分式与根式与答案

初三数学下册分式与根式的混合运算分式与根式是初中数学中的两个重要概念，它们在数学运算中起着重要的作用。

本文将针对初三数学下册的分式与根式的混合运算进行讨论，并提供一些解题方法和技巧。

一、分式的运算分式是指两个整数之间用分数线表示的数，有分子和分母两个部分。

对于分式的加减法运算，我们可以通过通分的方法将分式转化为相同分母的分式，然后进行分子的加减运算，并保持分母不变。

例如，计算以下分式的和：$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$解答：首先，将两个分式的分母取公倍数，本例中最小公倍数为4。

然后，将分子按照相同的倍数进行扩展。

因此，$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$可以转化为$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$。

最后，将两个分式的分子相加得到$\frac{5}{4}$。

因此，$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$。

对于分式的乘法运算，我们只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘。

例如，计算以下分式的积：$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}$解答：将分子相乘得到2乘以4等于8，分母相乘得到3乘以5等于15。

因此，$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{15}$。

对于分式的除法运算，我们将除法转化为乘法，并将第二个分式的分子与分母互换位置。

例如，计算以下分式的商：$\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}$解答：将除法转化为乘法，即$\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}$可以转化为$\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}$。

然后，将第二个分式的分子与分母互换位置，得到$\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$。

二、根式的运算根式是指具有形式$\sqrt[n]{x}$的数，其中$n$表示根的次数，$x$表示被开方数。

专题3 分式与二次根式一、单选题1．下列计算一定正确的是（ ）A ．2a 2b ⋅a 3=2a 5bB ．2a 2+a 3=2a 5C ．a a−1−1a−1=0D ．3a −a =32．计算 a+1a −1a 的结果为（ ）A ．1B ．-1C ．a+2aD ．a−2a3．分式 x+5x−2的值是零，则 x 的值为（ ）A ．5B ．-5C ．-2D ．24．（2021·章贡模拟）下列运算中，正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 5B ．(12)−1=−2 C ．(2021−√5)0=1D ．a 3•a 3＝2a 65．下列计算错误的是( )A ．a 2ab =a b(ab≠0 )B ．ab 2÷ 12b =2ab 3(b≠0)C ．2a 2b+3ab 2＝5a 3b 3D ．(ab 2)3＝a 3b 66．（2020·吉安模拟）下列计算正确的是（ ）A ．3x 2y +5xy =8x 3y 2B ．(x +y)2=x 2+y 2C ．(−2x)2÷x =4xD ．y x−y +xy−x =17．下列说法正确的是（ ）A ．若A 、B 表示两个不同的整式，则 A B一定是分式B ．(a 4)2÷a 4=a 2C ．若将分式 xyx+y 中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍 D ．若 3m =5,3n =4 则 32m−n =528．2019新型冠状病毒，因武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名“2019-nCoV”．冠状病毒是一个大型病毒家族，借助电子显微镜，我们可以看到这些病毒直径约为125纳米（1纳米=1 × 10-9米），125纳米用科学记数法表示等于（ ）米 A ．1.25 × 10-10 B ．1.25 × 10-11 C ．1.25 × 10-8D ．1.25 × 10-79．下列各等式中，正确是（ ）A ．－ √（−3）2 ＝－3B ．± √32 ＝3C ．( √−3 )2＝－3D ．√32 ＝±310．（2020·抚州模拟）下列计算正确的是（ ）A ．-（x -y ）2=-x 2-2xy -y 2B ．（- 12 xy 2）3=- 16x 3y 6C ．x 2y÷ 1y =x 2（y≠0）D ．（- 13 ）-2÷ 94=4二、填空题11．（2022·玉山模拟）计算12x −13x的结果是 ．12．（2022·石城模拟）已知 a ，b(a ≠b) 满足 a 2−2a −1=0 ， b 2−2b −1=0 ，则 ab +ba =． 13．（2022·瑞金模拟）使式子√x+3x−5有意义的x 的取值范围是 ．14．（2022·新余模拟）2021年10月11日，联合国《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议（COP15）在昆明正式拉开帷幕.在多彩的生物界，科学家发现世界上最小的开花结果植物是澳洲的出水浮萍，其质量仅有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示是 ．15．（2021·江西模拟）若二次根式 √2021−x 有意义，则x 的取值范围是 .16．（2020·安源模拟）今年世界各地发现新冠肺炎疫情，疫情是由一种新型冠状病毒引起的，疫情发生后，科学家第一时间采集了病毒样本进行研究.研究发现这种病毒的直径约85纳米（1纳米＝0.000000001米）.数据85纳米用科学记数法可以表示为 米．17．（2020·石城模拟）一种细菌的半径约为0.000045米，用科学记数法表示为 米．18．（2020·抚州模拟）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a※b= √a+b a−b，如3※2= √3+23−2=√5 ．那么4※8= ． 19．（2020七上·景德镇期中）已知： a =√5+√3 ， b =√5−√3，则 a 2−ab +b 2= ． 20．（2020八下·高安期末）计算： (2√13)⋅(13√27)= ． 三、计算题21．（2022七下·南康期末）计算下列各式的值：（1）√2(√2+2)；（2）√3(√31√3．22．（2022八下·新余期末）计算：（1）√28−|1−√7|−(√2022−1)0（2）(√3+2)2−√48+√8×√1223．（2022·瑞金模拟）（1）计算：(π−3)0+(13)−1−√12+2sin60° （2）化简：(1x+2−1)÷x 2−1x+224．（2022·高安模拟）计算：（1）(−12)0+|√3−2|+tan60°； （2）2m−4m 2−4÷m−1m+2−1m−125．（2022·赣州模拟）先化简，再求值：5a +a 2−4a−1÷a 2+2a a−1，其中a ＝3．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】2a 2b ⋅a 3=2a 5b ，故A 符合题意；2a 2+a 3不能合并同类项，故B 不符合题意；a a−1−1a−1=a−1a−1=1，故C 不符合题意； 3a −a =2a ，故D 不符合题意； 故答案为：A ．【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式，分式的加减分别计算，再判断即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：a+1a−1a =a+1−1a =aa =1 ． 故答案为：A ．【分析】利用分式的基本性质计算求解即可。

