四年级下册数学奥数练习：第十讲 简单规划问题 全国通用(含答案)

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四年级奥数详解答案第10讲第十讲和倍问题一、知识概要1。

概念：已知几个数的和,以及几个数之间的倍数关系，求这几个数是多少的问题，我们称之为和倍问题。

2。

基本公式：和÷（倍数+1)=小数二、典型题目精讲1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈的年龄是小红的4倍,小红和妈妈各是多少岁？分析：和倍问题应用题，关键是先确定标准数（即一倍数)。

一般以数量中的小数为标准数.本题因为小红的年龄小。

所以,小红的年龄是标准数，妈妈的年龄是小红的4倍，即为四位数，则年龄和（40)正好对应的是五倍数（如图所示）求出一倍数，故一除即得。

解：40÷（4+1） =40÷5 =8(岁）……(小红)8×4=32(岁)……(妈妈)答：小红和妈妈分别是8岁、32岁.2。

某汽车场共有大、小货车115辆，大货车比小货车的5倍还多7辆，大货车和小货车各有多少辆?分析：如图所示，大货车减去7辆后就成为5倍数.这7辆可以从总数(115辆)中减去，这样，这个题就转化成跟上题一样的了。

解:(115—7)÷（5+1)=108÷6=18（辆）……(小货车）18×5+7=90+7=97(辆）………(大货车）答：大货车和小货车分别有97辆、18辆3。

第十讲智趣推理（含答案）在儿童的生活里，已经积累了一些推理的知识经验，只不过没有意识到这是推理的内容而已.在今天这节课，就是要通过一系列的创设情景，让学生经历对生活中某些现象推理、判断的过程，能对生活中的某些现象按一定的方法进行逻辑推理，并判断其结果.训练学生的逻辑推理和语言表达能力.教学内容的设计也是围绕小动物们参加运动会这一线索展开的，让学生体会到推理就在我们身边，通过学生积极的参与，让学生掌握推理的一般方法就可以了.数学乐园体育课上小明、小平、小婷进行跳高成绩测试，班主任李老师问他们三人谁跳得高?小明说：“我跳得比小平高些.”小平说：“我跳得比小婷矮些.”小婷说：“我跳得比小明高些”.班主任李老师很快知道了谁跳得最高，小朋友你能猜出来吗?【教学思路】开课的时候，引用一个实际生活中常见的情景来让学生做一个判断.这也是为了让老师了解学生的已有生活经验情况.通过这个题的训练，来激发学生对推理的兴趣，也是为后面的学习做一个铺垫.小朋友们，在日常生活中，我们经常会遇到这类问题，需要我们做出判断.遇到问题时只要我们认真仔细地分析，进行有根有据的推理，这样就一定能找到答案.这节课就让我们一起来做一个判断高手吧！判断高手出招动物王国里正在进行着一场激烈的体育比赛，让我们也一起去看看吧！动物王国的国王要把三盘苹果奖给三个跳远获奖的小动物，最多的一盘奖给第一名，最少的一盘奖给第三名.根据小猫和小狗的谈话，你知道哪盘最多，哪盘最少吗？【教学思路】根据小猫说的“第一盘比第三盘少3个”，我们知道第三盘比第一盘多3个. 再把小狗说的“第二盘比第三盘多5个”把这两个条件联系起来思考：第二盘比第三盘多5个，第三盘比第一盘多3个.所以这三盘苹果中，最多的是第二盘，最少的是第一盘.拓展练习根据小猫和小狗的谈话，现在你知道哪盘最多，哪盘最少吗？【教学思路】根据小狗说的“第三盘比第二盘少5只”也可以说第二盘比第三盘多5只”，再根据小猫说的“第一盘比第三盘多3只”就可知道，第一盘、第二盘都比第三盘多，也就是说第三盘最少.接着想：与第三盘比，第一盘多3只，第二盘多5只，这样就知道第二盘的梨最多.它们的多少顺序是：第二盘>第一盘>第三盘.