备战中考数学锐角三角函数(大题培优)附详细答案
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中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)一、锐角三角函数1.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ的度数;(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:,【答案】(1)∠BPQ=30°;(2)该电线杆PQ的高度约为9m.【解析】试题分析:(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可;(2)设PE=x米,在直角△APE和直角△BPE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值,再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长,则PQ的长度即可求解.试题解析:延长PQ交直线AB于点E,(1)∠BPQ=90°-60°=30°;(2)设PE=x米.在直角△APE中,∠A=45°,则AE=PE=x米;∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中,33米,∵AB=AE-BE=6米,则3,解得:3则BE=(33+3)米.在直角△BEQ中,QE=33BE=33(33+3)=(3+3)米.∴PQ=PE-QE=9+33-(3+3)=6+23≈9(米).答:电线杆PQ的高度约9米.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.2.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.(1)求证:直线CP是⊙O的切线.(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离.(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.【答案】(1)证明见解析(2)4(3)20【解析】试题分析:(1)利用直径所对的圆周角为直角,2∠CAN=∠CAB,∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可;(2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可.试题解析:(1)∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∵AC为⊙O的直径,∴∠ANC=90°,∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,∵∠CAB=2∠BCP,∴∠BCP=∠CAN,∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,∵点D在⊙O上,∴直线CP是⊙O的切线;(2)如图,作BF⊥AC∵AB=AC,∠ANC=90°,∴CN=CB=,∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=,∴sin∠CAN=,∴∴AC=5,∴AB=AC=5,设AF=x,则CF=5﹣x,在Rt△ABF中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2,在Rt△CBF中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2,∴25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2,∴x=3,∴BF2=25﹣32=16,∴BF=4,即点B到AC的距离为4.考点:切线的判定3.如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.(1)求证:△PAC∽△PDF;(2)若AB=5,,求PD的长;(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,∴.∴.∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.∵AB⊥CD,∴.如图,连接BP,∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由(1)△PAC∽△PDF得,即.∴PD的长为.(3)如图,连接BP,BD,AD,∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.∵,∴.∵△AGP∽△DGB,∴.∵△AGD∽△PGB,∴.∴,即.∵,∴.∴与之间的函数关系式为.考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.4.如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F 点.若AB=6cm.(1)AE的长为 cm;(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值;(3)求点D′到BC的距离.【答案】(1);(2)12cm;(3)cm.【解析】试题分析:(1)首先利用勾股定理得出AC的长,进而求出CD的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案:∵∠BAC=45°,∠B=90°,∴AB=BC=6cm,∴AC=12cm.∵∠ACD=30°,∠DAC=90°,AC=12cm,∴(cm).∵点E为CD边上的中点,∴AE=DC=cm.(2)首先得出△ADE为等边三角形,进而求出点E,D′关于直线AC对称,连接DD′交AC 于点P,根据轴对称的性质,此时DP+EP值为最小,进而得出答案.(3)连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,进而得出△ABD′≌△CBD′(SSS),则∠D′BG=45°,D′G=GB,进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离.试题解析:解:(1).(2)∵Rt△ADC中,∠ACD=30°,∴∠ADC=60°,∵E为CD边上的中点,∴DE=AE.∴△ADE为等边三角形.∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E,∴△AD′E为等边三角形,∠AED′=60°.∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°,∴∠EFA=90°,即AC所在的直线垂直平分线段ED′.∴点E,D′关于直线AC对称.如答图1,连接DD′交AC于点P,∴此时DP+EP值为最小,且DP+EP=DD′.∵△ADE是等边三角形,AD=AE=,∴,即DP+EP最小值为12cm.(3)如答图2,连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,∵AC垂直平分线ED′,∴AE=AD′,CE=CD′,∵AE=EC,∴AD′=CD′=.在△ABD′和△CBD′中,∵,∴△ABD′≌△CBD′(SSS).∴∠D′BG=∠D′BC=45°.∴D′G=GB.设D′G长为xcm,则CG长为cm,在Rt△GD′C中,由勾股定理得,解得:(不合题意舍去).∴点D′到BC边的距离为cm.考点:1.翻折和单动点问题;2.勾股定理;3.直角三角形斜边上的中线性质;4.等边三角形三角形的判定和性质;5.轴对称的应用(最短线路问题);6.全等三角形的判定和性质;7.方程思想的应用.5.如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,23)、D(0,33),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点,满足∠PQO=60º.(1)点B的坐标是,∠CAO= º,当点Q与点A重合时,点P的坐标为;(2)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.【答案】(1)(6,3). 30.(3,3)(2)()()()()243x 430x 3331333x x 3x 5232S {23x 1235x 93543x 9x +≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解:(1)(6,23). 30.(3,33). (2)当0≤x≤3时, 如图1,OI=x ,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x ; 由题意可知直线l ∥BC ∥OA , 可得EF PE DC 31==OQ PO DO 333==,∴EF=13(3+x ), 此时重叠部分是梯形,其面积为:EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 43233==+⋅=+=+梯形()()当3<x≤5时,如图2,)HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ243331333 3x 3=∆=-=-⋅⋅=+---梯形梯形当5<x≤9时,如图3,12S BE OAOC 312x 2323 =x 1233=+⋅=--+()()。
备战中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案一、锐角三角函数1.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上,连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数,试探究∠APE的度数:(1)如图1,若k=1,则∠APE的度数为;(2)如图2,若k=3,试问(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,求出∠APE的度数.(3)如图3,若k=3,且D、E分别在CB、CA的延长线上,(2)中的结论是否成立,请说明理由.【答案】(1)45°;(2)(1)中结论不成立,理由见解析;(3)(2)中结论成立,理由见解析.【解析】分析:(1)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△FAE≌△ACD,得出EF=AD=BF,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;(2)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△FAE∽△ACD,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;(3)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△ACD∽△HEA,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;详解:(1)如图1,过点A作AF∥CB,过点B作BF∥AD相交于F,连接EF,∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF是平行四边形,∴BD=AF,BF=AD.∵AC=BD,CD=AE,∴AF=AC.∵∠FAC=∠C=90°,∴△FAE ≌△ACD ,∴EF=AD=BF ,∠FEA=∠ADC . ∵∠ADC+∠CAD=90°, ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD . ∵AD ∥BF , ∴∠EFB=90°. ∵EF=BF , ∴∠FBE=45°, ∴∠APE=45°.(2)(1)中结论不成立,理由如下:如图2,过点A 作AF ∥CB ,过点B 作BF ∥AD 相交于F ,连接EF ,∴∠FBE=∠APE ,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF 是平行四边形, ∴BD=AF ,BF=AD . ∵3BD ,3AE ,∴3AC CDBD AE ==. ∵BD=AF ,∴3AC CDAF AE==. ∵∠FAC=∠C=90°, ∴△FAE ∽△ACD ,∴3AC AD BFAF EF EF ===,∠FEA=∠ADC . ∵∠ADC+∠CAD=90°,∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD . ∵AD ∥BF , ∴∠EFB=90°.在Rt △EFB 中,tan ∠FBE=3EF BF =∴∠FBE=30°, ∴∠APE=30°,(3)(2)中结论成立,如图3,作EH ∥CD ,DH ∥BE ,EH ,DH 相交于H ,连接AH ,∴∠APE=∠ADH ,∠HEC=∠C=90°,四边形EBDH 是平行四边形, ∴BE=DH ,EH=BD . ∵AC=3BD ,CD=3AE ,∴3AC CDBD AE==. ∵∠HEA=∠C=90°, ∴△ACD ∽△HEA ,∴3AD ACAH EH==,∠ADC=∠HAE . ∵∠CAD+∠ADC=90°, ∴∠HAE+∠CAD=90°, ∴∠HAD=90°.在Rt △DAH 中,tan ∠ADH=3AHAD=, ∴∠ADH=30°, ∴∠APE=30°.点睛:此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.2.已知:如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点,MD ∥BC ,且MD=CM ,DE ⊥AB 于点E ,连结AD 、CD . (1)求证:△MED ∽△BCA ; (2)求证:△AMD ≌△CMD ;(3)设△MDE 的面积为S 1,四边形BCMD 的面积为S 2,当S 2=175S 1时,求cos ∠ABC 的值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)cos ∠ABC=57. 【解析】 【分析】(1)易证∠DME=∠CBA ,∠ACB=∠MED=90°,从而可证明△MED ∽△BCA ; (2)由∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点,可知MB=MC=AM ,从而可证明∠AMD=∠CMD ,从而可利用全等三角形的判定证明△AMD ≌△CMD ; (3)易证MD=2AB ,由(1)可知:△MED ∽△BCA ,所以2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ,所以S △MCB =12S △ACB =2S 1,从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1,由于1EBDS ME S EB =V ,从而可知52ME EB =,设ME=5x ,EB=2x ,从而可求出AB=14x ,BC=72,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案. 【详解】(1)∵MD ∥BC , ∴∠DME=∠CBA , ∵∠ACB=∠MED=90°, ∴△MED ∽△BCA ;(2)∵∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点, ∴MB=MC=AM , ∴∠MCB=∠MBC , ∵∠DMB=∠MBC ,∴∠MCB=∠DMB=∠MBC , ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ,∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC , ∴∠AMD=∠CMD , 在△AMD 与△CMD 中,MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AMD ≌△CMD (SAS ); (3)∵MD=CM , ∴AM=MC=MD=MB , ∴MD=2AB ,由(1)可知:△MED ∽△BCA , ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ,∴S △ACB =4S 1, ∵CM 是△ACB 的中线, ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1, ∴S △EBD=S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1, ∵1EBDS MES EB=V , ∴1125S MEEB S =,∴52ME EB =, 设ME=5x ,EB=2x , ∴MB=7x , ∴AB=2MB=14x ,∵12MD ME AB BC ==, ∴BC=10x ,∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题,涉及直角三角形斜边中线的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的判定与性质,三角形面积的面积比,锐角三角函数的定义等知识,综合程度较高,熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.3.下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN ,DM ,CB 为三根垂直于AB 的支柱,垂足分别为N ,M ,B ,∠EAB=31°,DF ⊥BC 于点F ,∠CDF=45°,求DM 和BC 的水平距离BM 的长度.(结果精确到0.1 m .参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m. 【解析】试题分析:设DF=x ,在Rt △DFC 中,可得CF=DF=x ,则BF=4-x ,根据线段的和差可得AN=5-x ,EN=DM=BF=4-,在Rt △ANE 中,∠EAB=,利用∠EAB 的正切值解得x 的值.试题解析:解:设DF=,在Rt△DFC中,∠CDF=,∴CF=tan·DF=,又∵CB=4,∴BF=4-,∵AB=6,DE=1,BM= DF=,∴AN=5-,EN=DM=BF=4-,在Rt△ANE中,∠EAB=,EN=4-,AN=5-,tan==0.60,解得=2.5,答:DM和BC的水平距离BM为2.5米.考点:解直角三角形.4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.(1)求证:KE=GE;(2)若KG2=KD•GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2)AC∥EF,证明见解析;(3)FG= .【解析】试题分析:(1)如图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE;(2)AC与EF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD•GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF;(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度.试题解析:(1)如图1,连接OG.∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.(2)AC∥EF,理由为连接GD,如图2所示.∵KG2=KD•GE,即,∴,又∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK,∴∠E=∠AGD,又∵∠C=∠AGD,∴∠E=∠C,∴AC∥EF;(3)连接OG,OC,如图3所示,∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.∵sinE=sin∠ACH=,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t,∴HK=CK-CH=t.在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即(3t)2+t2=(2)2,解得t=.设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=.∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形,在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH=,∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,锐角三角函数定义,圆周角定理,平行线的判定,以及等腰三角形的判定,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.5.(2013年四川攀枝花12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,点B(10,0),C(7,4).直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=22.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.(1)点A的坐标为,直线l的解析式为;(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;(3)试求(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值;(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.【答案】解:(1)(﹣4,0);y=x+4.(2)在点P、Q运动的过程中:①当0<t≤1时,如图1,过点C作CF⊥x轴于点F,则CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.过点Q作QE⊥x轴于点E,则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t.∴PE=PB﹣BE=(14﹣2t)﹣3t=14﹣5t,S=12PM•PE=12×2t×(14﹣5t)=﹣5t2+14t.②当1<t≤2时,如图2,过点C、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E,则CQ=5t﹣5,PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣(5t﹣5)=16﹣7t.S=1 2PM•PE=12×2t×(16﹣7t)=﹣7t2+16t.③当点M与点Q相遇时,DM+CQ=CD=7,即(2t﹣4)+(5t﹣5)=7,解得t=167.当2<t<167时,如图3,MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,S=12PM•MQ=12×4×(16﹣7t)=﹣14t+32.综上所述,点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为()()225t14t0<t1S{7t16t1<t21614t322<t<7-+≤=-+≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.(3)①当0<t≤1时,22749S5t14t5t55⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭,∵a=﹣5<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=75,∴当0<t≤1时,S随t的增大而增大.∴当t=1时,S有最大值,最大值为9.②当1<t≤2时,22864S7t16t7t77⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭,∵a=﹣7<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=87,∴当t=87时,S有最大值,最大值为647.③当2<t<167时,S=﹣14t+32∵k=﹣14<0,∴S随t的增大而减小.又∵当t=2时,S=4;当t=167时,S=0,∴0<S<4.综上所述,当t=87时,S有最大值,最大值为647.(4)t=209或t=125时,△QMN为等腰三角形.【解析】(1)利用梯形性质确定点D的坐标,由sin∠DAB=22,利用特殊三角函数值,得到△AOD为等腰直角三角形,从而得到点A的坐标;由点A、点D的坐标,利用待定系数法求出直线l的解析式:∵C(7,4),AB∥CD,∴D(0,4).∵sin∠DAB=2,∴∠DAB=45°.∴OA=OD=4.∴A(﹣4,0).设直线l的解析式为:y=kx+b,则有4k b0{b4-+==,解得:k1{b4==.∴y=x+4.∴点A坐标为(﹣4,0),直线l的解析式为:y=x+4.(2)弄清动点的运动过程分别求解:①当0<t≤1时,如图1;②当1<t≤2时,如图2;③当2<t<167时,如图3.(3)根据(2)中求出的S表达式与取值范围,逐一讨论计算,最终确定S的最大值.(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论:①如图4,点M在线段CD上,MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,MN=DM=2t﹣4,由MN=MQ,得16﹣7t=2t﹣4,解得t=209.②如图5,当点M运动到C点,同时当Q刚好运动至终点D,此时△QMN为等腰三角形,t=125.∴当t=209或t=125时,△QMN为等腰三角形.考点:一次函数综合题,双动点问题,梯形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,由实际问题列函数关系式,一次函数和二次函数的性质,等腰三角形的性质,分类思想的应用.6.如图,某公园内有一座古塔AB,在塔的北面有一栋建筑物,某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°,此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD.中午12时太阳光线与地面的夹角为45°,此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米(B、E、C在一条直线上),求塔AB的高度.(结果精确到0.01米)参考数据:sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tan32°≈0.6249,2 1.4142.【答案】塔高AB约为32.99米.【解析】【分析】过点D作DH⊥AB,垂足为点H,设AB=x,则AH=x﹣3,解直角三角形即可得到结论.【详解】解:过点D作DH⊥AB,垂足为点H.由题意,得 HB = CD = 3,EC = 15,HD = BC ,∠ABC =∠AHD = 90°,∠ADH = 32°.设AB = x ,则 AH = x – 3.在Rt △ABE 中,由 ∠AEB = 45°,得 tan tan451AB AEB EB ∠=︒==. ∴ EB = AB = x .∴ HD = BC = BE + EC = x + 15.在Rt △AHD 中,由 ∠AHD = 90°,得 tan AH ADH HD ∠=. 即得 3tan3215x x -︒=+. 解得 15tan32332.991tan32x ⋅︒+=≈-︒. ∴ 塔高AB 约为32.99米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.7.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C ,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E 处(C ,E ,B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°,已知测角器CD 的高度为1.6米,请计算主教学楼AB 的高度.(3≈1.73,结果精确到0.1米)【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解.