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相似三角形的判定与性质综合运用经典题型
考点一：相似三角形的判定与性质：
例1、如图，△PCD 是等边三角形，A 、C 、D 、B 在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC ∽△BPD ；⑵ CD 2
=AC ·BD.
例2、如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 函数关系式及自变量x 值范围，并求出当x 为何值时AE 取得最小值？ （3）在AC 上是否存在点E ，使得△ADE 为等腰三角形？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由？ 例3、如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B ：1）求证：△ADF ∽△DEC ； 2）若AB=4，
3
3=AD ,AE=3
，求AF 的长。
考点二：射影定理：
例4、如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=4cm,AD=8cm,求AC 、BC 及BD 的长。
例5、如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且AF=1
4 AD ，EG ⊥CF 于点G ，
（1）求证：△AEF ∽△BCE ； （2）试说明：EG 2
=CG ·FG.
例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合,再展开，折痕EF 交AD 边于E ，交BC 边于F ，分别连结AF 和CE ．
（１）求证：四边形AFCE 是菱形；（２）若AE=10cm ，△ABF 的面积为24cm 2
，求△ABF 的周长；
（３）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2
＝AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
考点三：相似之共线线段的比例问题：
例7、已知如图，P 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD 、BC 、CD 的延长线、AB
的延长线分别相交于点E 、F 、G 、H. 求证：PG
PH
PF PE =
例8、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ．（1）求证：PC 2
=PE •PF ；（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB 的长． 例9、如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，E 为AC 的中点，ED 交CB 的延长线于F ． 求证：BD •CF=CD •DF ．
例10、如图：已知在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的
点，且BD=CE ，直线CD 与AE 相交于点F ．（1）求证：DC=AE ；（2）求证：AD 2
=DC •DF ．
例11、如图，E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC ，CD 于点M ，F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；（2）若E 是BC 中点，BC=2AB ，AB=2，求EM 的长． 例12、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ，AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：（1）AE=CG ；（2）AN •DN=CN •MN ． 例13、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，点M 在CD 上，DH ⊥
BM 且与AC 的延长线交于点E ．求证：（1）△AED ∽△CBM ； （2）AE •CM=AC •CD ．
例14、如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F ．（1）求证：FD 2
=FB •FC ； （2）若G 是BC 的中点，连接GD ，GD 与EF 垂直吗？并说明理由． 例15、如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.
(1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度数. 考点四：相似三角形的实际应用：
例16、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上． （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）若这个矩形的长PQ 是宽PN 的2倍，则边长是多少？
例17、已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m 和CD=12m ，两树的
根
A
B
C
D
F
部的距离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C？
例18、两颗树的高度分别为AB=6m，CD=8m，两树的根部间的距离AC=4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D？
例19、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树
的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全
落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高CD=1.5m，地
面影长BC=10m．
若此时1米高的标杆的影长恰好为2m．请你求出这棵大
树AB的高度．
例20、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB的影子落在土
坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，
且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．
例21、如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明
在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长
FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
考点五：相似三角形中的动点问题：
例22、在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
例23、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动
点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，
动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其
中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S
（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值。
例24、如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当S△BCQ:S△ABC=1:3 ，求S△BPQ:S△ABC的值；（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
例25、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC 向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．
（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC，
求y的最小值，并求此时x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶
点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
例26、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，
过P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P、F、E
为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
例27、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标；（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似；（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
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