所以第二盘梨最多，第三盘梨最少.举重比赛就要开始了，米老鼠、小白兔和哈哈狗三个小动物比体重，你能根据它们的谈话，说说谁最重？谁最轻？【教学思路】根据米老鼠说的话“哈哈狗比我重”，我们知道哈哈狗的重量＞米老鼠的重量；根据大白兔说的话“我比米老鼠轻”，我们知道米老鼠的重量＞大白兔的重量.所以不管哈哈狗说什么话，我们都已经知道了哈哈狗是最重的，小白兔是最轻的.拓展练习王老师问小明、小军、小兰三人，谁年龄最大，谁年龄最小?根据下面的对话，你能把结果告诉王老师吗?【答案】从三人的对话中知道，小明比小军大，小兰比小明大.也就是从大到小为：小兰的年龄>小明的年龄>小军的年龄.小军所说他比小兰小，也证实了他们的年龄从大到小排列的顺序.小兰的年龄最大，小军的年龄最小.跳绳比赛结束了，小猴、小兔、小象、小猫谁是最后的冠军呢？【教学思路】四个小动物说了四句话，这四句话的顺序很乱，容易造成学生判断出错，因此我们要先让学生把这四句话读一读，然后思考从哪句话开始分析.小猫说“小猴比我跳得多”，可见小猴跳得个数＞小猫跳得个数；小兔说“小猫比我跳得多”，可见小猫跳得个数＞小兔跳得个数；小象说“我比小兔跳得少”，可见小兔跳得个数＞小象跳得个数；所以现在我们已经知道小猴跳得个数＞小猫跳得个数＞小兔跳得个数＞小象跳得个数，小猴说的话更加确定我们这样排列是正确的.最后跳绳的冠军应该是小猴.100米短跑比赛开始了，4个小动物出发了：(1) 1号比2号跑得快；(2) 2号比3号跑得快；(3) 3号比4号跑得慢；(4) 4号比1号跑得快.你知道几号小动物跑在最前面？几号小动物跑在最后吗？【教学思路】根据“1号比2号跑得快”、“2号比3号跑得快”，我们知道1号比2号和3号跑的都要快；再根据“4号比1号跑得快”就知道4号是跑得最快的，跑在最前面，3号小动物跑的最慢，所以跑在最后面.狮子裁判把红、白、蓝各一个气球，分别送给三个在跳远比赛中获胜的小动物：小猴春春、山羊咪咪和熊猫贝贝.根据下面三句话，请你猜一猜，它们分别得到了什么颜色的气球?(1)小猴春春说：“我拿到的不是蓝气球.”(2)山羊咪咪说：“我拿到的不是白气球.”(3)熊猫贝贝说：“我看到狮子裁判把蓝气球和红气球分给上面两位好朋友了.”【教学思路】多个条件的推理判断，我们要引导学生结合表格进行分析：根据小猴春春、山羊咪咪所说，可知小猴春春分到的不是蓝气球，在蓝气球一格打“×”，山羊咪咪分到的不是白气球，在白气球一格打“×”.再依据熊猫贝贝所说可知它山羊咪咪分到的是蓝气球，小猴春春分到的是红气球，由此得到熊猫贝贝分到的是白气球.小红、小花、小白三只可爱的小猪穿着崭新的连衣裙去参加体操比赛，它们穿的裙子一个是花的，一个是白色的，一个是红色的．（1）小红不喜欢穿红色的裙子，（2）小花既没有穿红的也没有穿花的，你能猜出三只小猪各穿的什么颜色的衣服？【教学思路】我们可以通过图表给学生进行分析，这样更容易理请思路.根据“小花既没有穿红的也没有穿花的裙子，可以判断出穿白色裙子的是小花的．见图 (“√’’表示是的，“×"表示不是的)．再根据“小红不喜欢穿红色的裙子”，可以判断小红可能穿花的或白色的裙子，而已知白色的裙子是小花穿的，所以穿小红一定是穿的花裙子.最后剩下的只有红色的裙子，可以断定小白穿红色的裙子．最后得到结果：小花穿的是白色的裙子，小白穿的红色的裙子，小花穿的花裙子．拓展练习明明、亮亮和刚刚三个好朋友的爸爸，一位是工人，一位是医生，一位是解放军战士.请你根据下面三句话，猜一猜他们的爸爸各是谁?(1)明明的爸爸不是工人；(2)亮亮的爸爸不是医生；(3)明明的爸爸和亮亮的爸爸正在听一位当解放军的爸爸讲战斗故事.本题也可以用填表的方法找答案.