【详解】解:在Rt △AFG 中,tan ∠AFG =3, ∴FG =tan 3AG AFG =∠, 在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AG CG , ∴CG =tan AG ACG∠=3AG . 又∵CG ﹣FG =24m ,即3AG ﹣3=24m , ∴AG =123m ,∴AB =123+1.6≈22.4m .8.如图,在矩形ABCD 中,AB =6cm ,AD =8cm ,连接BD ,将△ABD 绕B 点作顺时针方向旋转得到△A ′B ′D ′(B ′与B 重合),且点D ′刚好落在BC 的延长上,A ′D ′与CD 相交于点E . (1)求矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分(如图1中阴影部分A ′B ′CE )的面积;(2)将△A ′B ′D ′以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移,如图2,当B ′移动到C 点时停止移动.设矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分的面积为y ,移动的时间为x ,请你直接写出y 关于x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围;(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x ,使得△AA ′B ′成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x 的值,若不存在,请你说明理由.【答案】(1)452;(2)详见解析;(3)使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有:0秒、32 秒、95- . 【解析】【分析】 (1)根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10,CD ′=B ′D ′﹣BC =2,由tan ∠B ′D ′A ′='''''=A B CE A D CD 可求出CE ,即可计算△CED ′的面积,S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′; (2)分类讨论,当0≤x ≤115时和当115<x ≤4时,分别列出函数表达式; (3)分类讨论,当AB ′=A ′B ′时;当AA ′=A ′B ′时;当AB ′=AA ′时,根据勾股定理列方程即可.【详解】解:(1)∵AB =6cm ,AD =8cm ,∴BD =10cm ,根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10cm ,CD ′=B ′D ′﹣BC =2cm ,∵tan ∠B ′D ′A ′='''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE =32cm , ∴S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′=8634522222⨯-⨯÷=(cm 2); (2)①当0≤x <115时,CD ′=2x +2,CE =32(x +1), ∴S △CD ′E =32x 2+3x +32, ∴y =12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32=﹣32x 2﹣3x +452; ②当115≤x ≤4时,B ′C =8﹣2x ,CE =43(8﹣2x ) ∴()214y 8223x =⨯-=83x 2﹣643x +1283. (3)①如图1,当AB ′=A ′B ′时,x =0秒; ②如图2,当AA ′=A ′B ′时,A ′N =BM =BB ′+B ′M =2x +185,A ′M =NB =245, ∵AN 2+A ′N 2=36,∴(6﹣245)2+(2x +185)2=36,解得:x=6695-,x=6695--(舍去);③如图2,当AB′=AA′时,A′N=BM=BB′+B′M=2x+185,A′M=NB=245,∵AB2+BB′2=AN2+A′N2∴36+4x2=(6﹣245)2+(2x+185)2解得:x=32.综上所述,使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有:0秒、32秒、6695-.【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.9.如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;(2)连接FC,观察并直接写出∠FCN的度数(不要写出解答过程)(3)如图(2),将图中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=6,BC=8,E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若∠FCN的大小不变,请求出tan∠FCN的值.若∠FCN的大小发生改变,请举例说明.【答案】(1)见解析;(2)∠FCN =45°,理由见解析;(3)当点E 由B 向C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变,tan ∠FCN =43.理由见解析. 【解析】【分析】(1)根据三角形判定方法进行证明即可.(2)作FH ⊥MN 于H .先证△ABE ≌△EHF ,得到对应边相等,从而推出△CHF 是等腰直角三角形,∠FCH 的度数就可以求得了.(3)解法同(2),结合(1)(2)得:△EFH ≌△GAD ,△EFH ∽△ABE ,得出EH=AD=BC=8,由三角函数定义即可得出结论.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形,∴AB =AD ,AE =AG =EF ,∠BAD =∠EAG =∠ADC =90°,∴∠BAE +∠EAD =∠DAG +∠EAD ,∠ADG =90°=∠ABE ,∴∠BAE =∠DAG ,在△ADG 和△ABE 中, ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADG ≌△ABE (AAS ).(2)解:∠FCN =45°,理由如下:作FH ⊥MN 于H ,如图1所示:则∠EHF =90°=∠ABE ,∵∠AEF =∠ABE =90°,∴∠BAE +∠AEB =90°,∠FEH +∠AEB =90°,∴∠FEH =∠BAE ,在△EFH 和△ABE 中,EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EFH ≌△ABE (AAS ),∴FH =BE ,EH =AB =BC ,∴CH =BE =FH ,∵∠FHC =90°,∴∠FCN =45°.(3)当点E 由B 向C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变,理由如下:作FH ⊥MN 于H ,如图2所示:由已知可得∠EAG =∠BAD =∠AEF =90°,结合(1)(2)得:△EFH ≌△GAD ,△EFH ∽△ABE ,∴EH =AD =BC =8,∴CH =BE , ∴EH FH FH AB BE CH ==; 在Rt △FEH 中,tan ∠FCN =8463FH EH CH AB ===, ∴当点E 由B 向C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变,tan ∠FCN =43. 【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形,矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用,其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例.10.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,AB =4,动点P 从点A 出发,沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动.过点P 作PD ⊥AC 于点D (点P 不与点A ,B 重合),作∠DPQ =60°,边PQ 交射线DC 于点Q .设点P 的运动时间为t 秒.(1)用含t 的代数式表示线段DC 的长:_________________;(2)当t =__________时,点Q与点C重合时;(3)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,求出t的值.【答案】(1);(2)1;(3)t的值为或或.【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;(2)利用AQ=AC,即可得出结论;(3)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论.【详解】(1)∵AP= , AB=4,∠A=30°∴AC= , AD=∴CD=;(2)AQ=2AD=当AQ=AC时,Q与C重合即=∴t=1;(3)①如图,当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,∴∠PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2.∵∠A=∠AQP=30°,∴∠FPG=60°,∴∠PFG=30°,∴PF=2PG=2t,∴AP+PF=2t+2t=2,∴t=②如图,当PQ的垂直平分线过AC的中点N时,∴∠QMN=90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t.在Rt△NMQ中,∵AN+NQ=AQ,∴③如图,当PQ的垂直平分线过BC的中点F时,∴BF=BC=1,PE=PQ=t,∠H=30°.∵∠ABC=60°,∴∠BFH=30°=∠H,∴BH=BF=1.在Rt△PEH中,PH=2PE=2t.∵AH=AP+PH=AB+BH,∴2t+2t=5,∴t=.即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,t的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,垂直平分线的性质,正确作出图形是解本题的关键.11.现有一个“Z“型的工件(工件厚度忽略不计),如图所示,其中AB为20cm,BC为60cm,∠ABC=90,∠BCD=60°,求该工件如图摆放时的高度(即A到CD的距离).(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.73)【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P,交BC于点Q,由∠CQP=∠AQB、∠CPQ=∠B=90°知∠A=∠C =60°,在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长,结合BC知CQ的长,在△CPQ中可得PQ,根据AP=AQ+PQ得出答案.【详解】解:如图,过点A作AP⊥CD于点P,交BC于点Q,∵∠CQP=∠AQB,∠CPQ=∠B=90°,∴∠A=∠C=60°,在△ABQ中,∵AQ=(cm),BQ=AB tan A=20tan60°=20(cm),∴CQ=BC﹣BQ=60﹣20(cm),在△CPQ中,∵PQ=CQ sin C=(60﹣20)sin60°=30(﹣1)cm,∴AP=AQ+PQ=40+30(﹣1)≈61.9(cm),答:工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键.12.如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方,求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值).【答案】拦截点D处到公路的距离是(500+500)米.【解析】试题分析:过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.解Rt△BCE,求出BE=BC=×1000=500米;解Rt△CDF,求出CF=CD=500米,则DA=BE+CF=(500+500)米.试题解析:如图,过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.在Rt△BCE中,∵∠E=90°,∠CBE=60°,∴∠BCE=30°,∴BE=BC=×1000=500米;在Rt△CDF中,∵∠F=90°,∠DCF=45°,CD=BC=1000米,∴CF=CD=500米,∴DA=BE+CF=(500+500)米,故拦截点D处到公路的距离是(500+500)米.考点:解直角三角形的应用-方向角问题.13.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过点,.点为轴上一动点,过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点,.(1)填空:点的坐标为,抛物线的解析式为;(2)当点在线段上运动时(不与点,重合),①当为何值时,线段最大值,并求出的最大值;②求出使为直角三角形时的值;(3)若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,请直接写出此时由点,,,构成的四边形的面积.【答案】(1),;(2)①当时,有最大值是3;②使为直角三角形时的值为3或;(3)点,,,构成的四边形的面积为:6或或.【解析】【分析】(1)把点A坐标代入直线表达式y=,求出a=−3,把点A、B的坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)①设:点P(m,),N(m,)求出PN值的表达式,即可求解;②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三种情况,求解即可;(3)若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,则只能出现:在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N,在直线AB上方的交点有两个,分别求解即可.【详解】解:(1)把点坐标代入直线表达式,解得:,则:直线表达式为:,令,则:,则点坐标为,将点的坐标代入二次函数表达式得:,把点的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故:抛物线的解析式为:,故:答案为:,;(2)①∵在线段上,且轴,∴点,,∴,∵,∴抛物线开口向下,∴当时,有最大值是3,②当时,点的纵坐标为-3,把代入抛物线的表达式得:,解得:或0(舍去),∴;当时,∵,两直线垂直,其值相乘为-1,设:直线的表达式为:,把点的坐标代入上式,解得:,则:直线的表达式为:,将上式与抛物线的表达式联立并解得:或0(舍去),当时,不合题意舍去,故:使为直角三角形时的值为3或;(3)∵,,在中,,则:,,∵轴,∴,若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,则只能出现:在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点,在直线上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点,点的坐标为,设:点坐标为:,则:,过点作的平行线,则点所在的直线表达式为:,将点坐标代入,解得:过点直线表达式为:,将拋物线的表达式与上式联立并整理得:,,将代入上式并整理得:,解得:,则点的坐标为,则:点坐标为,则:,∵,,∴四边形为平行四边形,则点到直线的距离等于点到直线的距离,即:过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点,即:、,直线的表达式为:,将该表达式与二次函数表达式联立并整理得:,解得:, 则点、的横坐标分别为,,作交直线于点,则,作轴,交轴于点,则:,,,则:,同理:,故:点,,,构成的四边形的面积为:6或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识,其中(3)中确定点N 的位置是本题的难点,核心是通过△=0,确定图中N 点的坐标.14.已知Rt △ABC,∠A=90°,BC=10,以BC 为边向下作矩形BCDE,连AE 交BC 于F. (1)如图1,当AB=AC,且sin ∠BEF=35时,求BF CF 的值;(2)如图2,当tan ∠ABC=12时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ⋅的值; (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =⋅时,求矩形BCDE 的面积【答案】(1)17;(2)80;(3)100. 【解析】 【分析】(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ,可求得BF =a ,故17BF CF =;(2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ,得△EGA ∽△EHD ,利用相似三角形的性质即可求出;(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ,故可求出矩形的面积. 【详解】解:(1)过A 作AK ⊥BC 于K , ∵sin ∠BEF =35,sin ∠FAK =35, ∴35FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a , ∴AK =4a ,∵AB =AC ,∠BAC =90°, ∴BK =CK =4a , ∴BF =a , 又∵CF =7a , ∴17BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED , ∵∠AGE =∠DHE =90°, ∴△EGA ∽△EHD , ∴EH EDEG EA=, ∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC =12, cos ∠ABC∴BA =BC · cos ∠ABCBK= BA·cos ∠ABC 8= ∴EG =8,另一方面:ED =BC =10, ∴EH ·EA =80(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T , ∵BC ∥KT , BF AF FG KE AE ED==, ∴BF KE FG DE =,同理:FG EDCG DT= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FGFG CG=,∴ED 2= KE ·DT ∴KE EDDE DT= , 又∵△KEB ∽△CDT ,∴KE CDBE DT=, ∴KE ·DT =BE 2, ∴BE 2=ED 2 ∴ BE =ED∴1010100BCDE S =⨯=矩形【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.15.如图,某次中俄“海上联合”反潜演习中,我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°.位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B 侧得潜艇C 的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5, 3≈1.7)【答案】潜艇C 离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析:过点C 作CD ⊥AB ,交BA 的延长线于点D ,则AD 即为潜艇C 的下潜深度,用锐角三角函数分别在Rt △ACD 中表示出CD 和在Rt △BCD 中表示出BD ,利用BD=AD+AB 二者之间的关系列出方程求解.试题解析:过点C 作CD ⊥AB ,交BA 的延长线于点D ,则AD 即为潜艇C 的下潜深度,根据题意得:∠ACD =30°,∠BCD =68°, 设AD=x ,则BD=BA+AD=1000+x ,在Rt △ACD 中,CD =tan AD ACD ∠ =0tan30x3x在Rt △BCD 中,BD=CD •tan68°,∴325+x=3x •tan68°解得:x≈100米,∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米.点睛:本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是作出辅助线,从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解.视频。
备战中考数学 锐角三角函数 培优易错试卷练习(含答案)附答案一、锐角三角函数1.如图,海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A 与哨所B 同时发现一走私船,其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上,位于哨所B 南偏东37°的方向上.(1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离;(2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时,恰好在D 处成功拦截.(结果保留根号)(参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37 =sin53°≈去,tan37°≈2,tan76°≈)【答案】(1)观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里;(2)当缉私艇以每小时617D 处成功拦截.【解析】【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠ACB =90°,再解Rt △ABC ,利用正弦函数定义得出AC 即可;(2)过点C 作CM ⊥AB 于点M ,易知,D 、C 、M 在一条直线上.解Rt △AMC ,求出CM 、AM .解Rt △AMD 中,求出DM 、AD ,得出CD .设缉私艇的速度为x 海里/小时,根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程,解方程即可.【详解】(1)在ABC △中,180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=.在Rt ABC V 中,sin AC B AB =,所以3sin 3725155AC AB ︒=⋅=⨯=(海里). 答:观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.(2)过点C 作CM AB ⊥,垂足为M ,由题意易知,D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中,4sin 15125CM AC CAM =⋅∠=⨯=,3cos 1595AM AC CAM =⋅∠=⨯=. 在Rt ADM △中,tan MD DAM AM∠=, 所以tan 7636MD AM ︒=⋅=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=,.设缉私艇的速度为v海里/小时,则有2491716v=,解得617v=.经检验,617v=是原方程的解.答:当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时,恰好在D处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.2.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).【答案】32.4米.【解析】试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.∵AB⊥AC,CD⊥AC,∴四边形ABEC为矩形,∴CE=AB=12m,在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE,∴33在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,得3∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4.答:楼房CD 的高度约为32.4m .考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.3.如图,反比例函数() 0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点,点C 在第四象限,CA ∥y 轴,90ABC ∠=︒.(1)求k 的值及点B 的坐标;(2)求tanC 的值.【答案】(1)2k =,()1,2B --;(2)2.【解析】【分析】(1)先根据点A 在直线y=2x 上,求得点A 的坐标,再根据点A 在反比例函数()0k y k x=≠ 的图象上,利用待定系数法求得k 的值,再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标;(2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D ,根据90ABC ∠=︒ , 90BHC ∠=︒ ,可得C ABH ∠∠=,再由已知可得AOD ABH ∠∠=,从而得C AOD ∠∠=,求出C tan 即可.【详解】(1)∵点A (1,a )在2y x =上,∴a =2,∴A (1,2),把A (1,2)代入 k y x = 得2k =, ∵反比例函数()0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ,B 两点, ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称,∴()12B --, ; (2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D , ∵90ABC ∠=︒ , 90BHC ∠=︒ ,∴C ABH ∠∠=,∵CA ∥y 轴,∴BH ∥x 轴,∴AOD ABH ∠∠=,∴C AOD ∠∠=, ∴AD 22OD 1tanC tan AOD =∠===.【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题,涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识,熟练掌握和应用相关知识是解题的关键,(2)小题求出∠C=∠AOD 是关键.4.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于H ,过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于切点为G ,连接AG 交CD 于K .(1)求证:KE=GE ;(2)若KG 2=KD•GE ,试判断AC 与EF 的位置关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)AC ∥EF ,证明见解析;(3)FG=.【解析】试题分析:(1)如图1,连接OG .根据切线性质及CD ⊥AB ,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE ,根据等角对等边得到KE=GE ;(2)AC与EF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD•GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF;(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度.试题解析:(1)如图1,连接OG.∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.(2)AC∥EF,理由为连接GD,如图2所示.