5月联合质量测评试题高一数学考试用时120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 某学校高一年级学生中对数学非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数分别为600、300、100，为了了解数学兴趣对数学成绩的影响，现通过分层抽样的方法抽取容量为的样本进行调查，其中非常喜欢的n 有18人，则的值是（ ） n A. 20 B. 30C. 40D. 50【答案】B 【解析】【分析】按分层抽样的定义，建立比例关系可得答案.【详解】非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数比为， 600:300:1006:3:1=按分层抽样方法，其中非常喜欢的有18人可得， 61810n ⨯=解得. 30n =故选：B.2. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形,,a b c ABC ,,A B C π,4,3A c a ===个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 1或2【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果. π4C =5π12B =【详解】因为，由正弦定理，所以π,4,3A c a ===sin sin a c A C =4sin C =， sin C =又因为，故，. 2π(0,3C ∈π4C =5π12B =故选：B.3. A ，B ，C 表示不同的点，n ，l 表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法正确的是（ ） αβA. 若，，，则 l αβ= n α∥n β∥n l ∥B. 若A ，，A ，，则B l ∈B α∉l α∥C. 若A ，，A ，B ，，，则 B α∈C β∈l αβ= C l ∈D. 若，，，则αβ∥l ⊂αn β⊂l n ∥【答案】A 【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：选项A ，因为，，，所以，故A 正确； l αβ= n α∥n β∥n l ∥选项B ，因为A ，，A ，，所以或l 与相交，故B 不正确；B l ∈B α∉l α∥α选项C ，A ，，A ，B ，，，此时点C 不一定在平面a 内，所以不正确，故B α∈C β∈l αβ= C l ∈C 不正确；选项D ，由，，，则l 与n 可能平行，也可能异面，故D 不正确．αβ∥l ⊂αn β⊂故选：A.4. 已知向量的夹角为，且，则（ ）,a b 56π||1,||a b == (2)()a b a b -⋅+=A. B.C.D. 1-127252-【答案】D 【解析】【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.【详解】. ()()225522cos 21362a b a b a a b b π⎛-⋅+=+⋅-=+-=- ⎝ 故选：D.5. 在中，角的对边分别为，已知，则的外接圆面积为ABC ,,A B C ,,a bc π3,4a c B ===ABC （ ） A.B. C.D.5π210π5π47π2【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理及正弦定理求得结果. 【详解】已知， π3,4a c B===由余弦定理可得，(22222π2cos 323cos54b ac ac B =+-=+-⨯=由正弦定理可得2sin b R B ===R =则的外接圆面积. ABC 25ππ2S R ==故选：A .6. 如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与1111ABCD A B C D -11,2AB AD AA ===E 1DD 1BD 所成角的大小为（ ）AEA.B.C.D.π3π4π65π6【答案】C 【解析】【分析】取的中点，可得直线与所成角即为直线与所成的，在1CC F 1BD AE 1BD AF1D BF ∠1D BF中由余弦定理可得答案.【详解】取的中点，连接，所以， 1CC F 1D F BF 、//AE BF 直线与所成角即为直线与所成的，1BD AE 1BD AF1D BF ∠所以，，22211112D F D C FC =+=2222BF BC CF =+=，222221*********D B D C D A D D =++=++=在中由余弦定理可得, 1D BF2221111cos 2D B BF D F D BF D B BF +-∠===⨯因为，所以.1π0,2D BF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦1π6D BF ∠=故选：C.7. 已知分别为三个内角的对边，且满足,,a b c ABC ,,A BC 2cos ,(cos )a b C b c a C C =+=+，则的形状为（ ） ABC A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】分别利用正弦定理和余弦定理即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，(cos )b c a C C +=+，sin sin sin (cos )sin cos sin B C A C C A C A C +=+=因为，所以，πA B C ++=π()B A C =-+则有，sin()sin sin cos sin A C C A C A C ++=+即，sin cos cos sin sin sin cos sin A C A C C A C A C ++=所以，因为，所以，cos sin sin sin A C C A C +=(0,π)C ∈sin 0C≠，即，因为，cos 1A A -=π1sin()62A -=(0,π)A ∈所以或，则或（舍去）.