三角函数习题

三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=13，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、47B 、 13C 、 12D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：√2C 、1：1：√3D 、1：1：√226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB= 23B ．cosB= 23C ．tanB= 23D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=624+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。

三角函数练习1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ） A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900,BC=4，sinA=54,则AC=（ ）A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=31，则( ）A 、00〈∠A<300B 、300<∠A 〈450C 、450〈∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ）A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a:b ：c=（ ）A 、1：1:2B 、1:1：2C 、1：1：3D 、1:1：226、在Rt △ABC 中,∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点（—sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是( ）A ．（32，12）B ．（-32，12)C ．（—32，—12）D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1。

6米，则旗杆的高度约为（ )A ．6.9米B ．8。

5米C ．10.3米D ．12.0米 10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m(C ）150m（D ）3100m11、如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（ ）A.82米B.163米C.52米 D 。

三角函数练习题含答案一、填空题1．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．2．在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________. 3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.4．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 5．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，||9b c -=，则||||||a b c ++的最大值是___________.6．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么(cos1)f =________.7．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．8．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数()266g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的值域为___________.9．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相．邻交点．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______. 10．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，2B C =，则a c +的取值范围为________．二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π； ③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④13．已知点P 是曲线e 3xy =+α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知,a b Z ∈，满足)98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．在ABC ∆中，已知3sin sin ,2A C +=设2sin sin ,t A C =则91()()44t t --（ ）A ．1B ．27764C ．1693192D ．9816．已知函数()sin sin()f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④17．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ） A ．()f x 为常数 B ．()f x 有极小值 C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数18．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()sin y A x B ωϕ=++，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）A ．25C ︒B ．26C ︒ C ．27C ︒D ．28C ︒19．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)+∞B ．(12,)+∞C ．(1,12)D ．(31,)+∞20．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞三、解答题21．若函数()y f x =的图像上存在两个不同的点关于y 轴对称，则称函数()y f x =图像上存在一对“偶点”．（1）写出函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程） （2）证明：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”；（3）若函数()2()x h x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”，求m 的取值范围． 22．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.23．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.24．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象.25．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式；（2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()33f x m --≤恒成立，求m 的取值范围.26．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？27．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 222cos 20C C ++=． （1）求角C 的大小；（2）若2b a =，ABC ∆的面积为2sin sin 2A B ，求sin A 及c 的值． 28．已知函数()f x a b =⋅，其中()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.29．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.30．已知函数2()2cos 23cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1．6π2．23⎛ ⎝⎭33(21)+ 475．3+36．1π-##1π-+7．80π 8．9[,4]4-9．1或2##2或110．( 二、单选题 11．A 12．B 13．A 14．B 15．B 16．A 17．A 18．C 19．B 20．C 三、解答题21．