江苏省2016年高考排列组合、二项式定理、概率相关练习

排列组合与二项式定理（1）【基本知识】1.甲班有四个小组，每组10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选1人担任校团委部，不同的选法种数为 852．6人站成一排，甲、乙 、丙三人必须站在一起的排列种数为 1444．用二项式定理计算59.98，精确到1的近似值为（ 99004 ）5．若2)nx 的项是第8项，则展开式中含1x的项是第 9项6．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 34种7．已知8()a x x-展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 1或288．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 38A 种9．设34550500150(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x ++++++++=+++L L ，则3a 的值是 451C10．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有____24______．11．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为____179______．（用数字作答）若1531-++++n n n n n C C C C ΛΛ=32，则n = 612．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第____10_____个数。

13、体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有___10___种。

三、解答题15、已知n 展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求x 的 系数．【解】由二项式系数的性质：二项展开式中偶数项的二项式系数之和为2n －1，得n =9，由通项92923199C (C (2)r rrrrr r r T x---+==-g g g ，令92123r r --=，得r =3，所以x 的二项式为39C =84， 而x 的系数为339C (2)84(8)672-=⨯-=-g．16、有5名男生，4名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？ （3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？ （4）若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？【解】（1）39504A = （2）287280 （3）17280 （4）211217．从7个不同的红球，3 个不同的白球中取出4个球，问：（1）有多少种不同的取法？（2）其中恰有一个白球的取法有多少种？ （3）其中至少有现两个白球的取法有多少种？ 【解】（1）210 （2）105 （3）7018、 已知n展开式中偶数项二项式系数和比()2na b +展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）n展开式中第三项的系数;（2）()2na b +展开式的中间项。

；展开
式共有项数为
项.
（2）二项展开式的通项 Tr1
，表示第
项.
（3）二项展开式中的二项式系数为
；项的系数是指
.
11、（1）对称性：与首末两端
的两项的二项式系数相等，即 Cnr
C nr n
(r
0,1, 2,, n)
18
（2）二项式系数最大的项在中间.当幂指数 n 为偶数时，最大的二项式系数为
，
最大二项式系数为第
项；当 n 为奇数时，最大的二项式系数为
，
最大的二项式系数为第
项.
（3）二项式系数之和为
.二项展开式中，各奇数项的二项式系数之和与各偶数
项的二项式系数之和相等，即：
==.源自12、若 (x 1)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 ，令
一、特殊元素特殊位置优先
，得 a0 a1 a2 a7
八、合理分类与分步策略 8、在一次演唱会上共有 10 名演员，其中 8 人能够唱歌，5 人会跳舞，现要演出一个 2
人唱歌 2 人伴舞的节目，有多少种选派方法？
九、构造模型策略 9、马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯，现要关掉其中的 3 盏，但不能关掉相
邻的 2 盏或 3 盏，也不能关掉两端的 2 盏，求满足条件的关灯方法有多少种？
； Ann
；规定， 0!
；
7、组合数 Cnm 的含义：
8、计算： Cnm
=
；
9、组合数的性质
（1）Cnm
；（2）Cnm
C m1 n
10、（1）对于 n N * ， (a b)n
；（3）Cn0 Cn1 Cn2 Cnn1 Cnn

周测（二）理科数学 排列与组合、二项式定理考试时间：120分钟姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共符合题目要求的） 1.已知等差数列765)1()1()1(,53}{x x x n a a n n +++++-=则的通项公式为的展开式 中含4x 项的系数是该数列的（ ）A.第9项B.第19项C.第10项D.第20项2.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ） A ．14 B ．16 C ．20 D ．48 3.20)1(x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为（ ）。

A. 190B. 380C. -190D. 04.已知n x )21(-展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则)1()21(x x n +-展开式中含2x 项的系数为A. 71B. 70C.21D. 49 5.已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1-6.4男4女排成一排，任意两名女子不相邻且任意两名男子也不相邻，所有的排法数（ ）A. 4444A AB. 44442A AC. 4445A AD. 44452A A7.平面内有4个红点,6个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任三点不共线,过这十个点中的任两点所确定的直线中,至少过一红点的直线的条数是( )A.28B.29C.30D.278.在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567,,,,,,a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有（ ）A.576B.720C.864D.11529.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有 种停放方法.A. 720B. 20C. 518400D. 1440010.设1021001210(1)a a x a x ax =++++ ，其中012,,a a a 是常数，则202101()(a a a a +++-+ 3a +29)a + 等于（ ）A.2 C 11.如图所示,在由二项式系数构成的杨辉三角形中,第( ) 行中从左至右第14个数与第15个数的比为2:3. 第0行1 第1行1 1 第2行1 2 1 第3行1 3 3 1 第4行1 4 6 4 1第5行1 5 10 10 5 1 …………A.40 B 50 C.34 D.3212.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ） A.60 B.90 C.120 D.130二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知（1＋x ）＋2(1)x ＋＋3(1)x ＋＋…＋(1)n x ＋＝0a ＋1a x ＋21a x ＋…＋n n a x ，且0a ＋1a ＋2a ＋…＋n a ＝126，则n 的值为______________．14.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++等于_____.15.理：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分．两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有 名高二年级的学生参加比赛．（结果用数值作答）16.从1，2，3，…，10这10个号码中任意抽取3个号码，其中至少有两个号码是连续整数的概率是▲ ．三、解答题（本大题共6小题，第1题10分，后5题每题12分，共70分）17.某乒乓球培训班共有n 位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。

排列组合、二项式定理一、选择题：1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．10245．如果()n x x x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是 A ．6810C xB ．5710C xxC ．468C xD ．6811C xx6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于 A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有 A ．24种B ．36种C ．60种D ．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为 A ．8B ．9C ．10D ．1117．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有 A ．36种B ．42种C ．50种D ．72种18．若1021022012100210139(2),()()x a a x a x a x a a a a a a -=+++⋯+++⋯+-++⋯+则 的值为 A ．0B ．2C ．－1D ．1答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案二、填空题：19．某电子器件的电路中，在A ，B 之间有C ，D ，E ，F 四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A ，B 间电路不通，则焊点脱落的不同情况有 种． 20．设f (x )＝x 5－5x 4＋10x 3－10x 2＋5x ＋1,则f (x )的反函数f －1(x )＝ ．21．正整数a 1a 2…a n …a 2n －2a 2n －1称为凹数，如果a 1>a 2>…a n ，且a 2n －1>a 2n －2>…>a n ，其中a i（i ＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a 1a 2a 3（a 1≠a 3）共有 个（用数字作答）．22．如果a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，那么a 2－a 3＋a 4 ．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元 排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）： 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 DBCBBDCBABBADDBCBD提示1．D 分五步：5×4×4×4×4＝1280．2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++= 3．C 46312.C -=4．B 分8类：3451001210012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为5555761010().T C x x C x x ==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0．14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。

高考数学排列组合与二项式定理选择题1. 某班级有40名学生，其中有15名女生，25名男生，现随机选取4名学生参加比赛，求选取的4名学生中恰好有2名女生的概率。

2. 一个密码锁有5个轮盘，每个轮盘上有数字1到6，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。

求解开锁的总方法数。

3. 一个图书馆有30本书，其中15本小说，15本非小说。

随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。

4. 一个班级有20名学生，其中有10名男生，10名女生。

现随机选取3名学生参加竞赛，求选取的3名学生中恰好有1名男生的概率。

5. 一个密码锁有4个轮盘，每个轮盘上有数字1到4，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。

求解开锁的总方法数。

6. 一个图书馆有20本书，其中10本小说，10本非小说。

随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。

7. 一个班级有30名学生，其中有15名男生，15名女生。

现随机选取4名学生参加比赛，求选取的4名学生中恰好有2名女生的概率。

8. 一个密码锁有5个轮盘，每个轮盘上有数字1到5，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。

求解开锁的总方法数。

9. 一个图书馆有15本书，其中8本小说，7本非小说。

随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。

10. 一个班级有40名学生，其中有20名男生，20名女生。

现随机选取5名学生参加比赛，求选取的5名学生中恰好有3名男生的概率。

11. 一个密码锁有4个轮盘，每个轮盘上有数字1到4，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。

求解开锁的总方法数。

12. 一个图书馆有30本书，其中15本小说，15本非小说。

随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。

13. 一个班级有20名学生，其中有10名男生，10名女生。

现随机选取3名学生参加竞赛，求选取的3名学生中恰好有1名男生的概率。

14. 一个密码锁有5个轮盘，每个轮盘上有数字1到5，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。

