有理数压轴题

专题04有理数章节压轴题专项训练【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．P ，则原点是（A ．M 或NB ．N 或P 【答案】B 【分析】利用数轴特点确定a 、b 的关系，然后根据绝对值的性质解答即可得出答案．【详解】因为1MN NP PR ===，所以1MN NP PR ===，(1)直接写出：线段MN的长度是，线段MN的中点表示的数为x．(1)3-和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若x 和2关于3的“美好关联数”为4，求x 的值；(3)若0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，1x 和2x 关于2的“美好关联数”为1，2x 和3x 关于3的“美好关联数”为1，…，40x 和41x 的“美好关联数”为1，…．①01x x +的最小值为______；②12340x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______．【答案】(1)8(2)6x =或0x =；(3)①1；②840【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；（2）利用新定义计算求未知数x ；（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．【详解】（1）解：|32||52|8--+-=，故答案为：8；（2）解：∵x 和2关于3的“美好关联数”为4，∴|3||23|4x -+-=，∴|3|3x -=，解得6x =或0x =；（3）解：①∵0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，∴01|1||1|1x x -+-=，∴在数轴上可以看作数0x 到1的距离与数1x 到1的距离和为1，∴只有当0101x x ==，时，01x x +有最小值1，故答案为：1；②由题意可知：-【答案】x y +的最大值为5,最小值为3-【分析】分4种情况讨论：(1)<2x -,3y <；(2)<2x -,3y ≥；(3)2x ≥-,3y ≥；(4)2x ≥-,3y <.分别求出每种情况x y +的最大值与最小值，最后再综合起来找出x y +的最大值与最小值即可.【详解】(1)当<2x -,3y <时,有243x y --=+-∴3x y +=-；(2)当<2x -,3y ≥时,有243x y --=-+∴9x y =-或=9y x +；∴293x y y +=--≥或295x y x +=+<(3)当2x ≥-,3y ≥时,有243x y +=-+，∴5x y +=；(4)当2x ≥-,3y <时,有243x y +=+-，∴1x y =-或1y x =+∴215x y y +=-<或233x y x +=+-≥综上,可得:x y +的最大值为5,最小值为3-.【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，绝对值中含有未知数时要进行分类讨论，这是解题的关键.18．阅读：如图，已知数轴上有A 、B 、C 三个点，它们表示的数分别是18-，8-，8．A 到C 的距离可以用AC 表示，计算方法：C 表示的数8，A 表示的数18-，8大于18-，用()818--．用式子表示为：()81826AC =--=．根据阅读完成下列问题：(1)填空：AB =______，BC =______．(2)若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC AB -的值是否随着时间t 的变化而改变？请说明理由．(3)现有动点P 、Q 都从A 点出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P 移动6秒时，点Q 才从A 点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P 移动的时间为t 秒()019t ≤≤，写出P 、Q 两点间的距离（用含t 的代数式表示）．【答案】(1)10，16(2)不会改变，见解析(3)t 或12t -+或12t -【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；（2）根据题意求出点A ，B ，C 向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB ，BC 的值，最后再进行计算即可；（3）分三种情况讨论，点Q 在点A 处，点P 在点Q 的右边，点Q 在点P 的右边．【详解】（1）解：()81810AB =---=，()8816BC =--=，（2）解：不变，因为：经过t 秒后，A ，B ，C 三点所对应的数分别是18t --，84t -+，89t +，所以：()8984165BC t t t =+--+=+，()8418105AB t t t =-+---=+，所以：()1651056BC AB t t -=+-+=，所以BC AB -的值不会随着时间t 的变化而改变；（3）解：经过t 秒后，P ，Q 两点所对应的数分别是18t -+，()1826t -+-，当点Q 追上点P 时，()1818260[]t t -+--+-=，解得：12t =，①当06t <≤时，点Q 在还点A 处，所以：PQ t =，②当612t <≤时，点P 在点Q 的右边，所以：()18182612PQ t t t =-+--+-=-+⎡⎤⎣⎦，③当1219t <≤时，点Q 在点P 的右边，所以：()()18261812PQ t t t =-+---+=-，综上所述，P 、Q 两点间的距离为t 或12t -+或12t -．【点睛】本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．。

有理数（压轴必刷30题8种题型专项训练）一．正数和负数（共1小题）1．（2022秋•江都区期中）“十一”国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化记作 上升4.4km4.4km 下降3.2km﹣3.2km 上升1.1km+1.1km 下降1.5km ﹣1.5km（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？【分析】（1）根据表格列出算式，计算即可得到结果；（2）求出表格中数据绝对值之和，再乘以2即可得到结果．【解答】解：（1）4.4﹣3.2+1.1﹣1.5＝0.8（千米），答：这架飞机比起飞点高了0.8千米；（2）|4.4|+|﹣3.2|+|+1.1|+|﹣1.5|＝10.2（千米）10.2×2＝20.4升．答：一共消耗了20.4升燃油．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，弄清题意是解本题的关键．二．有理数（共1小题） 2．（2022秋•浏阳市期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求的值．【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．z①a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则．