（1）()(),0,0ππ-（2）见解析（3）()1,+∞ 【解析】（1）根据题意即正弦函数的性质即可直接求解；（2）要证：函数数()2x h x e mx =--图象上有且只有一对“偶点”，只需证：())()()y Q x g x g x ==--=在(0,2)上有且只有一个零点，结合导数及函数的性质即可证明；（3）由题意，问题可转化为函数()()y h x h x =--只有一个零点，结合函数的性质及导数可求． 【详解】（1）函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标为()(),0,0ππ-， （2）设()()()()()ln 2ln 22Q x g x g x x x x =--=+--+-， 因为()y Q x =的定义域为()2,2-，且()()Q x Q x -=-， 所以函数()y Q x =为奇函数，要证：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”， 只需证：()y Q x =在()0,2上有且只有一个零点，令()()222204x Q x x-'==-，得x =所以，函数()Q x 在(上为单调减函数，在)2上为单调增函数，(ln 30Q=+-<，4441122ln 40Q e e e ⎛⎫⎛⎫-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()Q x 在41e ⎫-⎪⎭上有且只有一个零点，所以函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”，（3）设()()()2x xF x h x h x e e mx -=--=--，()00F =，因为()y F x =的定义域为R ，且()()F x F x -=-， 所以函数()y F x =为奇函数，因为函数()2()x h x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”， 所以函数()y F x =在()0,∞+有且只有一个零点， ()12x xF x e m e '=+-，()0,x ∈+∞， ①当1m 时，因为()220F x m '>-≥，所以函数()y F x =在()0,∞+上为单调增函数，所以()()00F x F >=， 所以函数()F x 在()0,∞+无零点，②当1m 时，由()212120x x xx xe me F x e m e e-+'=+-==，得：(0ln x m =，所以函数()y F x =在()00,x 上单调减函数，在()0,x +∞上单调增函数， 所以()()000F x F <=， 设()ln H x x x =-，()1xH x x-'=， 所以函数()H x 在()0,1上单调增函数，在()1,+∞上单调减函数， 所以()()110H x H ≤=-<，所以ln x x <，所以(ln ln 22m m m +<<，设()()211x m x e x x =-->，设()()2xM x m x e x '==-， 因为()220xM x e e '=->->，所以函数()M x 在()1,+∞单调增函数，所以()()120M x M e >=->，所以函数()m x 在()1,+∞单调增函数， 所以()()120m x m e >=->，所以当1x >时，21x e x >+，()22222124140m m m F m e m e m e=-->-->， 因为函数()y F x =在()0,x +∞上单调增函数，所以函数()F x 在()0,2x m 上有且仅有一个1x ，使得()10F x =， 综上：m 的取值范围为()1,+∞. 【点睛】本题中综合考查了函数的性质及导数的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，试题具有一定的综合性．22．（1）()f x 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.23．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形, ∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.24．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω== ∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）由题意可知222T ππω=≥, ∴1ω≤ 又0>ω, ∴01ω<≤ （2）∵T πω=, ∴1ω=∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =-∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.25．（1）()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-【解析】 【分析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可； （2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩.【详解】解：（1）由()f x 的图象可知34424T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=.因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3f t π==解得2t =，故()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤.因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+， 所以32m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩10m -≤≤.故m 的取值范围为[]1,0-.【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题. 26．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值；（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴=（2）由（1）知 1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()4g x = 当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题27．（1）34C π=（2）sin A =1c = 【解析】 【分析】（1）化简等式，即可求出角C ．（2）利用角C 的余弦公式，求出c 与a 的关系式，再由正弦定理求出角A 的正弦值，再结合面积公式求出c 的值． 【详解】（1）∵cos 220C C ++=，∴22cos s 10C C +=+，即)210C +=，∴cos C = 又()0,C π∈，∴34C π=. （2）∵2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，∴c =，即sin C A =，∴sinA C =∵1sin 2ABC S ab C ∆=，且in sin ABC S A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴sin sin sin abC A B=2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭1c =. 【点睛】本题考查利用解三角形，属于基础题． 28．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）最小值为1- 【解析】 【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值．【详解】 （1）()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈； （2）02x π≤≤，663x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-【点睛】本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．29．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π.【解析】 【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值. 【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=，故123x x π+=.【点睛】本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．30．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间;(Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）()22f x cos x =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.。