ππ66A -=π5π66A -=π3A =πA =又因为，由正弦定理可得， 2cos a b C =sin 2sin cos A B C =因为，所以，πA B C ++=π()A B C =-+则，化简整理可得，， sin()2sin cos B C B C +=sin()0B C -=所以，又因为，所以为等边三角形， B C =π3A =ABC 故选：C.8. 已知梯形，且为平面内一点，则,ABCD AB CD ∥22,1,,AB CD AD AB AD P ===⊥ABCD 的最小值是（ ）()PC PB PC ⋅+A. B. C. D. 214-12-32-【答案】A 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出和的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结PC PB PC +果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，因为，则，，设，22,1AB CD AD ===(1,1)C (2,0)B (,)P x y 所以，，故，(1,1)PC x y =-- (2,)PB x y =-- (32,12)PB PC x y +=--所以2222531()(1)(32)(1)(12)225342[((]444PC PB PC x x y y x y x y x y ⋅+=--+--=+--+=-+--，又为平面内一点，故当时，取到最小值.P ABCD 53,44x y ==()PC PB PC ⋅+ 14-故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） 20231ii z +=i A. 的虚部是 z 1-B.1i z =--C. 若复数满足，则的最大值是0z 01z z -=0z 1+D. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则 z x 220x x b ++=2b =【答案】BCD 【解析】【分析】化简得到，，的虚部是，A 错误，，B 正确，1i z =-+z =z 11i z =--C 正确，代入计算得到D 正确，得到答案.011z z ≤+=+【详解】，，202331i 1i 1i1i i i iz -+++====-+z =对选项A ：的虚部是，错误； z 1对选项B ：，正确；1i z =--对选项C ：，故 001z z z z -=≥-011z z ≤+=对选项D ：，即，故，正确； ()()21i 21i 0b -++-++=20b --=2b =故选：BCD.10. 已知向量，，，设的夹角为，则（ ）()2,3a b += ()4,1a b -=- ()2,1c = ,a bθA.B.|2|26b a +=ac ⊥C. D. b c∥cos θ=【答案】BD 【解析】【分析】根据向量的坐标运算得到，，计算，A 错误，，()1,2a =- ()3,1b = 2b a += 0a c ⋅=B正确，与不平行，C 错误，计算夹角得到D 正确，得到答案.b c【详解】设，，则， ()11,a x y = ()22,b x y = ()()1212,2,3a b x x y y +=++=，故，，()()1212,4,1a b x x y y -=--=-121224x x x x +=⎧⎨-=-⎩121231y y y y +=⎧⎨-=⎩解得，，故，，1213x x =-⎧⎨=⎩1221y y =⎧⎨=⎩()1,2a =- ()3,1b = 对选项A ：，故，错误； ()21,5b a +=2b a += 对选项B ：，故，正确；()()01,22,1a c =⋅=-⋅ a c ⊥对选项C ：，故与不平行，错误；3112⨯≠⨯b c对选项D ：，正确；cos a b a bθ⋅===⋅ 故选：BD.11. 在中，内角所对的边分别为，已知，ABC ,,A B C ,,a b c 221sin sin (sin sin )cos B C B C A +=++则（ ） A. 23A π=B. 若是底边为为其内心，则ABC N ::NBC NAC NAB S S S =△△△C. 若，则的周长为157,15a bc ==ABC D. 若，则0,2OA OB OC a ++== OBC S ≤△【答案】ACD 【解析】【分析】分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的相关知识进行求解即可. 