4-曲线拟合
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四参数拟合曲线标准
四参数拟合曲线标准===========四参数拟合曲线是一种广泛应用于各种科学和工程领域的曲线拟合方法。
这种方法通过四个参数来描述数据的分布和趋势，具有较高的灵活性和适用性。
本篇文档将详细介绍四参数拟合曲线的标准，包括参数定义、参数约束、拟合度评估、误差分析、曲线形状和应用场景等方面。
1. 参数定义-------四参数拟合曲线由四个参数定义，它们分别是：* a：曲线的垂直偏移量，决定了曲线在y轴上的位置；* b：曲线的水平宽度，决定了曲线在x轴上的分布范围；* c：曲线的斜率，反映了曲线在某一特定x值上y值的增加或减少速率；* d：曲线的形状因子，决定了曲线的弯曲程度。
这四个参数可以通过最小二乘法等数学方法进行求解，使得拟合曲线与实际数据之间达到最佳的匹配效果。
2. 参数约束-------在四参数拟合曲线的求解过程中，需要对参数进行一些约束。
这些约束条件可以保证求解的参数值具有物理意义和实际应用价值。
常见的参数约束包括：* a, b, c, d均为非负值；* a, b, c, d的取值应保证拟合曲线的平滑性和连续性；* 对称性：对于某些特定的数据集，拟合曲线可能呈现出对称性，此时应约束c和d的取值。
这些约束条件的设立可以帮助我们更好地理解数据集的本质特征，避免不合理的参数值组合对拟合结果产生负面影响。
3. 拟合度评估-------为了衡量四参数拟合曲线的效果，需要对拟合度进行评估。
常用的评估方法包括：均方根误差(RMSE)、平均绝对误差(MAE)、R-squared值等。
这些评估指标可以定量地描述拟合曲线与实际数据之间的差异程度，从而判断四参数拟合曲线的拟合效果。
一般来说，RMSE值越小，MAE值越小，R-squared值越接近1，说明拟合效果越好。
4. 误差分析-------除了对拟合度进行评估外，还需要对误差进行分析。
误差主要包括系统误差和随机误差。
系统误差是由模型本身的不完善、测量设备误差等因素引起的；随机误差是由偶然的、难以控制的因素引起的。
三参数、四参数曲线拟合
拟合参数的最小误差界
Cramer-Rao界：在四参数正弦波拟合中，误差界的 指数表达式给出了拟合参数误差随着信号周期个数 和谐波阶次变化而变化的一个公式。 0.9 A h max|ΔN|= 其中：N为采样的周期个 (nh)1.2 A 数，n为采样点数，h为 Ah ΔA 1 谐波次数（整数），A为 max| |= 1.25 A (Nh) A 幅值，p为相位，C为直
四参数拟合的算法简介
顺序搜索法有一种算法是将四参数拟合过程拆 分成两步走，可以避免四参数非线性迭代带来的收 敛问题。该算法使用一种非线性迭代方法获得信号 频率估计值，然后在已知频率情况下，使用三参数 最小二乘拟合算法获得最终结果。本质上是一种三 参数方法。
四参数顺序搜索算法示例
( Ⅰ ) 令 i = 1 , 确定估计信号频率的大致区间.对于常见的等间隔采样 , 转步骤 ( Ⅱ ) ; 对于非等间隔采样 , 直接转步骤 ( Ⅲ ) . ( Ⅱ ) 利用 D F T 或 F F T 计 算信 号频率 , 设 为ωd , 令迭代区间频 率下限 ，迭代区间频率上限 (其中 ,ωc 为时钟频率 , N为 D F T 或 F F T 的长度) , 转步骤 ( Ⅳ ) . ( Ⅲ ) 观察采样序列过零点时刻 , 设第 m 个过“ 零点” ( 零点指采样 序列的均值位置) 时刻在区间[tkm,tkm+1]中 , 而第L(L>M)个过 “ 零点 ” 时刻在区间 [tkl,tkl+1] 中 , 令 ， , 其中m , l 为整数 , 转步骤 ( Ⅳ ). (Ⅳ)令 , 从区间[ω0l,ω0h]中等间距的取 2 M + 1 个点 ( 比如 M = 5) , 利用三参数法分别计算出这些点对应的 A1j , B1j , C1j 和残差平方和 E1j ( j = 1 , 2 , 3 , …, 2 M + 1) .
