北师大版八年级上册 探索勾股定理同步练习题

2020年《暑假衔接》北师大版八年级上册1.1 探索勾股定理同步练习一．选择题（共10小题）1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A．B．C．D．2．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．3．下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CEB＝S△CDBC．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD5．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（）A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，且a：b＝4：3，则大正方形面积与小正方形面积之比为（）A．25：9B．25：1C．4：3D．16：97．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边的正方形的面积为（）A．9B．16C．25D．58．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且a＝7，b＝24，则c的长为（）A．26B．18C．25D．219．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）A．9B．6C．5D．410．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（）A．4B．6C．D．二．填空题（共6小题）11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为．14．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为．15．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、b、c的式子表示），．16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝．三．解答题（共4小题）17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．（1）求BC的长；（2）求△ABC的面积．19．如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）20．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：C．2．解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选：B．3．解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4．解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．可知ab+c2+ab＝（a+b）2，∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：D．5．解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：＝4（厘米），可得这个直角三角形的面积为：×3×4＝6（平方厘米）．故选：A．6．解：∵a：b＝4：3，∴大正方形面积与小正方形面积之比为（a2+b2）：（a﹣b）2＝b2：b2＝25：1．故选：B．7．解：由勾股定理得：AB＝＝5，所以以AB为边长的正方形的面积为52＝25．故选：C．8．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝7，b＝24，∴c2＝a2+b2∴c＝25．故选：C．9．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．故选：C．10．解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a+b＝8，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝2，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴ab＝32﹣，∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣8c+32﹣＝2，解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），故答案是：3．12．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，即（AB﹣2）2+82＝AB2，解得AB＝17．故答案为：17．13．解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2＝25，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和＝AC2+BC2＝25．故答案为：25．14．解：由图可知，（b﹣a）2＝5，4×ab＝42﹣5＝37，∴2ab＝37，（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．故答案为79．15．解：如图所示：①S＝c2+ab×2＝c2+ab，②S＝a2+b2+ab×2＝a2+b2+ab．故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．16．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则由勾股定理知，AC2+BC2＝AB2．S1＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝12.5π．故答案为：12.5π．三．解答题（共4小题）17．解：设AD＝x∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x＝，∴AD＝．18．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2，解得BC＝15；（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，∴AD2+122＝202，解得AD＝16，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．∴S△ABC＝AB•CD＝×25×12＝150．19．解解：（1）如图所示，是梯形；由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝（a+b）（a+b）．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即ab+ab+c2．两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．20．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，也利用表示为ab+c2+ab，∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，即a2+b2＝c2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，∴h＝，故答案为；（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴边长为a﹣2b，由此可画出的图形为：。