综上所述，值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求的值； （2）若a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且，求的值．【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a ，b ，c 中负数有2个，正数有1个，判断出abc 的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．【解答】解：（1）∵abc ＜0，∴a ，b ，c 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a ，b ，c 都是负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，则：＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； ②a ，b ，c 有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则＝++＝﹣1+1+1＝1． （2）∵a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且，∴a ，b ，c 中负数有2个，正数有1个，∴abc ＞0，∴＝＝1． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．三．数轴（共11小题）3．（2022秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A ，B 两点对应数分别为﹣4，20．（1）若P 点为线段AB 的中点，求P 点对应的数．（2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动．①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数．②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用中点坐标计算方法直接得出答案即可；（2）①画出图形，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，分别表示出AM和BM的长度，建立方程求得答案即可；②利用（2）中的AM和BM的长度，分两种情况：M在AB之间，A在BM之间，结合3MA＝2MB建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）P点表示的数是＝8；（2）①如图，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，则2t+4＝20﹣6t，z解得t＝2，M表示2×4＝8．A、B重合时，MA＝BM，此时t＝6，此时M表示24．②如图①，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，∵3MA＝2MB，∴3（2t+4）＝2（20﹣6t），∴t＝，∴点M表示×4＝；z 如图②，AM ＝4t ﹣（﹣4+2t ）＝2t+4，BM ＝2t+4t ﹣20＝6t ﹣20，∵3MA ＝2MB ，∴3（2t+4）＝2（6t ﹣20），∴t ＝，∴点M 表示×4＝． 【点评】此题考查数轴，一元一次方程的实际运用，利用图形，得出数量关系是解决问题的关键．4．（2022秋•鲤城区校级期末）如图，数轴上点A 、C 对应的数分别为a 、c ，且a 、c 满足|a +4|+（c ﹣1）2＝0．，点B 对应的数为﹣3，（1）求a 、c 的值；（2）点A ，B 沿数轴同时出发向右匀速运动，点A 速度为2个单位长度/秒，点B 速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t 秒，运动过程中，当A ，B 两点到原点O 的距离相等时，求t 的值；（3）在（2）的条件下，若点B 运动到点C 处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A 运动至点C 处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C 运动，当点B 停止运动时，点A 随之停止运动，在此运动过程中，A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数是 ．（说明：直接在横线上写出答案，答案不唯一，不解、错解均不得分，少解、漏解酌情给分）【分析】（1）根据非负数的性质列式求解即可得到a 、c 的值；（2）求出AB ，再根据到原点距离相等时，分两种情况：①点A 、B 重合，②点A 在原点的右边，点B 在原点的左边，列出方程求解即可；（3）由（2）可知A ，B 两点第一次同时到达的点为﹣2，A ，B 两点第二次同时到达的点，是在A 点到达C 点返回与B 点相遇的点，A ，B 两点第三次同时到达的点，是在A 点返回到出发点后又折返向点C 运动，与B 点运动到点C 处后返回的相遇点．【解答】解：（1）∵|a+4|+（c ﹣1）2＝0，且|a+4|≥0，+（c ﹣1）2≥0，∴a+4＝0，c ﹣1＝0，∴a ＝﹣4，c ＝1；（2）由（1）可知A点表示的数为﹣4，C点表示的数为1，∵点B对应的数为﹣3，∴AB＝1，由A，B两点到原点O的距离相等，分两种情况：①点A、B重合，②点A在原点的右边，点B在原点的左边①当点A、B重合时，A、B均在原点的左边，此时A点运动的距离等于B点运动的距离+1，即：2t＝t+1，解得：t＝1；②当点A在原点的右边，点B在原点的左边时，A、B两点表示的数互为相反数，即：（2t﹣4）+（﹣3+t）＝0，解得：t＝，综上所述当t＝1或t＝时，A，B两点到原点O的距离相等；（3）由（2）可知A，B两点第一次同时到达的点，在数轴上表示的数为：﹣2；A，B两点第二次同时到达的点，A点从﹣2到达C点（C点表示1）时，用时1.5秒，此时B点运动1.5个单位长度，到达﹣2+1.5＝﹣0.5的位置，A、B之间相距1.5个单位长度，经过1.5÷（1+2）＝0.5秒，A、B相遇，此时A、B两点均在原点，即A，B两点第二次同时到达的点在数轴上表示的数为：0；A，B两点第三次同时到达的点，在第二次相遇后，B到C点用时1秒，A点到出发点（表示﹣4的点）用时2秒，此时B点有到达原点，A、B两点再一次相遇用时4÷（2+1）＝秒，此时A、B两点均在数轴上表示的数为﹣．综上所述，在此运动过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数是﹣2，0，﹣．故答案为：﹣2，0，﹣．【点评】此题考查了数轴的有关知识，解题的关键是：借助数轴分析A，B两点同时到达的点．5．（2022秋•新城区期中）一辆货车从仓库0出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为A，B，C，D，E，最后回到仓库0．货车行驶的记录（单位：千米）如下：+1，+3，﹣6，﹣1，﹣2，+5．请问：（1）请以仓库0为原点，向东为正方向，选择适当的单位长度，画出数轴，并标出A，B，C，D，E的位置；（2）试求出该货车共行驶了多少千米？（3）如果货车运送的水果以100千克为标准重量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往A，B，C，D，E五个地点的水果重量可记为：+50，﹣15，+25，﹣10，﹣15，则该货车运送的水果总重量是多少千克？