三角函数练习题及解析一、单选题1. 已知直角三角形ABC，角A的对边BC=5，斜边AC=13，则角B 的邻边AB等于：A) 5B) 12C) 4D) 3解析：根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，因此选项B) 12.2. 在单位圆上，点A的坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$，则角A的度数为：A) 45°B) 60°C) 90°D) 120°解析：单位圆上的点A的坐标$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$对应的角A的度数为$60^\circ$，因此选项B) 60°.3. $\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ$的值等于：A) 0B) 1C) $\frac{3}{4}$D) $\frac{1}{2}$解析：$\sin^2 30^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，$\cos^2 60^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，因此$\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，因此选项D)$\frac{1}{2}$.二、填空题4. 对于任意角θ，$\sin(90^\circ - \theta)$的值等于 __________。

答案：$\cos \theta$解析：根据“余角公式”，$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$.5. $\cos(\frac{3\pi}{4})$的值等于 __________。

答案：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$解析：根据单位圆上角度为 $\frac{3\pi}{4}$ 的点坐标为 $(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$，因此 $\cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$.三、解答题6. 解方程 $\sin x = \frac{1}{2}$，其中 $0 \leq x < 2\pi$。

三角函数练习题一、三角函数定义 如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°,sinA= ,cosA=tanA= .sinB= ,cosB= ,tanB= . 1、如图，点P 是∠α的边OA 上一点，P 点的坐标为（12，5），则tan α等于（ ）A.513B. 1213C.512D.1252、如图，1l ∥2l ∥3l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC 的三个顶点分别在这三条平行线上，则sin α的值是（ ）A.13B.617C.55D.103、如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=12∠BAC ，则tan ∠BPC=. 4、如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值为 。

5、如图，在R t △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB 的值为 。

6、在R t △ABC 中，CA=CB ，AB=9 2 ，点D 在BC边上，连接AD ，若tan ∠CAD =13 ，则BD 的长为 。

7、在R t △ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=35 ,则斜边AB 上的高为 。

8、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成锐角α，若AC=a ，BD=b ，则平行四边形ABCD 的面积为 。

9、如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于 。

1、计算：（1）6tan45°-2cos60°(2)2330tan 627322--+-⎪⎭⎫⎝⎛-(3) 60cos 12)12(30tan 3201++-+--(4)2)60tan 1(45tan 30cos 2 ---2、在△ABC 中，若∣sinA-12 ∣+(cosaB-12 )2=0，则∠C的度数为 。

3、已知α是锐角，且sin(23)15=+α，计算： 1031tan )14.3(cos 48-⎪⎭⎫⎝⎛++---απα第1题图αC A B1l2l 3l 第2题图 第3题图AO B 第4题图 第5题图 第8题图 A E B C D F第9题图4、如图，小明站在点A处放风筝，风筝飞到点C处时的线长为20m，这时测得∠CBD=60°，若牵引线底端点B离地面1.5m，求此风筝离地面的高度.（计算结果精确到0.1m， 3 ≈1.732）5、如图所示，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB-AC=2- 2 ,求BC的长。

三角函数练习题含答案一、填空题1．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.有下列结论： ①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②若5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③ω的取值范围为(]0,4；④函数()f x 在区间[)0,2π上最多有6个零点. 其中所有正确结论的编号为________.2．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.3．若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.4．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 5．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 7．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．8．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.9．已知平面四边形ABCD 的面积为364AB =，3AD =，5BC =，6CD =，则cos()A C +=___________.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.二、单选题11．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知无穷项实数列{}n a 满足： 1a t =， 且 14111n n n a a a +=--， 则（ ） A ．存在1t >， 使得20111a a = B ．存在0t <， 使得20211a a =C ．若2211a a =， 则21a a =D ．至少有2021个不同的t ， 使得20211a a =13．已知点P 是曲线e 3xy =+α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12CD15．已知函数()sin sin()f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④16．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ） A ．()f x 为常数 B ．()f x 有极小值 C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数17．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．16 18．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16320．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8三、解答题21．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈．（1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211(,)2S m n x y x y =-．解不等式1(,)2S b c >； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围．22．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值. 23．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.24．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos 32)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.25．已知函数()()22sin cos 2sin f x x x x =+- (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调增区间； (3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求函数的值域．26．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S .27．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.28．已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面积为23sin AD B. (1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；(2)若6,BC AB AD ==b ．29．已知函数2()2cos cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.30．函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值【参考答案】一、填空题1．①②④ 2．03．[45．742ω<<或91322ω<≤.6．①③7．14-8 9．710##0.710．1a 或4a二、单选题 11．A 12．D 13．A 14．C 15．A 16．A 17．C 18．B 19．A 20．D 三、解答题21．（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可； （2）由题意得到()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解即可 【详解】（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1sin 2x =-,因为[,]x ππ∈-,所以6x π=-或65x π=-（2）由题,()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=, 因为1(,)2S b c >,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,566x ππ<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数, 所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++, 若()()a b c d +⊥+,则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=, 则()22sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈-- 【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式22．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】 【分析】 （1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩ ()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4. 【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.23．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+ ()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．24．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12.【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间 （2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增，解得：36k x k ππππ-≤≤+，故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈.（2）∵02x π≤≤，∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.25．（1）π；（2）3[],88k k k Z ππππ-+∈，；（3）[-.【解析】 【分析】（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域. 【详解】（1）由题得1cos2()1sin 22sin 2cos2)24x f x x x x x π-=+-⋅=++， 所以函数的最小正周期为2=2ππ. （2）令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,所以3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈,所以函数的单调增区间为3[],88k k k Z ππππ-+∈，.（3）50,02,2,2444x x x πππππ≤≤∴≤≤∴≤+≤sin(2)1,1)44x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以函数的值域为[-. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.26．（1）⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，33,,022S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =， 集合{}*|,n S x x b n N ==∈． ∴当120,3a d π==， 所以集合3{2S =-，0，3}2． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题． 27．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a = 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x 通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，21t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值. 【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--= ∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+---令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 24t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤21t ≤①当22a<22a <- 当2t =max 1222y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a>，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a-=，解得6a = 综上，2a =-或6a = 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.28．（1）13； （2【解析】 【分析】(1)先由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果. 【详解】(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为26sin AD B , 由三角形的面积公式可知:21sin 26sin AD AB BD B B ⋅⋅=, 由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=,(2)6BC AB = ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =, 在ABD ∆中由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1sin ,sin 13BDA BAD ∠=∠=,()0,BAD π∠∈ ∴ ,2BAD π∠=在直角ABD ∆中13AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==.BC 2BD =,BC 6∴=在ABC ∆中用余弦定理，可得22212cos 13621633,3b ac ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴=【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.29．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间;(Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）()22f x cos x =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.30．（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3π.【解析】 【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期2222πππωω⨯==⇒=，∴f （x ）=2sin （2x-6π）+1 （2）π(0,)2α∈，f （2α）=2∴2sin （22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π。