求解开锁的总方法数。

排列组合二项式1．（2016高考新课标2理数）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 2．（2016年高考四川理数）设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 43．（2016年高考四川理数）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）724．（2016高考新课标3理数）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个5．（2016高考新课标1卷）某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）346．（2016高考新课标3理数）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个7．（2016高考山东理数）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17．5，30]，样本数据分组为[17．5，20）， [20，22．5）， [22．5,25），[25，27．5），[27．5，30）．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（ ）（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）1408．（2016高考新课标2理数）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n9．（2016年高考北京理数）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多10．（2016东北三省三校一模，理8）数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为（ ）A ．33341296433C C C A A B ．333412963C C C C ．33331296444C C C A D ．333312964C C C 11．（2016河北衡水中学高三一调，理5）某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ） A ．144种 B ．150种 C ．196种 D ．256种12．（2016河北唐山一模，理4）()62x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ）（A ）15 （B ）-15 （C ）60 （D ）-6013．（2016江西省赣中南五校第一次考试，理8）不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为M ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为A ．732 B ．932C ．916D ．71614．（2016年高考北京理数）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________．（用数字作答）15．（2016高考新课标1卷）5(2x 的展开式中,x 3的系数是 ．（用数字填写答案）16．（2016高考天津理数）281()x x-的展开式中x 2的系数为__________．（用数字作答）17．（2016高考山东理数）若（ax 2）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______． 18．（2016高考江苏卷）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 19．（2016年高考四川理数）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ．20．（2016高考新课标2理数）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．21．（2016高考江苏卷）已知一组数据4．7,4．8,5．1,5．4,5．5，则该组数据的方差是________________．22．（2016高考山东理数）在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆22(5)9xy 相交”发生的概率为 ．23．（2016高考上海理数）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1．72,1．78,1．75,1．80,1．69,1．77则这组数据的中位数是_________（米）．24．（2016高考上海理数）在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．25．（2016高考江苏卷）（1）求3467–47C C 的值； （2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m+1）C mm +（m+2）+1C m m +（m+3）+2C m m +…+n –1C m n +（n+1）C m n =（m+1）+2+2C m n ．26．（2016高考新课标1卷）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元．在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？27．（2016高考新课标2理数）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1234≥5保费0．85a a1．25a 1．5a 1．75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5概率0．300．150．200．200．100．05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．28．（2016年高考四川理数）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0．5），[0．5,1），…，[4,4．5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．29．（2016年高考北京理数）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；（1）试估计C班的学生人数；（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，，表8．25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）30．（2016高考山东理数）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX ．31．（2016高考天津理数）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．32．（2016高考新课标3理数）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0．01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55ii y y =-=∑，≈2．646．参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑ 回归方程y a b =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-．33．（2016年云南省第一次高中复习统一检测，理18）某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ,求事件A 的概率()P A ；（Ⅱ）设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考答案1．B 【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有24C 条路，再从F 处到G 处最短共有13C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318C C ⋅=条，故选B ．考点： 计数原理、组合．【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 2．A 【解析】试题分析：二项式6()x i +展开的通项616r r rr T C xi -+=，令64r -=，得2r =，则展开式中含4x 的项为2424615C x i x =-，故选A ．考点：二项展开式，复数的运算．【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6()x i +的展开式可以改为6()i x +，则其通项为66r r r C i x -，即含4x 的项为46444615C i x x -=-．3．D 【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共44A 种可能，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D ． 考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．．4．C【解析】试题分析：由题意，得必有10a=，81a=，则具体的排法列表如下：考点：计数原理的应用．【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．5．B【解析】试题分析：如图所示,画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率10101402P +==．故选B ． 考点：几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由：长度、面积、体积等． 6．D 【解析】试题分析：由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以不正确．故选D ． 考点：1、平均数；2、统计图．【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ． 7．D 【解析】试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于22．5小时为后三组，有200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=（人），选D ．考点：频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目．从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力． 8．C 【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4mnπ=．选C ． 考点： 几何概型．【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解． 9．C 【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A ：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C ．考点：概率统计分析．【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题．如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此．列举的关键是要有序（有规律），从而确保不重不漏．另外注意对立事件概率公式的应用． 10．B【解析】将12名同学平均分成四组，共有333129644C C C A ，分别研究四个不同课题，共有33341296444C C C A A ⨯，从四组中每组选出一名组长，共有43，共计33344333129641296443C C C A C C C A ⨯⨯=种，故选B ． 11．B【解析】若有两所高校各有2名同学报考，一所高校有1名同学报考，有22353322C C A A ⋅⋅种报考方法；若有两所高校各有1名同学报考，一所高校有3名同学报考，有31352322C C A A ⋅⋅种报考方法，所以总共有2231335352332222150C C C C A A A A ⋅⋅⋅+⋅=种报考方法，故选B ． 12．C【解析】因为()62x y -展开式的通项公式为616(2)rrrr r T C xy -+=-，所以42x y 的系数为226(2)60C -=，故选C ．13．B【解析】列出相应的区域如下所示：区域M 是正方形区域，区域N 是阴影区域，()292212=-+=⎰-dx x x s 阴影，所以P ∈N 的概率为932；故选B ． 14．60． 【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式16(2)rrrr T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=，故填：60． 考点：二项式定理．【名师点睛】1．所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项．求解时，先准确写出通项r rn rn r b aC T -+=1，再把系数与字母分离出来（注意符号），根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n 的范围分析． 15．10 【解析】试题分析：5(2x 的展开式通项为555255C (2)2C r rrr rr x x---=（0r =,1,2,…,5）,令532r -=得4r =,所以3x 的系数是452C 10=． 考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数． 16．56- 【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的338(1)56C -=-．故答案为56-．考点：二项式定理【名师点睛】1．求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解． 17．-2 【解析】试题分析：因为5102552155()r rrr r rr T C ax C a x ---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点．本题难度不大，易于得分．能较好的考查考生的基本运算能力等．18．5.6【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 考点：古典概型概率【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题．江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法．因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件．19．32【解析】试题分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数ξ的取值为0,1,2，其中111(0),(1),(2),424P P P ξξξ======在1次试验中成功的概率为113(1)424P ξ≥=+=， 所以在2次试验中成功次数X 的概率为12313(1)448P X C ==⨯⨯=，239(2)()416P X ===，393128162EX =⨯+⨯=考点：离散型随机变量的均值【名师点睛】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有可能取值12,,,n x x x ，再求得对应的概率(1,2,,)i P i n =，则均值为1ni i i x P =∑．20．1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2． 考点： 逻辑推理．【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程．演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用．逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式． 21．0．1 【解析】试题分析：这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15S ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0．1， 考点：方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题．认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力． 22．34【解析】试题分析：直线y=kx 与圆22(5)9xy 相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即d 3=<，解得33k 44-<<，而[1,1]k，所以所求概率P=33224=．考点：1．直线与圆的位置关系；2．几何概型．【名师点睛】本题是高考常考知识内容．本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 23．1．76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1．69,1．72,1．75，1．77,1．78，1．80，这六个数的中位数是1．75与1．77的平均数，显然为1．76． 考点：中位数的概念．【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目．从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力． 24．112 【解析】 试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n2，所以n2256=，所以n 8=，二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以3T 112=．考点：1．二项式定理；2．二项展开式的系数．【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解．本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等． 25．（1）0（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）根据组合数公式化简求值（2）设置（1）目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的111m m m k k k C C C ++++= ，而且可由（1）归纳出的11(1)(m 1),(,1,,)m m k k k C C k m m n +++=+=+；单纯从命题角度看，可视为关于n 的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式11(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)m m n n m x m x n x n x +-++++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++中含m x 项的系数，再利用错位相减求和得含m x 项的系数 ，从而达到化简求证的目的试题解析：解：（1）3467654765474740.3214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(k 1)(m 1)]!m m k k k k k k C m m C k m m n m k m m +++⋅++==+=+=++-++-+又因为122112,m m m k k k C C C +++++++=所以2221(1)(1)(),k m 1,m+2,n.m m m k k k k C m C C +++++=+-=+，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(n 1)(1)[(2)(3)(n 1)](1)(1)[()()()](1)m m m mm m m nm m m mm m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m C m C m C C m C m C m C C m Cm CCCCCCm C +++++++++++++++++++++++++++=+++++++=+++-+-+-=+考点：组合数及其性质【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型．组合数性质不仅有课本上介绍的111m m m k k k C C C ++++=、=m k mk k C C -，更有11k k n n kC nC --=，现在又有11(1)(m 1),(,1,,)m m k k k C C k m m n +++=+=+，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用．26．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）19（Ⅲ）19n = 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定X 的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=9,n=20的期望,根据19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,应选19=n ．试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0．2,0．4,0．2,0．2,从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ； 16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ； 08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ；04.02.02.0)22(=⨯==X P ．所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ,68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19． （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．当19=n 时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+．当20=n 时,04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=．可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n ． 考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题． 27．（Ⅰ）0．55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列，再根据期望公式求解． 试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP0.30 0.15 0.200.20 0.100.050.850.300.051.23EX a a=⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望． 【名师点睛】条件概率的求法：（1）定义法：先求P （A ）和P （AB ），再由P （B|A ）＝P ABP A，求P （B|A ）；（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n （A ），再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n （AB ），得P （B|A ）＝n AB n A．求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；（2）求X 的每个值的概率；（3）写出X 的分布列；（4）由均值定义求出E （X ）． 28．（Ⅰ）0.30a ；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2．9． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由高×组距=频率，计算每组中的频率，因为所有频率之和为1，计算出a 的值；（Ⅱ）利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本总数=频数，计算所求人数；（Ⅲ）将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2．5≤x<3，再进行计算．试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0．5）中的频率为0．08×0．5=0．04， 同理，在[0．5,1），[1．5,2），[2,2．5），[3,3．5），[3．5,4），[4,4．5）中的频率分别为0．08，0．20，0．26，0．06，0．04，0．02．由0．04+0．08+0．5×a+0．20+0．26+0．5×a+0．06+0．04+0．02=1，解得a=0．30． （Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0．06+0．04+0．02=0．12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0．12=36 000．（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0．04+0．08+0．15+0．20+0．26+0．15=0．88>0．85， 而前5组的频率之和为0．04+0．08+0．15+0．20+0．26=0．73<0．85， 所以2．5≤x<3．由0．3×（x –2．5）=0．85–0．73， 解得x=2．9．所以，估计月用水量标准为2．9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 考点：频率分布直方图．【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力．在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．。