【分析】（1）根据数轴的三要素画出数轴，并根据题意在数轴上表示出A、B、C、D、E的位置；（2）求出行驶记录的数据的绝对值的和即可；（3）根据有理数的加法进行计算即可．【解答】解：（1如图所示：取1个单位长度表示1千米，；（2）1+3+|﹣6|+|﹣1|+|﹣2|+5＝18，答：该货车共行驶了18千米；（3）100×5+50﹣15+25﹣10﹣15＝535（千克），答：货车运送的水果总重量是535千克．z【点评】本题考查了正数和负数和数轴，掌握数轴的画法，掌握正负数所表示的意义是解决问题的关键．6．（2022秋•法库县期中）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0；（1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；当t＝3时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【分析】（1）利用绝对值的非负性即可确定出a，b即可；（2）①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论．②根据（I）0＜t≤2，（Ⅱ）t＞2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵|a+2|+|b﹣4|＝0；∴a＝﹣2，b＝4，∴点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4，故答案为：﹣2，4；（2）①当t＝1时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离＝3，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离＝4﹣2＝2，故答案为：3，2；当t＝3时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球3秒钟向左运动3个单位，此时，甲小球到原点的距离＝5，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球2秒钟向左运动2个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动1秒钟，运动2个单位，∴乙小球到原点的距离＝2．②当0＜t≤2时，得t+2＝4﹣2t，解得t＝；当t＞2时，得t+2＝2t﹣4，解得t＝6．故当t＝秒或t＝6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．故答案为：5，2．【点评】此题主要考查了数轴，点的运动特点，解本题的关键是抓住运动特点确定出结论．7．（2022秋•宜兴市期中）已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且（a﹣1）2+|b+2|＝0．（1）求a，b的值；（2）点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值；（3）小蜗牛甲以1个单位长度/s的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3s后位于点A 的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/s的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？【分析】（1）根据几个非负数的和为0的性质得到a﹣1＝0，b+2＝0，求出a、b的值；（2）分类讨论：点C在点B的左边时或点C在点A的右边，利用数轴上两点间的距离表示方法得到关于c 的方程，解方程求出c的值即可；（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，根据题意得到t+2t＝1﹣（﹣2）﹣（﹣6）+（6﹣1×3），解方程得t＝4，点D表示的有理数是1﹣2×4，小蜗牛甲共用的时间为3+4．【解答】解：（1）根据题意得a﹣1＝0，b+2＝0，解得a＝1，b＝﹣2．（2）①当点C在点B的左边时，1﹣c+（﹣2﹣c）＝11，解得c＝﹣6；②当点C在点A的右边时，c﹣1+c﹣（﹣2）＝11，解得c＝5；（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，根据题意得：t+2t＝1﹣（﹣2）﹣（﹣6）+（6﹣1×3），∴t＝4，∴1﹣2×4＝﹣7，3+4＝7．答：点D表示的有理数是﹣7，小蜗牛甲共用去7秒．【点评】本题考查了数轴的三要素：正方向、原点和单位长度．也考查了几个非负数的和为0的性质以及数轴上两点间的距离．8．（2022秋•天河区校级期中）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．z（1）求a 、b 、c 的值；（2）若点P 到A 点的距离是点P 到B 点的距离的2倍，求点P 对应的数；（3）当点P 运动到B 点时，点Q 从点A 出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A ．在点Q 开始运动后第几秒时，P 、Q 两点之间的距离为4？请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c ﹣10＝0，解可得a 、b 、c 的值；（2）分两种情况讨论可求点P 的对应的数；（3）分类讨论：当P 点在Q 点的右侧，且Q 点还没追上P 点时；当P 在Q 点左侧时，且Q 点追上P 点后；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点左侧时；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c ﹣10）2＝0∴a+24＝0，b+10＝0，c ﹣10＝0解得a ＝﹣24，b ＝﹣10，c ＝10（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，①点P 在AB 之间，AP ＝14×＝， ﹣24+＝﹣，点P 的对应的数是﹣； ②点P 在AB 的延长线上，AP ＝14×2＝28，﹣24+28＝4，点P 的对应的数是4；（3）设在点Q 开始运动后第a 秒时，P 、Q 两点之间的距离为4，当P 点在Q 点的右侧，且Q 点还没追上P 点时，3a+4＝14+a ，解得a ＝5；当P 在Q 点左侧时，且Q 点追上P 点后，3a ﹣4＝14+a ，解得a ＝9；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点左侧时，14+a+4+3a ﹣34＝34，a ＝12.5；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点右侧时，14+a ﹣4+3a ﹣34＝34，解得a ＝14.5，综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．9．（2022秋•临平区月考）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；（2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣20向右运动到相遇地点所对应的数；（3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可．