【初二数学】《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解

作业帮一课初中独家资料之【初二数学】
核心知识点一：因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
核心知识点二：提公因式法因式分解
（1）公因式：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式的公因式．
（2）提公因式法：一般地，如果多因式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 核心知识点三：公式法因式分解
（1）平方差公式：()()22a b a b a b -=+-
（2）完全平方公式：()
2
222a ab b a b ±+=±核心知识点四：因式分解的基本步骤
（1）有公因式先提公因式；
（2）提完公因式以后按照公式法分解. 因式分解基础方法の重点梳理
一、基础知识梳理
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二、知识体系梳理。

初中因式分解讲义因式分解是初中数学中相当重要的一个概念，它是解决多项式问题的关键步骤。

通过因式分解，我们可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。

本讲义将介绍初中因式分解的基本方法和应用，帮助同学们系统地学习和掌握这一知识点。

一、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成若干个乘积形式的过程。

在因式分解中，我们将多项式中的每一个项称为因式，拆分后的乘积形式称为因式分解式。

因式分解的结果应满足两个条件：1）拆分后的每个因式之积等于原多项式；2）每个因式都不能再进行继续拆分。

二、因式分解的基本方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式的公因式提取出来，并将多项式拆分成公因式与括号内的乘积形式。

通过公因式提取法，我们可以简化多项式的计算过程和展开过程。

举例说明：多项式7x+14可以进行公因式提取，提取公因式7后，原多项式可以写成7(x+2)，这就是因式分解的结果。

2. 分组分解法分组分解法是指将多项式的项进行适当的分组，然后利用公式或特定规律进行因式分解。

举例说明：多项式x²+xy+2x+2y可以进行分组分解，将x²+xy作为一组，并将2x+2y作为另一组。

然后，在第一组中提取公因式x，第二组中提取公因式2，最终得到因式分解式为x(x+y)+2(x+y)，即(x+2)(x+y)。

三、因式分解的应用因式分解在初中数学中有广泛的应用。

下面我们介绍几个典型的应用场景。

1. 最大公因数和最小公倍数在求最大公因数和最小公倍数的过程中，因式分解是非常有帮助的方法。

通过将两个数分别进行因式分解，然后提取公因式并相乘，我们可以得到它们的最大公因数；同时，将两个数进行因式分解，然后取分解式的所有因子的乘积，我们可以得到它们的最小公倍数。

2. 方程的解法在解一元二次方程和一元三次方程时，因式分解也经常被使用。

通过将方程进行因式分解，可以将原方程转化成更简单的乘积形式，从而更容易求解。

因式分解一、知识梳理1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.2、提取公因式法把ma+mb+mc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：ma+mb+mc=m（a+b+c）注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、运用公式法把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.ⅰ）平方差公式注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清a、b分别表示什么.ⅱ）完全平方公式注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清a、b分别表示的量.补充：常见的两个二项式幂的变号规律：4、十字相乘法借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式,寻找满足的ab、，则有5、分组分解法定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如：这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.6、求根公式法：如果有两个根，那么二、典型例题及针对练习考点1 因式分解的概念例1、在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..考点2 提取公因式法2注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.[补例练习]1。

专题4.14因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）【知识点一】因式分解与整式乘法的识别把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

【知识点二】因式分解的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212x x x x a c bx ax --=++【知识点三】因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法。

