转化与化归思想在解含绝对值不等式问题中的应用

化归思想在初中数学教学中的应用化归思想是数学中一种非常重要的思想方法，它在初中数学教学中有着广泛的应用。

化归思想的核心是将复杂问题化简为简单问题，并通过解决简单问题来解决复杂问题。

化归思想在初中数学教学中的应用主要体现在以下几个方面。

一、化归思想在初中数学解题中的应用在初中数学解题中，我们经常会遇到一些复杂的问题，如方程、不等式、几何图形的证明等等。

而化归思想可以帮助我们将这些复杂的问题化简为简单问题，从而更容易得到解答。

1.方程的化归在解方程时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，可以将复杂的方程化归为一次方程或二次方程，从而更容易求解。

例如，对于一个三次方程，我们可以通过令新的变量等于该方程的根，再进行适当的变换，将该三次方程化归为一个二次方程。

这样一来，我们只需要求解这个二次方程，就可以找到原方程的解。

2.几何证明的化归在几何证明中，有时我们遇到的问题相对复杂，而化归思想可以帮助我们将复杂的几何证明化归为简单的证明。

例如，在证明一点为某个角的平分线时，我们可以通过绘制一条垂直平分线，将原问题化归为证明两个直角三角形全等的问题。

这样一来，我们只需要证明这两个直角三角形全等即可得到结论。

3.不等式的化归在解不等式时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，也可以将复杂的不等式化归为简单的不等式。

例如，对于一个含有绝对值的不等式，我们可以通过将绝对值拆分为两个情况，分别进行讨论，从而化归为不含绝对值的简单不等式。

这样一来，我们只需要分别求解这两个简单不等式，就可以得到原不等式的解集。

二、化归思想在初中数学教学中的教学模式化归思想在初中数学教学中还有一种重要的应用，即可以用来引导学生形成良好的解题习惯，提高学生解题能力。

1.引导学生合理化归问题在教学中，教师可以通过设计一些具体问题，引导学生尝试将复杂问题化归为简单问题。

例如，在教学解一次方程时，教师可以设计一些与现实生活有关的问题，让学生先找到问题中的未知数，并通过列方程解决问题。

转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究【摘要】：随着科技、经济的迅速发展,数学在不同领域的应用日益广泛,数学教育成为世界各国关注的重点。

数学思想方法是数学学科的精髓,是分析与解决问题的理论基础,而转化与化归思想是数学中最重要的思想之一。

数学解题过程中处处渗透着转化与化归思想,学生解题能力的高低很大程度上也取决于其转化与化归能力的强弱。

笔者身处高中一线教学,结合教育教学实践经验以及调查分析,发现目前高中生数学解题中的转化与化归能力相对欠缺,影响学生解题能力的提升。

笔者希望本文的研究能够给一线教师提供一定的借鉴作用,对于提高学生的解题能力提供一定的帮助。

首先,笔者通过文献参考,了解转化与化归思想在国内外的研究现状,分析转化与化归思想的本质和内涵、转化与化归的原则、以及高中数学解题中转化与化归的常用方法。

简单来说,转化与化归思想就是通过观察、分析、类比、联想等思维过程把数学中需要解决的问题,遵循熟悉化、简单化、直观化等原则,选择合适的方法进行转化,然后归结到某些已经解决或比较容易解决的问题的一种思想方法。

其次,通过访谈和调查问卷,以我校部分教师和学生为研究对象,分别从教师和学生的角度研究转化与化归思想在高中数学中的应用现状。

研究表明,目前高中教师能够认识到转化和化归思想在高中数学解题中的重要作用。

但是,不少教师本身对于转化与化归思想缺乏系统深入的研究,教学过程渗透有限。

大部分学生的转化与化归能力仍然有待提高。

然后,结合教学实践经验,从高中数学中的数列、立体几何、函数、解析几何以及不等式几个方面,分析转化与化归思想的渗透策略。

这里重点选取近几年高考试题中一些具有代表性的问题,结合学生解题过程中存在的问题,具体分析老师在教学过程中的处理方式以及实践效果。

并提供《常见的递推数列通项公式的求法》解题教学案例,对课堂实践情况进行了详细分析。

最后,结合调查研究,笔者提出几点教学建议。

一要相信学生,给他们更多实践的机会;二要深入挖掘教材,感悟化归思想;三要注重概念、定理、公式等基础知识的教学,并注重知识之间的联系;四是通过变式训练引导学生应用化归思想;五是加强一题多解和多解归一的训练;六是引导学生及时归纳总结。