4参数拟合汇总
曲线拟合、回归模型介绍一、直线拟合回归：直线回归是最简单的回归模型,也是最基本的回归分析方法，将所有的测试点拟合为一条直线，其方程式为:y=ａ+bｘ二、二次多项式拟合回归：二次多项式成抛物线状，开口向下或者向上，在很多ELISA实验中，拟合近似于二次多项式的升段或者降段，由于曲线的特性，同一个浓度值在曲线图上可能表现出没有对应的ＯD值、有一个OD值,或者两个OD值，所以使用二次多项式拟合时,最好保证取值的范围都落在曲线的升段或者降段,否则哪怕是相关系数很好也很可能与实际的值不一致。
其方程式为:ｙ = a + ｂｘ + c x2 ,形状如下图：三、三次多项式拟合回归:三次多项式像倒状的‘Ｓ’形,在实验结果刚好在曲线的升段或者降段的时候，效果还可以，但是对于区间较广的情形, 由于其弯曲的波动，三次方程拟合模拟不一定很好.跟二次方程拟合一样,看曲线的相关系数的同时也要看计算的点在曲线上的分布,这样才算出理想的结果，本软件计算值时，选择性的取相对于浓度或者OD值，比较符合实际的那个结果,而没有将多个结果列出。
方程式为:y = ｙ= ａ + b ｘ + c x2 + ｄx3 ，形状如下图:四、半对数拟合回归：半对数拟合即将浓度值取对数值，然后再和对应的ＯD值进行直线回归，理想的状态下,在半对数坐标中是一条直线,常用于浓度随着OD值的增加或者减低呈对数增加或者减少的情况，即浓度的变化比OＤ值的变化更为剧烈。
在ＥLＩSA实验中较常用（有很多用EXＣＥＬ画图时，也常使用半对数）方程式为：y = a lg(x) + b ，形状如下图(注意其X轴是对数坐标):五、Log-Ｌog拟合回归:Lｏg-Ｌog拟合和半对数相似,只是将OD值和对应的浓度值均取对数,然后再进行直线回归，方程式为：lg(ｙ）= a ｌg(x) + b ，形状如下图：六、Loｇit-log 直线回归:Logｉｔ-ｌog 则是免疫学检测中的模型, 可用于竞争法. 它最早用于 RＩA, 但在ELISA 中也是可以应用的. Logit 变换源于数学中的 Logiｓtic 曲线.在竞争ＲＩA 及 EＬISA 中, 当竞争性反应物为 0 时结合率为１00%, 如果某一浓度下结合率为Ｂ,Ｂ＝OD/ＯD（0），在对B进行Logiｔ变换:y=lｎ[B/（1－B)] ,之后ｙ与浓度的对数成线性关系，即:y = ａ+ ｂl ｇx方程式为:lg（y) = a ｌg(x) ＋ b 就得到了Ｌｏｇｉt－ｌog 直线回归模型,这个模型一般适用于竞争法的拟合，所以拟合时要求只有少有一个零浓度测试的ＯＤ值,并且此值为整个反应的最大值(也就是我们常说的至少要做一个空白对照)。
python 四参数曲线拟合反函数
Python是一种强大的编程语言，广泛用于科学计算、数据分析、人工智能等领域。
在Python中，有很多强大的数学库，可以帮助我们进行各种数学运算和数据分析。
其中，有一项非常常见的数学问题是曲线拟合，即根据给定的数据点，找到一个函数，使得这个函数与给定数据点最为接近。
曲线拟合在各种科学研究和工程项目中都有广泛的应用，比如用来拟合实验数据，预测未来的趋势等。
1. 参数曲线拟合反函数的概念参数曲线拟合反函数是指在给定一组数据点时，需要找到一个函数，使这个函数与数据点的反函数最为接近。
反函数在数学上指的是将自变量和因变量的角色互换后得到的函数。
参数曲线拟合反函数主要用于分析一些非线性关系的数据。
在实际的科学研究和工程项目中，很多数据并不是简单的线性关系，而是非线性的关系，这时候就需要用参数曲线拟合反函数的方法来分析这些数据。
生物学研究中的酶反应速率与底物浓度的关系、经济学中的需求曲线和供给曲线等都可以通过参数曲线拟合反函数来进行分析。
2. Python中的参数曲线拟合反函数工具Python中有很多强大的数学库，可以帮助我们进行参数曲线拟合反函数的计算。
其中，最常用的库包括scipy, numpy和matplotlib。
这些库提供了丰富的数学函数和绘图功能，可以帮助我们完成参数曲线拟合反函数的计算和可视化。
3. 使用scipy进行参数曲线拟合反函数scipy是一个开源的科学计算库，其中包含了许多数学函数和工具，可以帮助我们进行各种科学计算和数据分析。
在scipy中，有一个专门用于参数曲线拟合反函数的模块scipy.optimize，它提供了curve_fit 函数，可以帮助我们进行参数曲线拟合反函数的计算。
4. 使用numpy进行参数曲线拟合反函数numpy是一个开源的数学库，提供了丰富的数学函数和工具，可以帮助我们进行各种数学运算。
在numpy中，有一个polyfit函数，可以帮助我们进行参数曲线拟合反函数的计算。
利用logistic曲线拟合四参数回归绘制标准曲线SOP
利用logistic曲线拟合四参数回归绘制标准曲线SOP
logistic曲线拟合四参数回归适用于双抗夹心ELISA和竞争ELISA实验标准曲线的绘制，为了实验室技术人员及客户能利用本公司提供的ELISACalc软件绘制标准曲线及计算样本浓度，特制定本SOP。
1. 从酶标仪上导出原始的450nm波长下，读取的样本及标准品的吸光度，以EXCEL格式文件保存；
2.原始数据处理计算稀释液空白孔平均OD（若空白孔未设置平行样，则无需计算），利用excel对所有样本及标准品OD扣除空白平均OD，得到一组新的数据。
3. 在excel里选取两个单元格，分别填入standard Con 以及Mean OD.在Standard Con下方写上标准品浓度，然后从上步中copy与标准品浓度对应的数据粘贴到Mean OD列中。