具体方法如下：(1)根据第一、二句话填表.(见表一)(2)根据第三句话知道明明和亮亮的爸爸都不是解放军，当解放军的一定是刚刚的爸爸，继续填表.(见表二)(3)最后，在表中找答案.(见表三)答：明明的爸爸是医生，亮亮的爸爸是工人，刚刚的爸爸是解放军.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）大妞是小妞的姐姐，兰花是翠花的妹妹，小妞的妈妈是翠花，兰花是大妞的什么人?【教学思路】因为“小妞的妈妈是翠花”“兰花是翠花的妹妹”，所以兰花是小妞的姨；因为“大妞是小妞的姐姐”，所以翠花是大妞的妈妈，兰花是大妞的姨.盘子里有香蕉、苹果、橘子三种水果．小刚说：“每人只吃一种水果，我不吃橘子．”小林说：“我既不吃苹果，也不吃橘子.”大江问：“请你猜一猜我们三人各吃什么水果?”【教学思路】根据小林说的“我既不吃苹果，也不吃橘子”，可以判断出：小林吃的水果是香蕉.又根据小刚说的“我不吃橘子”，可以得出，小刚可能吃的是香蕉或苹果，而香蕉是小林吃的，小刚只能吃的是苹果．最后可以判定大江吃的是橘子．如图：小菲、小南、小阳三个小朋友，分别戴着红、黄、蓝三顶帽子，排着队向前走，谁也不回头.小南能看见一顶红帽子和一顶黄帽子，小菲只能看到一顶黄帽子，而小阳一顶帽子也看不到.你知道走在第一个的是谁?谁又走在第二个?最后一个又是谁呢?他们又各自戴着什么颜色的帽子呢?【教学思路】“小南能看见一顶红帽子和一顶黄帽子”，可见小南的前面有两个同学，他站在第三个戴着蓝帽子；“小菲只能看到一顶黄帽子”“小阳一顶帽子也看不到”，可见小菲站在第二个，她前面是应该是小阳，小阳戴着黄帽子，那么小菲就戴着红帽子.练习十1. 小明、小林和小红三个同学赛跑.小明说：“我跑得不是最快的，但比小林快.”请你说说，谁跑得最快?谁跑得最慢? 小红跑得最快，小林跑得最慢.2. 三个小朋友比大小，根据下面三句话，请你猜一猜，谁最大?谁最小?(1)芳芳比阳阳小3岁；(2)燕燕比芳芳大1岁；阳阳最大芳芳 _最小.3. 有四个皮球.蓝皮球比黄皮球大；蓝皮球比黑皮球小；黑皮球比红皮球小.请按照从大到小的顺序，把皮球排队.红皮球，黑皮球，蓝皮球，黄皮球.4. 学校里的李老师、张老师、汪老师分别教小丽的语文、数学、外语.小丽说：“李老师不教语文，汪老师上课总是带着录音机.”你能根据小丽的话猜出这三位老师分别教什么吗？李老师教数学，张老师教语文，汪老师教英语 .5. 甲、乙、丙三个小朋友赛跑.得第一名的不是甲，得第二名的不是丙，乙看见甲和丙都在自己的前面到达了终点.甲得了第 2 名，乙得了第 3 名，丙得了第 1 名.6. 张、黄、李分别是三位小朋友的姓.根据下面三句话，请你猜一猜，三位小朋友各姓什么?(1)甲不姓张；(2)姓黄的不是丙；(3)甲和乙正在听姓李的小朋友唱歌.甲姓黄，乙姓张，丙姓李.大盗贼狐狸作案后逃往花城，住进了百草园宾馆．百草园宾馆是一幢8层的方形大楼，客人全部住在大楼南侧．每层的房间都是一样的，各有8个房间，一共有64个房间．狐狸就住在其中的一个房间里．猎狗探长得到消息，立刻带领猴侦探来到百草园宾馆，并问服务员：“狐狸住在哪个房间？”“对不起，先生，我只能用“是”或“不是”来回答您的问题．”服务员不冷不热地回答说．猎狗探长说：“我只问你六个问题．”“它的房间在1—4楼吗？”“不是．”“那么在5—8楼的1—4号房间吗？”“是的．”“在7、8楼吗？”“是．”“在7、8楼的1、2号房间吗？”“不是．”“在8楼吗？”“是．”“在8楼的3号房间吗？”“不是．”猎狗探长说：“谢谢，我的提问结束了．”转身对身后的猴侦探说：“走，到8楼4号房间去捉拿罪犯．”果然过了一会盗贼在8楼的4号房间被抓获．。

