人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程13、分式总复习

《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣． 类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。

人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程15、三角形总复习【知识精读】1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。

从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。

因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。

因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。

【分类解析】1.例1. 如图1 求证：∠ 证明：由 又∠ABD 则∠ABD 可证∠∠CAD EBD > 即∠∠BED C >说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

2. 三角形三边关系的应用例2. 已知：如图2，在∆ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。

在∆CMA 和∆BMD 中，AM DM AMC DMB CM BM ===，∠∠，∴≅∴=∆∆CMA BMDBD AC在∆ABD 中，AB BD AD -<，而AD AM =2()∴-<∴>-AB AC AMAM AB AC 212说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AM AB AC >-，然后通过倍长中线的方法，相当于将∆AMC 绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。

很自然有()()1212AB AC AM AB AC -<<+。

请同学们自己试着证明。

∴M 在∠ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）∴DM平分∠ADC说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案分式的化简与求值典例剖析【例l 】 已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a+=，需要对所求代数式变形含“1a a +”．【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，356124234567a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944（五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．【例4】 已知1,2,3,xy yz zxx y y z z x===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c++=++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．（北京市竞赛试题）【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++=②14b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d-+-+-+的值是 ．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知2131xx x =-+，则24291x x x =-+ ． （广东竞赛试题）3．若2221998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c++--- 的值为 ．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知232325x xy y x xy y +-=--，则11x y -= ．5．如果111,1a b b c+=+=，那么1c a +=（ ）．A ．1B ．2C ．12D ．14（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的 值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则22222223657x y z x y z++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定8．已知211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值为（ ） A ．1 B ．313m + C ．2132m - D ．2131m + 9．设0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值．10．已知111x y z y z x+=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）11．设,,a b c 满足1111a b c a b c++=++， 求证2121212121211111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）（波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为,,a b c ．（1）若a a b cb c b c a ++=+-，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若1111a b c a b c-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．13．已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值． （“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）： （1）18272938x x x x x x x x +++++=+++++； （江苏省竞赛试题）（2）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （“五羊杯”竞赛试题）（3）111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩．（北京市竞赛试题）B 级1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c=++， 111111()()()y a b c b c c a a b=+++++，则23x y xy ++= ．2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222x y z y z x z y x+++++的值为 ． 5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知a c c bb a b a-==+，那么有（ ）． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（ ）．A ．3B ．8C ．16D ．207．已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）．A ．1996B ．1997C ．1998D ．199998．若615325x y x y y x y x -==-，则222245623x xy y x xy y-+-+的值为（ ）． A ．92 B ．94C ．5D ．6 （全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=． （1）求证：3333a b c abc ++=； （2）求()()a b b c c a c a bc a b a b b c c a---++++---的值． （北京市竞赛试题）10．已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a++=++．求m 的值． （北京市竞赛试题）11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、（天津市竞赛试题）12．设222222222,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab+-+-+-===，当3A B C ++=-时，求证：2002200220023A B C ++=．（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）专题07 分式的化简求值例1 181提示：3363111aa a a +=+例2 A 提示：7665544332216a a a a a a a a a a a a k •••••==71a a =58328，得k=31±，又25443322151k a a a a a a a a a a =•••= 例3油x+y+z=3a ，得（x-a ）+（y-a ）+（z-a ）=0.设x-a=m ，y-a=n ，z-a=p ，则m+n+p=0，即p=-（m+n ）.原式=222p n m pm np mn ++++=()222p n m n m p mn ++++=()()2222n m n m n m mn ++++-=-21 例4 x=512 提示：由已知条件知xy ≠0，yz ≠0，取倒数，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++,31,21,1zx x z zx z y xy y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,3111,2111,111x z z y y x ①+②+③，得1211111=++z y x 例5 提示：由已知条件，得()()a bc acb abc bc ac b ab +++++++22=()()[]()c a b a c b a b ++++=()()()0=+++a c c b b a例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c ，①或b=a+c ，②或c=b+a ，③，联立①③，只需证a=16或或b ＝16或c ＝16，即（a －16）（b －16）（c －16）＝0. ④ 展开只需证明0＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋162（a ＋b ＋c ）－163＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋163 ⑤ 将①平方、移项，有a 2＋b 2＋c 2＝322－2（ab ＋bc ＋ca ），⑥ 又将②移项、通分，有 0＝14－（++b c a bc ＋+c a b ac －＋a b c ab ++）①② ③＝14－（2+ab ac aabc-＋2+bc ab babc-＋2ac bc cabc+-）＝222 8()4()4abc ab bc ac a b cabc-+++++＝28()4[322()]4abc ab bc ac ab bc caabc-+++-++把⑥代入等式中，0＝3 16()164abc ab bc acabc-+++＝23 16()16()164abc ab bc ac a b cabc-+++++-＝(16)(16)(16)4a b cabc---当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c为斜边的直角三角形.同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a 个直角三角形.A级1. 0或－22. 15∵231x xx-+＝1，∴x＋1x＝4.又∵42291x xx-+＝5，∴24291xx x-+＝153. 184.35. A6. C 提示：b 2＋c 2－a2＝－2bc7.B8. C 提示：取倒数，得x＋1x＝1＋m，原式的倒数＝x3＋31x－m39. 1 提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）10. 提示：由x＋1y＝y＋1z，得x－y＝1z－1y，得zy＝y zx y--11. 提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝012. （1）∵()a b cbc+＝()b cb c a++-，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.（2）∵1a＋1c＝1+a b c-＋1b，∴a cac+＝()a ca b c b+-+∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0, a＝b或b＝c，∴这个三角形为等腰三角形.13. 3 x＝1a，y＝1b，c＝1z，∴411a+＋411x+＝411a+＋4111a+＝1，∴原式＝3.14. （1）x＝－11 2（2）x＝123 14（3）（x，y，z）＝（2310，236，232）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1. 22. －1或8 提示：设a bc+＝b ca+＝c ab+＝k，则k＝－1或2 3.1128354. 0 提示：由xy z+＝1－yz x+－zx y+，得：14＝x－xyz x+－xzx y+5. A6. C7. D 提示：原式＝4(2)(2)(1)(2)x x xx x-+---＝3(2)1x xx-+-＝3261281x x x xx-+-+-＝2(1)5(1)8(1)1x x x x xx---+--＝x2－5x＋88. A 提示：由已知条件得x＝3y9. （1）由a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ∴a 3＋b 3＋c 3＝－3ab （a ＋b ）＝3abc（2）∵（a b c -＋b c a -＋c a b -）·ca b-＝1＋22c ab ， ∴同理：（a b c -＋b c a -＋c ab -）·a bc -＝1＋22a bc ，（a b c -＋b c a -＋c a b -）·bc a -＝1＋22b ac ，∴左边＝3＋22c ab ＋22a bc＋22c ab ＝3＋3332()a b c abc ++＝910. ∵a 2＋4a ＋1＝0，∴a 2＋1＝－4a ，①a ≠0. 4232122a ma a ma a++++＝2222(1)(2)2(1)a m a a a ma ++-++＝3.把①代入上式中，222216(2)8a m a a ma +--+＝3，消元得1692)8m m+--+＝3，解得m ＝19.11. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a 天、b 天、c 天，则,,bc a p b c ac b q a c ab c x a b ⎧=⋅⎪+⎪⎪=⋅⎨+⎪⎪=⋅⎪+⎩即111,111,111p a b c q b a c x c a b ⋅=+⋅=+⋅=+解得x ＝14. 12. 由A ＋B ＋C ＝－3得（2222b c a bc+-＋1）＋222222(1)(1)0.22c a b a b c ac ab +-+-+++=即222222()()()0222b c a c a b a b c bc ac ab+-+-+-++=分解因式，得(b ＋c －a )(a ＋b －c )(a －b ＋c )＝0b ＋c －a ， a ＋b －c ，a －b ＋c 中至少有一个为0，不妨设b ＋c －a ＝0，代入式中， A 2002＋B 2002＋C 2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．13．（1）设女孩速度x 级/分，电梯速度y 级/分，男孩速度2x 级/分，楼梯S 级，则27271818.S x y S xy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得13.5271818S S -=-，327418S S -=-，∴S ＝54． （2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m 编，走过楼梯n 编，则女孩走过扶梯(m －1)编，走过楼梯(n －1)编，男孩上扶梯4x 级/分，女孩上扶梯3x 级/分．545454(1)54(n 1)423m m m x x x x --+=+，即114231m n m n --+=+，得6n ＋m ＝16，m ，n 中必有一个是正整数，且0≤︱m －n ︱≤1．①16m n -=，m 分别取值，则有②m ＝16－6n ，分别取值，则有 显然，只有m ＝3，n ＝126满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋126×54＝198级． ∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．。

