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小题专练15一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:集合,★)设集合A={x|x=y 2},则R A=( ). A .{x|x<0} B .{x|x ≤0} C .{x|x>0} D .{x|x ≥0}2.(考点:复数,★)设i 为虚数单位,复数z 满足z i =(1-2i)2,则z 的共轭复数z −在复平面内对应的点位于( ). A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.(考点:命题的否定,★)命题“∀x<y ,sin x>cos y ”的否定是( ). A .∀x ≥y ,sin x>cos y B .∃x<y ,sin x ≤cos y C .∀x<y ,sin x ≤cos y D .∃x ≥y ,sin x>cos y4.(考点:等差数列,★)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 5=5,a 4=3,则a 6=( ). A .5 B .7 C .9 D .115.(考点:独立性检验,★★)通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表,由K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )得K 2=50×(20×15-10×5)230×20×25×25≈8.333,参照附表,得到的正确结论是( ).爱好 不爱好 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050附:P (K 2≥k ) 0.010 0.005 0.001 k6.6357.87910.828A .有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”B .有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”C .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别有关”D .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别无关”6.(考点:双曲线,★★)经过点(2√2,4),(3√3,-2√23)的双曲线的标准方程为().A.x24-y216=1 B.x2-y24=1C.x22-y23=1 D.x2-y26=17.(考点:函数图象的判断,★★)函数f(x)=xe x-e-x的图象大致是().8.(考点:三角恒等变换,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,tan(α+β)=-2,则tan(α-β)的值为().A.9 11B.211C.-911D.-211二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:等比数列,★★)设数列{a n}是一个各项均为正数的等比数列,已知a1=1,a n2-9a n-12=0,则下列说法正确的是().A.数列{a n}的公比为8B.数列{a n}的通项公式a n=3n-1C.数列{log3a n}是等差数列D.数列{a n}的前n项和S n=-1+3n210.(考点:点、线、面的位置关系,★★★)设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法正确的是().A.若n⊥β,n⊂α,则α⊥βB.若α∩β=m,n⊂γ,n∥β,m⊂γ,则m∥nC.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n⊂γ,则m⊥nD.若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,则m∥n11.(考点:椭圆,★★★)已知椭圆M:x2a2+y25=1(a>0)的长轴长为2√6,曲线N:5x2+10x+5y2+4=0,若点A在椭圆M上,点B 在曲线N 上,则下列说法正确的是( ). A .椭圆M 的焦点坐标为(-1,0)和(1,0) B .椭圆M 的离心率为√56C .曲线N 在椭圆M 的内部D .|AB|的最小值为√6-1-√5512.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)已知函数f (x )=ln x-12ax 2-2x (a ≠0),则下列说法正确的是( ). A .若函数f (x )在[1,4]上单调递减,则a 的取值范围为[-716,0) B .若函数f (x )在[1,4]上单调递增,则a 的取值范围为(-∞,-1]C .若函数f (x )在[1,4]上存在单调递减区间,则a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞)D .若函数f (x )在[1,4]上不单调,则a 的取值范围为(-1,-716) 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(考点:二项式定理,★)(x √x)5的展开式中x 2的系数为 . 14.(考点:平面向量,★★)已知三个单位向量e 1,e 2,e 3满足e 1⊥e 2,e 1·e 2+e 32≤(e 1+e 2)·e 3,则|e 1+e 2-e 3|的最大值为 .15.(考点:函数零点与方程的根,★★)已知方程3x =k-2x 的解在[1,2)内,则实数k 的取值范围为 . 16.(考点:实际应用型,★★★)已知某海滨浴场海浪的高度y (单位:m)是关于时间t (0≤t ≤24,单位:h)的函数,记作y=f (t ).经长期观测,y=f (t )的曲线可近似地看成是函数f (t )=1.1-√3cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24)的图象,则f (8)的值为 ;这一天的4 h 到12 h 海滨浴场海浪高度的最大差值为 m .答案解析：1.(考点:集合,★)设集合A={x|x=y 2},则R A=( ).A .{x|x<0}B .{x|x ≤0}C .{x|x>0}D .{x|x ≥0}【解析】因为A={x|x=y 2}={x|x ≥0},所以R A={x|x<0}.故选A . 【答案】A2.(考点:复数,★)设i 为虚数单位,复数z 满足z i =(1-2i)2,则z 的共轭复数z −在复平面内对应的点位于( ). A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 【解析】因为z=(1-2i )2i=-3-4i i=(-3-4i )(-i )i×(-i )=-4+3i,所以z =-4-3i 在复平面内对应的点为(-4,-3),位于第三象限,故选C .【答案】C3.(考点:命题的否定,★)命题“∀x<y ,sin x>cos y ”的否定是( ). A .∀x ≥y ,sin x>cos y B .∃x<y ,sin x ≤cos y C .∀x<y ,sin x ≤cos y D .∃x ≥y ,sin x>cos y【解析】命题“∀x<y ,sin x>cos y ”的否定是“∃x<y ,sin x ≤cos y ”.故选B . 【答案】B4.(考点:等差数列,★)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 5=5,a 4=3,则a 6=( ). A .5 B .7 C .9 D .11【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得{S 5=5a 1+d2×5×4=5,a 4=a 1+3d =3,解得{a 1=-3,d =2,则a 6=-3+(6-1)×2=7.故选B .【答案】B5.(考点:独立性检验,★★)通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表,由K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )得K 2=50×(20×15-10×5)230×20×25×25≈8.333,参照附表,得到的正确结论是( ).爱好 不爱好 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计3020 50附:P (K 2≥k ) 0.010 0.005 0.001 k6.6357.87910.828A .有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”B .有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”C .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别有关”D .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别无关”【解析】因为8.333>7.879,所以由表可知有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”,或在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别有关”,故选A . 【答案】A6.(考点:双曲线,★★)经过点(2√2,4),(3√3,-2√23)的双曲线的标准方程为( ). A .x 24-y 216=1 B .x 2-y 24=1 C .x 22-y 23=1 D .x 2-y 26=1【解析】设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1(mn<0), 因为所求双曲线经过点(2√2,4),(3√3,-2√23),所以{8m +16n =1,27m +92n =1,解得{m =14,n =-116,故所求双曲线的标准方程为x 24-y 216=1. 【答案】A7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f (x )=x e x -e -x的图象大致是( ).【解析】因为f (-x )=-xe -x -e =f (x ),且x ≠0,所以f (x )为偶函数,故排除B 、D 选项,当x=1时,f (1)=1e -e -1>0,故排除C 选项,故选A . 【答案】A8.(考点:三角恒等变换,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,tan(α+β)=-2,则tan(α-β)的值为( ). A .911 B .211 C .-911 D .-211【解析】因为α,β为锐角,cos α=35,所以tan α=43,所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=-247. 又tan(α+β)=-2,所以tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan (α+β)1+tan2αtan (α+β)=-211.【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:等比数列,★★)设数列{a n }是一个各项均为正数的等比数列,已知a 1=1,a n 2-9a n -12=0,则下列说法正确的是( ). A .数列{a n }的公比为8 B .数列{a n }的通项公式a n =3n-1 C .数列{log 3a n }是等差数列 D .数列{a n }的前n 项和S n =-1+3n 2【解析】由a n 2-9a n -12=0,得(a n +3a n-1)(a n -3a n-1)=0,又数列{a n }各项均为正数,且a 1=1,∴a n +3a n-1>0,∴a n -3a n-1=0,即a n a n -1=3,∴数列{a n }是首项a 1=1,公比q=3的等比数列,故a n =3n-1,∴数列{log 3a n }是等差数列,数列{a n }的前n项和S n =-1+3n 2.综上,BCD 正确.【答案】BCD10.(考点:点、线、面的位置关系,★★★)设α,β,γ为三个不同的平面,m ,n 是两条不同的直线,则下列说法正确的是( ). A .若n ⊥β,n ⊂α,则α⊥βB .若α∩β=m ,n ⊂γ,n ∥β,m ⊂γ,则m ∥nC .若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m ,n ⊂γ,则m ⊥nD .若m ⊥α,α⊥β,α∩β=n ,则m ∥n【解析】对于A 项,由两平面垂直的判定定理知,A 正确;对于B 项,当n ∥β,m ⊂γ时,n 和m 在同一平面内,且没有公共点,所以m ∥n ,B 正确;对于C 项,可以推出m ⊥γ,n ⊂γ,所以m ⊥n ,C 正确;对于D 项,能推出m ⊥n ,推不出m ∥n ,D 错误.故选ABC .【答案】ABC11.(考点:椭圆,★★★)已知椭圆M :x 2a 2+y 25=1(a>0)的长轴长为2√6,曲线N :5x 2+10x+5y 2+4=0,若点A 在椭圆M 上,点B 在曲线N 上,则下列说法正确的是( ). A .椭圆M 的焦点坐标为(-1,0)和(1,0) B .椭圆M 的离心率为√56C .曲线N 在椭圆M 的内部D .|AB|的最小值为√6-1-√55【解析】因为椭圆M :x 2a 2+y 2=1的长轴长为2√6,所以a=√6,由c 2=a 2-b 2=1,可知椭圆M 的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),故A 正确;椭圆M 的离心率为√66,故B 错误;5x 2+10x+5y 2+4=0可化简为(x+1)2+y 2=15,由椭圆的性质可得椭圆上距离左焦点最近的点为左顶点,所以椭圆上的点到曲线N 的圆心的最小距离为a-c=√6-1,大于圆的半径√55,所以曲线N 在椭圆M 的内部,故C 正确;由题意可得|AB|的最小值为√6-1-√55,故D 正确. 