z【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40；（2）A，B之间的距离为120，它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒），即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位），即从数﹣20向右运动48个单位到数28；（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程＝速度×时间．10．（2022秋•南安市月考）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【分析】（1）根据定义发现：奇点表示的数到{ M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而z得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知，分2种情况讨论：①P是{A，B}的奇点；②P是{B，A}的奇点．【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，8÷（3+1）＝2，5﹣2＝3；﹣3+2＝﹣1．故数3所表示的点是{ M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点．故答案为：3；﹣1；（2）∵A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30，∴AB＝30﹣（﹣50）＝80．分2种情况：①P是{A，B}的奇点，PA＝3PB，∴PB＝20，P点表示的数为10；②P是{B，A}的奇点，PB＝3PA，∴PB＝60，P点表示的数为﹣30；故P点运动到数轴上的10或﹣30的位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A 的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．11．（2022秋•魏都区校级月考）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），操作一：（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数 表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少．【分析】（1）1与﹣1重合，可以发现1与﹣1互为相反数，因此﹣3表示的点与3表示的点重合；（2）①﹣1表示的点与3表示的点重合，则折痕点为1，因此5表示的点与数﹣3表示的点重合；z②由①知折痕点为1，且A、B两点之间距离为11，则A表示1﹣5.5＝﹣4.5，B点表示1+5.5＝6.5．【解答】解：（1）∵1与﹣1重合，∴折痕点为原点，∴﹣3表示的点与3表示的点重合．故答案为：3．（2）①∵由表示﹣1的点与表示3的点重合，∴可确定折痕点是表示1的点，∴5表示的点与数﹣3表示的点重合．故答案为：﹣3．②由题意可得，A、B两点距离折痕点的距离为11÷2＝5.5，∵折痕点是表示1的点，∴A、B两点表示的数分别是﹣4.5，6.5．【点评】题目考查了数轴上点的对称，通过点的对称，发现对称点的规律，题目设计新颖，难易程度适中，适合课后训练．12．（2022秋•槐荫区校级月考）如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB 的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）．（1）当x＝ 秒时，点P到达点A．（2）运动过程中点P表示的数是 （用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．【分析】（1）直接得出AB的长，进而利用P点运动速度得出答案；（2）根据题意得出P点运动的距离减去4即可得出答案；（3）利用当点P运动到点C左侧2个单位长度时，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，分别得出答案．【解答】解：（1）∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，∴AB＝10，∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，z∴运动时间为10÷2＝5（秒），故答案为：5；（2）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动过程中点P表示的数是：2x﹣4；故答案为：2x﹣4；（3）点C表示的数为：[6+（﹣4）]÷2＝1，当点P运动到点C左侧2个单位长度时，2x﹣4＝1﹣2解得：x＝1.5，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，2x﹣4＝1+2解得：x＝3.5综上所述，x＝1.5或3.5．【点评】此题主要考查了数轴，正确分类讨论得出PC的长是解题关键．13．（2022秋•和平区校级期中）数轴上点A，C对应的数分别是a，c，且a，c满足：|a+6|+（c﹣1）2＝0，点B对应的数是﹣2．（1）填空：a＝ ，c＝ ；在数轴上描出点A，B，C；（2）若点M在数轴上对应的数为m，且满足|m﹣1|+|m+6|＝15，则m＝ ；（3）若A，B两点同时沿数轴正方向匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，在运动过程中，点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍时，点A对应的数是多少？【分析】（1）根据非负数的性质得出a、c的值，再在数轴上描点即可得；（2）分m＜﹣6、﹣6≤m≤1、m＞1三种情况去绝对值符号，再解所得方程可得；（3）设运动时间为t，则点A表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为﹣2+t，根据点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍列出方程|﹣6+2t﹣1|＝3|﹣2+t﹣1|，解之可得．【解答】解：（1）∵|a+6|+（c﹣1）2＝0，∴a+6＝0且c﹣1＝0，z解得：a＝﹣6、c＝1，如图所示：，故答案为：﹣6、1；（2）若m＜﹣6，则1﹣m﹣m﹣6＝15，解得：m＝﹣10；若﹣6≤m≤1时，1﹣m+m+6＝5≠15，此情况不存在；若m＞1，则m﹣1+m+6＝15，解得：m＝5；综上，m＝﹣10或5，故答案为：﹣10或5；（3）设t秒时，点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，则此时点A表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为﹣2+t，则|﹣6+2t﹣1|＝3|﹣2+t﹣1|，整理，得：|2t﹣7|＝3|t﹣3|，∴2t﹣7＝3（t﹣3）或2t﹣7＝﹣3（t﹣3），解得：t＝2或t＝，∴点A表示的数为﹣2或，答：点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，点A对应的数为﹣2或．【点评】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．四．绝对值（共6小题）14．