第十一章 排列组合、二项式定理一．能力题组1. 【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】在自然数列1,2,3,,n 中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ． ⑴ 求()31P ； ⑵ 求()440k P k =∑；⑶ 证明()()11n n nn k k kP k n P k --===∑∑，并求出()0nnk kP k =∑的值．【答案】（1）3；（2）24；（3）详见解析，!n ；试题解析：⑴ 因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,23,2,12,1,3或或， 所以()313P =；⑵()()()()()()444444401234k P k P P P P P ==++++∑011112433424=C C C +C C +C +0+1=9+8+6+0+1=24；⑶ 把数列1,2,,n ⋅⋅⋅中任取其中k 个元素位置不动， 则有k n C 种；其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()()0k n n n k P k C P -=，故()()00n nknn n kk k kP k kCP-===∑∑，又因为11k k n n kC nC --=，所以()()()()11111000.n nn n kknn n kn n k n k k k k kP k kCPn CPn P k -------=======∑∑∑∑，令()0,nn nk a kP k ==∑则1,nn ana -=且1 1.a =于是23411231234n n n a a a a a a a a na --⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 左右同除以2341n a a a a -⋅⋅⋅，得234!n a n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯= 所以()0!nnk kP k n ==∑考点：1.排列与组合； 2.数列的递推关系；2. 【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】(本题满分10分)若一个正实数能写成1(*)n n n N ++∈的形式，则称其为“兄弟数”. 求证：（1）若x 为“兄弟数”，则2x 也为“兄弟数”；（2）若x 为“兄弟数”，k 是给定的正奇数，则k x 也为“兄弟数”. 【答案】证明见解析.试题解析：（1）设1*)x n n n N =+∈，则221x n=++=，是“兄弟数”考点：新定义，二项式定理的应用.3.【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记niia=∑=0123na a a a a+++++，其中i N∈，n N+∈.（1）若a，1a，2a，…，na成等差数列，且a=，求证：()nii nia C==∑12nna-⋅；（2）若22201221(1)nk nnkx a a x a x a x=+=+++∑，2nn iib a==∑，记11[(1)]ni in i nid b C==+-∑，且不等式(1)n nt d b⋅-≤恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）5[1,]3-【解析】试题分析：（1）利用11k kn nkC nC--=，将和项转化为符合二项式展开定理条件，本题也可利用倒序相加法求和（2）本题关键在于求和2nn iib a==∑及11[(1)]ni in i nid b C==+-∑，对于2nn iib a==∑，可利用赋值法求偶数项的系数和得到；对于11[(1)]ni in i nid b C==+-∑，则需构造符合二项式展开定理条件，进行求和，最后根据恒成立，利用变量分离法，求最值得参数取值范围.试题解析：（1）设等差数列的通项公式为na a nd=+，其中d为公差则()0nii n i a C ==∑12012n nn n n a a C a C a C ++++01120()(2)n n n n n n n n a C C C d C C nC =++++++因为11k k n n kC nC --=所以122n nn n C C nC ++011111()n n n n n C C C ----=+++所以()0nii n i a C ==∑1022n n a nd -⋅+⋅=12n n a -⋅.注：第（1）问也可以用倒序相加法证明.考点：二项式定理4. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)ni C =中最小元素与最大元素之和，求32015132015C ii mC=∑的值．【答案】（1）221(2)(1)4n n n --（2）2016【解析】试题解析：（1）因为含元素1的子集有21n C -个，同理含2,3,4,,n 的子集也各有21nC -个，于是所求元素之和为22211(123)(2)(1)4n n C n n n -++++⨯=--； （2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．31nC i i m =∴∑312nC m m m =+++222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++22231244(1)()n n n C C C C --=+++++3(1)n n C ==+，3131nC ii nmn C =∴=+∑．32015132015201512016C ii mC=∴=+=∑．考点：排列组合计数，二项式定理5. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】（本小题满分10分）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．【答案】（1）5；（2）a n 1(2)21n n -=-⋅+．试题解析：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对， 所以a 35=；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．考点：子集，列举法，二项式系数的性质.6. （本小题满分10分）已知2012(2)(1)(1)+(1)(*)n n n x a a x a x a x n N +=+-+--∈．⑴求0a 及1nn i i S a ==∑；⑵试比较n S 与2(2)32n n n -+的大小，并说明理由． 【答案】（1）03na =，143nn n ii a==-∑；（2）当1n =时，2(2)32n n S n n >-+；当2n =或3时，2(2)32n n S n n >-+；当4n ≥时，2(2)32n n S n n >-+．由①②可知，当4n ≥时，24(1)32n n n n >-+成立．综上所述，当1n =时，2(2)32n n S n n >-+；当2n =或3时，2(2)32n n S n n >-+； 当4n ≥时，2(2)32n n S n n >-+．考点：二项式定理的应用，数学归纳法.7. 【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分10分）已知集合A 是集合P n ＝{1，2，3，…，n } (n ≥3，n ∈N *)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f (n )． （1）求f (3)，f (4)；（2）求f (n )（用含n 的式子表示）．【答案】（1）f (3)＝1，f (4)＝2；（2）f (n )＝⎩⎨⎧118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*．试题解析：（1）f (3)＝1，f (4)＝2； ………………………… 2分 （2）设A 0＝{m ∣m ＝3p ，p ∈N*，p ≤n3}，A 1＝{m ∣m ＝3p －1，p ∈N*，p ≤n ＋13}，A 2＝{m ∣m ＝3p －2，p ∈N*，p ≤n ＋23}，它们所含元素的个数分别记为∣A 0∣，∣A 1∣，∣A 2∣．……………………… 4分 ①当n ＝3k 时，则∣A 0∣＝∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝1，2时，f (n )＝(C 1k )3＝k 3；k ≥3时，f (n )＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k 3－32k 2＋k ．从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*． ………………………… 6分②当n ＝3k －1时，则∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ．k ＝2时，f (n )＝f (5)＝2×2×1＝4； k ＝3时，f (n )＝f (8)＝1＋1＋3×3×2＝20；k ＞3时，f (n )＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1 (C 1k )2＝32k 3－3k 2＋52k －1；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*． ………………………… 8分考点：归纳推理，排列组合的应用.8. 【徐州市2014～2015学年度高三第三次质量检测】设,,,*N n b a ∈且,b a ≠对于二项式.)(n b a -（1）当4,3=n 时，分别将该二项式表示为),(*N q p q p ∈-的形式；（2）求证：存在,,*N q p ∈使得等式q p b a n -=-)(与q p b a n -=-)(同时成立.【答案】(1)3-=,4-(2)见解析. 【解析】试题分析：(1)由二项式定理展开整理即可；（2）分n 为奇偶数讨论，用待定系数法求之.试题解析：（1）当n=3时，3(3(3a b b a =++=． ……2分当n=4时，42222464(6)4(a ab b a ab b a b =-+-=++-+，= ……………4分（2k k n nk b )(0-=，若n 为奇数，则]))(()()()()()([)(113332220-----++++=-n n n n n n n n n n n b a C b a C b a C a C b a11333222[]n n n n nn n n n n C C C C -----++++，分析各项指数的奇偶性易知，可将上式表示为b v a u b a n 11)(-=-的形式，其中*11,u v ∈N ，也即q p b v a u b a n -=-=-2121)(，其中a u p 21=，b v q 21=，*,p q ∈N ，………………………………6分若n 为偶数，则])()()()()()([)(2222220n nn n n n n n n n n b C b a C b a C a C b a ++++=----1331[]n n n n n C C ----+*22,u v ∈N ， 也即b a -)(22u ，ab v q 22=，*,p q ∈N . 所以存在,p q ∈ ………………………8分同理可得a (+从而有q p =-n n b a b )()-=，综上可知结论成立． …………………………………10分 考点：二项式定理及应用.9. 【扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学】设集合{1,0,1}M =-,集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，,集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nmS ． ⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时,求证：nm S 111322n m n +++<+-． 【答案】⑴228S =,4232S =；⑵见试题解析.试题解析：⑴228S =,4232S =；⑵设集合{0}P =,{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=,即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ,1个取自集合Q ,故共有112n n C -种可能,即为112n C ,考点：1.集合；2.排列组合；3.推理证明.10. 【盐城市2015届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分10分）设123*12341()(1)(2,)n n n n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈.（1）若数列{}n a 的各项均为1，求证：()0F n =；（2）若对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，试证明数列{}n a 是等差数列.【答案】（1）证明略，详见解析；（2）证明略，详见解析.【解析】试题分析：（1）由二项式定理得012233(1)n n n n n n n n x C C x C x C x C x +=+++++，令1x =-，即可得01230(1)n n n n n n n C C C C C =-+-++-，所以()0F n =得证； （2）使用数学归纳法即可证明.试题解析：（1）因数列{}n a 满足各项为1，即0123()(1)n n n n n n n F n C C C C C =-+-++-， 由012233(1)n n n n n n n n x C C x C x C x C x +=+++++，令1x =-， 则01230(1)n n n n n n nC C C C C =-+-++-，即()0F n =.综上所述，若()0F n =对任意3n ≥恒成立，则数列{}n a 是等差数列. 考点：1.二项式定理的应用；2.数学归纳法.：。