新北师大版八年级上学期《第一章勾股定理》同步练习题一、选择题1.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是【】A．6 B．7 C．8 D．92.如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是平【】A.40cm B．202cm C．20cm D ．102 cm3.如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=46，则PE+PF的长是【】A．46B．6 C．42D．264.点P在等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上，若记：k=AP2+BP2，则【】A.满足条件k ＜2CP2的点P有且只有一个 B.满足条件k＜2CP2的点P有无数个 C.满足条件k=2CP2的点P有有限个 D.对直线AB上的所有点P，都有k=2CP25.如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是【】A．Sl +S2＞S3B．Sl+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S326.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是【】A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④7. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是【】A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.58.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是【】A．217 B．25 C．42 D．79.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，43第1题图第2题图第3题图第5题图10.已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边BC 的长为【 】 A ．21 B ．15 C ．6 D ．以上答案都不对 11.如图：在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于M ，若CM=5，则CE 2+CF 2等于【 】A ．75 B ．100 C ．120 D ．12512. 如图，正方形网格中，每个正方形的顶点叫格点，每个小正方形的边长为1，则以格点为顶点的三角形中，三边长都是整数的三角形的个数是【 】 A ．4 B ．8 C ．16 D ．2013.如图，P 为等腰△ABC 内一点，过点P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，已知AB=AC=10，BC=12，且PD ：PE ：PF=1：3：3，则AP 的长为【 】A ．43B ． 203C ．7D ．814. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是【 】 A ．52 B ．42 C ．76 D ．7215. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为【 】 A ．90 B ．100 C ．110 D ．121 二，填空题16.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕第11题图第12题图第13题图第14题图第6题图第7题图第8题图第9题图一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．17. 如图，△ABC 中，AB=AC=2，若P 为BC 的中点，则AP2+BP•PC 的值为 ；若BC 边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，记mi=APi2+BPi•PiC（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为 ．18.直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．设S△ABC=S，a+b+c=L ，则S 与L 的比SL蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a+b-c 的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表： 三边a 、b 、c a+b-c L S S/L 3、4、5 2 12 6 1/2 6、8、10 4 24 24 1 5、12、13 4 30 30 1 8、15、17 6 40 48 3/2 12、16、20 8 4896 2 … … … ………若a+b-c=m ，则观察上表我们可以猜想出SL= （用含m 的代数式表示） 19.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．20.图中所示是一条宽为1.5m 的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD 的宽AB 为1m ，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD 不能超过 m ．21.如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 是BC 的中点，且它关于AC 的对称点是D′，则BD′= ． 三、解答题（必须有必要的解答过程）22. 如图，在一棵树CD 的10m 高处的B 点有两只猴子，它们都要到A 处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m 处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直线跃入池塘的A 处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？ 第16题图第17题图第19题图第20题图第21题图23.如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB=5，BC=12，求图中阴影部分的面积．24.如图，AD是已知△ABC中BC边上的高．P是AD上任意一点，当P从A向D移动时，线段PB、PC的长都在变化，试探索PB2-PC2的值如何变化？25.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．26.定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．27.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是12(9−1)，12(9+1)；勾是五时，股和弦的算式分别是12(25−1)，12(25+1)．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．28. 大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，12h h 、、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，写出结论并证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线1l ：y=34x+3，2l ：y=-3x+3，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．。

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为 1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m 高的树被风折断，树顶落在离树根3 m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处， 若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长.CF D A参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。

高效学习经验——把数学的知识点都结合起中考状元XX平日里爱打篮球、爱看球赛,XX给人的第一印象很阳光。

在他看来,他取得高分的最大秘诀就是:基础知识掌握得非常牢固。

在所有学科中,XX认为自己的理科和英语还算不错。

他说他最擅长的是用知识网络法来归纳知识,让零散的知识变得系统、有条理，具体如何做呢?以数学为例,XX会首先联想一个数学关键词比如说一元二次方程,然后围绕着这个关键词想一想,什么叫做一元次方程,一元二次方程有哪些解法,解答一元二次方程的步骤是什么等等,然后再将这些间题的答案写在笔记本中,这样知识就变得非常清晰了。

探索勾股定理同步练习题一、【基础知识精讲】1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么222a b c +=即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2．用面积法证明勾股定理：（1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。

（Ⅰ）ab c b a S ABCD 214)(22⨯+=+=正方形。

(Ⅱ) ab b a c S EFGH 214)(22⨯+-==正方形。

∴222b a c +=. ∴222c b a =+3．勾股定理各种表达式：在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a.b.c则222b a c +=，222b c a -=，222a c b -=4.勾股定理的作用: (1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)用于证明平方关系的问题。

二、【例题精讲】例1：在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=_______；（2）若a=6，c=10，则b=_________；例2. 如图1-1，在△ABC 中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．例3.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，DE为BC的垂直平分线，求证：222ACAEBE=-三、【同步练习】A组一、填空题1. 在△ABC中，∠c=90°. (1)若a＝8,b=15,则c=____；（2）若a=7,c=25,则b=______.2. 某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取__________米．3. 斜边的边长为cm17，一条直角边长为cm8的直角三角形的面积是。

4．如图，已知ABC∆中，︒=∠90C，15=BA，12=AC，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是。

ACB二、选择题：1. 小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是( )A.48 cmB.4.8 cmC.0.48 cmD.5 cm2. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )A、b2=c2－a2B、a∶b∶c=3∶4∶5C、∠C=∠A－∠BD、∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶153. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，12B组1．在直角三角形ABC中，∠C=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=_________________ 2．如图，喜洋洋想知道灰太狼家旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