【详解】由可得，221sin sin (sin sin )cos B C B C A +=++，则，2221sin sin sin sin cos B C B C A =+++222sin sin sin sin sin A B C B C =++由正弦定理可得，，由余弦定理可得，A 为三角形内角， 222a b c bc =++2221cos 22b c a A bc +-==-所以，故选项A 正确； 2π3A =若是底边为的等腰三角形，因为，则， ABC 2π3A =2BC ABAC ===设内切圆圆心为， ABC r 则，故选项B 错误； 111:::::1:1222NBC NAC NAB S S S BC r AC r AB r =⋅⋅⋅= 若，因为，由余弦定理可得， 7,15a bc ==2π3A =2222()a b c bc b c bc =++=+-所以，则的周长为15，故选项C 正确；8+=b c ABC 因为，所以为的重心，则，0OA OB OC ++= O ABC 13OBC ABC S S =△△因为，由余弦定理可得（当且仅当时去等号）， 2π3A =2223a b c bc bc =++≥b c =则，所以，故选项D 正确， 43bc ≤111sin 332OBC ABC S S bc A ==⨯≤ 故选：ACD.12. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球），阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．亦可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比．若已知该比值为的圆锥，其母线长为，底面半径为，轴截面如图所12l r 示，则（ ）A. 若，则1r =3l =B. C. 用过顶点的平面去截圆锥，则所得的截面图形可以为直角三角形AD. 若一只小蚂蚁从点出发，沿着圆锥的侧面爬行一周到达 B G 【答案】ABD 【解析】【分析】先证明圆锥容球定理，写出推导过程，推出其中几何尺寸之间的代数关系，再根据本题的几何特征逐项分析.【详解】如图，O 为内切球的球心，设圆锥的高为，内切球的半径为R ， AD h =则，，()()2222222,,,CE r OD R l r h AO h R R l r ==-==-=+-()l r r h R-∴=又三角形ABC 的面积，， ()1122222S rh l r R =⨯=+()()(),l r R l r r l r R h r R r+-+∴=∴= ①即， 22R l rr l r-=+ ②设内切球的体积为，圆锥的体积为，内切球的表面积为，圆锥的表面积为，1V 2V 1S 2S 则有，将①代入上式得， 3312224π4π31ππ3R V R V r h r h ==()321122224π4ππππV S R R l r R V rl r S rr ===++由题意，，，将②代入上式得：， 21224π1ππ2V R V rl r ==+()28R r l r ∴=+()()28r l r l r -=+即，所以当时，，A 正确；22960,3l r lr l r +-==1r =3l =由②式得：，由式得：，B 正确； 2221,42R r R r r ===①h =sin h ACB l ∴∠==由于圆锥的对称性，过A 点的平面截圆锥所得的图形必定是等腰三角形，其顶角最大为， BAC ∠由于，，C错误； ()()()22222222233,2,AB AC r r BC r AB AC BC +=+=∴+>π2BAC ∠<对于D ，圆锥展开后的扇形如下图：在上图的扇形中，，由前面的计算知：，， 2π2π33r BAC r ∠==2AG r =3AB r =由余弦定理得：，D 正确； 22222cos 19,BG AB AG AB AG BAC r BG =+-∠=∴= 故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中16题第一空2分，第二空3分．13. 已知一组数据1，2，，4，5的平均数为3，则这组数据的方差为__________． m 【答案】2 【解析】【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差. m 【详解】依题意，所以方差为12453,35m m ++++==.()()()()()22222113233343535⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦[]1411425=⨯+++=故答案为：.214. 已知外接圆的圆心为，且是与方向相同的单ABC O ||||,||||1,AB AC AB AC OA AB e +=-== BC位向量，则在上的投影向量为__________． BABC【答案】12e 【解析】【分析】根据题意结合数量积的运算律分析可得，进而可得，结合投影向量运AB AC ⊥60ABC ∠=︒算求解即可.【详解】因为，即，||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 则，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 整理得，即，则为圆的直径，0AB AC ⋅= AB AC ⊥BC O 又因为，则为等边三角形，即， 1OB OA AB ===u u u r u u r u u u rOAB 60ABC ∠=︒所以在上的投影向量为.BA BC()11cos 122BA ABC e e e ⎛⎫∠=⨯= ⎪⎝⎭u u rr r r 故答案为：. 12e15. 直三棱柱的底面的直观图如图所示，其中，且111ABC A B C -ABC A B C '''2,1A B A C ''''==13AA =，则直三棱柱外接球的表面积为__________．