【答案】ACD12.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)已知函数f (x )=ln x-12ax 2-2x (a ≠0),则下列说法正确的是( ). A .若函数f (x )在[1,4]上单调递减,则a 的取值范围为[-716,0) B .若函数f (x )在[1,4]上单调递增,则a 的取值范围为(-∞,-1]C .若函数f (x )在[1,4]上存在单调递减区间,则a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞)D .若函数f (x )在[1,4]上不单调,则a 的取值范围为(-1,-716)【解析】因为函数f (x )在[1,4]上单调递减,所以当x ∈[1,4]时,f'(x )=1x-ax-2≤0恒成立,即a ≥1x 2-2x恒成立.令G (x )=1x 2-2x,所以a ≥G (x )max ,而G (x )=(1x-1)2-1,因为x ∈[1,4],所以1x∈[14,1],所以G (x )max =-716(此时x=4),所以a ≥-716,又因为a ≠0,所以a 的取值范围是[-716,0)∪(0,+∞),故A 错误.因为函数f (x )在[1,4]上单调递增,所以当x ∈[1,4]时,f'(x )≥0恒成立,即a ≤1x2-2x恒成立,又因为当x ∈[1,4]时,(1x 2-2x)min=-1(此时x=1),所以a ≤-1,即a 的取值范围是(-∞,-1],故B 正确.因为函数f (x )在[1,4]上存在单调递减区间,所以f'(x )<0在[1,4]上有解,所以当x ∈[1,4]时,a>1x 2-2x 有解,而当x ∈[1,4]时,(1x 2-2x )min=-1(此时x=1),所以a>-1,又因为a ≠0,所以a 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞),故C 正确.因为函数f (x )在[1,4]上不单调,所以f'(x )=0在(1,4)上有解,即a=1x 2-2x =(1x -1)2-1在(1,4)上有解,令m (x )=1x 2-2x ,x ∈(1,4),则-1<m (x )<-716,所以a 的取值范围是(-1,-716),故D 正确. 【答案】BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(考点:二项式定理,★)(x √x)5的展开式中x 2的系数为 . 【解析】(x +√x )5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r x 5-r ·(√x )r=C 5r x 5-32r.由5-32r=2,解得r=2,故展开式中x 2的系数为C 52=10.【答案】1014.(考点:平面向量,★★)已知三个单位向量e 1,e 2,e 3满足e 1⊥e 2,e 1·e 2+e 32≤(e 1+e 2)·e 3,则|e 1+e 2-e 3|的最大值为 .【解析】|e 1+e 2-e 3|=√(e 1+e 2-e 3)2=√e 12+e 22+e 32+2e 1·e 2-2e 1·e 3-2e 2·e 3,因为e 1⊥e 2,且e 1,e 2,e 3为单位向量,所以上式=√3-2e 3·(e 1+e 2).又由e 1·e 2+e 32≤(e 1+e 2)·e 3,得(e 1+e 2)·e 3≥e 32=1,所以|e 1+e 2-e 3|=√3-2e 3·(e 1+e 2)≤1,故|e 1+e 2-e 3|的最大值为1. 【答案】115.(考点:函数零点与方程的根,★★)已知方程3x =k-2x 的解在[1,2)内,则实数k 的取值范围为 . 【解析】令函数f (x )=3x +2x-k , 则f (x )在R 上是增函数.当方程3x =k-2x 的解在(1,2)内时,f (1)·f (2)<0,即(5-k )(13-k )<0,解得5<k<13. 当f (1)=0时,k=5.综上,实数k 的取值范围为[5,13). 【答案】[5,13)16.(考点:实际应用型,★★★)已知某海滨浴场海浪的高度y (单位:m)是关于时间t (0≤t ≤24,单位:h)的函数,记作y=f (t ).经长期观测,y=f (t )的曲线可近似地看成是函数f (t )=1.1-√3cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24)的图象,则f (8)的值为 ;这一天的4 h 到12 h 海滨浴场海浪高度的最大差值为 m . 【解析】f (8)=1.1-√3cos (π12×8)-sin (π12×8) =1.1-√3cos 2π3-sin 2π3 =1.1-√3×(-12)-√32=1.1.f (t )=1.1-2(√32cos π12t +12sin π12t)=1.1-2sin (π12t +π3), 因为4≤t ≤12,所以2π3≤π12t+π3≤4π3,-√32≤sin (π12t +π3)≤√32,1.1-√3≤f (t )≤1.1+√3,所以这一天的4 h 到12 h 海滨浴场海浪高度的最大差值为2√3 m . 【答案】1.1 2√3。
综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设全集为R ,集合A={x ∈R |x 2<4},B={x|-1<x ≤4},则A ∩(∁R B )=( ) B .(-2,-1) C .(-2,-1] D .(-2,2){x ∈R |x 2<4}={x|-2<x<2}. x|-1<x ≤4},∴∁R B={x|x>4或x ≤-1}, 则A ∩(∁R B )={x|-2<x ≤-1}.2.已知i 为虚数单位,复数z 满足(1+√3i)z=(1-i)2,则|z|=( ) A.√2 B.√22 C.1D.12z=21+√3i=√3i (1+3i )(1-3i )=-√32−12i, 所以|z|=√(-√32)2+(-12)2=1.3.若x 1=π4,x 2=3π4是函数f (x )=sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( ) A.2 B.32C.1D.12答案:A解析:由题意,得f (x )=sin ωx 的周期T=2πω=23π4−π4=π,解得ω=2,故选A .4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 1-a 4=0,则S4S 2=( )B .8C .5D .15a 1-a 4=0⇒q 3=8⇒q=2,S4S 2=S 2+q 2S 2S 2=1+q 2=5.故选C .,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是( ) A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B、C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.6.直线ax+by-a=0与圆x2+y2+2x-4=0的位置关系是()A.相离B.相切D.与a,b的取值有关a(x-1)+by=0,过定点P(1,0),而点P在圆(x+1)2+y2=5内.故选C.△ABC是非等腰三角形,设P(cos A,sin A),Q(cos B,sin B),R(cos C,sin C),则△PQR的形状是() A.锐角三角形B.钝角三角形D.不确定,而且都在第一、二象限,由平面几何知识可知,这样的三个点构成.故选B.8.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是()3B.12 cm3C.24 cm3D.72 cm3,底面是底边长为6cm、高为4cm的等腰三角形,三棱锥的高为3cm,∴这个几何体的体积V=13×12×6×4×3=12(cm3).故选B.9.设变量x,y满足约束条件{y≤3x-2,x-2y+1≤0,2x+y≤8,则yx-1的最小值是()B.-1C.2D.-2{y≤3x-2,x-2y+1≤0,2x+y≤8作出可行域如图,联立{-2y+1=0,2x+y=8,解得A(3,2),y x-1的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA=2-03-1=1.10.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A .√5B .√62C .√103D .2l 与双曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则12)(x 1-x 2)a 2−(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,即y 1-y2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2).由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x 1+x 2=8,y 1+y 2=2,y 1-y 2x 1-x 2=1.∴b 2a 2=14,e 2=1+b 2a 2=54. ∴e=√52.故选A .11.已知函数f (x )={sin (πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0,若f (1)+f (a )=2,则a 的所有可能值为( )A .1B .-√22C .1,-√22D .1,√22f (1)=e 1-1=1,∴f (a )=1. 若a ∈(-1,0),则sin(πa 2)=1,∴a=-√22. 若a ∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-√22.12.如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则( )A.BM=EN ,且直线BM ,EN 是相交直线B.BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线C.BM=EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 解析:如图,连接BD ,BE.在△BDE 中,N 为BD 的中点,M 为DE 的中点, ∴BM ,EN 是相交直线, 排除选项C,D .作EO ⊥CD 于点O ,连接ON. 作MF ⊥OD 于点F ,连接BF.∵平面CDE ⊥平面ABCD ,平面CDE ∩平面ABCD=CD ,EO ⊥CD ,EO ⊂平面CDE , ∴EO ⊥平面ABCD. 同理,MF ⊥平面ABCD.∴△MFB 与△EON 均为直角三角形.设正方形ABCD 的边长为2,易知EO=√3,ON=1,MF=√32,BF=√22+94=52,则EN=√3+1=2,BM=√34+254=√7,∴BM ≠EN.故选B .第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)y=3(x 2+x )e x 在点(0,0)处的切线方程为 .3xy'=3(2x+1)e x +3(x 2+x )e x =3(x 2+3x+1)e x , x=0=3.∴曲线y=3(x 2+x )e x 在点(0,0)处的切线方程为y=3x.14.已知a ,b ∈R ,且a-3b+6=0,则2a +18b 的最小值为 .a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a ,b ∈R ,∴2a >0,18>0.∴2a +18b ≥2√2a -3b =2√2-6=14,当且仅当2a =18b ,即a=-3,b=1时取等号.15.若函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,则函数f (x )在区间[-π,0]上的单调递增区间为 .答案:[-3,0]A=2,T=43[5-(-1)]=8, 所以ω=8,即ω=π4.又函数f (x )的图象经过点(5,-2), 所以2sin (π4×5+φ)=-2, 即sin (5π4+φ)=-1.因为0<φ<π2,所以5π4+φ=3π2,得φ=π4. 所以函数f (x )=2sin (π4x +π4).由-π2+2k π≤π4x+π4≤π2+2k π(k ∈Z ), 得-3+8k ≤x ≤1+8k (k ∈Z ),令k=0,得函数f (x )在区间[-π,0]上的单调递增区间为[-3,0].16.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =(a+1)n 2+a ,某三角形三边之比为a 2∶a 3∶a 4,则该三角形的面,∴a=0,S n =n 2, 234.设三角形最大角为θ,由余弦定理,得cos θ=-12, ∴θ=120°.∴该三角形的面积S=12×3×5×sin120°=15√34.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;c n =a n b n ,n ∈N *,求数列{c n }的前n 项和.设数列{a n }的公比为q ,数列{b n }的公差为d ,由题意q>0.