第一章 勾股定理单元总览勾股定理是平面几何有关度量的最根本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，学习勾股定理及其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的根底，因而勾股定理具有学科的根底性和广泛的运用．我们不应只满足于掌握勾股定理及其逆定理，并运用它们解决具体问题，还要经历勾股定理及其逆定理的探究过程，在探究过程中进一步丰富数学活动经验，开展推理能力和分析问题、解决问题的能力，同时感受勾股定理的文化价值．一、目标导航教学目标：①经历用数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步开展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．②探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步开展学生的说理和简单推理的意识及能力．二、根底过关1．如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么它们的关系是______ ，即直角三角形两直角边的_______ ． 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设a ＝5，b ＝12，那么c ＝ ． 3．如图，在以下横线上填上适当的值：m= n= y= x=m x y554041171586m= n= y= m y540411715m= n= m4041n=4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设34a b ， c ＝10，那么a ＝ ，b ＝_______． 5．，甲、乙从同一地点出发，甲往东走了90m ，乙往南走了120m ，这时甲、乙两人相距 ．6．一个长方形的一条边长为3cm ，面积为12cm 2，那么它的一条对角线长为 ． 7．一直角三角形的三边是三个连续的正整数，那么此直角三角形的周长为 ． 8．如图，阴影局部的面积为〔 〕A ．3B ．9C ．81D ．100 9．直角三角形两直角边分别为5cm 和12cm ，那么其斜边的高为〔 〕化归A ．6cmB ．8cmC ．8013cm D ．6013cm 10．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∠DBC ＝90°，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝12，那么CD 为〔 〕A ．5B ．13C ．17D ．18ABCD8题图 10题图11．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际的上岸点C 偏离了想要到达的点B 有140m 〔即BC ＝140m 〕，其结果是他在水中实际游了500m ，求河宽为多少米？12．等腰△ABC ，AB ＝AC ，腰长是13cm ，底边是10cm ，求：〔1〕高AD 的长；〔2〕△ABC 的面积ABC S ．13．在△ABC 中AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长．三、能力提升14．一个直角三角形的斜边与一条直角边的和为8，差为2，试求这个直角三角形三边的长．15．如图，在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，那么这棵树高 米．四、聚沙成塔我国明朝数学家程大位〔1533-1606〕写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？1 探索勾股定理〔1〕1．a 2＋b 2＝c 2；平方和等于斜边的平方 2．13 3．① 10 ② 8 ③ 9 ④ 9 4．6；8 5．150m 6．5cm 7．12 8．C 9．D 10．B 11．AB ＝320m 12．AD ＝12cm ；S △ABC ＝30 cm 2 13．△ABC 的周长为42或32． 14．直角三角形的三边长分别为3、4、5 15．15米．聚沙成塔：提示，秋千的索长为x 尺〔一步＝4尺〕，x 2－〔x －4〕2 解得：x ＝62 一次函数一、目标导航知识目标：①理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系．②通过由信息写一次函数表达式的过程，开展学生的数学应用能力． 能力目标：①经历一般规律的探索过程、开展学生的抽象思维能力．