111ABC A B C -【答案】 17π【解析】【分析】根据条件得出底面是等腰直角三角形，将把直三棱柱补成长方体，再利用ABC 111ABC A B C -长方体体对角线长即长方体外接球的直径，从而求出结果.【详解】因为在底面的直观图中，，由斜二测法知，底面中，ABC A B C '''2,1A B A C ''''==ABC ，且，2AB AC ==90CAB ∠=︒如图，把直三棱柱补成长方体，则长方体的体对线长是直三棱柱外接球的111ABC A B C -111ABC A B C -直径，设外接球的半径为，又，，所以，R 13AA =2AB AC ==12AD R ===故直三棱柱外接球的表面积为111ABC A B C -24π17πS R ==故答案为：.17π16. 在中，为的中点，的平分线分别交于点，且，ABC D AC A ∠BC BD 、E O 、2,6AB AC ==，则__________；__________．60BAC ∠=︒AE =cos EOD ∠=【答案】 ①.②. ##【解析】【分析】利用余弦定理求出，并借助三角形面积公式及角平分线求出，再用余弦定理求出；BC BE AE 然后利用向量数量积求出夹角余弦作答. 【详解】在中，由余弦定理得ABCBC ===因为平分，则，有， AE BAC ∠1sin 301213sin 302ABEACEAB AE S BE AB CE S ACAC AE ⋅====⋅14BE BC ==在中，，即有， ABE ABC BAC BAE ∠>∠>∠AE BE >=由，即，解得； 2222cos30BE AB AE AB AE =+-⋅2744AE =+-=AE 显然，则，12BD AC AB =- 2221136426cos 60744BD AC AB AC AB =+-⋅=⨯+-⨯=即，又，||BD =111()(3)444AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 于是2211(3)(2)(6)88AE BD AB AC AC AB AB AC AB AC ⋅=+⋅-=-++⋅ ， 19(643626cos 60)84=-⨯++⨯= 因此cos cos ,||||AE BD EOD AE BD AE BD ⋅∠=〈〉===所以，=AE cosEOD ∠=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）已知复数．若为纯虚数，求的值； ()2256232i,R z m m m m m =-++--∈z m （2）已知复数，若满足，求的值．i(,R)z a b a b =+∈z i 153i z z z ⋅+=+,a b【答案】（1）；（2）或 3m =33a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）是纯虚数，则复数实部为0虚部不为0，计算得到答案.z （2）设，代入计算得到，解得答案. i z a b =+22315a a b b =⎧⎨+-=⎩【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得．z 225602320m m m m ⎧-+=⎨--≠⎩3m =（2）设，所以，i z a b =+i z a b =-．22i (i)(i)i(i)i 153i z z z a b a b a b a b b a ⋅+=+-++=+-+=+所以，解得或. 22315a a b b =⎧⎨+-=⎩33a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=-⎩18. 某高校为了对该校研究生的思想道德进行教育指导，对该校120名研究生进行考试，并将考试的分值（百分制）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．已[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100] 知，分值在的人数为15．2b a c =+[]90,100（1）求图中的值；,,a b c （2）若思想道德分值的平均数、中位数均超过75分，则认为该校研究生思想道德良好，试判断该校研究生的思想道德是否良好．【答案】（1），，0.0275a =0.02b =0.0125c =（2）该学校研究生思想道德良好． 【解析】【分析】（1）根据频率确定，再根据频率和为1计算得到答案. 0.0125c =（2）分别根据公式计算平均数和中位数，比较得到答案.【小问1详解】分值在的人数为15人，所以的频率为，即． [90,100][90,100]15=0.1251200.0125c =，又，所以，2a c b +=(0.030.00750.0025)101a b c +++++⨯=0.06a c b ++=解得，. 0.02b =0.0275a =【小问2详解】 这组数据的平均数为：，450.025550.075650.2750.3850.275950.1257675⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>前组频率和为， 3()100.00250.00750.020.3⨯++=前组频率和为，4()100.00250.00750.020.030.6⨯+++=故这组数据的中位数满足，解得， m 0.50.3(70)0.03m -=-⨯76.775m =>所以该学校研究生思想道德良好．19. 如图，在四棱台中，底面是正方形，侧面底面是ABCD PQSH -ABCD PADH ⊥,ABCD PAD 正三角形，是底面的中心，是线段上的点．