由已知,有{2q 2-3d =2,q 4-3d =10,消去d ,整理得q 4-2q 2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,n ∈N *;数列{b n }的通项公式为b n =2n-1,n ∈N *. (2)由(1)有c n =(2n-1)·2n-1,设{c n }的前n 项和为S n ,则S n =1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1, 2S n =1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n ,上述两式相减,得-S n =1+22+23+…+2n -(2n-1)×2n =2n+1-3-(2n-1)×2n =-(2n-3)×2n -3,所以,S n =(2n-3)·2n +3,n ∈N *.18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 是棱AB 的中点.(1)证明:BC 1∥平面A 1CD ;BB 1的中点,求三棱锥C-AA 1E 的体积与三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积之比.,连接AC 1交A 1C 于点O ,连接OD.∴O 是AC 1的中点,又D 是AB 的中点,∴OD ∥BC 1.⊂平面A 1CD ,BC 1⊄平面A 1CD ,∴BC 1∥平面A 1CD.ABC-A 1B 1C 1的高为h ,则三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ·h. 又V=V C 1-ABB 1A 1+V C -ABC 1,V C -ABC 1=V C 1-ABC =13S △ABC ·h=V 3,∴V C 1-ABB 1A 1=2V 3.∵CC 1∥BB 1,CC 1⊄平面ABB 1A 1,BB 1⊂平面ABB 1A 1, ∴CC 1∥平面ABB 1A 1.∴V C -ABB 1A 1=V C 1-ABB 1A 1=2V3. ∵S △A 1AE =12S 平行四边形AA 1B 1B , ∴V C -AA 1E =12V C -ABB 1A 1=12×2V 3=V3.∴三棱锥C-AA 1E 的体积与三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积之比为13.19.(12分)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x ,已知甲、乙两组的平均成绩相同.(1)求x 的值,并判断哪组学生成绩更稳定;,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.(1)x 甲=14×(9+9+11+11)=10,x 乙=14×(8+9+10+x+12)=10,解得x=1.又s 甲2=14[(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-10)2]=1; s 乙2=14[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=52,∴s 甲2<s 乙2,∴甲组成绩比乙组成绩更稳定.(2)记甲组4名同学为A 1,A 2,A 3,A 4;乙组4名同学为B 1,B 2,B 3,B 4;分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为:(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,B 4), (A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,B 4), (A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,B 3),(A 3,B 4),(A 4,B 1),(A 4,B 2),(A 4,B 3),(A 4,B 4),共16个基本事件, 其中得分之和低于20分的共有6个基本事件,∴得分之和低于20分的概率是P=616=38.20.(12分)已知点F 为抛物线E :y 2=2px (p>0)的焦点,点A (2,m )在抛物线E 上,且|AF|=3.(1)求抛物线E 的方程;(2)已知点G (-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B ,证明:以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线.,得|AF|=2+p2.因为|AF|=3,即2+p2=3,解得p=2, E 的方程为y 2=4x.A (2,m )在抛物线E :y 2=4x 上,2√2,由抛物线的对称性,不妨设A (2,2√2). 由A (2,2√2),F (1,0)可得直线AF 的方程为y=2√2(x-1). 由{y =2√2(x -1),y 2=4x得2x 2-5x+2=0, 解得x=2或x=12,从而B (12,-√2).又G (-1,0), 所以k GA =2√2-02-(-1)=2√23,k GB =-√2-012-(-1)=-2√23, 所以k GA +k GB =0,从而∠AGF=∠BGF ,这表明点F 到直线GA ,GB 的距离相等,GA 相切的圆必与直线GB 相切.F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. (2,m )在抛物线E :y 2=4x 上,所以m=±2√2,由抛物线的对称性,不妨设A (2,2√2). 由A (2,2√2),F (1,0)可得直线AF 的方程为y=2√2(x-1). 由{y =2√2(x -1),y 2=4x得2x 2-5x+2=0, 解得x=2或x=12,从而B (12,-√2).又G (-1,0),故直线GA 的方程为2√2x-3y+2√2=0,从而r=√2+2√2|√8+9=√2√17.又直线GB 的方程为2√2x+3y+2√2=0, 所以点F 到直线GB 的距离d=√2+2√2|√8+9=√2√17=r.这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.21.(12分)已知函数f (x )=2x-ax+b ln x ,曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为3x+y-8=0. (1)求a ,b 的值,并求函数f (x )的单调递增区间;(2)设g (x )=f (x )-3x ,试问过点(2,2)可作多少条直线与曲线y=g (x )相切?请说明理由.f (x )的定义域是(0,+∞),f'(x )=2+ax 2+bx .,f (1)=5,f'(1)=-3, ∴a=-3,b=-2.∴f'(x )=2-3x 2−2x =2x 2-2x -3x 2,令f'(x )>0,又x>0,∴x>1+√72.∴函数f (x )的单调递增区间为(1+√72,+∞).(2)g (x )=f (x )-3x =2x-2ln x ,g'(x )=2-2x.设过点(2,2)与曲线g (x )相切的切线的切点坐标为(x 0,y 0), 则y 0-2=g'(x 0)(x 0-2), 即2x 0-2ln x 0-2=(2-2x 0)(x 0-2),∴ln x 0+2x 0=2.令h (x )=ln x+2x -2,则h'(x )=1x −2x 2, 当h'(x )=0时,x=2.∴h (x )在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.∵h (12)=2-ln2>0,h (2)=ln2-1<0,h (e 2)=2e 2>0, ∴h (x )的图象与x 轴有两个交点,∴过点(2,2)可作2条曲线y=g (x )的切线.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,动点A 的坐标为(2-3sin α,3cos α-2),其中α∈R .以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的方程为ρcos (θ-π4)=a. (1)判断动点A 的轨迹表示什么曲线;l 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点,求实数a 的值.设动点A 的直角坐标为(x ,y ), 则{x =2-3sinα,y =3cosα-2.∴动点A 的轨迹方程为(x-2)2+(y+2)2=9, 其轨迹是以(2,-2)为圆心,半径为3的圆.(2)直线l 的极坐标方程ρcos (θ-π4)=a 化为直角坐标方程是x+y=√2a. 由√2a √2=3,得a=3或a=-3.23.(10分)选修4—5:不等式选讲设函数f (x )=|x+2|+|x-2|,x ∈R .不等式f (x )≤6的解集为M. (1)求M ;,b ∈M 时,证明:3|a+b|≤|ab+9|.|x+2|+|x-2|≤6,而|x+2|+|x-2|表示数轴上的x 对应点到-2,2对应点的距离之和,-3和3-2,2对应点的距离之和正好等于6,故不等式的解集为M=[-3,3].3|a+b|≤|ab+9|,只要证9(a+b )2≤(ab+9)2,)2-(ab+9)2=9(a 2+b 2+2ab )-(a 2b 2+18ab+81)=9a 2+9b 2-a 2b 2-81=(a 2-9)·(9-b 2)≤0, 而由a ,b ∈M ,可得-3≤a ≤3,-3≤b ≤3, ∴(a 2-9)≤0,(9-b 2)≥0, ∴(a 2-9)(9-b 2)≤0成立,故要证的不等式3|a+b|≤|ab +9|成立.。
高考小题标准练(六)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |y ＝1－x }，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．[0，＋∞) C ．(0,1) D ．[0,1]解析：由A ＝(－∞，1]，B ＝[0，＋∞)，则A ∩B ＝[0,1]．故选D. 答案：D2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：由于f (1)＝ln2－21<0，f (2)＝ln3－1>0，由根的存在定理得函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是(1,2)．故选B.答案：B3．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是( )A ．1 cm 3B ．2 cm 3C ．3 cm 3D ．6 cm 3解析：由正视图、俯视图可知该三棱锥底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为13×12×1×2×3＝1(cm 3)．故选A.答案：A4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )．记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：根据题意，(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x 的左边都是偶函数，求导后都是奇函数．现在f (x )是偶函数，根据上面的推导，所以其导函数g (x )是奇函数，故g (－x )＝－g (x )，故选D.答案：D5．已知点P (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，kx －y ＋1≥0的一个动点，z ＝|x ＋y |，若对满足条件的任意点P 都有z ≤3，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．(－∞，1]C ．[0,3]D ．(－∞，1]∪[3，＋∞)解析：令u ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋u .由题意可知u ≥0.当－1≤k <2时(如图1)，将y ＝2x 与y ＝kx ＋1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－k ，22－k 代入y ＝－x ＋u 得z max ＝u max ＝12－k ＋22－k ＝32－k≤3，即k ≤1，所以－1≤k ≤1； 当k <－1时(如图2)，z max ＝u max ＝1，满足题意；当k ≥2时(如图3)，区域为不封闭区域，不存在最大值．故k 的取值范围是k ≤1.故选B.答案：B6．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，得|AB →|2－|AC →|2＝0，所以|AB →|＝|AC →|.故△ABC 为等腰三角形．故选A. 答案：A7．若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是奇函数，且在区间⎝⎛⎭⎫0，π4上是增函数，则实数φ可能是( ) A ．－π2 B ．0C.π2D ．π 解析：由函数为奇函数得2cos(－2x ＋φ)＝－2cos(2x ＋φ)，化简得cos2x cos φ＝0恒成立，故cos φ＝0，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z .当k 为偶数时，y ＝－2sin2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数；当k 为奇数时，y ＝sin2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数，故选A. 答案：A8．从分别写有1,2,3,4的四张卡片中随机取出两张，则取出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是( )A.13B.12C.16D.34解析：四张卡片中随机取出两张卡片上的数字之积有6个基本事件：1×2,1×3,1×4,2×3,2×4,3×4，只有1×3满足，故数字之积是奇数的概率是16.故选C.答案：C9．数列{a n }的前n 项和为S n .