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曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程[对应学生用书P24][自主学习]1．有向线段的数量如果P ，M 是l 上的两点，P 到M 的方向与直线的正方向一致，那么PM 取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段PM u u u r的数量．2．直线参数方程的两种形式(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM u u u r的数量来表示．(2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M 分有向线段QP u u u r的数量比QM MP.①当λ>0时，M 为内分点；②当λ<0且λ≠－1时，M 为外分点； ③当λ＝0时，点M 与Q 重合．[合作探究]1．如何引入参数求过定点P (x 0，y 0)且与平面向量a ＝(a ，b )⎝⎛⎭⎪⎫或斜率为b a平行的直线的参数方程？提示：在直线l 上任取一点M (x ，y )，因为PM u u u r ∥a ，由两向量共线的充要条件以及PMu u u r＝(x －x 0，y －y 0)，可得x －x 0a ＝y －y 0b ，设这个比值为t ，即：x －x 0a ＝y －y 0b＝t ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t ∈R )．2．问题1中得到的参数方程中参数何时与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t ∈R )中参数t 具有相同的几何意义？提示：当a 2＋b 2＝1时．[对应学生用书P24]直线参数方程的确定[例1] (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α得到直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．[精解详析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两直线的交点为(3,4)．1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．已知直线过两点，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λλ为参数且λ≠－1.3．已知直线经过的定点与其方向向量a ＝(a ，b )(或斜率ba)，则其参数方程可为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋ta ，y ＝y 0＋tb(t 为参数)．1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．解：设直线AB 与l 的交点M (x ，y )，且AMMB＝λ，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数且λ≠－1)．①把①代入y ＝x 得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以点M 分AB 的比为1∶1.利用直线参数方程中参数的几何意义解决距离问题[例2] 写出经过点M 0(－2,3)，倾斜角为4的直线l 的参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标．[思路点拨] 本题考查直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M 0相距为2的点对应的参数t ，然后代入参数方程求此点的坐标．[精解详析] 直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos 3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)．①设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，M 点对应的参数为t ，则|M 0M |＝|t |＝2， ∴t ＝±2.将t 的值代入①式：当t ＝2时，M 点在M 0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)； 当t ＝－2时，M 点在M 0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．1．过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，|t |的几何意义是有向线段PM u u u r的长度，即P 与M 间的距离．2．过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t为参数)．当a 2＋b 2＝1时，|t |的几何意义是有向线段0M M u u u u u r 的长度，当a 2＋b 2≠1时，|t |的几何意义是0M M u u u u u r的长度的1a 2＋b 2.2．过点A (1，－5)的直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t(t 为参数)，它与方程为x－y －23＝0的直线l 2相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离．解：将直线l 1的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋122t ，y ＝－5＋322t(t 为参数)．⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1且32＞0，令t ′＝2t ，则将t ′代入上述方程得直线l 1的参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ′，y ＝－5＋32t ′(t ′为参数)．代入x －y －23＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋32t ′－23＝0，解得t ′＝43， ∴|AP |＝|t ′|＝4 3.直线与圆锥曲线的位置关系[例3] 已知直线l 过点P (1,0)，倾斜角为3，直线l 与椭圆23＋y 2＝1相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P ，M 两点间的距离； (2)求线段AB 的长|AB |.[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解．[精解详析] (1)∵直线l 过点P (1,0)，倾斜角为π3，cos α＝12，sin α＝32.∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．①∵直线l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程 并整理得5t 2＋2t －4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2.由根与系数的关系得：t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45，由M 为AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝|t 1＋t 22|＝15. (2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝8425＝2215.1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便．2．在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用)．3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．[考题印证](湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意．[答案] 4[对应学生用书P26]一、选择题1．已知直线l 过点A (1,5)，倾斜角为π3，P 是l 上一动点，若以PA u u r ＝t 为参数，则直线l 的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝5－32tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12t ，y ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t解析：选D ∵PA u u r ＝t ，∴AP u u u r＝－t .则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋－t cos π3，y ＝5＋－tsin π3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t .故选D.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°解析：选C 法一：将原方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)，所以直线的倾斜角为110°.法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋－t cos 110°，y ＝－t sin 110°，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110 °，所以直线的倾斜角为110°. 3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：选C 设直线上的点Q (－2－2t,3＋2t )与点P (－2,3)的距离等于2， 即d ＝－2－2t ＋22＋3＋2t －32＝ 2.解得t ＝±22.当t ＝22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×22＝－3，y ＝3＋2×22＝4，∴Q (－3,4)．