常微分方程期中测试卷 (9)

《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。

2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。

4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。

二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。

3、求方程的隐式解。

4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

《常微分方程》测试题 1一、填空题 30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。

2、形如 -的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数 -对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。

4、形如 -的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。

二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。

3、求方程的隐式解。

4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题 2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是 .2、方程的通解中含有任意常数的个数为 .3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 (有或无)共同零点．7、设是方程的通解，则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解 .9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是 .10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是 .二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题 31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题 41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题 5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题 6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+2 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题 7一 . 解下列方程 (80%)1. x=+y2. tgydx-ctydy=03. {y-x(+)}dx-xdy=04. 2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

常微分方程练习试卷一、填空题。

1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。

4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。

常 微 分 方 程试卷（一至十） 试 卷（一）一、填空题（3′×10＝30′）1、以y 1＝e 2x ，y 2=e x sinx ，y 3=e x cosx 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x 3y 3dx+3x 4y 2dy=0的通积分是 。

3、柯西问题x dxdy=，y （0）=1的解是 。

4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。

6、微分方程F(x ，y ，p)=0若有奇解y=ϕ (x)，则y=ϕ (x) 满足的P-判别式是 。

7、线性微分方程组Y x A dxdY)(=的解组Y 1（x ），Y 2（x ）…，Y n （x ）在某区间上线性无头的充分必要条件是。

8、设A ，则矩阵指数函数e xA ＝ 。

9、方程0=+'+''y y y 的通解是 。

10、由方程033=+'+''+'''y y a y a y 的通解是 。

二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程31-++-=y x y x dx dy 的通解： 23、621y x y xdx dy =+ 4、x e x y y y 2)53(23+=+'-''三、求单参数曲线族xy=c 的正交轨线族（10′）12′）=dxdYY五、设二阶方程0442=-'+''y y x y x 有特解y 1(x)=x ，求此方程的通解（8′）六、有一容积为10000m 3的车间。

车间的空气含有0.12%的CO 2，今用一台风量为1000m 3/min 的鼓风机通入新鲜空气，新鲜空气中含有0.04%的CO 2，向鼓风机开动10min 后，车间内CO 2的百分比降到多少？（12′）试卷（二）一、填空题（31、微分方程组的阶数是 。

2、以y 1＝e x ,y 2=xe x ,y 3=e 2x xin2x 为特解的最低阶实常系数齐次线性微分方程是 。

第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。

( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。

( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。

( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。

( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。

(O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。

( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。

( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。

( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。

( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。

②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。

③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。

④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。

⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。

2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。

3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。

4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。

5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。

6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。

)()()(2cos 31cos 31sin 21)(**t x t x t x tt t t t x c +=∴-+=通解 五. 证明题（5分）证明:性无关解，下面只要证明其线是对应齐次方程的两个、是非齐方程的解，、、)()()()()()()(3231321t x t x t x t x t x t x t x --∴ 是齐次方程的基解线性无关，、，，线性无关，、、即：令∴--∴=+==⇒=+-+=-+-)()()()(000)()()(0)()()()(0)]()([)]()([323121213213212211322311t x t x t x t x k k k k t x t x t x t x k k t x k t x k t x t x k t x t x k)()]()([)]()([)(1322311t x t x t x c t x t x c t x +-+-=非齐次方程的通解：六. 应用题（任选1题, 10分）1．设运动员从跳落到开伞前为自由落体运动, 开伞后在空气中下落时受到的空气阻力与速度平方成正比（比例系数为k ）。

一运动员从高空跳下T 秒后才打开降落伞。

试建立微分方程, 求开伞后, 该运动员在下降过程中速度与时间关系, 并求出极限速度。

解:kmgt v aeae k mg v a gT kmggT kmgc gT v c t m kg v kmgvkmgv gTv m k g dt dvt t v t t mkg t m kg =⇒+-=⇒∆-+=⇒=+=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∞→)(lim 11ln ln)0(2ln)0()(22112由第二定律得：秒时的速度，根据牛顿表示运动员开伞用第 4 页2. 在一个电阻R 、电感L 、电容C 和电源E 串联而成的闭合回路中, 已知E=100sin60t(V)R=2欧姆, L=0.1（H ）, C=1/260（F ）。

（整理）常微分方程试题及参考答案常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件(x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤n|x1-x2|,其中0<n<1,证明< p="">方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-t f(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。

常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为x.y 的连续函数。

2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。

1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。

2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。

3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。

4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。

xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。

6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。

8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。

9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。

10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。

11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。

12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。