【典型例题】类型一、因式分解的概念✭✭求参数1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A ．()2212x x x x+=+B ．()()2111a a a -=+-C ．()()2111x x x +-=-D ．()222312a a a -+=-+【答案】B【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A ．()2212x x x x +=+不是将多项式化成整式乘积的形式，故A 选项不符合题意；B ．()()2111a a a -=+-是将多项式化成整式乘积的形式，故B 选项符合题意；C ．()()2111x x x +-=-不是将多项式化成整式乘积的形式，故C 选项不符合题意；D ．()222312a a a -+=-+不是将多项式化成整式乘积的形式，故D 选项不符合题意；故选：D ．【点拨】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．举一反三：【变式】下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．()a m n am an+=+B ．()()2222a b c a b a b c+-=+--C ．()2221x x x x -=-D ．()()2166446x x x x -+=+-+【答案】C【分析】根据因式分解的定义去判断即可．解：A 、因为()a m n am an +=+是单项式乘以多项式，不是因式分解，故A 不符合题意；B 、因为()()2222a b c a b a b c +-=+--不是因式乘积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意；C 、因为()2221x x x x -=-是因式分解，故C 符合题意；D 、因为()()2166446x x x x -+=+-+不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D 不符合题意；故选C ．【点拨】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个因式积的形式，熟练掌握定义是解题的关键．2．三个多项式：24x y y -，22x y xy -，244x y xy y -+的最大公因式是（）A ．()2y x +B ．()4y x -C ．2(2)y x -D ．()2y x -【答案】D【分析】先把三个多项式因式分解，再进行解答即可．解：∵()()2422x y y y x x -=+-，()222x y xy xy x -=-，2244(2)x y xy y y x -+=-，∴最大公因式是()2y x -．故选D ．【点拨】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．举一反三：【变式】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay -B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b ya -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键类型二、公因式✭✭提取公因式进行因式分解3．若关于x 的二次三项式23x x k -+的因式是()2x -和()1x -，则k 的值是____．【答案】2【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k 的值即可．解：由题意得：()()2232132x x k x x x x -+=--=-+，2k ∴=．故答案为：2．【点拨】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．举一反三：【变式】已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++-，则p =______，q =______．【答案】2-；7．【分析】把()()2223x px q x x +++-展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．解：∵()()2223x px q x x +++-432322222333x px qx x px qx x px q=+++++---()()()432223233x p x q p x q p x q=++++-+--4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+-=⎩，解得：27p q =-⎧⎨=⎩．故答案为：2-，7．【点拨】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -；(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(2)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+；(2)()1mn m n -+；(3)()223374x y xy x -+；(4)()()22x y x y-+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222xx y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．类型三、公式法进行因式分解➽➼平方差公式✭✭完全平方公式5．因式分解：(1)﹣2a 3+12a 2﹣18a(2)9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）【答案】(1)﹣2a （a ﹣3）2(2)（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝﹣2a （a 2﹣6a +9）＝﹣2a （a ﹣3）2（2）原式＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】因式分解：（1）224x y -（2）32296a a b ab -+【答案】（1）()()22x y x y +-；（2）()23a a b -．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进因式分解即可．解：（1）22224(2)(2)(2)x y x y x y x y -=-=+-；（2）232222(96)(963)=-+=--+a a ab b a b a a b b a a ．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握各种因式分解的方法，并会根据多项式的特征选取合适的方法，还要注意要分解彻底．6．分解因式：(1)2225()9()m n m n +--(2)22441a b a --+【答案】(1)()()444m n n m ++；(2)()()2121a b a b +---【分析】（1）将m n +和m n -看成两个整体，利用平方差公式分解因式得到()()8228m n m n ++，再提取公因式即可．（2）利用分组法先将原式分成2441a a -+和2b -两组，2441a a -+可利用完全平方公式分解，再和2b -组合，由平方差公式分解即可．（1）解：2225()9()m n m n +--()()()()5353m n m n m n m n =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()55335533m n m n m n m n =++-+-+()()8228m n m n =++()()444m n m n =++．（2）22441a b a --+()22441a a b =-+-()2221a b =--()()2121a b a b =-+--()()2121a b a b =+---．【点拨】本题考查了因式分解的方法，分组法、公式法和提公因式法本题都涉及了，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．