题一：144．详解：先将票分为符合条件的4份；由题意，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，则两人一张，2人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5、6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号；易得在5个空位插3个板子，共有3510C=种情况，但其中有四种是1人3张票的，故有10-4=6种情况符合题意，再对应到4个人，有4424A=种情况；则共有6×24=144种情况．题二：96．详解：由题意知本题是一个分步计数问题，先4个人中选2人，这2人每人会拿到2张票有246C=，编号为1～6的电影票按连续编号可以分为：13，24，35，46共4组．被选出的2人分别可以从这4组中人选一组，第1人有4种选法，若第一个人选择13，则第二个人就不能选择35，第2人有2种选法，则有4×2=8，剩余的2人2张票有2种结果，∴总的分法有6×8×2=96种．题三：540．详解：从5个位中任意取2个位，使这两个位上的数字相同（这2个位不能是十位和百位），共有（25C-1）×5=45 种方法，其余的3个位从剩余的4个数种选3个填上，共有34A种方法，恰有2个数位上的数字重复的五位数的个数是45×34A．由于十位上的数字小于百位上的数字的五位数占总数的一半，故满足条件的五位数的个数是（45×34A）÷2=540，故答案为540．题四：36．详解：如图所示：从5、7、9三个奇数中任选一个放在6与8之间， 可用13C 中选法，而6与8可以交换位置有22A 种方法，把6与8及之间的一个奇数看做一个整体与剩下的两个奇数全排列共有33A 种方法，利用乘法原理可得两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是13C •22A •33A =36．题五： 36．详解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有24C 种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有33A 种方法，根据分步计数原理，不同分法的种数为24C •33A =36．题六：30．详解：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是24C ，把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有33A 种结果，而①②好小球放在同一个盒子里有33A =6种结果，∴编号为①②的小球不放到同一个盒子里的种数是24C •33A -6=30．题七：128．详解：由已知条件可得a 5＝38C ·(－m )3＝－56m 3＝56，解得m ＝－1， 所以(x －m )8＝(x ＋1)8，所以a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝27＝128.题八：205．详解：以x -1代x 可得（x -1）5+（x -1）10=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9+a 10x 10， 则a 4为左边x 4的系数，左边x 4的系数为16510205C C -+=．题九：2． 详解：552155()r rr r r r r a T x x a xC C --+==，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴15C ·a ＝10，∴a ＝2.题十：（1）1；（2）－1632x；（3）1 1206x-．详解：由题意知，第五项系数为44(2)n C -，第三项的系数为22(2)nC -，则有4422(2)10(2)1n n C C -=-， 化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式1k T +＝8822()kk k C x-⋅-＝8(2)k kC-⋅822kk x--，令8－k 2－2k ＝32，则k ＝1， 故展开式中含32x的项为T 2＝－1632x.(3)设展开式中的第k 项，第k ＋1项，第k ＋2项的系数绝对值分别为1182k k C --⋅，82k k C ⋅，1182k k C ++⋅，若第k ＋1项的系数绝对值最大，则118811882222k k k k k k k kC C C C --++⎧⋅≤⋅⎪⎨⋅≤⋅⎪⎩解得56k ≤≤. 又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 79211x-. 由n ＝8知第5项二项式系数最大，此时T 5＝1 1206x -.题十一：C ．详解：在这一组数据中10出现次数最多，故众数是10； 这组数据的中位数是（10+10）÷2=10（分）；平均数是（3+5+6+7×5+8×4+9×11+10×27）÷50=9（分），这次听力测试成绩的众数、中位数和平均 数的和是10+10+9=29（分）；故选C ．题十二：73．详解：根据平均数的性质，可将平均数乘以8再减去剩余7名学生的成绩，即可求出x 的值．依题意得：x =77×8-80-82-79-69-74-78-81=73．题十三：100．详解：∵个体的值由小到大依次为4，6，8，9，x ，y ，11，12，14，16，且总体的中位数为10，∴x +y =20， ∴这组数据的平均数是（4+6+8+9+x +y +11+12+14+16）÷10=10，要使总体方差最小， 即（x -10）2+（y -10）2最小．又∵（x -10）2+（y -10）2=（x -10）2 +（20-x -10）2 =2（x -10）2， ∴当x =10时，（x -10）2+（y -10）2取得最小值． 又∵x +y =20，∴x =10，y =10．x y =100， 故答案为：100．． 详解：由题意知（a +1+2+3）÷4=1，解得2a =-，∴样本标准差为S ===．题十五：30．详解：由图知，（0.035+a +0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a =0.03， ∴身高在[120，130]内的学生人数在样本的频率为0.03×10=0.3， 故身高在[120，130]内的学生人数为0.3×100=30．题十六：0.1；50．详解：由频率分步直方图知，（0.02+m +0.06+0.02）×5=1，∴m =0.1，∴所抽取的体重在45～50kg 的人数是0.1×5×100=50人， 故答案为：0.1；50．题十七：34．详解：∵f (x )＝ax 2－bx ＋1在 [1，＋∞)上递增， ∴－－b 2a≤1，即2a ≥ b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤20≤b ≤2，2a ≥b画出图示得阴影部分面积．∴概率为P ＝2×2－12×2×12×2 ＝ 34．题十八：1613 ． 方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—2211132416⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=π－ππ．题十九：（Ⅰ）61；（Ⅱ）92． 详解：（Ⅰ）记“3次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中目标”为事件A ． 由题意，得事件A 的概率1231()3346P A =⨯⨯=； （Ⅱ）记“乙至少有1次射击击中目标”为事件B ， 事件B 包含以下两个互斥事件：1事件B 1：三次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙击中目标， 其概率为11211()33418P B =⨯⨯=； 2事件B 2：三次射击的人依次是甲、乙、乙，其概率为2211()346P B =⨯=．所以事件B 的概率为122()()9P B P B +=． 所以事件“乙至少有1次射击击中目标”的概率为92． 题二十：（1）80243；（2）451024． 详解：（I ）设“甲射击5次，有两次未击中目标”为事件A ，则23252180()()()33243P A C ==． 答：甲射击5次，有两次未击中目标的概率为80243． （II ）设“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件C ，由于乙恰好射击5次后被终止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标， 则12223313145()[()()()]()444441024P C C =⋅⋅⋅=+．答：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451024．。

