第一章 1.3.1 第2课时

课题 1.3.1有理数的加法（2）备课时间序号授课时间主备人授课班级七年级课标要求理解有理数的运算律，能解决简单问题。

教学目标知识与技能：能用运算律简化有理数加法的运算。

过程与方法：经历有理数加法运算律的探索过程，理解有理数加法的运算律。

情感态度价值观：使学生逐渐养成，“算必讲理”的习惯，培养学生初步的推理能力与表达能力。

教学重点加法交换律和结合律，及其合理、灵活的运用教学难点合理运用运算律教学方法类比教学过程设计师生活动设计意图一、引出课题回顾复习：小学时已学过的加法运算律有哪几条？提出问题：这些运算律在有理数加法中适用吗？这就是这节课我们要研究的课题。

二、分析问题、探究新知1.有理数加法交换律的学习问题1：我们如何知道加法交换律在有理数范围内是否适用？问题2：我们如何用语言来叙述有理数加法的交换律呢？教师归纳后板书：“有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

”问题3 :你能把有理数加法的交换律用字母来表示吗？〔1〕式子中的字母分别表示任意的一个有理数。

（如：既可成表示整数，也可以表示分数；既可以表示正数，也可以表示负数或0）。

（2）在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．2.有理数加法结合律的学习．（基本步骤同于加法交换律的学习）学生回答后教师接着问：你能用自己的语言或举例子来说明一下加法的交换律与结合律吗？先由教师举一些实际例子来说明，然后鼓励学生举不同的数来验证由学生回答得出a+b=b+a后，教师说明“加法运算律对所有有理数都成立”目前只能直接给出，让学生举例尝试只起到验证的作用．要让学生举不同的数验证，是为避免学生只由一个例子即得出某种结论．鼓动学生用自己的语言表达所发现的贻论或规律．让学生感受字母表示数的含义，同时也让学生体会到数学符号语言的简洁性板书设计：1.3.1 有理数的加法有理数的加法中，两个数相加， 交换加数的位置，和不变。