三角函数复习题1．若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 [解析] C 因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.2． 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45[解析] B 方法一：在角θ终边上任取一点P (a ，2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 方法二：tan θ＝2a a ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.3.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512[解析] D 因为α为第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－512.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤0，f （x －1）＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [解析] C 因为f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－23＋2＝ cos ⎝⎛⎭⎫－23π＋2＝cos 23π＋2＝－cos π3＋2＝32， ⎝⎛⎭⎫－43＝cos ⎝⎛⎭⎫－4π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－cos π3＝－12，所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝1.5.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③[解析] A 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；函数y ＝cos x 位于x 轴上方的图像不变，将位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．6.已知ω>0，0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4[解析] A 由题意，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，又ω>0，所以ω＝2πT ＝1.故f (x )＝sin ()x ＋φ.故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝－1， ①或⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝1， ②由①得φ＝2k π＋π4()k ∈Z ；由②得φ＝2k π－3π4()k ∈Z . 又已知0<φ<π，所以由①得φ＝π4；②无解．综上，φ＝π4.故选A.7.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称[解析] D f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos π＝－2是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．8.函数y ＝sin x 2的图像是( )[解析] D 设y ＝f (x )＝sin x 2，则f (－x )＝sin(－x )2＝sin x 2＝f (x )，故f (x )为偶函数，A ，C 不符合．f π2＝sin π22＝sin π24<1，则B 不符合，故选D.9.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin2x ＋π2B ．y ＝cos2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x[解析] B 选项A ，B ，C 中的函数的最小正周期都是π，选项D 中，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最小正周期是2π，故排除D.选项A 中，y ＝cos 2x 是偶函数；选项B 中，y ＝－sin 2x 为奇函数；选项C 中，y ＝2sin2x ＋π4是非奇非偶函数．10.定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________． [解析] 方法一：令sin 2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝ cos x ，解得cos x ＝0或sin x ＝12，即x ＝k π＋π2或x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又x ∈[0，3π]，故x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，共7个解，故两个函数的图像有7个交点． 11.若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．(2，4)B ．(－∞，2]C ．(－∞，4]D ．[4，＋∞) [解析] B f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，依题意有g (t )＝－2t 2＋at ＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，所以a 4≤12，即a ≤2.故选B. 12. 若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15 C.15 D.45D [解析] cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45.13.将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)D [解析] 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为2π2＝π，将函数 y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期，即平移π4个单位，所得图像对应的函数为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3). 14． 函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移________个单位长度得到． 14.π3 [解析] 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin （x －π3）的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移π3个单位长度得到．15． 已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________．15.2 1 [解析] 2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin （2x ＋π4）＋1，故A ＝2，b＝1.16.若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________．±3 [解析] 根据题意得f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a4，故函数f (x )的最大值为16＋a 2，则16＋a 2＝5，解得a ＝±3.17.为了得到函数y ＝sin(x ＋π3)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [解析] 根据“左加右减”的原则，要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，只需把y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度．18要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像( )A. 向左平移π2个单位长度B. 向右平移π2个单位长度C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度C [解析] 易知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故把g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，就可得到f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．19． 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π6）的值．解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π3）＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π12）(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π3）＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π3）＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g （π6）＝2sin π6＋3－1＝ 3.20.已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．。