专题20 排列组合、二项式定理测试题满分150分 时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1.设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 42.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A ．30种B ．36种C ．60种D ．72种4.已知(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，则a 13的值为( ) A ．945 B ．－945 C ．1 024 D ．－1 0245.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．168C ．144D ．1006.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．457．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472 D ．4848.若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016 x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－29.某校开设A 类课3门，B 类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种10.某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则不同的安排方法有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．114种11.若n⎛⎫的展开式中的二项式系数之和为64，则该展开式中3y 的系数是（ ） A ．15 B ．15- C ．20 D ．20-12.在(x －2)2 006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S ＝( ) A ．23 008 B ．－23 008 C ．23 009 D ．－23 009 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有 ． 14．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．15.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．16.若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则函数f (x )＝a 2x 2＋a 1x ＋a 0的单调递减区间是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？18.赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？19、在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项的系数和.20（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中的有理项．21.从1到9这九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？22、已知()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，且2012(23)(1)(1)n x a a x a x -=+-+-(1)n n a x ++-L .（1）求2a 的值； （2）求123n a a a a ++++L 的值.专题20 排列组合、二项式定理测试题参考答案一、选择题1.解析：选A 二项式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r，由6－r ＝4，得r ＝2. 故T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 2.故选A.2.解析：选D 从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类是取四个偶数，即C 44＝1种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即C 25C 24＝60种方法；第三类是取四个奇数，即C 45＝5，故有5＋60＋1＝66种方法．学_科网3.解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C 24C 24＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30种．4.解析：选B 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得a 13＝C 1315×32×(－1)13＝－943. 5.解析：选D 先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．(1)小品1，相声，小品2.有A 22A 34＝48； (2)小品1，小品2，相声．有A 22C 13A 23＝36； (3)相声，小品1，小品2.有A 22C 13A 23＝34.共有48＋36＋36＝100种． 6.解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102r·x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.7..解析：选C 由题意，不考虑特殊情况，共有C 316种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C 34种取法，取出2张红色卡片有C 24·C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24·C 112＝560－16－72＝472种，选C.8.解析：选C 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016， ∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.9.解析：可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 13C 25种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 23C 15种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C 13C 25＋C 23C 15＝30＋15＝45(种)．答案：C10解析：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为(2,2,1)时，有C 25C 23A 22·A 33＝90种，A ，B 住同一房间有C 23A 33＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类计数原理共有42＋72＝114(种)，故选D. 答案：D11. 【答案】A 【解析】由题意得264,6nn ==，因此3363622166r r r r r r r T C C x y ---+==，从而333,42r r -==，因此展开式中3y 的系数是426615.C C ==选A. 12. 答案：B 解析：设(x －2)2 006＝a 0x 2 006＋a 1x 2 005＋…＋a 2 005x ＋a 2 006，则当x ＝2时，有a 0(2)2006＋a 1(2)2 005＋…＋a 2 0052＋a 2 006＝0①；当x ＝－2时，有a 0(2)2 006－a 1(2)2 005＋…－a 2 0052＋a 2 006＝23 009②.①－②得2[a 1(2)2 005＋…＋a 2 005(2)]＝－23 009，即2S ＝－23 009，∴S ＝－23 006.故选B. 二、填空题 13．【答案】65【解析】分二类：第一类，甲上7楼，有52种；第二类：甲不上7楼，有4×2×5种，52＋4×2×5＝65．14.解析：T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案：－215.解析：把8张奖券分4组有两种方法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，∴不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60. 答案：6016.解析：∵(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴a 0＝1，a 1＝－C 15＝－5，a 2＝C 25＝10，∴f (x )＝10x 2－5x ＋1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋38，∴函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14三、解答题17、解 方法一 共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种).方法二 将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个18.解 分三类，第一类.2人只划左舷的人全不选，有C 35C 35＝100(种)；第二类，2人只划左舷的人中只选1人，有C 12C 25C 36＝400(种)；第三类，2人只划左舷的人全选，有C 22C 15C 37＝175(种).所以共有C 35C 35＋C 12C 25C 36＋C 22C 15C 37＝675(种).位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84(种)放法.故共有84种不同的选法.19.解：展开式的通项为2311()(0,1,22n rr r r n T C x r -+=-=,…,)n由已知：00122111()()()222n n n C C C -,,成等差数列，∴ 121121824n n C C n ⨯=+∴=,（1）5358T = （2）令1x =，各项系数和为125620.【解析】在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴ 8=n ．∴ 中，令1=x（2）通项公式为 ，1，2， (8)整数，即8,5,2=r 时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即21.解 (1)分步完成：第一步：在4个偶数中取3个，有C 34种情况. 第二步：在5个奇数中取4个，有C 45种情况. 第三步：3个偶数，4个奇数进行排列，有A 77种情况.所以符合题意的七位数有C 34·C 45·A 77＝100 800(个).(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C 34·C 45·A 55·A 33＝14 400(个).(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34·C 45·A 33·A 44·A 22＝5760(个). (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)，共有C 34·C 45·A 44·A 35＝28 800(个).22.【解析】（1）根据二项式的系数和即为2n ，可得25129n n =⇒=，因此可将()f x 变形为99()(23)[2(1)1]f x x x =-=--，其二项展开式的第1r +为9919(1)2(1)(09)r r r r r T C x r --+=--≤≤，故令7r =，可得727292(1)144a C =-=-；（2）首先令令901,(213)1x a ==⨯-=-，再令令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-=L ，从而1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-=L L . （1）由二项式系数和为512知，9251229n n ==⇒= 2分，99(23)[2(1)1]x x -=-- ，∴727292(1)144a C =-=- 6分；（2）令901,(213)1x a ==⨯-=-，令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-=L ，∴1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-=L L 12分．。

8289P P3、如图，、如图，A A 、B 、C 、D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有 16 16 16 种种. 4、从6人中选4605040302010321参加人数活动次数排列组合二项式、统计和概率练习题二项式、统计和概率练习题题组1：1、有)(N n n Î件不同的产品排成一排,若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种,则=n _5________. 2、8名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为位教师不相邻的排法种数为 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案 240 5、一副、一副扑克牌扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为花色相同的概率为234425(用数值作答)． 6、某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会、某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益公益活动（以下简活动（以下简 称活动）．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如名学生，他们参加活动的次数统计如 图所示．则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率的概率 是310、该文学社学生参加活动的人均次数为、该文学社学生参加活动的人均次数为 2.2 ．7、一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球(9个球除个球除颜色颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为球中至少有一个是白球的概率为 2021．8、古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土，土克水，水克火，火“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土，土克水，水克火，火 克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率 129、（文科）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵的横、纵坐标坐标，则点P 在直线x +y=5下方的下方的 概率为概率为16（理科）某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。