2022中考真题分类——分式(参考答案)一、分式概念1.(2022·湖南怀化)代数式25x ，1π，224x +，x 2−23，1x ，12x x ++中，属于分式的有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2.(2022·黑龙江哈尔滨)在函数53x y x =+中，自变量x 的取值范围是___________.3.(2022·内蒙古包头)1x在实数范围内有意义，则x 的取值范围是___________.【答案】1x ≥−且0x ≠【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可.【详解】解：由题意得：x +1≥0，且x ≠0，解得：1x ≥−且0x ≠，故答案为：1x ≥−且0x ≠.【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键.4.(2022·湖南娄底)函数y =的自变量x 的取值范围是_______. 10,10x x 即x 解得： 1.x >故答案为：1x >二、分式计算(选填题)5.(2022·四川眉山)化简422a a +−+的结果是( ) A ．1B ．22a a +C ．224a a −D ．2a a +6.(2022·浙江杭州)照相机成像应用了一个重要原理，用公式()111v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片(像)到镜头的距离.已知f ，v ，则u ＝( )A ．fv f v −B ．f v fv −C ．fv v f −D ．v f fv−7.(2022·湖北襄阳)化简分式：ma mb a b a b +++＝_____.8.(2022·辽宁沈阳)化简：21111x x x −⎛⎫−⋅= ⎪+⎝⎭______. 【答案】1x −##1x −+9.(2022·江苏苏州)化简2222x xx x−−−的结果是______.10.(2022·四川自贡)化简：223423244a aa aa a−−⋅+−+++＝____________.11.(2022·广西玉林)若x是非负整数，则表示22242(2)x xx x−−++的值的对应点落在下图数轴上的范围是()A．①B．②C．③D．①或②12.(2022·山东济南)若m－n＝2，则代数式222m n mm m n−⋅+的值是()A．－2B．2C．－4D．413.(2022·湖南郴州)若23a bb−=，则ab=________.【详解】解：23 a bb−=b，,14.(2022·河北)若x和y互为倒数，则112x yy x⎛⎫⎛⎫+−⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是()A．1B．2C．3D．415.(2022·四川成都)已知2272a a −=，则代数式2211a a a a a−−⎛⎫−÷ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】72##3.5##312 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变16.(2022·四川南充)已知a >b >0，且223a b ab +=，则2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是( )A B ．C D ．17.(2022·山东菏泽)若22150a a−−=，则代数式2442a aaa a−⎛⎫−⋅⎪−⎝⎭的值是________.【答案】15【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2−2a=15，整体代入即可.18.(2022·湖北鄂州)若实数a 、b 分别满足a 2−4a +3＝0，b 2−4b +3＝0，且a ≠b ，则11a b+的值为 _____.19.(2022·湖南)有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++.记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S =____________.20.(2022·四川达州)0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b =+++，则12100S S S +++=_______. 【详解】解：a 111a S =+2221S a =+…，1001001S a =+100S ++=1故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab=，找出的规律是本题的关键.21.(2022·湖北随州)已知m是整数，则根据==可知m有最小值3721⨯=.设n于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______.22.(2022·湖北恩施)观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n个数记为na，且满足21112n n na a a+++=.则4a=________，2022a=________.，三、分式计算(解答题)23.(2022·内蒙古·)先化简，再求值：2344111x x x x x −+⎛⎫−−÷ ⎪−−⎝⎭，其中3x =.24.(2022·辽宁阜新)先化简，再求值：2691122a a a a a −+⎛⎫÷− ⎪−−，其中4a =.25.(2022·山东东营)先化简，再求值：221122y x y x y x xy y⎛⎫−÷⎪−+++⎝⎭，其中3,2x y ==. )()22x y y+ )()22x y y+ 时，原式=+−x x 26.(2022·辽宁朝阳)先化简，简求值：22234+4243x x x x x x x x −÷−−+++，其中212x −⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2222332x x x x x x x x2233x x x x x 33x x x x =2142x −⎛⎫== ⎪⎭，27.(2022·辽宁丹东)先化简，再求值：224+−x x ÷24x x −−1x ，其中x ＝sin 45°.28.(2022·山东枣庄)先化简，再求值：(2x x −−1)÷22444x x x −−+，其中x ＝−4. 22)(2)(2)(x x x −−+222x x −+ 22x ＝−4时，原式＝242−+＝−1.【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练地掌握分式的运算法则将分式进行约分化简是解题的关键29.(2022·内蒙古鄂尔多斯)先化简，再求值：(22969a a a −−++1)÷226a a −，其中a ＝4sin 30°−(π−3)0.30.（2022·四川绵阳）先化简，再求值：3x y x y x yx x y x y⎛⎫−−+−÷⎪−−⎝⎭，其中1x=，100y=31.（2022·辽宁大连）计算2224214424x x x x x x x−+÷−−+−． 22222122x x x x x x x 211.x xx 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握键.32.（2022·广东深圳）先化简，再求值：2222441,x x x x x x −−+⎛⎫−÷ ⎪−⎝⎭其中 4.x =33.（2022·山东聊城）先化简，再求值：44422a a a a a a −−⎛⎫÷−− ⎪−⎝⎭，其中112sin 452a −⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭．34.（2022·湖南郴州）先化简，再求值：22a b a b a b ⎛⎫÷+ ⎪−+−⎝⎭，其中1a ，1b =．35.（2022·辽宁锦州·）先化简，再求值：2211211x x x x ⎛⎫÷−+ ⎪−++−⎝⎭，其中|1x =+．x 36.（2022·黑龙江）先化简，再求值：22221111a a a a a ⎛⎫−−−÷ ⎪−+⎝⎭，其中2cos301a =︒+．37.（2022·贵州毕节）先化简，再求值：2241442a a a a −⎛⎫÷− ⎪+++，其中2a =．38.（2022·湖北荆州）先化简，再求值：222212a b a b a b a ab b ⎛⎫−÷ ⎪−+−+⎝⎭，其中113a −⎛⎫= ⎪⎝⎭，()02022b =−．39.（2022·湖南湘潭）先化简，再求值：22211391x x x x x x x +÷−⋅−−+，其中2x =． 【答案】x +2，4【分析】先运用分式除法法则和乘法法则计算，再合并同类项．40.（2022·新疆）先化简，再求值：22931121112a aa a a a a⎛⎫−−÷−⋅⎪−+−−+⎝⎭，其中2a=．41.（2022·四川达州）化简求值：222112111a a aa a a a⎛⎫−+÷+⎪−+−−⎝⎭，其中31a．31a 时，原式＝【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关键．42.（2022·山东滨州）先化简，再求值：344111a a a a a ++⎛⎫+−÷ ⎪−−⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a −=︒+−。

分式与二次根式—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．要点诠释：约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质；2.；(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：00)a b =≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：00)a b =≥>，. 6.若0a b >≥>.要点诠释： 0(0)a ≥≥2(0)a a =≥与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，43==+(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：221-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.【典型例题】类型一、分式的意义1．使代数式有意义的的取值范围是（）A. B. C.且 D.一切实数【答案】C；【解析】解不等式组得且，故选C．【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即需中的x0；分母中的2x-10.举一反三：【变式】当x取何值时，分式12922---xxx有意义?值为零?【答案】当2120x x--≠时，分式12922---xxx有意义，即-34x x≠≠且时，分式12922---xxx有意义.当29=0x-且2120x x--≠时，分式12922---xxx值为零，解得=3x±，且-34x x≠≠，，即=3x时，分式12922---xxx值为零.类型二、分式的性质12-xxx≥x21≠x0≥x21≠x210xx≥⎧⎨-≠⎩≥x21≠x≥≠2．已知,求下列各式的值. (1); (2). 【答案与解析】(1)因为,所以. 即.所以. (2), 所以. 【点评】观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.举一反三：【变式】已知求的值. 【答案】 由得 所以即.所以.类型三、分式的运算3．（2015•眉山）计算：． 【答案与解析】14x x+=221x x +2421x x x ++14x x +=2214x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭221216x x ++=22114x x +=4242222222111114115x x x x x x x x x x ++=++=++=+=2421115x x x =++111,a b a b +=+b a a b +111,a b a b +=+1,a b ab a b+=+2(),a b ab +=22a b ab +=-221b a a b ab a b ab ab+-+===-解：=•= ．【点评】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.举一反三：【变式】（2015•宁德）化简：•．【答案】解：原式=：•=．类型四、分式方程及应用4．如果方程有增根, 那么增根是 . 【答案与解析】 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是.答案:【点评】使分母为0的根是增根.5．为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．【答案与解析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．11322x x x-+=--20x -=20x -=2x =2x =2x =根据题意得：． 方程两边同乘以x （x+25），得30（x+25）+30x=x （x+25），即x 2﹣35x ﹣750=0．解之，得x 1=50，x 2=﹣15．经检验，x 1=50，x 2=﹣15都是原方程的解．但x 2=﹣15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．方案一：由甲工程队单独完成．（所需费用为：2500×50=125000（元）．方案二：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间．（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x 天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1．（2）首先根据（1）中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．举一反三：【变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润．【答案】303015x x ++2（1）设原计划零售平均每天售出x 吨．根据题意，得， 解得x 1=2，x 2=﹣16．经检验，x=2是原方程的根，x=﹣16不符合题意，舍去．答：原计划零售平均每天售出2吨．（2）． 实际获得的总利润是：2000×6×20+2200×4×20=416000（元）．类型五、二次根式的定义及性质6．当x的值最小？最小值是多少？【答案与解析】，∴当9x +1=0，即3有最小值，最小值为3. 【点评】≥0（a ≥0）.的最小值为0，因为3是常数，的最小值为3.类型六、二次根式的运算7．计算：1(46438)222-+÷； 【答案与解析】原式22)262264(÷+-= .232+=5)2(62006200=++-+x x ()天20226200=++913x +0，33≥19x =-03【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．分式与二次根式—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列各式与相等的是( ) A ． B. C. 2xy y D. 2x y x+ 2．（2015•泰安）化简：（a+）（1﹣）的结果等于（ ）A ．a ﹣2B ．a+2C ．D ．3．若分式的值是0，则x 为（ ） A ．0 B.1 C.-1 D.±14．下列计算正确的是 （ ）5．在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x 个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（ ）A ．－＝10B ．－＝10C ．－＝10D ．－＝10 6．函数中自变量x 的取值范围是（ ） A. x ≤2 B. x =3 C. x ＜2且x ≠3 D. x ≤2且x ≠3x y22x y 22y x ++211x x -+13=====x 100005010000+x 5010000-x x 10000x 100005010000-x 5010000+x x1000013y x =-二、填空题7．（2014春•张家港市校级期末）下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”．①② ③ ④ ⑤ ．8．化简的结果是__________. 9.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.10中，是最简二次根式的有个. 11. 若最简二次根式是同类二次根式，则x 的值为 .12．（1化简的结果是 . （2）估计的运算结果应在 之间.（填整数）三、解答题13．（2015•南京）计算：（﹣）÷．14.（1）已知：12a +=，求5361a a a a +++的值. （22=+.15．在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.212293m m +-+信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的. 信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.16.已知.分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•合水县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（ ）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个2．分式有意义的条件是（ ） A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠23．使分式等于0的x 的值是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4．计算201220131)1)的结果是（ ）5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．B ． 45282x x y x ++=+，求(1)(2)(2)(1)x x x x +---224x x +-128002800304-=x x 28002800304-=x xC ．D ． 6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（ ）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子÷（a+b ）的值为_______________.9. ；②；③；④其中正确的是 （填序号）.10．当x =__________时，分式的值为0.11．（1，则的值为. （2）若5,3,x y xy +==+的值为 . 12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式：①==﹣128002800305-=x x 2800280030-=5x xa b b a-===0,0).a b =＞≥33x x -+2()x y =+x y -②==﹣③==﹣… 回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数） （2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知,求的值. （2）已知和,求的值.14.（2015春•东莞期末）设a=，b=2，c=． （1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？13x x +=2421x x x -+2510x x -+=0x ≠441x x+16.阅读下列材料，然后回答问题.我们可以将其进一步化简.；（一）；（二）；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：221.====（四）；（1）请用不同的方法化简= ；= ；（2分式与二次根式—巩固练习（基础解析）【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；==3=1===…【解析】化简2xy y = . 2.【答案】B ；【解析】•=•=a+2．故选B ．3.【答案】B ； 【解析】分式的值为0，则解得.4.【答案】A ；【解析】根据具体选项，应先进行化简，再计算. AB，C 选项逆用平方差公式可求得，而D 选项.故选A. 5.【答案】B ；【解析】设每个甲型包装箱可装x 个鸡蛋，－＝10． 故选B ．6.【答案】A ； 【解析】2-x ≥0，∴x ≤2，3不在x ≤2的范围内.二、填空题7．【答案】×，√，×，×，√；【解析】①=；②是最简分式；③==；④=﹣1；x y 210,10,x x ⎧-=⎨+≠⎩1x ====2+（=4-5=-1=5010000-x x10000⑤是最简分式；只有②⑤是最简分式．故答案为：×，√，×，×，√．8．【答案】；【解析】找到最简公分母为（m+3）(m-3)，再通分.]9．【答案】4.8；【解析】平均速度=总路程÷总时间，设从学校到家的路程为s,则. 10．【答案】3；.11．【答案】-1；【解析】根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1.12．【答案】（1；（2）3和4；【解析】（1）（2三、解答题13.【答案与解析】解：（﹣）÷=[﹣]×=[﹣]×=×=．14.【答案与解析】23m-22424244.8325546s s ss s s s s====++===21232 4.=++因为，∴＜（1）∵233,122a a +=+= ∴a 2=a +1 原式=5326a a a a ++=526(1)a a a a ++=546a a a +=46(1)a a a +=66a a=1 （2）∵10•=1052+==.15.【答案与解析】设甲班平均每人捐款x 元,则乙班平均每人捐款x 元. 根据题意, 得,解这个方程得. 经检验,是原方程解.答：甲班平均每人捐款5元.16.【答案与解析】由二次根式的定义及分式性质，得分式与二次根式—巩固练习（提高解析）【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】二次根式、、、、、中， 最简二次根式有、、共3个．故选：C ． 2.【答案】D ；45300232245x x =+5x =5x =2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠22287,222y ++∴==+∴===【解析】分式有意义，则且.3.【答案】D ；【解析】令得，而当时，，所以该分式不存在值为0的情形.4.【答案】D ；【解析】本题可逆用公式（ab ）m =a m b m 及平方差公式，将原式化为20121)1) 1.⎡⎤--=⎣⎦故选D.5.【答案】A ；【解析】设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得． 故选A ．6.【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是 把3化为+了.二、填空题7．【答案】 ；【解析】由已知得且，解得，，再代入求值.故答案为：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①，.10．【答案】3；【解析】由得±3.当时，，当时，，所以当时，分式的值为0.20x -≠10x -≠20x +=2x =-2x =-240x -=28002800304-=x x 232269(3)0a a a -+=-=10b -=3a =1b =0a ≥0b ＞30x -=x =3x =360x +=≠3x =-3330x +=-+=3x =11．【答案】（1）2； （2； 【解析】（1，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x-y =2.（2）12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；20101-. （2）+++…++ =…+1.三、解答题13.【答案与解析】 （1）因为，所以用除所求分式的分子、分母.原式. （2）由 和 ,提, 所以14.【答案与解析】解：（1）∵a 有意义，∴8﹣x≥0，∴x≤8；（2）方法一：分三种情况：5,3,0,0,x y xy x y +==∴∴=+==＞＞原式0x ≠2x 22221111113361()21x x x x ====--++--2510x x -+=0x ≠15x x +=24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a 2+c 2=b 2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c ＞b∴存在两种情况，①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x 天，则乙公司单独完成此项工程1.5x 天，根据题意，得，解之得，x=20, 经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y 元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000.甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元） ，乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1（2112-1111.512x x +===22====+++…=121)2n ++=.。