若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n，…有如下运算和结论： ①a 23＝38 ②S 11＝316③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列④数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和为T n ＝n 2＋n4⑤若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝57.其中正确的运算结果或结论的个数是( ) A ．5 B ．3 C ．2 D ．1解析：由题意可得a 23＝28，①错误；S 11＝12＋13＋…＋16＝316，②正确；可求出③中数列的通项公式为n2，③错误；由此可求出该数列前n 项和为T n ＝n 2＋n 4，④正确；可验证⑤也正确．故选B.答案：B 10．已知直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线交于P ，Q 两点，由点P ，Q 分别向准线引垂线PR ，QS ，垂足分别为R ，S .若|PF |＝a ，|QF |＝b ，M 为RS 的中点，则|MF |＝( )A ．a ＋b B.12(a ＋b )C ．ab D.ab解析：易证∠RFS ＝90°，故|MF |＝12|RS |＝12(a ＋b )2－(a －b )2＝ab .故选D.答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为椭圆上一点，则当P A 1→·PF 2→取得最小值时，|P A →1＋PF 2→|的值为__________．解析：设点P (x ，y )，则P A 1→＝(－2－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，从而P A 1→·PF 2→＝(1－x )(－2－x )＋y 2＝x 2＋x －2＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14(x ＋2)2，故当x ＝－2时，P A 1→·PF 2→取得最小值，此时P A 1→＝(0,0)，PF 2→＝(3,0)，从而|P A 1→＋PF 2→|＝3.答案：312．已知正数a ，b 分别为回归直线方程y ^＝bx ＋a 的常数项和一次项系数，其中x 与y 之间有如下对应数据：则1a ＋1b的最小值是__________． 解析：x ＝4，y ＝92，回归直线y ^＝bx ＋a 通过样本的中心点⎝⎛⎭⎫4，92，所以4b ＋a ＝92.所以1a ＋1b ＝29(a ＋4b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥29⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·1b 2＝2. 答案：213．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，则3x ＋2y －5x －1的取值范围是__________．解析：作出可行域，如图所示，知点(x ，y )在△ABC 的内部及其边界，3x ＋2y －5x －1＝3(x －1)＋2(y －1)x －1＝3＋2·y －1x －1.由图可知，点(0，－1)与(1,1)连线的斜率最大且最大值为2，点(－1,0)与(1,1)连线的斜率最小且最小值为12，所以12≤y －1x －1≤2，即4≤3＋2·y －1x －1≤7.答案：[4,7]14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈(－∞，1)，log 81x ，x ∈(1，＋∞)，则满足方程f (x )＝14的x 的值是__________．解析：令2－x ＝14，得x ＝2∉(－∞，1)，舍去；令log 81x ＝14，所以x ＝8114＝3∈(1，＋∞)，所以x ＝3.答案：315．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于__________．解析：EF ∥平面AB 1C ，平面EFCA ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC .又因为点E 为AD的中点，所以EF 是△DAC 的中位线．又由正方体容易知面对角线AC ＝22，所以EF ＝12AC＝ 2.答案： 2。
小题专练20一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:复数,★)设复数z满足|z+1|=|z-2i|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则().A.x+2y-3=0B.2x+4y-3=0C.2x-4y+3=0D.x-2y+3=02.(考点:随机抽样,★)中国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡应派遣人数为().A.104B.108C.112D.1203.(考点:等差数列,★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,满足a4=5,S n+S n-2=2S n-1+2(n≥3),则().A.a n=nB.a n=2n-3C.a1=-2D.S n=n(n-1)24.(考点:基本初等函数,★)设a=log0.25,b=0.23,c=(14)-0.2,则a,b,c的大小关系为().A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a5.(考点:直线和圆的综合,★★)圆C:x2+y2-2x-4y+3=0被直线l:ax+y-1-a=0截得的弦长的最小值为().A.1B.2C.√2D.√36.(考点:二项式定理,★★)若(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a3a4的值为().A.1B.2C.-23D.127.(考点:函数图象的判断,★★)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2]时,f(x)={-x2+2x,x∈[0,1),2-x,x∈[1,2],则函数y=f(x)在[2,4]上的大致图象是().8.(考点:函数的零点,★★★)已知函数f (x )={13f (x -2),x >2,1-|x -1|,x ≤2,则函数g (x )=9[f (x )]2+17f (x )-2的零点个数为( ).A .4B .5C .6D .7二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:样本的数学特征,★)如图所示的是某人根据2019年1月至2019年11月期她每月步行的里程(单位:十公里)的数据绘制的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是( ). A .月步行里程逐月增加B .月步行里程的最大值出现在10月C .月步行里程的中位数为7月份对应的里程数D .1月至5月的月步行里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳10.(考点:立体几何的综合运用,★★)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD ,AB=BC=2,CD=4,∠APB=∠CBA=90°,PA=PB ,平面PAB ⊥平面ABCD ,M 为棱PD 上一点,则下列说法正确的是( ). A .PA ⊥平面PB C B .V P-ABCD =43C .AD ⊥平面AMCD .若PB//平面MAC ,则PM MD =1211.(考点:函数的综合运用,★★★)已知定义域为R 的奇函数f (x ),满足f (x )={22x -3,x >2,x 2-2x +2,0<x ≤2,则下列说法正确的是( ).A .存在实数k ,使函数y=f (x )的图象与直线y=kx 有7个不同的交点B .当-1<x 1<x 2<1时,恒有f (x 1)>f (x 2)C .若当x ∈(0,a ]时,f (x )的最小值为1,则a ∈[1,52]D .若关于x 的方程f (x )=32和f (x )=m 的所有实数根之和为零,则m=-3212.(考点:抛物线,★★★)已知抛物线x 2=2py (p>0)的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,以线段AB为直径的圆交x 轴于M ,N 两点,设线段AB 的中点为Q.若抛物线C 上存在一点E (t ,2)到焦点F 的距离等于3,则下列说法正确的是( ). A .抛物线的方程是x 2=2yB .抛物线的准线方程是y=-1C .sin ∠QMN 的最小值是12D .线段AB 的最小值是6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(考点:三角恒等变换,★)已知θ∈(0,π2),cos θ=2√55,则tanθcos2θ= .14.(考点:双曲线,★★)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 29-y 227=1的左、右焦点,点M (2,0),点A ∈C ,点I ∈AM ,且I 是△F 1AF 2的内心,则|AI ||IM |= .15.(考点:新定义题型,★★★)如果存在函数g (x )=ax+b (a ,b 为常数),使得对函数f (x )定义域内的任意x 都有f (x )≤g (x )成立,那么称g (x )为函数f (x )的一个“线性覆盖函数”.给出如下四个结论: ①函数f (x )=2x 存在“线性覆盖函数”;②对于给定的函数f (x ),其“线性覆盖函数”可能不存在,也可能有无数个; ③g (x )=12x+12为函数f (x )=√x 的一个“线性覆盖函数”;④若g (x )=2x+b 为函数f (x )=-x 2的一个“线性覆盖函数”,则b>1.16.(考点:与球有关的计算,★★★)如图,在四棱锥C-ABDE 中,四边形ABDE 为矩形,EA=CA=CB=2,AC ⊥CB ,F ,G 分别为AB ,AE 的中点,平面ABDE ⊥平面ABC ,则四面体CFDG 的体积为 ;若四面体CFDG 的各个顶点均在球O 的球面上,则球O 的体积为 .答案解析：1.(考点:复数,★)设复数z 满足|z +1|=|z-2i |,且z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则( ).A.x+2y-3=0B.2x+4y-3=0C.2x-4y+3=0D.x-2y+3=0【解析】由题意知z=x+y i(x,y∈R),代入|z+1|=|z-2i|得√(x+1)2+y2=√x2+(y-2)2,化简得2x+4y-3=0.【答案】B2.(考点:随机抽样,★)中国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡应派遣人数为().A.104B.108C.112D.120×300=108,故选B.【解析】由题意,得北乡应派遣人数为81008100+7488+6912【答案】B3.(考点:等差数列,★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,满足a4=5,S n+S n-2=2S n-1+2(n≥3),则().A.a n=nB.a n=2n-3C.a1=-2D.S n=n(n-1)2【解析】由已知得S3+S1=2S2+2,即2a1+a2+a3=2a1+2a2+2,所以a3=a2+2,则公差d=a3-a2=2,所以a n=a4+(n-4)×2=2n-3,即a1=-1,=n(n-2).所以S n=n(-1+2n-3)2综上可知,B正确.【答案】B)-0.2,则a,b,c的大小关系为().4.(考点:基本初等函数,★)设a=log0.25,b=0.23,c=(14A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a【解析】因为函数y=log0.2x单调递减,所以a=log0.25<log0.21=0;因为函数y=0.2x单调递减,所以0<b=0.23<0.20=1;)-0.2=20.4>20=1.所以a<0<b<1<c.因为函数y=2x单调递增,所以c=(14【答案】A5.(考点:直线和圆的综合,★★)圆C:x2+y2-2x-4y+3=0被直线l:ax+y-1-a=0截得的弦长的最小值为().A.1B.2C.√2D.√3【解析】直线l:ax+y-1-a=0可化为l:a(x-1)+(y-1)=0,故直线l恒过点P(1,1).圆C:x2+y2-2x-4y+3=0的圆心为C(1,2),半径为√2,当直线l 垂直于直线PC 时,截得的弦长最短,此时弦长d=2√2-1=2. 【答案】B6.(考点:二项式定理,★★)若(1-2x )6=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6,则a3a 4的值为( ).A .1B .2C .-23D .12【解析】该二项展开式的通项公式为T r+1=C 6r (-2x )r ,∴T 3+1=C 63(-2x )3=-160x 3,T 4+1=C 64(-2x )4=240x 4,∴a 3=-160,a 4=240,∴a 3a 4=-23.故选C .【答案】C7.(考点:函数图象的判断,★★)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x+2)=2f (x ),当x ∈[0,2]时,f (x )={-x 2+2x ,x ∈[0,1),2-x ,x ∈[1,2],则函数y=f (x )在[2,4]上的大致图象是( ).