∵KG2=KD•GE,即,∴,又∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK,∴∠E=∠AGD,又∵∠C=∠AGD,∴∠E=∠C,∴AC∥EF;(3)连接OG,OC,如图3所示,∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.∵sinE=sin∠ACH=,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t,∴HK=CK-CH=t.在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即(3t)2+t2=(2)2,解得t=.设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=.∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形,在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH=,∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,锐角三角函数定义,圆周角定理,平行线的判定,以及等腰三角形的判定,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.5.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC.(1)求证:∠AEC=90°;(2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由;(3)若DC=2,求DH的长.【答案】(1)证明见解析;(2)四边形AOCD为菱形;(3)DH=2.【解析】试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长.试题解析:(1)连接OC,∵EC与⊙O切点C,∴OC⊥EC,∴∠OCE=90°,∵点CD是半圆O的三等分点,∴,∴∠DAC=∠CAB,∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)∴∠AEC+∠OCE=180°,∴∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.理由是:∵,∴∠DCA=∠CAB,∴CD∥OA,又∵AE∥OC,∴四边形AOCD是平行四边形,∵OA=OC,∴平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.∵四边形AOCD为菱形,∴OA=AD=DC=2,∵OA=OD,∴OA=OD=AD=2,∴△OAD是等边三角形,∴∠AOD=60°,∵DH⊥AB于点F,AB为直径,∴DH=2DF,在Rt△OFD中,sin∠AOD=,∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=,∴DH=2DF=2.考点:1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形.6.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C ,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E 处(C ,E ,B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°,已知测角器CD 的高度为1.6米,请计算主教学楼AB 的高度.(3≈1.73,结果精确到0.1米)【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解.【详解】解:在Rt △AFG 中,tan ∠AFG =3,∴FG =tan 3AG AFG =∠, 在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AG CG , ∴CG =tan AG ACG∠=3AG . 又∵CG ﹣FG =24m ,即3AG ﹣3=24m , ∴AG =123m ,∴AB =123+1.6≈22.4m .7.许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部,上游接纳清泥河来水,下游为鹿鸣湖等水系供水,承担着承上启下的重要作用,是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ,B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走,走到点C 处,测得∠ACF=45°,再向前走300米到点D 处,测得∠BDF=60°.若直线AB 与EF 之间的距离为200米,求A ,B 两点之间的距离(结果保留一位小数)【答案】215.6米.【解析】【分析】过A 点做EF 的垂线,交EF 于M 点,过B 点做EF 的垂线,交EF 于N 点,根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ,然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离.【详解】解:过A 点做EF 的垂线,交EF 于M 点,过B 点做EF 的垂线,交EF 于N 点在Rt △ACM 中,∵45ACF ∠=︒,∴AM=CM=200米,又∵CD=300米,所以100MD CD CM =-=米,在Rt △BDN 中,∠BDF=60°,BN=200米 ∴115.6tan 60BN DN =≈o 米, ∴215.6MN MD DN AB =+=≈米即A ,B 两点之间的距离约为215.6米.【点睛】本题主要考查三角函数,正确做辅助线是解题的关键.8.如图,已知,在O e 中,弦AB 与弦CD 相交于点E ,且»»AC BD=. (1)求证:AB CD =;(2)如图,若直径FG 经过点E ,求证:EO 平分AED ∠;(3)如图,在(2)的条件下,点P 在»CG上,连接FP 交AB 于点M ,连接MG ,若AB CD ⊥,MG 平分PMB ∠,2MG =,FMG ∆的面积为2,求O e 的半径的长.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)O e 10. 【解析】 【分析】(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明;(2)连接AO 、DO ,过点O 作OJ AB ⊥于点J ,OQ CD ⊥于点Q ,证明AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =,根据角平分线的判定定理可得结论;(3)如图,延长GM 交O e 于点H ,连接HF ,求出2FH =,在HG 上取点L ,使HL FH =,延长FL 交O e 于点K ,连接KG ,求出22FL =HM n =,则有22LK KG ==,2222FK FL LK n =+=,再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠,从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠,KG HFFK HM=,再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 10. 【详解】解:(1)证明:∵»»AC BD =,∴»»»»AC CBBD CB +=+, ∴»»AB CD =, ∴AB CD =.(2)证明:如图,连接AO 、DO ,过点O 作OJ AB ⊥于点J ,OQ CD ⊥于点Q ,∴90AJO DQO ∠=∠=︒,1122AJ AB CD DQ ===, 又∵AO DO =, ∴AOJ DOQ ∆≅∆, ∴OJ OQ =,又∵OJ AB ⊥,OQ CD ⊥, ∴EO 平分AED ∠.(3)解:∵CD AB ⊥,∴90AED ∠=︒,由(2)知,1452AEF AED ∠=∠=︒, 如图,延长GM 交O e 于点H ,连接HF ,∵FG 为直径,∴90H ∠=︒,122MFG S MG FH ∆=⨯⋅=, ∵2MG =,∴2FH =,在HG 上取点L ,使HL FH =,延长FL 交O e 于点K ,连接KG , ∴45HFL HLF ∠=∠=︒,45KLG HLF ∠=∠=︒, ∵FG 为直径,∴90K ∠=︒,∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠,∴LK KG =, 在Rt FHL ∆中,222FL FH HL =+,22FL = 设HM n =,2HL MG ==,∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==, 在Rt LGK ∆中,222LG LK KG =+,22LK KG n ==,2222FK FL LK n =+=+, ∵GMP GMB ∠=∠,∵PMG HMF ∠=∠,∴HMF GMB ∠=∠, ∵1452AEF AED ∠=∠=︒, ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒,45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒, ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠, ∴tan tan KFG HMF ∠=∠,∴KG HFFK HM=,∴2222222n nn =+,4n =, ∴6HG HM MG =+=,在Rt HFG ∆中,222FG FH HG =+,210FG =,10FO =. 即O e 的半径的长为10. 【点睛】考查了圆的综合题,本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用,适当的添加辅助线是解题的关键.9.如图,在矩形ABCD 中,AB =6cm ,AD =8cm ,连接BD ,将△ABD 绕B 点作顺时针方向旋转得到△A ′B ′D ′(B ′与B 重合),且点D ′刚好落在BC 的延长上,A ′D ′与CD 相交于点E . (1)求矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分(如图1中阴影部分A ′B ′CE )的面积;(2)将△A ′B ′D ′以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移,如图2,当B ′移动到C 点时停止移动.设矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分的面积为y ,移动的时间为x ,请你直接写出y 关于x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围;(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x ,使得△AA ′B ′成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x 的值,若不存在,请你说明理由.【答案】(1)452;(2)详见解析;(3)使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有:0秒、32 秒、95- . 【解析】 【分析】(1)根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10,CD ′=B ′D ′﹣BC =2,由tan ∠B ′D ′A ′='''''=A B CEA D CD 可求出CE ,即可计算△CED ′的面积,S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′; (2)分类讨论,当0≤x ≤115时和当115<x ≤4时,分别列出函数表达式; (3)分类讨论,当AB ′=A ′B ′时;当AA ′=A ′B ′时;当AB ′=AA ′时,根据勾股定理列方程即可. 【详解】解:(1)∵AB =6cm ,AD =8cm , ∴BD =10cm ,根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10cm ,CD ′=B ′D ′﹣BC =2cm , ∵tan ∠B ′D ′A ′='''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE =32cm ,∴S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′=8634522222⨯-⨯÷=(cm 2); (2)①当0≤x <115时,CD ′=2x +2,CE =32(x +1), ∴S △CD ′E =32x 2+3x +32, ∴y =12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32=﹣32x 2﹣3x +452; ②当115≤x ≤4时,B ′C =8﹣2x ,CE =43(8﹣2x ) ∴()214y 8223x =⨯-=83x 2﹣643x +1283. (3)①如图1,当AB ′=A ′B ′时,x =0秒;②如图2,当AA ′=A ′B ′时,A ′N =BM =BB ′+B ′M =2x +185,A ′M =NB =245, ∵AN 2+A ′N 2=36, ∴(6﹣245)2+(2x +185)2=36,解得:x=6695-,x=6695--(舍去);③如图2,当AB′=AA′时,A′N=BM=BB′+B′M=2x+185,A′M=NB=245,∵AB2+BB′2=AN2+A′N2∴36+4x2=(6﹣245)2+(2x+185)2解得:x=32.综上所述,使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有:0秒、32秒、6695-.【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.10.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,40),直线AB:y=13x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.(1)求边EF的长;(2)将正方形EFGH沿射线FB10个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).①当点F1移动到点B时,求t的值;②当G1,H1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积.【答案】(1)EF=15;(2)①10;②120;【解析】【分析】(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-43x+40,可求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,1010=10;②F点移动到F'10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时,在Rt△F'NF中,NFNF'=13,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,43MHEM'=,t=4,S=12×(12+454)×11=10238;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,PKF K'=13,PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PKKG'=31539tt--+=43,t=7,S=15×(15-7)=120.【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),∴30040k bb+=⎧⎨=⎩,∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴y=﹣43x+40,直线AB与直线DE的交点P(21,12),由题意知F(30,15),∴EF=15;(2)①易求B(0,5),∴BF=10,∴当点F1移动到点B时,t=1010=10;②当点H 运动到直线DE 上时,F 点移动到F'的距离是10t , 在Rt △F'NF 中,NF NF '=13, ∴FN =t ,F'N =3t , ∵MH'=FN =t ,EM =NG'=15﹣F'N =15﹣3t , 在Rt △DMH'中,43MH EM '=, ∴41533t t =-, ∴t =4,∴EM =3,MH'=4,∴S =1451023(12)11248⨯+⨯=; 当点G 运动到直线DE 上时,F 点移动到F'10, ∵PF =10 ∴PF'10t ﹣10, 在Rt △F'PK 中,13PK F K =',∴PK =t ﹣3,F'K =3t ﹣9, 在Rt △PKG'中,PK KG '=31539t t --+=43, ∴t =7,∴S =15×(15﹣7)=120. 【点睛】本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.11.阅读下面材料:观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题.在锐角△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,过A 作AD ⊥BC 于D (如图),则sin B =AD c ,sin C =ADb,即AD =c sin B ,AD =b sin C ,于是c sin B =b sin C ,即sin sin b c B C = .同理有:sin sin c aC A=,sin sin a b A B=,所以sin sin sin a b cA B C ==. 即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料,完成下列各题.(1)如图,△ABC 中,∠B =75°,∠C =45°,BC =60,则AB = ;(2)如图,一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上,随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B 处,此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上(如图),求此时货轮距灯塔A 的距离AB . (3)在(2)的条件下,试求75°的正弦值.(结果保留根号)【答案】(1)6;(2)6海里;(36+2【解析】 【分析】(1)根据材料:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,写出比例关系,代入数值即可求得AB的值.(2)此题可先由速度和时间求出BC的距离,再由各方向角得出∠A的角度,过B作BM⊥AC于M,求出∠MBC=30°,求出MC,由勾股定理求出BM,求出AM、BM的长,由勾股定理求出AB即可;(3)在三角形ABC中,∠A=45,∠ABC=75,∠ACB=60,过点C作AC的垂线BD,构造直角三角形ABD,BCD,在直角三角形ABD中可求出AD的长,进而可求出sin75°的值.【详解】解:(1)在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°,BC=60,则∠A=60°,∵ABsinC =sinBCA,∴45ABsin o=60sin60o,即22=3,解得:AB=206.(2)如图,依题意:BC=60×0.5=30(海里)∵CD∥BE,∴∠DCB+∠CBE=180°∵∠DCB=30°,∴∠CBE=150°∵∠ABE=75°.∴∠ABC=75°,∴∠A=45°,在△ABC中,sinABACB∠=BCsin A∠即60?ABsin=3045?sin,解之得:6.答:货轮距灯塔的距离AB=156海里.(3)过点B作AC的垂线BM,垂足为M.在直角三角形ABM中,∠A=45°,6,所以3BDC中,∠BCM=60°,BC=30°,可求得CM=15,所以3,由题意得,1531575sin o=660sin o,sin75°=6+24.【点睛】本题考查方向角的含义,三角形的内角和定理,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质和判定等知识点,解题关键是熟练掌握解直角三角形方法.12.如图,正方形OABC的顶点O与原点重合,点A,C分别在x轴与y轴的正半轴上,点A的坐标为(4,0),点D在边AB上,且tan∠AOD=12,点E是射线OB上一动点,EF⊥x轴于点F,交射线OD于点G,过点G作GH∥x轴交AE于点H.(1)求B,D两点的坐标;(2)当点E在线段OB上运动时,求∠HDA的大小;(3)以点G为圆心,GH的长为半径画⊙G.是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切?若不存在,请说明理由;若存在,请求出所有符合条件的点E的坐标.【答案】(1)B (4,4),D (4,2);(2)45°;(3)存在,符合条件的点为(8﹣2,8﹣2)或(2,2)或42164216++⎝⎭或16421642,77⎛-- ⎝⎭,理由见解析 【解析】【分析】(1)由正方形性质知AB=OA=4,∠OAB=90°,据此得B (4,4),再由tan ∠AOD= 12得AD=12OA=2,据此可得点D 坐标; (2)由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=12OF ,再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ,即GF=12EF ,根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点,结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线,即HD ∥BE ,据此可得答案;(3)分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况,设PG=x ,结合题意建立关于x 的方程求解可得.【详解】解:(1)∵A (4,0),∴OA =4,∵四边形OABC 为正方形,∴AB =OA =4,∠OAB =90°,∴B (4,4),在Rt △OAD 中,∠OAD =90°,∵tan ∠AOD =12, ∴AD =12OA =12×4=2, ∴D (4,2);(2)如图1,在Rt△OFG中,∠OFG=90°∴tan∠GOF=GFOF =12,即GF=12OF,∵四边形OABC为正方形,∴∠AOB=∠ABO=45°,∴OF=EF,∴GF=12EF,∴G为EF的中点,∵GH∥x轴交AE于H,∴H为AE的中点,∵B(4,4),D(4,2),∴D为AB的中点,∴DH是△ABE的中位线,∴HD∥BE,∴∠HDA=∠ABO=45°.(3)①若⊙G与对角线OB相切,如图2,当点E在线段OB上时,过点G作GP⊥OB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG2x,OF=EF=2x,∵OA=4,∴AF=4﹣2,∵G为EF的中点,H为AE的中点,∴GH为△AFE的中位线,∴GH=12AF=12×(4﹣22x)=2﹣2x,则x=2﹣2x,解得:x=22﹣2,∴E(8﹣42,8﹣42),如图3,当点E在线段OB的延长线上时,x=2x﹣2,解得:x=2+2,∴E(8+42,8+42);②若⊙G与对角线AC相切,如图4,当点E在线段BM上时,对角线AC,OB相交于点M,过点G作GP⊥OB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG2,OF=EF=2x,∵OA=4,∴AF=4﹣2,∵G为EF的中点,H为AE的中点,∴GH为△AFE的中位线,∴GH =12AF =12×(4﹣22x )=2﹣2x , 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ,则GQ =PM =3x ﹣22,∴3x ﹣22=2﹣2x , ∴4227x +=, ∴42164216,77E ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭; 如图5,当点E 在线段OM 上时,GQ =PM =22﹣3x ,则22﹣3x =2﹣2x ,解得4227x -=, ∴16421642,77E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭; 如图6,当点E 在线段OB 的延长线上时,3x ﹣22x ﹣2,解得:4227x =(舍去); 综上所述,符合条件的点为(8﹣2,8﹣2)或(2,2)或42164216,77⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或16421642,77⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题是圆的综合问题,解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用.13.已知:如图,直线y =-x +12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点,将△AOB 折叠,使A 点恰好落在OB 的中点C 处,折痕为DE .(1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值;(2)求△CDE 的面积.【答案】(1)52,sin ∠BEC=35;(2)754【解析】【分析】 (1)如图,作CF ⊥BE 于F 点,由函数解析式可得点B ,点A 坐标,继而可得∠A=∠B=45°,再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6,CF=BF=32,设AE=CE=x ,则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x ,在Rt △CEF 中,利用勾股定理求出x 的值即可求得答案;(2)如图,过点E 作EM ⊥OA 于点M ,根据三角形面积公式则可得S △CDE =S △AED =2AD×AE ,设AD=y ,则CD=y ,OD=12-y ,在Rt △OCD 中,利用勾股定理求出y ,继而可求得答案.【详解】(1)如图,作CF ⊥BE 于F 点,由函数解析式可得点B (0,12),点A (12,0),∠A=∠B=45°,又∵点C是OB中点,∴OC=BC=6,CF=BF=32,设AE=CE=x,则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x,在Rt△CEF中,CE2=CF2+EF2,即x2=(92-x)2+(32)2,解得:x=52,故可得sin∠BEC=35CFCE,AE=52;(2)如图,过点E作EM⊥OA于点M,则S△CDE=S△AED=12AD•EM=12AD×AEsin∠EAM=12AD•AE×sin45°=24AD×AE,设AD=y,则CD=y,OD=12-y,在Rt△OCD中,OC2+OD2=CD2,即62+(12-y)2=y2,解得:y=152,即AD=152,故S△CDE=S△AED=24AD×AE=754.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识,综合性较强,正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.14.小明坐于堤边垂钓,如图①,河堤AC的坡角为30°,AC长米,钓竿AO的倾斜角是60°,其长为3米,若AO与钓鱼线OB的夹角为60°,求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②).【答案】1.5米.【解析】试题分析:延长OA交BC于点D.先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt △ACD 中,米,CD =2AD =3米,再证明△BOD 是等边三角形,得到米,然后根据BC =BD −CD 即可求出浮漂B 与河堤下端C 之间的距离.试题解析:延长OA 交BC 于点D .∵AO 的倾斜角是, ∴∵在Rt △ACD 中,(米),∴CD =2AD =3米, 又∴△BOD 是等边三角形, ∴(米), ∴BC =BD −CD =4.5−3=1.5(米).答:浮漂B 与河堤下端C 之间的距离为1.5米.15.如图所示,一堤坝的坡角62ABC ∠=︒,坡面长度25AB =米(图为横截面),为了使堤坝更加牢固,一施工队欲改变堤坝的坡面,使得坡面的坡角50ADB ∠=︒,则此时应将坝底向外拓宽多少米?(结果保留到0.01 米)(参考数据:sin620.88︒≈,cos620.47︒≈,tan50 1.20︒≈)【答案】6.58米【解析】试题分析:过A 点作AE ⊥CD 于E .在Rt △ABE 中,根据三角函数可得AE ,BE ,在Rt△ADE中,根据三角函数可得DE,再根据DB=DE﹣BE即可求解.试题解析:过A点作AE⊥CD于E.在Rt△ABE中,∠ABE=62°.∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米,BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米,在Rt△ADE中,∠ADB=50°,∴DE==18米,∴DB=DE﹣BE≈6.58米.故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米.考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.。