分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式． （2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注】①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分． 【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）； ②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7．分式的运算（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减②异分母的分式相加减法则：先通分，变为用式子表示为：a c ad bcb d bd bd ±=±=（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子用式子表示为：a c a d a db d bc b⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后二、二次根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中【注】被开方数a 只能是非负数．即要使二（2）最简二次根式：被开方数所含因数是简二次根式．（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后2．二次根式的性质（1）a ≥ 0（a ≥0）；（2）)(2=a（40,0)a b =≥≥3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算类二次根式合并成一个二次根式．相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为变为同分母的分式，然后再加减． ad bcbd±． 作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． c母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数运算叫做分式的混合运算．最后算加减．有括号的，先算括号里的． ”叫做二次根号，二次根号下的数要使二次根式a 有意义，则a ≥0．因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二)0(≥a a ； （3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；；（50,0)a b ≥>． 减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，表示为：a c a cb b b±±=． 子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅． 正整数，0)b ≠．下的数叫做被开方数．因数或因式的二次根式，叫做最同类二次根式． ，若有同类二次根式，可把同（2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥0,0)a b ≥>． （3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的． 在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．经典例题 分式的有关概念1．若式子111x --在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________． 【答案】1x ≠【分析】由分式有意义的条件可得答案．【解析】解：由题意得：10,x -≠ 1,x ∴≠ 故答案为：1x ≠【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2．若分式11x +的值不存在，则x =__________． 【答案】-1【分析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可． 【解析】∵分式11x +的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1． 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键． 3．分式52x x +-的值是零，则x 的值为（ ） A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－5【答案】D【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解析】解：依题意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．故选：D ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．1．要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x > B ．1x ≠C ．1x =D ．0x ≠【答案】B【分析】根据分式有意义的条件即可解答．【解析】根据题意可知，10x -≠，即1x ≠．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．2．当1x =时，下列分式没有意义的是（ ） A ．1x x+ B ．1x x - C ．1x x- D ．1x x + 【答案】B【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可. 【解析】1xx -,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B. 【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件. 3．方程3101x +=-的解为__________． 【答案】x=-2【分析】先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零的条件解答即可．【解析】解：3101x +=- 31011x x x -+=-- 201x x +=- 则：2010x x +=⎧⎨-≠⎩，解得x=-2． 故答案为x=-2．【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键．经典例题 分式的基本性质1．若a b ¹，则下列分式化简正确的是（ ）A ．22a ab b+=+ B ．22a a b b -=-C ．22a a b b=D ．1212aa b b = 【答案】D【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【解析】∵a ≠b ，∴22a a b b +≠+，选项A 错误；22a ab b-≠-，选项B 错误； 22a a b b ≠，选项C 错误；1212a ab b =，选项D 正确；故选：D ． 【点睛】本题考查分式的性质，解答本题的关键是明确分式的性质．1．分式13-x可变形为( ) A ．13x + B ．-13x+ C ．31-x D ．1-3x - 【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可. 【解析】A.13x +≠13-x ，故A 选项错误；B. -13x +=13-x -≠13-x，故B 选项错误；C. 65x ==-13-x ，故C 选项错误；D. 1-3x -=1x-3)-（=13-x ，故D 选项正确，故选D. 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．经典例题 分式的约分与通分1. 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确 A ．211x x +-约分的结果是1x B ．分式211x -与11x -的最简公分母是x -1C ．22x x 约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误； B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2-1，故本选项错误； C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ． 【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．2．下列分式中，最简分式是（ ）A ．2211x x -+B ．211x x +-C ．2222x xy y x xy-+- D ．236212x x -+【答案】A【解析】选项A 为最简分式；选项B 化简可得原式==；选项C 化简可得原式==；选项D 化简可得原式==，故答案选A. 考点：最简分式.1．分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________． 【答案】()2x x - x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解． 【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x-的最简公分母是()2x x -， 方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-， 移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4． 【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． 2．化简：2121x x x +++＝_____． 【答案】11x + 【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可． 【解析】2121x x x +++＝21(1)x x ++＝11x +．故答案为：11x +． 【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．经典例题 分式的运算1． 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++ 2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++ 第一步32132(3)x x x x -+=-++ 第二步 2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++ 第三步26(21)2(3)x x x --+=+ 第四步26212(3)x x x --+=+ 第五步526x =-+ 第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：726x -+；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．【解析】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；故答案为：五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：解；229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++ 32132(3)x x x x -+=-++ 2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++26(21)2(3)x x x --+=+26212(3)x x x ---=+ 726x =-+．任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．2．先化简，（22444x x x ++-﹣x ﹣2）÷22x x +-，然后从﹣2≤x ≤2范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．【答案】﹣x +3，2【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得．【解析】解：原式＝()()()()2222-2x x x x ⎡⎤+-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦×22x x -+=2242222x x x x x x ⎛⎫+---⨯⎪--+⎝⎭ =26222x x x x x -++-⨯-+ =()()23222x x x x x +---⨯-+=﹣（x －3）=﹣x+3∵x ≠ ±2，∴可取x ＝1，则原式＝﹣1+3＝2．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．1．计算：212(111a aa a a +-+÷++ 【答案】2a a + 【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可．【解析】解：212(1)11a a a a a +-+÷++2(1)(1)1112a a a a a a -+++=⋅++211(2)a a a a a +=⋅++2a a =+． 【点睛】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 2．先化简：2124244x x x x x x x -+-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，然后选择一个合适的x 值代入求值． 【答案】化简结果是：2x x-，选择x =1时代入求值为-1. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x 的值代入进行计算即可【解析】解：原式2124244x x x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫=-÷ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭2(1)(2)(2)4(2)(2)(2)x x x x x x x x x x ⎡⎤-+--=-÷⎢⎥---⎣⎦ 2224(2)(2)4x x x x x x x --+-=⋅--24(2)(2)4x x x x x--=⋅--2x x -=. 当x=1时代入，原式=1211-==-.故答案为：化简结果是2x x-，选择x =1时代入求值为-1. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，最后在选择合适的x 求值时要保证选取的x 不能使得分母为0.经典例题 二次根式的概念与性质1．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≥C ．2x ≤D ．2x ≠-【答案】C【分析】根据二次根式里面被开方数420x -≥即可求解．【解析】解：由题意知：被开方数420x -≥，解得：2x ≤，故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．2．已知3y =+-，则2xy 的值为（ ）A ．15-B ．15C ．152-D ．152【答案】A【解析】由3y =-，得250{520x x -≥-≥，解得 2.5{3x y ==-．2xy （=2×2.5×-）3=-，故选．15A 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，以及有理数的乘法运算，掌握以上知识是解题的关键.1．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≥C ．2x ≤D ．2x ≠-【答案】B【分析】根据二次根式里面被开方数240x -≥即可求解．【解析】解：由题意知：被开方数240x -≥，解得：2x ≥，故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．2．函数13y x =+-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≥，且3x ≠ B ．2x ≥ C ．3x ≠D ．2x >，且3x ≠【答案】A【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【解析】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得2x ≥，且3x ≠故选A ．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．经典例题1．下列各式是最简二次根式的是（ ）A BC D 【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解析】解：A B =C a =，不是最简二次根式，故选项错误；D =故选A.【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关1．下列二次根式是最简二次根式的是AB【答案】D【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行【解析】A.=，故A 选项不符合C.=，故C 选项不符合题意；【点睛】本题考查最简二次根式的识别，经典例题1．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示A ．2- B ．0【答案】A【分析】根据实数a 和b 在数轴上的位置得【解析】由数轴可知-2＜a ＜-1，1＜b+-=【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运1．已知实数a 在数轴上的对应点位置如图A ．32a -B ．1-【答案】D【分析】根据数轴上a 点的位置，判断出【解析】解：由图知：1＜a ＜2，∴a−1原式＝a−1-2a -＝a−1＋（a−2）＝题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于( ) CD一进行判断即可. 不符合题意；B. =，故B 选项不符合题意；D. 是最简二次根式，符合题意，故选D. ，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概+-的结果是C ．2a -D ．2b位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b ＜0， 11a b a b ++---=()()(11a b a b -++-+-之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正根据运算法则进行判断．置如图所示，则化简|1|a -的结果是（C ．1D ．23a -断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质＞0，a−2＜0， 2a−3．故选D．题属于基础题型．合题意； 式的概念是解题的关键.结果是（ ）． 和绝对值的性质即可求出答案． )=-2故选A.学生正确根据数在数轴上的位置（ ）的性质进行化简．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键． 经典例题 二次根式的运算1．下列计算中，正确的是（ ）A =B ．2+=C =D ．2= 【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．【解析】解：A 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B ．2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C ==，此选项计算正确；D ．2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．2． “分母有理化”7==+，设x =->，故0x >，由22332x ==-=，解得x =，即= ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5-【答案】D和2323+-进行化简，然后再进行合并即可.【解析】设x =<∴0x <，∴266x =--++，∴212236x =-⨯=，∴x =，5=-，∴原式5=-5=-D ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.1．计算：2+-=______．【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．【解析】解：2=+=22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平方差公式是解答本题的关键．2．下列等式成立的是（ ）A．3+=B=C= D3= 【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．【解析】解：A 、3和A 错误；B=B 错误； C===，故C 错误；D3=，正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．经典例题1．设2a =+，则（ ）A ．23a <<B ．34a <<C ．45a <<D ．56a << 【答案】C的范围，再得出a 的范围即可.【解析】解：∵4＜7＜9，∴23<<，∴425<<，即45a <<，故选C.【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法.2-【答案】＜【分析】利用分子有理化即可比较大小．【解析】=-+==-=++<故答案为：＜．【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用分子有理化比较大小是解决此题的关键．1．的值在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【答案】B【分析】因为224225<<在4到5之间，由此可得出答案.【解析】解：∵224225<<，∴45<<．故选：B【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．2. 下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ）A．3.14 B．103CD【答案】C【分析】根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解．【解析】，而17＞42，32＜12＜42＞4，3＜4∴选项中比3大比4．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．。