1．求(1－x)20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差． 解：由(1－x)20⇒T r ＋1＝C r 20(－x)r＝(－1)r C r 20x r2.所以r 2＝1⇒r ＝2⇒x 的系数为C 220，r 2＝9⇒r ＝18⇒x 9的系数为C 1820. 所以C 220－C 1820＝C 220－C 220＝0.2．若⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中的有理项．解：令x ＝1，则22n ＝1 024，解得n ＝5.T r ＋1＝C r 5(3x)5－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 5·35－r ·x 10－3r 2，有理项即使10－3r2为整数，r ＝0、r ＝2、r ＝4，有3项， 即T 1＝243x 5，T 3＝270x 2，T 5＝15x －1.3．已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n(n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项．解：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·（－2）4C 2n ·（－2）2＝101， 化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项T k ＋1＝C k8·(x)8－k·⎝⎛⎭⎫－2x 2k＝C k 8·(－2)k·x 8－k 2－2k，令8－k 2－2k ＝32，则k ＝1，故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.4．二项式(2x －3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y)9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C 35C 23＋C 45C 13种，后排有A 55种，共有(C 35C 23＋C 45C 13)·A 55＝5 400种．(2)除去该女生后，先取后排，有C 47·A 44＝840种． (3)先选后排，但先安排该男生，有C 47·C 14·A 44＝3 360种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C 36种，再安排该男生有C 13种，选出的3人全排有A 33种，共C 36·C 13·A 33＝360种．6．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．解：(1)因为前三项系数1，12C 1n ，14C 2n 成等差数列． 所以2·12C 1n＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0. 所以n ＝8或n ＝1(舍)． (2)由n ＝8知其通项T r ＋1＝C r 8·(x)8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1241x r ＝⎝⎛⎭⎫12r ·C r 8·x4－34r ，r ＝0，1，…，8.所以第三项的二项式系数为C 28＝28. 第三项系数为⎝⎛⎭⎫122·C 28＝7. (3)令4－34r ＝1，得r ＝4，所以含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫124·C 48＝358. 7．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144种．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法，4个球放进2个盒子可分成(3，1)，(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法． 故共有C 24⎝⎛⎭⎫C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22＝84种． 8．(2016·南京、盐城模拟)已知m ，n ∈N *，定义f n (m)＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！.(1)记a m ＝f 6(m)，求a 1＋a 2＋…＋a 12的值；(2)记b m ＝(－1)m mf n (m)，求b 1＋b 2＋…＋b 2n 所有可能值的集合．解：(1)由题意知，f n (m)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ≥n ＋1，C m n ，1≤m ≤n.所以a m ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ≥7，C m 6，1≤m ≤6.所以a 1＋a 2＋…＋a 12＝C 16＋C 26＋…＋C 66＝63.(2)当n ＝1时，b m ＝(－1)mmf 1(m)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ≥2，－1，m ＝1，则b 1＋b 2＝－1.当n≥2时，b m ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ≥n ＋1，（－1）m m ·C mn ，1≤m ≤n.又mC m n ＝m·n ！m ！（n －m ）！＝n·（n －1）！（m －1）！（n －m ）！＝nC m －1n －1， 所以b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝n[－C 0n －1＋C 1n －1－C 2n －1＋C 3n －1＋…＋(－1)n C n －1n －1]＝0.所以b 1＋b 2＋…＋b 2n 的取值构成的集合为{－1，0}．1．已知(2－3x)50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 50x 50，其中a 0，a 1，a 2…，a 50是常数，计算(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 50)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 49)2.解：设f(x)＝(2－3x)50，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 50＝(2－3)50， 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 50＝(2＋3)50， (a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 50)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 49)2 ＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 50)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 50) ＝(2－3)50(2＋3)50＝1.2．求证：(1)32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)；(2)3n ＞(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n ＞2)．证明：(1)因为32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C n n ·1)－8n －9＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9 ＝9×82(8n －2＋C 1n ·8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n]．所以32n ＋2－8n －9能被64整除．(2)因为n ∈N *，且n ＞2，3n ＝(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1>2n ＋n·2n －1＋2n ＋1＞2n ＋n·2n －1＝(n ＋2)·2n －1，故3n ＞(n ＋2)·2n －1.3．(2016·盐城调研)已知f(x)＝(2＋x)n ，其中n ∈N *. (1)若展开式中x 3的系数为14，求n 的值；(2)当x＝3时，求证：f(x)必可表示成s＋s－1(s∈N*)的形式．解：(1)因为T r＋1＝C r n·2n－r·x r2.令r2＝3得r＝6，故x3项的系数为C6n·2n－6＝14，解得n＝7.(2)证明：由二项式定理可知(2＋3)n＝C0n2n＋C1n2n－1·3＋C2n2n－2·(3)2＋…＋C r n2n－r(3)r＋…＋C n n(3)n＝(C0n2n＋C2n2n－2(3)2＋…)＋3(C1n2n－1＋C3n2n－3·3＋…)．令x0＝C0n2n＋C2n2n－2(3)2＋…，y0＝C1n2n－1＋C3n2n－3·3＋…，显然x0∈N*，y0∈N*.则(2＋3)n＝x0＋3y0，(2－3)n＝x0－3y0，所以(2＋3)n·(2－3)n＝x20－3y20＝1.令s＝x20，则必有s－1＝x20－1＝3y20.从而f(x)必可表示成s＋s－1的形式，其中s∈N*.4．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，此时有A33＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，此时有A33＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有A33＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有A13A33＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．5．(2016·南京四校调研)设f(x)＝(1＋x)(1＋2x)……(1＋nx)(其中n∈N*且n≥2)，其展开后含x r项的系数记作a r(r＝0，1，2，…，n)．(1)求a1(用含n的式子表示)；(2)求证：a 2＝3n ＋24C 3n ＋1.解：(1)a 1＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2.(2)证明：法一：当n ＝2时，f(x)＝(1＋x)(1＋2x)＝1＋3x ＋2x 2，此时a 2＝2. 又3n ＋24C 3n ＋1＝2C 33＝2，所以命题成立．假设当n ＝k(k≥2，k ∈N *)时，命题成立，即a 2＝3k ＋24C 3k ＋1.则当n ＝k ＋1时， a 2＝3k ＋24C 3k ＋1＋1·(k ＋1)＋2·(k ＋1)＋…＋k·(k ＋1) ＝3k ＋24C 3k ＋1＋k （k ＋1）2·(k ＋1)＝3k ＋24·k （k －1）（k ＋1）6＋k （k ＋1）2·(k ＋1)＝k （k ＋1）24(3k 2－k －2＋12k ＋12)＝k （k ＋1）24(k ＋2)(3k ＋5)＝3（k ＋1）＋24C 3k ＋2.即当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上，对任意n ∈N *且n≥2，a 2＝3n ＋24C 3n ＋1.法二：由题意知a 2＝1×2＋1×3＋…＋1·n ＋2×3＋2×4＋…＋2·n ＋…＋(n －1)n ＝（1＋2＋…＋n ）2－（12＋22＋…＋n 2）2＝12⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22－n （n ＋1）（2n ＋1）12 ＝n （n ＋1）4⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）2－2n ＋13 ＝n （n ＋1）4·（n －1）（3n ＋2）6＝3n ＋24C 3n ＋1.6．(2016·南京六校联考)g(x)＝C 0n f ⎝⎛⎭⎫0n x 0(1－x)n ＋ C 1n f ⎝⎛⎭⎫1n x 1(1－x)n －1＋C 2n f ⎝⎛⎭⎫2n x 2(1－x)n －2＋…＋C n n f ⎝⎛⎭⎫n n x n (1－x)0.(1)若f(x)＝1，求g(x)； (2)若f(x)＝x ，求g(x)．解：(1)因为f(x)＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫0n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＝…＝f ⎝⎛⎭⎫n n ＝1, 所以g(x)＝C 0n x 0(1－x)n ＋C 1n x 1(1－x)n －1＋C 2n x 2(1－x)n －2＋…＋C n n x n (1－x)0＝[(1－x)＋x]n ＝1.因为00无意义，所以g(x)＝1，且x≠0，x ≠1，x ∈R. (2)因为rCrn＝r·n ！r ！（n －r ）！＝n ！（r －1）！（n －r ）！＝n·（n －1）！（r －1）！[（n －1）－（r －1）]！＝nC r －1n －1， 其中r ＝1，2，…，n.所以rC r n ＝nC r －1n －1(r ＝1，2，…，n ).又因为f(x)＝x ，所以g(x)＝C 0n ·0·x 0(1－x)n ＋C 1n ·1n ·x 1(1－x)n －1＋C 2n ·2n ·x 2(1－x)n －2＋…＋C n n ·n n·x n (1－x)0＝1n[C 1n x 1(1－x)n －1＋2C 2n x 2(1－x)n －2＋…＋rC r n x r (1－x)n －r ＋…＋nC n n x n (1－x)0] ＝1n·n[C 0n －1x 1(1－x)n －1＋C 1n －1x 2(1－x)n －2 ＋…＋C r －1n －1·x r (1－x)n －r ＋…＋C n －1n －1x n (1－x)0] ＝x[C 0n －1x 0(1－x)n －1＋C 1n －1x 1(1－x)n －2＋…＋C r －1n －1xr －1(1－x)(n －1)－(r －1)＋…＋C n －1n －1xn －1(1－x)0]＝x[(1－x)＋x]n －1＝x.即g(x)＝x ，且x≠0，x ≠1，x ∈R.。

高考数学专题：排列、组合与二项式定理问题练习试题一．排列与组合问题1．某科技小组有四名男生两名女生，现从中选出三名同学参加比赛，其中至少一名女生入选的不同选法种数为（ ）A ．36CB ．1225C C C ．12212424C C C CD ．36A2．某校需要在5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一人参加活动，女生丙必须参加活动，则不同的选人方式有（ ）A ．56种B ．49种C ．42种D ．14种 3．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有（ ）A ．60种B ．48种C ．36种D ．24种4．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有（ ）A ．16种B ．18种C ．24种D ．32种5．为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，若12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个不同的代表队，则不同获奖情况种数共有（ ）A ．412CB ．3111162223C C C C C C ．31116322C C C C D ．311112622232C C C C C A 6．A 、B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有（ ）A ．13种B ．14种C ．15种D ．16种7．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有（ ）A ．10B ．48C ．60D ．808．数列{}n a 共七项，其中五项为1，两项为2，则满足上述条件的数列{}n a 共有（ ）A ．21个B ．25个C ．32个D ．42个 9．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有（ ）A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种 10．5个大小都不同的数按如图形式排列，设第一行中的最大数为a ，第二行中的最大数为b ，则满足a b <的所有排列的个数是（ ）A ．144B ．72C ．36D ．2411．有A ，B ，C ，D ，E ，F 共6个不同的油气罐准备用甲，乙，丙3台卡车运走，每台卡车运两个，但卡车甲不能运A 罐，卡车乙不能运B 罐，此外无其它限制. 要把这6个油气罐分配给这3台卡车，则不同的分配方案种数为（ ）A ．168B ．84C ．56D ．4212．若m 、2210{|1010}n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中(0,1,2){1,2,3,4,5,6}i a i =∈，并且606m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ ）A ．32个B ．30个C ．62个D ．60个 13．由0、1、2、3这四个数字，可组成无重复数字的三位偶数有_______个．14．从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是____________（用数字作答）．15．如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣．现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色．若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为_______（用数字作答）．二．二项式定理1．已知23132nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．已知622x x p ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知31nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n 等于______，系数最大的项是第___________项．4．621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为___________．（用数字作答） 5．6)21(x -展开式中所有项的系数之和为________；63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为__________．6．62)21(x x -展开式中5x 的系数为______________．7．已知n x )21(+的展开式中含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则n 等于__________．8．已知n+的二项展开式的第6项是常数项，那么n =_______． 9．62)2(x x+的展开式中的常数项是______________（用数字作答）． 10． 在6(12)x -的展开式，含2x 项的系数为_________________；所有项的系数的和为_______________． 11．在n的展开式中，前三项的系数的绝对值依次组成一个等差数列，则n =______，展开式中第五项的二项式系数为_____（用数字作答）． 12．82)2(x +的展开式中12x 的系数等于______________（用数字作答）． 13．210(1)x -的展开式中2x 的系数是______________，如果展开式中第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r 等于____________． 14． 若62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为160-，则常数a 的值为_________，展开式中各项系数之和为_________．答案一．1．C2．B3．C4．C5．C6．C7．D8．A9．C10．B11．D12．D13．1014．10 2115．240二1．B2．C 3．9，5 4．－20 5．1，－132 6．－160 7．58．10 9．60 10．60，111．8，70 12．112 13．－10，2 14．1，1。