举一反三：【变式】分解因式：(1)228168ax axy ay -+-(2)()22222936x y x y +-；【答案】(1)28()a x y --；(2)22(3)(3)x y x y +-【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =--（2）原式2222(9)(6)x y xy =+-2222(96)(96)x y xy x y xy =+++-22(3)(3)x y x y =+-【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、因式分解➽➼十字相乘法✭✭分组分解法7．将下列各式分解因式：(1)256x x --；(2)21016x x -+；(3)2103x x --【答案】(1)(7)(8)x x +-；(2)(2)(8)x x --；(3)(5)(2)x x -+-【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；（2）用十字相乘法，分解因式即可；（3）用十字相乘法，分解因式即可．（1）解：∵78x x ⨯-，即78x x x -=-，∴256(7)(8)x x x x --=+-；（2）解：∵28x x ⨯--，即2810x x x --=-，∴21016(2)(8)x x x x -+=--；（3）解：22103(310)x x x x --=-+-，∵52x x ⨯-，即523x x x -=，∴原式(5)(2)x x =-+-．【点拨】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号．二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．举一反三：【变式】用十字相乘法解方程：(1)2560x x +-=；(2)2230x x --=．【答案】(1)6x =-或1x =；(2)3x =或=1x -【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．（1）解：2560x x +-=(6)(1)0x x +-=，60x +=或10x -=，6x =-或1x =；（2）解：2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，3x =或=1x -．【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．8．因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y-+-=22(4)3(4)x x y x -+-=2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】因式分解：(1)a 2－ab ＋ac －bc ；(2)x 3＋6x 2－x －6.【答案】(1)(a －b)(a ＋c)；(2)(x ＋1)(x －1)(x ＋6)试题分析：根据因式分解的方法进行因式分解即可.解：(1)原式()()()()a a b c a b a b a c =-+-=-+．(2)原式()()()()()()()()()322226616116116x x x x x x x x x x x =-+-=-+-=-+=+-+类型五、因式分解综合9．将下列各式分解因式．（1）3416x x -；（2）()2212a x ax +-；（3）()24a b a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a -+++-．【答案】（1）()()41212x x x +-；（2）()221a x x ++；（3）()22a b --；（4）()()28a b a b -+【分析】（1）先提取公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用提公因式法进行因式分解即可；（3）先将括号去掉，然后移项，根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）利用提公因式法以及平方差公式综合进行因式分解即可.解：（1）3416x x -=()2414x x -=()()41212x x x +-；（2）()2212a x ax +-=()221a x x ⎡⎤+-⎣⎦=()221a x x ++；（3）()24a b a b --=2244ab a b --=()2244a ab b --+=()22a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a-+++-=()()()()2233a b a b a b a b -+-+-=()()()2233a b a b a b ⎡⎤-+-+⎣⎦=()()()4422a b a b a b -+-=()()28a b a b -+.【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.举一反三：【变式】因式分解：（1）2273xy x-（2）2292a b ab+-+（3）228x x --【答案】（1）3(3+1)(31)-x y y ；（2）(3)(3)+++-a b a b ；（3）(2)(4)x x +-【分析】（1）根据提取公因式，平方差公式，即可分解因式；（2）根据完全平方公式法、平方差公式，即可分解因式；（3）根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．解：（1）2273xy x-23(91)x y =-3(31)(31)x y y =+-；（2）2292a b ab+-+2229a ab b =++-22()3a b =+-(3)(3)a b a b =+++-；（3）228x x --(2)(4)x x =+-．【点拨】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，是解题的关键．类型五、因式分解的应用10．阅读材料，回答下列问题：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴222(2)(816)0m mn n n n -++-+=，即22()(4)0m n n +--=，又2()0m n -≥，2(4)0n -≥，∴2()0m n -=，2(4)0n -=，∴4n =，4m =．(1)若22440a b a +-+=，求a ，b 的值；(2)已知ABC 的三边a ，b ，c 满足2222220a b c ab ac ++--=．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】(1)2,0a b ==；(2)等边三角形，理由见分析．【分析】（1）参照例题，将等式转化为两个完全平方的和等于0的形式，进而求得a ，b 的值；（2）方法同（1）．解：（1）∵22440a b a +-+=，∴()22440a a b ++-=，即2220()a b -+=，又22(2)0,0a b -≥≥，22(2)0,0a b ∴-==，2,0a b ∴==．（2）∵2222220a b c ab ac ++--=，2222(2)(2)0a ab b b ac c ∴-++-+=，即22()()0a b b c -+-=，又22()0,()0a b b c -≥-≥，∴22()0,()0a b b c -=-=，,a b b c ∴==，a b c ==∴．ABC ∴ 是等边三角形．【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】已知：1a b +=，154ab =-(1)求22ab a b +的值(2)求22a b +的值(3)若22a b k -=-，求非负数k 的值【答案】(1)154-；(2)172；(3)k =【分析】（1）将代数式22ab a b +用提公因式法因式分解为()ab a b +，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（2）将22a b +变形为()22a b ab +-，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（3）类似的方法将()2a b -变形为()24a b ab +-，代入计算后求出a b -的值，继而根据22a b k -=-计算出符合条件的k 的值即可．