N ABCD M PD（1）当//平面时，求证：平面；MN PABQ AM ⊥PCD （2）求二面角的余弦值． P BC A --【答案】（1）证明见解析（2． 【解析】【分析】（1）连接，证得，由底面是正方形，所以，根据面面垂直的PB MN PB ∥ABCD CD AD ⊥性质，证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证CD ⊥PADH CD AM ⊥AM PD ⊥得平面；AM⊥PCD （2）取的中点分别为，连接，证得即为所求二面角的,AD BC ,G O ,,PG PO GO POG ∠P BC A --平面角，在直角中，结合，即可求解. PGO △cos GOPOG PO∠=【小问1详解】 证明：连接，PB 因为平面，平面，且平面平面， //MN PABQ MN ⊂PBD PBD PABQ PB =所以，MN PB ∥又因为在中，是的中点，所以是的中点，PBD △N BD M PD 因为底面是正方形，所以，又因为平面平面， ABCD CD AD ⊥PADH ⊥ABCD 平面平面平面，所以平面， PADH ⋂,ABCD AD CD =⊂ABCD CD ⊥PADH 因为平面，所以，所以是正三角形， AM ⊂PADH CD AM ⊥PAD 所以，因为，且平面，所以平面．AM PD ⊥PD CD D ⋂=,PD CD ⊂PCD AM ⊥PCD 【小问2详解】解：取的中点分别为，连接， ,AD BC ,G O ,,PG PO GO 所以是正三角形，所以，PAD PG AD ⊥因为平面平面，平面平面，平面， PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PG ⊂PAD 所以平面，PG ⊥ABCD 因为平面，所以，BC ⊂ABCD PG BC ⊥又因为且平面，所以平面，BC GO ⊥,,PG GO G PG GO =⊂ PGO BC⊥PGO 因为平面，所以，则即为所求二面角的平面角， PO ⊂PGO BC PO ⊥POG ∠P BC A --设，则， AD a =,GO a PG ==在直角中，，所以， PGO △PO =cos GO POG PO ∠==即所求二面角． P BC A --20. 已知半圆圆心为，直径为半圆弧上靠近点的三等分点，以为邻边作平行四边O 4,AB C =A ,AO AC 形，且，如图所示，设AODC 2ED CE =,OC a AD b ==（1）若，求的值；OE a b λμ=+λμ+（2）在线段上是否存在一点，使得?若存在，确定点的位置，并求；若不存AC F DF OE ⊥F ||AF 在，请说明理由．【答案】（1）1 （2）存在，为线段靠近的四等分点，AC C 3||2AF = 【解析】【分析】（1）法一：以作为基底向量，利用平面向量的线性运算法则表示向量，结,OC a AD b == OE合平面向量基本定理列方程求得，即可得的值；法二：建立平面直角坐标系，利用向量的坐标,λμλμ+运算，列方程求解的值，即可得的值；,λμλμ+（2）法一：令，由得数量积为，根据向量的线性运算即可列方程求解即可得答AF t AC = DF OE ⊥0案；法二：根据数量积的坐标运算求解即可. 【小问1详解】法一：因为半圆弧上靠近点的三等分点，C A60AOC ∴∠=︒又因，则为正三角形且平行四边形为菱形AO CO =AOC AODC2ED CE = 为线段靠近的三等分点E ∴CD C因，令,OC a AD b ==AD OC K ⋂=∴1111151()3332266OE OC CE a CD a KD KC a b a a b ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ ，则51,66λμ==∴1λμ+=法二：如图，以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系O AB xxOy因为半圆弧上靠近点的三等分点，C A 且为正三角形、平行四边形为菱形60AOC ∴∠=︒,AOC COD AODC 则(2,0),(2,0),(A B C D --为线段靠近的三等分点2ED CE E =∴CD C ，故13E ⎛∴- ⎝13OE ⎛=- ⎝(a OC b AD ==-==OE a b λμ=+((13133λμλμ⎧-+=-⎪⎛∴-=-+∴ ⎝+=56116λλμμ⎧=⎪⎪∴∴+=⎨⎪=⎪⎩【小问2详解】法一：存在点，使得F DF OE ⊥令因平行四边形为菱形，所以AF t AC = AODC 0,||2,||a b a b ⋅===112()2222t t DF AF AD t AC b t KC KA b t a b b a b -⎛⎫=-=-=--=+-=+ ⎪⎝⎭2251252524120662212121212t t ta t t t DF OE a b a b b ---⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 34t ∴=则为线段靠近的四等分点3,4AF AC F =AC C 且33||||42AF AC == 法二：存在点，使得F DF OE ⊥令()AF t ACt t ===(3,()(DF DA AF t t ∴=+=-+=-33303t DF OE t -∴⋅=-+-=34t ∴=则为线段靠近的四等分点3,4AF AC F =AC C 且.33||||42AF AC == 21. 今年“五一”假期，“进淄赶烤”成为最火旅游路线，全国各地游客纷纷涌向淄博，感受疫情后第一个最具人间烟火气的假期．