②经历利用一次函数解决实际问题的过程，开展学生的数学应用能力． 二、根底过关1．以下函数：〔1〕43y x =+； 〔2〕12y x =-； 〔3〕1y x=； 〔4〕2y x =； 〔5〕1y x =-中，一次函数有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．以下函数中，是一次函数但不是正比例函数的是〔 〕A ．3xy =-B ．3y x=-C ．12x y +=D ．212x y x+=3．以下关系中，是正比例关系的是〔 〕A ．当路程s 一定时，速度v 与时间t ；B ．圆的面积S 与圆的半径r ；C ．正方体的体积V 与棱长a ；D ．正方形的周长C 与它的一边长a ． 4．假设22(1)m y m x -=-是正比例函数，那么m 的值为〔 〕 A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．22-5．假设52y +与3x -成正比例，那么y 是x 的〔 〕 A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．没有函数关系 D ．以上答案都不正确6．假设函数23y x b =+-是正比例函数，那么b ＝_______． 7．正方形的周长为L ，面积为S ，用L 表示S 的函数关系式为___________．8．某学生的家离学校2km ，他以16km/min 的速度骑车到学校，•写出他与学校的距离s 〔km 〕和骑车的时间t 〔min 〕的函数关系式为_________，s 是t 的________函数．9．从含盐5%的盐水y kg 中，蒸去x kg 水分，制成含盐20%的盐水，那么y 与x 之间的函数关系式为________．10．当3x =-时，函数y x k =+和1y kx =-的值相等，那么k 的值为_______． 11．设函数2(2)1my m m -=-++，当m ＝______时，它是一次函数；当m ＝______时，它是正比例函数．12．粮库有粮50吨，每天运走5吨，写出剩下的粮食P 〔吨〕与运粮的天数t 〔天〕的函数关系式，并指出自变量的取值范围．三、能力提升13．某汽车油箱中存油20kg ，油从管道匀速流出，经210min 流尽．〔1〕写出油箱中剩余油量y 〔kg 〕与流出的时间x 〔min 〕之间的函数关系式； 〔2〕经过多少小时后，流出的油量是剩余油量的三分之二？14．某商店售货时，在进价的根底上加一定的利润，其数量x 与售价y 如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y 与数量x 的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价是多少元？15．弹簧挂上物体后会伸长，测得某弹簧的长度y 〔cm 〕与所挂物体的质量x 〔kg 〕有下面的关系，如表所示．那么弹簧的总长y 〔cm 〕与所挂物体质量x 〔kg 〕之间的函数关系式为16段到达节约用水目的，收费标准如下：每户每月用水未超过6m 3时，每平方米收费1.0元，超过6m 3时，超过局部每立方米收费1.8元，设某户月用水量为x 〔m 3〕，应交水费为y 〔元〕．〔1〕分别写出用水未超过6m 3和超过6m 3时，y 与x 的函数关系式； 〔2〕假设某户6月份共交水费8.8元，求该户这个月用水多少立方米？17．在“保护母亲河行动──云南绿色希望工程〞活动中，发行了一种 卡，目的在于新世纪之初建设万亩青少年新世纪林．此种 卡面值12元，其中10•元为通话费，2元捐给“云南绿色希望工程〞基金，另附赠1元的通话费，•假设以发行的 卡数为自变量x ，“云南绿色希望工程〞基金为函数y ．〔1〕写出y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；〔2〕购置一张这样的卡，实际可有多少元的通话费？•植树一亩需费用400元，假设今年我市九年级毕业生共有46 000人，每人购置一张卡，那么该项基金可植树多少亩？18．某公司推销一种产品，设x〔件〕是推销产品的数量，y〔元〕是推销费，以下图表示公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答以下问题：〔1〕求y1与y2的函数表达式；〔2〕解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？〔3〕如果你是推销员，应如何选择付费方案？19．某食品批发部准备用10 000•元从厂家购进一批出厂价分别为16元和20元的甲、乙两种酸奶，然后将甲、乙两种酸奶分别加价20%和25%向外销售．如果设购进甲种酸奶为x〔箱〕，全部售出这批酸奶所获销售利润为y〔元〕．