加法交换律：a+b=b+a有理数的加法中，三个数相加， 先把前两个数相加，或者先把 后两数相加，和不变。

人教版七年级上册数学第一章有理数基础《1.3.1课时2有理数的加法运算律》题型1 有理数的加法运算律1.[2018重庆江津第二中学等重点中学八校阶段测试]计算5+(-3)+7+(-9)+12=(5+7+12)+ [(-3)+(-9)]是应用了（）A.加法的交换律B.加法的结合律C.加法的分配律D.加法的交换律与结合律2.[2019湖北黄冈校级质量检测]下列变形，运用运算律正确的是（）A. 5(3)35+-=+B. 8(5)9(5)89+-+=-++C. [6(3)]5[6(5)]3+-+=+-+D. 1212(2)(2) 3333⎛⎫⎛⎫+-++=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.运用加法交换律和结合律计算：（1）3(10)73+-+=______7_____(10)-=_______；（2）(-6)+12+(-3)+(-5)=[(-6)______(-3)_______5](-)_______12=_______. 题型2 运用有理数加法运算律计算4.[2019湖北宜城校级月考]计算43+（-77）+27+（-43）的结果是（）A.50B.-104C.-50D.1045.在5，-2，7，-6中，任意三个不同的数相加，其中最小的和是（）A.10B.6C.-3D.-16.|-3|+|+3|+|-4|的值是（）A.10B.2C.4D.-47.[2019山东菏泽校级期中]主持人问这样一道题目：a是最小的正整数，b是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，请问：a，b，c三数之和是（）A.-1B.0C.1D.28.[2019山东滕州校级月考]计算：5213(15.5)65772⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭___________.9.某地气温在早上7时测得温度为-0.5摄氏度，到10时上升了0.5摄氏度，到中午12时又上升了0.5摄氏度，则在12时的温度是________摄氏度.10.计算（1）(-12.56)+(-7.25)+3.01+(-10.01)+7.25；（2）121 546333⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）23+(-72)+(-22)+57+(-16)；（4）1117 2.254( 2.5)2 3.4425⎛⎫⎛⎫+-+-+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11.[2019山东省淄博临淄区期中]有5筐菜，以每筐50千克为标准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：+3，-6，-4，+2，-1，总计超过或不足多少千克？5筐蔬菜的总质量是多少千克？刷易错易错点带分数相加，拆分成整数和分数部分时弄错符号致错12.计算：51113324(2)6565⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.参考答案1.答案：D解析：5+(-3)+7+(-9)+12=(5+7+12)+[(-3)+(-9)]，故用了加法的交换律与结合律.故选D.2.答案：B解析：A 选项中，5+(-3)=(-3)+5；C 选项中，[6+(-3)]+5=(6+5)+(-3)；D 选项中1(2)3+-+212(2)333⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只有B 选项正确.故选B. 3.答案：（1）++0（2）+++-2解析：根据加法交换律和结合律，易得（1）3+(-10)+7=3+7+(-10)=0；（2）(-6)+12+(-3)+(-5)=[(-6)+(-3)+(-5)]+12=-2.4.答案：C解析：先将互为相反数的两数相加，然后再依据加法法则进行计算即可原式=[(-43+43)]+[(-77+27)]=-50.故选C.5.答案：C解析：由题意，得-2，5，-6是三个最小的数，(-2)+(-6)+5=-3.故选C.6.答案：A解析：原式=3+3+4=10.故选A.7.答案：B解析：根据题意，得1a =，1b =-，0c =，则 0a b c ++=.故选B.8.答案：0 解析：原式5213615.5510100772⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 9.答案：0.5解析：由题意，可知12时的温度为-0.5+0.5+0.5，即0.5摄氏度.10.答案：见解析解析：（1）原式=[(-12.56)+(-7.25)+7.25]+[3.01+(-10.01)]=-19.56；（2）原式112256453333⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）原式(2357)[(72)(22)(16)]30=++-+-+-=-；（4）原式 2.25( 4.25)( 2.5) 2.5 3.4( 3.4)2=+-+-+++-=-.11.答案：见解析解析：与标准质量比较，5筐菜总计超过3+(-6)+(-4)+2+(-1)=-6（千克）；5筐蔬菜的总质量为505(6)244⨯+-=（千克）.答：总计不足6千克，5筐蔬菜的总质量是244千克.12.答案：见解析 解析：原式5111(3)(3)(2)4(2)[(3)(3)(2)4(2)]6565⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+-+++-=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()5111(6)176565⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 易错警示拆分带分数时易出现553366-=-+这样的错误，切记55533(3)666⎛⎫⎛⎫-=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。