A CB D E F ）α 30°（ 八 年 级 数 学 培 优 辅 导 练 习 姓名一、填空 1．若222=+-aa ，则1-+a a 的值为 ． 2．.若方程有增根，则增根为 ． 3．已知，，，则、、的大小关系是 ．4．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点， 且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是 ．5．当x 分别取、、、….、、、、1、、、…、、、时， 计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于 ． 6．在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 的度数为__________．7．若关于x 的分式方程22231--=-x a x x 有非负数解，则a 的取值范围是 ． 8．若二次三项式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则实数m 的值可能是_________．9．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AM 、BN 分别平分∠CAB 、∠ABC ，AM 与BN 相交于点O ， OD ⊥AB ，AB =10，AC =8，BC =6，则OD = ．10．如图，△ABC 中，△ACB ＝90°，△A ＝30°,将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°） 得到△DEC ，设CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为 时△ADF 是等腰三角形．11．如图，点A 的坐标为（8，0），点B 为y 轴负半轴上的一点，分别以OB ，AB 为直角边在第三、第四 象限作等腰Rt △OBF 、等腰Rt △ABE ，连接EF 交y 轴于P 点，则PB 的长为 ．12．如图，△ABC 是等边三角形，点D 为 AC 边上一点，以BD 为边作等边△BDE, 连接CE ． 若CD ＝1，CE ＝3，则BC ＝ ．13．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=38°， 则∠CAP = ．14．如图，Rt ∠ACB 中，∠ACB =90°，∠ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF ∠AD 交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：(1)∠APB =135°； (2)PF =P A ； (3)AH +BD =AB ；(4)DH ∥EP ；其中正确的是 （填序号）．15．能使分式的值为零的所有的值是 ．16．若ab=1，则1111+++b a 的值为 ；当x 时，分式21x x +的值为正数． 342(2)a x x x x =+--3181=a 4127=b 619=c a b c 2014-2013-2012-2-1-012131201212013120142211x x -+1212+--x x x x17．已知关于x 的分式方程111=--++x k x k x 的解为负数，则k 的取值范围是 ． 18．已知x =1是方程111x k x x x x +=--+的一个增根，则k =_______． 19．若关于x 的分式方程3232-=--x m x x 无解，则m 的值为__________． 20．已知4)4(422+++=+x C Bx x A x x ，则B =_______． 21．关于x 的方程的解是正数，则a 的取值范围是__________． 二、解答题22．因式分解：（1）y y x 8212- （2）a a a 10323--(3) 222)1(4+-a a （4）（x －1）（x ＋4）－3623．计算：（1） 22224421y xy x y x y x y x ++-÷+-- （2） x y y x y x y x -+-+-+212224．解方程：（1）33122x x x -+=-- （2）214111x x x ++=--．25．已知12,4-=-=+xy y x ，求1111+++++y x x y 的值．211x a x +=-26．先化简，再求值：1211222+-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a a a a ，其中()()210a a +-=．27．下面，我们来研究代数式x 2+x +m 的一些相关问题：（1）如果对于任意的x ，代数式x 2+x +m 的值都是正数，那么m 的取值范围是什么？（2）当m = -1时，代数式x 2+x +m 的值等于0，试求以下代数式的值：①200820092010x x x -+ ②2010223-+x x28．定义：若两个分式的和为(n n 为正整数），则称这两个分式互为“n 阶分式”． 例如，分式31x +与31x x +互为“3阶分式”． （1）分式1032x x+与 互为“5阶分式”； （2）设正数x ，y 互为倒数，求证：分式22x x y +与22y y x +互为“2阶分式”； （3）若分式24a a b +与222b a b+互为“1阶分式”（其中a ，b 为正数），求ab 的值．D M NE C BA 29．如图，△ABC 中，090=∠BAC ，AB =AC ，在直线AC 上截取AE =CD ，作AM ⊥BD 于M ， AM 交BC 于N ，连接EN ．求证：E D ∠=∠30．已知△ABC 中，∠ABC =90゜，AB =BC ，点A 、B 分别是x 轴和y 轴上的一动点．（1）如图1，若点C 的横坐标为-4，求点B 的坐标；（2）如图2，BC 交x 轴于D ，若点C 的纵坐标为3，A （5，0），求点D 的坐标．（3）如图3，分别以OB 、AB 为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，EF 交y 轴于M ，求 S △BEM ：S △ABO ．。