第十讲染色与操作问题编写说明本讲大部分内容都是上一讲思路的一个延伸！学习起来可能会比较抽象，教师多多形象讲解帮助孩子们掌握理解最基本的思路方法.染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.【例1】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？分析：划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．【前铺】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？分析：（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?分析：将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．【例2】右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?分析：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个黑格，7个白格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍．【巩固】有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?分析：如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．【例3】在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？分析：下图(1)中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋.图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色, 而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.【例4】右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马. 众所周知，马是走“日”字的. 请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？分析：马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个● . 因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。

第十讲有趣的数阵图（二）下面我们继续研究有关数阵图的问题.例1 将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值填出数阵.分析为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7.∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D.3S=28+2B+A+C+D.如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4，综上所述，得出：13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数.本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7.注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数”S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）.二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S 的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了.解：例2 把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.分析观察右图，我们发现：①有3条路，每条路上有4个数，且4个数相加的和要相等.②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点.因此只要使三条路上其余两个数的和相等，就可以确保每条路上的四个数的和相等.③20以内的质数共有8个，依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数，问题就可迎刃而解.如要分析，设起点数为X，终点数为y，每条路上4个数之和为S，显然有：3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13＋17+19=2x+2y+77.即S最小=29，此时x=2,y=3但这时，中间二个质数之和为47-（19+13）=15，但17＞15，17无处填.所以S=47是无法实现的.这题还另有一个独特的分析推理.即惟一的偶质数必处于起点或终点位上.不然，其他路上为4个质数之和，2处于中间位的路上.这条路为3奇1偶相加，另两条路上为4个奇相加，形成矛盾.再进一步分析，（终点，始点地位对称）始点放上2，终点放上另一个质数，其他6个质数之和必为3的倍数.而经试算，只有终点放上3，而可满足的解法只有一种（已在下图中表出）.解：这样，轻而举地可得到：5+19=24，7+17＝24，11+13=24.例3 把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入右图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和相等.分析和解假设每边上的三数之和为S，四边上中间圆圈内所填数分别为a、b、c、d，那么：a+c=b+d=（1+2+…+8）-2S=36-2S∴2S＝36-（a+C）＝36-（b+d）①_x0001_S=15，则a+c=b+d＝6，又1+5=2+4=6，试验可得下图②若S=14，则a+c=b+d=8，又1+7=2+6=3+5=8，试验可得下两图③若S=13，则a+c=b+d＝10，又2+8＝3+7＝4+610，试验可得下两图④若S=12，则a+c=b+d＝12，又4+8＝5+7＝12，试验可得下图例4 在一个立方体各个顶点上分别填入1～9这九个数中的八个数，使得每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等，并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.试求：没有被标上的数字是多少？并给出一种填数的方法.分析为了叙述方便，设没有被标上的数字为a，S是每个面上的四个顶点上的数字之和.由于每个顶点数都属于3个面，所以得到：6S=3×（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-3a6S＝3×45-3a2S＝45-a （1）根据（1）式可看出：因为左边2S是偶数，所以右边45-a也必须是偶数，故a必须是奇数.又因为根据题意，S不能被a整除，而2与a互质，所以2S不能被a整除，45也一定不能被a整除.”在奇数数字1、3、5、7、9中，只有7不能整除45，所以可以确定a=7.这就证明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是19，解法如图.例5 将1～8这八个数标在立方体的八个顶点上，使得每个面的四个顶点所标数字之和都相等.分析观察下图，知道每个顶点属于三个面，正方体有6个面，所以每个面的数字之和为：（1+2+3+4+5+6+7+8）×3÷6=18.这就是说明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是18.下面有3种填法的提示，作为练习，请读者补充完整.解：例6 在下左图中，将1～9这九个数，填人圆圈内，使每个三角形三个顶点的数字之和都相等.分析为了便于叙述说明，圆圈内应填的数，先由字母代替.设每个三角形三个顶点圆圈内的数字和为S.即：A+B+C=S、D+E+F=S、G+H+I=S、C+G+E=S、A+G+D=S、B+H+E=S、C+I+F=S.将上面七个等式相加得到：2（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+C+G+E=7S.即：A+B+C+D+E+F+G+H+I=3S又∵A、B、C、D、E、F、G、H、I，分别代表1～9这九个数.即：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.3S=45S=15.这15就说明每个三角形三个顶点的数字之和是15.在1～9九个数中，三个数的和等于15的组合情况有以下8种即：（1、9、5）；（1、8、6）；（2、9、4）；（2、8、5）；（3、7、5）；（2、7、6）；（3、8、4）；（4、5、6）；观察九个数字在上述8种情况下出现的次数看，数字2、4、5、6、8都均出现了三次，其他数字均只出现两次，所以，符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的圆圈内，这样就得到本题的两个解.解：例7 在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1～9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.分析为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如上右图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S，那么图中六个正方形可得到：a1+a2+b1+b2=S,a2+b2+a3+b3=S,b1+b2+c1+b2=S,a2+b3+b2+b1=S,b2+b2+b3+c3=S,a1+a3+c3+c1=S.将上面的六个等式相加可得到：2（a1+a3+c3+c1）+3（a2+b3+b2+b1）+4b2=6S.则4b2＝S4（a1+a3+c3+c1）+4（a2+b3+b2+b1）+4b2=9S.于是有：4（a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3）=4×45=9S.9S=4×45S=20.这就说明每个正方形角上四个数字之和为20.所以：b2=5.从而得到：a1+a2+b1=a2+a3+b3=15，b1+c1+b2=b2+c3+b3=15.由上面两式可得：a1+b1=a3+b3,b1+c1=b3+c3.如果a2为奇数，则a1+b1和a3+b3均为偶数.①若a1为奇数，a3为偶数，则b1为奇数，b3为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为偶数，则c1为偶数，c3为奇数.但是a1+a2+5+b1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.②若a1为偶数，a3为偶数，则b1也为偶数，b3也为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为奇数，则c1为偶数，c3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾.③若a1为奇数，a3为奇数，则b1、b3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾.④若a1为偶数，a3为奇数，情况与①相同.综合上述，a2必为偶数.由对称性易知：b2、b2、b1也为偶数.因此a1、a3、c3、c1全为奇数.这样，就比较容易找到此解.解：注：也可以这样想：因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，中心数用5试填后，余下40，那么大正方形、中正方形对角数字之和一定为10，比如：2+8=10、3+7=10、1+9=10、4+6=10.再利用小正方形调整一下，便可以凑出结果了.习题十1.将1～6六个自然数字分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三数之和都等于定数S，指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.2.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.3.将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.。