第2课时有理数的加法运算律知能演练提升能力提升1.下列哪组数的和加上-111大于0()A.101,10B.0,|-106|C.-99,10D.-88,2002.下列使用加法的运算律最为合理的是()A.(-8)+(-5)+8=[(-8)+(-5)]+8B.C.(-2.6)+(+3.4)+(+1.7)+(-2.5)=[(-2.6)+(-2.5)]+[(+3.4)+(+1.7)]D.9+(-2)+(-4)+1+(-1)=[9+(-2)+(-4)+(-1)]+13.计算:(1)0.815+6.25+5.185=;(2)(-3.125)+(-4.5)+(-6.875)=.4.绝对值小于2 019的整数有个,它们的和是.5.已知数学成绩85分以上为优秀,以85分为基准作简记,例如:89分记为+4,83分记为-2.张老师将七年级6名同学的成绩简记为+7,-5,0,+15,+6,-5,则这6名同学的数学平均成绩为分.★6.计算:(-1)+(+2)+(-3)+(+4)+…+(-99)+(+100)+…+(+2 014)+(-2 015)+(+2 016)+(-2017)=.7.计算:(1)(+5)+(-13)+9;(2)(-2.8)++(-1.2)+(-0.4);(3)0.85+(+2.75)++(-1.85)+(-5);(4).8.在抗洪抢险中,人民解放军驾驶冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民,早晨从A地出发,晚上到达B地.规定向东为正,当天航行记录如下(单位:km):16,-8,13,-9,12,-6,10.(1)B地在A地的哪侧?相距多远?(2)若冲锋舟每千米耗油0.45 L,则这一天共消耗了多少升油?9.用简便方法计算:某产粮专业户出售余粮10袋,每袋的质量如下(单位:kg):199,201,197,203,200,195,197,199,202,196.(1)如果每袋余粮以200 kg为标准,求这10袋余粮总计超过多少千克或者不足多少千克.(2)这10袋余粮一共有多少千克?创新应用★10.已知钟面上有1~12共12个数字,试在某些数字的前面添上负号,使钟面上的所有数字之和等于零.(只要写出其中的一种方法即可)11.某市食品药品监督管理局对标准容量为每瓶500 mL(误差允许范围±1.5 mL)的某品牌的冰红茶进行了一次抽检,抽取10瓶样品,编号1~10后进行检测,结果如图(单位:mL):(1)这10瓶冰红茶的总容量是多少?请尝试用简便方法解决.(2)单独从容量的角度分析,你对该批产品有何评价?参考答案知能演练·提升能力提升1.D-88+200+(-111)=1>0.2.C选项A应先把互为相反数的两个数相加;选项B应先把同分母的分数相加;选项D应先把相加得整数的两个数相加.3.(1)12.25(2)-14.5(1)原式=0.815+5.185+6.25=6+6.25=12.25;(2)原式=-(3.125+6.875+4.5)=-(10+4.5)=-14.5.4.4 0370绝对值小于2 019的整数为±2 018,±2 017,±2 016,…,±2,±1,0,共有2 018×2+1=4 037(个),除零外,其余整数两两互为相反数,故它们的和为0.5.88=88(分).6.-1 009原式=[(-1)+(+2)]+[(-3)+(+4)]+…+[(-99)+(+100)]+…+[(-2 013)+(+2 014)]+[(-2 015)+(+2 016)]+(-2 017)=-1 009.7.解(1)原式=[(+5)+9]+(-13)=14+(-13)=1.(2)原式=[(-2.8)+(-1.2)]+=-4.(3)原式=[0.85+(-1.85)]++(-5)=(-1)+(+2)+(-5)=-4.(4)原式==(-8)+(+4)=-4.8.解(1)16+(-8)+13+(-9)+12+(-6)+10=28(km),B地在A地的东侧,且两地相距28 km.(2)|16|+|-8|+|13|+|-9|+|12|+|-6|+|10|=74(km),74×0.45=33.3(L),故这一天共消耗油33.3 L.9.解(1)以200 kg为基准,超过200 kg的数记作正数,不足200 kg的数记作负数,则这10袋余粮的质量对应的数分别为-1,+1,-3,+3,0,-5,-3,-1,+2,-4.所以(-1)+(+1)+(-3)+(+3)+0+(-5)+(-3)+(-1)+(+2)+(-4)=-11(kg).答:这10袋余粮总计不足11 kg.(2)200×10+(-11)=2 000-11=1 989(kg).答:这10袋余粮一共有1 989 kg.创新应用10.分析由于1+2+…+12=(1+12)×12÷2=78,因此只需将和分为+39与-39两部分即可.解答案不唯一,如1+2+3+4+5+(-6)+7+8+9+(-10)+(-11)+(-12)=(1+2+3+4+5+7+8+9)+[(-6)+(-10)+(-11)+(-12)]=39+(-39)=0.11.解(1)用正、负数表示每瓶容量偏离标准容量的数值分别为-1.1,-0.5,+0.5,+1.1,+0.2,-0.4,-0.2,+0.8,+1.5,+0.9.