【解析】因为f (x+2)=2f (x ),所以f (x )=2f (x-2), 若x ∈[2,4],则x-2∈[0,2],因为当x ∈[0,2]时,f (x )={-x 2+2x ,x ∈[0,1),2-x ,x ∈[1,2],所以当x ∈[2,4]时,f (x )={-2(x -2)2+4(x -2),x ∈[2,3),4-2(x -2),x ∈[3,4],化简可得f (x )={-2(x -3)2+2,x ∈[2,3),8-2x ,x ∈[3,4].画出函数图象(图略)可知B 正确. 【答案】B8.(考点:函数的零点,★★★)已知函数f (x )={13f (x -2),x >2,1-|x -1|,x ≤2,则函数g (x )=9[f (x )]2+17f (x )-2的零点个数为( ).A .4B .5C .6D .7【解析】当2<x ≤4时,0<x-2≤2, 此时f (x )=13f (x-2)=13(1-|x-2-1|)=13-13|x-3|, 当4<x ≤6时,2<x-2≤4,此时f (x )=13f (x-2)=13(13-13|x -2-3|)=19-19|x-5|, 则f (1)=1,f (3)=13f (1)=13,f (5)=13f (3)=19.由g (x )=9[f (x )]2+17f (x )-2=0,得f (x )=19或f (x )=-2.当f (x )=19时,g (x )有5个零点,当f (x )=-2时,g (x )有一个零点,故g (x )共有6个零点.【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:样本的数学特征,★)如图所示的是某人根据2019年1月至2019年11月期她每月步行的里程(单位:十公里)的数据绘制的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是( ).A .月步行里程逐月增加B .月步行里程的最大值出现在10月C .月步行里程的中位数为7月份对应的里程数D .1月至5月的月步行里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳【解析】由折线图可知,月步行里程逐月不是递增的,故A 错误;月步行里程的最大值出现在10月,故B 正确;由图可知月步行里程的中位数为6月份对应的里程数,故C 错误;1月至5月的月步行里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳,故D 正确,故选BD . 【答案】BD10.(考点:立体几何的综合运用,★★)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD ,AB=BC=2,CD=4,∠APB=∠CBA=90°,PA=PB ,平面PAB ⊥平面ABCD ,M 为棱PD 上一点,则下列说法正确的是( ).A .PA ⊥平面PBC B .V P-ABCD =43C .AD ⊥平面AMC D .若PB//平面MAC ,则PM MD =12【解析】A 正确,∵平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ∩平面ABCD=AB ,BC ⊥AB ,BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥平面PAB ,又AP ⊂平面PAB ,∴AP ⊥BC ,又AP ⊥BP ,BC ∩BP=B ,∴AP ⊥平面PB C; B 错误,V P-ABCD =13×12×(2+4)×2×1=2;C 错误,由条件只能得出AD ⊥AC ,在平面AMC 中找不出其他线与AD 垂直; D 正确,如图,连接BD 交AC 于点O ,连接OM ,∵PB ∥平面MAC ,PB ⊂平面PBD ,平面PBD ∩平面MAC=OM ,∴PB ∥OM ,∴PM MD =BO OD,又AB ∥CD ,∴BO OD =ABCD ,∴PM MD =12. 【答案】AD11.(考点:函数的综合运用,★★★)已知定义域为R 的奇函数f (x ),满足f (x )={22x -3,x >2,x 2-2x +2,0<x ≤2,则下列说法正确的是( ).A .存在实数k ,使函数y=f (x )的图象与直线y=kx 有7个不同的交点B .当-1<x 1<x 2<1时,恒有f (x 1)>f (x 2)C .若当x ∈(0,a ]时,f (x )的最小值为1,则a ∈[1,52]D .若关于x 的方程f (x )=32和f (x )=m 的所有实数根之和为零,则m=-32 【解析】因为该函数是奇函数,故f (x )在R 上的解析式为 f (x )={ 22x+3(x <-2),-x 2-2x -2(-2≤x <0),0(x =0),x 2-2x +2(0<x ≤2),22x -3(x >2),绘制该函数的图象如图所示:直线l 1与f (x )的图象有7个交点,故A 正确; 当-1<x 1<x 2<1时,f (x )不是减函数,故B 错误; 直线l 2:y=1与f (x )的图象交于点(1,1),(52,0), 故当f (x )的最小值为1时,a ∈[1,52],故C 正确;方程f (x )=32的所有实数根之和为256,若使得其与f (x )=m 的所有零点之和为0,则m=-32或m=-38,故D 错误.故选AC . 【答案】AC12.(考点:抛物线,★★★)已知抛物线x 2=2py (p>0)的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,以线段AB为直径的圆交x 轴于M ,N 两点,设线段AB 的中点为Q.若抛物线C 上存在一点E (t ,2)到焦点F 的距离等于3,则下列说法正确的是( ). A .抛物线的方程是x 2=2y B .抛物线的准线方程是y=-1 C .sin ∠QMN 的最小值是12 D .线段AB 的最小值是6【解析】由题意得,抛物线的准线方程为y=-p2,点E (t ,2)到焦点F 的距离等于3,∴2+p2=3,解得p=2,∴抛物线C的方程为x 2=4y ,准线方程为y=-1,∴A 错误,B 正确;由题知直线l 的斜率存在,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 的方程为y=kx+1,由{y =kx +1,x 2=4y ,消去y 得x 2-4kx-4=0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2, ∴AB 的中点Q 的坐标为(2k ,2k 2+1),|AB|=y 1+y 2+p=4k 2+4≥4,D 错误;圆Q 的半径r=2k 2+2, 在等腰△QMN 中,sin ∠QMN=|y Q |r=2k 2+12k 2+2=1-12k 2+2≥1-12=12,当且仅当k=0时取等号,∴sin ∠QMN 的最小值为12,∴C 正确. 【答案】BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:三角恒等变换,★)已知θ∈(0,π2),cos θ=2√55,则tanθcos2θ= .【解析】θ∈(0,π2),cos θ=2√55,所以sin θ=2θ=√55,tan θ=sinθcosθ=12.因为cos 2θ=2cos 2θ-1=35,tan θ=12,所以tanθcos2θ=56.【答案】5614.(考点:双曲线,★★)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 29-y 227=1的左、右焦点,点M (2,0),点A ∈C ,点I ∈AM ,且I 是△F 1AF 2的内心,则|AI ||IM |= .【解析】不妨设点A 在双曲线的右支上,由已知得AM 为∠F 1AF 2的平分线,∴ |AF 1||AF 2|=|F 1M ||MF 2|=84=2,又∵|AF 1|-|AF 2|=2a=6,解得|AF 1|=12,∵I 是△F 1AF 2的内心,∴|AI ||IM |=|AF 1||MF 1|=128=32.【答案】3215.(考点:新定义题型,★★★)如果存在函数g (x )=ax+b (a ,b 为常数),使得对函数f (x )定义域内的任意x 都有f (x )≤g (x )成立,那么称g (x )为函数f (x )的一个“线性覆盖函数”.给出如下四个结论: ①函数f (x )=2x 存在“线性覆盖函数”;②对于给定的函数f (x ),其“线性覆盖函数”可能不存在,也可能有无数个; ③g (x )=12x+12为函数f (x )=√x 的一个“线性覆盖函数”;④若g (x )=2x+b 为函数f (x )=-x 2的一个“线性覆盖函数”,则b>1. 其中所有正确结论的序号是 .【解析】①错误,由函数f (x )=2x 的图象可知,不存在“线性覆盖函数”.②正确,如f (x )=sin x ,则g (x )=B (B>1)就是“线性覆盖函数”,且有无数个,再如①中的函数f (x )=2x 就没有“线性覆盖函数”.③正确,设函数h (x )=√x -12x-12, 则h'(x )=2√x -12=√x2√x. 当0<x<1 时,h'(x )>0,h (x )在(0,1)上单调递增.当x>1 时,h'(x )<0,h (x )在(1,+∞)上单调递减.∴h (x )≤h (1)=0,即f (x )≤g (x ), 故g (x )=12x+12为函数f (x )=√x 的一个“线性覆盖函数”.④错误,设函数F (x )=-x 2-2x-b ,则F (x )=-(x+1)2+1-b ,当b=1时,g (x )=2x+b 为函数f (x )=-x 2的一个“线性覆盖函数”.【答案】②③ 16.(考点:与球有关的计算,★★★)如图,在四棱锥C-ABDE 中,四边形ABDE 为矩形,EA=CA=CB=2,AC ⊥CB ,F ,G 分别为AB ,AE 的中点,平面ABDE ⊥平面ABC ,则四面体CFDG 的体积为 ;若四面体CFDG 的各个顶点均在球O 的球面上,则球O 的体积为 .【解析】因为F 为AB 的中点,CA=CB ,所以CF ⊥AB.因为平面ABDE ⊥平面ABC ,平面ABDE ∩平面ABC=AB ,所以CF ⊥平面ABDE ,则CF ⊥FD ,CF ⊥FG.易知在矩形ABDE 中,AB 2=AC 2+BC 2=8,FG 2=AF 2+AG 2=3,FD 2=FB 2+BD 2=6,DG 2=GE 2+ED 2=9, 所以DG 2=GF 2+FD 2,则GF ⊥FD ,所以四面体CFDG 的体积V 1=13CF ·S △GFD =13CF ·12GF ·FD=13×√2×12×√3×√6=1.因为点F ,C ,D ,G 均在球O 的球面上,所以以F 为顶点,FC ,FD ,FG 为相邻棱的长方体的所有顶点均在球O 的球面上, 则球O 的直径2R=√FC 2+FD 2+FG 2=√11,即R=√112, 则球O 的体积V 2=43πR 3=43π×(√112)3=11√116π. 【答案】111√116π 1.(考点:集合,★)已知集合A={x |x -2x -1≥0},则R A=( ).A .{x|1<x<2}B .{x|1≤x<2}C .{x|x<1或x>2}D .{x|x ≤1或x>2}【解析】由x -2x -1≥0,得{x -2≥0,x -1>0或{x -2≤0,x -1<0,解得x ≥2或x<1,即A={x|x<1或x ≥2},故R A={x|1≤x<2},故选B . 【答案】B2.(考点:复数,★)已知i 为虚数单位,z 1=2-3i -(1-2i),z ·2z1=z 1,则关于复数z 的说法正确的是( ). A .z+z =2B .z 在复平面内对应的点在第三象限C .z 的虚部为-iD .|z|=1【解析】因为z 1=2-3i -(1-2i)=1-i,所以z=(1-i )22=-i,所以|z|=1,故D 正确. 【答案】D3.(考点:直线和圆的综合,★)若直线y=√3x+b 与圆x 2+y 2=1相交于P ,Q 两点,且∠POQ=120°(其中O 为坐标原点),则b 的值为( ).A .1B .√2C .±1D .±√2【解析】∵∠POQ=120°,圆的半径为1,∴|PQ|=√12+12-2×1×1×cos120°=√3,圆心(0,0)到直线y=√3x+b 的距离d=√1+3=|b |2,∴(b 2)2+(√32)2=1,解得b=±1.【答案】C4.(考点:样本分布与数字特征,★)国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如图所示.则下列结论中正确的是( ).A .12个月的PMI 值不低于50%的频率为23B .12个月的PMI 值的平均值低于50%C .12个月的PMI 值的众数为49.5%D .12个月的PMI 值的中位数为50.3%【解析】A 错误,从图中数据变化看,PMI 值不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为412=13;B 正确,由图可以看出,PMI 值的平均值低于50%;C 错误,12个月的PMI 值的众数为49.4%;D 错误,12个月的PMI 值的中位数为49.6%.【答案】B5.(考点:三角函数的图象与性质,★★)已知函数f (x )=sin πx 6·cos πx 6-√3sin 2πx 6+√32,x ∈[-1,a ],a ∈N *,若函数f (x )的图象与直线y=1至少有2个交点,则a 的最小值为( ).A .7B .9C .11D .12【解析】函数f (x )=sin πx 6cos πx 6-√3sin 2πx 6+√32=12sin πx 3+√32cos πx 3=sin (π3x +π3),所以函数f (x )的最小正周期T=6.又函数f (x )的图象与直线y=1至少有2个交点,即函数f (x )在[-1,a ]上至少存在两个最大值,结合图象可得a-(-1)≥T+T 4=7.5,解得a ≥6.5,所以正整数a 的最小值为7.【答案】A6.