某地为了吸引各地游客，也开始动工兴建集就餐娱乐于一体的休闲区如图，在的长均为60米的区域内，拟修建娱乐区、就餐区、儿童乐园区，其中为了2π,,3BAC AB AC ∠=ABC 保证游客能及时就餐，设定就餐区域中．AEF △π3EAF ∠=（1）为了增加区域的美感，将在各区域分隔段与处加装灯带，若，则灯带AE AF π12CAF ∠=总长为多少米？AE AF +（2）就餐区域的面积最小值为多少平方米？ AEF △【答案】（1）（2）平方米【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理即可求解；（2）利用正弦定理和三角形面积公式求出面积的表达式，然后利用正弦函数的图象和性质即可求解. 【小问1详解】因为为等腰角形，且顶角为，所以， ABC 2π3π6B C ==在中，由，则， AFC △ππ,126CAF C ∠==3π4CFA ∠=由正弦定理， πsin sin6AC AFCFA=∠12AF =中， AF ∴==ABE ππππ,31246BAE B ∠=-==则，由正弦定理可得， 7π12AEB ∠=πsin sin 6AB AEAE AEB=∴==-∠，所以灯带总长为.AE AF ∴+=AE AF +【小问2详解】设，则， CAF θ∠=π3BAE θ∠=-由正弦定理可， 3030,5πcos sin 6AF AE θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭1πsin 23AEF S AE AF ∴=⨯⨯=△=，πππ5π0,2,3666θθ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当即时，，ππ262θ+=π6θ=πsin 216θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭面积最小为AEF S =△所以就餐区域面积最小值为平方米.22. 如图①，在梯形中，，，，将ABCD ,2,60AB CD AB A =∠=︒∥90ABD Ð=°45CBD ∠=︒沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交ABD △BD A BD ' A C '=B A C '于点．,A D A C '',E F（1）求证：平面； BE ⊥A CD '（2）求点到平面的距离． F A BD '【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用线面垂直的判定定理和性质得到，最后CD A D '⊥CD BE ⊥利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）方法一：通过作垂线的方法得到垂线段的长度即为点到平面的距离，然后求距离即FG F A BD '可；方法二：利用等体积的方法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 证明：如图①，，，，， 2AB = 60A ∠=︒90ABD ∠=︒45CBD ∠=︒，，4AD ∴=BD CD ==如图②，∵，，，4A D '=CD =A C '=，222A D CD A C ∴+=''，CD A D '∴⊥，且，平面，CD BD ⊥ A D BD D '= ,A D BD '⊂A BD '平面，CD \^A BD '又平面，，BE ⊂ A BD 'CD BE ∴⊥平面，且平面，，A C '⊥ BEF BE ⊂BEF BE A C '∴⊥又，且平面，平面．A C CD C '⋂= ,A C CD '⊂A CD 'BE ∴⊥A CD '【小问2详解】方法一：过点作，垂足为，由（1）知平面， F FG A D '⊥G BE ⊥A CD '而平面，FG ⊂A CD '，BE FG ∴⊥且，平面，平面， A D BE E '⋂=,A D BE '⊂A CD 'FG ∴⊥A BD '则垂线段的长度即为点到平面的距离．FG F A BD '在中，，，A BC ' 2AB '=BC =A C '=，222A B CB A C ''∴+=，BC A B '∴⊥由已知得，则 BF A C '⊥A F '=由（1）知，，， CD A D '⊥A F FG A C CD '∴='FG ∴=即点到平面． F A BD '方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离， F A BD 'F A BE '由（1）知平面，平面，， BE ⊥A CD 'A D '⊂A CD 'BE AD ∴⊥在直角三角形中，，，，A BD '2AB '=4A D '=BD =由等面积得，， 1122A B BD A D BE ''⨯⨯=⨯⨯即，， A B BD BE A D'⨯=='1A E '∴=平面，且平面，，A C '⊥ BEF EF ⊂BEF EF A C ∴⊥'由（1）知，∽，， CD A D '⊥A FE '∴△A DC ' A F A D A E A C ''∴=''A F '∴=则在直角三角形中， A FE 'EF =设点到平面的距离为， F A BE 'd 在三棱锥中，由等体积得，，F A BE '-F A BE B A EF V V ''--=即 1133A BE A EF d S BE S ''⨯⨯=⨯⨯ △， 11113232d BE A E BE EF A F ''∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， d ∴=即点到平面． F A BD '。