这10瓶冰红茶容量分别与标准容量的偏差值的总和是(-1.1)+(-0.5)+0.5+1.1+0.2+(-0.4)+(-0.2)+0.8+1.5+0.9=[(-1.1)+1.1]+[(-0.5)+0.5]+[(-0.2)+0.2]+(-0.4)+0.8+1.5+0.9=2.8(mL).这10瓶冰红茶的总容量为500×10+2.8=5 002.8(mL).(2)单独从容量的角度分析,该品牌的冰红茶单瓶容量都在国家误差允许范围内,并且大部分都超过标准容量,质量有保证,值得信赖.二元一次方程组的应用(第1课时)(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.小颖家离学校1200米3千米/时,下坡路的平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分钟,下坡用了y 分钟,根据题意可列方程组为( ) A. B.C. D.2.(2013·潍坊中考)为了研究吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了10000人,并进行统计分析.结果显示:在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%,在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%,吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人.如果设这10000人中,吸烟者患肺癌的人数为x,不吸烟者患肺癌的人数为y,根据题意,下面列出的方程组正确的是( )A.B.C.D.3.已知甲、乙两种商品的进价和为100元,为促销而打折销售,若甲商品打8折,乙商品打6折,则可赚50元;若甲商品打6折,乙商品打8折,则可赚30元,则甲、乙两种商品的定价分别是( )A.50元,150元B.150元,50元C.100元,50元D.50元,100元二、填空题(每小题4分,共12分)4.甲种电影票每张20元,乙种电影票每张15元.若购买甲,乙两种电影票共40张,恰好用去700元,则甲种电影票买了张.5.学校组织一次有关历史知识的竞赛,共有20道题,每一题答对得5分,答错或不答都倒扣1分,小明最终得了76分,那么他答对道题.6.一个长方形的长减少5cm,宽增加2cm,就变成了一个正方形,并且这两个图形的面积相等,则原长方形的面积为cm2.三、解答题(共26分)7.(8分)(2013·8.(8分)(2013·宜宾中考)2013年4月20日,四川省芦山县发生7.0级强烈地震,造成大量的房屋损毁,急需大量帐篷.某企业接到任务,须在规定时间内生产一批帐篷.如果按原来的生产速度,每天生产120顶帐篷,那么在规定时间内只能完成任务的90%.为按时完成任务,该企业所有人员都支援到生产第一线,这样,每天能生产160顶帐篷,刚好提前一天完成任务.问规定时间是多少天?生产任务是多少顶帐篷?【拓展延伸】9.(10分)一辆汽车从A地驶往B地,前路段为普通公路,其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h,在高速公路上行驶的速度为100km/h“路程”或“时间”,提出一个用二元一次方程组解决的问题,并写出解题过程.答案解析1.【解析】选 B.第一个等量关系式为:x+y=1.2,第二个等量关系式为:x+y=16,构成方程组2.【解析】选B.根据“吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人”所得的方程是x-y=22;调查的吸烟的人数是,不吸烟的人数是,根据共调查了10000人,列方程得+=10000,所以可列方程组3.【解析】选B.设甲的定价为x元,乙的定价为y元.则解得:4.【解析】设购买甲种电影票x张,乙种电影票y张,由题意得解得即甲种电影票买了20张.答案:20【归纳整合】二元一次方程组的优点当我们遇到两个量之间出现两种等量关系时,可以考虑列二元一次方程组解题.虽然本题也可列一元一次方程,但相比较而言,列二元一次方程组比列一元一次方程更好.5.【解析】设他答对x道题,答错或不答y道题.根据题意,得解得答案:166.【解析】设长方形的长为xcm,宽为ycm,则根据题意得解这个方程组得所以长方形的面积xy=.答案:7.【解析】设大宿舍有x间,小宿舍有y间,根据题意得解得答:大宿舍有30间,小宿舍有20间.8.【解析】设规定时间为x天,生产任务是y顶帐篷,由题意得,解得答:规定时间是6天,生产任务是800顶帐篷.9.【解析】本题答案不唯一,方法一:问题:普通公路段和高速公路段各长多少千米?设普通公路段长为xkm,高速公路段长为ykm.由题意可得:解得答:普通公路段长为60km,高速公路段长为120km.方法二:问题:汽车在普通公路段和高速公路段上各行驶了多少小时?设汽车在普通公路段上行驶了xh,在高速公路段上行驶了yh.由题意可得:解得:答:汽车在普通公路段上行驶了1h,在高速公路段上行驶了1.2h.8.3 实际问题与二元一次方程组第3课时实际问题与二元一次方程组(3)——探究3一、导学1.导入课题:在上两节课的基础上，这节课我们继续来学习用列表分析的方式设未知数，列方程组来解应用题.2.