初三数学 锐角三角函数的专项 培优练习题含答案一、锐角三角函数1.如图,△ABC 内接于⊙O ,2,BC AB AC ==,点D 为»AC 上的动点,且10cos B =. (1)求AB 的长度;(2)在点D 运动的过程中,弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ,问AD•AE 的值是否变化?若不变,请求出AD•AE 的值;若变化,请说明理由.(3)在点D 的运动过程中,过A 点作AH ⊥BD ,求证:BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长;(2)连接DG ,则可得AG 为⊙O 的直径,继而可证明△DAG ∽△FAE ,根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ,连接BG ,求得AF=3,FG=13,继而即可求得AD•AE 的值; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,通过证明△ADC ≌△ADN ,可得AC=AN ,继而可得AB=AN ,再根据AH ⊥BN ,即可证得BH=HD+CD. 【详解】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,∵AB=AC ,AF ⊥BC ,∴BF=CF=12BC=1, 在RtΔAFB 中,BF=1,∴AB=10cos 10BF B == (2)连接DG ,∵AF ⊥BC ,BF=CF ,∴AG 为⊙O 的直径,∴∠ADG=∠AFE=90°,又∵∠DAG=∠FAE ,∴△DAG ∽△FAE , ∴AD :AF=AG :AE ,∴AD•AE=AF•AG ,连接BG ,则∠ABG=90°,∵BF ⊥AG ,∴BF 2=AF•FG ,∵22AB BF -=3, ∴FG=13,∴AD•AE=AF•AG=AF•(AF+FG)=3×103=10;(3)连接CD,延长BD至点N,使DN=CD,连接AN,∵∠ADB=∠ACB=∠ABC,∠ADC+∠ABC=180°,∠ADN+∠ADB=180°,∴∠ADC=∠ADN,∵AD=AD,CD=ND,∴△ADC≌△ADN,∴AC=AN,∵AB=AC,∴AB=AN,∵AH⊥BN,∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.2.在矩形ABCD中,AD>AB,点P是CD边上的任意一点(不含C,D两端点),过点P 作PF∥BC,交对角线BD于点F.(1)如图1,将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF,QF交AD于点E.求证:△DEF是等腰三角形;(2)如图2,将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF',连接P'C,F'B.设旋转角为α(0°<α<180°).①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的内部时,求证:△DP'C∽△DF'B.②如图3,若点P是CD的中点,△DF'B能否为直角三角形?如果能,试求出此时tan∠DBF'的值,如果不能,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②123【解析】【分析】(1)根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF ,所以△DEF 是等腰三角形;(2)①由于PF ∥BC ,所以△DPF ∽△DCB ,从而易证△DP′F′∽△DCB ;②由于△DF'B 是直角三角形,但不知道哪个的角是直角,故需要对该三角形的内角进行分类讨论.【详解】(1)由翻折可知:∠DFP=∠DFQ ,∵PF ∥BC ,∴∠DFP=∠ADF ,∴∠DFQ=∠ADF ,∴△DEF 是等腰三角形;(2)①若0°<α<∠BDC ,即DF'在∠BDC 的内部时,∵∠P′DF′=∠PDF ,∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ,∴∠P′DC=∠F′DB ,由旋转的性质可知:△DP′F′≌△DPF ,∵PF ∥BC ,∴△DPF ∽△DCB ,∴△DP′F′∽△DCB ∴''DC DP DB DF = , ∴△DP'C ∽△DF'B ;②当∠F′DB=90°时,如图所示,∵DF′=DF=12BD , ∴'12DF BD =, ∴tan ∠DBF′='12DF BD =;当∠DBF′=90°,此时DF′是斜边,即DF′>DB ,不符合题意;当∠DF′B=90°时,如图所示,∵DF′=DF=12BD ,∴∠DBF′=30°,∴tan∠DBF′=3.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题,涉及旋转的性质,锐角三角函数的定义,相似三角形的性质以及判定等知识,综合性较强,有一定的难度,熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.3.下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析:设DF=x,在Rt△DFC中,可得CF=DF=x,则BF=4-x,根据线段的和差可得AN=5-x,EN=DM=BF=4-,在Rt△ANE中,∠EAB=,利用∠EAB的正切值解得x的值.试题解析:解:设DF=,在Rt△DFC中,∠CDF=,∴CF=tan·DF=,又∵CB=4,∴BF=4-,∵AB=6,DE=1,BM= DF=,∴AN=5-,EN=DM=BF=4-,在Rt△ANE中,∠EAB=,EN=4-,AN=5-,tan==0.60,解得=2.5,答:DM和BC的水平距离BM为2.5米.考点:解直角三角形.4.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC.(1)求证:∠AEC=90°;(2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由;(3)若DC=2,求DH的长.【答案】(1)证明见解析;(2)四边形AOCD为菱形;(3)DH=2.【解析】试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长.试题解析:(1)连接OC,∵EC与⊙O切点C,∴OC⊥EC,∴∠OCE=90°,∵点CD是半圆O的三等分点,∴,∴∠DAC=∠CAB,∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)∴∠AEC+∠OCE=180°,∴∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.理由是:∵,∴∠DCA=∠CAB,∴CD∥OA,又∵AE∥OC,∴四边形AOCD是平行四边形,∵OA=OC,∴平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.∵四边形AOCD为菱形,∴OA=AD=DC=2,∵OA=OD,∴OA=OD=AD=2,∴△OAD是等边三角形,∴∠AOD=60°,∵DH⊥AB于点F,AB为直径,∴DH=2DF,在Rt△OFD中,sin∠AOD=,∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=,∴DH=2DF=2.考点:1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形.5.问题背景:如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C,则点C即为所求.(1)实践运用:如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为.(2)知识拓展:如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.【答案】解:(1)22.(2)如图,在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′.∵AD平分∠BAC,∴点B与点B′关于直线AD对称.过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) .在Rt△AFB/中,∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10,∴.∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析:(1)找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和MN的交点P就是所求作的位置,根据题意先求出∠C′AE,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值:如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB最小,且等于A.作直径AC′,连接C′E,根据垂径定理得弧BD=弧DE.∵∠ACD=30°,∴∠AOD=60°,∠DOE=30°.∴∠AOE=90°.∴∠C′AE=45°.又AC为圆的直径,∴∠AEC′=90°.∴∠C′=∠C′AE=45°.∴C′E=AE=AC′=22.∴AP+BP的最小值是22.(2)首先在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′,再过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段B′F的长即为所求.6.如图,抛物线C1:y=(x+m)2(m为常数,m>0),平移抛物线y=﹣x2,使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点(点A 在点B的左侧),交y轴于点C,设点D的横坐标为a.(1)如图1,若m=.①当OC=2时,求抛物线C2的解析式;②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;(2)如图2,当OB=2﹣m(0<m<)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2.②.(2)P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).【解析】试题分析:(1)①首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C(0,2)在C2上,求出抛物线C2的解析式;②认真审题,题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上,“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形,如图1所示,利用三角函数(或相似),求出a的值;(2)解题要点有3个:i)判定△ABD为等边三角形;ii)理论依据是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等;iii)满足条件的点有4个,即△ABD形内1个(内心),形外3个.不要漏解.试题解析:(1)当m=时,抛物线C1:y=(x+)2.∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,∴D(a,(a+)2).∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+)2(I).①∵OC=2,∴C(0,2).∵点C在抛物线C2上,∴﹣(0﹣a)2+(a+)2=2,解得:a=,代入(I)式,得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+x+2.②在(I)式中,令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0);令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+).设直线BC的解析式为y=kx+b,则有:,解得,∴直线BC的解析式为:y=﹣x+(a+).假设存在满足条件的a值.∵AP=BP,∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上;∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立,∴OP⊥BC.如图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E,则OP⊥BC,OE=a.∵点P在直线BC上,∴P(a,a+),PE=a+.∵tan∠EOP=tan∠BCO=,∴,解得:a=.∴存在a=,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"(3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,∴D(a,(a+m)2).∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2.令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0).∵OB=2﹣m,∴2a+m=2﹣m,∴a=﹣m.∴D(﹣m,3).AB=OB+OA=2﹣m+m=2.如图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=,OE=OB﹣BE=﹣m.∵tan∠ABD=,∴∠ABD=60°.又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形.作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE•tan30°=×=1,∴P1(﹣m,1);在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4.在Rt△BEP2中,P2E=BE•tan60°=•=3,∴P2(﹣m,﹣3);易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2,且P3P4∥x轴.∴P3(﹣﹣m,3)、P4(3﹣m,3).综上所述,到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个,其坐标为:P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).【考点】二次函数综合题.7.(2013年四川攀枝花12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,点B(10,0),C(7,4).直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=22.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.(1)点A的坐标为,直线l的解析式为;(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;(3)试求(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值;(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.【答案】解:(1)(﹣4,0);y=x+4.(2)在点P、Q运动的过程中:①当0<t≤1时,如图1,过点C作CF⊥x轴于点F,则CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.过点Q作QE⊥x轴于点E,则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t.∴PE=PB﹣BE=(14﹣2t)﹣3t=14﹣5t,S=12PM•PE=12×2t×(14﹣5t)=﹣5t2+14t.②当1<t≤2时,如图2,过点C、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E,则CQ=5t﹣5,PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣(5t﹣5)=16﹣7t.S=12PM•PE=12×2t×(16﹣7t)=﹣7t2+16t.③当点M与点Q相遇时,DM+CQ=CD=7,即(2t﹣4)+(5t﹣5)=7,解得t=167.当2<t<167时,如图3,MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,S=12PM•MQ=12×4×(16﹣7t)=﹣14t+32.综上所述,点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为()()225t14t0<t1S{7t16t1<t21614t322<t<7-+≤=-+≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.(3)①当0<t≤1时,22749S5t14t5t55⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭,∵a=﹣5<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=75,∴当0<t≤1时,S随t的增大而增大.∴当t=1时,S有最大值,最大值为9.②当1<t≤2时,22864S7t16t7t77⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭,∵a=﹣7<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=87,∴当t=87时,S有最大值,最大值为647.③当2<t<167时,S=﹣14t+32∵k=﹣14<0,∴S随t的增大而减小.又∵当t=2时,S=4;当t=167时,S=0,∴0<S<4.综上所述,当t=87时,S有最大值,最大值为647.(4)t=209或t=125时,△QMN为等腰三角形.【解析】(1)利用梯形性质确定点D的坐标,由sin∠DAB=22,利用特殊三角函数值,得到△AOD为等腰直角三角形,从而得到点A的坐标;由点A、点D的坐标,利用待定系数法求出直线l的解析式:∵C(7,4),AB∥CD,∴D(0,4).∵sin∠DAB=22,∴∠DAB=45°.∴OA=OD=4.∴A(﹣4,0).设直线l的解析式为:y=kx+b,则有4k b0{b4-+==,解得:k1{b4==.∴y=x+4.∴点A坐标为(﹣4,0),直线l的解析式为:y=x+4.(2)弄清动点的运动过程分别求解:①当0<t≤1时,如图1;②当1<t≤2时,如图2;③当2<t<167时,如图3.(3)根据(2)中求出的S表达式与取值范围,逐一讨论计算,最终确定S的最大值.(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论:①如图4,点M在线段CD上,MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,MN=DM=2t﹣4,由MN=MQ,得16﹣7t=2t﹣4,解得t=209.②如图5,当点M运动到C点,同时当Q刚好运动至终点D,此时△QMN为等腰三角形,t=125.∴当t=209或t=125时,△QMN为等腰三角形.考点:一次函数综合题,双动点问题,梯形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,由实际问题列函数关系式,一次函数和二次函数的性质,等腰三角形的性质,分类思想的应用.8.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的周长;(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)在菱形ABCD中,∵AC⊥BD,AC=80,BD=60,∴。
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案一、锐角三角函数1.如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)【答案】6.4米【解析】解:∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米,山坡的坡角为30°.∴DC=BC•cos30°=3==米,639∵CF=1米,∴DC=9+1=10米,∴GE=10米,∵∠AEG=45°,∴AG=EG=10米,在直角三角形BGF中,BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米,∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答:树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GF的长,然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长,从而求得树高2.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).【答案】.【解析】试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案.试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,∴∠C=60°,在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=,则tanC=,∴CD==,∴BC=.故该船与B港口之间的距离CB的长为海里.考点:解直角三角形的应用-方向角问题.3.已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD=DC,延长CB交⊙O 于点E.(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;(2)如图2,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)【答案】(1)AE=CE;(2)①;②.【解析】试题分析:(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;(2)连接AE、ED,如图2,由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径,根据切线的性质可得∠AEF=90°,从而可证到△ADE∽△AEF,然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF.①当CF=CD时,可得,从而有EC=AE=CD,在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=,根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC,即可求出sin∠CAB的值;②当CF=aCD(a>0)时,同①即可解决问题.试题解析:(1)AE=CE.理由:连接AE、DE,如图1,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90,∴∠ADE=∠ABE=90°,∵AD=DC,∴AE=CE;(2)连接AE、ED,如图2,∵∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径,∵EF是⊙OO的切线,∴∠AEF=90°,∴∠ADE=∠AEF=90°,又∵∠DAE=∠EAF,∴△ADE∽△AEF,∴,∴=AD•AF.①当CF=CD时,AD=DC=CF,AF=3DC,∴=DC•3DC=,∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED===;②当CF=aCD(a>0)时,sin∠CAB=.∵CF=aCD,AD=DC,∴AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,∴=DC•(a+2)DC=(a+2),∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED==.考点:1.圆的综合题;2.探究型;3.存在型.4.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上,连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数,试探究∠APE的度数:(1)如图1,若k=1,则∠APE的度数为;(2)如图2,若k=3,试问(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,求出∠APE的度数.(3)如图3,若k=3,且D、E分别在CB、CA的延长线上,(2)中的结论是否成立,请说明理由.【答案】(1)45°;(2)(1)中结论不成立,理由见解析;(3)(2)中结论成立,理由见解析.【解析】分析:(1)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△FAE≌△ACD,得出EF=AD=BF,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;(2)先判断出四边形ADBF 是平行四边形,得出BD=AF ,BF=AD ,进而判断出△FAE ∽△ACD ,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;(3)先判断出四边形ADBF 是平行四边形,得出BD=AF ,BF=AD ,进而判断出△ACD ∽△HEA ,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;详解:(1)如图1,过点A 作AF ∥CB ,过点B 作BF ∥AD 相交于F ,连接EF ,∴∠FBE=∠APE ,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF 是平行四边形, ∴BD=AF ,BF=AD . ∵AC=BD ,CD=AE , ∴AF=AC . ∵∠FAC=∠C=90°, ∴△FAE ≌△ACD ,∴EF=AD=BF ,∠FEA=∠ADC . ∵∠ADC+∠CAD=90°, ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD . ∵AD ∥BF , ∴∠EFB=90°. ∵EF=BF , ∴∠FBE=45°, ∴∠APE=45°.(2)(1)中结论不成立,理由如下:如图2,过点A 作AF ∥CB ,过点B 作BF ∥AD 相交于F ,连接EF ,∴∠FBE=∠APE ,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF 是平行四边形, ∴BD=AF ,BF=AD . ∵3BD ,3AE , ∴3AC CDBD AE==.