分式与二次根式一、选择题：1、分式－12x 2 , 5x-14(m-n) ,2n-m的最简公分母为( ) (A) 4(m －n)(n －m)x 2 (B)14x 2(m-n)(C)4x 2(m －n)2 (D)4(m －n)x 2 2、下列各式的变号中,正确的是(A)x-y y-x = － y-x x-y ( B)x-y y-x 2 =y-x y-x 2 (C)-x-1-y+1 =x-1y+1 (D)-x-y y-x ＝－ x+y y-x3、若x >y>0,则x+1y+1 － y x的结果是( ) (A) 0 (B)正数 (C) 负数 (D) 以上情况都有可能4、下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)45、(x －2)2 ＋(2－x )2的值一定是（ ）（A ）0 （B ）4－2x （C ）2x －4 （D ）4 6、计算3m 2m 963m m 2-÷--+的结果为（ ） （A ）3m 3m +- （B ）1 （C ）3m 3m -+ （D ）3m 3m + 7、计算)a 1(1a)a 1(-÷-的结果为（ ） （A ）a －1 （B ）－a －1 （C ）1－a （D ）a+18、适合a 33)(a 2-=-的正整整a 的值有（ ）个.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49、化简aa 4)2a a a 2a (2-⋅+---的结果是（ ） （A ）－4 （B ）4 （C ）2a （D ）2a+410、如果a 满足014a a 2=++,那么22a 1a +的值是( ) （A ）154 （B ）14 （C ）174 （D ）4 二、填空题:11、当x=-------------------时，分式|x|-3x 2+4x+12的值为零？ 12、（5827·113 ·354 ）=------------------- 13、18 ＋22－1 －412 －2( 2 ＋1)0=-------------------15、已知962+-a a 与|b －1|互为相反数，则b)(a )abba (+÷-的值是----------------- 16、若|a|=3且|a+2|=－a －2，则a24a )2a a 2a a (-÷++-的值是------------------ 17、化简a2------------------ 18、观察下列一组单项式：0、2x 3、3x 6、4x 32、……，则第10个单项式为-----------------三、解答题：19、化简求值：x 1x )1x 2x 1x x (2-÷---，其中21x =20、先化简代数式1a a )12a a 11a 1a (2-÷+-+-+，然后选取一个使原式有意义的a 值代入求值.21、先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--1x 12x 1x 1x 2x x 22，其中21x -=22、有一道题：“先化简，再求值：22361()399x x x x x -+÷+--，其中“x=．小亮同学做题时把“x= ，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?23、先化简，再求值:22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭，其中3tan 301a =+，45b =．。

xxxXXXXX 学校XXXX 年学年度第二学期第二次月考
XXX 年级xx 班级
姓名：_______________班级：_______________考号：_______________
一、计算题
（每空？
分，共？ 分）
1、 解分式方程
2、解方程：
二、填空题 （每空？ 分，共？ 分）
3、m 为 时，关于的方程会产生增根。

4、当x ____________时，二次根式有意义．
5、若x ，y 为实数，且y=4++，则y ﹣
x 的值是 ．
6、若，则的值为 ．
参考答案
一、计算题
1、解分式方程
解：
两边同乘以（x-2）,得
3-x=x-2
解得x=
检验：当x=时，x-2≠0
∴x=是原方程的解
2、解：方程两边都乘以得
……（2分）
解得：…………（3分）
检验：当时，，故是增根，舍去……（4分）
所以原方程无解
二、填空题
3、或6
解答：去分母得：
由于原方程会产生增根，则
当时，；当时，
4、
5、考点：
二次根式有意义的条件．.
分析：
根据二次根式的意义，被开方数大于或等于0，列不等式组求解．
解答：
解：根据二次根式的意义得，
解得x=5．则y=4，
∴y﹣x=4﹣5=﹣1．
点评：
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．6、答案：7。