第十讲统筹规划第一部分：趣味数学数学的魅力-----趣味性数学是思维的体操。

思维触角的每一次延伸，都开辟了一个新的天地。

数学的趣味美，体现于它奇妙无穷的变幻，而这种变幻是其他学科望尘莫及的。

揭开了隐藏于数学迷宫的奇异数、对称数、完全数、魔术数??的面纱，令人惊诧；观看了数字波涛、数字漩涡??令人感叹！一个个数字，非但毫不枯燥，却生机勃勃，鲜活亮丽！根据法则、规律，运用严密的逻辑推理演化出的各种神机妙算、数学游戏，是数学趣味性的集中体现，显示了数学思维的出神入化！各种变化多端的奇妙图形，赏心悦目；各种扑朔迷离的符形数谜，牵魂系梦；图形式题的巧解妙算，启人心扉，令人赞叹！魔幻迷题，运用科学思维，"弹子会告密"、"卡片能说话"，能知你姓氏，知你出生年月，甚至能窥见你脑中所想，心中所思??真是奇趣玄妙，鬼斧神工。

?面对这样一些饶有兴味的问题，怎能说数学枯燥乏味呢？第二部分：奥数小练【例题1】面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。

面值是2元、5元的人民币各有多少张？【思路导航】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。

假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。

练习1：1.孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。

两种硬币各有多少枚？2.50名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。

问大船和小船各几只？。

第十讲排列组合应用上一讲学习了基本的排列组合公式，本讲主要解决一些实际问题．在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，再考虑应该用排列还是组合来进行计算．排列和组合的区分在这一讲是我们学习的难点和重点．接下来我们通过一些生活中的例子，进一步来体会一下排列和组合的区别．例题19支球队进行足球比赛：（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场．每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场．那么一共要举行多少场比赛？「分析」每场比赛有两支队伍参加，现在要从几支队伍里挑呢？挑的时候这两支队伍有没有顺序？每场比赛中，两支队伍获得的分数之和最多是多少呢？练习1棋王争霸赛在8名选手间展开：（1）如果实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？（2）如果实行双循环赛制，共要进行多少场比赛？例题2围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？（2）如果从中选出3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？「分析」同样都是选出3个人，这两个问题之间有什么区别？练习2一次厨艺大赛中，主办方给定的菜谱中有7道菜，请问：（1）如果要求从这7道菜中选做2道菜，共有多少种不同的选法？（2）如果要求从这7道菜中选做1道作为主菜，另外1道作为副菜，共有多少种不同的选法？从公式：n n n m m n C A A =÷，可以看出：n n nm m n A C A =⨯，所以计算从m 个元素中选出n 个元素的排列数时也可以分成两步：先计算从m 个元素中选出n 个元素的组合数，再计算这n 个元素的排列数即可．接下来我们通过例题看看排列与组合之间有什么联系． 例题3王老师带着小高、卡莉娅、萱萱一行四人去参加一次聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12个．（1）小高是第一个取球的人，他一共选出了4个球，准备回头分给大家，那么一共有多少种选法？（2）小高回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法？（3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？「分析」（1）、（2）恰好是（3）的两个步骤，所以不难通过（1）、（2）的结果来计算（3）．（1）、（2）应该按照排列来算还是按照组合来算呢？能不能跳过（1）、（2）直接计算（3）呢？ 练习3先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？例题4周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生． （1）如果随意选择，一共有多少种选择方法？（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？「分析」（1）是从几名同学出选5名？（2）选2名男生有几种选法？选3名女生有几种选法？练习4老师要从9名男生和7名女生中挑出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？接下来我们学习圆周排列．从m 个不同的元素中取出n 个（ n m ）元素，并按照一定的顺序排成一个圆周，就是圆周排列．圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列是首尾相邻的，旋转后相同的排法视为一种排法．如下图，1、2、3的三种排列：123、231、312，在圆周排列中都是一个排列；另外三种排列：132、321、213，在圆周排列中也是一个排列，而且这两个圆周排列是不同的．例题5从7个人中选出5个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法?「分析」从7个人中选出5个人的圆周排列，还能按照直线上的排列57A 种方法来计算吗？在我们组合问题里面，选取出来的和没有选取出来的两个部分之间是否有区别和顺序呢？ 例题6（1）6个人分成A 、B 两队拔河，要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？ （2）6个人分成两队拔河，要求每个队都是3个人，一共有多少种分队的方法？ 「分析」这两个问题都是要分成两个队，每个队3个人，有什么区别吗？课堂内外杨辉三角刘杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．端点数为1的杨辉三角具有如下几个性质： （1）每个数等于它上方两数之和；（2）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大； （3）第n 行的数字有n 项； （4）第n 行数字和为()21n -；（5）第n 行的第m 个数和第-n m 个数相等，即m n m n n C C -=这是组合数性质之一； （6）每个数字等于上一行的左右两个数字之和．