∵BD=AF ,∴3AC CDAF AE==. ∵∠FAC=∠C=90°, ∴△FAE ∽△ACD ,∴3AC AD BFAF EF EF ===,∠FEA=∠ADC . ∵∠ADC+∠CAD=90°,∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD . ∵AD ∥BF , ∴∠EFB=90°.在Rt △EFB 中,tan ∠FBE=3EF BF =, ∴∠FBE=30°, ∴∠APE=30°,(3)(2)中结论成立,如图3,作EH ∥CD ,DH ∥BE ,EH ,DH 相交于H ,连接AH ,∴∠APE=∠ADH ,∠HEC=∠C=90°,四边形EBDH 是平行四边形, ∴BE=DH ,EH=BD . ∵3BD ,3AE ,∴3AC CDBD AE==. ∵∠HEA=∠C=90°, ∴△ACD ∽△HEA ,∴3AD ACAH EH==∠ADC=∠HAE . ∵∠CAD+∠ADC=90°, ∴∠HAE+∠CAD=90°, ∴∠HAD=90°.在Rt △DAH 中,tan ∠ADH=3AHAD= ∴∠ADH=30°, ∴∠APE=30°.点睛:此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.(1)求证:KE=GE;(2)若KG2=KD•GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2)AC∥EF,证明见解析;(3)FG= .【解析】试题分析:(1)如图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE;(2)AC与EF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD•GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF;(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度.试题解析:(1)如图1,连接OG.∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.(2)AC∥EF,理由为连接GD,如图2所示.∵KG2=KD•GE,即,∴,又∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK,∴∠E=∠AGD,又∵∠C=∠AGD,∴∠E=∠C,∴AC∥EF;(3)连接OG,OC,如图3所示,∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.∵sinE=sin∠ACH=,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t,∴HK=CK-CH=t.在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即(3t)2+t2=(2)2,解得t=.设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=.∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形,在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH=,∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,锐角三角函数定义,圆周角定理,平行线的判定,以及等腰三角形的判定,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)求证:BC2=2CD•OE;(3)若314cos,53BAD BE∠==,求OE的长.【答案】(1)DE为⊙O的切线,理由见解析;(2)证明见解析;(3)OE =356.【解析】试题分析:(1)连接OD,BD,由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角,可得出△BCD为直角三角形,E为斜边BC的中点,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE,从而得∠C=∠CDE,再由OA=OD,得∠A=∠ADO,由Rt△ABC中两锐角互余,从而可得∠ADO与∠CDE互余,可得出∠ODE为直角,即DE垂直于半径OD,可得出DE为⊙O的切线;(2)由已知可得OE是△ABC的中位线,从而有AC=2OE,再由∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,可得△ABC∽△BDC,根据相似三角形的对应边的比相等,即可证得;(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的长,根据三角形中位线定理OE的长即可求得.试题解析:(1)DE为⊙O的切线,理由如下:连接OD,BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,∴CE=DE=BE=BC,∴∠C=∠CDE,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∵∠ABC=90°,∴∠C+∠A=90°,∴∠ADO+∠CDE=90°,∴∠ODE=90°,∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,∴DE为⊙O的切线;(2)∵E是BC的中点,O点是AB的中点,∴OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE,∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,∴△ABC∽△BDC,∴,即BC2=AC•CD.∴BC2=2CD•OE;(3)解:∵cos∠BAD=,∴sin∠BAC=,又∵BE=,E是BC的中点,即BC=,∴AC=.又∵AC=2OE,∴OE=AC=.考点:1、切线的判定;2、相似三角形的判定与性质;3、三角函数7.已知:△ABC内接于⊙O,D是弧BC上一点,OD⊥BC,垂足为H.(1)如图1,当圆心O在AB边上时,求证:AC=2OH;(2)如图2,当圆心O在△ABC外部时,连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证:∠ACD=∠APB;(3)在(2)的条件下,如图3,连接BD,E为⊙O上一点,连接DE交BC于点Q、交AB 于点N,连接OE,BF为⊙O的弦,BF⊥OE于点R交DE于点G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=,BN=,tan∠ABC=,求BF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)24.【解析】试题分析:(1)易证OH为△ABC的中位线,可得AC=2OH;(2)∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,又∵∠PAC =∠BCD,可证∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,连接OB,易证∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ.在Rt△BNQ中,根据tan∠ABC=,可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI 的长度,设QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的长度,利用垂径定理可求得ED的长度,最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度,最后由垂径定理可求得BF的长度.试题解析:(1)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴BH=HC,∵点O是AB的中点,∴AC=2OH;(2)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴弧BD=弧CD,∴∠PAC=∠BCD,∵∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,∴∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB 与OD相交于点M,连接OB,∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,∵∠ABD+∠BDN=∠AND,∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,∵∠ACD+∠ABD=180°,∴2∠AND=180°,∴∠AND=90°,∵tan∠ABC=,∴,∴,∴,∵∠BNQ=∠QHD=90°,∴∠ABC=∠QDH,∵OE=OD,∴∠OED=∠QDH,∵∠ERG=90°,∴∠OED=∠GBN,∴∠GBN=∠ABC,∵AB⊥ED,∴BG=BQ=,GN=NQ=,∵∠ACI=90°,tan∠AIC=tan∠ABC=,∴,∴IC=,∴由勾股定理可求得:AI=25,设QH=x,∵tan∠ABC=tan∠ODE=,∴,∴HD=2x,∴OH=OD﹣HD=,BH=BQ+QH=,∵OB2=BH2+OH2,∴,解得:,当QH=时,∴QD=,∴ND=,∴MN=,MD=15,∵,∴QH=不符合题意,舍去,当QH=时,∴QD=∴ND=NQ+QD=,ED=,∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=,∵tan∠OED=,∴,∴EG=RG,∴RG=,∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24.考点:1圆;2相似三角形;3三角函数;4直角三角形.8.在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于点H,连接AH、PH.(1)若点P在线CD上,如图1,①依题意补全图1;②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)【答案】(1)①如图;②AH=PH,AH⊥PH.证明见解析(2)或【解析】试题分析:(1)①如图(1);②(1)法一:轴对称作法,判断:AH=PH,AH⊥PH.连接CH,根据正方形的每条对角线平分一组对角得:△DHQ等腰Rt△,根据平移的性质得DP=CQ,证得△HDP≌△△HQC,全等三角形的对应边相等得PH=CH,等边对等角得∠HPC=∠HCP,再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.(2)轴对称作法同(1)作HR⊥PC于R,∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°,∴∠DAH=17°∴∠DCH=17°.设DP=x,则.由代入HR,CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法,A、H、D、P共向,∴∠APD=∠AHB=62°,∴.试题解析:(1)①法一:轴对称作法,判断:AH=PH,AH⊥PH证:连接CH,得:△DHQ等腰Rt△,又∵DP=CQ,∴△HDP≌△△HQC,∴PH=CH,∠HPC=∠HCPBD为正方形ABCD对称轴,∴AH=CH,∠DAH=∠HCP,∴AH=PH,∠DAH=∠HPC,∴∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.法二:四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.(2)法一:轴对称作法考虑△DHQ等腰Rt△,PD=CQ,作HR⊥PC于R,∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°,∴∠DAH=17°∴∠DCH=17°.设DP=x,则.由得:,∴.即PD=法二:四点共向作法,A、H、D、P共向,∴∠APD=∠AHB=62°,∴.考点:全等三角形的判定;解直角三角形;正方形的性质;死电脑共圆9.如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,23)、D(0,33),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点,满足∠PQO=60º.(1)点B的坐标是,∠CAO= º,当点Q与点A重合时,点P的坐标为;(2)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围.【答案】(1)(6,23). 30.(3,33)(2)()()()()243x 430x 3331333x x 3x 5232S {23x 1235x 93543x 9x +≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解:(1)(6,23). 30.(3,33). (2)当0≤x≤3时, 如图1,OI=x ,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x ; 由题意可知直线l ∥BC ∥OA , 可得EF PE DC 31==OQ PO DO 333==,∴EF=13(3+x ), 此时重叠部分是梯形,其面积为:EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 43233==+⋅=+=+梯形()()当3<x≤5时,如图2,()HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ243331333 x 43x 3=x x 32232∆=-=-⋅⋅=+---+-梯形梯形。
备战中考数学 锐角三角函数 培优练习(含答案)附答案一、锐角三角函数1.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.(1)求之间的距离(2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.【答案】(1)120米;(2)35. 【解析】【分析】(1)解直角三角形即可得到结论;(2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==, '30CE AA ==3Rt △ABC 中,求得DC=333,然后根据三角函数的定义即可得到结论.【详解】解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°,在Rt △ABC 中,AC=60m , ∴AB=sin 30AC ︒=6012=120(m ) (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,则'60A E AC ==, '30CE AA ==3在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°, ∴DC=333∴3∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235答:从无人机'A 上看目标D 235【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2.如图,海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A 与哨所B 同时发现一走私船,其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上,位于哨所B 南偏东37°的方向上.(1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离;(2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时,恰好在D 处成功拦截.(结果保留根号)(参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37 =sin53°≈去,tan37°≈2,tan76°≈)【答案】(1)观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里;(2)当缉私艇以每小时617D 处成功拦截.【解析】【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠ACB =90°,再解Rt △ABC ,利用正弦函数定义得出AC 即可;(2)过点C 作CM ⊥AB 于点M ,易知,D 、C 、M 在一条直线上.解Rt △AMC ,求出CM 、AM .解Rt △AMD 中,求出DM 、AD ,得出CD .设缉私艇的速度为x 海里/小时,根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程,解方程即可.【详解】(1)在ABC △中,180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=.在Rt ABC V 中,sin AC B AB =,所以3sin 3725155AC AB ︒=⋅=⨯=(海里). 答:观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.(2)过点C 作CM AB ⊥,垂足为M ,由题意易知,D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中,4sin 15125CM AC CAM =⋅∠=⨯=,3cos 1595AM AC CAM =⋅∠=⨯=. 在Rt ADM △中,tan MD DAM AM∠=, 所以tan 7636MD AM ︒=⋅=.所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=,.设缉私艇的速度为v 海里/小时,则有2491716v=,解得617v =. 经检验,617v =是原方程的解. 答:当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时,恰好在D 处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.3.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO '后,电脑转到AO 'B '位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm ,O 'C ⊥OA 于点C ,O 'C=12cm .(1)求∠CAO '的度数.(2)显示屏的顶部B '比原来升高了多少?(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O 'B '与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O 'B '应绕点O '按顺时针方向旋转多少度?【答案】(1)∠CAO′=30°;(2)(36﹣12)cm ;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.【解析】试题分析:(1)通过解直角三角形即可得到结果;(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12,由C、O′、B′三点共线可得结果;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.试题解析:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,∴sin∠CAO′=,∴∠CAO′=30°;(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,∵sin∠BOD=,∴BD=OBsin∠BOD,∵∠AOB=120°,∴∠BOD=60°,∴BD=OBsin∠BOD=24×=12,∵O′C⊥OA,∠CAO′=30°,∴∠AO′C=60°,∵∠AO′B′=120°,∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12,∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,理由:∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°,∴∠EO′F=120°,∴∠FO′A=∠CAO′=30°,∵∠AO′B′=120°,∴∠EO′B′=∠FO′A=30°,∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.考点:解直角三角形的应用;旋转的性质.4.如图(1),在平面直角坐标系中,点A(0,﹣6),点B(6,0).Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=4,DE=4,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合.Rt△CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题:(1)如图(2),当Rt△CDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求∠BME 的度数.(2)如图(3),在Rt△CDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长.(3)在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h,△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数关系式,并求出面积S的最大值.【答案】(1)∠BME=15°;(2BC=4;(3)h≤2时,S=﹣h2+4h+8,当h≥2时,S=18﹣3h.【解析】试题分析:(1)如图2,由对顶角的定义知,∠BME=∠CMA,要求∠BME的度数,需先求出∠CMA的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可;(2)如图3,由已知可知∠OBC=∠DEC=30°,又OB=6,通过解直角△BOC就可求出BC的长度;(3)需要分类讨论:①h≤2时,如图4,作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,S=S△EDC﹣S△EFM;②当h≥2时,如图3,S=S△OBC.试题解析:解:(1)如图2,∵在平面直角坐标系中,点A(0,﹣6),点B(6,0).∴OA=OB,∴∠OAB=45°,∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,∴∠OCE=60°,∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°,∴∠BME=∠CMA=15°;如图3,∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,∴∠OBC=∠DEC=30°,∵OB=6,∴BC=4;(3)①h≤2时,如图4,作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,∵CD=4,DE=4,AC=h,AN=NM,∴CN=4﹣FM,AN=MN=4+h﹣FM,∵△CMN∽△CED,∴,∴,解得FM=4﹣,∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣(44﹣h)×(4﹣)=﹣h2+4h+8,②如图3,当h≥2时,S=S△OBC=OC×OB=(6﹣h)×6=18﹣3h.考点:1、三角形的外角定理;2、相似;3、解直角三角形5.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上,连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数,试探究∠APE的度数:(1)如图1,若k=1,则∠APE的度数为;(2)如图2,若k=3,试问(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,求出∠APE的度数.(3)如图3,若k=3,且D、E分别在CB、CA的延长线上,(2)中的结论是否成立,请说明理由.【答案】(1)45°;(2)(1)中结论不成立,理由见解析;(3)(2)中结论成立,理由见解析.【解析】分析:(1)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△FAE≌△ACD,得出EF=AD=BF,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;(2)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△FAE∽△ACD,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;(3)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△ACD∽△HEA,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;详解:(1)如图1,过点A作AF∥CB,过点B作BF∥AD相交于F,连接EF,∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF是平行四边形,∴BD=AF,BF=AD.∵AC=BD,CD=AE,∴AF=AC.∵∠FAC=∠C=90°,∴△FAE≌△ACD,∴EF=AD=BF,∠FEA=∠ADC.∵∠ADC+∠CAD=90°,∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD.∵AD∥BF,∴∠EFB=90°.∵EF=BF ,∴∠FBE=45°,∴∠APE=45°.(2)(1)中结论不成立,理由如下:如图2,过点A 作AF ∥CB ,过点B 作BF ∥AD 相交于F ,连接EF ,∴∠FBE=∠APE ,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF 是平行四边形,∴BD=AF ,BF=AD .∵AC=3BD ,CD=3AE , ∴3AC CD BD AE==. ∵BD=AF , ∴3AC CD AF AE==. ∵∠FAC=∠C=90°,∴△FAE ∽△ACD , ∴3AC AD BF AF EF EF===,∠FEA=∠ADC . ∵∠ADC+∠CAD=90°,∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD .∵AD ∥BF ,∴∠EFB=90°. 在Rt △EFB 中,tan ∠FBE=33EF BF =, ∴∠FBE=30°,∴∠APE=30°,(3)(2)中结论成立,如图3,作EH ∥CD ,DH ∥BE ,EH ,DH 相交于H ,连接AH ,∴∠APE=∠ADH ,∠HEC=∠C=90°,四边形EBDH 是平行四边形,∴BE=DH ,EH=BD .∵AC=3BD ,CD=3AE ,∴3AC CD BD AE ==. ∵∠HEA=∠C=90°,∴△ACD ∽△HEA , ∴3AD AC AH EH==,∠ADC=∠HAE . ∵∠CAD+∠ADC=90°,∴∠HAE+∠CAD=90°,∴∠HAD=90°. 在Rt △DAH 中,tan ∠ADH=3AH AD =, ∴∠ADH=30°,∴∠APE=30°.点睛:此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.6.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,以AB 的中点O 为圆心,OA 为半径的圆交AC 于点D ,E 是BC 的中点,连接DE ,OE .(1)判断DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)求证:BC 2=2CD•OE ;(3)若314cos ,53BAD BE ∠==,求OE 的长.【答案】(1)DE 为⊙O 的切线,理由见解析;(2)证明见解析;(3)OE =356. 