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：3分式与二次根式一．选择题（共13小题）1．（2022•衢州）计算结果等于2的是（ ） A ．|﹣2|B ．﹣|2|C ．2﹣1D ．（﹣2）02．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u +1v（v ≠f ）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（ ） A ．fv f−vB ．f−v fvC ．fvv−fD ．v−f fv3．（2022•西湖区校级二模）要使式子√x−53有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x ≤5B ．x ≠5C ．x ＞5D ．x ≥54．（2022•萧山区校级二模）下列计算结果正确的是（ ） A ．√2+√3=√5 B ．（﹣2）2=−14C ．（a ﹣2）2＝a 2﹣4D ．a 6÷a 3＝a 35．（2022•滨江区二模）下列等式成立的是（ ） A ．2+3√2=5√2B ．√2×√3=√5C ．√3÷√6=2√3 D ．√(−2)2=26．（2022•吴兴区一模）下列运算正确的是（ ） A ．2+√2=2√2 B ．4x 2y ﹣x 2y ＝3C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（ab ）3＝a 3b 37．（2022•海曙区校级一模）要使分式√x−5√18−2x有意义，x 的取值范围是（ ）A ．x ≥5B ．x ≠9C ．5≤x ≤9D ．5≤x ＜98．（2022•拱墅区模拟）下列计算正确的是（ ） A ．√8−√2=√2B ．√(−2)2=−2C ．√6÷√3=√3D ．√2×√3=√59．（2022•奉化区二模）若二次根式√3−x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＜3B ．x ＞3C ．x ≠3D ．x ≤310．（2022•鄞州区一模）二次根式√x −3中字母x 的取值范围是（ ） A ．x ＜3B ．x ≤3C ．x ＞3D ．x ≥311．（2022•宁波模拟）要使分式x−7x+2有意义，x 的取值范围是（ ）A ．x ≠﹣2B ．x ≠2C ．x ≥7D ．x ≥﹣212．（2022•洞头区模拟）计算2a a+2−a−22+a的结果为（ ）A ．a +2B ．a ﹣2C ．1D ．a−2a+213．（2022•玉环市一模）小明和小亮期中考试的语文、数学成绩分别都是80分，m 分，到了期末考时，小明期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了20%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为a ．小亮期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了15%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为b ．则（ ） A ．a ＝bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．4a ＝3b二．填空题（共13小题）14．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 ． 先化简，再求值：3−x x−4+1，其中x ＝★．解：原式=3−xx−4•（x ﹣4）+（x ﹣4）…① ＝3﹣x +x ﹣4 ＝﹣115．（2022•湖州）当a ＝1时，分式a+1a的值是 ．16．（2022•衢州）计算 （√2）2＝ ．17．（2022•杭州）计算：√4= ；（﹣2）2＝ ．18．（2022•瑞安市校级三模）当a =√3+1时，代数式（a ﹣1）2﹣2a +2的值为 ． 19．（2022•衢江区一模）二次根式√x −4中字母x 的取值范围是 ． 20．（2022•钱塘区二模）已知√(3+a)2=−3−a ，则a 的取值范围 ． 21．（2022•金华模拟）如果代数式√x −4有意义，那么实数x 的取值范围是 ． 22．（2022•景宁县模拟）若分式x+12−x 的值为0，则x ＝ ．23．（2022•常山县模拟）计算1+2a = ． 24．（2022•柯城区二模）计算：a+b a−b+2a−b a−b= ．25．（2022•温岭市一模）化简：（1+1x+1）•x+1x+2= ． 26．（2022•定海区校级模拟）已知√x 1√x =2，那么√x 2+1x 2−2−√x x 2+2x+1的值等于 ． 三．解答题（共6小题）27．（2022•舟山）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）． （2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 28．（2022•仙居县二模）计算：(−2)−2+(√3+12)(√3−12)． 29．（2022•常山县模拟）计算： （1）（2022）0+2sin30°﹣|﹣1|． （2）√27−√2×√6．30．（2022•婺城区校级模拟）先化简，再求值：(1−3x+2)÷x 2−1x 2+2x，从﹣2，0，2中取一个合适的数作为x 的值代入求值．31．（2022•金华模拟）已知a 2+2a ﹣1＝0，求代数式(a 2−1a 2−2a+1−11−a )÷1a 2−a的值．32．（2022•萧山区校级二模）以下是圆圆同学进行分式化简的过程．a+bab ÷（1b −1a）=a+b ab ×（b ﹣a ）=a+b ab •b −a+b ab •a =a+b a −a+b b =b 2+a 2ab ．圆圆的解答过程是否有错误？若存在错误，请写出正确的解答过程．2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：3分式与二次根式参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2022•衢州）计算结果等于2的是（ ） A ．|﹣2|B ．﹣|2|C ．2﹣1D ．（﹣2）0【解答】解：A ．根据绝对值的定义，|﹣2|＝2，那么A 符合题意． B ．根据绝对值的定义，﹣|2|＝﹣2，那么B 不符合题意． C ．根据负整数指数幂，2−1=12，那么C 不符合题意． D ．根据零指数幂，（﹣2）0＝1，那么D 不符合题意． 故选：A ．2．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f =1u+1v（v ≠f ）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（ ） A ．fv f−vB ．f−v fvC ．fvv−fD ．v−f fv【解答】解：1f=1u +1v（v ≠f ），1f =1u +1v ，1u =1f−1v， 1u=v−f fv ，u =fvv−f ． 故选：C ．3．（2022•西湖区校级二模）要使式子√x−53有意义，x 的取值范围是（ ）A ．x ≤5B ．x ≠5C ．x ＞5D ．x ≥5【解答】解：依题意有：x ﹣5≥0， 解得x ≥5． 故选：D ．4．（2022•萧山区校级二模）下列计算结果正确的是（ ）A ．√2+√3=√5B ．（﹣2）2=−14C ．（a ﹣2）2＝a 2﹣4D ．a 6÷a 3＝a 3【解答】解：A 、√2与√3不是同类二次根式，故A 不符合题意． B 、原式＝4，故B 不符合题意． C 、原式＝a 2﹣4a +4，故C 不符合题意． D 、原式＝a 3，故D 符合题意． 故选：D ．5．（2022•滨江区二模）下列等式成立的是（ ） A ．2+3√2=5√2B ．√2×√3=√5C ．√3÷1√6=2√3 D ．√(−2)2=2【解答】解：A 、2与3√2不能合并，故A 不符合题意； B 、√2×√3=√6，故B 不符合题意； C 、√31√6=3√2，故C 不符合题意； D 、√(−2)2=2，故D 符合题意； 故选：D ．6．（2022•吴兴区一模）下列运算正确的是（ ） A ．2+√2=2√2 B ．4x 2y ﹣x 2y ＝3C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（ab ）3＝a 3b 3【解答】解：A 、2与√2不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； B 、原式＝3x 2y ，故此选项不符合题意； C 、原式＝a 2+2ab +b 2，故此选项不符合题意； D 、原式＝a 3b 3，故此选项符合题意； 故选：D ．7．（2022•海曙区校级一模）要使分式√x−5√18−2x有意义，x 的取值范围是（ ）A ．x ≥5B ．x ≠9C ．5≤x ≤9D ．5≤x ＜9【解答】解：根据题意，{x −5≥018−2x ＞0．解得5≤x ＜9． 故选：D ．8．（2022•拱墅区模拟）下列计算正确的是（ ）A ．√8−√2=√2B ．√(−2)2=−2C ．√6÷√3=√3D ．√2×√3=√5【解答】解：√8−√2=2√2−√2=√2，故选项A 正确，符合题意； √(−2)2=2，故选项B 错误，不符合题意； √6÷√3=√2，故选项C 错误，不符合题意； √2×√3=√6，故选项D 错误，不符合题意； 故选：A ．9．（2022•奉化区二模）若二次根式√3−x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＜3B ．x ＞3C ．x ≠3D ．x ≤3【解答】解：若二次根式√3−x 在实数范围内有意义， 故3﹣x ≥0， 解得：x ≤3． 故选：D ．10．（2022•鄞州区一模）二次根式√x −3中字母x 的取值范围是（ ） A ．x ＜3B ．x ≤3C ．x ＞3D ．x ≥3【解答】解∵二次根式√x −3有意义， ∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3． 故选：D ．11．（2022•宁波模拟）要使分式x−7x+2有意义，x 的取值范围是（ ）A ．x ≠﹣2B ．x ≠2C ．x ≥7D ．x ≥﹣2【解答】解：分式有意义应满足分母不为0，即x +2≠0， 解得：x ≠﹣2． 故选：A ．12．（2022•洞头区模拟）计算2a a+2−a−22+a的结果为（ ）A ．a +2B ．a ﹣2C ．1D ．a−2a+2【解答】解：2aa+2−a−22+a=2a−(a−2)a+2=2a−a+2a+2=a+2a+2=1；故答案为：C ．13．（2022•玉环市一模）小明和小亮期中考试的语文、数学成绩分别都是80分，m 分，到了期末考时，小明期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了20%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为a ．小亮期末考试的语文、数学两科成绩依次比期中考试增长了15%，10%．两科总成绩比期中增长的百分数为b ．则（ ） A ．a ＝bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．4a ＝3b【解答】解：依题意得：a =80×20%+10%m 80+m =16+0.1m80+m；b =80×15%+10%m 80+m=12+0.1m80+m ； ∵a ﹣b =16+0.1m80+m −12+0.1m80+m =4+0.1m80+m ＞0， ∴a ＞b ． 故选：B ．二．填空题（共13小题）14．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 5 ． 先化简，再求值：3−x x−4+1，其中x ＝★．解：原式=3−xx−4•（x ﹣4）+（x ﹣4）…① ＝3﹣x +x ﹣4 ＝﹣1 【解答】解：3−x x−4+1=3−x+x−4x−4 =14−x ， 当14−x=−1时，可得x ＝5，检验：当x ＝5时，4﹣x ≠0， ∴图中被污染的x 的值是5， 故答案为：5．15．（2022•湖州）当a ＝1时，分式a+1a的值是 2 ．【解答】解：当a ＝1时， 原式=1+11=2．故答案为：2．16．（2022•衢州）计算 （√2）2＝ 2 ． 【解答】解：原式＝2． 故答案是2．17．（2022•杭州）计算：√4= 2 ；（﹣2）2＝ 4 ． 【解答】解：√4=2，（﹣2）2＝4， 故答案为：2，4．18．（2022•瑞安市校级三模）当a =√3+1时，代数式（a ﹣1）2﹣2a +2的值为 3﹣2√3 ．【解答】解：∵a =√3+1， ∴a ﹣1=√3， ∴（a ﹣1）2﹣2a +2 ＝（√3）2﹣2（√3+1）+2 ＝3﹣2√3−2+2 ＝3﹣2√3， 故答案为：3﹣2√3．19．（2022•衢江区一模）二次根式√x −4中字母x 的取值范围是 x ≥4 ． 【解答】解：由题意，得x ﹣4≥0， 解得x ≥4． 故答案是：x ≥4．20．（2022•钱塘区二模）已知√(3+a)2=−3−a ，则a 的取值范围 a ≤﹣3 ． 【解答】解：∵√(3+a)2=|3+a|=−3−a ， ∴3+a ≤0， ∴a ≤﹣3， 故答案为：a ≤﹣3．21．（2022•金华模拟）如果代数式√x −4有意义，那么实数x 的取值范围是 x ≥4 ． 【解答】解：由题意可知：x ﹣4≥0， ∴x ≥4， 故答案为：x ≥4．22．（2022•景宁县模拟）若分式x+12−x的值为0，则x ＝ ﹣1 ．【解答】解：根据题意，得x +1＝0． 解得x ＝﹣1．当x ＝﹣1时，2﹣x ＝3≠0． 故x ＝﹣1符合题意． 故答案为：﹣1．23．（2022•常山县模拟）计算1+2a = a+2a．【解答】解：原式=a+2a ， 故答案为：a+2a．24．（2022•柯城区二模）计算：a+b a−b+2a−b a−b=3a a−b．【解答】解：原式=a+ba−b +2a−ba−b =a+b+2a−ba−b =3aa−b． 故答案为：3a a−b．25．（2022•温岭市一模）化简：（1+1x+1）•x+1x+2= 1 ． 【解答】解：原式＝（x+1x+1+1x+1）•x+1x+2=x+1+1x+1•x+1x+2＝1， 故答案为：1．26．（2022•定海区校级模拟）已知√x 1√x =2，那么√x 2+1x 2−2−√xx 2+2x+1的值等于15√24． 【解答】解：∵√x 1√x=2， ∴两边平方得：x +1x −2√x •√x=4，∴x +1x =4+2＝6， 两边平方得：x 2+1x 2+2＝36，∴x 2+1x 2=34， ∵要使分式x +1x有意义，x ≠0， 又∵x +1x =6， ∴x x 2+2x+1=1x+2+1x=16+2=18，∴√x 2+1x 2−2−√x x 2+2x+1=√34−2−√18＝4√2−14√2 =15√24， 故答案为：15√24．三．解答题（共6小题）27．（2022•舟山）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）． （2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【解答】解：（1）观察规律可得：1n =1n+1+1n(n+1)；（2）∵1n+1+1n(n+1)=nn(n+1)+1n(n+1) =n+1n(n+1) =1n ， ∴1n =1n+1+1n(n+1)．28．（2022•仙居县二模）计算：(−2)−2+(√3+12)(√3−12)． 【解答】解：原式=14+3−14 ＝3．29．（2022•常山县模拟）计算： （1）（2022）0+2sin30°﹣|﹣1|．（2）√27−√2×√6．【解答】解：（1）原式＝1+2×12−1＝1+1﹣1＝1；（2）原式＝3√3−2√3=√3．30．（2022•婺城区校级模拟）先化简，再求值：(1−3x+2)÷x 2−1x 2+2x ，从﹣2，0，2中取一个合适的数作为x 的值代入求值．【解答】解：(1−3x+2)÷x 2−1x 2+2x =x+2−3x+2•x(x+2)(x+1)(x−1)=x−1x+2•x(x+2)(x+1)(x−1) =x x+1， ∵x ＝﹣2，0时原式无意义，∴x ＝2，当x ＝2时，原式=22+1=23． 31．（2022•金华模拟）已知a 2+2a ﹣1＝0，求代数式(a 2−1a 2−2a+1−11−a )÷1a 2−a 的值． 【解答】解：原式＝[(a+1)(a−1)(a−1)2+1a−1]•a （a ﹣1） ＝（a+1a−1+1a−1）•a （a ﹣1） =a+1+1a−1•a （a ﹣1） ＝a 2+2a ，∵a 2+2a ﹣1＝0，∴a 2+2a ＝1，∴原式＝1．32．（2022•萧山区校级二模）以下是圆圆同学进行分式化简的过程． a+b ab ÷（1b −1a ）=a+b ab ×（b ﹣a ）=a+b ab •b −a+b ab •a =a+b a −a+b b =b 2+a 2ab ． 圆圆的解答过程是否有错误？若存在错误，请写出正确的解答过程．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：a+b ab ÷（1b−1a）=a+bab ÷a−bab=a+bab•ab a−b=a+b a−b．。