高考数学（理科）专题练习 排列组合、二项式定理[A 组高考题、模拟题重组练] 一、排列、组合1．(2016·全国甲卷)如图22­1，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图22­1A ．24B ．18C ．12D ．9 2．(2016·四川高考)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．723．(2016·全国丙卷)定义“规范01数列”{a n }如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意122k k m a a a ≤⋯，，，，中0的个数不少于1的个数．若4m ＝，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个4．(2012·全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种D ．8种5．(2016·哈尔滨一模)某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )排列组合、二项式定理排列组合、二项式定理解析[A组高考题、模拟题重组练]一、排列、组合1．B[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G．从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F．因为从A到F 或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18．]2．D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．]3．C[由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a1＝0，a8＝1．不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C．]4．A[分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得，不同的选派方案共有2×6＝12(种)．]5．B[分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C312－3C34＝208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C14·C212＝264种．根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B．]6．A[从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7，2＋6，3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2＋3＋4＞8．四个以上的和都大于8，因此共有方法数为5．A中，x8的系数是1＋3＋1＝5(x8，x·x7，x2·x6，x3·x5，x·x2·x5)，B中，x8的系数大于1×2×3×4×5×6×7×8，C中，x8的系数大于8(8x8的系数就是8)，D中，x8的系数大于C49＞8(有四个括号里取x2，其余取1时系数为C49)．因此只有A是正确的，故选A．]7．B[法一：五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即C14；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一种情况下有C13种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集)，在第二种情况下有1种分法(剩下三名同学各分到一本小说)，在第三种情况下有C13种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说)，这样第二步骤共有情况数是C13＋1＋C13＝7，故本题的答案是7C14＝28，选B．法二：将3本相同的小说记为a，a，a；2本相同的诗集记为b，b，将问题分成3种情况，分别是①aa，a，b，b，此种情况有A24＝12种；②bb，a，a，a，此种情况有C14＝4种；③ab，a，a，b，此种情况有A24＝12种，总共有28种，故选B．]二、二项式定理8．C[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2．其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5．所以x5y2的系数为C25C13＝30．故选C．法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30．故选C．]9．B[(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C m2m，∴a＝C m2m．同理，b＝C m＋12m＋1．∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1．∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ＋1！m ！． ∴m ＝6．] 10．D[(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D ．]11．10[(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r 5·．令5－r2＝3，得r ＝4．故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10．]12．－2[T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5·a5－r ．令10－52r ＝5，解得r ＝2．又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2．]13．3[设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5． 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5．① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5．②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3．] 14．－20[x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20．]15．0[设(1＋x )6＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 6x 6，则a 1＝b 0＋mb 1，a 3＝b 2＋mb 3，a 5＝b 4＋mb 5，a 7＝b 6， 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝(b 0＋b 2＋b 4＋b 6)＋m (b 1＋b 3＋b 5)，又由二项式定理知 b 0＋b 2＋b 4＋b 6＝b 1＋b 3＋b 5＝12(1＋1)6＝32，所以32＋32m ＝32，m ＝0．] [B 组“10＋5”模拟题提速练] 一、选择题 1．B[因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案， ①2，2，1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有C 23×A 33＝18种；②3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有C 12×A 33＝12种．所以选派方案共有18＋12＝30种，故选B ．] 2．D[因为(1＋x )10＝(－2＋1－x )10，所以a 8等于C 810(－2)2＝45×4＝180．故选D ．]3．B[甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A 44A 22种排法，甲乙相邻且在两端有C 12A 33A 22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A 44A 22－C 12A 33A 22＝24(种)．]4．D[令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20．]5．D[T r ＋1＝C r 4·(ax 6)4－r·⎝⎛⎭⎫b x r ＝C r 4a 4－r b r x24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5．] 6．C[由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有C 13C 24＝18种，故选C ．]7．B[不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A 22种站法，再取一人站左侧有C 14×A 22种站法，余下三人站右侧，有A 33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A 22×C 14×A 22×A 33＝192，故选B ．]8．B[分2步进行分析：第1步，先将3个歌舞类节目全排列，有A 33＝6种情况，排好后，有4个空位， 第2步，因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目， 分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C 12A 22＝4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在两端，有2种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2＝48种； ②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A 22＝2种情况， 排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6＝72种． 则同类节目不相邻的排法种数是48＋72＝120，故选B ．] 9．C[因为⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎡⎦⎤1＋x ＋1x 2 01510 ＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝⎛⎭⎫1x 2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C ．]10．B[由题意，⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n 的展开式的项为T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r＝，令6n －152r ＝0，得n ＝54r ，当r ＝4时，n 取到最小值5．]32T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 7·37－r ·x 7－r ·(－x )r＝(－1)r C r 737－rx ，由7－53r ＝－3，得r ＝6，所以1x 3的系数是C r 7·(－1)6·3＝21．]1418[由题意，不考虑特殊情况，共有C316种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C34种取法，两种红色卡片，共有C24C112种取法，故所求的取法共有C316－4C34－C24C112＝560－16－72＝472．]11/ 11。

【母题来源一】【2016高考新课标2理数】【母题原题】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】考点：计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 【母题来源二】【2016年高考四川理数】【母题原题】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共44A 种可能，所以其中奇数的个数为44372A ，故选D.考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．【命题意图】本母题主要考查计数原理、排列组合的应用等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基 本计算能力.【考试方向】高考对计数原理、排列组合的考查主要以实际问题为背景考查计数原理、排列组合的应用，同时考查分类讨论思想的应用能力，题型多以选择题或填空题的形式考查，也有时在解答题中和概率结合进行考查. 【知识链接】1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：3.排列、组合(1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A mn ＝n ！(n －m )！，A n n ＝n ！，0！＝1(n ∈N *， m ∈N *，m ≤n )． (2)组合数公式及性质C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，C m n ＝n ！m ！(n －m )！，C 0m ＝1，C m n ＝C n －m n ，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 【易错警示】1.要注意“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘．2.正确判定“排列”与“组合”，区分两者的关键是：排列与元素的数学有关，组合与元素的顺序无关.【方法总结】解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

排列组合与二项式定理江苏真题汇编知识定位排列组合与二项式定理在历年江苏高考的数学试卷中考查的比例不是很大，而且一般考查的难度也不大，基本都是基础题型，而且在近年的考试中，比例还在逐渐减小.知识梳理一、高考考点、这块知识在高考要求里要求达到解释性理解水平。

二、命题思路及命题趋势高考基本考查基础题型，难度不大。

三、复习的安排（1）夯实基础，回归课本，注重三基.（2）做题的时候要有严谨的思考，认真运算。

例题精讲【试题来源】2015江苏高考数学试题【题目】袋中有大小形状都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，这2只球颜色不同的概率为______。

【答案】5 6【解析】这个题目考查“这2只球颜色不同的概率”要分类讨论，比较麻烦，利用正难则反思想，考虑任取2只球颜色相同的概率为22241=6CPC同，则5=6P异。

【知识点】排列组合与二项式定理江苏真题汇编【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】2014年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）【题目】从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．考查的是古典概型． 【知识点】排列组合与二项式定理江苏真题汇编 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）【题目】现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 【答案】6320 【解析】本题主要考查概率的计算和计数原理的应用。

总情况共有种，都为奇数的情况共有种，由古典概型公式得。

20【知识点】排列组合与二项式定理江苏真题汇编【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】2011年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）【题目】从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_____. 【答案】13【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数的种数为24C ＝6(种)，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1,2和2,4.故符合条件的概率为26＝13.【知识点】排列组合与二项式定理江苏真题汇编【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】2010年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）【题目】盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __【答案】21【解析】本题考查的是选出两个球颜色不同的概率，只需要求出“选出两只颜色不同的球”这个事件数和选出两个球事件总数即可。

第一部分 2016高考试题排列组合、二项式定理1.【2016高考新课标2理数】如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（)(A）24 (B）18 （C）12 （D）9【答案】B考点: 计数原理、组合。