〔1〕求所获销售利润y〔元〕与x〔箱〕之间的函数关系式；〔2〕根据市场调查，甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱，那么食品批发部怎样进货获利最大，最大销售利润是多少？四、聚沙成塔20．中国移动通信已于2021年年3月21日开始在所属18个省、•市移动公司陆续推出“全球通〞移动资费“套餐〞，这个“套餐〞的最大特点是针对不同的用户采取了不同的收费方式，具体方案如表所示：方案代号根本月租〔元〕免费时间〔min〕超过免费时间话费〔元/min〕1 30 48 0.602 98 170 0.603 168 300 0.504 268 600 0.455 388 1 000 0.40 每月实际收入水平，选中上表中的方案3，请问：〔1〕“套餐〞中第3种收费方式的月话费y与月通话费t〔月通话量是指一个月内每次通话用时之和〕的关系式是什么？它是一次函数吗？〔2〕取第3种收费方式，通话量为多少时比原收费方式的月通话费省钱？2 一次函数1．C 2．C 3．D 4．B 5．B 7．S ＝116L 28．s ＝2－16t ，一次 9．y ＝43x 10．1211．±1，－1 12．P ＝50－5t 〔0≤t ≤10〕． 13．〔1〕y ＝20－221x ；〔2〕根据题意，得221x ＝23〔20－221x 〕，解得x ＝84〔m in 〕．14．y ＝8xxx ，∴y 是x 的正比例函数．当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21，即当数量是2.5千克时的售价是21元．15．由表中可知，弹簧原长为12cm ，每增加1kg 质量，弹簧伸长为0.5cm ，故yx ． 16．〔1〕当x ≤6时，y ＝x ，当x >6时，y ＝6×1＋〔x －6〕×1.8＝1．8x －4.8；〔2〕当水费为8.8元时，那么该户的月用水量超过了6m 3，把yyx －4.8，得x ＝759． 17．〔1〕y 与x 的函数关系式为：y ＝2x ，自变量x 的取值范围是：x ≥0的整数．〔2〕购置一张这种 卡实际通话费为10＋1＝11〔元〕， 当x ＝46 000时，y ＝2x ＝2×46 000＝92000，92 000÷400＝230〔亩〕． 18．〔1〕设y 1＝kx 1＋b 1，y 2＝kx 2＋b 2．12112212120,300,30600;30600.20,10,0;300.b b k b k b k k b b ==⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩则 ∴y 1＝20x ，y 2＝10x ＋300．〔2〕y 1是不推销产品没有推销费，每推销10件得推销费200元；y 2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．〔3〕假设业务能力强，平均每月能保证推销多于30件，就选择y 1的付费方案；•否那么选择y 2的付费方案．19．〔1〕解法一：根据题意，得y ＝16×20%·x ＋20×25%×100001620x-＝－0.8x ＋2 500，解法二：•y ＝16·x ·20%＋〔10 000－16x 〕·25%＝－0.8x ＋2 500．〔2〕解法一：由题意知300,1000016300.20x x ≤⎧⎪-⎨≤⎪⎩，解得250≤x ≤300．由〔1〕知y ＝－0.8x ＋2 500，∵k ＝－0.8<0，∴y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝250时，y 值最大，此时y ＝－0.8×250＋2 500＝2 300〔元〕， ∴100001620x -＝100001625020-⨯＝300〔箱〕．答：当购进甲种酸奶250箱，•乙种酸奶300箱时，所获销售利润最大，最大销售利润为2 300元． •解法二：•因为16•×20%<20×25%，即乙种酸奶每箱的销售利润大于甲种酸奶的销售利润，•因此最大限度的购进乙种酸奶时所获销售利润最大，即购进乙种酸奶300箱，那么x ＝100002030016-⨯＝250〔箱〕．由〔1〕知y ＝－0．8x ＋2 500，•∴x ＝250时，y 值最大，此时y ＝－0.8×250＋2 500＝2 300〔元〕．聚沙成塔：〔1〕当t ≤300m in 时，y ＝168，不是一次函数，当t >300m in 时，y ＝168＋〔tt ＋3是一次函数；〔2〕原收费方式的月话费为：50＋0.4t，由题意得50＋0.4t>168，得ttt＋3，得t<470．即当通话时间在295m in到470m in之间时，选用方案3比原收费方式要省钱．。