(考点:概率,★★)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( ).A .12B .13C .16D .112【解析】由题意,现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,基本事件的总数n=C 42C 22A 22×A 22=6,其中乙、丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数m=C 22C 22A 22=2,所以乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p=m n =13,故选B .【答案】B7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f (x )=2|x|·sin (π2+x)-12e |x|在[-32,32]上的图象大致为( ).【解析】由已知得f (x )=2|x|cos x-12e |x|,x ∈-32,32,因为f (-x )=2|-x|cos(-x )-12e |-x|=f (x ),所以函数f (x )为偶函数, 当x ∈[0,1]时,f (x )=2x cos x-12e x ,所以f'(x )=2cos x-2x sin x-12e x ,f'(0)=32>0,f'(1)=2cos 1-2sin 1-12e <0,即f (x )在[0,1]上有极值点,f (x )在x=1处的切线斜率小于0,且f (0)=-12<0,满足上述条件的选项为A .8.(考点:解三角形,★★)已知△ABC的内角A,B,C对应的边长分别是a,b,c,且a=2,b=1,C=2A,则c的值为().A.√3B.√5C.√6D.2√3【解析】如图所示,作∠ACB的角平分线与AB交于点D.则ADBD =ACBC=12,设AD=m,则BD=2m,CD=m,分别利用余弦定理得到cos∠ADC=2m2-12m2,cos∠BDC=5m2-44m2.由∠ADC+∠BDC=π,得2m 2-12m2+5m2-44m2=0,解得m=√63,c=AB=3m=√6.【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:命题的真假,★)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题中的真命题为().A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ab>0,bc-ad>0,则ca -db>0C.若a>b,c>d,则a-d>b-cD.若a>b,c>d>0,则ad >b c【解析】若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故A错误;若ab>0,bc-ad>0,则bc-adab >0,化简得ca-db>0,故B正确;若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C正确;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则ad =-1,bc=-1,ad=bc,故D错误.【答案】BC10.(考点:数列的综合运用,★★)已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=2a n-2,若存在两项a m,a n,使得a m a n=64,则().A.数列{a n}为等差数列B.数列{a n}为等比数列C.a12+a22+…+a n2=4n-13【解析】由题意,当n=1时,S 1=2a 1-2,解得a 1=2,当n ≥2时,S n-1=2a n-1-2,所以a n =S n -S n-1=2a n -2-(2a n-1-2)=2a n -2a n-1,所以a na n -1=2,数列{a n }是首项a 1=2,公比q=2的等比数列,其通项公式a n =2n ,故A 错误,B 正确;数列{a n 2}是首项a 12=4,公比q 1=4的等比数列,所以a 12+a 22+…+a n 2=a 12(1-q 1n )1-q 1=4×(1-4n )1-4=4n+1-43,故C 错误;a m a n =2m 2n =2m+n =64=26,所以m+n=6,为定值,故D 正确.【答案】BD11.(考点:新定义题型,★★★)若存在m ,使得f (x )≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f (x )在D 上有下界,其中m 为函数f (x )的一个下界;若存在M ,使得f (x )≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f (x )在D 上有上界,其中M 为函数f (x )的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.则下列说法正确的是( ).A .1是函数f (x )=x+1x (x>0)的一个下界B .函数f (x )=x ln x 有下界,无上界C .函数f (x )=e x x 2有上界,无下界D .函数f (x )=sinx x 2+1有下界,无上界【解析】A 正确,当x>0时,x+1x ≥2(当且仅当x=1时取等号),∴f (x )>1恒成立,∴1是f (x )的一个下界. B 正确,f'(x )=ln x+1(x>0),∴当x ∈(0,1e )时,f'(x )<0,当x ∈(1e ,+∞)时,f'(x )>0,∴f (x )在(0,1e)上单调递减,在(1e ,+∞)上单调递增,∴f (x )≥f (1e )=-1e ,∴f (x )有下界.又当x →+∞时,f (x )→+∞,∴f (x )无上界.综上所述,f (x )=x ln x 有下界,无上界.C 错误,∵x 2>0,e x >0,∴e x x 2>0,∴f (x )有下界.D 错误,∵sin x ∈[-1,1],∴-1x 2+1≤sinx x 2+1≤1x 2+1.又-1x 2+1≥-1,1x 2+1≤1,∴-1<sinx x 2+1<1,∴f (x )既有上界又有下界.【答案】AB12.(考点:椭圆,★★★)椭圆C :x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点,以下说法正确的是( ).A .过点F 2的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,则△ABF 1的周长为8B .椭圆C 上存在点P ,使得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0C .椭圆C 的离心率为12D .P 为椭圆C 上一点,Q 为圆x 2+y 2=1上一点,则点P ,Q 的最大距离为3【解析】对于A,依题意,由椭圆定义可得|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=4,因此△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB|=|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=4a=8,故A 正确;对于B,设点P (x ,y )为椭圆C :x 24+y 2=1上任意一点,则点P 的坐标满足x 24+y 2=1,且-2≤x ≤2,又F 1(-√3,0),F 2(√3,0),所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-x ,-y ),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3-x ,-y ),因此PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-x )(√3-x )+y 2=x 2+1-x 24-3=3x 24-2,由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x 24-2=0,可得x=±2√63∈[-2,2],故B 正确; 对于C,因为a 2=4,b 2=1,所以c 2=4-1=3,即c=√3,所以离心率e=c a =√32,故C 错误;对于D,点P (x ,y )到圆x 2+y 2=1的圆心的距离为|PO|=√x 2+y 2=√4-4y 2+y 2=√4-3y 2,因为-1≤y ≤1,所以|PQ|max =|PO|max +1=√4-0+1=3.故D 正确.故选ABD .【答案】ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:二项式定理,★★)在二项式(ax +1x )6的展开式中,常数项是-160,则a 的值为 .【解析】展开式的通项公式为T r+1=C 6r (ax )6-r ·(1x )r =C 6r a 6-r x 6-2r ,令6-2r=0,得r=3,故C 63·a 3=-160,解得a=-2. 【答案】-214.(考点:平面向量,★★)若非零向量a ,b 满足|a|=1,a ·(2a-b )=2,则向量a 与b 的夹角为 .【解析】因为a ·(2a-b )=2|a|2-a ·b=2,|a|=1,所以a ·b=0,故两向量的夹角为90°.【答案】90°15.(考点:立体几何的综合,★★)如图,在矩形ABCD 中,AB=12BC=√2,E 为BC 的中点,将△DCE 沿直线DE 翻折成△DC 1E ,连接C 1A ,则当三棱锥C 1-ADE 的体积最大时,∠ADC 1= .【解析】当平面C 1DE ⊥平面ABCD 时,三棱锥C 1-ADE 的体积最大.如图,取DE 的中点F ,AD 的中点G ,连接C 1F ,FG ,C 1G.∵C 1D=C 1E ,∴C 1F ⊥DE ,又平面C 1DE ∩平面ABCD=DE ,∴C 1F ⊥平面ABCD ,又FG ⊂平面ABCD ,∴C 1F ⊥FG.在Rt △C 1FG 中,C 1G=√12+12=√2,在△C 1DG 中,C 1D=DG=C 1G=√2,∴△C 1DG 为正三角形,故∠ADC 1=π3.【答案】π3 16.(考点:函数性质的综合,★★★)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=-f (x ),且当x ∈[-1,1]时,f (x )=x ,现给出下列四个结论:①f (2020)=0;②函数f (x )的最小正周期为2;③当x ∈[-2020,2020]时,方程f (x )=12有2018个根;④方程f (x )=log 5|x|有5个根.其中正确结论的序号是 .【解析】∵f (x+2)=-f (x ),∴f (x+4)=-f (x+2)=f (x ),∴函数f (x )的最小正周期为4,故②错误,∴f (2020)=f (4×505)=f (0). ∵当x ∈[-1,1]时,f (x )=x ,∴f (0)=0,即f (2020)=0,故①正确.∵函数f (x )在实数集R 上为奇函数,∴-f (x )=f (-x ),∴f (x+2)=f (-x ),即函数f (x )的图象关于直线x=1对称.画出函数f (x )的图象如图所示.由图象可得,当x ∈[-2,2]时,方程f (x )=12有2个根,故当x ∈[-2020,2020]时,方程f (x )=12有2×505×2=2020个根,故③错误.画出y=log 5|x|的图象如图所示,该图象与函数f (x )的图象有5个交点,故④正确.【答案】①④。
高考小题标准练(六)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x|3+2x-x2>0},集合B={x|2x<2},则A∩B等于( )A.(1,3)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-3,1)【解析】选C.因为A=(-1,3),B=(-∞,1),所以A∩B=(-1,1).2.若复数z=+a在复平面上对应的点在第二象限,则实数a可以是( )A.-4B.-3C.1D.2【解析】选A.若z=+a=(3+a)-ai在复平面上对应的点在第二象限,则a<-3.3.已知平面向量a,b的夹角为,且a·(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于( )A. B.2 C.3 D.4【解析】选D.因为a·(a-b)=8,所以a·a-a·b=8,即|a|2-|a||b|·cos<a,b>=8,所以4+2|b|×=8,解得|b|=4.4.已知x,y取值如表:从所得的散点图分析可知:y与x线性相关,且=0.95x+,则等于( )A.1.30B.1.45C.1.65D.1.80【解析】选B.根据题意=4,=5.25,样本点中心(4,5.25)代入回归直线方程,可知=1.45.5.已知sin cos+cos sin=,则cosx等于( )A. B.- C. D.±【解析】选B.sin cos+cos sin=sin=-cosx=,即cosx=-.6.设f=且f=4,则f等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为f=4,即a2=4,a=±2,又因为a是底数,所以a=-2舍去,所以a=2,所以f=log28=3,故选C.7.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是( )A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=8【解析】选A.直线x-y+1=0与x轴的交点为即(-1,0).根据题意,圆心为(-1,0).因为圆C与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d==,则圆的方程为(x+1)2+y2=2.8.如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为( )A.4B.4C.4D.8【解析】选B.