（1）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()221515144ab a b ab a b +=+=-⨯=-；（2）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()2222a b a b ab+=+-15124⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1512=+172=；（3）解：∵()()224a b a b ab-=+-1514164⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4a b -=±当4a b -=时，224k -=，k =∵k 为非负数，∴k =当4a b -=-时，224k -=-，22k =-（舍去），∴k =【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．11．阅读材料：()()()2222244454529232322x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()51x x =+-上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：(1)因式分解：223x x +-；(2)求多项式2610x x +-的最小值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求△ABC 的周长．【答案】(1)()()31x x +-；(2)19-；(3)12【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；（2）配方后根据平方的非负性求最小值；（3）配方后根据非负性求出a ，b ，c 的值即可．（1）解：223x x +-222113x x =++--2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-；(3)(1)x x =+-；（2）2226106919(3)19x x x x x +-=++-=+-，∵2(3)0x +≥，∴多项式2610x x +-的最小值为19-；（3）由题意得：2226810500a b c a b c ++---+=，∴2226981610250a a b b c c +++++--=-．∴222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=．又∵2(3)0a -≥，2(04)b -≥，2(05)c -≥，∴30a -=，40b -=，50c -=，∴3a =，4b =，5c =，∴ABC 的周长为34512++=．【点拨】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：因为2222690m mn n n ++-+=，所以2222690m mn n n n +++-+=．所以22()(3)0m n n ++-=．所以0,30m n n +=-=．所以3,3m n =-=．问题：(1)若224212120++-+=x y xy y ，求xy 的值；(2)已知a ，b ，c 是等腰ABC 的三边长，且a ，b 满足2210841a b a b +=+-，求ABC 的周长．【答案】(1)-4；(2)13或14【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a ，b 的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．解：（1）∵22421212x y xy y ++-+222231212x xy y y xy =+++-+2()3x y =++2(2)y -，=∴0x y +=，20y -=，∴2x =-，2y =，∴2(2)4=⨯-=-xy ．（2）∵2210841a b a b +=+-，∴2210258160a a b b -+++=-，∴22(5)(4)0a b -+-=，∴50a -=，40b -=，∴5a =，4b =．由于ABC 是等腰三角形，所以5c =或4．①若5c =，则ABC 的周长为55414++=；②若4c =，则ABC 的周长为54413++=．所以ABC 的周长为13或14．【点拨】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解知识点一、因式分解的概念把一个多项式化为若干个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解因式分解：多项式 = 整式1 × 整式2 × 整式3 × ……例1、下列变形属于因式分解的有______________________①ab+ac=a(b+c) ②x 2+2x+1=(x+1)2 ③a 2-b 2=(a+b)(a-b) ④(a+b)(a-b)=a 2-b 2⑤x 2+6x-9=(x-3)(x+3)+6x ⑥6ab=2a.3b ⑦)1(12x x x x +=+ ⑧))(24())(42(m n a b n m b a --=--1、下列变形属于因式分解的有______________________①x 2-2=(x+1)(x-1)-1 ②4x 2-9y 2=(2x+3y)(2x-3y) ③2a(b+c)=2ab+2ac ④16x 2y 3=2xy.8xy 2 ⑤x 2+4x+4=(x+2)2 ⑥x 2-6x+9=(x+3)22、下列变形属于因式分解的有______________________①xy 2+xz=x(y 2+z) ②6xy+2y 2=2y(3x+y) ③)1(12a a a a -=- ④x 2-8x+16=(x-4)2 ⑤a 2-4a+4=a(a-4)+4 ⑥(a+1)(a-1)=(1+a)(-1+a)知识点二、提公因式法提公因式法其实就是运用乘法分配律a(b+c)=ab+ac来变形例1、分解因式：ab+ac 例2、分解因式：4a2+10ab 例3、分解因式：2ab2-6a2b2+4a3b21、分解因式①xy-x2②mx-my ③2m+2 ④a2x+ax2+a⑤12m2n+18mn ⑥8a3b2-12ab3c ⑦3a2b2-15a3b3-12a2b2c ⑧3xy2-6x2y+9xy例4、分解因式：6p(p+q)-4q(p+q) 例5、分解因式：2(a-3)2-a+3 例6、分解因式：2(a-b)2+3(b-a)①2b(x-3)+3a(x-3) ②m 2(x-2)+m(x-2) ③x(x-y)-y(x-y)④2x(x-2)-2+x⑤6(x-5)+2y(5-x) ⑥-6(x-y)2-3y(y-x)2知识点三、公式法1、完全平方公式a 2+2ab+b 2=(a+b)2a 2-2ab+b 2=(a-b)22、平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)例1、分解因式422b ab a ++例2、分解因式229124y xy x ++ 例3、分解因式-x 2+9y 2①x 2+2xy+y 2 ②a 2-4a+4 ③-x 2+2xy-y 2④1+4a+4a 2⑤412++x x ⑥2292416y xy x +-例3、(a+b)2+2(a+b)y+y 2例4、(a 2b-c)2-4(a 2b-c)+42、分解因式①x 2+2x(4a-b)+(4a-b)2②-9a 2+6a(a-b)-(a-b)2 ③16-8(x-y)+(x-y)2例5、分解因式：a2-4 例6、分解因式：9x2-16y2例7、分解因式：-x2+9y3、分解因式①a2-25 ②x2-y2③9-x2④49x2-y2z2⑤16m4n2-25p2⑥x2-6 ⑦3-4y2⑧-x2+1 ⑨-x2+4y2⑩2241ba+ -例7、分解因式：(3a+2b)2-(a-b)24、分解因式①(x-1)2-9 ②4(x-2)2-1 ③(x+2y)2-(2x-y)2。