可用此性质写出整个杨辉三角．即第n +1行的第i 个数等于第n 行的第i -1个数和第i 个数之和，即11i i i n n n C C C -+=+这也是组合数的性质之一；（7）第n 行的m 个数课表示为1m n C -，即为从n 个不同元素中取1m -个元素的组合数．作业1.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，请问这次聚会大家一共握了多少次手？2. 要从15名士兵中选出2名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？3. 先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共多少种不同的可能？4. 卡莉娅走进一家商店要买些新衣服，现在从她看中的5件上衣和4条裤子中选出3件上衣和2条裤子，一共有多少种选法？5．6个人围坐在一张圆桌旁，有多少种坐法？第十讲 排列组合应用1. 例题1答案：36场，108分；72场详解：区分单循环制和双循环制，（1）单循环是9支球队中选取2支队伍即可，2支队伍不需要排序，是组合问题，即()29982136C =⨯÷⨯=场比赛．如果是分出胜负的则一场比赛会得3分，如果不分胜负则一场比赛会得2分，所以如果要让得分最多，那么36场都应该是分出胜负的，即363108⨯=分．（2）双循环制是9支球队中选取2支队伍后要排序，分主客场的，是排列问题，即299872A =⨯=场比赛．也可以根据第一问36272⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两支队伍比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系． 2. 例题2答案：336；56详解：（1）从8名同学中选3名同学在早上、中午、晚上做值日，那么选出的这三人改变顺序为不同种选法，为排列问题，38876336A =⨯⨯=种选法．（2）从8名同学中选3人参加比赛，改变这三人的顺序任为一种选法，为组合问题，()3887632156C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法． 3. 例题3答案：495种；24种；11880种详解：（1）只需要从12个不同的球中选出来4个，不需要排列，是组合问题，即()41212111094321495C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选法；（2）把4个球分给大家，这四个球会分给不同的人，所以需要排序，是组合问题，即44432124A =⨯⨯⨯=种分法；（3）其实这一问就是按照上面的两个步骤完成后的方法数，分步是用乘法原理，即441244952411880C A ⨯=⨯=种可能；另外一种做法就是从12个球中选出来4个，排列即排列问题，即412121*********A =⨯⨯⨯=种可能．4. 例题4答案：15540种；5400种详解：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来5个人即可，()52020191817165432115504C =⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从10名男生中选取2名男生，再从10名女生中选取3名女生，这是一个分步的过程，所以一共有()()2310101092110983215400C C ⨯=⨯÷⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯=种选择方法．5. 例题5答案：504种详解：圆桌问题的两种做法，第一种：7个人中选出来5个人按照一定顺序去排列，这是一个排列问题，即57A ；圆桌是可以旋转的，如果这5个人的顺序是ABCDE 、BCDEA 、CDEAB 、DEABC 、EABCD 这五种排序的方法其实都是一种坐法，所以一共有575504A ÷=种不同的坐法；第二种：先从7个人中选出5个人，有5721C =种方法，再把选出的5个人排在圆桌上，有55524A ÷=种方法，一共有2124504⨯=种方法．6. 例题6答案：20种；10种详解：（1）从6个人中选择3个人，即()3665432120C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法，此时已经将两个队伍排序，所以一共有20种分队的方法；（2）从6个人中选择3个人，此时两个队伍是有区别的，可是此题两队没有区别，所以是36210C ÷=种分队的方法．7. 练习1答案：28场；56场简答：（1）单循环是8名选手中选取2名选手即可，2名选手不需要排序，是组合问题，即()28872128C =⨯÷⨯=场比赛．（2）双循环制是8名选手中选取2名选手后要排序，分主客选手，是排列问题，即288756A =⨯=场比赛．也可以根据第一问28256⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两名选手中比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系．8. 练习2答案：21种；42种简答：（1）()27762121C =⨯÷⨯=种选法．（2）277642A =⨯=种选法．9. 练习3答案：720种简答：两种方法，第一种：先从10个人选出3个人不排序，即310C ，接下来给这三个人排序，即33A ，这是一个分步的过程，所以共有33103720C A ⨯=种不同的可能；第二种：从10个人中选出3个人，需要排序，即排列问题，310720A =种不同的可能．10. 练习4答案：1820种；588种简答：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来4人即可，()4161615141343211820C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从9男生中选取3男生，再从7女生中选取1女生，这是一个分步的过程，所以一共有3197588C C ⨯=种选择方法．11. 作业1答案：45简答：从10人中任选2人就会有一次握手，共有()210109245=⨯÷=C 次握手．12. 作业2答案：210 简答：从15人中选出2人，分别担任正、副班长，共有2151514210=⨯=A 种方法．13. 作业3答案：720 简答：333103101098720⨯==⨯⨯=C A A 种方法．14. 作业4答案：60简答：从5件上衣中选3件，有()()3554332110=⨯⨯÷⨯⨯=C 种方法；从4条裤子中选2条，有()()2443216=⨯÷⨯=C 种方法；所以共有10660⨯=种选法．15. 作业5答案：120简答：先有1人坐定，剩下的5个人随便排：5554321120=⨯⨯⨯⨯=A 种坐法．。

