四边形经典综合难题(含答案)汇编

四边形综合题1.已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AB=AC，点D是边BC上的一个动点(不运动至点B，C)，点E在BC所在直线上，连结AD，AE，且∠DAE=45∘(1)若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，DF，EF①求证：△ABD≌△ACF；②若BD=1，DE=2，求CE的长；(2)如图2，若BD=85，AB=√2，求CE的长.(直接写出答案即可)【答案】解：(1)①∵点D与点F关于直线AE的对称，∴AE垂直平分DF，∴AD=AF，∴∠DAE=∠FAE=45∘，即∠DAF=90∘，∴∠DAC+∠FAC=90∘，∵∠BAC=90∘，∴∠DAC+∠BAD=90∘，∴∠BAD=∠FAC，在△ABD与△ACF中，{AB=AC∠BAD=∠CAF AD=AF，∴△ABD≌△ACF(SAS)；②由①可得：△ABD≌△ACF，∴∠B=∠ACF=45∘，BD=CF=1，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90∘，∵AE垂直平分DF，∴DE=EF=2，∴CE=√EF2−CF2=√3；(2)CE=3或54．理由：如图所示，当点E在BC延长线上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，EF，根据△ABD≌△ACF，可得BD=CF=85，在等腰直角三角形ABC 中，AB =√2， ∴BC =2， ∴CD =25， ∴DE =CE +25=EF ，在Rt △CEF 中，CE 2+(85)2=(CE +25)2，解得CE =3；如图所示，当点E 在线段BC 上时，作点D 关于直线AE的对称点F ，连结AF ，BF ，EF ，根据△ABF≌△ACD ，可得BF =CD =25，∴DE =CE −25=EF ， 又∵BE =BC −CE =2−CE ，∴在Rt △BEF 中，(25)2+(2−CE)2=(CE −25)2，解得CE =54．【解析】(1)①根据轴对称的性质，得到AD =AF ，∠DAE =∠FAE =45∘，再根据同角的余角相等，得到∠BAD =∠FAC ，即可判定△ABD≌△ACF(SAS)；②由①可得：△ABD≌△ACF ，据此得出∠B =∠ACF =45∘，BD =CF =1，进而得到∠ECF =∠ACB +∠ACF =90∘，再根据DE =EF =2，运用勾股定理求得CE 即可；(2)分两种情况进行讨论：当点E 在BC 延长线上时，作点D 关于直线AE 的对称点F ，连结AF ，CF ，EF ；当点E 在线段BC 上时，作点D 关于直线AE 的对称点F ，连结AF ，BF ，EF.分别根据全等三角形的性质以及勾股定理，求得CE 的长即可．本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质以判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及对称轴的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法，解题时注意分类思想的运用．2. 如图①，在矩形ABCD 中，AB =√3，BC =3，在BC 边上取两点E 、F(点E 在点F 的左边)，以EF 为边所作等边△PEF ，顶点P 恰好在AD 上，直线PE 、PF 分别交直线AC 于点G 、H ．(1)求△PEF 的边长；(2)若△PEF 的边EF 在线段CB 上移动，试猜想：PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论；(3)若△PEF 的边EF 在射线CB 上移动(分别如图②和图③所示，CF >1，P 不与A 重合)，(2)中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．【答案】解：(1)过P作PQ⊥BC于Q(如图1)，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90∘，即AB⊥BC，又∵AD//BC，∴PQ=AB=√3，∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ=60∘，在Rt△PQF中，∠FPQ=30∘，设PF=2x，QF=x，PQ=√3，根据勾股定理得：(2x)2=x2+(√3)2，解得：x=1，故PF=2，∴△PEF的边长为2；(2)PH−BE=1，理由如下：∵在Rt△ABC中，AB=√3，BC=3，∴由勾股定理得AC=2√3，∴CD=1AC，2∴∠CAD=30∘∵AD//BC，∠PFE=60∘，∴∠FPD=60∘，∴∠PHA=30∘=∠CAD，∴PA=PH，∴△APH是等腰三角形，作ER⊥AD于R(如图2)Rt△PER中，∠RPE=60∘，PE=1，∴PR=12∴PH−BE=PA−BE=PR=1．(3)结论不成立，当1<CF<2时，PH=1−BE，当2<CF<3时，PH=BE−1．【解析】(1)过P作PQ⊥BC，垂足为Q，由四边形ABCD为矩形，得到∠B为直角，且AD//BC，得到PQ=AB，又△PEF为等边三角形，根据“三线合一”得到∠FPQ为30∘，在Rt△PQF中，设出QF为x，则PF=2x，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长；(2)PH−BE=1，过E作ER垂直于AD，如图所示，首先证明△APH为等腰三角形，在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得∠APE=60∘，在Rt△PER中，∠REP=30∘，根据直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半，由PE 求出PR ，由PA =PH ，则PH −BE =PA −BE =PA −AR =PR ，即可得到两线段的关系；(3)当若△PEF 的边EF 在射线CB 上移动时(2)中的结论不成立，由(2)的解题思路可知当1<CF <2时，PH =1−BE ，当2<CF <3时，PH =BE −1．此题综合考查了矩形的性质，等腰三角形的判别与性质、等边三角形的性质及直角三角形的性质.学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量代换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系．3. 已知，正方形ABCD 中，∠MAN =45∘，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边长分别交CB 、DC(或它们的延长线)于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．(1)如图①，当∠MAN 点A 旋转到BM =DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：______ ；(2)如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图③，已知∠MAN =45∘，AH ⊥MN 于点H ，且MH =2，NH =3，求AH 的长．【答案】AH =AB【解析】解：(1)如图①AH =AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠D =90∘，在△ABM 与△ADN 中，{AB =AD∠B =∠D BM =DN，∴△ABM≌△ADN ，∴∠BAM =∠DAN ，AM =AN ，∵AH ⊥MN ，∴∠MAH =12MAN =22.5∘，∵∠BAM +∠DAN =45∘，∴∠BAM =22.5∘，在△ABM 与△AHM 中，{∠BAM =∠HAM∠B =∠AHM =90∘AM =AM，∴△ABM≌△AHM ，∴AB =AH ；故答案为：AH =AD ；(2)数量关系成立.如图②，延长CB 至E ，使BE =DN ．