选中浓度与平均OD数据，复制。
4. 双击打开ELISACalc 软件，选择logistic四参数拟合，然后点击ELISACalc程序中的‘粘贴’键，再点击‘回归/拟合’，即可看到自动生成的标准曲线图形。
点击回归方程即可看到标准曲线的方程。
5. 若想计算浓度则先复制计划计算浓度的样本的OD，点击软件中的由Y 计算X，然后点击软件中的‘粘贴’，即可看到两列数据，左边为样本OD，右
边为所OD对应的浓度。
再直接点击复制，即可将OD与对应的浓度复制到Word 或excel文件中。
6. 程序的退出直接关闭软件即可退出程序。
经过四个点中的一点的曲线拟合问题
解方程 组：
即 a =- 0 . 03 8 4 86 8 , b =- 0 . 0 70 7 23 7
则 拟合 曲线 为 y =y ( ax +b ) ( x - x ) +y = ( - 0 . 0 3 8 4 8 6 8 * x+ - 0 .
0
0
07 07 23 7) ( x- 1 ) +2 6. 8=- 0 . 0 384 86 8* x* x- 0. 0 32 23 69 *x +26 . 8 70 72 37
i n i t M( MATCOM_ VERSI ON) ;
cl f ( 1) ;
Mm t , t 1, t 2, h , y ; d o ub l e c 1, c2 , c3 , d1 , d2 , d3 , a , b, c ;
c 1 =c 2 =c3 =d 1 =d 2 =d 3 =a =b =c =0 ;
225
科技资讯 20 08 NO. 12 S CI ENCE & TECHNOLOGY I NF ORMATI ON
培 养计算机专业人才应用能力的探讨
李 闵 黄益栓 ( 广东药学院 医药信息工程 学院 广东广州
510 006)
学术论坛
摘 要：计算 机技术 在现代 科学技术 的发展 过程中 起着巨 大的推动 作用。 在高等教 育中，计 算机专 业已经 成为各个 学校的 骨干专 业，
掌握计 算机 技术的 应用能 力不 仅是每 个学 生的基 本素质 ，也是 今后谋 生的 重要技 能。我 们应当 培养 大量符 合社会 需求 的具有 一定创
新能 力的 从事 应用 型 工作 的专 门人 才， 培养 计算 机专 业人 才应 用能 力。 关键词：计算 机专业 应用 能力 课程体 系
即 a =- 0 . 03 8 4 86 8 , b =- 0 . 0 70 7 23 7
则 拟合 曲线 为 y =y ( ax +b ) ( x - x ) +y = ( - 0 . 0 3 8 4 8 6 8 * x+ - 0 .
0
0
07 07 23 7) ( x- 1 ) +2 6. 8=- 0 . 0 384 86 8* x* x- 0. 0 32 23 69 *x +26 . 8 70 72 37
i n i t M( MATCOM_ VERSI ON) ;
cl f ( 1) ;
Mm t , t 1, t 2, h , y ; d o ub l e c 1, c2 , c3 , d1 , d2 , d3 , a , b, c ;
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数学建模培训之四--拟合与插值专题
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
记
J (a1 , a2 , am ) i2 [ f ( xi ) yi ]2
i 1 n i 1
n
n
[ ak rk ( xi ) yi ]
i 1 k 1
m
2
(2)
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1 r12 a2 r1m am y1 ( n m) r a r a r a y nm m n n1 1 n 2 2
r11 R 其中 rn1 r 12 rn 2
拟合多项式 次数
2.多项式在x处的值y的计算命令：y=polyval（a，x） 3.对超定方程组
Rnmam1 yn1 (m n) ，用 a R \ y
可得最小二乘意义下的解。
例1 对下面一组数据作二次多项式拟合
xi yi 0.1 1.978 0.2 3.28 0.4 6.16 0.5 7.34 0.6 7.66 0.7 9.58 0.8 9.48 0.9 1
xi
内容提纲
1.拟合问题引例及基本理论 2.Matlab求解拟合问题 3.应用实例 4.插值问题引例及基本理论 5.Maltab求解插值问题 6.应用实例
拟合问题
• 在科学计算中经常要建立实验数据的数学 模型。给定函数的实验数据，需要用比较 简单和合适的函数来逼近（或拟合）实验 数据。这种逼近的特点是： • (a) 适度的精度是需要的； • (b) 实验数据有小的误差； • (c) 对于某些问题，可能有某些特殊的信 息能够用来选择实验数据的数学模型。
曲线拟合
可做变换
Y ln y ,
X
1 x
,
A ln a ,
B b
Y A BX 就是个线性问题
将( xi , yi ) 化为( X i ,Yi ) 后易解 A 和B
a eA , b B , P(x) a eb/x
二、 一般的最小二乘法
2
2
m
2 i
m
m
[S*(
xi
)
yi
]2
min
S ( x )
则 勒 让 德 多 项 式 为:
P~n ( x)
n! (2n)!