学习目标:（1）巩固列方程组解应用题的一般步骤.（2）学会用列表的方式分析问题中蕴含的数量关系，并列二元一次方程组.3.学习重点、难点:借助列表分析问题中蕴含的数量关系，并列二元一次方程组.4.自学指导:（1）自学内容：课本P100~P101探究3.（2）自学时间：10分钟.（3）自学要求：认真阅读课文，注意探究3中的一些条件是用示意图给出的，能从图中正确获取信息，并会列表整理这些信息.（4）探究提纲：①要求的问题是：销售款-（原料费＋运输费）.其中运输费包括公路运费和铁路运费，它们分别为15000元和97200元.因此，需要求出销售额和原料费，又销售款＝产品销售单价×产品数量，原料费＝原料购进单价×原料数量，结合已知条件分析，需先求出产品数量和原料数量.②设制成xt产品，购买yt原料，根据题中数量关系填写下表：产品xt（从工厂到B地）原料yt（从A地到工厂）合计由上表，列方程组1.5201015000 1.211012097200.x yx y+=⎧⎨+=⎩（）（）③解②中方程组，得300400 xy=⎧⎨=⎩.因此，销售款为2400000元，原料费为400000元，销售款比原料费与运输费的和多1887800元.二、自学同学们结合探究提纲相互交流研讨学习.三、助学1.师助生：（1）明了学情：教师深入课堂，了解学生的自学进度和存在的问题.①是否弄清解题思路.②能否理顺题中数量关系.（2）差异指导：对少数学有困难的学生进行引导.2.生助生：小组内学生之间相互交流研讨，互帮互学.四、强化1.从图表获取信息的要点.设每餐甲、乙两种原料各x克，y克恰好满足病人的需要.(1)填表:（2）列方程组为0.50.7350.440；x yx y+=⎧⎨+=⎩（3）解方程组得2830 xy=⎧⎨=⎩；（4）答：每餐甲、乙两种原料各28克，30克恰好满足病人的需要.五、评价1.学生学习的自我评价：各小组长汇报本组的学习收获和不足.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法和收效进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的重点是让学生抓住实际问题的等量关系建立方程组模型，以此解决行程问题、图文信息问题和方案设计问题等.教学中采取让学生独立思考、合作交流等方式，帮助学生形成严谨的思维方式，养成良好的学习习惯.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）·km ），铁路运费为1元/（t ·km ），飞腾公司共支付公路运费750元，铁路运费4000元.根据以上信息计算：购进原料多少吨？加工后销往B 地的产品为多少吨？设购进原料xt ，加工后销往B 地的产品为yt.(1) 填表:(2) 根据上表中反映的信息列方程组为30157501501004000x y x y +=⎧⎨+=⎩； （3）解方程组得2010x y =⎧⎨=⎩； （4）答：购进原料20t.加工后销往B 地的产品为10t.2.(30分)A 地至B 地的航线长9750km ，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需12.5h ，它逆风飞行同样的航线需13h ，求飞机的平均速度与风速.解：设飞机的平均速度为xkm/h ，风速为ykm/h.由题意，得()12.59750139750.x y x y +⨯=⎧⎪⎨-⨯=⎪⎩（）， 化简，得780750.x y x y +=-=⎧⎨⎩，①②①+②，得2x=1530.解得x=765.把x=765代入①，得y=15.∴这个方程组的解为76515.x y =⎧⎨=⎩， 答：飞机的平均速度为765km/h ，风速为15km/h.二、综合运用（20分）3.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km ，平路每小时走4km ，下坡每小时走5km ，那么从甲地到乙地需54min ，从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少？解：设从甲地到乙地的上坡路为xkm，平路为ykm.由题意，得54346042.5460x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，①②解得1.53.1.1.6xx yy=⎧∴+=⎨=⎩，，答：甲地到乙地全程是3.1km.三、拓展延伸（20分）4.打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元.打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花多少钱？解：设打折前A商品每件x元，B商品每件y元.由题意，得60301080 5010840.x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得164.xy=⎧⎨=⎩，500x+500y=500×16+500×4=10000. 10000-9600=400（元）.答：比不打折少花400元.。