∵ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠D =∠ABE =90∘，在Rt △AEB 和Rt △AND 中，{AB =AD∠ABE =∠ADN BE =DN，∴Rt △AEB≌Rt △AND ，∴AE =AN ，∠EAB =∠NAD ，∴∠EAM =∠NAM =45∘，在△AEM 和△ANM 中，{AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△AEM≌△ANM ，∴S △AEM =S △ANM ，EM =MN ，∵AB 、AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，∴AB =AH ；(3)如图③分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，∴BM =2，DN =3，∠B =∠D =∠BAD =90∘，分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCD ，由(2)可知，AH =AB =BC =CD =AD ，设AH =x ，则MC =x −2，NC =x −3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，得MN 2=MC 2+NC 2，∴52=(x −2)2+(x −3)2，解得x 1=6，x 2=−1(不符合题意，舍去)∴AH =6．(1)由三角形全等可以证明AH =AB ，(2)延长CB 至E ，使BE =DN ，证明△AEM≌△ANM ，能得到AH =AB ，(3)分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，然后分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCE ，设AH =x ，则MC =x −2，NC =x −3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，解得x ．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，翻折的性质，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力．4. 已知在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边上的一点．(1)如图1：当四边形ABCD 是正方形时，作出将△ADF 绕点A 顺时针旋转90度后的图形△ABM ；并判断点M 、B 、C 三点是否在同一条直线上______ (填是或否)；(2)如图1：当四边形ABCD 是正方形时，且∠EAF =45∘，请直接写出线段EF 、BE 、DF 三者之间的数量关系______ ；(3)如图2：当AB =AD ，∠B =∠D =90∘，∠EAF 是∠BAD 的一半，问：(2)中的数量关系是否还存在，并说明理由；(4)在(3)的条件下，将点E 平移到BC 的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF 、BE 、DF 的关系．【答案】是；EF=BE+DF【解析】(1)解：如图1：根据旋转的性质，∠ABM=90∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90∘，∴M、B、C三点在一条直线上．故答案为：是；(2)由旋转的性质可得：AM=AF，∠BAM=∠DAF，BM=DF，∵四边形ABCD是正方形，∠EAF=45∘，∴∠DAF+∠BAE=45∘，∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=45∘，∴∠EAM=∠EAF，在△EAM和△EAF中，{AM=AF∠EAM=∠EAF AE=AE，∴△EAM≌△EAF(SAS)，∴EF=EM=BM+BE=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF；(3)存在理由如下：延长CB到P使BP=DF，∵∠B=∠D=90∘，∴∠ABP=90∘，∴∠ABP=∠D，在△ABP和△ADF中，{AB=AD∠ABP=∠D BP=DF，∴△ABP≌△ADF(SAS)，∴AP=AF，∠BAP=∠DAF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠BAE+∠DAF=∠EAF，∴∠BAP+∠FAD=∠EAF，即：∠EAP=∠EAF，在△APE和△AFE中，{AP=AF∠EAP=∠FAE AE=AE，∴△APE≌△AFE(SAS)，∴PE=FE，∴EF=BE+DF；(4)如图3，补全图形．证明：在BC上截取BP=DF，∵∠B=∠ADC=90∘，∴∠ADF=90∘，∴∠B=∠ADF，在△ABP和△ADF中，{AB=AD∠B=∠ADF BP=DF，∴△ABP≌△ADF(SAS)，∴AP=AF，∠BAP=∠DAF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠DAE+∠DAF=12∠BAD，∴∠BAP+∠EAD=12∠BAD，∴∠EAP=12∠BAD=∠EAF，在△APE和△AFE中，{AP=AF∠EAP=∠FAE AE=AE，∴△APE≌△AFE(SAS)，∴PE=FE，∴EF=BE−BP=BE−DF．(1)首先由旋转的性质，画出旋转后的图形，然后由∠ABM=∠D=∠ABC=90∘，证得点M、B、C三点共线；(2)首先由旋转的性质可得：AM=AF，∠BAM=∠DAF，BM=DF，然后由∠EAF=45∘，证得∠EAM=∠EAF，继而证得△EAM≌△EAF，继而证得结论；(3)首先延长CB到P使BP=DF，证得△ABP≌△ADF(SAS)，再证得△APE≌△AFE(SAS)，继而证得结论；(4)首先在BC上截取BP=DF，证得△ABP≌△ADF(SAS)，再证得△APE≌△AFE(SAS)，即可得EF=BE−BP=BE−DF．此题属于四边形的综合题.考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质.注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意准确作出辅助线是解此题的关键．5.正方形ABCD中，点E是射线AB上一动点，点F是线段BC延长线上一动点，且AE=CF，(1)如图1，连接DE、DF，若正方形的边长为4，AE=3，求EF的长？(2)如图2，连接AC交EF与G，求证：AC=√2AE+2CG；(3)如图3，当点E在AB延长线上时，AE=CF仍保持不变，试探索线段AC、AE、CG之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)解：∵正方形的边长为4，AE=3，∴BE=4−3=1，∵AE=CF，∴CF=3，∴BF=BC+CF=7，∴EF=√BE2+BF2=5√2；(2)证明：如图2，作EH//BC交AC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45∘，∴AH=EH=√2AE，∵AE=CF，∴EH=CF，又EF//CF，∴HG=CG，即HC=2CG，∴AC=AH+HC=√2AE+2CG；(3)AC=√2AE−2CG．证明：如图3，作EP//BC交AC的延长线于P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45∘，∴AP=EP=√2AE，∵AE=CF，∴EP=CF，又EF//CF，∴PG=CG，即PC=2CG，∴AC=AP−PC=√2AE−2CG．【解析】(1)根据题意分别求出BE、BF的长，根据勾股定理计算即可；(2)作EH//BC交AC于H，根据正方形的性质得到∠BAC=45∘，根据勾股定理得到AH=√2AE，根据平行线分线段成比例定理得到HC=2CG，得到答案；(3)作EP//BC交AC的延长线于P，与(2)的方法类似，证明即可．本题考查的是正方形的性质、平行线分线段成比例定理以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．6.如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．(1)求证：∠HEA=∠CGF；(2)当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；(3)设AH=2，DG=x，△FCG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围；(4)求y的最小值．【答案】(1)证明：如图1，连接GE，∵AB//CD，∴∠AEG=∠CGE，∵GF//HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠CGF；(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90∘，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，{AH=DGHE=HG，∴Rt△HAE≌Rt△GDH，∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90∘，∴∠DHG+∠AHE=90∘，∴∠GHE=90∘，∴菱形EFGH为正方形；(3)解：作FM⊥DC，交DC的延长线于M，在Rt△AHE和Rt△GFM中，{∠A=∠M∠AEH=∠FGM HE=FG，∴Rt△AHE≌Rt△GFM，∴MF=AH=2，∵DG=x，∴CG=6−x，∴y=12×CG×FM=12×2×(6−x)=6−x(0≤x≤2√6)；(4)∵k=−1<0，∴y随x的增大而减小，∴x=2√6时，y的最小值是6−2√6．