由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,面积最小的面为面VAB,S△VAB=×2×4=4.9.如图是一个程序框图,若输出i的值为5,则实数m的值可以是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.S=2,i=2,2≤2m;S=6,i=3,6≤3m;S=13,i=4,13≤4m;S=23,i=5,23>5m,此时程序结束,则≤m<,故选B.10.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,如果墙足够厚,S n为前n天两只老鼠打洞长度之和,则S5= ( )A.31B.32C.33D.26【解析】选B.大老鼠、小老鼠每天打洞尺数分别构成等比数列,,公比分别为2,,首项都为1,所以S5=+=32.故选B.11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,且直线AF与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称,则双曲线的离心率为( )A. B.3 C.2 D.【解析】选C.易得点A坐标为(a,b),因为直线AF与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称,所以直线AF的斜率为-,即=-⇒=2.12.若函数f=-x2+x+1在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.f′(x)=x2-ax+1,由题设知x2-ax+1≤0在上恒成立,故即a≥.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是________.【解析】假设乙是罪犯,那么甲和丙的供词是真话,乙和丁的供词是假话,符合题意;假设丙是罪犯,那么说真话的就有甲、乙、丁三人;假设丁是罪犯,那么说真话的只有甲;假设甲是罪犯,那么说真话的只有丙.后面三个假设都与题目要求不符合,假设不成立,故罪犯是乙.答案:乙14.已知区域M:定点A(3,1),在M内任取一点P,使得|PA|≥的概率为________.【解析】如图,区域M表示边长为2的正方形,其面积为22=4.满足|PA|<的点P在以点A(3,1)为圆心,为半径的圆内(阴影部分).连接AB,AC,由|AB|=|AC|==,|BC|=2,知AB⊥AC,则S阴影=×2-××=-1.故在M内任取一点P,使得|PA|<的概率为p==-.故所求的概率为1-p=1-+=-.答案:-15.已知等比数列{a n}为递增数列,a1=-2,且3(a n+a n+2)=10a n+1,则公比q=______.世纪金榜导学号46854329 【解析】因为等比数列{a n}为递增数列,且a1=-2<0,所以公比0<q<1,又因为3(a n+a n+2)=10a n+1,两边同除a n可得3(1+q2)=10q,即3q2-10q+3=0,解得q=3或q=,而0<q<1,所以q=.答案:16.设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),则函数y=f(x)的值域是________.【解析】令Q(c,d),由新的运算可得=m⊗+n=+=,即消去x得d=sin, 所以y=f(x)=sin,易知y=f(x)的值域为答案:。
6.数 列1.从数列{a n }中取出局部项，并按原来的顺序组成一个新的数列1n a ，2n a ，3n a …，称为数列{a n }的一个子数列，假设该子数列为等比数列，那么称为数列{a n }的等比子数列.(1)设数列{a n }是一个公差不为0的等差数列，假设a 1＝1，a 3＝6，且a 1，a 3，1n a ，2n a ，3n a ，…，k n a 为数列{a n }的等比子数列，求数列{n k }的通项公式；(2)是否存在一个等差数列{a n }，使得{b n }是数列{a n }的一个等比子数列？其中数列{b n }的公比为q ，同时满足b 1＝a 21，b 2＝a 22，b 3＝a 23(a 1<a 2)，b 1＝(1＋2)(1－q ).假设存在，求出数列{a n }的通项公式；假设不存在，请说明理由.解 (1)因为数列{a n }是等差数列，且a 1＝1，a 3＝6，那么等差数列{a n }的公差d ＝52，所以a n ＝52n －32(n ∈N *)，k n a ＝52n k －32.又a 1，a 3，1n a ，2n a ，3n a ，…，k n a 为数列{a n }的等比子数列，且a 3a 1＝6， 所以k n a ＝6k ＋1，即6k ＋1＝52n k －32， 故n k ＝2×6k ＋1＋35(k ∈N *).(2)设数列{a n }的公差为d ，因为a 1<a 2，所以d >0. 由题意得a 21(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )4， 化简得2a 21＋4a 1d ＋d 2＝0，所以d ＝(－2±2)a 1，而－2±2<0，故a 1<0.假设d ＝(－2－2)a 1，那么q ＝b 2b 1＝a 22a 21＝(2＋1)2，故b 1＝a 21＝(1＋2)(1－q )＝(1＋2)(－2－22)<0，故舍去.假设d ＝(－2＋2)a 1，那么q ＝b 2b 1＝a 22a 21＝(2－1)2，从而b 1＝a 21＝(1＋2)(1－q )＝(22－2)(1＋2)＝2， 所以a 1＝－2，d ＝(－2＋2)a 1＝22－2， 所以a n ＝(22－2)n －32＋2. 又b 1＝2，令(22－2)n －32＋2＝2，故n ＝32＋62不是整数，即b 1不是数列{a n }中的项.故不存在满足条件的等差数列{a n }.2.设等比数列{a n }的首项为a 1＝2，公比为q (q 为正整数)，且满足3a 3是8a 1与a 5的等差中项；数列{b n }满足2n 2－(t ＋b n )n ＋32b n ＝0(t ∈R ，n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)试确定t 的值，使得数列{b n }为等差数列；(3)当{b n }为等差数列时，对每个正整数k ，在a k 与a k ＋1之间插入b k 个2，得到一个新数列{c n }.设T n 是数列{c n }的前n 项和，试求满足T m ＝2c m ＋1的所有正整数m .解 (1)由题意6a 3＝8a 1＋a 5，那么6q 2＝8＋q 4，解得q 2＝4或q 2＝2(舍)，那么q ＝2，又a 1＝2，所以a n ＝2n.(2)当n ＝1时，2－(t ＋b 1)＋32b 1＝0，得b 1＝2t －4，当n ＝2时，2×22－(t ＋b 2)×2＋32b 2＝0，得b 2＝16－4t ，当n ＝3时，2×32－(t ＋b 3)×3＋32b 3＝0，得b 3＝12－2t ，那么由b 1＋b 3＝2b 2，得t ＝3，而当t ＝3时，2n 2－(3＋b n )n ＋32b n ＝0，得b n ＝2n ，由b n ＋1－b n ＝2(常数)知，此时数列{b n }为等差数列，故t ＝3. (3)由(1)(2)知，a n ＝2n，b k ＝2k .由题意知，c 1＝a 1＝2，c 2＝c 3＝2，c 4＝a 2＝4，c 5＝c 6＝c 7＝c 8＝2，c 9＝a 3＝8，…， 那么当m ＝1时，T 1≠2c 2，不合题意， 当m ＝2时，T 2＝2c 3，适合题意.当m ≥3时，假设c m ＋1＝2，那么T m ≠2c m ＋1，一定不适合题意， 从而c m ＋1必是数列{a n }中的某一项a k ＋1，那么T m ＝a 1＋122b +⋅⋅⋅+个＋a 2＋222b +⋅⋅⋅+个＋a 3＋322b +⋅⋅⋅+个＋a 4＋…＋a k ＋22k b +⋅⋅⋅+个，＝(2＋22＋23＋ (2))＋2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ) ＝2×(2k －1)＋2×(2＋2k )k 2＝2k ＋1＋2k 2＋2k －2，2c m ＋1＝2a k ＋1＝2×2k ＋1，所以2k ＋1＋2k 2＋2k －2＝2×2k ＋1，即2k －k 2－k ＋1＝0，所以2k ＋1＝k 2＋k .2k ＋1(k ∈N *)为奇数，而k 2＋k ＝k (k ＋1)为偶数， 所以上式无解.即当m ≥3时，T m ≠2c m ＋1.综上知，满足题意的正整数仅有m ＝2.3.(2021·江苏省邗江中学期中)各项均为正数的数列{}a n 满足a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝na n(2n ＋1)·2n ，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n 成等比数列？假设存在，求出所有的m ，n 的值；假设不存在，请说明理由.(3)令c n ＝(n ＋1)2＋1n (n ＋1)a n ＋2，记数列{c n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，证明：516≤S n <12.(1)解 ∵a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1， ∴(a n ＋1＋a n )(2a n －a n ＋1)＝0，又a n ＞0，∴2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1， ∴数列{a n }是公比为2的等比数列.由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *.(2)解 b n ＝na n (2n ＋1)·2n＝n 2n ＋1，假设b 1，b m ，b n 成等比数列，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3.由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2， ∴－2m 2＋4m ＋1＞0，解得1－62＜m ＜1＋62. 又m ∈N *，且m ＞1， ∴m ＝2，此时n ＝12.故存在正整数m ＝2，n ＝12，使得b 1，b m ，b n 成等比数列. (3)证明 c n ＝(n ＋1)2＋1n (n ＋1)·2n ＋2＝12·n 2＋2n ＋2n (n ＋1)·2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2＋n n (n ＋1)·2n ＋1＋n ＋2n (n ＋1)·2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋1＋1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1，∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋12n ＋1＋12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11·2－12·22＋⎝⎛⎭⎪⎫12·22－13·23＋⎦⎥⎤…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1＝12·122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－1(n ＋1)·2n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1，n ∈N *. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1递减， ∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1·1＋21＋1＝38，∴516≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1＜12，∴516≤S n ＜12. 4.(2021·江苏省扬州树人学校模拟)无穷数列{}a n 的各项都不为零，其前n 项和为S n ，且满足a n ·a n ＋1＝S n (n ∈N *)，数列{}b n 满足b n ＝a na n ＋t，其中t 为正整数.(1)求a 2 018；(2)假设不等式a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1对任意的n ∈N *都成立，求首项a 1的取值范围；(3)假设首项a 1是正整数，那么数列{}b n 中的任意一项为哪一项否总可以表示为数列{}b n 中的其他两项之积？假设是，请给出一种表示方式；假设不是，请说明理由. 解 (1)令n ＝1，那么a 1a 2＝S 1，即a 1a 2＝a 1， 又a 1≠0， 所以a 2＝1.由a n ·a n ＋1＝S n ，得a n ＋1·a n ＋2＝S n ＋1， 两式相减得(a n ＋2－a n )a n ＋1＝a n ＋1， 又a n ＋1≠0， 故a n ＋2－a n ＝1， 所以a 2 018＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2 0182－1×1＝1 009.(2)由(1)知数列{}a 2n 是首项为a 2＝1，公差为1的等差数列，数列{}a 2n －1是首项为a 1，公差为1的等差数列.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －12，n 是奇数，n2，n 是偶数.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12a 1＋n 2－14，n 是奇数，n 2a 1＋n24，n 是偶数.