立研究思考。

二、教法与学法（1）多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化，激发学生的兴趣。

（2）教学中逐步设置疑问，引导学生动手、动脑、动口，积极参与知识全过程。

（3）由易到难安排例题、练习，符合八年级学生的认知结构特点。

（4）课堂中，对学生激励为主，表扬为辅，树立其学习的自信心。

三、教学过程教师活动学生活动设计意图一、创设情景，推导公式计算103971、想一想（电脑演示）一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种，（如图所示）（要求学生从不同的角度表示图形的面积）观察动画，学生抢答：⑴、四块实验田的面积分别为：、、、；⑵、两种形式表示实验田的总面积：复习旧知，并以问题引入。