【解析】(1)连接GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到∠AEG=∠CGE，根据菱形的性质和平行线的性质得到∠HEG=∠FGE，解答即可；(2)证明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，证明∠GHE=90∘，根据正方形的判定定理证明；(3)作FM⊥DC，证明Rt△AHE≌Rt△GFM，得到MF=AH=2，根据三角形的面积公式得到解析式；(4)根据一次函数的性质：当k<0时，y随x的增大而减小解答即可．本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数解析式的求法和一次函数的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．7.四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)如图1，当点E在线段AC上时．①求证：矩形DEFG是正方形；②求证：AC=CE+CG；(2)如图2，当点E在线段AC的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系；(3)直接写出∠FCG的度数．【答案】(1)①证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA=∠BCA，∴EQ=EP，∵∠QEF+∠FEC=45∘，∠PED+∠FEC=45∘，∴∠QEF=∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，{∠QEF=∠PED EQ=EP∠EQF=∠EPD，∴Rt△EQF≌Rt△EPD，∴EF=ED，∴矩形DEFG是正方形；②∵∠ADE+∠EDC=90∘，∠CDG+∠EDC=90∘，∴∠ADE=∠CDG，在△AED和△CGD中，{AD=CD∠ADE=∠CDG DE=DG，∴△AED≌△CGD，∴AE=CG，∴AC=CE+AE=CE+CG；(2)AC+CE=CG，证明：由(1)得，矩形DEFG是正方形，∴DE=DG，∵∠ADC=∠EDG=90∘，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，{AD=DC∠ADE=∠CDG DE=DG，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG，∴AC+CE=CG；(3)如图1，当点E为线段AC上时，∵△ADE≌△CDG，∴∠DCG=∠DAE=45∘，∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=135∘；如图2，当点E为线段AC的延长线上时，∠FCG=∠FCD−∠DCG=45∘．【解析】(1)①作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；②根据三角形全等的判定定理证明△AED≌△CGD，得到AE=CG，证明结论；(2)根据题意画出图形，与(1)的方法类似，证明△ADE≌△CDG，得到AE=CG，即可得到答案；(3)根据全等三角形的性质和点E的不同位置求出∠FCG的度数．本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．8.在△ABC中，AB=AC，点P△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PE//AC交AB于点E，PF//AB交BC于点D，交AC于点F(1)当点P在BC边上(如图1)时，请你探索线段PD，PE，PF，AB与之间的数量关系，并给出证明；(2)当点P在△ABC内(如图2)时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系．(3)当点P在△ABC外(如图3)时，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系．【答案】(1)答：PD+PE+PF=AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD=0，∵PE//AC，PF//AB，∴四边形PFAE是平行四边形，∴PF=AE，∵PE//AC，∴∠BPE=∠C，∴∠B=∠BPE，∴PE=BE，∴PE+PF=BE+AE=AB，∵PD=0，∴PD+PE+PF=AB；(2)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵PF//AB，∴∠B=∠CDF，∵PE//AC，PF//AB，∴四边形PFAE是平行四边形，∴PE=AF，∴PD+PE+PF=AC，∴PD+PE+PF=AB；(3)证明：同(2)可证DF=CF，PE=AF，∵AF+CF=AC，∴PE+PF−PD=AC，∴PE+PF−PD=AB．【解析】(1)先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE=∠C，然后求出∠B=∠BPE，利用等角对等边求出PE=BE，然后求解即可；(2)根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠CDF，然后求出∠C=∠CDF，再根据等角对等边可得CF=PD+PF，然后求出四边形PFAE 是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE=AF，然后求出PD+PE+PF=AC，等量代换即可得证；(3)证明思路同(2)．本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定方法与性质，并准确识图理清图中边的关系是解题的关键，此类题目，关键在于后面小题与前面小题的求解思路相同．9.如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连接AE、AF、EF，且∠AEB=∠AEF．(1)如图1，求证：AF平分∠EFD；(2)如图2，若∠C=90∘，求证：EF=BE+DF；(3)在(2)的条件下，若AB=3BE，AE=2√10，求AF的长．【答案】解：(1)证明：过点A作AG⊥BC于G，过A作AH⊥EF于H，过A作AM⊥CD于M，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，又∵AG⊥BC，AM⊥CD，∴AG=AM，∵∠AEB=∠AEF，∴AE平分∠BEF，又∵AG⊥BC，AH⊥EF，∴AG=AH，(2)∵四边形ABCD是菱形，又∵∠C=90∘，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90∘，∴AB⊥BC，AD⊥CD，过A作AH⊥EF于H，∴∠AHE=∠AHF=90∘，∴AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，AH⊥EF，∴AB=AH，∵AE=AE，在Rt△ABE与Rt△AHE中{AB=AHAE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AHE(HL)∴BE=HE，同理Rt△ADF≌Rt△AHF(HL)，∴DF=HF，∵EF=EH+FH，∴EF=BE+DF；(3)设BE=a，则AB=3a，在Rt△ABE中，BE2+AB2=AE2，∴a2+(3a)2=(2√10)2，∴a=2，∴AB=3a=6，由(2)知四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=6，∴CE=BC−BE=4，设DF=m，则CF=CD−DF=6−m，由(2)知EF=BE+DF，∴EF=2+m，在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，∴42+(6−m)2=(2+m)2，∴m=3，在Rt△ADF中，DF2+AD2=AF2，∴AF=√32+62=3√5．【解析】(1)根据菱形的性质得出AC平分∠BCD，再根据角平分线的性质证明即可．(2)根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；(3)根据勾股定理进行解答即可．此题主要考查了菱形的性质，关键是判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．。