dn dx n
[(x2
1)n ]
勒 让 德 多 项 式 有 以 下 几个 重 要 性 质 ：
性 质1： 正 交 性
1 1
Pn
(
x)Pm
(
x)d(
x)
0, 2
2n
1
,
m n; m n.
性 质2： 奇 偶 性 Pn ( x) (1)n Pn ( x) 性 质3： 递 推 关 系 (n 1)Pn1( x) (2n 1)xPn ( x) nPn1( x) 性 质4： 在 所 有 最 高 项 系 数 为1的n次 多 项 式 中 ， 勒 让 德 多项 式
条件.
可以证明,如果0(x), 1(x),… n(x)C[a,b]在{xi}0m上满
足哈尔(Haar)条件,则法方程(5.6)的系数矩阵G非奇异.
用最小二乘法得到的法方程组(3. 6)，其系数矩阵G是
病态的,但如果0(x), 1(x),… n(x)是关于点集 {xi}(i=0,
l, ..., m)带权(xi) (i=0,l,...,m) 正交的函数族，即
课堂练习
三参数四参数曲线拟合ppt课件
三参数拟合算法示例
设理想正弦信号为 y(t)=C0cos(2π ft+θ 0 )+D0 =A0cos(2π ft)+B0sin(2π ft)+D0
三参数正弦波曲线拟合过程，即为输入信号的数字角频率已知，选取或
寻找A，B，D，使下式所述残差平方和最小：
n
E= [yi-Acos(ω i)-Bsin(ω i)-D]2 i=1
序列的均值位置) 时刻在区间[tkm,tkm+1]中 , 而第L(L>M)个过 “ 零点
” 时刻在区间 [tkl,tkl+1] 中 , 令
，
,
其中m , l 为整数 , 转步骤 ( Ⅳ ).
(Ⅳ)令
, 从区间[ω0l,ω0h]中等间距的取 2 M + 1
个点 ( 比如 M = 5) , 利用三参数法分别计算出这些点对应的 A1j , B1j
正弦曲线拟合的三参数法与四 参数法
正弦曲线拟合的意义
由正弦波形的采样序列获得其拟合正弦曲线函 数，是一种基本信号处理方法，在许多场合下获得 了应用，如评价数据采集系统的有效位数、采集速 率、交流增益、通道间延迟、触发特性等，在调制 信号的数字化解调和失真度测量中，也有应用。
曲线拟合的一般过程
正弦信号——采样——A/D变换——信号处理—— 拟合正弦曲线
相位p： p=arcsin( D(0)-C ) A
四参数拟合的算法
四参数拟合有很多种算法。IEEE学会在标准 IEEE std1057-2007 IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders 的 Annex A 中给出了一种方 法，包括两种基本算法：一种通过矩阵运算，另一 种通过迭代过程，二者均需要良好的初始条件估计。
curveexpert 拟合四参数的逻辑函数曲线
【主题】curveexpert 拟合四参数的逻辑函数曲线【文章正文】1. 介绍在科学研究和数据分析领域，拟合逻辑函数曲线是一种常见的方法。
而对于拟合四参数的逻辑函数曲线，CurveExpert 是一个非常实用的工具。
该软件可以帮助研究人员快速、准确地拟合四参数的逻辑函数曲线，从而对实验数据进行分析和预测。
本文将通过对 curveexpert 拟合四参数的逻辑函数曲线的介绍和分析，展示其在实际应用中的优势和价值。
2. 什么是四参数的逻辑函数曲线？四参数的逻辑函数曲线是一种常见的曲线拟合模型，它通过四个参数来描述数据的增长和变化趋势。
该模型通常用于描述生物学、医学和环境科学等领域中的生长、衰退和饱和过程。
其函数表达式通常为：\[ y = d + \frac {a-d} {1+(x/c)^b} \]其中，a 是曲线的上限值，b 是曲线的斜率，c 是曲线的中间点，d 是曲线的下限值。