八年级数学上册《第一章探索勾股定理》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.下列三角形中，可以构成直角三角形的有( )A.三边长分别为2，2，3B.三边长分别为3，3，5C.三边长分别为4，5，6D.三边长分别为1.5，2，2.52.如图，直角△ABC的周长为24，且AB：AC＝5：3，则BC＝( )A.6B.8C.10D.123.下列各组数为勾股数的是( )A.6，12，13B.3，4，7C.4，7.5，8.5D.8，15，164.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是( )A.a＝15，b＝8，c＝17B.a＝9，b＝12，c＝15C.a＝7，b＝24，c＝25D.a＝3，b＝5，c＝75.若直角三角形的三边长分别为6、10、m，则m2的值为( )A.8B.64C.136D.136或646.直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的13，斜边长为10，则它的面积为( )A.10B.15C.20D.307.如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是( )8.直角三角形的三边为a﹣b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为( )A.61B.71C.81D.91二、填空题9.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．10.在Rt△ABC中，∠C＝90o， AC＝6，BC＝8，则AB边的长是 .11.已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，则正方形③的面积为．12.如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为____.13.若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为．14.如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______.三、解答题15.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…a，b，c根据你发现的规律，请写出(1)当a＝19时，求b、c的值；(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝26，边BC上的中线AD＝24．求BC的长度．17.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°.请完成以下任务.(1)尺规作图：①作∠A的平分线，交CB于点D；②过点D作AB的垂线，垂足为点E.请保留作图痕迹，不写作法，并标明字母.(2)若AC＝3，BC＝4，求CD的长.18.如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D为AB边上的一点(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若DE＝13，BD＝12，求线段AB的长．19.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边中点，过D点做DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE＝4，FC＝3，求EF长.参考答案1.D.2.B3.D4.D5.D.6.B7.A.8.C.9.答案为：24.10.答案为：10.11.答案为：19．12.答案为：1713.答案为：13.14.答案为：1515.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2＋b2＝c2∴192＋b2＝(b＋1)2∴b＝180∴c＝181；(2)通过观察知c﹣b＝1∵(2n＋1)2＋b2＝c2∴c2﹣b2＝(2n＋1)2(b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2∴b＋c＝(2n＋1)2又c＝b＋1∴2b＋1＝(2n＋1)2∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；16.解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线∴AD⊥BC，BD＝DC．∴AD2＋BD2＝AB2∵AD＝24，AB＝26∴BD2＝100∵BD＞0∴BD＝10∴DC＝10∴BC＝BD＋DC＝20．17.解：(1)如图所示：①AD是∠A的平分线；②DE是AB的垂线；(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝5由作图过程可知：DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°∵S△ACD ＋S△ABD＝S△ABC∴12AC•CD＋12AB•DE＝12AC•BC∴12×3×CD＋12×5×CD＝12×3×4，解得：CD＝32.18.证明：(1)∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠B＝∠BAC＝45°∴∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD；(2)解：∵△ACE≌△BCD∴AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°∵BD＝12∴∠EAD＝45°＋45°＝90°，AE＝12在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12 由勾股定理得：AD＝5∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17．19.解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB∴DE＝CD又∵CD＝3∴DE＝3；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10∴S△ADB ＝12AB·DE＝12×10×3＝15.20.解：连接BD．∵D是AC中点∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC ∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°∴∠EDB＝∠CDF在△BED和△CFD中∠EBD＝∠C,BD＝CD,∠EDB＝∠CDF∴△BED≌△CFD(ASA)∴BE＝CF；∵AB＝BC，BE＝CF＝3 ∴AE＝BF＝4在Rt△BEF中，EF＝ 5.。