四边形难题汇编附答案一、选择题1．如图，在 Y ABCD 中， AC8， BD 6， AD 5 ，则 YABCD 的面积为 ()A ．6B ． 12C ． 24D ． 48【答案】 C 【分析】 【剖析】由勾股定理的逆定理得出 AOD90o ，即 ACBD ，得出 Y ABCD 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果． 【详解】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OCOC1AC4， OBOD1BD 3 ，22∴ OA 2 OD 225 AD 2，∴ AOD 90o ，即 AC BD ，∴ Y ABCD 是菱形，∴ Y ABCD 的面积1 1 AC BD86 24；22应选 C ． 【点睛】本题考察平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判断与性质，娴熟掌握平行四边 形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的重点．2．如图，已知 AD 是三角形纸片 ABC 的高，将纸片沿直线 EF 折叠，使点 A 与点 D 重合，给出以下判断：① EF 是 V ABC 的中位线；② VDEF 的周长等于 VABC 周长的一半：③ 若四边形 AEDF 是菱形，则 AB AC ；④ 若 BAC 是直角，则四边形 AEDF 是矩形．此中正确的选项是 ( )A ．①②③B ． ①②④C ． ②④D ． ①③④【答案】 A【分析】【剖析】依据折叠可得 EF 是 AD 的垂直均分线，再加上条件 AD 是三角形纸片 ABC 的高能够证明 EF∥BC ，从而可得 △AEF ∽△ ABC ，从而得AEAFAO 1 ，从而获得 EF 是 △ABC 的中ABAC AD2位线；再依据三角形的中位线定理可判断出 △AEF 的周长是 △ABC 的一半，从而获得 △DEF的周长等于 △ABC 周长的一半；依据三角形中位线定理可得1 1 AE= AB ， AF= AC ，若四边形22AEDF 是菱形则 AE=AF ，即可获得 AB=AC ．【详解】解：∵ AD 是 △ABC 的高，∴AD ⊥ BC ，∴∠ ADC=90°，依据折叠可得： EF 是 AD 的垂直均分线，∴AO=DO= 1AD ， AD ⊥ EF ，2∴∠ AOF=90°，∴∠ AOF=∠ADC=90°，∴ E F ∥ BC ，∴△ AEF ∽△ ABC ，AEAF AO 1 ABACAD，2∴ E F 是 △ABC 的中位线，故① 正确；∵EF 是 △ABC 的中位线，∴△ AEF 的周长是 △ABC 的一半，依据折叠可得 △AEF ≌△ DEF ，∴△ DEF 的周长等于 △ABC 周长的一半，故② 正确；∵EF 是△ABC的中位线，∴A E= 1AB， AF=1AC，22若四边形AEDF是菱形，则 AE=AF，∴A B=AC，故③ 正确；依据折叠只好证明∠ BAC=∠ EDF=90°，不可以确立∠ AED 和∠ AFD 的度数，故④错误；应选： A．【点睛】本题主要考察了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，重点是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半．3．如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，BE AD， BCE30 .若 AE 2 ，则边 BC的长为( )A．5B．6C．7D．22【答案】 B【分析】【剖析】由菱形的性质得出AD∥ BC， BC=AB=AD，由直角三角形的性质得出AB=BC= 3 BE，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE2+22=（3 BE）2，解得：BE=2，即可得出结果．【详解】∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AD∥ BC，BC ∵ BE AD.∴ BE AB . BC .∴BCE 30 ，∴ EC 2BE ，∴AB BCEC2 BE23BE .在 Rt△ABE 中，由勾股定理得BE2222 3BE ，解得BE2，∴ BC3BE 6 .应选 B.【点睛】本题考察菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，娴熟掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的重点．4．如图 ，矩形 ABCD 中， AB ＞AD ， AB=a ，AN 均分∠ DAB ， DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥ AN 于点 N.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示） ( )A ． a4 C ．2 a D ．3 aB ． a522【答案】 C【分析】【剖析】依据 “AN 均分∠ DAB ， DM ⊥ AN 于点 M ， CN ⊥ AN 于点 N ”得∠ MDC=∠ NCD=45°，cos45 °=DMCN，因此DM+CN=CDcos45°；再依据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即DECE可求出．【详解】∵AN 均分∠ DAB ， DM ⊥ AN 于点 M ， CN ⊥ AN 于点 N ，∴∠ ADM=∠ MDC=∠ NCD=45°，∴DM 0CN0 =CD ，cos45 cos45在矩形 ABCD 中， AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45° = 2a.2应选 C.【点睛】本题考察矩形的性质，解直角三角形，解题重点在于获得cos45°=DMCNDECE5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝ 8， BD ＝ 6，点E ，F 分别是边 AB ， BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋ PF 的最小值，则这个最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】 C【分析】【剖析】先依据菱形的性质求出其边长，再作 E 对于 AC 的对称点E′，连结 E′F，则 E′F即为 PE+PF 的最小值，再依据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6， BD=8，∴A B= 3242 =5，作 E 对于 AC 的对称点 E′，连结 E′F，则 E′F即为 PE+PF的最小值，∵AC 是∠ DAB 的均分线， E 是 AB 的中点，∴E′在 AD 上，且 E′是 AD 的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F 是 BC的中点，∴E′F=AB=5．应选 C．6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD 的均分线AG 交 BC于点E，若BF=6， AB=5，则AE 的长为()A．4B．8C．6D．10【答案】 B【分析】【剖析】【详解】解：设 AG 与 BF 交点为 O，∵ AB=AF， AG 均分∠ BAD， AO=AO，∴可证△ABO≌△ AFO，∴BO=FO=3，∠ AOB=∠ AOF=90o， AB=5，∴ AO=4，∵ AF∥ BE，∴可证△AOF≌△ EOB，AO=EO，∴ AE=2AO=8，应选 B．