中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

数学化归思想在中学数学中的应用案例数学思想方法反映着数学观念、原理及规律的联系和本质，是培养学生学习能力的桥梁。

在数学中，我们通常采用化归思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

化归思想，是解决数学问题的一种重要思想，它贯穿于整个数学。

对初中学生来说，能熟练、灵活运用这一方法，可减轻不少负担，更会因此而爱上数学。

因此，化归思想为提升学生解决问题的能力，培养学生的数学素养发挥着重要的作用。

一、化归思想的特性（一）设计化归目标，确保化归实效化归作为一种思想方法，包含了化归的目标以及化归的方法和途径三个要素。

因此，化归思想方法的实施应有明确的对象，要设计好目标，选择好方法。

而设计目标是问题的关键。

设计化归目标时，要把要解决的问题化归为规律问题，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。

（二）力求等价性，确保逻辑正确化归包括等价化归和非等价化归。

中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

（三）注重多样性，研究转化方案在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。

因此研究设计合理、简单便捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都生搬硬套的方法，以免造成繁难不堪。

二、化归思想在数学教学中的应用案例（一）把新问题转化为旧问题把新的问题转化为熟悉的问题，运用学生熟悉的知识、经验和问题来解决。

同样，能将待解决的新问题化归为一个比较熟悉的问题，就可以将已知的知识和经验用于面临的新问题，以此激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，那么就更有利于问题的解决。

例如，教材中解二元一次方程是通过降次化归成一元一次方程；解二元一次方程组或三元一次方程组是通过消元化归成一元一次方程或二元一次方程组；解分式方程是化归成整式方程；异分母分数的加减法，通过通分转化成同分母分数的加减法；多边形的内角和问题转化为三角形的内角和来解决；梯形的中位线问题转化为三角形的中位线来解决。

例谈含绝对值不等式的解法作者：刘明星来源：《江西教育·综合版》2010年第02期在学习如何解含绝对值不等式时,有的同学被各种各样的方法弄得头晕脑转,解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

下面就总结了一些常见的不等式的解法:一、六类绝对值不等式的解法1.形如型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法,即:①当a>0时,f(x)af(x)>a或f(x)②当a=0时,f(x)af(x)≠0③当aaf(x)有意义。

例1 解以下不等式:(1)2x2-3>5(2)3≤8-x-x2(3)-1≥-2 (4)解略2.形如f(x)此类不等式的简捷解法是利用平方法,即:f(x)例2 解不等式x-1>2x+3。

解略3.形如f(x)g(x)型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法,即:①f(x)②f(x)>g(x)f(x)>g(x)或f(x)例3 解下列不等式:(1)x+1>2-x解:(1)原不等式等价x+1>2-x或x+1解得x>或无解,所以原不等式的解集是{x|x>｝。

4.形如aa>0)型不等式此类不解等式的简捷解法是利用等价命题法,即:aa>0)a例4 解不等式35.形如f(x)f(x)型不等式此类题的简捷解法是利用绝对值的定义,即:f(x)f(x)>f(x)f(x)例5 解不等式>。

解略。

6.形如f(x)+g(x)h(x)型不等式此类题的简捷解法是利用等价命题法转化,即:f(x)+g(x)f(x)+g(x)>h(x)f(x)+g(x)>h(x)或f(x)-g(x)>h(x)例6 解不等式x+2+x-2二、几点注意事项1.根据绝对值的定义,x>c(c>0)转化为两个不等式,这两个不等式的关系是“或”而不是“且”,因而原不等式的解集是这两个不等式解的并集,而不是交集。

例说化归与转化思想在解决不等式问题中的应用金华市第六中学浙江金华 321000解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，往往需要变换，将原问题转化为一个对自己较熟悉的新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.本文就不等式问题谈谈这种思想方法的应用，以供参考.一、利用“等价变换”思想，解不等式解不等式实际上是等价变换,也就是说，要求每一次变形所得到的不等式与变形前的不等式是等价的,因此，解不等式通常运用这种化归与转化思想。

比如：解分式不等式等价转化为整式不等式、解含绝对值不等式转化为不含绝对值不等式、解高次不等式向低次不等式转化，等等.例 1.解不等式|x-1|-|x-2|＜0.本题也可以利用不等式的乘方性质可直接转化为不含绝对值的不等式，原不等式即|x-1|＜|x-2|,两边平方等价于(x-1)2＜(x-2)2，整理即得当然，利用绝对值的几何意义，即|x-1|表示在数轴上到表示实数1的点的距离小于到表示实数2的点的距离，这样的实数在数轴上表示的点在实数对应的点的左侧，可直接得二、利用“函数方程”思想，变换不等式问题为函数方程问题不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、相互制约.在解决不等式问题时，函数与方程思想是一种重要方法，同时利用数形结合，以达到“以数辅形，以形助数”目的，从而使问题迎刃而解.例2设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，且，求实数a的取值范围[1]。