3. curveexpert 的功能和优势CurveExpert 是一款强大的数据拟合工具，它不仅支持常见的线性和非线性拟合模型，还能够对四参数的逻辑函数曲线进行精准的拟合。
其优势主要体现在以下几个方面：- 自动拟合：CurveExpert 能够根据用户提供的数据，自动计算出最佳的曲线拟合参数，无需用户手动调整参数。
- 高精度：CurveExpert 采用先进的数学算法，在拟合过程中可以保证拟合曲线与实际数据的拟合度达到最优状态，提供较高的精度。
- 多样性：除了四参数的逻辑函数曲线，CurveExpert 还支持多种常见的拟合模型，包括线性拟合、多项式拟合、指数拟合等，满足不同研究和应用需求。
4. 如何使用 curveexpert 拟合四参数的逻辑函数曲线？使用 CurveExpert 拟合四参数的逻辑函数曲线非常简单。
用户需要准备好所需拟合的数据，并将其输入到 CurveExpert 软件中。
选择四参数的逻辑函数曲线作为拟合模型，并点击“开始拟合”按钮，软件将自动计算出最佳的拟合参数，并展示拟合曲线和拟合效果。
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2 ( y i C 0 C1 x1i C 2 x 2 i ) 0 C 0 Q 2 ( y i C 0 C1 x1i C 2 x 2 i ) x1i 0 C1 Q 2 ( y i C 0 C1 x1i C 2 x 2 i ) x 2 i 0 C 2
• 拟合直线方程中的b可写为
b
Lxy Lxx
x i yi
1 ( xi )( yi ) m 1 2 xi ( xi )2 m
•与插值法比较 ① 离散数据点含有随机误差，拟合曲线不必通过所 有数据点，（插值多项式必须通过插值节点） ② 曲线拟合处理随机变量问题，允许一个自变量对 应多个不同的函数值；
• 插值法只适用于确定性变量问题，自变量与函数 值有确定的一一对应关系。 ③ 插值法一般不能外推
• 问题：
*
y
*
* * *
x
*
*
*
* * *
• 是否可拟合成直线？ • 得到的直线方程是否可用？ ＃
• 4.1.2 线性相关系数与显著性检验
拟合的方程能否使用（反映原函数关系），必须通 过检验 •以实验观测值的平均值为基准 • 实验值yi的离差为
第四章 曲线拟合
4 曲线拟合
• 插值法适用于处理确定性变量问题，即变 量与自变量有确定的函数关系。如数据表误 差大，插值法则不适合，应该用曲线拟合。
拟合：离散数据→连续光滑曲线
• 曲线拟合应用 1. 经验建模——通过观测数据寻找相关变量之 间的数学表达式 （能否举出所学化工课程中 的这种表达式或经验模型？） 2. 参数估值——数学关系或模型可从理论导出， 模型关系式中的参数由实验数据求取（如化 工热力学中的安托因方程、化学反应工程中 的阿累尼乌斯方程等）。 • 本节讨论：最小二乘法、一元线性拟合、显 著性检验、多元线性拟合 ＃
4.1 一元线性拟合 4.1.1 最小二乘原理
• 例:实验测得不同温度下的8组数据如下表，现希 望根据实验数据建立溶解度w与溶液温度t的数学表 达式
j 1 2 3 4 5 6 7 8
t/oC w/g· l-1
t1 w1
t2 w2
t3 w3
t4 w4
t5 w5
t6 w6
t7 w7
t8 w7
解: 作图知 t 和w 大致呈直线关系,但无论怎样划线, 也不能使直线通过所有的点,总会存在误差. • 问题：选哪一条线最好? （怎样取直线的截距a和斜 率b?） • 所选直线 ˆ 的方程写为 y a bt
* w/g· l-1 * * * * *
*
• 目标： 选择的线与观测数
据之间的误差最小.