初中因式分解讲义一、什么是因式分解?在代数学中，当一个多项式可以写成几个乘积的形式时，我们将其称为因式分解。

这个过程可以简化多项式的计算和求解。

二、因式分解的基本原则在进行因式分解时，我们需要遵循以下基本原则：1. 最大公因数原则：寻找多项式中的最大公因数，将其提取出来，作为分解的一部分。

2. 求和差化积原则：利用求和差化积的方法，将多项式中的和差变为积，从而进行因式分解。

3. 公式转换原则：利用特定的公式，将多项式进行转换，以便于进行因式分解。

三、因式分解的方法1. 提取公因式法提取公因式法是最常用的因式分解方法之一。

当多项式的各项有公因子时，可以将这个公因子提取出来，并将剩余的部分进行因式分解。

例如：将3x+6分解为3(x+2)2. 公式转换法公式转换法利用特定的公式将多项式进行转换，然后进行因式分解。

例如：将a²-b²分解为(a+b)(a-b)3. 分组分解法当一个多项式中含有四项及以上，并且无法直接进行其他方法的因式分解时，可以尝试使用分组分解法。

例如：将2x²+6x+3分解为(x+1)(2x+3)四、因式分解的应用因式分解在代数中有广泛的应用，可用于求解方程、简化分式、化简根式等。

它是解决复杂代数问题的重要工具。

五、练习题1. 将4x²-9y²分解。

2. 将6a³b-15ab²分解。

3. 将x³+y³分解。

4. 将3x³-27y³分解。

六、总结因式分解是代数学中重要的概念和工具，通过提取公因式、公式转换和分组分解等方法，能够简化多项式的计算和求解。

掌握因式分解的方法和应用，对于初中代数学习至关重要。

希望以上初中因式分解讲义能帮助你更好地理解和掌握因式分解的知识和技巧。

如果需要更多的练习或进一步讨论，请随时提问。

初中八年级数学上册第一章《因式分解》复习与巩固教案教学设计导入新课讲授新课重点知识讲解课堂练习前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.（一）讨论推导本章知识结构图请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.（2）分解因式与整式乘法的关系.（3）分解因式的方法.很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）（二）下面请大家把重点知识回顾一下.1.举例说明什么是分解因式.2.分解因式与整式乘法有什么关系?3.分解因式常用的方法有哪些?［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2（2）6x2y3=3xy·2xy2（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2（4）4ab+2ac=2a（2b+c）［例2］将下列各式分解因式.（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5;（2）－9ab+18a2b2－27a3b3;（3）41－91x2;（4）9（x+y）2－4（x－y）2;［例3］把下列各式分解因式:（1）x7y3－x3y3;（2）16x4－72x2y2+81y4;从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?分解因式的一般步骤为:（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.（三）课堂小测1.把下列各式分解因式（1）16a2－9b2;小组讨论积极展示根据教师的提示回答问题积极回答。