【解析】 试题分析:(1)连接OD ,BD ,由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB 为直角,可得出△BCD 为直角三角形,E 为斜边BC 的中点,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE ,从而得∠C=∠CDE ,再由OA=OD ,得∠A=∠ADO ,由Rt △ABC 中两锐角互余,从而可得∠ADO 与∠CDE 互余,可得出∠ODE 为直角,即DE 垂直于半径OD ,可得出DE 为⊙O 的切线;(2)由已知可得OE是△ABC的中位线,从而有AC=2OE,再由∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,可得△ABC∽△BDC,根据相似三角形的对应边的比相等,即可证得;(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的长,根据三角形中位线定理OE的长即可求得.试题解析:(1)DE为⊙O的切线,理由如下:连接OD,BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,∴CE=DE=BE=BC,∴∠C=∠CDE,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∵∠ABC=90°,∴∠C+∠A=90°,∴∠ADO+∠CDE=90°,∴∠ODE=90°,∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,∴DE为⊙O的切线;(2)∵E是BC的中点,O点是AB的中点,∴OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE,∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,∴△ABC∽△BDC,∴,即BC2=AC•CD.∴BC2=2CD•OE;(3)解:∵cos∠BAD=,∴sin∠BAC=,又∵BE=,E是BC的中点,即BC=,∴AC=.又∵AC=2OE,∴OE=AC=.考点:1、切线的判定;2、相似三角形的判定与性质;3、三角函数7.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan∠DBC的值;(2)点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.【答案】(1)tan∠DBC=;(2)P(﹣,).【解析】试题分析:(1)连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标,则可得CD//AB,OB=OC,所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°.由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4,BE=BC﹣DE=.由此可知tan∠DBC=;(2)过点P作PF⊥x轴于点F.由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC,利用(1)中的结果得到:tan∠PBF=.设P(x,﹣x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知=,通过解方程求得点P的坐标为(﹣,).试题解析:(1)令y=0,则﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0,解得 x1=﹣1,x2=4.∴A(﹣1,0),B(4,0).当x=3时,y=﹣32+3×3+4=4,∴D(3,4).如图,连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.∵C(0,4),∴CD//AB,∴∠BCD=∠ABC=45°.在直角△OBC中,∵OC=OB=4,∴BC=4.在直角△CDE中,CD=3.∴CE=ED=,∴BE=BC﹣DE=.∴tan∠DBC=;(2)过点P作PF⊥x轴于点F.∵∠CBF=∠DBP=45°,∴∠PBF=∠DBC,∴tan∠PBF=.设P(x,﹣x2+3x+4),则=,解得 x1=﹣,x2=4(舍去),∴P(﹣,).考点:1、二次函数;2、勾股定理;3、三角函数8.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的周长;(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)在菱形ABCD中,∵AC⊥BD,AC=80,BD=60,∴。
2020-2021中考数学锐角三角函数(大题培优)附答案一、锐角三角函数1.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为62或23.【解析】【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE;(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,∵△EFK是直角三角形,∴OF=12EK=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,∵|CF﹣AE|=2,3AE=CK,∴FK=2,在Rt△EFK中,tan∠3∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,∴EK=2FK=4,OF=12EK=2,∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,在Rt△PHF中,PH=12PF=1,3OH=23∴()2212362+-=如图4中,点P 在线段OC 上,当PO=PF 时,∠POF=∠PFO=30°, ∴∠BOP=90°, ∴OP=33OE=233, 综上所述:OP 的长为62 或233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.2.已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点D 、E 分别在BC 、AC 边上,连结BE 、AD 交于点P ,设AC=kBD ,CD=kAE ,k 为常数,试探究∠APE 的度数: (1)如图1,若k=1,则∠APE 的度数为 ;(2)如图2,若k=3,试问(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,求出∠APE 的度数.(3)如图3,若k=3,且D 、E 分别在CB 、CA 的延长线上,(2)中的结论是否成立,请说明理由.【答案】(1)45°;(2)(1)中结论不成立,理由见解析;(3)(2)中结论成立,理由见解析. 【解析】分析:(1)先判断出四边形ADBF 是平行四边形,得出BD=AF ,BF=AD ,进而判断出△FAE ≌△ACD ,得出EF=AD=BF ,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论; (2)先判断出四边形ADBF 是平行四边形,得出BD=AF ,BF=AD ,进而判断出△FAE ∽△ACD ,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;(3)先判断出四边形ADBF 是平行四边形,得出BD=AF ,BF=AD ,进而判断出△ACD ∽△HEA ,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;详解:(1)如图1,过点A 作AF ∥CB ,过点B 作BF ∥AD 相交于F ,连接EF ,∴∠FBE=∠APE ,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF 是平行四边形, ∴BD=AF ,BF=AD . ∵AC=BD ,CD=AE , ∴AF=AC . ∵∠FAC=∠C=90°, ∴△FAE ≌△ACD ,∴EF=AD=BF ,∠FEA=∠ADC . ∵∠ADC+∠CAD=90°, ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD . ∵AD ∥BF , ∴∠EFB=90°. ∵EF=BF , ∴∠FBE=45°, ∴∠APE=45°.(2)(1)中结论不成立,理由如下:如图2,过点A 作AF ∥CB ,过点B 作BF ∥AD 相交于F ,连接EF ,∴∠FBE=∠APE ,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF 是平行四边形, ∴BD=AF ,BF=AD . ∵3BD ,3AE ,∴3AC CDBD AE ==. ∵BD=AF ,∴3AC CDAF AE==.∵∠FAC=∠C=90°, ∴△FAE ∽△ACD ,∴3AC AD BFAF EF EF ===,∠FEA=∠ADC . ∵∠ADC+∠CAD=90°,∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD . ∵AD ∥BF , ∴∠EFB=90°.在Rt △EFB 中,tan ∠FBE=3EF BF =, ∴∠FBE=30°, ∴∠APE=30°,(3)(2)中结论成立,如图3,作EH ∥CD ,DH ∥BE ,EH ,DH 相交于H ,连接AH ,∴∠APE=∠ADH ,∠HEC=∠C=90°,四边形EBDH 是平行四边形, ∴BE=DH ,EH=BD . ∵3BD ,3AE ,∴3AC CDBD AE==. ∵∠HEA=∠C=90°, ∴△ACD ∽△HEA ,∴3AD ACAH EH==∠ADC=∠HAE . ∵∠CAD+∠ADC=90°, ∴∠HAE+∠CAD=90°, ∴∠HAD=90°.在Rt △DAH 中,tan ∠ADH=3AHAD= ∴∠ADH=30°, ∴∠APE=30°.点睛:此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.3.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于点E,连结AD、CD.(1)求证:△MED∽△BCA;(2)求证:△AMD≌△CMD;(3)设△MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2=175S1时,求cos∠ABC的值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)cos∠ABC=5 7 .【解析】【分析】(1)易证∠DME=∠CBA,∠ACB=∠MED=90°,从而可证明△MED∽△BCA;(2)由∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,可知MB=MC=AM,从而可证明∠AMD=∠CMD,从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD;(3)易证MD=2AB,由(1)可知:△MED∽△BCA,所以2114ACBS MDS AB⎛⎫==⎪⎝⎭V,所以S△MCB=12S△ACB=2S1,从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=25S1,由于1EBDS MES EB=V,从而可知52MEEB=,设ME=5x,EB=2x,从而可求出AB=14x,BC=72,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【详解】(1)∵MD∥BC,∴∠DME=∠CBA,∵∠ACB=∠MED=90°,∴△MED∽△BCA;(2)∵∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,∴MB=MC=AM,∴∠MCB=∠MBC,∵∠DMB=∠MBC,∴∠MCB=∠DMB=∠MBC,∵∠AMD=180°﹣∠DMB,∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC , ∴∠AMD=∠CMD , 在△AMD 与△CMD 中,MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AMD ≌△CMD (SAS ); (3)∵MD=CM , ∴AM=MC=MD=MB , ∴MD=2AB ,由(1)可知:△MED ∽△BCA , ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V , ∴S △ACB =4S 1, ∵CM 是△ACB 的中线, ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1, ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1, ∵1EBDS MES EB=V , ∴1125S MEEB S =,∴52ME EB =, 设ME=5x ,EB=2x , ∴MB=7x , ∴AB=2MB=14x ,∵12MD ME AB BC ==, ∴BC=10x ,∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题,涉及直角三角形斜边中线的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的判定与性质,三角形面积的面积比,锐角三角函数的定义等知识,综合程度较高,熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.4.如图,PB为☉O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交☉O于点A,连接PA,AO.并延长AO交☉O于点E,与PB的延长线交于点D.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)若=,且OC=4,求PA的长和tan D的值.【答案】(1)证明见解析;(2)PA =3,tan D=.【解析】试题分析: (1)连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得:OP是线段AB的垂直平分线,进而可得:PA=PB,然后证明△PAO≌△PBO,进而可得∠PBO=∠PAO,然后根据切线的性质可得∠PBO=90°,进而可得:∠PAO=90°,进而可证:PA是⊙O的切线;(2)连接BE,由,且OC=4,可求AC,OA的值,然后根据射影定理可求PC的值,从而可求OP的值,然后根据勾股定理可求AP的值.试题解析:(1)连接OB,则OA=OB,∵OP⊥AB,∴AC=BC,∴OP是AB的垂直平分线,∴PA=PB,在△PAO和△PBO中,∵,∴△PAO≌△PBO(SSS)∴∠PBO=∠PAO,PB=PA,∵PB为⊙O的切线,B为切点,∴∠PBO=90°,∴∠PAO=90°,即PA⊥OA,∴PA是⊙O的切线;(2)连接BE,∵,且OC=4,∴AC=6,∴AB=12,在Rt△ACO中,由勾股定理得:AO=,∴AE=2OA=4,OB=OA=2,在Rt△APO中,∵AC⊥OP,∴AC2=OC PC,解得:PC=9,∴OP=PC+OC=13,在Rt△APO中,由勾股定理得:AP==3.易证,所以,解得,则,在中,.考点:1.切线的判定与性质;2.相似三角形的判定与性质;3.解直角三角形.5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,BC=16cm,AD是斜边BC上的高,垂足为D,BE=1cm.点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动,点N从点E出发,与点M 同时同方向以相同的速度运动,以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点D 时停止运动,点N到达点C时停止运动.设运动时间为t(s).(1)当t为何值时,点G刚好落在线段AD上?(2)设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时,求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围.(3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时,△CPD是等腰三角形?【答案】(1)3;(2);(3)t=9s或t=(15﹣6)s.【解析】试题分析:(1)求出ED的距离即可求出相对应的时间t.(2)先求出t的取值范围,分为H在AB上时,此时BM的距离,进而求出相应的时间.同样当G在AC上时,求出MN的长度,继而算出EN的长度即可求出时间,再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.(3)分DP=PC和DC=PC两种情况,分别由EN的长度便可求出t的值.试题解析:∵∠BAC=90°,∠B=60°,BC=16cm∴AB=8cm,BD=4cm,AC=8cm,DC=12cm,AD=4cm.(1)∵当G刚好落在线段AD上时,ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s.(2)∵当MH没有到达AD时,此时正方形MNGH是边长为1的正方形,令H点在AB 上,则∠HMB=90°,∠B=60°,MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时,那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大,令G点在AC上,设MN=xcm,则GH=DH=x,AH=x,∵AD=AH+DH=x+x=x=4,∴x=3.当≤t≤4时,S MNGN=1cm2.当4<t≤6时,S MNGH=(t﹣3)2cm2∴S关于t的函数关系式为:.(3)分两种情况:①∵当DP=PC时,易知此时N点为DC的中点,∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候,△CPD为等腰三角形;②当DC=PC时,DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=(15﹣6)cm∴t=(15﹣6)s故当t=(15﹣6)s时,△CPD为等腰三角形.综上所述,当t=9s或t=(15﹣6)s时,△CPD为等腰三角形.考点:1.双动点问题;2.锐角三角函数定义;3.特殊角的三角函数值;4.正方形的性质;5.由实际问题列函数关系式;6.等腰三角形的性质;7.分类思想的应用.6.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan∠DBC的值;(2)点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.【答案】(1)tan∠DBC=;(2)P(﹣,).【解析】试题分析:(1)连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标,则可得CD//AB,OB=OC,所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°.由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4,BE=BC﹣DE=.由此可知tan∠DBC=;(2)过点P作PF⊥x轴于点F.由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC,利用(1)中的结果得到:tan∠PBF=.设P(x,﹣x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知=,通过解方程求得点P的坐标为(﹣,).试题解析:(1)令y=0,则﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0,解得 x1=﹣1,x2=4.∴A(﹣1,0),B(4,0).当x=3时,y=﹣32+3×3+4=4,∴D(3,4).如图,连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.∵C(0,4),∴CD//AB,∴∠BCD=∠ABC=45°.在直角△OBC中,∵OC=OB=4,∴BC=4.在直角△CDE中,CD=3.∴CE=ED=,∴BE=BC﹣DE=.∴tan∠DBC=;(2)过点P作PF⊥x轴于点F.∵∠CBF=∠DBP=45°,∴∠PBF=∠DBC,∴tan∠PBF=.设P(x,﹣x2+3x+4),则=,解得 x1=﹣,x2=4(舍去),∴P(﹣,).考点:1、二次函数;2、勾股定理;3、三角函数7.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的周长;(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)在菱形ABCD中,∵AC⊥BD,AC=80,BD=60,∴。
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案一、锐角三角函数1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米.【答案】553【解析】【分析】如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可.【详解】解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.∵AM⊥CD,∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°,∴四边形OQMP是矩形,∴QM=OP,∵OC=OD=10,∠COD=60°,∴△COD是等边三角形,∵OP⊥CD,∠COD=30°,∴∠COP=12∴QM=OP=OC•cos30°=3∵∠AOC=∠QOP=90°,∴∠AOQ=∠COP=30°,∴AQ=1OA=5(分米),2∴AM=AQ+MQ=5+3∵OB∥CD,∴∠BOD=∠ODC=60°在Rt△OFK中,KO=OF•cos60°=2(分米),FK=OF•sin60°=23(分米),在Rt△PKE中,EK=22-=26(分米),EF FK∴BE=10−2−26=(8−26)(分米),在Rt△OFJ中,OJ=OF•cos60°=2(分米),FJ=23(分米),在Rt△FJE′中,E′J=22-(2)=26,63∴B′E′=10−(26−2)=12−26,∴B′E′−BE=4.故答案为:5+53,4.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP6223.【解析】【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE;(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,∵△EFK是直角三角形,∴OF=12EK=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,∵|CF ﹣AE|=2,EF=23,AE=CK ,∴FK=2, 在Rt △EFK 中,tan ∠FEK=33,∴∠FEK=30°,∠EKF=60°, ∴EK=2FK=4,OF=12EK=2, ∵△OPF 是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2, 在Rt △PHF 中,PH=12PF=1,HF=3,OH=2﹣3, ∴OP=()2212362+-=-.如图4中,点P 在线段OC 上,当PO=PF 时,∠POF=∠PFO=30°, ∴∠BOP=90°, ∴OP=33OE=233, 综上所述:OP 的长为62-或23. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.3.如图,在⊙O 的内接三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =2BC ,过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ,垂足为E.设P 是上异于A ,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F ,连接PC 与PD ,PD 交AB 于点G.(1)求证:△PAC∽△PDF;(2)若AB=5,,求PD的长;(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,∴.∴.∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.∵AB⊥CD,∴.如图,连接BP,∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由(1)△PAC∽△PDF得,即.∴PD的长为.(3)如图,连接BP,BD,AD,∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.∵,∴.∵△AGP∽△DGB,∴.∵△AGD∽△PGB,∴.∴,即.∵,∴.∴与之间的函数关系式为.考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.4.如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F点.若AB=6cm.(1)AE的长为 cm;(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值;(3)求点D′到BC的距离.【答案】(1);(2)12cm;(3)cm.【解析】试题分析:(1)首先利用勾股定理得出AC的长,进而求出CD的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案:∵∠BAC=45°,∠B=90°,∴AB=BC=6cm,∴AC=12cm.∵∠ACD=30°,∠DAC=90°,AC=12cm,∴(cm).∵点E为CD边上的中点,∴AE=DC=cm.(2)首先得出△ADE为等边三角形,进而求出点E,D′关于直线AC对称,连接DD′交AC 于点P,根据轴对称的性质,此时DP+EP值为最小,进而得出答案.(3)连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,进而得出△ABD′≌△CBD′(SSS),则∠D′BG=45°,D′G=GB,进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离.试题解析:解:(1).(2)∵Rt△ADC中,∠ACD=30°,∴∠ADC=60°,∵E为CD边上的中点,∴DE=AE.∴△ADE为等边三角形.∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E,∴△AD′E为等边三角形,∠AED′=60°.∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°,∴∠EFA=90°,即AC所在的直线垂直平分线段ED′.∴点E,D′关于直线AC对称.如答图1,连接DD′交AC于点P,∴此时DP+EP值为最小,且DP+EP=DD′.∵△ADE是等边三角形,AD=AE=,∴,即DP+EP最小值为12cm.(3)如答图2,连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,∵AC垂直平分线ED′,∴AE=AD′,CE=CD′,∵AE=EC,∴AD′=CD′=.在△ABD′和△CBD′中,∵,∴△ABD′≌△CBD′(SSS).∴∠D′BG=∠D′BC=45°.∴D′G=GB.设D′G长为xcm,则CG长为cm,在Rt△GD′C中,由勾股定理得,解得:(不合题意舍去).∴点D′到BC边的距离为cm.考点:1.翻折和单动点问题;2.勾股定理;3.直角三角形斜边上的中线性质;4.等边三角形三角形的判定和性质;5.轴对称的应用(最短线路问题);6.全等三角形的判定和性质;7.方程思想的应用.5.(2013年四川攀枝花12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,点B(10,0),C(7,4).直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=22.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.