#
t/oC
ˆ • 选择的线 yi a bxi , 观测数据 yi
两者偏差
ˆ i yi yi yi f ( x )
y * 残差，反映了实验观测值yi与 拟合直线计算值的偏离程度 (xi，yi) * * * *
• 最小二乘原理——使所求近似函数或回归直线的 残差平方和最小。＃
ˆ Q ( yi yi )2 ( yi a bxi )2 min • 残差平方和
i 1 i 1
m
m
•a和b的取值应该使Q达到最小，Q取最小值的必要 条件为 Q Q 0 a b 正规方 m 程组 m Q ( xi x )( yi y ) 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 b i 1 m m Q ( xi x ) 2 2 ( yi a bxi ) xi 0 i 1 a y bx b i 1
解 用最小二乘法求直线中的a和b并进行显著性检验。
(1) 直接调用拟合函数 polyfit(x,y,1) (2)进行相关系数检验时，用到的相关系数临界值数 据(表4-2)，已存为Excel下的.xls文档，程序可直接 读入。本例中“alpha0.01.xls”和“alpha0.05.xls”分 别为=0.01和=0.05的相关系数临界值数据的文件名，； (3) 星号*标志：线性相关性的显著程度，“*” 和 “**”分别代表显著和高度显著。 参考程序及计算结果见教材p.43.
全部实验点的平均值
1 m 1 m x x i y yi m yi m i 1
• x的离差
2 2
xi x
• x的离差平方和
1 L xx ( xi x ) xi ( xi ) 2 m
• x和y的离差乘积之和
L xy ( xi x )( yi y ) xi yi 1 ( xi )( yi ) m
例题4-2 某矾土矿物成分用x表示，SiO2用y表示， 实验数据如下，已知x和y间存在线性关系，试计 算a和b并进行相关系数检验
X 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34
Y
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
解 本例程序与例4-1完全相同，只需将例4-1程序中x 和y数据按本题数据改写即可。 请自己上机练习 运行后输出 a=5.4366346 b=0.2397468 alpha =0.01 Rmf=0.765 R=0.920295 ** alpha =0.05 Rmf=0.632 R=0.920295 *
i 1 i 1 m m
• 残差平方和是C0，C1，C2的函数
Q Q(C0 , C1 , C2 )
• 残差平方和是C0，C1，C2的 Q Q(C0 , C1 , C2 ) 函数 • 根据多元函数极值存在的必要条件，要使Q达到最 小，分别令Q对每一系数的偏导数为零，得到三个方 程 Q
• 如果回归方程不显著，是否说明 x 和 y 间没有函 数关系 ？ •只表明 x 和 y 间建立线性关系不合适，并不说明 二者间没有函数关系 。 #
y
*
*
* *
* * *
x
例题4-1 已知实验数据x和y间存在线性关系，试拟合 方程并进行相关系数检验
X Y 1.36 14.10 1.49 15.10 1.73 16.80 1.81 17.40 1.95 18.40 2.16 19.40
拟合方程 ： y= 5.4366346＋ 0.2397468 x
4.2 多元线性拟合
• 多个自变量的离散函数，常拟合为线性多元函数 • 两个自变量的问题——已知离散函数数据
yi x1i y1 x11 y2 x12 y3 x13 … … … … … … ym x1m
x2i
x21
x22
x23
…
…
…
x2m
正规方 程组
•含有未知数C0，C1，C2的3元线性方程组 可写成矩阵形式 ＃
•正规方程组的矩阵形式
系数矩阵 • 第一行 和第一列 乘x0，令 x0=1，矩 阵各项值 未变，但 形式变得 有规律
1 x1i x2 i
2 x0 x0 x1i x0 x 2 i
ˆ • 根据数据 ，确定二元线性方程 y C0 C1 x1 C2 x2
即要确定 C0，C1，C2
ˆ • 对以上二元线性模型，实测数据 yi与模型计算值 y 之间的残差平方和为
ˆ Q ( yi yi )2 [ yi (C 0 C1 x1i C 2 x2 i )]2
• 总平方和 S总由 S残 与 S回构成
S总＝S残＋S回 •回归平方和越大，残差平方和就越小，则回归效 果就越好
定义比值判断回归效果
S回 S总 ( yi y ) 2 ˆ
m i 1 m i 1
( y
L2xy Lxx Lyy
R2
i
y)
2
比值越大，回 归效果越好
•相关系数
R S回 S总 Lxy Lxx Lyy
• 显著性检验——当 R 的绝对值达到一定值时才可 用回归直线表示 x 与 y 的关系 • 相关函数R与显著性水平的关系表（表4-2） • R的临界值——与观测次数m及显著性水平有关 • m-2: 自由度 ：0.05和0.01，显著性水平 • R小于 ＝0.05 时的值：不显著，反之则显著(以* 表示) • R大于＝ 0.01时的值：高度显著（以**表示）； ＃