【点睛】本题考察角均分线的作图原理和平行四边形的性质．7．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O , AC AB,E是BC 中点，△ AOD 的周长比 VAOB 的周长多3cm，则AE的长度为（）A． 3cm B．4cm C．5cm D．8cm【答案】 B【分析】【剖析】依据题意，由平行四边形的周长获得AB AD13，由△ AOD 的周长比 VAOB 的周长多 3cm，则AD AB 3 ，求出AD的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是 26cm，126 13，∴AB AD2∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO，∵△ AOD 的周长比 VAOB 的周长多3cm，∴ (AO OD AD ) (AO OB AB) AD AB3，∴AB 5， AD 8，∴BC AD 8，∵ AC AB ，点E是BC中点，∴ AE 11BC8 4 ；22应选： B．【点睛】本题考察了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的重点是娴熟掌握平行四边形的性质进行解题．8．如图，在菱形ABCD中， AB＝ 10，两条对角线订交于点O，若 OB＝ 6，则菱形面积是（）A ． 60B ． 48C ． 24D ． 96【答案】 D【分析】【剖析】由菱形的性质可得AC ⊥BD ， AO ＝ CO ， BO ＝ DO ＝6，由勾股定理可求【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， AO ＝ CO ， BO ＝ DO ＝ 6，AO 的长，即可求解．∴AO ＝ AB 2OB2100 36 8，∴AC ＝16，BD ＝12，∴菱形面积＝1216＝96，2应选： D ． 【点睛】本题考察了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线相互垂直均分是本题的重点．9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm ，BC 长为10cm ．当小莹折叠时，极点 D 落在 BC 边上的点 F 处 (折痕为 AE)．则此时 EC=()cmA ．4B ．2 C ．2 2D ．3【答案】 D【分析】【剖析】依据矩形的性质得AB=CD=8， BC=AD=10，∠ B=∠ C=90°，再依据折叠的性质得 AF=AD=10，DE=EF ，在 Rt △ABF 中，利用勾股定理计算出 BF=6，则 CF=BC ﹣ BF=4，设 CE=x ，则 DE=EF=8﹣ x ，在 Rt △CEF 中利用勾股定理获得 :42+x 2=（ 8﹣ x ） 2，而后解方程即可．【详解】解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴ AB=CD=8， BC=AD=10，∠ B=∠ C=90°．∵长方形纸片 ABCD 折纸，极点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE ），∴ A F=AD=10， DE=EF ，在 Rt △ABF 中， AB=8， AF=10，∴ BF= AF 2 AB 2 6 ∴ C F=BC ﹣ BF=4．设 CE=x ，则 DE=EF=8﹣x ，在 Rt △CEF 中，∵ CF 2 2 2， +CE=EF∴ 42+x 2 =（ 8﹣ x ） 2，解得 x=3 ∴EC 的长为 3cm ．应选： D【点睛】本题考察了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；娴熟掌握折叠的性质和矩形的性质，依据勾股定理得出方程是解题重点．10． 如图 11-3-1，在四边形 ABCD 中，∠ A=∠ B=∠ C ，点 E 在边 AB 上，∠ AED=60°，则必定有（ ）A ．∠ ADE=20°B ．∠ ADE=30°C ．∠ ADE=1 ∠ ADCD ．∠ ADE=1∠ ADC23【答案】 D 【分析】【剖析】【详解】设∠ ADE=x ，∠ ADC=y ，由题意可得，∠ ADE+∠AED+∠ A=180°，∠ A+∠ B+∠C+∠ADC=360°，即 x+60+∠ A=180① ， 3∠ A+y=360② ，由①×3-② 可得 3x-y=0，因此 x1y ，即∠ ADE= 1∠ ADC ．33故答案选 D ．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．11．如图，在 ? ABCD中， BM 是∠ ABC 的均分线交 CD于点 M ，且 MC=2， ? ABCD的周长是在 14，则 DM 等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】试题剖析：∵ BM 是∠ ABC 的均分线，∴∠ ABM=∠ CBM，∵ AB∥ CD，∴∠ ABM=∠ BMC，∴∠BMC=∠ CBM，∴ BC=MC=2，∵ ? ABCD的周长是 14，∴ BC+CD=7，∴ CD=5，则 DM=CD﹣MC=3，应选 C．考点：平行四边形的性质．12．如图，四边形 ABCD的对角线为 AC、 BD，且 AC=BD，则以下条件能判断四边形 ABCD 为矩形的是（）A． BA=BCB． AC、 BD 相互均分C． AC⊥ BDD． AB∥ CD【答案】 B【分析】试题剖析：依据矩形的判断方法解答．解：能判断四边形ABCD是矩形的条件为AC、 BD 相互均分．原因以下：∵ AC、 BD 相互均分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴? ABCD是矩形．其余三个条件再加上AC=BD均不可以判断四边形ABCD是矩形．应选 B．考点：矩形的判断．13．如图，□ ABCD的对角线AC、BD 交于点 O， AE 均分 BAD 交 BC 于点 E，且∠ ADC＝160°， AB＝BC，连结 OE．以下结论：① AE＝CE；②S△ABC＝AB?AC；③S△ABE＝2S△AOE；21④ OE ＝BC,建立的个数有（）4A．1 个B．2 个C．3 个D．4【答案】 C【分析】【剖析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ ADC=60°，∠ BAD=120°，利用角均分线的性质证明1△ABE 是等边三角形，而后推出AE=BE=BC，再联合等腰三角形的性质：等边平等角、三2线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ ABC=∠ ADC=60°，∠ BAD=120°，∵AE 均分∠ BAD，∴∠ BAE=∠ EAD=60°∴△ ABE 是等边三角形，∴A E=AB=BE，∠ AEB=60°，∵A B= 1BC，2∴A E=BE=1BC，2∴A E=CE，故①正确；∴∠ EAC=∠ ACE=30°∴∠ BAC=90°，=AB?AC，故②错误；∴S△ABC12∵BE=EC，∴E 为 BC 中点， O 为 AC 中点，∴S △ABE =S △ACE=2 S △AOE ，故 ③ 正确；∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AC=CO ，∵ AE=CE ， ∴EO ⊥ AC ，∵∠ ACE=30°，∴EO= 1EC ，21 ∵ E C= AB ，2∴OE= 1BC ，故 ④ 正确；4故正确的个数为 3 个，应选： C ．