§ 不等式的解法一一线名师精讲基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程,当元的取值范围扩大时,应与原有取值范围求交集;2、解不等式是一个由繁到简的转化过程,其转化的总思路为：3、解含有等号的不等式时,应该将等式与不等式分开解答后取并集;基本类型不等式的解法： 一、整式不等式的解法 1、一元一次不等式标准形式：b ax >或)0(≠<a b ax .解法要点：在不等式的两端同时除以a 后,若0<a 则不等号要反向;2、一元二次不等式标准形式：02>++c bx ax 或02<++c bx ax 其中0>a ;解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：1整形：将不等式化为标准形式; 2求根：求方程02=++c bx ax 的根; 3写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集;当两根明确时,可由“大于0,两根外；小于0,两根内”的口诀写解,当0≤∆时,则可由函数c bx ax y ++=2的草图写解;3、一元高次不等式可分解因式型标准形式：0)())((21>---n x x x x x x a 或0)())((21<---n x x x x x x a ()0>a ;解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便,一般可按如下步骤进行：1整形：将不等式化为标准形式; 2求根：求出对应方程的根;3穿根：将方程的根标在数轴上,用一条曲线从右上方开始依次穿过;方程有重根时,奇数重根按正常情况穿过,偶数重根则不穿过,反弹回来后继续穿根;即“奇过偶不过”;4写解：数轴上方所对应曲线的区间为0)())((21>---n x x x x x x a 的解,数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a 的解;二、分式不等式的解法 标准形式：0)()(>x f x g ,或0)()(<x f x g ; 解法要点：解分式不等式的关键是去分母,将分式不等式转化为整式不等式求解;若分母的正负可定,可直接去分母；若分母的正负不定,则按以下原则去分母：0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f 0)()(0)()(<⇔<x g x f x g x f 三、根式不等式的解法 标准形式：)()(x g x f >；)()(x g x f >；以及)()(x g x f <;解法要点：解根式不等式的关键是去根号,应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条件这两大要点进行等价变换：⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(2x g x f x f x g x g x f 或⎩⎨⎧≥<0)(0)(x f x g ⎪⎩⎪⎨⎧<≥>⇐<)()(0)(0)()()(2x g x f x f x g x g x f 基本题型指要【例1】 解下列不等式或不等式组：1⎪⎩⎪⎨⎧+<<-+220)1)(3(2x x x x 20)4)(2()3(2≤-+-x x x 3x x x x x <-+-+222322402)1(2≥---x x x1思路导引：按规范化程序操作,化为标准形式后求解,可以有效的防止错误;解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式0)1)(3(>-+x x ,易得：1,3>-<x x 或;由222+<x x 得01)1(2>+-x ,所以R x ∈; 综上所述,原不等式组的解集为{}13|>-<x x x 或，;2解析：由已知,0)4)(2()3(2≥-+-x x x , 用数轴穿根法易得原不等式的解集为：{}342|=≥-≤x x x x 或，，或误区警示：若不化为标准形式求解,易将解集错写为{}42|≤≤-x x ;另外,建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解,以防止漏掉3=x 这类解;3思路导引：解分式不等式的关键是去分母;但本题分母正负不明,若直接去分母应分类讨论,较为复杂,使用移项通分化为标准形式的方法较好;解析：将x x x x x <-+-+222322化为标准形式,得：0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ,因为12>++x x 恒成立,所以,0)1)(3()2(>+--x x x ;用数轴穿根法易得原不等式的解集为：{}321|><<-x x x 或，;4思路导引：解根式不等式关键是抓住乘方的条件,对原不等式实施等价转换,去除根号;解析：原不等式等价于：02)1(2>---x x x (1)或02)1(2=---x x x (2)由1得：⎪⎩⎪⎨⎧>->--01022x x x ,解得2>x ；由2得12-==x x ，或;所以,原不等式的解集为{}12|-=≥x x x ，或; 误区警示：请找出下面解法的错误： 由022≥--x x ,得01≥-x ,所以,原不等式的解为1≥x ;点评：解等式与不等式的混合型不等式,最好将等式与不等式分开求解,以避免错误; ◆题型二：解含参数的不等式不少同学都怕解含参数的不等式,究其原因,关键是没有把握住解题技巧;其实,解含有参数的不等式在总思路上与解普通不等式完全相同,当参数不影响式子的变形时,与解普通不等式没有差异,在参数影响式子的变形时,就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论,才能顺利的解出不等式;例2解下列关于x 的不等式： 102>+ax 2x t tx )2(22+>+3)1,0(1log 22log 3≠>-<-a a x x a a 1思路导引：本题在求解x 时必须去除系数a ,由于a 的范围不明,无法直接变形,若将a 按变形的要求分为正、负、零三类,则在每一小类中式子就能顺利变形了;解析：由已知,2->ax ; ①、当0>a 时,a x 2->； ②、当0<a 时, ax 2-<； ③、当0=a 时,20->恒成立,R x ∈ ;故,原不等式解集当0>a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->a x x 2|,当0<a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<a x x 2|,当0=a 时为R ;2思路导引：解含参数的二次不等式通常是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数有参数时需分正、负、零讨论,二是判别式△有参数时的需分正、负、零讨论,三是两根有参数时需根据他们的大小关系分类讨论;本题中的不等式即0)2)(1(>--tx x ,在求解过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方项系数t 的正、负、零,二是对应的二次方程的根1与t2是否存在、谁大谁小;此时,同一字母t 形成了不同的分类,可将t 在0、2处分段统筹安排进行分类如图;解析：原不等式即0)2)(1(>--tx x ;① 当0<t 时,可以化为0)2)(1(<+--tx x , 易知12<t ,所以12<<x t; ② 当0=t 时,原不等式即022>+-x ,所以 1<x ;③ 当20<<t 时,易知12>t,可得，1<x tx 2>或; ④ 当2=t 时,原不等式即0)1(22>-x ,所 以1≠∈x R x ，且;⑤ 当2>t 时,易知12<t ,可得，tx 2< 1>x 或;综上所述,原不等式的解集当0<t 时,为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<12|x t x ；当0=t 时,为{}1|<x x ；当20<<t 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><t x x x 21|，或；当2=t 时,为{}1|≠∈x R x x ，且；当2>t 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><12|x t x x ，或;误区警示：本题易漏掉20==t t 和两种特殊情况的讨论;另外,在0<t 时,解集易错为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><12|x t x x ，或;3思路导引：本题关键是抓住根式不等式的解题特点,对不等式进行乘方处理,去除根号;若令t x a =log 进行换元,会使书写变得更简便;解析：按根式不等式的解题思路,易知原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--<-≥-)3(01log 2)2()1log 2(2log 3)1(02log 32 x x x x a a a a由1得,32log ≥x a 由2得,1log ,43log ><x x a a 或 由3得.21log >x a 由此得,1log ,43log 32><≤x x a a 或 当1>a 时,易求得原不等式的解集为}|{4332a xa x a x ><≤，或；当10<<a 时,易求得原不等式的解集为}0|{3243a x a x ax <<≤<，或;误区警示：在乘方去除根号的过程中,要注意不等式乘方的条件以及根号内式子的取值范围,保证不等式的变形为等价变形;点评：从本例的解答过程可以看出,解含参数的不等式关键是抓住以下两个要点来处理不等式中的参数：一是由“参数是否影响不等式变形”来确定该不该对参数进行分类讨论,二是由“参数是怎样影响不等式变形” 来确定怎样对参数进行分类讨论;已知不等式的解集求参数值或范围是一类很常见也很重要的题型;由于该题型解法较为灵活,我们在解题时若不能把握住它的解题规律,往往会觉得变化莫测而无可适从;解答本题型关键是要抓住以下两个要点：一是按其正向题型“解不等式”变化,试解原不等式；二是利用已知的解集或解集的部分信息去逆向推测它们与参数的关系;两个要点结合,就会比较容易找到所求参数的方程或不等式,从而求出它们的值或范围;例3已知不等式022>++bx ax 1若不等式的解集为31,21-,求b a +；2若不等式的解集为R,求b a 、应满足的条件; 1思路导引：从解集的形式可知：原不等式必为二次不等式；再从解不等式的角度来看,原不等式的解集可由方程022=++bx ax 的二根来得出,但二根不方便写出,自然会想到用韦达定理列式解题;解析：由题意,方程022=++bx ax 的二根为3121和-, 所以,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯--=+->⨯-<aa b a b a 23121312102402易解得212-=-=b a ，, 所以,14-=+b a ;误区警示：不能遗漏条件0242>⨯-a b 和0<a ;2思路导引：原不等式022>++bx ax 的系数b a 、范围未定,可能形成二次型、一次型、常数型三类不等式;因为原不等式的解集为R,故原不等式只能为二次型、常数型不等式;解析：1当0==b a 时, 原不等式为02>,其解集显然为R,符合题意;2当0≠a 时,因为原不等式解集为R ,所以,⎪⎩⎪⎨⎧<⨯->02402a b a化简得a b a 802<>，且;综上所述,b a 、应满足的条件为：0==b a ；或a b a 802<>且;点评： 已知二次不等式的解集求参数值可分为两种类型：若解集为“两根内外”型,一般用韦达定理求解；若解集为R 或φ,则通常用数形结合解题;例4若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)25(20222k x k x x x 的整数解只有－2,求实数k 的取值范围;思路导引：本题的解题思路与已知不等式的解集求参数值相似,只是要注意不等式组的解集应是各个不等式解集的交集;解析： ⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--)2(05)25(2)1(0222 k x k x x x由1解得12-<>x x ，或;由2得0))(52(<++k x x ;因为－2是不等式组的解,故0)2](5)2(2[<+-+-⨯k ,得 2<k ,所以25->-k ,2的解为k x -<<-25; 由此可知,原不等式组的解为Ⅰ⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<k