因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。

1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。

本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。

2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

如:()++=++。

ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。

公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。

2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。

运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。

八年级下册数学因式分解知识点总结一、因式分解的概念因式分解是指将一个代数式分解为若干个因式的乘积。

通过因式分解，我们可以更好地理解和计算代数式，简化运算过程。

二、公式的因式分解1.平方差公式平方差公式指的是a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。

利用平方差公式，我们可以快速求解平方差的值。

2.二次平方根公式二次平方根公式指的是a^2+2ab+b^2可以分解为(a+b)^2。

这个公式在应用中非常常见，可以简化一些复杂运算。

3.一元二次方程的因式分解一元二次方程的因式分解是指将形如ax^2+bx+c的二次方程分解为两个一次因式相乘的形式。

三、常见的因式分解方法1.提公因式法提公因式法是最基本的因式分解方法，它通过提取多项式的最大公因式来进行分解。

2.平方三项差公式平方三项差公式是指a^2-2ab+b^2可以分解为(a-b)^2。

这个公式在因式分解中经常使用。

3.两个平方差的差公式两个平方差的差公式是指a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。

这个公式也是因式分解中常用的方法之一。

四、高阶因式分解在高阶因式分解中，我们需要注意多项式的次数和系数，采用不同的方法进行因式分解。

常用的高阶因式分解方法有配方法、分组分解、换元法等。

因式分解是数学中的一项基本技能，对于解决方程、证明等问题具有重要的作用。

掌握因式分解的基础知识和常见方法，能够更好地理解和解决数学问题。

在实际应用中，我们还需要根据具体情况选择合适的因式分解方法，提高计算效率和准确性。

以上是八年级下册数学因式分解知识点的总结。

希望通过这篇文档，可以帮助大家更好地理解和掌握因式分解的方法和技巧。

《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系； 2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则； 3. 会用公式法分解因式；4. 综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号. 要点四、公式法 1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点五、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq cp q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点六、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、已知21x x +-＝0，求3223x x ++的值．【思路点拨】观察题意可知21x x +=，将原式化简可得出答案． 【答案与解析】解：依题意得：21x x +=， ∴3223x x ++， ＝3223x x x +++， ＝22()3x x x x +++， ＝23x x ++，＝4；【总结升华】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值． 【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解． 【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--，＝322359x x x x -+--， ＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0．【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解． 举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）A ．229a y+B ．229a y-+C ．229a y-D ．229a y--【答案】C ；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码． 【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x yx x y x y -=-=+-，当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10， 故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键． 举一反三：【变式】利用因式分解计算 （1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317- 【答案】 解：（1）16.9×18＋15.1×18＝()116.915.18⨯+＝13248⨯= （2）22683317-＝()()683317683317+⨯- ＝1000×366 ＝366000． 4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++； （2）222xy x y ---（3）()()22224222x xyy x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【答案与解析】解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x y x y ---=-++=-+（3）()()22224222x xyy x xy y -+-+＝()()24222x xy yx y -+=-【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全． 举一反三：【变式】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A ．21x + B ．221x x +- C ．21x x ++ D ．244x x ++【答案】D ；5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答． 【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x xxx +++-．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+．【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答； （2）根据（1）的结论直接作答． 【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++②()()271234y y x x -+=--【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号． 举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2． （1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； （2）指出A 与C 哪个大？说明理由． 解：（1）B －A ＝()21a -＋2＞0，所以B ＞A ；（2）C －A ＝25192a a a +---，＝2421a a +-， ＝()()73a a +-．因为a ＞2，所以a ＋7＞0，从而当2＜a ＜3时，A ＞C ；当a ＝3时，A ＝C ；当a ＞3时，A ＜C ．【巩固练习】 一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）． A ．()()22422m n m n m n -=+- B ．()()2111m m m +-=-C ．()23434m m m m --=-- D ．()224529m m m --=--2. 