【点睛】本题考察平行四边形的性质，等边三角形的判断与性质．注意证得 △ABE 是等边三角形是解题重点．14． 如图，在 V ABC 中， D ，E 是 AB ，AC 中点，连结 DE 并延伸至 F ，使 EFDE，CF ADCF()连结 AF ， CD ， ．增添以下条件，可使四边形为菱形的是A ． AB AC B ． AC BC C ． CD AB D ． AC BC【答案】 D【分析】【剖析】依据 AE ＝ CE ， EF ＝ DE 可证得四边形 A DCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥ BC联合 AC ⊥ BC 可证得 AC ⊥ DF ，从而利用对角线相互垂直的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：∵点 E 是 AC 中点，∴AE ＝ CE ，∵AE ＝ CE ， EF ＝ DE ，∴四边形 ADCF 为平行四边形，∵点 D 、 E 是 AB 、 AC 中点，∴DE 是 △ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴∠ AED＝∠ ACB，∵AC⊥BC，∴∠ ACB＝ 90°，∴∠ AED＝90°，∴AC⊥ DF，∴平行四边形ADCF为菱形应选： D．【点睛】本题考察了菱形的判断，三角形的中位线性质，娴熟掌握有关图形的性质及判断是解决本题的重点．15．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，假如用直尺画一条直线将其节余部分切割成面积相等的两部分，这样的不一样的直线一共能够画出（）A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条【答案】 C【分析】【剖析】利用平行四边形的性质切割平行四边形即可．【详解】解：以下图，这样的不一样的直线一共能够画出三条，故答案为： 3．【点睛】本题考察平行四边形的性质，解题的重点是掌握平行四边形的中心对称性．16．如图，矩形纸片ABCD中， AB=6cm， BC=8cm．现将其沿AE 对折，使得点 B 落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC 交于点E，则CE的长为（）A．6cm B． 4cm C． 3cm D． 2cm【答案】 D【分析】剖析：依据翻折的性质可得∠ B=∠ AB1E=90°，AB=AB1，而后求出四边形 ABEB1是正方形，再依据正方形的性质可得 BE=AB，而后依据 CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE 对折点 B 落在边 AD 上的点 B1处，∴∠ B=∠AB1E=90°， AB=AB1，又∵∠ BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴B E=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．应选： D．点睛：本题考察了矩形的性质，正方形的判断与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的重点．17．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB、CD 于点 E、F，连结PB、PD，若 AE1， PF8 ，则图中暗影部分的面积为（）A．5B．6C．8D．9【答案】 C【分析】【剖析】由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．【详解】作 PM⊥AD 于 M，交 BC于 N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP， S△PBE=S△PBN， S△PFD=S△PDM， S△PFC=S△PCN，∴S△△1DFP=S PBE=× 1× 8=4，2∴S 阴 =4+4=8，应选： C．【点睛】本题考察矩形的性质、三角形的面积，解题的重点是证明S△PEB=S△PFD．18．以下说法正确的选项是（）A．对角线相等的四边形必定是矩形B．随意掷一枚质地平均的硬币 10 次，必定有 5 次正面向上C．假如有一组数据为 5，3 ，6， 4， 2，那么它的中位数是 6D．“用长分别为5cm、 12cm、6cm的三条线段能够围成三角形”这一事件是不行能事件【答案】 D【分析】【剖析】依据矩形的判断定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不行能事件的定义挨次判断即可 .【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 随意掷一枚质地平均的硬币10 次，不必定有 5 次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5， 3， 6，4， 2，它的中位数是4，故该项错误；D.用“长分别为 5cm、12cm、 6cm 的三条线段能够围成三角形”这一事件是不行能事件，正确，应选： D.【点睛】本题矩形的判断定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不行能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的重点.19．在四边形 ABCD中， AD∥ BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可增添的条件不正确的是（）A． AB∥ CD B．∠ B＝∠ D C． AD＝ BC D． AB＝ CD【答案】 D【分析】【剖析】依据平行四边形的判断解答即可．【详解】∵AD∥ BC， AB∥ CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故 A 正确；∵AD∥ BC， AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故 C 正确；∵AD∥ BC，∴∠ D+∠ C=180°，∵∠ B=∠D，∴∠ B+C=180°，∴AB∥ CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故 B 正确；应选： D．【点睛】本题考察平行四边形的判断，解题重点是依据平行四边形的判断解答．20．如图，四边形ABCD的对角线订交于点O，且点 O 是 BD 的中点，若AB＝ AD＝ 5， BD ＝8，∠ ABD＝∠ CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B． 24C． 20D． 15【答案】 B【分析】【剖析】依据等腰三角形的性质获得AC⊥ BD，∠ BAO=∠ DAO，获得 AD=CD，推出四边形A BCD是菱形，依据勾股定理获得AO=3，于是获得结论．【详解】∵AB＝ AD，点 O 是 BD 的中点，∴AC⊥ BD，∠ BAO＝∠ DAO，∵∠ ABD＝∠ CDB，∴AB∥ CD，∴∠ BAC＝∠ ACD，∴∠ DAC＝∠ ACD，∴AD＝ CD，∴AB＝ CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝ 5， BO 1BD＝ 4，2∴AO＝ 3，∴AC＝ 2AO＝ 6，∴四边形 ABCD的面积16×8＝ 24，2应选： B．【点睛】本题考察了菱形的判断和性质，等腰三角形的判断和性质，平行线的判断和性质，正确的辨别图形是解题的重点．。