S总>=S回，有R2<=1 • 相关系数 R 用于评价两个变量间的线性相关程度
•R的取值： ① R = 0 ，表明原离散函数 x 与 y 之间不存在线性关 系，称 为线性无关； ② 0 < |R| < 1 ，x 与 y 存在线性关系 |R|越接近于1，线性相关性越大； R<<1，说明yi 与yi 偏离大，回归直线不能代表原 离散函数； ③ |R| = 1 ，所有数据点都在回归直线上，称完全 线性相关，表明 x 和 y 有确定的函数关系
变量
常数 项
C 0 y i C1 yi x1i C 2 y x i 2 i
C 0 y i x 0 C1 yi x1i C 2 y x i 2 i
ˆ ˆ yi y ( yi yi ) ( yi y)
• 全部实验点的离差平方和称为总平方和记为S总
ˆ ˆ S总＝Lyy＝((yi i y ))2 ( yi yi )2 ( yi y )2 y y2
i 1 i1 i 1 i 1
m m
m
• 多元线性拟合两种检验方式
1、用复相关系数检验拟合效果好坏的指标，计算 式与一元线性拟合类似
( yi y ) 2 / ( yi y ) 2 ˆ
i 1 i 1 m m
R S回 / S总
2、用 F 检验，计算一个 F 比值，与F分布临界值 比较 S回 / n0 F 比值计算 F 自变量个数 S剩 （m n0 1) /
• 拟合直线方程中的b可写为
b
Lxy Lxx
x i yi
1 ( xi )( yi ) m 1 2 xi ( xi )2 m
•与插值法比较 ① 离散数据点含有随机误差，拟合曲线不必通过所 有数据点，（插值多项式必须通过插值节点） ② 曲线拟合处理随机变量问题，允许一个自变量对 应多个不同的函数值；
• 插值法只适用于确定性变量问题，自变量与函数 值有确定的一一对应关系。 ③ 插值法一般不能外推
• 问题：
*
y
*
* * *
x
*
*
*
* * *
• 是否可拟合成直线？ • 得到的直线方程是否可用？ ＃
• 4.1.2 线性相关系数与显著性检验
拟合的方程能否使用（反映原函数关系），必须通 过检验 •以实验观测值的平均值为基准 • 实验值yi的离差为
第四章 曲线拟合
4 曲线拟合
• 插值法适用于处理确定性变量问题，即变 量与自变量有确定的函数关系。如数据表误 差大，插值法则不适合，应该用曲线拟合。
拟合：离散数据→连续光滑曲线
• 曲线拟合应用 1. 经验建模——通过观测数据寻找相关变量之 间的数学表达式 （能否举出所学化工课程中 的这种表达式或经验模型？） 2. 参数估值——数学关系或模型可从理论导出， 模型关系式中的参数由实验数据求取（如化 工热力学中的安托因方程、化学反应工程中 的阿累尼乌斯方程等）。 • 本节讨论：最小二乘法、一元线性拟合、显 著性检验、多元线性拟合 ＃
4.1 一元线性拟合 4.1.1 最小二乘原理
• 例:实验测得不同温度下的8组数据如下表，现希 望根据实验数据建立溶解度w与溶液温度t的数学表 达式
j 1 2 3 4 5 6 7 8
t/oC w/g· l-1
t1 w1
t2 w2
t3 w3
t4 w4
t5 w5
t6 w6
t7 w7
t8 w7
解: 作图知 t 和w 大致呈直线关系,但无论怎样划线, 也不能使直线通过所有的点,总会存在误差. • 问题：选哪一条线最好? （怎样取直线的截距a和斜 率b?） • 所选直线 ˆ 的方程写为 y a bt
* w/g· l-1 * * * * *
*
• 目标： 选择的线与观测数
据之间的误差最小.
#
t/oC
ˆ • 选择的线 yi a bxi , 观测数据 yi
两者偏差
ˆ i yi yi yi f ( x )
y * 残差，反映了实验观测值yi与 拟合直线计算值的偏离程度 (xi，yi) * * * *
• 最小二乘原理——使所求近似函数或回归直线的 残差平方和最小。＃
ˆ Q ( yi yi )2 ( yi a bxi )2 min • 残差平方和
i 1 i 1
m
m
•a和b的取值应该使Q达到最小，Q取最小值的必要 条件为 Q Q 0 a b 正规方 m 程组 m Q ( xi x )( yi y ) 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 b i 1 m m Q ( xi x ) 2 2 ( yi a bxi ) xi 0 i 1 a y bx b i 1
解 用最小二乘法求直线中的a和b并进行显著性检验。
(1) 直接调用拟合函数 polyfit(x,y,1) (2)进行相关系数检验时，用到的相关系数临界值数 据(表4-2)，已存为Excel下的.xls文档，程序可直接 读入。本例中“alpha0.01.xls”和“alpha0.05.xls”分 别为=0.01和=0.05的相关系数临界值数据的文件名，； (3) 星号*标志：线性相关性的显著程度，“*” 和 “**”分别代表显著和高度显著。 参考程序及计算结果见教材p.43.