第一章1.3 1.3.1第二课时 函数的最大值、最小值课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标| 1．函数y ＝－|x |在R 上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．无最大值，有最小值0 C ．既无最大值，又无最小值 D ．以上都不对解析：选A 因为函数y ＝－|x |的图象如图所示，所以函数y ＝－|x |在R 上有最大值0，无最小值．2．函数y ＝x －1x 在[1,2]上的最大值为( ) A ．0 B ．32 C ．2D ．3解析：选B 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x 在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x 在[1,2]上是增函数． 当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．函数y ＝⎩⎨⎧x ＋3，x ＜1，－x ＋6，x ≥1的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 当x ＜1时，函数y ＝x ＋3单调递增，且有y ＜4，无最大值；当x ≥1时，函数y ＝－x ＋6单调递减，则在x ＝1处取得最大值为5.所以，函数在整个定义域内的最大值为5.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解析：选C 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， 所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2. 所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数f (x )＝x ＋x －2在[3,4]上的值域为________． 解析：∵函数f (x )＝x ＋x －2在[3,4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝3＋1＝4，f (x )max ＝f (4)＝4＋ 2. 答案：[4,4＋ 2 ]7．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b >0成立，且f (－3)＝m ，f (－1)＝n ，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是________．解析：由f (a )－f (b )a －b>0知f (x )在R 上为增函数， ∴f (x )在[－3，－1]上的最大值为f (－1)＝n .答案：n8．函数f (x )＝x －1的最小值是________． 解析：设x ＝t ，t ≥0，所以f (t )＝t 2－1，t ≥0. 所以f (x )＝x 2－1，x ≥0，因为f (x )＝x 2－1在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )的最小值为－1.即f (x )＝x －1的最小值是－1. 答案：－19．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由(x －1)2＋2＝3，得x ＝0或x ＝2.作出函数图象如图所示，由图象知，m 的取值范围是1≤m ≤2.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由表格得方程组⎩⎨⎧ 45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30,54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．‖层级二‖|应试能力达标|1．函数y ＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，1－x ，x ＜0的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选C 画出y ＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，1－x ，x ＜0的图象．由图象知，值域为[－1，＋∞)．2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C 设该公司在甲地销售x 辆(0≤x ≤15，x ∈N )，则在乙地销售(15－x )辆，公司获得利润为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30.故当x ＝9或10时，L 取得最大值120万元．3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2，2]解析：选C 要求函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域，只需求t ＝－x 2＋4x (x ∈[0,4])的值域即可．设二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4(x ∈[0,4])，所以f (x )的值域是[0,4]．因为t ＝f (x )，所以t 的值域是[0,2]，－t 的值域是[－2,0]．故函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是[0,2]．故选C.4．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2,4]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选B f (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，x ∈[0，m ]． 由最小值为1知m ≥2.又最大值为5，f (0)＝5，f (4)＝5. 所以2≤m ≤4.故选B.5．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________．解析：函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2,3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值，由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3，解得m ＝6. 故实数m 的值为6. 答案：66．用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值．设f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝x ＋2和y ＝10－x 的图象，如图所示．根据min{x ＋2,10－x }(x ≥0)的含义可知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x ＞4，所以函数f (x )的图象应为图中的实线部分．解方程x ＋2＝10－x 得x ＝4，此时y ＝6，故两图象的交点为(4,6)．观察图象知，f (x )的最大值为图象最高点的纵坐标，即f (x )的最大值为6.答案：67．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.解析：设矩形花园的宽为y m，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．答案：208．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式．解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可得g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.由Ruize收集整理。