第一章勾股定理参考例题［例1］如下图所示，中，A0=15 cm, AC=24 cm, Z/=60°,求BC的长.分析：是一般三角形，若要求出的长，只能将置于一个直角三角形中. 解：过点Q作少丄丽于点D在RtA^CZ?中，ZJ=60°ZACD=90° -60° =30°AD=-AC=12(cm)2Cl}=A(i-A0=^—122=43 2,DB=AB-AD=\^>-n=3.在R仏BCD中，5C!=Z^+CZ7!=32+432=441BC=21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解. ［例2］如下图，A, B两点都与平面镜相距4米，且人B两点相距6米，一束光线由£射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B点关于少的对称点B f ,^AB f,交CD于点、0,则0点就是光的入射点. 因为B，D=DB.所以B，D=AC.AB'〃乍ZOG4=90° ,AB' =ZCAO所以/XB' DO^/\ACO(,SSS)则O(=OD=-AB=- X6=3 米.连结 仞，在 RtHODB 中，OI}+BD=OR 所以 加=3'+4W,即 曙5（米）. 所以点B 到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是 学习物理的基础.1. 探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意 思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个 长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个 数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形的两条直角边的长分别为AC^7, BU4,请你 研究这个直角三角形的斜边的长的平方是否等于42+72?% 、 f 、 / r /f 、 A / S i 、 、 / L i E r、、 ,L r / f测验评价等级：A C ,我对测验结果（满意、一般、不满意）%1 图乙和图丙中 %1 图中（1）（2）%1 图中（1） （2）为什参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积， 故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边 向外做止方形，如右图：AC=4, BC=3, S i|： Ijlf; i|： Ij If; KVH —4 5i« A.W = （3+4）J4X J_ x 3X4=7' —24=25 2即 /才=25,又 BC=3,/W=4»+3〔=25 :.Aff=A^+B （f（2）如图（图见题干中图）S 正方形观F S 正方吸0—4%△加（4+7）2—4X 丄x4X7=121 —56=65=4「7：!22. 探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形它的两条直角边的边长分别为a 、 〃，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形血疋全等的三角 形，放在边长为的正方形内.（D （2） （3）是否为正方形？为什么？（3）的面积分别是多少？ 的面积之和是多少？的面积之和与止方形（3）的面积有什么关系？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？L G/、/ 、 A 丿-■ 、 / ■/ 7 r测验评价等级：A B C,我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案%1图乙、图内屮(1)(2) (3)都是止方形.易得(1)是以a为边长的止方形，(2)是以〃为边长的止方形，(3)的四条边长都是r,且每个角都是直角，所以(3)是以c为边长的正方形.%1图中(1)的面积为a2, (2)的面积为/ (3)的面积为c2.%1图屮(1) (2)面积之和为才+厌%1图中(1) (2)面积之和等于(3)的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的止方形，它们面积相等，(1)(2 )的面积之和与(3) 的面积都等于(a+力*减去四个RtA^f的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理(二)班级：________ 姓名：1.填空题(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点/、B,为了测得/、B两点间的距离，从与方向成直角的仇?方向上任取一点G若测得必=50 ni,^40 m,那么/、B两点间的距离是_________________ .2.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm,求这个三角形的面积.3.在屮，ZU90° , AO2. 1 cm, BU2.8 cm(D求这个三角形的斜边的长和斜边上的高〃的长.(2)求斜边被分成的两部分/〃和劭的长.4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高力=1.8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图3,已知长方形ABCD中AB=8 cm, BC=10 cm,在边仞上取一点E,将处折叠使点〃恰好落在边上的点F,求必'的长.测验评价结果: ;对自己想说的一句话是:参考答案1.(1)2. 5 (2)30 (3)30 米2.如图：等边屮B口2 cm, 〃伊W10 cm作ADLBC,垂足为〃，则〃为中点，BD=CD=6 cm在Rt 厶ABD中，A^A^-B^=10--6-=64AD=8 cm:.S^-BC' AD^ 1 X 12X8=48 (cm2)2 23.解：⑴•.•△/DC中，ZG90°, AO2. 1 cm, BC=2. 8 cm:.A^=A^+BC=2. f+2. 82=12. 25AB^i. 5 cmS®= -AC- BC^-AB - CD2 2:.AC - B(=AB- CD:.防AC BC = 21x2.8 = i. 68 (cm)AB 3.5(2)在中，由勾股定理得：AI7+CD=AC1:.AD=Ar-CD=2. f-l. 682= (2. 1+1.68) (2. 1-1. 68)=3. 78X0. 42=2XI. 89X2X0. 21=22X9X0. 21X0. 21.•.^J9=2X3X0, 21=1. 26(cm):.BD=AB—AD=3. 5-1. 26=2. 24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3 X 12=36(m2)5.解：根据题意得：Rt△肋型Rt△屈FZAFE^90°，处HO cm, Ef^DE设CE=x cm,贝\\ DE=EF=CD— CE=8 — x 在Rt△/肿中由勾股定理得：Aff+Bf^AF,即肘=10',・・・稣10 —6二4 (cm)在RtAECF中由勾股定理可得: EP二C哄CP,即(8-^) W+42・：64 — 16x+x -x + 16/. JF3 (cm),即CE=3 cm。