第10讲：数字谜（二）（含答案）例1 把下面算式中缺少的数字补上：分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。

四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。

由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。

（1）填百位与千位。

由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。

（2）填个位。

由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。

（3）填十位。

由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。

所求算式如右式。

由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。

例 2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。

从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。

如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。

此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。

因此“学”≠2。

如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。

百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。

满足条件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。

由千、百、十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。

同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。

第十讲乘法原理与加法原理乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关。

”【例1】①有5个人排成一排照相，有多少种排法？②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？③5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法分析：①5个人排成一排照相，从左到右共5个位置。

第一个位置可从5个人中任选一人，有5种选法；第二个位置只能从剩下的4个人中任选一人，有4种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。

每个位置上站了一人就是一种排法。

根据乘法原理，共有5×4×3×2×1=120种排法。

②5个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有5个位置，类似①的方法可得共有5×4×3×2×1=120种排法。

③这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位，类似①的分析可知共有4×3×2×1=24种排法。

④这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有2种方法；第二步，安排其它的4人，类①的分析，有4×3×2×1=24种方法，根据乘法原理，共有2×（4×3×2×1）=24×2=48种排法.【例2】（小数报数学竞赛初赛）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色．共有多少种不同的染色方法？分析：用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860种不同的染色方法．【例3】（1）（迎春杯决赛）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？分析：（1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：10×9=90种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有：9×8=72种不同的放置方法．因此，总共有：72×90=6480种不同的放置方法．（2）第一列有2种放法．第一列放定后，第二列又有2种放法．…如此下去，共有2×2×2×2=16种不同的放法．【例4】有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。