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分式提高训练1、学完分式运算后,老师出了一道题“化简:23224x x x x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的2、下列四种说法(1）分式的分子、分母都乘以（或除以)2+a ,分式的值不变；(2）分式y -83的值可以等于零；（3）方程11111-=++++x x x 的解是1-=x ；（4）12+x x 的最小值为零;其中正确的说法有（ ) A 。

1个 B.2 个 C 。

3 个 D 。

4 个3、关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2 4．若解分式方程xx x x m x x 11122+=++-+产生增根,则m 的值是（ ） A. --12或 B. -12或 C. 12或D 。

人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程12、分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】例1. 解方程：x x x 1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x 11，得x x x x x x x x x 22221112123232 ()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x 12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x 6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x 67562312 方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x 所以即 经检验：原方程的根是x 92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3143428932874145x x x x 即2892862810287x x x x于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

13、分式总复习【知识精读】分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。

如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =⨯⨯≠=÷÷≠⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪()()005113【分类解析】 1. 分式有意义的应用例1. 若ab a b +--=10，试判断1111a b -+，是否有意义。

分析：要判断1111a b -+，是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断a b -+11，与零的关系。

解：Θab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴-+1111a b ，中至少有一个无意义。

2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

例2. 计算：a a a a a a 2211313+-+--+-分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。

解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=-+--=--+++-=--+-a a a a a a a a a a a a a 1113111331132213()()()()()()()例3. 解方程：11765556222-++=-+-+x x x x x x分析：因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623，若采用去分母的通常方法，运算量较大。