四边形难题汇编及答案一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（ ）A ．60B ．48C ．24D ．96【答案】D【解析】【分析】 由菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，由勾股定理可求AO 的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，∴AO ＝22100368AB OB -=-=，∴AC ＝16，BD ＝12， ∴菱形面积＝12162⨯＝96， 故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．2．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】 由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵2BD =，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2， ∴22213CO =-=；∴23AC =；故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.3．如图，若OABC Y 的顶点O ，A ，C 的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 的坐标为（ ）A ．(4,1)B ．(5,3)C ．(4,3)D ．(5,4)【答案】B【解析】【分析】 根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B 的坐标.【详解】解：∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，OA ∥BC ，∴点B 的纵坐标为3，∵点O 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C ，∴点A 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B ，∴点B 的坐标为：（5，3）；故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.4．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．48 【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】如图所示，根据题意得AO=12×8=4，BO=12×6=3，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，∴△AOB 是直角三角形，∴AB=22169AO BO +=+=5，∴此菱形的周长为：5×4=20．故选：B ．【点睛】此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.5．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】 根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点， 32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,<Q∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点P ，存在两个点．综上所述，满足题意的点P 的个数是6．故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A ，B ，C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】A 点在原点上，B 点在横轴上，C 点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C7．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF=6，AB=5，则AE 的长为( )A ．4B ．8C ．6D ．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．8．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( )A．可能不是平行四边形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故选D．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．∠=（）9．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEFA．110°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合，150∠=o ，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°， ∵矩形对边AD ∥BC ， ∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．10．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ，∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．11．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（ ）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】 根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD≌△ECD．12．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S 矩形MPFD,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE= 12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．13．如图，在矩形ABCD中，2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴2AB，∵2AB，∴AE=AD，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C．【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质14．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．BA=BCB．AC、BD互相平分C．AC⊥BDD．AB∥CD【答案】B【解析】试题分析：根据矩形的判定方法解答．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．理由如下：∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形．其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．故选B．考点：矩形的判定．15．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E为BC中点，O为AC中点，∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=CO，∵AE=CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE=30°，∴EO=12EC ， ∵EC=12AB ， ∴OE=14BC ，故④正确； 故正确的个数为3个，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形是解题关键．16．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．17．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB =，则EFGH 的面积是( )A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝22EH＝22EF，EF＝22AE，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，∴∠AEF＝∠DEH＝45°，∴AF＝EF，DE＝DH，∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，∴AF＝EF 2 AE，同理可得：DH＝DE＝22EH又∵EH＝EF，∴DE 2EF22AE＝12AE，∵AD＝AB＝6，∴DE＝2，AE＝4，∴EH2DE＝2，∴EFGH的面积为EH2＝（2）2＝8，故选：B．本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．18．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．19．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．【详解】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，故①正确∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故②正确；∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，且BO=DO由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形由②可知，OB=CB，OF=FC又∵BF=BF∴△OBF≌△OCF∴BD⊥EF∴平行四边形EBFD是菱形，故④正确所以其中正确结论的个数为3个；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．20．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.。