(1)点A的坐标为,直线l的解析式为;(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;(3)试求(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值;(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.【答案】解:(1)(﹣4,0);y=x+4.(2)在点P、Q运动的过程中:①当0<t≤1时,如图1,过点C作CF⊥x轴于点F,则CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.过点Q作QE⊥x轴于点E,则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t.∴PE=PB﹣BE=(14﹣2t)﹣3t=14﹣5t,S=12PM•PE=12×2t×(14﹣5t)=﹣5t2+14t.②当1<t≤2时,如图2,过点C、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E,则CQ=5t﹣5,PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣(5t﹣5)=16﹣7t.S=12PM•PE=12×2t×(16﹣7t)=﹣7t2+16t.③当点M与点Q相遇时,DM+CQ=CD=7,即(2t﹣4)+(5t﹣5)=7,解得t=167.当2<t<167时,如图3,MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,S=12PM•MQ=12×4×(16﹣7t)=﹣14t+32.综上所述,点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为()()225t14t0<t1S{7t16t1<t21614t322<t<7-+≤=-+≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.(3)①当0<t≤1时,22749S5t14t5t55⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭,∵a=﹣5<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=75,∴当0<t≤1时,S随t的增大而增大.∴当t=1时,S有最大值,最大值为9.②当1<t≤2时,22864S7t16t7t77⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭,∵a=﹣7<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=87,∴当t=87时,S有最大值,最大值为647.③当2<t<167时,S=﹣14t+32∵k=﹣14<0,∴S随t的增大而减小.又∵当t=2时,S=4;当t=167时,S=0,∴0<S<4.综上所述,当t=87时,S有最大值,最大值为647.(4)t=209或t=125时,△QMN为等腰三角形.【解析】(1)利用梯形性质确定点D的坐标,由sin∠DAB=22,利用特殊三角函数值,得到△AOD为等腰直角三角形,从而得到点A的坐标;由点A、点D的坐标,利用待定系数法求出直线l的解析式:∵C(7,4),AB∥CD,∴D(0,4).∵sin∠DAB=22,∴∠DAB=45°.∴OA=OD=4.∴A(﹣4,0).设直线l的解析式为:y=kx+b,则有4k b0{b4-+==,解得:k1{b4==.∴y=x+4.∴点A坐标为(﹣4,0),直线l的解析式为:y=x+4.(2)弄清动点的运动过程分别求解:①当0<t≤1时,如图1;②当1<t≤2时,如图2;③当2<t<167时,如图3.(3)根据(2)中求出的S表达式与取值范围,逐一讨论计算,最终确定S的最大值.(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论:①如图4,点M在线段CD上,MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,MN=DM=2t﹣4,由MN=MQ,得16﹣7t=2t﹣4,解得t=209.②如图5,当点M运动到C点,同时当Q刚好运动至终点D,此时△QMN为等腰三角形,t=125.∴当t=209或t=125时,△QMN为等腰三角形.考点:一次函数综合题,双动点问题,梯形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,由实际问题列函数关系式,一次函数和二次函数的性质,等腰三角形的性质,分类思想的应用.6.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的周长;(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)在菱形ABCD中,∵AC⊥BD,AC=80,BD=60,∴。
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及答案一、锐角三角函数1.如图13,矩形的对角线,相交于点,关于的对称图形为.(1)求证:四边形是菱形;(2)连接,若,.①求的值;②若点为线段上一动点(不与点重合),连接,一动点从点出发,以的速度沿线段匀速运动到点,再以的速度沿线段匀速运动到点,到达点后停止运动.当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时,求的长和点走完全程所需的时间.【答案】(1)详见解析;(2)①②和走完全程所需时间为【解析】试题分析:(1)利用四边相等的四边形是菱形;(2)①构造直角三角形求;②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置,再计算运到的时间.试题解析:解:(1)证明:四边形是矩形.与交于点O,且关于对称四边形是菱形.(2)①连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中,为的中点,且O为AC的中点为的中位线同理可得:为的中点,②过点P作交于点由运动到所需的时间为3s由①可得,点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A即:由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图,当P运动到,即时,所用时间最短.在中,设解得:和走完全程所需时间为考点:菱形的判定方法;构造直角三角形求三角函数值;确定极值时动点的特殊位置2.如图,矩形OABC 中,A(6,0)、C(0,23)、D(0,33),射线l 过点D且与x 轴平行,点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点,满足∠PQO =60º.(1)点B 的坐标是 ,∠CAO = º,当点Q 与点A 重合时,点P 的坐标 为 ;(2)设点P 的横坐标为x ,△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ,试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围.【答案】(1)(6,23). 30.(3,33)(2)()()()()243x 430x 3331333x x 3x 5S {23x 1235x 93543x 9+≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解:(1)(6,23). 30.(3,33). (2)当0≤x≤3时, 如图1,OI=x ,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x ; 由题意可知直线l ∥BC ∥OA ,可得EF PE DC31==OQ PO DO333==,∴EF=13(3+x),此时重叠部分是梯形,其面积为:EFQO14343S S EF OQ OC3x x43 233==+⋅=+=+梯形()()当3<x≤5时,如图2,()HAQEFQO EFQO221S S S S AH AQ243331333x43x3=x x32232∆=-=-⋅⋅=+---+-梯形梯形。
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案一、锐角三角函数1.如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,点F在射线CM上,∠AEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线,垂足为H,连接AC.(1) 试判断BE与FH的数量关系,并说明理由;(2) 求证:∠ACF=90°;(3) 连接AF,过A,E,F三点作圆,如图2. 若EC=4,∠CEF=15°,求的长.图1 图2【答案】(1)BE="FH" ;理由见解析(2)证明见解析(3)=2π【解析】试题分析:(1)由△ABE≌△EHF(SAS)即可得到BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,从而可知△FHC是等腰直角三角形,∠FCH 为45°,而∠ACB也为45°,从而可证明(3)由已知可知∠EAC=30°,AF是直径,设圆心为O,连接EO,过点E作EN⊥AC于点N,则可得△ECN为等腰直角三角形,从而可得EN的长,进而可得AE的长,得到半径,得到所对圆心角的度数,从而求得弧长试题解析:(1)BE=FH.理由如下:∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°,∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF(SAS)∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH,BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°,∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线,∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°(3)∵AE=EF,∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上.设该中点为O.连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中,EC=4,∠ECA=45°,∴EN=NC=Rt△ENA中,EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°(等弧对等角)∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中,AE== EF,∴AF=8AE所在的圆O半径为4,其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·(90°÷360°)=2π考点:1、正方形;2、等腰直角三角形;3、圆周角定理;4、三角函数2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.(1)求证:KE=GE;(2)若KG2=KD•GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2)AC∥EF,证明见解析;(3)FG= .【解析】试题分析:(1)如图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE;(2)AC与EF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD•GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF;(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度.试题解析:(1)如图1,连接OG.∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.(2)AC∥EF,理由为连接GD,如图2所示.∵KG2=KD•GE,即,∴,又∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK,∴∠E=∠AGD,又∵∠C=∠AGD,∴∠E=∠C,∴AC∥EF;(3)连接OG,OC,如图3所示,∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.∵sinE=sin∠ACH=,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t,∴HK=CK-CH=t.在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即(3t)2+t2=(2)2,解得t=.设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=.∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形,在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH=,∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,锐角三角函数定义,圆周角定理,平行线的判定,以及等腰三角形的判定,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.3.问题背景:如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C,则点C即为所求.(1)实践运用:如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为.(2)知识拓展:如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.【答案】解:(1)22.(2)如图,在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′.∵AD平分∠BAC,∴点B与点B′关于直线AD对称.过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) .在Rt△AFB/中,∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10,∴.∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析:(1)找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和MN的交点P就是所求作的位置,根据题意先求出∠C′AE,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值:如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB最小,且等于A.作直径AC′,连接C′E,根据垂径定理得弧BD=弧DE.∵∠ACD=30°,∴∠AOD=60°,∠DOE=30°.∴∠AOE=90°.∴∠C′AE=45°.又AC为圆的直径,∴∠AEC′=90°.∴∠C′=∠C′AE=45°.∴C′E=AE=AC′=22.∴AP+BP的最小值是22.(2)首先在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′,再过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段B′F的长即为所求.4.如图,抛物线C1:y=(x+m)2(m为常数,m>0),平移抛物线y=﹣x2,使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点(点A 在点B的左侧),交y轴于点C,设点D的横坐标为a.(1)如图1,若m=.①当OC=2时,求抛物线C2的解析式;②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;(2)如图2,当OB=2﹣m(0<m<)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2.②.(2)P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).【解析】试题分析:(1)①首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C(0,2)在C2上,求出抛物线C2的解析式;②认真审题,题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上,“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形,如图1所示,利用三角函数(或相似),求出a的值;(2)解题要点有3个:i)判定△ABD为等边三角形;ii)理论依据是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等;iii)满足条件的点有4个,即△ABD形内1个(内心),形外3个.不要漏解.试题解析:(1)当m=时,抛物线C1:y=(x+)2.∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,∴D(a,(a+)2).∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+)2(I).①∵OC=2,∴C(0,2).∵点C在抛物线C2上,∴﹣(0﹣a)2+(a+)2=2,解得:a=,代入(I)式,得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+x+2.②在(I)式中,令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0);令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+).设直线BC的解析式为y=kx+b,则有:,解得,∴直线BC的解析式为:y=﹣x+(a+).假设存在满足条件的a值.∵AP=BP,∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上;∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立,∴OP⊥BC.如图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E,则OP⊥BC,OE=a.∵点P在直线BC上,∴P(a,a+),PE=a+.∵tan∠EOP=tan∠BCO=,∴,解得:a=.∴存在a=,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"(3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,∴D(a,(a+m)2).∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2.令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0).∵OB=2﹣m,∴2a+m=2﹣m,∴a=﹣m.∴D(﹣m,3).AB=OB+OA=2﹣m+m=2.如图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=,OE=OB﹣BE=﹣m.∵tan∠ABD=,∴∠ABD=60°.又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形.作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE•tan30°=×=1,∴P1(﹣m,1);在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4.在Rt△BEP2中,P2E=BE•tan60°=•=3,∴P2(﹣m,﹣3);易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2,且P3P4∥x轴.∴P3(﹣﹣m,3)、P4(3﹣m,3).综上所述,到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个,其坐标为:P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).【考点】二次函数综合题.5.(2013年四川攀枝花12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,点B(10,0),C(7,4).直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=22.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.(1)点A的坐标为,直线l的解析式为;(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;(3)试求(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值;(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.【答案】解:(1)(﹣4,0);y=x+4.(2)在点P、Q运动的过程中:①当0<t≤1时,如图1,过点C作CF⊥x轴于点F,则CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.过点Q作QE⊥x轴于点E,则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t.∴PE=PB﹣BE=(14﹣2t)﹣3t=14﹣5t,S=12PM•PE=12×2t×(14﹣5t)=﹣5t2+14t.②当1<t≤2时,如图2,过点C、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E,则CQ=5t﹣5,PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣(5t﹣5)=16﹣7t.S=12PM•PE=12×2t×(16﹣7t)=﹣7t2+16t.③当点M与点Q相遇时,DM+CQ=CD=7,即(2t﹣4)+(5t﹣5)=7,解得t=167.当2<t<167时,如图3,MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,S=12PM•MQ=12×4×(16﹣7t)=﹣14t+32.综上所述,点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为()()225t14t0<t1S{7t16t1<t21614t322<t<7-+≤=-+≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.(3)①当0<t≤1时,22749S5t14t5t55⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭,∵a=﹣5<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=75,∴当0<t≤1时,S随t的增大而增大.∴当t=1时,S有最大值,最大值为9.②当1<t≤2时,22864S7t16t7t77⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭,∵a=﹣7<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=87,∴当t=87时,S有最大值,最大值为647.③当2<t<167时,S=﹣14t+32∵k=﹣14<0,∴S随t的增大而减小.又∵当t=2时,S=4;当t=167时,S=0,∴0<S<4.综上所述,当t=87时,S有最大值,最大值为647.(4)t=209或t=125时,△QMN为等腰三角形.【解析】(1)利用梯形性质确定点D的坐标,由sin∠DAB=22,利用特殊三角函数值,得到△AOD为等腰直角三角形,从而得到点A的坐标;由点A、点D的坐标,利用待定系数法求出直线l的解析式:∵C(7,4),AB∥CD,∴D(0,4).∵sin∠DAB=22,∴∠DAB=45°.∴OA=OD=4.∴A(﹣4,0).设直线l的解析式为:y=kx+b,则有4k b0{b4-+==,解得:k1{b4==.∴y=x+4.∴点A坐标为(﹣4,0),直线l的解析式为:y=x+4.(2)弄清动点的运动过程分别求解:①当0<t≤1时,如图1;②当1<t≤2时,如图2;③当2<t<167时,如图3.(3)根据(2)中求出的S表达式与取值范围,逐一讨论计算,最终确定S的最大值.(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论:①如图4,点M在线段CD上,MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,MN=DM=2t﹣4,由MN=MQ,得16﹣7t=2t﹣4,解得t=209.②如图5,当点M运动到C点,同时当Q刚好运动至终点D,此时△QMN为等腰三角形,t=125.∴当t=209或t=125时,△QMN为等腰三角形.考点:一次函数综合题,双动点问题,梯形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,由实际问题列函数关系式,一次函数和二次函数的性质,等腰三角形的性质,分类思想的应用.6.如图,MN为一电视塔,AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上,被一个人工湖隔开),某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°;沿着山坡向上行走40m到达C处,此时测得塔顶M的仰角为30°,请求出电视塔MN的高度.(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E, CF⊥MN于点F.在△ACE中,求AE=3m,在RT△MFC中,设MN=x m,则AN=xm.FC3xm,可得x+33 ( x-20),解方程可得答案..【详解】解:过点C作CE⊥AN于点E, CF⊥MN于点F.在△ACE中,AC=40m,∠CAE=30°∴CE=FN=20m,AE=3设MN=x m,则AN=xm.FC3,在RT△MFC中MF=MN-FN=MN-CE=x-20FC=NE=NA+AE=x+3∵∠MCF=30°∴FC3MF,即x+33-20)解得:x 403 31=60+3答:电视塔MN的高度约为95m.【点睛】本题考核知识点:解直角三角形.解题关键点:熟记解直角三角形相关知识,包括含特殊角的直角三角形性质.7.许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部,上游接纳清泥河来水,下游为鹿鸣湖等水系供水,承担着承上启下的重要作用,是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ,B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走,走到点C 处,测得∠ACF=45°,再向前走300米到点D 处,测得∠BDF=60°.若直线AB 与EF 之间的距离为200米,求A ,B 两点之间的距离(结果保留一位小数)【答案】215.6米. 【解析】 【分析】过A 点做EF 的垂线,交EF 于M 点,过B 点做EF 的垂线,交EF 于N 点,根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ,然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离. 【详解】解:过A 点做EF 的垂线,交EF 于M 点,过B 点做EF 的垂线,交EF 于N 点在Rt △ACM 中,∵45ACF ∠=︒, ∴AM=CM=200米,又∵CD=300米,所以100MD CD CM =-=米, 在Rt △BDN 中,∠BDF=60°,BN=200米 ∴115.6tan 60BNDN =≈o米, ∴215.6MN MD DN AB =+=≈米 即A ,B 两点之间的距离约为215.6米.【点睛】本题主要考查三角函数,正确做辅助线是解题的关键.8.如图,在正方形ABCD 中,E 是边AB 上的一动点,点F 在边BC 的延长线上,且CF AE =,连接DE ,DF ,EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .(1)求证:DE DF ⊥; (2)求证:DH DF =:(3)过点H 作HM EF ⊥于点M ,用等式表示线段AB ,HM 与EF 之间的数量关系,并证明.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)22EF AB HM =-,证明详见解析. 【解析】 【分析】(1)根据正方形性质, CF AE =得到DE DF ⊥.(2)由AED CFD △△≌,得DE DF =.由90ABC ∠=︒,BD 平分ABC ∠, 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠,所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.(3)过点H 作HN BC ⊥于点N ,由正方形ABCD 性质,得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥,,得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒,,所以22sin 45HNBH HN HM ===︒.由22cos 45DFEF DF DH ===︒,得22EF AB HM =-.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD CD =,90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒. ∴90EAD FCD ∠=∠=︒. ∵CF AE =。