三、利用“反客为主”思想，解决含参不等式问题例3.若不等式2x-1＞m(x2-1)对|m|≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围.解析形式上看这个问题是含参数m的x的不等式问题，直接令（fx）=mx2-2x+(1-m)难以解决.若将其化为含参数x的m的一次不等式（x2-1）m（-2x-1）＜0，再令（fm）=（x2-1）m（-2x-1），这是因为（fm）是关于m的一次函数或常数函数，（fm）在[-2，2]上的最大值必在端点位置取得，所以（f-2），（f2）必有一个是最大值，因此只要f（-2）＜0，且f（2）＜0，解得可见，在解决此不等式问题时，有时将条件等价转化，利用“反客为主”思想，将含参数m的问题转化为含参数x的问题，变换主元与参数地位，从而使问题迎刃而解.四、利用“导数”思想，证明不等式不等式问题中，经常遇到不等式的证明。

浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用作者：黄庆彬来源：《新课程》2021年第12期新课程标准明确提出了高中生通过数学课程的学习要达到获“四基”、提“四能”的目标。

获“四基”，即学生获得数学基础知识、基本的技能、思想和活动经验;提“四能”，即提高学生从数学角度发现并提出问题、分析和解决问題的四种能力。

纵观近年来高考数学试题的编制及考查的内容，都很好地反映了课程改革理念，加大了数学思维能力的考查，注重学科思想方法的运用，这就要求教师在数学教学中要“两手抓”，既要加强基础知识与基本技能的教学，又要注意以素养为导向，以能力为重，加大各种思想方法的渗透。

在中学数学思想方法中，最基本、最核心的就是化归与转化思想，它是解决数学问题思想方法的精髓。

化归与转化，即运用转化、归结的数学手段，通过一定的数学过程，把一个复杂、陌生或者未解决的问题转化到已解决或较易解决的问题上来，从而破解原问题的一种方法。

数学家笛卡尔对此方法给予了高度评价，称之为解决数学问题的万能方法。

它对培养学生的解题能力和数学素质起至关重要的作用，故教师在平时教学中应注意引导学生抓基础与注重转化能力的培养两者并重，这是学好数学的金钥匙。

以下便是其模式。

一、高中数学中应用转化与化归思想遵循的原则应遵循4个原则：（1）熟悉化原则，即“化生为熟”，把陌生问题转化成熟悉问题。

（2）简单化原则，即“化繁为简”，把复杂问题转化成简单问题。

（3）直观化原则，即“化抽象为直观”，把较抽象的问题转化为较直观的问题（如数形结合思想，立体几何问题转化成平面几何问题）。

（4）正难则反原则。

若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法，或用逆否命题间接地解决问题。

二、高中数学中常见的转化与化归方法共有10种：在解决数学问题时，有的可用直接转换法、换元法、数形结合法，有的可用参数法、构造法、坐标法，还有的可用类比法、特殊法、一般化、等价转换法来解。

这些方法在一些题目中可能单独使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割开的。

“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用作者：章传科来源：《文理导航·教育研究与实践》 2014年第8期浙江省苍南县桥墩高级中学章传科转化与化归思想是高中数学最重要的思想之一，它的实质是揭示联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，数学问题的解决基本上是通过转化为已知或已解决问题实现的。

从这个意义上讲，一个数学问题的解答过程就是一个从未知向已知转化的过程。

数学思想的作用是无声的，蕴涵于一个个具体的数学问题的解答过程中，要寻找它的踪迹，也必须先深入到数学问题中。

现在让我们在一些具体的问题中去体会“转化化归”的思想方法。

一、在函数与不等式问题中的应用。

函数与不等式的内容在每年的高考中几乎占去了三分之二，函数与不等式问题的内容丰富多变，解法灵活多样，是高考考查的重点也是难点。

函数的三要素中定义域和值域都与不等式紧密相连，很多函数问题与不等式问题是相互交错的，一些特定的函数问题和不等式问题直接求解相对比较困难，可运用转化的方式进行等价求解。

如解分段函数的“最值”问题或求方程解的个数问题。

例如：“证明不等式，其中x≥1”这种问题，如果按照常规的思维用不等式的证明方法如比较法﹑分析法等很难下手，但是转换一个角度，将它视作要证明函数：的值恒大于0，只需要利用导数考查函数的单调性，求最小值，问题就很解决了。

证明一个数学命题，实际上是由假设经过推理以得出结论，当直接处理不容易时，往往我们会先考虑它的等价命题或者辅助命题，去寻求解题的思路。

原命题的等价命题或辅助命题的证明必须是我们所熟悉的知识和方法。

这种运用等价问题法和构造函数法在解答一些直接处理很难下手的函数或不等式问题时非常有用，体现了“转化与化归”思想的熟悉化原则和简单化原则。

从新课改的课程内容设计来看，作为数学的基础性内容，函数、不等式和方程仍然是比重最大的一块，这三者的关系密不可分，三者之间问题的相互转化也是其问题设计的一个重要指导思想，“转化与化归”的思想方法有着大量的运用和体现。