把一个自然数（ 0 除外）拆成几个自然数相加的形式，叫自然数的拆分 . 在这节课中，我们就将来研究关于自然数的拆分问题 . 希望通过学习，使学生从中学到一些有序和全面思考问题的方法 .知识点：掌握自然数拆分的一般方法——枚举 .们每人一份小朋小松鼠说： 友.熊猫老师怎么知道小白兔说的是谎话小白兔说：“我在上学的路上遇到四个小妹妹 量不同的 4 份，送给她们每人一份① 小松鼠和小白兔上学迟到了 . 熊猫老师问： “你俩今天为什么迟到了 她们饿得很，我就采了 9 个蘑菇 .分成数 熊猫老师说：“松鼠说的是实话 .小白兔说的是谎话 .”③ 小白兔听后，惭愧地低下头，说：“老师 我在上学 的路上遇到三个小弟弟，他们饿 (e)得很，我就采了 6 个松果 .分成数量不同的 3 份，送给他 教学思路】 小松鼠把 9 个松果分成不一样多的三份， 6=1+2+3，所以可以分成 .小白兔说它把 9 个蘑菇 分成个数不同的 4 份. 这是不对的 . 因为 1+2+3+4=10.9 个蘑菇是分不出个数不同的 4 份的 .把一个自然数( 0 除外)分拆成几个自然数相加的形式，这种方法叫做自然 数的分拆 .下面让我们一起来学习怎样分拆自然数，从中学到一些有序和全面思考问题的方法如下图他们每人打了两发子弹， 均击中了靶子 ( 即无脱靶现象 ). 强强两发共打了 12 环，明明两发共打了 8 环. 又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请 你推算一下他俩打中的是哪几环?教学思路】 要求强强和明明各打中的环数，即是把 12，8按环数进行拆分的问题 .也就是要把 12和 8拆分成两个数相加 . 因为靶子中的环数只有 2、4、6、8、10环. 所以这两个数只能从这些数 中选择 . 因为 12=8+4=10+2， 8=6+2. 根据“没有哪两发子弹打在同一环中' '的条件，可以 知道甲打中的是 8环和 4环，乙打中的是 6环和 2环.把 5 拆成几个自然数相加的形式， 共有多少种不同的拆分方法教学思路】 要做到拆分得不重、不漏，要注意有序思考，一般我们采用枚 举法 . 例如先拆成两部分，再拆成三部分、四部分，最后拆成 五部分 . 拆分过程是： 5=1+4=2+3 5=1+1+3=1+2+2 5=1+1+1+2 ?（0 除外 ）5=1+1+1+1+1答：共有 6 种不同的拆分按下面的要求，把自然数 6 进行拆分 .1）把 6 拆成几个自然数相加的形式（ 0 除外），共有多少种不同的拆分方法？2）把 6 拆成几个不完全相同的自然数相加的形式（0 除外），共有多少种不同的拆分方法？3）把 6 拆成几个完全不相同的自然数相加的形式（0 除教学思路】（ 1 ） 6=1+5=2+4=3+3 ； 6=1+1+4=1+2+3=2+2+2 ； 6=1+1+1+3=1+1+2+2 ；6=1+1+1+1+2 ； 6=1+1+1+1+1+1 共 10 种方法 .（2）从（ 1）中，把完全相同的 3 种方法剔除 6=3+3=2+2+2=1+1+1+1+1+1，则还剩7 种. （3）“几个完全不相同的自然数”也就是“不同的自然数”，即拆分的数不能相同 . 那么就猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘 10 个，每只小猪至少摘 2 个，按照妈妈的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分配方法 ?教学思路】要求有几种不同的分配方法，就是求把10 拆成3个不完全相同的自然数，因为每个小猪至少要摘 2个，所以 0，1 除外，共有多少种拆分方法呢 . 拆分过程是： lO=2+2+6 10=2+3+510=2+4+410=3+3+4答：共有 4 种不同的分组方法体育课上， 10 个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？1教学思路】 10 个小朋友分成三组做游戏，那么每组最少要有 个人，这道题和上一题比不同就是，就是多了拆成 的部分 . 具体拆分过程如下： 10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5 10=2+2+6=2+3+5=2+4+4 10=3+3+4 答：一共有 8 种不同的分组方法 .分到的萝卜数量都不同 . 可以怎样分呢？教学思路】 这道题也就是要我们把 12 拆分成 3 个不同的自然数， 可以做如下考虑：若将 12 分拆成三个不同的自然数 之和，三个数中最小的数应为 1，其次是 2，那么第 三个数就应是 9 得：12＝ 1+2+9．下面进行变化，如从 9中取 1 加到 2上，又得： 12＝ 1+3+8． 继续按类似方法变化，可得下列各式： 12 ＝1+4+7＝ 2+3+7， 12 ＝1+5+6＝ 2+4+6， 12 ＝ 3+4+5．共有 7 种不同的分拆方式．巩固拓展4个小朋友去学校图书室一共借了 12本书. 图书室规定，人最多只能借 9 本书，现在这四个小朋友手里的书数量都不 一样多 . 想一想，他们手中各有几本书？【教学思路】 把 12 拆分成 4 个不同的自然数只有唯一一种方法： 12=5+4+2+1，所以这几个小朋友手中的 书分别是 5本、 4本、2本、1 本。

第一讲、定义新运算知识要点：1、定义新运算：是在题目里特意规定一种有别与我们常用的新的运算规则，要求按照新定的运算法则进行计算推理或证明。

2、解题关键：要抓住定义的本质，根据规定的新运算与我们学过的四则运算的关系式，将新运算转化为我们熟知的四则运算，再进行四则运算就能得出运算的结果.例1、规定a*b=2a+3b，计算（2）、3*2（1）、7△（10△4）（2）、（7△10）△4的值例3 、规定X⊙Y=3X+Y÷2，如果已知7⊙Y=25，求例4、规定A▽B＝A÷5＋B÷2，求（5▽8）×3－（15▽6）÷2的值。

8×9，按此运算规则计算（4*6）÷（3*5）X*Y=X×Y+(X+Y) ×K,并且1*1=5，求1998*1999的值是1、如果规定A△B=A+B+2，计算（1）、9△20 =（）（2）、20△9=（）2、若规定X*Y=（X+Y）÷5，那么8*（3*7）的结果等于（）3、X△Y=（X+Y）÷2，如果X△6=10，那么X=（）4、规定X△Y=X×5-Y×2，那么（1△2）×（2△1）等于多少？3⊙4=3×4×5×6，求4⊙5的值4◇3）○5等于多少？7、规定A△B=A×B×2-（A-B），计算（3△2）+（48、如果4*2=4+44=48，2*3=2+22+222=246，1*4=1+11+111+1111=1234，那么3*4等于多少？9、“⊙”表示一种新的运算符号，已知 2⊙3=2+3+4 3⊙5=3+4+5+6+7 7⊙2=7+8 ……2○5等于多少？11、小明做了一些口算题，他2分钟做30道，照这样计算，小明5分钟做多少道口算题？老师布置60道口算题，他几分钟可以完成？12、某工厂6个工人5天可做300个零件，照这样计算，10个工人8天可做多少个零件？6天要做120020天挖完，实际上每天多挖了45立方米，这样可提前几天14 、一段地下管道预计15个工人每天工作4小时，18天可以完成。