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,△ABC 内接于⊙O ,2,BC AB AC ==,点D 为AC 上的动点,且10cos B =. (1)求AB 的长度;(2)在点D 运动的过程中,弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ,问AD•AE 的值是否变化?若不变,请求出AD•AE 的值;若变化,请说明理由.(3)在点D 的运动过程中,过A 点作AH ⊥BD ,求证:BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB ;(2) 10AD AE ⋅=;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长;(2)连接DG ,则可得AG 为⊙O 的直径,继而可证明△DAG ∽△FAE ,根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ,连接BG ,求得AF=3,FG=13,继而即可求得AD•AE 的值; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,通过证明△ADC ≌△ADN ,可得AC=AN ,继而可得AB=AN ,再根据AH ⊥BN ,即可证得BH=HD+CD. 【详解】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,∵AB=AC ,AF ⊥BC ,∴BF=CF=12BC=1, 在RtΔAFB 中,BF=1,∴AB=10cos 10BF B == (2)连接DG ,∵AF ⊥BC ,BF=CF ,∴AG 为⊙O 的直径,∴∠ADG=∠AFE=90°, 又∵∠DAG=∠FAE ,∴△DAG ∽△FAE , ∴AD :AF=AG :AE , ∴AD•AE=AF•AG ,连接BG ,则∠ABG=90°,∵BF ⊥AG ,∴BF 2=AF•FG , ∵22AB BF -=3,∴FG=13,∴AD•AE=AF•AG=AF•(AF+FG )=3×103=10; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ,∠ADC+∠ABC=180°,∠ADN+∠ADB=180°, ∴∠ADC=∠ADN , ∵AD=AD ,CD=ND , ∴△ADC ≌△ADN , ∴AC=AN ,∵AB=AC ,∴AB=AN , ∵AH ⊥BN , ∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.2.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.(1)求之间的距离(2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】(1)120米;(223. 【解析】 【分析】(1)解直角三角形即可得到结论;(2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==,'30CE AA ==3Rt △ABC 中,求得DC=333,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m ,∴AB=sin 30AC︒=6012=120(m )(2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30CE AA ==3,在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°,∴DC=33AC=203∴DE=503∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE =503=235答:从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是235.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.3.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO '后,电脑转到AO 'B '位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm ,O 'C ⊥OA 于点C ,O 'C=12cm . (1)求∠CAO '的度数.(2)显示屏的顶部B '比原来升高了多少?(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O 'B '与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O 'B '应绕点O '按顺时针方向旋转多少度?【答案】(1)∠CAO′=30°;(2)(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.【解析】试题分析:(1)通过解直角三角形即可得到结果;(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12,由C、O′、B′三点共线可得结果;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.试题解析:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,∴sin∠CAO′=,∴∠CAO′=30°;(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,∵sin∠BOD=,∴BD=OBsin∠BOD,∵∠AOB=120°,∴∠BOD=60°,∴BD=OBsin∠BOD=24×=12,∵O′C⊥OA,∠CAO′=30°,∴∠AO′C=60°,∵∠AO′B′=120°,∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12,∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,理由:∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°,∴∠EO′F=120°,∴∠FO′A=∠CAO′=30°,∵∠AO′B′=120°,∴∠EO′B′=∠FO′A=30°,∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.考点:解直角三角形的应用;旋转的性质.4.已知:△ABC内接于⊙O,D是弧BC上一点,OD⊥BC,垂足为H.(1)如图1,当圆心O在AB边上时,求证:AC=2OH;(2)如图2,当圆心O在△ABC外部时,连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证:∠ACD=∠APB;(3)在(2)的条件下,如图3,连接BD,E为⊙O上一点,连接DE交BC于点Q、交AB 于点N,连接OE,BF为⊙O的弦,BF⊥OE于点R交DE于点G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=,BN=,tan∠ABC=,求BF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)24.【解析】试题分析:(1)易证OH为△ABC的中位线,可得AC=2OH;(2)∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,又∵∠PAC =∠BCD,可证∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,连接OB,易证∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ.在Rt△BNQ中,根据tan∠ABC=,可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI 的长度,设QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的长度,利用垂径定理可求得ED的长度,最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度,最后由垂径定理可求得BF的长度.试题解析:(1)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴BH=HC,∵点O是AB的中点,∴AC=2OH;(2)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴弧BD=弧CD,∴∠PAC=∠BCD,∵∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,∴∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB 与OD相交于点M,连接OB,∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,∵∠ABD+∠BDN=∠AND,∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,∵∠ACD+∠ABD=180°,∴2∠AND=180°,∴∠AND=90°,∵tan∠ABC=,∴,∴,∴,∵∠BNQ=∠QHD=90°,∴∠ABC=∠QDH,∵OE=OD,∴∠OED=∠QDH,∵∠ERG=90°,∴∠OED=∠GBN,∴∠GBN=∠ABC,∵AB⊥ED,∴BG=BQ=,GN=NQ=,∵∠ACI=90°,tan∠AIC=tan∠ABC=,∴,∴IC=,∴由勾股定理可求得:AI=25,设QH=x,∵tan∠ABC=tan∠ODE=,∴,∴HD=2x,∴OH=OD﹣HD=,BH=BQ+QH=,∵OB2=BH2+OH2,∴,解得:,当QH=时,∴QD=,∴ND=,∴MN=,MD=15,∵,∴QH=不符合题意,舍去,当QH=时,∴QD=∴ND=NQ+QD=,ED=,∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=,∵tan∠OED=,∴,∴EG=RG,∴RG=,∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24.考点:1圆;2相似三角形;3三角函数;4直角三角形.5.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ,且ABO ∆的面积为8. (1)求k 的值;(2)如图,点P 是第一象限直线AB 上的一个动点,连接PO ,将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ,设点P 的横坐标为t ,点C 的横坐标为m ,求m 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围);(3)在(2)的条件下,过点B 作直线BM OP ⊥,交x 轴于点M ,垂足为点N ,点K 在线段MB 的延长线上,连接PK ,且0PK KB P +=,2PMB KPB ∠=∠,连接MC ,求四边形BOCM 的面积.【答案】(1)1k =;(2)4m t =+;(3)32BOCMS =.【解析】 【分析】(1)先求出A 的坐标,然后利用待定系数法求出k 的值;(2) 过点P 作PD x ⊥轴,垂足为D ,过点C 作CE x ⊥轴,垂足为E ,证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =,进一步得出m 与t 的函数关系式;(3)过点O 作直线OT AB ⊥,交直线BM 于点Q ,垂足为点T ,连接QP ,先证出QTB PTO ∆≅∆;再证出KPB BPN ∠=∠;设KPB x ∠=︒,通过计算证出PO PM =;再过点P 作PD x ⊥轴,垂足为点D ,根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=,列式可求得t=4;所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形,最后可得其面积为32. 【详解】解:(1)把0x =代入4y kx =+,4y =, ∴4BO =,又∵4ABO S ∆=,∴142AO BO ⋅=,4AO =, ∴(4,0)A -,把4x =-,0y =代入4y kx =+, 得044k =-+, 解得1k =. 故答案为1;(2)解:把x t =代入4y x =+,4y t =+, ∴(,4)P t t +如图,过点P 作PD x ⊥轴,垂足为D ,过点C 作CE x ⊥轴,垂足为E ,∴90PDO CEO ∠=∠=︒, ∴90POD OPD ∠+∠=︒,∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC , ∴90POC ∠=︒,OP OC =, ∴90POD EOC ∠+∠=︒, ∴OPD EOC ∠=∠, ∴POD OCE ∆≅∆, ∴OE PD =,4m t =+.故答案为4m t =+.(3)解:如图,过点O 作直线OT AB ⊥,交直线BM 于点Q ,垂足为点T ,连接QP ,由(1)知,4AO BO ==,90BOA ∠=︒, ∴ABO ∆为等腰直角三角形,∴45ABO BAO ∠=∠=︒,9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠, ∴BT TO =, ∵90BTO ∠=︒, ∴90TPO TOP ∠+∠=︒, ∵PO BM ⊥, ∴90BNO ∠=︒, ∴BQT TPO ∠=∠, ∴QTB PTO ∆≅∆, ∴QT TP =,PO BQ =, ∴PQT QPT ∠=∠, ∵PO PK KB =+,∴QB PK KB =+,QK KP =, ∴KQP KPQ ∠=∠,∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠,TQB TPK ∠=∠, ∴KPB BPN ∠=∠, 设KPB x ∠=︒, ∴BPN x ∠=︒, ∵2PMB KPB ∠=∠, ∴2PMB x ∠=︒,45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒,9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒, ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠, ∴PO PM =,过点P 作PD x ⊥轴,垂足为点D , ∴22OM OD t ==,9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠, tan tan OPD BMO ∠=∠,OD BO PD MO =,442t t t =+, 14t =,22t =-(舍)∴8OM =,由(2)知,48m t OM =+==, ∴CM y 轴, ∵90PNM POC ∠=∠=︒, ∴BM OC ,∴四边形BOCM 是平行四边形,∴4832BOCMSBO OM =⨯=⨯=.故答案为32. 【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.6.如图所示的是一个地球仪及它的平面图,在平面图中,点A 、B 分别为地球仪的南、北极点,直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ,所夹的角度约为67°,半径OC 所在的直线与放置它的平面垂直,垂足为点E ,DE =15cm ,AD =14cm .(1)求半径OA 的长(结果精确到0.1cm ,参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36)(2)求扇形BOC 的面积(π取3.14,结果精确到1cm )【答案】(1)半径OA 的长约为24.5cm ;(2)扇形BOC 的面积约为2822cm . 【解析】 【分析】(1)在Rt △ODE 中,DE=15,∠ODE=67°,根据∠ODE 的余弦值,即可求得OD 长,减去AD 即为OA .(2)用扇形面积公式即可求得. 【详解】(1)在Rt △ODE 中,15cm DE =,67ODE ∠=︒. ∵cos DEODE DO∠=, ∴150.39OD ≈, ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈..,答:半径OA 的长约为24.5cm .(2)∵67ODE ∠=︒,∴157BOC ∠=︒, ∴2360BOC n r S π=扇形 2157 3.1424.52360⨯⨯≈ ()2822cm ≈.答:扇形BOC 的面积约为2822cm .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用,本题把实际问题转化成数学问题,利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键.7.已知AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于H ,过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ,切点为G ,连接AG 交CD 于K .(1)如图1,求证:KE =GE ;(2)如图2,连接CABG ,若∠FGB =12∠ACH ,求证:CA ∥FE ; (3)如图3,在(2)的条件下,连接CG 交AB 于点N ,若sin E =35,AK =10,求CN 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)△EAD 是等腰三角形.证明见解析;(3201013【解析】试题分析: (1)连接OG ,则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°,由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ,从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ,这样即可得到KE=GE ;(2)设∠FGB=α,由AB 是直径可得∠AGB=90°,从而可得∠KGE=90°-α,结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α,这样在△GKE 中可得∠E=2α,由∠FGB=12∠ACH 可得∠ACH=2α,这样可得∠E=∠ACH ,由此即可得到CA ∥EF ;(3)如下图2,作NP ⊥AC 于P ,由(2)可知∠ACH=∠E ,由此可得sinE=sin ∠ACH=35AH AC =,设AH=3a ,可得AC=5a ,CH=4a ,则tan ∠CAH=43CH AH =,由(2)中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ,从而可得CK=AC=5a ,由此可得HK=a ,tan ∠AKH=3AH HK=,AK=10a ,结合AK=10可得a=1,则AC=5;在四边形BGKH 中,由∠BHK=∠BKG=90°,可得∠ABG+∠HKG=180°,结合∠AKH+∠GKG=180°,∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ,在Rt △APN 中,由tan ∠CAH=43PN AP =,可设PN=12b ,AP=9b ,由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ,由此可得AC=AP+CP=13b =5,则可得b=513,由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长.试题解析:(1)如图1,连接OG .∵EF 切⊙O 于G ,∴OG ⊥EF ,∴∠AGO+∠AGE=90°,∵CD ⊥AB 于H ,∴∠AHD=90°,∴∠OAG=∠AKH=90°,∵OA=OG ,∴∠AGO=∠OAG ,∴∠AGE=∠AKH ,∵∠EKG=∠AKH ,∴∠EKG=∠AGE ,∴KE=GE .(2)设∠FGB=α,∵AB 是直径,∴∠AGB=90°,∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α,∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α,∵∠FGB=12∠ACH ,∴∠ACH=2α,∴∠ACH=∠E ,∴CA ∥FE .(3)作NP ⊥AC 于P .∵∠ACH=∠E ,∴sin ∠E=sin ∠ACH=35AH AC =,设AH=3a ,AC=5a ,则4a =,tan ∠CAH=43CH AH =, ∵CA ∥FE ,∴∠CAK=∠AGE ,∵∠AGE=∠AKH ,∴∠CAK=∠AKH ,∴AC=CK=5a ,HK=CK ﹣CH=4a ,tan ∠AKH=AHHK =3,=, ∵∴=∴a=1.AC=5,∵∠BHD=∠AGB=90°,∴∠BHD+∠AGB=180°,在四边形BGKH 中,∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°,∴∠ABG+∠HKG=180°,∵∠AKH+∠HKG=180°,∴∠AKH=∠ABG ,∵∠ACN=∠ABG ,∴∠AKH=∠ACN ,∴tan ∠AKH=tan ∠ACN=3,∵NP ⊥AC 于P ,∴∠APN=∠CPN=90°,在Rt △APN 中,tan ∠CAH=43PN AP =,设PN=12b ,则AP=9b , 在Rt △CPN 中,tan ∠ACN=PN CP =3, ∴CP=4b ,∴AC=AP+CP=13b ,∵AC=5,∴13b=5,∴b=513,∴CN=22PN CP+=410b⋅=2010 13.8.如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方,求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值).【答案】拦截点D处到公路的距离是(500+500)米.【解析】试题分析:过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.解Rt△BCE,求出BE=BC=×1000=500米;解Rt△CDF,求出CF=CD=500米,则DA=BE+CF=(500+500)米.试题解析:如图,过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.在Rt△BCE中,∵∠E=90°,∠CBE=60°,∴∠BCE=30°,∴BE=BC=×1000=500米;在Rt△CDF中,∵∠F=90°,∠DCF=45°,CD=BC=1000米,∴CF=CD=500米,∴DA=BE+CF=(500+500)米,故拦截点D处到公路的距离是(500+500)米.考点:解直角三角形的应用-方向角问题.9.如图,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°,沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°.已知BC=90米,且B、C、D在同一条直线上,山坡坡度i=5:12.(1)求此人所在位置点P的铅直高度.(结果精确到0.1米)(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计,参考数据:tan53°≈43,tan63.4°≈2)【答案】(1)此人所在P的铅直高度约为14.3米;(2)从P到点B的路程约为127.1米【解析】分析:(1)过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,设PF=5x,在Rt△ABC中求出AB,用含x 的式子表示出AE,EP,由tan∠APE,求得x即可;(2)在Rt△CPF中,求出CP的长.详解:过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,∵斜坡的坡度i=5:12,设PF=5x,CF=12x,∵四边形BFPE为矩形,∴BF=PEPF=BE.在RT△ABC中,BC=90,tan∠ACB=AB BC,∴AB=tan63.4°×BC≈2×90=180,∴AE=AB-BE=AB-PF=180-5x,EP=BC+CF≈90+120x.在RT△AEP中,tan∠APE=1805490123 AE xEP x-≈=+,∴x=207,∴PF=5x=10014.37≈.答:此人所在P的铅直高度约为14.3米.由(1)得CP=13x,∴CP=13×207≈37.1,BC+CP=90+37.1=127.1.答:从P到点B的路程约为127.1米.点睛:本题考查了解直角三角形的应用,关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形,找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题,构造直角三角形,用勾股定理或三角函数求相应的线段长.10.如图,某次中俄“海上联合”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,3≈1.7)【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析:过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD,利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解.试题解析:过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,根据题意得:∠ACD=30°,∠BCD=68°,设AD=x,则BD=BA+AD=1000+x,在Rt△ACD中,CD=tan AD ACD=tan30x= 3x在Rt△BCD中,BD=CD•tan68°,∴325+x=3x•tan68°解得:x≈100米,∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米.点睛:本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是作出辅助线,从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解.视频。