《探索勾股定理》同步练习1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）A.2kB.k+1C.k 2－1D.k 2+14. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 337.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）2d d C. 2d D.d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A.3B.4C.5D.79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 。

第一章勾股定理综合测试三套姓名勾股定理综合测试(一)一、选择题：（每小题4分，共32分）1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，122、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或253、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（）A．9 cm2 B．13 cm2 C．18 cm2 D．24 cm24、如图，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（）A．6 B．8 C．10 D．125、如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米6、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．5≤h≤12 B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤247、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2 C．10cm2D．12cm28、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为（）A、36，B、22C、18D、12二、填空题（每小题3分，共21分）9、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2，则X的长为厘米。

10、如图，从电线杆离地面６米处向地面拉一条长１０米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为米。

11、如图，在等腰直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，AB=8，则AD2= 。

12、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则________AB米。

北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》同步测试题带答案【基础达标】1.如图，在△ABC中，△B=90°，BC=3，AC=4，则AB的长度为（）A.1B.√7C.2√3D.52.在Rt△ABC中，△C=90°，AB=13，AC=12，则△ABC的面积为（）A.5B.60C.45D.303.(优秀传统文化)在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫作“斗拱”.斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的几何美感.如图1，我们选取斗拱模型的一部分，它由三个小木块组成，形状类似于一个直角三角形(图2).假设这个斗拱模型的直角边长度分别为a和b，斜边长度为c.根据工匠的记录，我们知道a=5尺(古代的长度单位)，b=12尺，则斜边c为尺.4.如图，在△ABC中，△ACB=90°，AB=5，BC=3，则图中阴影部分的正方形的面积为.5(新考法)如图，在△ABC中，AC=BC=5，P为AC上一动点，连接BP，BP的最小值为3，当BP取最小值时，AP= .【能力巩固】6(新考法)如图，在5×5的网格中，A，B，C都是网格点，则AC的长落在数轴上点（）A.M处B.N处C.P处D.Q处7对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD=1，BC=4，则AB2+CD2等于（）A.15B.16C.17D.208.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为.【素养拓展】9(合作学习)在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.如图，作AD△BC于点D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积.10如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA△AB于点A，CB△AB于点B，已知DA=15 km，CB=10 km，现在要在铁路AB边上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少千米处?11(五育并举)为推行五育并举，结合当地特色，某校推出石板画课程，如图，这是小明制作的正方形石板画ABDE，为了方便展示小明又制作了两个直角三角形支架(△ABC和△BDF)，点C、B、F在同一直线上，在△ABC中，△ACB=90°，AC=8 cm，BC=7 cm，求C、E两点之间的距离.参考答案基础达标作业1.B2.D3.134.165.1能力巩固作业6.D7.C8.23素养拓展作业9.解:在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13 设BD=x ，则CD=14-x.由勾股定理得AD 2=AB 2-BD 2=152-x 2，AD 2=AC 2-CD 2=132-(14-x )2 ∴152-x 2=132-(14-x )2 解得x=9 ∴AD=12∴S △ABC =12BC ·AD=12×14×12=84.10.解:设AE=x ，在Rt△AED 中，x 2+152=DE 2. 在Rt△BCE 中，(25-x )2+102=CE 2.又DE=CE ，所以(25-x )2+102=x 2+152，解得x=10. 答:E 站应建在离A 站10 km 处.11.解:如图，连接CE ，过点E 作EG △AC ，交CA 的延长线于点G ∴△EGA=90° ∴△EAG+△AEG=90°. ∴△BAE=90° ∴△EAG+△BAC=90° ∴△AEG=△BAC. ∴AE=AB∴△AEG △△BAC (AAS)∴EG=AC=8 cm ，AG=BC=7 cm .在Rt△ECG 中，EG=8，GC=GA+AC=7+8=15(cm) 根据勾股定理得CE=√82+152=17(cm).。