把24a a -多项式分解因式，结果正确的是（ ）A ．()4a a -B ．()()22a a +-C ．()()22a a a +-D ．()224a -- 3. 下列多项式能分解因式的是（ ） A ．22x y +B ．22x y--C ．222x xy y-+-D ．22x xy y-+4. 将2m()2a -＋()2m a -分解因式，正确的是（）A ．()2a -()2m m - B ．()()21m a m -+ C ．()()21m a m -- D ．()()21m a m --5. 下列四个选项中，哪一个为多项式28102x x -+的因式？（ ）A ．2x －2B ．2x ＋2C ．4x ＋1D ．4x ＋2 6. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.2 7. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（）A ．2)5(b a - B ．2)5(b a + C ．)23)(23(b a b a +- D ．2)25(b a - 8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）①22a b --； ②2224x y -； ③224x y -； ④()()22m n ---； ⑤22144121a b -+；⑥22122m n -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题9.分解因式：()241x x -- ＝________.10.把23x x c ++分解因式得：23x x c ++＝()()12x x ++，则c 的值为________.11．若221x y -=，化简()()20122012x y x y +-＝________．12. 若2330x x +-=，32266x x x +-＝__________. 13.把()()2011201222-+-分解因式后是___________.14.把多项式22ax ax a --分解因式，下列结果正确的是_________.15. 当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是________.16.把2221x y y ---分解因式结果正确的是_____________. 三.解答题 17.分解因式：（1）234()12()x x y x y ---； （2）2292416a ab b -+； （3）21840ma ma m --.18. 已知10a b +=，6ab =，求：（1）22a b +的值；（2）32232a b a b ab -+的值． 19.已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式()5x +，且17m n +=，试求m 、n 的值．20. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成()()219x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成()()224x x --，请将原多项式分解因式．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式. 2. 【答案】A ；【解析】()244a a a a -=-. 3. 【答案】C ；【解析】A ．不能分解；B ．2222()x y x y --=-+，不能分解；C ．()2222x xy y x y -+-=--，故能够分解；D ．不能分解．4. 【答案】C ； 【解析】2m()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --．5. 【答案】A ；【解析】将28102x x -+进行分解因式得出()()281024122x x x x -+=--，进而得出答案即可．6. 【答案】D ；【解析】2(3)(5)28x x x x -+=+-. 7. 【答案】A【解析】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-＝()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦.8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解. 二.填空题9. 【答案】()22x -；【解析】()()22241442x x x x x --=-+=-.10.【答案】2；【解析】()()21232x x x x ++=++.11.【答案】1； 【解析】()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y+-=+-=-==⎡⎤⎣⎦.12.【答案】0；【解析】()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=. 13.【答案】20112； 【解析】()()()()()201120122011201120112221222-+-=--=--=.14.【答案】()()21a x x -+；【解析】22ax ax a --＝()()2(2)21a x x a x x --=-+.15.【答案】19；【解析】()()()()2210910919x y x y x y -=+-=+-=.16.【答案】()()11x y x y ++--；【解析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．三.解答题 17.【解析】解：（1）234()12()x x y x y ---＝224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--； （2）22292416(34)a ab b a b -+=-；（3）()()()2218401840202ma ma m m a a m a a --=--=-+. 18.【解析】解：∵10a b +=，6ab =，则（1）()2222a b a b ab +=+-＝100－12＝88；（2）()()2322322224a b a b ab ab a ab b ab a b ab ⎡⎤-+=-+=+-⎣⎦＝6×（100－24）＝456． 19.【解析】解：设另一个因式是x a +，则有()()5x x a ++＝()255x a x a +++＝2x mx n ++∴5a m +=，5a n =，这样就得到一个方程组5517a ma nm n +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得2107a n m =⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴m 、n 的值分别是7、10． 20.【解析】解：设原多项式为2ax bx c ++（其中a 、b 、c 均为常数，且abc ≠0）．∵()()()22219210922018x x x x x x --=-+=-+， ∴a ＝2，c ＝18；又∵()()()2222426821216x x x x x x --=-+=-+， ∴b ＝－12．∴原多项式为221218x x -+，将它分解因式，得()()2222121826923x x x x x -+=-+=-．。

初二上学期数学《因式分解》知识点整理初二上册数学因式分解知识点（1）因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

（2）公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。

（3）确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。

（4）提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（5）提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式。

（6）如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“—”号时，多项式的各项都要变号。

（7）因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式。

（8）运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（9）平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2—b2=（a+b）（a—b）（10）具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，（指的系数是完全平方数）②字母指数要成双，（指的指数是偶数）③两项符号相反。