x x 251,或⎪⎩⎪⎨⎧-<<->k x x 252;因为2<k ,所以2->-k ,故Ⅰ的整数解为－2;而原不等式组的整数解只有－2,所以Ⅱ应该没有整数解,所以33-≥≤-k k ，即;综上所述,23<≤-k ;阅卷老师评题例51996年全国高考解不等式.1)11(log >-xa命题目的：本题综合考查了对数不等式、分式不等式、二次不等式的解法,以及分类讨论的思想和运算能力;考情分析：该题本身的能力要求并不高,但在解答的过程中却多次涉及易错点,故当年考生的得分率较低,区分度达;思路导引：因为对数函数的单调性与a 有关,故应对a 分类讨论去除对数符号,将原不等式化为分式不等式,然后再化为整式不等式求解;解析：Ⅰ当1>a 时,原不等式等价于： ⎪⎩⎪⎨⎧>->-)2(11)1(011 a x x 因1>a ,故只需解2式,由此得 )3(11 xa >- 因为,01<-a 所以,0<x 由3可得 .011<<-x aⅡ当10<<a 时,原不等式等价于： ⎪⎩⎪⎨⎧<->-)5(11)4(011 a xx 由4得,,01<>x x 或 由5得,011>->a x,故0>x , 易解得5的解为ax -<<111; 所以ax -<<111; 综上所述:当1>a 时,不等式的解集为 };011|{<<-x ax 当10<<a 时,不等式的解集为}.111|{ax x -<< 点评：解不等式要注意不等式变形的等价性,对常见的易错点应熟记于心,这样才能有效地避免错误;此外,在解题时注意充分使用已知条件,常常会得到简便解法;如解不等式25时利用a 的范围判断出x 的正负后,就能很方便的去分母了;本题也可由011>-x得出10><x x ，或后,分0<x 和1>x 两类解答;例62004年上海高考记函数fx=132++-x x 的定义域为A,g x =lg x －a －12a －xa <1 的定义域为B;1 求A ；2 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.命题目的：本小题主要考查集合的有关概念, 考查二次不等式、分式不等式、对数不等式的解法,以及分析问题和推理计算能力;考情分析：此题型在各地高考中经常出现;本题难度较小,得分率较高,但有的考生在求a 的范围时没充分使用1>a 的条件,引起解题过程复杂或出错;解析：1由2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, 解得 x <－1或x ≥1, 即A=－∞,－1∪1,+ ∞2 由x －a －12a －x >0, 得x －a －1x －2a <0.因为a <1,所以a +1>2a ,故B=2a ,a +1; 由B ⊆A 知：2a ≥1或a +1≤－1, 解得a ≥21或a ≤－2; 因为a <1, 所以21≤a <1或a ≤－2, 故当A B ⊆时, 实数a 的取值范围是－∞,－2∪21,1 ． 好题优化训练基础巩固1、1652->+-x x x 的解集为 A )1,(-∞ B ),2(+∞ C )35,1[ D )35,(-∞答案：D解析:取0=x 可排除B 、C ；取1=x 可排除A;故选D; 2、满足3121-><xx 与的x 的取值范围是 A 2131<<x B 21>x C 31-<x D 3121-<>x x ，或 答案：D解析:解不等式组或验证排除; 3、解不等式212->-x x答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521|x x解析:原不等式等价于Ⅰ⎩⎨⎧<-≥-02012x x ,或Ⅱ⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(1202012x x x x由Ⅰ解得221<≤x , 由Ⅱ解得52<≤x所以,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521|x x ;点评：若令t x =-12,则该不等式可化为一个关于t 的二次不等式求解;4、解关于x 的不等式04)1(22<++-x a ax ; 答案：原不等式的解集当0=a 时,为{}2|>x x ；当10<<a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 22|；当1=a 时为 φ；当1>a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<22|x a x ；当0<a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><22|x a x x ，或;解析: 原不等式即0)2)(2(<--x ax ,a 的范围明显会影响不等式的解集,故需分类讨论： 10=a 时,原不等式即042<+-x ,解得2>x ; 210<<a 时,22>a ,不等式的解为ax 22<<; 31=a 时,原不等式为0)2(2<-x ,Φ∈x ; 41>a 时,22<a ,不等式的解为22<<x a; 50<a 时,原不等式可化为0)2)(2(>-+-x ax , 易知22<a ,所以不等式的解为22><x a x ，或; 5、不等式13642222<++++x x m mx x 对一切实数x 均成立,求m 的取值范围; 答案：1,3;解析:已知分母恒正,故原不等式可化为：3642222++<++x x m mx x , 即0)3()26(22>-+-+m x m x , 由题意,该式对一切实数x 恒成立; 所以,0)3(8)26(2<---=∆m m , 容易解得31<<m ;技能培训6、不等式0343>---x x 的解集为：_______; 答案：3,＋∞;解析:原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-34303043x x x x ,解得3≥x ;7、设1)(2+-=ax x x f ;若方程0)(=x f 没有正根,则a 的取值范围为____________; 答案：)2(，-∞;解析:因为方程0)(=x f 没有正根,由图 易知；⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=∆0242aa , 或042<-=∆a ; 解得：2<a ; 8、若关于x 的不等式0342>+++x x a x 的解是13-<<-x ,或2>x ,则a 的值为 A 2 B 2- C21D 21-答案：B解析:原不等式即0)3)(1)((>+++x x a x ,由其解集易知2-=a ;9、若0)1(3)1()1()(2<-+--+=m x m x m x f 对于 一切实数x 恒成立,则m 的取值范围是 A ),1(+∞ B )1,(--∞ C )1113,(--∞ D ),1()1113,(+∞--∞ 答案：C解析:由已知,⎪⎩⎪⎨⎧<-+--<+0)1)(1(12)1(012m m m m ,解得1113-<x ; 10、解关于x 的不等式)1(12)1(≠>--a x x a ; 答案：不等式的解集当0<a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--212|x a a x ；当10<<a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<122|a a x x ；当0=a 时为Φ；当1>a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<>122|a a x x x ，或; 解析: 原不等式可化为02)2()1(>--+-x a x a ,所以0)]2()1)[(2(>-+--a x a x ; 1当0<a 时,21201<--<-a a a ，,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--212|x a a x ； 2当10<<a 时,212>--a a ,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<122|a a x x ；3当0=a 时,原不等式为10>,所以∈x Φ； 4当1>a 时,212<--a a ,,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<>122|a a x x x ，或;11、某工厂生产商品M,若每件定价80元,则每年可销售80万件;税务部门对市场销售的商品征收附加费,为了既增加国家收入又有利于活跃市场,必须合理确定征收的税率;根据调查分析,若政府对商品M 征收的税率为p ％时,每年销售减少10p 万件,试问：1若税务部门对商品M 每年所收税金不少96万元,求p 的取值范围;2在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,因如何确定p 值3若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定p 值答案：162≤≤p ;22=p ;34=p ;解析: 1税率为%p 时,销售量为p 1080-万件,销售金额为)1080(80p -万元80<<p ;由题意易得：⎩⎨⎧<<≥⋅-8096%)1080(80p p p ,解得62≤≤p ;2销售金额最大即)1080(80p -最大,由1可知,62≤≤p ,所以,当2=p 时 ,最大销售金额为4800万元;3由1知易知,销售金额为)1080(80p -,故税金为128)4(8%)1080(802+--=⋅-p p p , 因为80<<p ,所以,4=p 时,国家所得税金最多,为128万元;12、若不等式02>++c bx ax 的解集为),(βα,且βα<<0,求不等式02<++a bx cx 的解集; 答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ1,1|x x x 或解析:依题意,方程02＝c bx ax ++的二根为βα、,故有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=)2(0)1(0)( αββαac ab所以,)(βα+-=a b ,)(αβa c =,这样即可将不等式02<++a bx cx 化为0)()(2<++-a x a x a βααβ,由题意易知0<a ,所以0)1)(1(>--x x βα; 因为βα<<0,所以αβ110<<,故所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11|x x x ，或;13、解不等式)0(122>->-a x a ax答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥2|a x x解析:原不等式可化为：Ⅰ⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-)2()1(2)1(0122 x a ax x 或Ⅱ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-)4(02)3(012a ax x 由1得1≤x ,由2得a a x a a 2121++<<-+, 由3得1>x , 由4得2ax ≥; 因为0>a ,所以121>++a a ； 1当20≤<a 时,121≤-+a a ,12≤a,故不等式组Ⅰ的解为121≤<-+x a a ,不等式组Ⅱ的解为1>x ,此时,原不等式的解为a a x 21-+>;2当2>a 时,121>-+a a ,12>a,此时不等式组Ⅰ的解为Φ,不等式组Ⅱ的解为2ax ≥,原不等式的解为2a x ≥; 综上所述,原不等式的解集当20≤<a 时为{}a a x x 21|-+>,当2>a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥2|a x x ;点评：本题也可用图形法求解;思维拓展14、k 为何值时,方程0412=++-k kx x 的二实根的绝对值都小于1 答案： 5285-≤<-k 解析: 作函数41)(2++-==k kx x x f y ;因为方程0412=++-k kx x 的二实根的绝对值都小于1,所以函数图象与x 轴的交点的横坐标在－1与1之间如图 ; 分析图形特点可得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>+=->=<⨯--<-≥+--0452)1(045)1(11210)41(4)(2k f f k k k 解得5285-≤<-k ; 点评：已知一元二次方程的根在某个指定区间内时,常常数形结合,抓住判别式△、对称轴的位置以及区间端点的函数值列式解题;。