（完整版）三角函数的运算经典习题以下是一些关于三角函数运算的经典题，希望能对大家的研究有所帮助。

题一：正弦函数的运算1. 求解 $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ 的解集。

2. 计算 $\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

3. 简化表达式 $\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。

4. 计算 $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

题二：余弦函数的运算1. 求解 $\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$ 的解集。

2. 计算 $\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的值。

3. 简化表达式 $\cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$。

4. 计算 $\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

题三：正切函数的运算1. 求解 $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3}$ 的解集。

2. 计算 $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。

3. 简化表达式 $\tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。

4. 计算 $\tan \left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。

三角函数练习题一、单选题(共0分)1．已知角=563°，那么的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知角的终边经过点(8,6)，则cos的值为（）A．34B．43C．45D．−35 3．已知扇形的周长为12，半径为4，则该扇形的面积是（）A．8πB．16πC．8D．16 4．已知扇形的面积为1，扇形的圆心角的弧度数为2，则扇形的周长为（）A．1B．2C．3D．4 5．已知角在第二象限，则（）A．sin>0，cos>0B．sin>0，cos<0C．sin<0，cos>0D．sin<0，cos<06．下列四个命题中，可能成立的是（）A．sin=12，且cos=12；B．sin=0，且cos=−1；C．tan=1，且cos=−1；D．tan=−1，且sin=12．7．若sin=−为第四象限角，则cos的值为（）A B．−12C．−D．12 8．已知cos=−513，且为第二象限角，则tan=（）A．−125B．−512C．−1213D．−1312 9．已知cos=35，∈0,π，则tan=（）A．34B．−34C．43D．−43 10．已知tan=−2，则sinrcos sin=（）A．-1B．-3C．−12D．1211．已知tan=2,则cosKsinsinrcos的值为（）A．−13B．13C．−3D．3 12．若tan (π+p=3，则cos2+sin vos =（）A．−25B．−35C．35D．2513）．A．−cos B．−cotC．−tan D．−sin 14．若sinπ−=−45,cos>0，则tan=（）A．34B．−34C．43D．−43 15．cos198°cos132°+cos42°sin18°=（）A．−B．−12C D．1 16．cos15∘cos45∘−sin15∘等于（）A．−B C．12D．−12 17．sin10°cos50°+cos40°cos10°=（）A．12B C D．18．若0<I2，0<I2，cosJ13，sin r=（）A B C D19．若sinvos+cosLin=cos+的值等于（）A．−B C．±D．±1220．已知∈0,,∈,π,sin=+=79，则sin的值为（）A．2327B．−2327C．13D．−1321．已知2,p则tan(4+p=（）A．13B．3C．−3D．−1322．若3sinr2cos2sinKcos=83,则tan+=（）A．3B．13C．-3D．−1323．已知∈0,π，且3cos2−8cos=5，则sin2=（）A．−459B．52C．−49D．−452724．若∈,sinπ+=45，则cos2=（）A．−35B．−725C D．−2425 25．已知tan=2，则tan2=（）A．−34B．3C．43D．−4326．已知sin=45，∈，则cos2的值为（）A．725B．2425C．−2425D．−725 27．若sin(−p=35，则cos2=（）A．1825B．−1825C．−725D．72528．函数=sin−3cos的值域是（）A．0,1B．−1+3,1+3C．−2,2D．−1−3,1+3 29．23sin75∘cos75∘的值是（）A B．12C D．3 30．该函数=sin+3cos的最大值是（）A．1B．6C．2D．−231．为了得到函数=sin(+4)的图象，只需要=sin将的图象（）A．向上平移4个单位B．向左平移4个单位C．向下平移4个单位D．向右平移4个单位32．为得到函数=14cos的图像，只需把余弦曲线上的所有的点（）A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的14，横坐标不变33．为了得到函数=sin2−只要将=sin∈R的图象上所有的点（）A．向右平移π3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的12倍.B．向右平移π3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍.C．向右平移π6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的12倍.D．向右平移π6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍.34．函数=2sin2+）A．2，1，4B．2，12，4C．2，1，8D．2，12，−8二、解答题(共0分)35．已知函数op=cos(2+p(0<<p是奇函数.(1)求的值；(2)若将函数op的图象向右平移6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到函数op的图象，求op.36．已知函数op=2sin2+(1)求函数op的单调递减区间及其图象的对称中心；(2)已知函数op的图象经过先平移后伸缩得到=sin的图象，试写出其变换过程．37．求函数=sin+cos，∈−5π12x的值．38．已知函数op=Lin(B+p>0,>0,|U<.(1)求函数op的解析式；(2)将函数op的图象向右平移3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数op的图象，当∈op的值域.39．(1)利用“五点法”画出函数op==sin(12+6)在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:12+6xy作图:(2)并说明该函数图象可由=sino∈R)的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数op图象的对称轴方程.40．已知函数=23sinBcosB+2cos2B且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为π2.(1)求的值及函数的单调递增区间；(2)当∈−π2,0时，求函数的最值，并写出相应的自变量的取值.。