当t ＝－22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝3＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，∴Q (－1,2)．综上，符合题意的点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．4．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3D ．63＋1解析：选B 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． 二、填空题5．过P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________． 解析：∵直线l 通过P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4－32t ，y ＝t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝12t6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t的斜率为－32，∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin θ，y ＝－2＋t cos θ(t 为参数)，其中角θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则直线l 的倾斜角是________．解析：将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 答案：3π2－θ8．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝________.解析：把直线的参数方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12t 2＝1， 即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |＝12＋12＝2，|PB |＝22＋22＝2 2.∴|PA |·|PB |＝2×22＝4.答案：4三、解答题9．已知P 为半圆C ：x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)． 10．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程； (2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于点A 和点B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角α＝π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4， 整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是圆锥曲线的左、右焦点． (1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解：(1)圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t (t 为参数)． (2)法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1sin 120°－θ， 即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3. 法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程：ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。
圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一类重要的曲线，它们是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
这些曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。
以下是圆锥曲线的知识点总结：1. 椭圆：椭圆是平面上所有与两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
这个常数大于两个焦点之间的距离。
椭圆的标准方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，\( a \) 是椭圆的半长轴，\( b \) 是椭圆的半短轴。
2. 抛物线：抛物线是平面上所有与一个焦点和一个定点（顶点）距离相等的点的集合。
抛物线的标准方程可以表示为：\[ y^2 = 4ax \]或者\[ x^2 = 4ay \]其中，\( a \) 是抛物线的参数，表示顶点到焦点的距离。
3. 双曲线：双曲线是平面上所有与两个焦点距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
这个常数小于两个焦点之间的距离。
双曲线的标准方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]或者\[ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \]其中，\( a \) 是双曲线的实半轴，\( b \) 是双曲线的虚半轴。
4. 圆锥曲线的性质：- 椭圆具有两个焦点，所有点到两个焦点的距离之和是常数。
- 抛物线具有一个焦点和一个顶点，所有点到焦点的距离等于到顶点的距离。
- 双曲线具有两个焦点，所有点到两个焦点的距离之差的绝对值是常数。
- 圆锥曲线的焦点可以通过方程的参数确定。
5. 圆锥曲线的应用：- 椭圆在天文学中描述行星的轨道。
- 抛物线在光学中描述光线通过抛物面反射后的路径。
- 双曲线在工程学中用于设计某些类型的天线。
6. 圆锥曲线的参数化：- 椭圆的参数方程可以表示为：\[ x = a \cos(t) \]\[ y = b \sin(t) \]- 抛物线的参数方程可以表示为：\[ x = at^2 \]\[ y = 2at \]- 双曲线的参数方程可以表示为：\[ x = a \sec(t) \]\[ y = b \tan(t) \]7. 圆锥曲线的几何特征：- 椭圆的长轴和短轴是对称的，且椭圆是封闭的。
2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程学习目标：1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程.2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程．(易错易混点)3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题．(难点)教材整理1 圆的参数方程 1．标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点，半径为r ，设点P (x ，y )是圆周上任意一点，连结OP ，令OP 与x 轴正方向的夹角为α，则α唯一地确定了点P 在圆周上的位置．作PM ⊥Ox ，垂足为M ，显然，∠POM ＝α(如图)．则在Rt△POM 中有OM ＝OP cos α，MP ＝OP sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数)．这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角．2．一般圆的参数方程以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆，普通方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数，a ，b 是常数)．填空：(1)圆心为(2,1)，半径为2的圆的参数方程是________． (2)在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝sin α(α为参数)中，圆的圆心是________，半径是________．(3)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)上的点到O (0,0)的距离的最大值是________，最小值是________．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)．(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0)，半径为1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1)，半径为1. ∵圆心到原点的距离为2，∴最大值为2＋1， 最小值为2－1.[答案] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)(2)(－1,0) 1 (3)2＋1 2－1教材整理2 椭圆与双曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程 (1)椭圆的中心在原点标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．参数φ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角． (2)椭圆方程不是标准形式其方程也可表示为参数方程的形式，如(x －x 0)2a2＋(y －y 0)2b2＝1(a ＞b ＞0)，参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数)．2．双曲线的参数方程当以F 1，F 2所在的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，双曲线的普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．此时参数方程为 (φ为参数)．其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆参数方程中，参数φ的几何意义是椭圆上任一点的离心角．( ) (2)在椭圆上任一点处，离心角和旋转角数值都相等．( ) (3)在双曲线参数方程中，参数φ的范围为[0,2π)．( ) [解析] (1)√ 椭圆中，参数φ的几何意义就是离心角．