1．函数f(x)(－2≤x ≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f(2)，f(-2)B ．f(12)，f(－1)C ．f(12)，f(－32)D ．f(12)，f(0)【解析】 根据函数最值定义，结合函数图象知，当x ＝－32时，有最小值f(－32)；当x ＝12时，有最大值f(12)．【答案】 C2．y ＝2x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )A ．1，12 B.12，1C.12，14D.14，12【解析】 因为y ＝2x 在[2,4]上单调递减，所以y max ＝22＝1，y min ＝24＝12.【答案】 A3．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝________.【解析】 若a<0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，a ＝3不满足a<0；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，a＝1，满足a>0，所以a＝1.【答案】 14．已知函数y＝－x2＋4x－2，x∈[0,5]．(1)写出函数的单调区间；(2)若x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．【解析】y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，x∈[0,5]．所以(1)此函数的单调区间为[0,2)，[2,5]；(2)此函数在区间[0,2)上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，结合函数的图象知：当x＝2时，函数取得最大值，最大值为2；又x＝3时，y＝1，x＝0时，y＝－2，所以函数的最小值为－2.一、选择题(每小题5分，共20分)1.函数y=|x-1|在[-2,2]上的最大值为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】函数y＝|x－1|的图象，如右图所示可知y max＝3.【答案】 D2．函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋8 x ∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值为( ) A ．10,7 B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对【解析】 本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x ≤1时，7≤x ＋8≤9.∴f(x)min ＝f(－1)＝7，f(x)max ＝f(2)＝10.【答案】 A3．函数f(x)＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值－14【解析】 f(x)＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2－14，∵－5＜－23＜5，∴无最大值f(x)min ＝f(－32)＝－14.【答案】 D4．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a(x ∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A ．－1B ．0C．1 D．2【解析】函数f(x)＝－x2＋4x＋a的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)＝－2，即a＝－2，于是最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1，故选C.【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝－3x，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)的值域为________．【解析】y＝－3x在(－∞，－3]及[3，＋∞)上单调递增，所以值域为(0,1]∪[－1,0)．【答案】(0,1]∪[－1,0)6．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为________．【解析】f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2＋1－a，对称轴x＝－1，当a＞0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝1 3，当a＜0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a＝－5.【答案】13或－5三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数y＝2x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．【解析】设x1、x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)= -== .由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以，函数y= 是区间[2,6]上的减函数．如上图．因此，函数y= 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.8．求f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．【解析】f(x)＝(x－a)2＋2－a2，当a≤2时，f(x)min＝f(2)＝6－4a；当2<a<4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2；当a≥4时，f(x)min＝f(4)＝18－8a.综上可知，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－4a (a ≤2)2－a 2 (2<a<4)18－8a (a ≥4)9．(10分)某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．摊主每天从报社买进多少份，才能使每月获得最大利润(设摊主每天从报社买进的份数是相同的)?【解析】 若设每天从报社买进x(180≤x ≤400，x ∈N )份，则每月(按30天计算)可销售(18x ＋12×180)份，每份获利0.20元，退回报社12(x －180)份，每份亏损0.35元，建立月纯利润函数，再求它的最大值．设每天从报社买进x 份报纸，每月获利为y 元，则有y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188,180≤x ≤400，x ∈N .函数y ＝－0.6x ＋1 188在区间[180,400]上是减函数，所以x ＝180时函数取最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.即摊主每天从报社买进180份时，每月获得的利润最大，最大利润为1 080元.。