1、集合M ＝{x |x ＝sinnπ3，n ∈Z}，N ＝{x |x ＝cos nπ2，n ∈N}，则M ∩N 等于 ( C ) A.{－1,0,1} B.{0,1} C.{0} D.∅2、已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( A )A.17B.7C.－17D.－7 3、若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( B )A.1B.2C.3＋1D.3＋2 4、函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)在[－π2，π2]上对称轴的条数为 ( B )A.1B.2C.3 D .05、要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象 ( D )A.向左平移π3个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向右平移π6个单位6、使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( D )A.－π3B.－π6C.5π6D.2π37、给定函数①y ＝x cos(3π2＋x )，②y ＝1＋sin 2(π＋x )，③y ＝cos(cos(π2＋x ))中，偶函数的个数是 ( A )A.3B.2C.1D.0 8、有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( C ) A.3 B.4 C.5 D.69、设集合M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，x ∈R}，给出从M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( A ) A.π B.π3 C.π2 D.π410、设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( D ) A.f (x )的图象过点(0，12) B.f (x )的图象在[5π12，2π3]上递减C.f (x )的最大值为AD.f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)11、函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是 ( A )12、已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如下图所示，则f (7π12)＝ 0 .13、下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k ∈Z}；③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点； ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin2x 的图象；⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数.其中真命题的序号是 ①④ .14、点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值.解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°＝35×12－45×32＝3－4310， ∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435.15、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：xπ6-π35π6 4π3 11π6 7π317π6y -1131-113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围；解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得 T ＝11π6 －(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又32,.11B A A B A B +==⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩解得令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]如图sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)． 16、把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ C ）A.（1－y ）sin x +2y －3=0B.（y －1）sin x +2y －3=0C.（y +1）sin x +2y +1=0D.－(y +1)sin x +2y +1=017、若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ B ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 18、函数y =2sin x 的单调增区间是（ A ）A.［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ） B.［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ）C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 19、在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ C ） A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π） 20、已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ C ） A.（0，1）∪（2，3）B.（1，2π）∪（2π，3）C.（0，1）∪（2π，3） D.（0，1）∪（1，3）21、列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（ B ）A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝(31)cos xD.y =－cot x22、函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ C ）23、若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（B ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 24、已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（ D ）A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos βB.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β 25、函数y ＝－x cos x 的部分图象是（ D ）26、函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ C ）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值MD.可以取得最小值－M 27、若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ B ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x 28、已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ B ） A.（2π，43π）∪（π，45π） B.（4π，2π）∪（π，45π） C.（2π，43π）∪（45π，23π） D.（4π，2π）∪（43π，π） 29、函数y =tan （3121-x π）在一个周期内的图象是（ A ）30、函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（ C ）A.6πB.2πC.32πD.3π31、已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ A ） A.322 B.－322 C.32D.－3232、如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a 等于（ D ）A.2B.－2C.1D.－133、若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0，3π］上的最大值是2，则ω＝ 3/4 .34、函数y ＝sin （x －6π）cos x 的最小值是 －43. 35、已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。