(2)× 在四个顶点处是相同的，在其他任一点处，离心角和旋转角在数值上都不相等． (3)× 双曲线中，参数φ的范围是φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2.[答案] (1)√ (2)× (3)×【例1】 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[精彩点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [尝试解答] 如图所示，设圆心为O ′，连结O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.1．确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.2．由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．[解] 设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.【例2】 如图所示，已知点M 是椭圆a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，A (a,0)和B (0，b )是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．[精彩点拨] 本题可利用椭圆的参数方程，把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解．[尝试解答] M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，由椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，故可设M (a cos φ，b sin φ)，其中0＜φ＜π2，因此，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB＝12OA ·y M ＋12OB ·x M ＝12ab (sin φ＋cos φ)＝22ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4.所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 面积的最大值为22ab ．本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，这是解题的突破口和关键，用椭圆的参数方程，将面积表示为参数的三角函数求最大值，思路顺畅，解法简捷，充分体现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性．2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．[解] (1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.【例312|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.[精彩点拨] 将双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos φ，y ＝tan φ，再利用三角运算进行证明．[尝试解答] 因为双曲线的方程为x 2－y 2＝1， 所以设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ.∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1， |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－22＋tan 2φ ＝2cos 2φ－22cos φ＋1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP |2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1，∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.1．与双曲线上点有关的问题，常利用其参数方程转化为三角的计算与证明问题． 2．对由参数方程给出的双曲线确定其几何性质问题，常将其化为普通方程后，再求解．3．求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．[证明] 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b 2(定值).[探究问题1．给定参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中a ，b 是常数．(1)如果r 是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？ (2)如果α是常数，r 是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？[提示] (1)参数方程表示的曲线是以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆(r ≠0)． (2)参数方程表示的曲线是过(a ，b )点，且倾斜角为α的直线． 2．圆的参数方程中，参数有什么实际意义？[提示] 在圆的参数方程中，设点M 绕点O 转动的角速度为ω(ω为常数)，转动的某一时刻为t ，因此取时刻t 为参数可得圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt(t 为参数)，此时参数t 表示时间．若以OM转过的角度θ(∠M 0OM ＝θ)为参数，可得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)，此时θ具有明显的几何意义．3．利用圆的参数方程表示其上任意点坐标时有什么优越性？[提示] 将其横纵坐标只用一个参数(角)来表示，可将与点的坐标有关的问题转化为三角问题求解．【例4】 设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C .(1)判断C 与直线x ＋3y －2＝0的位置关系； (2)求曲线C 上的动点到原点O 的距离的最小值；(3)点P 为曲线C 上的动点，当|OP |最小时(O 为坐标原点)，求点P 的坐标； (4)点M 是曲线C 上的动点，求其与点Q (－1，－3)连线中点的轨迹．[精彩点拨] 本题考查圆的参数方程的应用，以及运算和转化与化归能力． (1)利用圆心到直线的距离与半径的关系判断． (2)设P 的坐标表示出|OP |，利用三角函数知识求最值． (3)利用(2)取最小值的条件即可．(4)设出点M 的坐标，进而表示出MQ 中点坐标，即得轨迹的参数方程．[尝试解答] (1)曲线C 是以(1，3)为圆心，半径为1的圆，则圆心(1，3)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|1＋3×3－2|12＋(3)2＝1，故直线和圆相切． (2)设圆上的点P (1＋cos θ，3＋sin θ)(0≤θ<2π)． |OP |＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3， 当θ＝4π3时，|OP |min ＝1.(3)由(2)知，θ＝4π3，∴x ＝1＋cos 4π3＝12，y ＝3＋sin4π3＝32，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. (4)设MQ 的中点为(x ，y )．∵M (1＋cos θ，3＋sin θ)，Q (－1，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ－12＝12cos θ，y ＝－3＋3＋sin θ2＝12sin θ(θ为参数)．所以中点轨迹是以原点为圆心，12为半径的圆．1．与圆的参数方程有关的问题求解时，可直接利用参数方程求解，也可转化为普通方程问题求解．2．与圆上点有关的距离最值问题，需建立目标函数求解时，常利用圆的参数方程，将圆上的点用角表示，从而将待求最值，转化为三角函数的最值问题求解，但要注意参数θ的取值范围．4．如图，设矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4,4)，点A 在圆x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)上移动，且AB ，AD 两边分别平行于x 轴，y 轴．求矩形ABCD 面积的最小值及对应点A 的坐标．[解] 设A (3cos θ，3sin θ)(0＜θ＜90°)，则|AB |＝4－3cos θ，|AD |＝4－3sin θ， ∴S ＝|AB |·|AD |＝(4－3cos θ)(4－3sin θ) ＝16－12(cos θ＋sin θ)＋9cos θsin θ.令t ＝cos θ＋sin θ(1＜t ≤2)，则2cos θsin θ＝t 2－1.∴S ＝16－12t ＋92(t 2－1)＝92t 2－12t ＋232＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫t －432＋72，∴t ＝43时，矩形ABCD 的面积S取得最小值72.此时⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝43，cos θsin θ＝718，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4±26，sin θ＝4∓26.∴对应点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22或 ⎝⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22.1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)[解析] 由圆的参数方程知，圆心为(2,0)． [答案] D2．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)[解析] 圆心在点C (a ，b )，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．[答案] D3．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________．[解析] 由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3，b ＝5，得a 2＝9，b 2＝5，⇒c 2＝4，所以e＝c a ＝23. [答案] 234．双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________．[解析] 曲线C 的普通方程为x 29－y 216＝1，得焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．[答案] (－5,0)，(5,0)5．能否在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．[解] 设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝23sin φ(φ是参数，0≤φ＜2π)．则d ＝|4cos φ－43sin φ－12|5＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3－3，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝1时， 即φ＝53π时，d min ＝455，此时对应的点为(2，－3)．。