全部实验点的平均值
1 m 1 m x x i y yi m yi m i 1
• x的离差
2 2
xi x
• x的离差平方和
1 L xx ( xi x ) xi ( xi ) 2 m
• x和y的离差乘积之和
L xy ( xi x )( yi y ) xi yi 1 ( xi )( yi ) m
例题4-2 某矾土矿物成分用x表示，SiO2用y表示， 实验数据如下，已知x和y间存在线性关系，试计 算a和b并进行相关系数检验
X 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34
Y
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
解 本例程序与例4-1完全相同，只需将例4-1程序中x 和y数据按本题数据改写即可。 请自己上机练习 运行后输出 a=5.4366346 b=0.2397468 alpha =0.01 Rmf=0.765 R=0.920295 ** alpha =0.05 Rmf=0.632 R=0.920295 *
i 1 i 1 m m
• 残差平方和是C0，C1，C2的函数
Q Q(C0 , C1 , C2 )
• 残差平方和是C0，C1，C2的 Q Q(C0 , C1 , C2 ) 函数 • 根据多元函数极值存在的必要条件，要使Q达到最 小，分别令Q对每一系数的偏导数为零，得到三个方 程 Q
• 如果回归方程不显著，是否说明 x 和 y 间没有函 数关系 ？ •只表明 x 和 y 间建立线性关系不合适，并不说明 二者间没有函数关系 。 #
y
*
*
* *
* * *
x
例题4-1 已知实验数据x和y间存在线性关系，试拟合 方程并进行相关系数检验
X Y 1.36 14.10 1.49 15.10 1.73 16.80 1.81 17.40 1.95 18.40 2.16 19.40
拟合方程 ： y= 5.4366346＋ 0.2397468 x
4.2 多元线性拟合
• 多个自变量的离散函数，常拟合为线性多元函数 • 两个自变量的问题——已知离散函数数据
yi x1i y1 x11 y2 x12 y3 x13 … … … … … … ym x1m
x2i
x21
x22
x23
…
…
…
x2m
正规方 程组
•含有未知数C0，C1，C2的3元线性方程组 可写成矩阵形式 ＃
•正规方程组的矩阵形式
系数矩阵 • 第一行 和第一列 乘x0，令 x0=1，矩 阵各项值 未变，但 形式变得 有规律
1 x1i x2 i
2 x0 x0 x1i x0 x 2 i
ˆ • 根据数据 ，确定二元线性方程 y C0 C1 x1 C2 x2
即要确定 C0，C1，C2
ˆ • 对以上二元线性模型，实测数据 yi与模型计算值 y 之间的残差平方和为
ˆ Q ( yi yi )2 [ yi (C 0 C1 x1i C 2 x2 i )]2
• 总平方和 S总由 S残 与 S回构成
S总＝S残＋S回 •回归平方和越大，残差平方和就越小，则回归效 果就越好
定义比值判断回归效果
S回 S总 ( yi y ) 2 ˆ
m i 1 m i 1
( y
L2xy Lxx Lyy
R2
i
y)
2
比值越大，回 归效果越好
•相关系数
R S回 S总 Lxy Lxx Lyy
• 显著性检验——当 R 的绝对值达到一定值时才可 用回归直线表示 x 与 y 的关系 • 相关函数R与显著性水平的关系表（表4-2） • R的临界值——与观测次数m及显著性水平有关 • m-2: 自由度 ：0.05和0.01，显著性水平 • R小于 ＝0.05 时的值：不显著，反之则显著(以* 表示) • R大于＝ 0.01时的值：高度显著（以**表示）； ＃
S总>=S回，有R2<=1 • 相关系数 R 用于评价两个变量间的线性相关程度
•R的取值： ① R = 0 ，表明原离散函数 x 与 y 之间不存在线性关 系，称 为线性无关； ② 0 < |R| < 1 ，x 与 y 存在线性关系 |R|越接近于1，线性相关性越大； R<<1，说明yi 与yi 偏离大，回归直线不能代表原 离散函数； ③ |R| = 1 ，所有数据点都在回归直线上，称完全 线性相关，表明 x 和 y 有确定的函数关系
变量
常数 项
C 0 y i C1 yi x1i C 2 y x i 2 i
C 0 y i x 0 C1 yi x1i C 2 y x i 2 i
ˆ ˆ yi y ( yi yi ) ( yi y)
• 全部实验点的离差平方和称为总平方和记为S总
ˆ ˆ S总＝Lyy＝((yi i y ))2 ( yi yi )2 ( yi y )2 y y2
i 1 i1 i 1 i 1
m m
m
• 多元线性拟合两种检验方式
1、用复相关系数检验拟合效果好坏的指标，计算 式与一元线性拟合类似
( yi y ) 2 / ( yi y ) 2 ˆ
i 1 i 1 m m
R S回 / S总
2、用 F 检验，计算一个 F 比值，与F分布临界值 比较 S回 / n0 F 比值计算 F 自变量个数 S剩 （m n0 1) /