1。

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC,且与CD相交于G,GE ∥CA交AB于E点,求证：四边形CFEG是菱形.2. 已知:如图，EG、FH过正方形ABCD的对角线交点O,EG⊥FH，求证:四边形EFGH是正方形．3. 如图，三角形ABC中，AB=AC，角A=108 o，BD平分角ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD. 4。

在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高,∠EBD=20°，求∠A的度数。

5。

已知在平行四边形ABCD中,AB=6cm，AD=10cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长.6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．(1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE,试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论)7。

如图，在正方形ABCD中,G是BC上任意一点，连接AG,DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．8. 已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的面积为20，求阴影部分的面积．9. 已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，BE，CF相交于点O.(1)求证:BE⊥CF；（2）试判断AF与DE有何数量关系,并说明理由；（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？（直接写出答案）10. 在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ 是否相等？并说明理由．11。

如图,四边形ABCD中,∠A=135°,∠B=∠D=90°，AD=2，求四边形ABCD的面积。

12. 已知，在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD,AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 的两边分别交AD，DC(或它们的延长线）于E,F两点.（1）当AE=CF时（如图1），求证:AE+CF=EF；（2)当AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,AE+CF=EF是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明。

四边形难题汇编附答案一、选择题1．如图，在ABCD Y 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD Y 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，得出ABCD Y 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，∴90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形，∴ABCD Y 的面积11862422AC BD =⨯=⨯⨯=； 故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．2．如图，已知AD 是三角形纸片ABC 的高，将纸片沿直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，给出下列判断：①EF 是ABC V 的中位线；②DEF V 的周长等于ABC V 周长的一半：③若四边形AEDF 是菱形，则AB AC =；④若BAC ∠是直角，则四边形AEDF 是矩形．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②④D ．①③④ 【答案】A【解析】【分析】根据折叠可得EF 是AD 的垂直平分线，再加上条件AD 是三角形纸片ABC 的高可以证明EF ∥BC ，进而可得△AEF ∽△ABC ，从而得12AE AF AO AB AC AD ===，进而得到EF 是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF 的周长是△ABC 的一半，进而得到△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=12AB ，AF=12AC ，若四边形AEDF 是菱形则AE=AF ，即可得到AB=AC ．【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF 是AD 的垂直平分线，∴AO=DO=12AD ，AD ⊥EF ， ∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， 12AE AF AO AB AC AD ===， ∴EF 是△ABC 的中位线，故①正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴△AEF 的周长是△ABC 的一半，根据折叠可得△AEF ≌△DEF ，∴△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半，故②正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴AE=12AB ，AF=12AC ， 若四边形AEDF 是菱形，则AE=AF ，∴AB=AC ，故③正确； 根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED 和∠AFD 的度数，故④错误；故选：A ．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE ADBCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )A 5B 6C 7D ．22【答案】B【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC BC AB =，∥.∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =，∴223AB BC EC BE BE ==-=.在Rt ABE △中，由勾股定理得)22223BE BE +=， 解得2BE =，∴36BC BE ==故选B.【点睛】 此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．4．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC ．2aD ．3a 【答案】C【解析】【分析】 根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=2a. 故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=22=5，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()A．4 B．8 C．6 D．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO ，∴AE=2AO=8，故选B ．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．7．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．8．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（ ）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO＝22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，BC长为10cm．当小莹折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)．则此时EC=()cmA．4 B2C．22D．3【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到:42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴BF=226AF AB-=∴CF=BC﹣BF=4．设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3∴EC的长为3cm．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．10．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y=，即∠ADE=13∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．11．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C．考点：平行四边形的性质．12．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．BA=BCB．AC、BD互相平分C．AC⊥BDD．AB∥CD【答案】B【解析】试题分析：根据矩形的判定方法解答．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．理由如下：∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形．其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．故选B．考点：矩形的判定．13．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E 为BC 中点，O 为AC 中点，∴S △ABE =S △ACE=2 S △AOE ，故③正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC=CO ，∵AE=CE ，∴EO ⊥AC ，∵∠ACE=30°，∴EO=12EC ， ∵EC=12AB ， ∴OE=14BC ，故④正确； 故正确的个数为3个，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形是解题关键．14．如图，在ABC V 中，D E ，是AB AC ，中点，连接DE 并延长至F ，使EF DE =，连接AF CD ，，CF ．添加下列条件，可使四边形ADCF 为菱形的是( )A ．AB AC =B ．AC BC = C ．CD AB ⊥ D ．AC BC ⊥【答案】D【解析】【分析】 根据AE ＝CE ，EF ＝DE 可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥BC 结合AC ⊥BC 可证得AC ⊥DF ，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：∵点E 是AC 中点，∴AE ＝CE ，∵AE ＝CE ，EF ＝DE ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∵点D 、E 是AB 、AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴∠AED＝∠ACB，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴AC⊥DF，∴平行四边形ADCF为菱形故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．15．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．EF BC，分别交AB、17．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作//PF=，则图中阴影部分的面积为CD于点E、F，连接PB、PD，若1AE=，8（）A．5B．6C．8D．9【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=12×1×8=4，∴S阴=4+4=8，故选：C．【点睛】此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．18．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形一定是矩形B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，故选：D.【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.19．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠B+C=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．20．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO12=BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积12=⨯6×8＝24，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．。

经典四边形习题50道（附答案）1．已知：在矩形ABCD中，AE BD于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度数。

2．已知：直角梯形ABCD中，BC=CD=a且∠BCD=60，E、F分别为梯形的腰AB、DC的中点，求：EF的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，E、F分别为AD、BC的中点，BD平分∠ABC交EF于G，EG=18，GF=10求：等腰梯形ABCD的周长。

4、已知：梯形ABCD中，AB∥CD，以AD，AC为邻边作平行四边形ACED，DC延长线交BE于F，求证：F是BE的中点。

5、已知：梯形ABCD中，AB∥CD，AC CB，AC平分∠A，又∠B=60，梯形的周长是_F_B_D_C_G_A_B_D_C_E_F_D_A_B_C_E_F_A_B _D_C20cm, 求：AB的长。

6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH。

7、已知：梯形ABCD的对角线的交点为E若在平行边的一边BC的延长线上取一点F，使SABC∆=SEBF∆，求证：DF∥AC。

8、在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点为E、F，在DA的延长线上取一点G，使AG=AD，若EG与DF的交点为H，求证：AH与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA使AG=BC，求证：BG=CD。

10、正方形ABCD，E、F分别是AB、AD延长线上的一点，且AE=AF=AC，EF交BC于G，交AC_A_B_B_C_B_F_B_C_F_B_D_A_E于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。

11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ， 求证：CF=ED 。

12、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交于E ，AE 、DE与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA 。

四边形综合经典难题1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。

2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。

4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。

5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。

6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。

7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为EBC 的延长线上取一点F ，使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF_ D_ C_ B _ C _ A _ B_ A _ B_ E_A _ B_ A_ B8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。

10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线 上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。

11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ， 若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ， 求证：CF=ED 。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）133． 【解析】 分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x=133， ∵22AD AB +13 ∴OB=1213 ∵BD ⊥EF ，∴EO=22BE OB -=2133， ∴EF=2EO=4133． 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 2．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，点C 在第一象限，且86OB OD ==，.现将纸片折叠，折痕为EF （点E ，F 是折痕与矩形的边的交点），点P 为点D 的对应点，再将纸片还原。

（I ）若点P 落在矩形OBCD 的边OB 上，①如图①，当点E 与点O 重合时，求点F 的坐标；②如图②，当点E 在OB 上，点F 在DC 上时，EF 与DP 交于点G ，若7OP =，求点F 的坐标：（Ⅱ）若点P 落在矩形OBCD 的内部，且点E ，F 分别在边OD ，边DC 上，当OP 取最小值时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）。

E 度教育网经典四边形习题50道（附答案）1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。

2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。

4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。

5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。

6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。

7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E_ D_ C_B _ C_ A _ B _ A _B_ E_A_ B_ A_ BE 度教育网若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。

8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。

10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。