【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事,步步之间是相关联的．2。

【2016年高考四川理数】设i为虚数单位,则6x i 的展开式中含x4()的项为（A)－15x4（B）15x4（C)－20i x4(D)20i x4【答案】A【解析】试题分析：二项式6()x i +展开的通项616r r r r TC x i -+=,令64r -=，得2r =，则展开式中含4x 的项为2424615C x ix =-，故选A.考点：二项展开式,复数的运算。

【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说,掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6()x i +的展开式可以改为6()i x +，则其通项为66r r r C ix -，即含4x 的项为46444615C i x x -=-．3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为（A)24 （B)48 (C ）60 （D ）72 【答案】D考点:排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中,个位是特殊位置,第一步应先安排这个位置,第二步再安排其他四个位置．。

4。

【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”{}na 如下：{}na 共有2m项,其中m项为0，m项为1,且对任意2k m≤,12,,,ka a a中0的个数不少于1的个数.若4m=，则不同的“规范01数列”共有（)（A)18个（B）16个（C)14个(D）12个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有10a=，81a=，则具体的排法列表如下：【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时,往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果． 5。

排列组合与二项式定理【2016届高三年级第一次模拟考试】 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是________. 【答案】2/5【解析】从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数n=25C =10, 这2个数的和为偶数包含的基本事件个数m=23C +22C =4,所以这2个数的和为偶数的概率为n m =52104【宝应县2013届高三数学第一次学习效果检测试题】从0，2，3，4这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 . 【答案】7/9【解析】从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数，分为两类：若取出的数字不含0，共组成23A =6个两位数，其中2为个位的两位数有1112C C =2个；若取出的两个数字中有一个为0，则0只能放在个位上，可组成1113C C =3个两位数，且都是偶数．由上可得所得两位数的个数为6+3=9个，其中偶数个数为2+3=5．故所得两位数为偶数的概率P=95【南京市盐城市2016届高三年级第一次模拟】书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为____________ 【答案】103 【解析】书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，基本事件总数n=25C =10， 则取出的两本都是数学书包含的基本事件个数是m=23C =3，所以取出的两本书都是数学书的概率为n m =103【南京师大附中2014届高三模拟考试】一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 ． 【答案】109 【解析】从形状大小都相同的5只小球中一次随机摸出2只球，共25C =10种，从形状大小都相同的5只小球中一次随机摸出2只球至少有1只黑球共有9231213=+•C C C 种，所以至少有1只黑球的概率为109【徐州市2014届高考信息卷】一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的概率是 ▲ ．【答案】53【解析】装有两只红球，三只绿球，从中随机抽取3只球，共有35C =10种情况，恰有1只红球，共有 种情况，所以恰有1只红球的概率是【江苏省南京、盐城市2014届高三第二次模拟考试】某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )． 【答案】【解析】（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P (A )＝C 42×2234＝2481＝827． 答：恰有2人申请A 大学的概率为827． （2）X 的所有可能值为1，2，3．62312=C C 53106=P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 43×A 32＋3×A 3234＝4281＝1427， P (X ＝3)＝C 42×A 3334＝3681＝49． X 的概率分布列为：所以X 的数学期望E (X )＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527．【南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试】 设集合{}*1,2,3,,(,2)S n n N n =∈≥，,A B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(,)A B 的个数为n P . （1）求23,P P 的值； （2）求n P 的表达式.【答案】（1）21P =，35P =；（2）101221(1)2(2222)(2)21n n n n P n n ---=-⋅-++++=-⋅+【解析】（1）当2n =时，即{}1,2S =，此时{}1A =，{}2B =，所以21P =，当3n =时，即{}1,2,3S =，若{}1A =，则{}2B =，或{}3B =，或{}2,3B =； 若{}2A =或{}1,2A =，则{}3B =；所以35P =. （2）当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,,1k -中任取若干个（包含不取），所以集合A 共有0121111112k k k k k k C C C C ------++++=种情况， 此时，集合B 的元素只能在1,2,,k k n ++中任取若干个（至少取1个），所以集合B 共有12321n kn k n k n k n k n kC C C C ------++++=-种情况，所以，当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合对(,)A B 共有1112(21)22k n k n k -----=- 对， 当k 依次取1,2,3,,1n -时，可分别得到集合对(,)A B 的个数，求和可得101221(1)2(2222)(2)21n n n n P n n ---=-⋅-++++=-⋅+.【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲________． 【答案】3/5【解析】251312C C C =53【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A (0，－1)，P n (x n 0，y n0)，n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ． （1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若 k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 【答案】（1）P 1的坐标为(1，1)；（2）略【解析】解：（1）因为k 1＝2，所以y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2，解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1，1)．（2）设k 1＝2p (p ∈N *)，即y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2p ，所以x 20－2px 0＋1＝0，所以x 0＝p ±p 2－1．因为y 0＝x 02，所以k n ＝y n0＋1x n 0＝x 2n 0＋1x n 0＝x n 0＋1x n 0，所以当x 0＝p ＋p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(1p ＋p 2－1)n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n ． 同理，当 x 0＝p －p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n ． ①当n ＝2m (m ∈N *)时，k n ＝2k =0∑mC 2k n p n－2k(p 2－1)k ，所以 k n 为偶数．②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2k =0∑m C 2k n p n－2k(p 2－1)k ，所以 k n 为偶数．综上， k n 为偶数．【2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）】甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．（1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望． 【答案】（1）112243； （2）的分布表为数学期望81121【解析】解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则(4)(5)P P x P x ==+= =441550552222()(1)()(1)3333C C -+-=112243． （2）由题意1,2,3,4,5=．2(1)3P ==，122(2)339P ==⨯=，1122(3)33327P ==⨯⨯=，3122(4)3381P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(5)381P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．的分布表为的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）】设01212(1)m m n n n n n m S C C C C ---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =；当n 为奇数时，12n m -=． （1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-； （2）记01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，求S 的值． 【答案】（1）略；（2）12014S =- 【解析】解：（1）当n 为奇数时，1n +为偶数，1n -为偶数， ∵1101221112(1)n n n n nn S CC C+++++=-++-，110122112(1)n n n n n n S C C C---+=-++-，11012211212(1)n n n n n n S C CC------=-++-，∴1111110011222221111111222()()(1)()(1)n n n n n n n n n n n n n n S S C C C C CCC-+-++-++-++++-=---++--+-=11012212112((1))n n n n n n CCCS --------++-=-．∴当n 为奇数时，11n n n S S S +-=-成立． 同理可证，当n 为偶数时， 11n n n S S S +-=-也成立． （2）由01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，得 0123100720142013201220111007201420142014201420142013201220111007S C C C C C =-+-+-=0112233100710072014201320132012201220112011100710071231007()()()()2013201220111007C C C C C C C C C -+++-++-+=0121007012100620142013201210072012201120101006()()C C C C C C C C -+----+-+=20142012S S -． 又由11n n n S S S +-=-，得6n n S S +=， 所以20142012421S S S S -=-=-，12014S =-．【徐州市2014届高考信息卷】徐州古称彭城，三面环山，历来是兵家必争之地，拥有云龙山、户部山、子房山和九里山等四大名山．一位游客来徐州游览，已知该游客游览云龙山的概率为23，游览户部山、子房山和九里山的概率都是12，且该游客是否游览这四座山相互独立．（1）求该游客至多游览一座山的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的山数，求X 的概率分布和数学期望()E X ． 【答案】（1）1/4；（2）略【解析】（1）记“该游客游览i 座山”为事件i A ，0,1i =，则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该游客至多游览一座山的概率为()()0115124244P A P A +=+=． （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===， ()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=，所以X故()0123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试】长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下：如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率； （2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望()E X ． 【答案】（1）94；（2）略 解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A ，则213124()()339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则224222666(0)225C C P X C C === 112112422244226656(1)225C C C C C C P X C C +===11112222424244222266101(2)225C C C C C C C C P X C C ++===211211242442226656(3)225C C C C C C P X C C +=== 222422666(4)225C C P X C C ===56101566()2342225225225225E X ∴=+⨯+⨯+⨯= 答：数学期望为2【扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试】 已知*0()()nk k n nk f x Cx n N ==∈∑．（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求)(x g 中含4x 项的系数；（2）证明：012121231(2)123[]3n m mm m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+．【答案】（1）56；（2）略【解析】（1）0011()(1)nk k n nnn n n n n k f x C x C x C x C x x ===+++=+∑ 456456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++()g x 中4x 项的系数为4444562356C C C ++=； （2）012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m nC C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++设12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++ ① 则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++ ……5分由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+②11(1)1(1)()(1)1(1)m nm n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+ 3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++ 21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+所以012121231(2)123[]3n m mm m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+【无锡市辅仁高级中学2012届高三第一次联合考试】甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ. （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）略；（2）（0，1/2] 【解析】总结：从所搜集资料来看，江苏省对于排列组合的考察，基本为填空题前5题一道，和后面附加题22、23一道，特殊情况下，22、23一道为排列组合一道为二项式定理，相对来说二项式定理考察的比较少。