初三数学分式方程试题答案及解析1.分式方程的解是。

【答案】x=9。

【解析】观察可得最简公分母是x(x﹣3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解。

方程的两边同乘x（x﹣3），得3x﹣9=2x，解得x=9。

检验：把x=9代入x（x﹣3）=54≠0。

∴原方程的解为：x=9。

故答案为：x=9。

【考点】解分式方程。

2.（7分）（1）解关于m的分式方程=－1；（2）若（1）中分式方程的解m满足不等式mx+3＞0，求出此不等式的解集．【答案】（1）m=﹣2；（2）x＜1.5．【解析】（1）去分母将分式方程转化为整式方程，求出m的值，检验即可；（2）将m的值代入不等式，即可求出解集．试题解析：（1）去分母得：﹣m+3=5，解得：m=﹣2，经检验m=﹣2是分式方程的解；（2）将m=﹣2代入不等式得：﹣2x+3＞0，解得：x＜1.5．【考点】1.解分式方程2.解一元一次不等式．3.列方程（组）解应用题：某市计划建造80万套保障性住房，用于改善百姓的住房状况．开工后每年建造保障性住房的套数比原计划增加25%，结果提前两年保质保量地完成了任务．求原计划每年建造保障性住房多少万套？【答案】8.【解析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解．本题利用建设任务表示出建设时间，以时间为等量关系列方程是解题关键，等量关系为：提前2年完成建设任务.试题解析：设原计划每年建造保障性住房x万套．则解得 x=8．经检验：x=8是原方程的解，且符合题意．答：原计划每年建造保障性住房8万套．【考点】分式方程的应用．4.方程的解是【答案】x=3．【解析】原式可化为：2x=3（x－1）解得：x=3经检验得x=3是原方程的根所以原方程的解为x=3．故答案是x=3．【考点】解分式方程．5.济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成. （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天？【答案】（1）乙工程队单独做需要80天完成；（2）甲队做了45天，乙队做了50天.【解析】（1）根据“甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成”，设乙工程队单独完成这项工作需要x天，列出方程求解即可；（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，可得到方程，再根据x<46，y<52，得到方程组，其中x、y均为正整数，解此方程组即可得到答案.试题解析：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意得，解之得x=80.···················································3分经检验x=80是原方程的解.答：乙工程队单独做需要80天完成.·······················································4分（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，所以，即，又x<46，y<52，·····························5分所以，解之得42<x<46，因为x、y均为正整数，所以x=45，y=50.·················································7分答：甲队做了45天，乙队做了50天.···························································8分【考点】分式方程的应用；一元一次不等式（组）的应用．6.计算（1）计算：（2）解方程：【答案】（1）；（2）x = 4.【解析】（1）针对特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式化简，绝对值4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.（2）首先去掉分母，观察可得最简公分母是x（x+2）（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元二次方程，最后检验即可求解.试题解析：（1）原式.（2）去分母得 3x2–6x–x2–2x = 0，即 2x2–8x = 0，∴ x = 0或x = 4.经检验：x = 0是增根.∴原方程的解是x = 4.【考点】1.特殊角的三角函数值；2.负整数指数幂；3.二次根式化简；4.绝对值；5.解分式方程.7.某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用是0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？【答案】（1）100，50；（2）10.【解析】（1）方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解. 本题设乙队每天绿化x m2，则甲队每天绿化2x m2，等量关系为：在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解. 本题不等量关系为：这次的绿化总费用不超过8万元.试题解析：（1）设乙队每天绿化x m2，则甲队每天绿化2x m2，根据题意，得.解得：x=50.经检验，x=50.是原方程的根.2x=100.答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50m2。