二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点) 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的参数方程阅读教材P 27～P 29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.45 B.35 C.34D.15【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，∴c 2＝9，c ＝3，e ＝35.【答案】 B教材整理2 双曲线的参数方程 阅读教材P 29～P 32，完成下列问题.普通方程参数方程x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 【解析】 由x ＝3sec θ得， x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适． 【答案】 B教材整理3 抛物线的参数方程阅读教材P 33～P 34“习题”以上部分，完成下列问题． 1．抛物线y2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．2．参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.【解析】 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1， |PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 【答案】 4[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a ，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[再练一题]1．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4).双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用．[再练一题]2．如图221，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图221【证明】 设P (sec φ，tan φ)， ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【导学号：91060021】【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)． 当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．[再练一题]3．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2[构建·体系]圆锥曲线的参数方程—⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x 24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )【导学号：91060022】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax， 代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0) 4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1. 又a >0，∴a ＝32.【答案】 325．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．【解】 将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得：516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A 2．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤3，∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B5．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－ty ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( )【导学号：91060023】A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t＞0,2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，得y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 【答案】 B 二、填空题6．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，得点M 的坐标为(1,23) 直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 37．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝08．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 三、解答题9．如图222所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图222【解】 抛物线标准方程为x2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．10．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，① x 24＋y 2＝1，②①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝85.设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝825，故所求的弦长为825.[能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)【解析】 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 【答案】 A2．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)【解析】 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.【答案】 D3．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴－25≤f (θ)≤25， ∴－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25]4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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2.3。
2 双曲线的几何性质学习目标1。
了解双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)。
2。
理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程。
3。
掌握标准方程中a，b,c，e间的关系．知识点一双曲线的性质标准方程错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)错误!－错误!＝1 (a>0，b>0）图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点顶点顶点坐标：A1（－a，0),A2（a,0）顶点坐标：A1(0，－a），A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（1，＋∞），其中c＝错误!a，b,c间的关系c2＝a2＋b2（c〉a〉0,c>b>0）知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1）x2－y2＝1；（2)4x2－4y2＝1.答案（1）的实半轴长为1,虚半轴长为1(2）的实半轴长为错误!,虚半轴长为错误!。
它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为 2.1．双曲线错误!－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的形状相同．（√）2．双曲线x2a2－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×）3．等轴双曲线的离心率为错误!。