①当n 是奇数时，a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122<⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12a 1＋n 2－14＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋12a 1＋(n ＋1)24， 即a 21－2a 1<n －12对任意正奇数n 恒成立，所以a 21－2a 1<0， 解得0<a 1<2.②当n 是偶数时，a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋n 22<⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2a 1＋n 24 ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋22a 1＋(n ＋1)2－14，即a 21－a 1<n2对任意正偶数n 恒成立，所以a 21－a 1<1， 解得1－52<a 1<1＋52.综合①②得0<a 1<1＋52.(3)由数列{}a 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，数列{}a 2n －1是首项为正整数a 1，公差为1的等差数列知，数列{}a n 的各项都是正整数. 设b n ＝b m b k ，即a na n ＋t ＝a ma m ＋t ·a ka k ＋t，所以a m ＝a n (a k ＋t )a k －a n，取k ＝n ＋2，那么a k －a n ＝1，故a m ＝a n (a n ＋2＋t )，不妨设m 是偶数，那么m2＝a n (a n ＋2＋t )一定是整数，故当n 是偶数时，方程b n ＝b m b k 的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧k ＝n ＋2，m ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋t ＋1，当n 是奇数时，方程b n ＝b m b k 的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧k ＝n ＋2，m ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n ＋12＋t ，所以数列{}b n 中的任意一项总可以表示为数列{}b n 中的其他两项之积. 5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，假设对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？假设存在，求出所有的m ，n ；假设不存在，请说明理由. 解 (1)设数列{a n }的公差为d . 因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，那么T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k.设b k ＝4k2k ，k ∈N *，那么b k ＋1－b k ＝4k ＋12(k ＋1)－4k2k ＝4k(3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以b k ＋1－b k ＞0，所以数列{b k }是递增的，所以(b k )min ＝2，所以λ<2. ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，那么T 2k －1＝T 2k －(－1)2ka 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k .因为k ∈N *，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4. 综上，λ的取值范围为(－4,2).(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列，那么(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)， 所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12， 即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立， 故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列.6.(2021·南京模拟)假设数列{}a n 满足：对于任意n ∈N *，a n ＋||a n ＋1－a n ＋2均为数列{}a n 中的项，那么称数列{}a n 为“T 数列〞.(1)假设数列{}a n 的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{}a n 为“T 数列〞；(2)假设公差为d 的等差数列{}a n 为“T 数列〞，求d 的取值范围；(3)假设数列{}a n 为“T 数列〞，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n <a 2n ＋1－a 2n <a n ＋1，求数列{}a n 的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2， 又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2.所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，因此数列{a n }为“T 数列〞.(2)解 因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1)d ＋|d |. 因为数列{a n }为“T 数列〞，所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n )d ＝|d |. ①假设d ≥0，那么存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n )d ＝|d |， ②假设d ＜0，那么m ＝n －1.此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意. 综上，d ≥0. (3)解 因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1，又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列〞， 所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1， 所以数列{a n }为等差数列. 设数列{a n }的公差为t (t ＞0)， 那么有a n ＝1＋(n －1)t ， 由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ， 整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1，① n (t －2t 2)＞2t －t 2－1.②假设2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋12t 2－t， 那么当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t )N 0＜t 2－3t ＋1， 与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾，因此2t 2－t ≥0. 同样根据②式可得t －2t 2≥0， 所以2t 2－tt ＞0，所以t ＝12.经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12.。
2021届高中数学二轮总复习 小题训练〔十二(sh í èr)〕 理新课标(专用)时量：40分钟 满分是：75分一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求．1.集合P ＝{x||x －2|≤1，x ∈R }，Q ＝{x |x ∈N }，那么P ∩Q 等于( D ) A ．[1,3] B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3}a ，b ∈R ，且ab ≠0，那么“a >b 〞是“1a <1b〞的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件f (x )＝log 3x －1x的零点所在区间为( C )A ．(0，13)B ．(13，1)C ．(1,3)D ．(3,4)解析： 由于f (13)＝log 313－3＝－4<0，f (1)＝log 31－1＝－1<0，f (3)＝log 33－13＝23>0，可得f (x )＝log 3x －1x的零点在(1,3)内，应选C. θ＋cos θ∈(－1,0)，那么θ一定是( D )A ．第二象限角或者第三象限的角B ．第一(dìyī)象限角或者第四象限的角C ．第三象限角或者第四象限的角D ．终边在直线y ＝－x 左下方的角5.数列{a n }满足a 1＝8，a 2＝0，a 3＝－7，且数列{a n ＋1－a n }为等差数列，那么{a n }的最小项为( C )A ．－30B ．－29C ．－28D ．－27解析：数列{a n ＋1－a n }的前两项为a 2－a 1＝－8，a 3－a 2＝－7，所以公差d ＝1，(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )＝－8n ＋n n －12＝n 2－17n2，即a n ＋1－a 1＝n 2－17n2，所以a n ＋1＝n 2－17n ＋162，所以a n ＝n 2－19n ＋342，所以当n ＝9或者10时，a n 的最小项为－28.6.在第三十届奥运会上，中国健儿获得了38金、27银、25铜的好成绩，居世界金牌榜第二，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进展了调查，在参加调查的2548名男性公民中有1560名持反对意见，2452名女性公民中有1200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，最有说服力的方法是( C )A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．HY 性检验D ．概率7.f (x )＝ln(a x－b )(a >0且a ≠1)的定义域为(－∞，1]，值域为[0，＋∞)，那么a －b 的取值范围是( C )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．{1}D ．(0,1]8.A ＝{1,2,3,4,5}，假设(jiǎshè)x ，y ，z ∈A ，那么x ，y ，z 成等差数列的概率为( A )A.13125 B.18125 C.9125 D.8125二、填空题：本大题一一共8小题，考生答题7小题，每一小题5分，一共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题答题，假如全做，那么按前两题记分)9.在极坐标系中，点P (2，－π6)到直线l ：ρsin(θ－π6)＝1的间隔 是3＋1 .解析：由题知，P (3，－1)，l ：x －3y ＋2＝0，所以点P 到直线l 的间隔 为3＋1. 10.用0.618法选取试点过程中，假如试验区间为[2,4]，x 1为第一个试点，且x 1处的结果比x 2好，那么x 3为 3.528 .11.如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝2，BC ＝6，∠CAB ＝120°，那么∠AOB 对应的劣弧长为22π . (二)必做题(12～16题)f (x )，g (x )分别由下表给出，那么f (g (1))＝ 3 .x 1 2 3 f (x ) 2 1 3 g (x )321P (2，t )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0x ＋y －3≤0表示的平面区域(qūyù)内，那么点P (2，t )到直线3x ＋4y ＋10＝0间隔 的最大值为 4 .14.下列图是一个物体的三视图，俯视图中的圆与三角形内切，根据图中尺寸(单位：cm)，可求得a 的值是233 cm ，该物体的体积为 43π27＋3 3 cm 3.解析：该物体为正三棱柱与球的组合体，可知a ＝433，V ＝43π(33)3＋34×22×3＝43π278＋3 3. x *y ＝⎩⎪⎨⎪⎧xx >y y x ≤y.假设|m ＋1|*|m |＝|m ＋1|，那么m 的取值范围是 [－12，＋∞) .16.P 为椭圆x 225＋y 29＝1上的点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，假设PF 1→·PF 2→|PF 1→|·|PF 2→|＝12，那么△F 1PF 2的面积为 3 3 . 解析：因为PF 1→·PF 2→|PF 1→|·|PF 2→|＝12，所以cos ∠F 1PF 2＝12，所以(suǒyǐ)∠F 1PF 2＝60°. 又|PF 1|＋|PF 2|＝10，|F 1F 2|＝8， 由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝12，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝3 3.内容总结。