（指的两项一正号一负号）（11）用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么。

（l2）完全平方公式：两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

字母表达式：a2±2ab+b2=（a±b）2 （13）完全平方公式的特点：①它是一个三项式。

②其中有两项是某两数的平方和。

③第三项是这两数积的正二倍或负二倍。

④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和（或者差）的平方。

八年级数学下册《分解因式》的知识点归纳八年级数学下册《分解因式》的知识点归纳一、分解因式1。

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

2。

因式分解与整式乘法是互逆关系。

因式分解与整式乘法的区别和联系：（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。

二、提公共因式法1、如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

这种分解因式的方法叫做提公因式法。

如：2、概念内涵：（1）因式分解的最后结果应当是"积"；（2）公因式可能是单项式，也可能是多项式；（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：3、易错点点评：（1）注意项的符号与幂指数是否搞错；（2）公因式是否提"干净"；（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉。

三、运用公式法1。

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

2。

主要公式：（1）平方差公式：（2）完全平方公式：3。

易错点点评：因式分解要分解到底。

如就没有分解到底。

4、运用公式法：（1）平方差公式：①应是二项式或视作二项式的多项式；②二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方；③二项是异号。

（2）完全平方公式：①应是三项式；②其中两项同号，且各为一整式的平方；③还有一项可正负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍。

5、因式分解的思路与解题步骤：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的`最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。

四、分组分解法：1、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

第二章 分解因式【知识要点】1．分解因式（1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。

②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。

③分解因式要分解到不能再分解为止。

2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________； 分解因式是____________________________________________________； 所以，分解因式和整式乘法为_______关系。

3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。

（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。

（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。

②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号。

4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________ （2）完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。

【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用 【例1】分解因式：（1）3241626m m m -+- （2）2()3()x y z y z +-+（3）2()()()x x y x y x x y +--+ （4）(34)(78)(1112)(78)a b a b a b a b --+--解析：（1）题先提一个“-”号，再提公因式2m ；（2）题的公因式为y z +；（3）题的公因式为()x x y +； （4）题的公因式为78a b -。

答案：（1）22(2813)m m m --+； （2）()(23)y z x +-；（3）2()xy x y -+； （4）22(78)a b -。

八年级上册数学因式知识点因式分解是数学中重要的基础知识，也是解决数学问题的关键。

在八年级上册数学学习中，因式分解是必须要掌握的知识点之一。

本文将介绍相关的知识点，为大家解读因式分解的基本原理和方法。

一、因式分解的定义因式分解是把一个数或一个代数式分解成其不可约因子的积，这样的分解方法叫做因式分解。

二、因式分解的基本原理任何一个数，都可以表示为若干个质因数的积。

所谓质因数，是指除了1和自身之外，没有别的因数能够整除的数。

例如，2、3、5、7、11等都是质数。

根据这个原理，我们可以用质因数拆解的方法，把任何一个数字分解成为若干个质因数的积，从而得到其因式分解式。

具体方法可以借助于质因数分解表，也可以采用增量分解法等。

三、因式分解的相关应用1. 求最大公因数和最小公倍数因式分解的基本原理可以用于求两个数的最大公因数或最小公倍数。

方法是将两个数分别进行因式分解，然后分别取其各个质因数的最小次数（即两数中重复出现的质因数的最小次数），符号相乘即可。

2. 约分和通分因式分解的方法还可以用于约分和通分。

对于一个分数，如果分子和分母能够分别分解为若干个质因数的积，且有相同的质因数，则可以约分；如果分数的分母不同，则可以采用通分的方法将其化为相同分母的分数。

3. 解一元二次方程一元二次方程的求解，也需要用到因式分解的方法。

例如，解方程x²+6x+5=0，我们可以对其进行因式分解，得到(x+1)(x+5)=0，从而得出x=-1或x=-5的解。

四、因式分解的注意事项1. 尽可能采用质因数分解法来分解因式质因数拆解法是因式分解的基本原理，将任何一个数分解成为若干个质因数的积。

这种方法能够简单明了地表示出一个数或代数式的唯一因式分解式。

而不同的方法可能会得到不同的因式分解式，因此，尽可能采用质因数分解法会更为合适。

2. 注意记号分清各个符号的含义，例如，乘积符号"×"、加号"+"、减号"-"和括号"()"等。