（2022秋•包河区期末）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是 ．【分析】数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．【解答】解：数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．画数轴易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x 到﹣3，﹣1，1，2这四个点的距离之和．令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3时，y＝11，x＝﹣1时，y＝7，x＝1时，y＝7，x＝2时，y＝9，可以观察知：当﹣1≤x≤1时，由于四点分列在x两边，恒有y＝7，当﹣3≤x＜﹣1时，7＜y≤11，当x＜﹣3时，y＞11，当1≤x＜2时，7≤y＜9，当x≥2时，y≥9，综合以上：y≥7 所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7对一切实数x恒成立．从而a的取值范围为a≤7．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15．（2022秋•深圳校级期中）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是．【分析】依题意a≤b≤c≤d 原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，所以d＝9，a＝1，即可求解．【解答】解：依题意a≤b≤c≤d，则原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，则d＝9，a＝1 四位数要取最小值且可以重复，故答案为1119．【点评】此题考查了绝对值的性质，同时要根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理．16．（2022秋•定远县期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ；（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 ．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7；（2）在数轴上，找到﹣1008和1005的中点坐标即可求解；（3）利用数轴解决：把|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，然后根据数轴可写出满足条件的整数x；（4）把丨x﹣3丨+丨x﹣6丨理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，求出表示3和6的两点之间的距离即可．【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7；（2）（﹣1008+1005）÷2＝﹣1.5；（3）式子|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x可为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（4）有，最小值为﹣3﹣（﹣6）＝3．故答案为：7；﹣1.5；﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．【点评】此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．17．（2022秋•南城县校级月考）先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为；（3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；z（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．【解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．【点评】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．18．（2022秋•隆昌市校级月考）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|＝ ．（2）若|x﹣2|＝5，则x＝（3）同理|x﹣4|+|x+2|＝6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|＝6，这样的整数是 ．【分析】（1）根据4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，可得|4﹣（﹣2）|＝6．（2）根据|x﹣2|＝5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得x＝﹣3或7．（3）因为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，所以使得|x﹣4|+|x+2|＝6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），据此求出这样的整数有哪些即可．【解答】解：（1）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，∴|4﹣（﹣2）|＝6．（2）|x﹣2|＝5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，∵﹣3或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，∴若|x﹣2|＝5，则x＝﹣3或7．（3）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，∴使得|x﹣4|+|x+2|＝6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），∴这样的整数是﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．故答案为：6；﹣3或7；﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．【点评】（1）此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．（2）解答此题的关键是要明确：|x﹣a|既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离．19．（2022秋•花垣县月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题1.8 有理数（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得 分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022•黔东南州）下列说法中，正确的是（ ）A ．2与﹣2互为倒数B ．2与12互为相反数C ．0的相反数是0D ．2的绝对值是﹣2【思路点拨】根据倒数的定义判断A 选项；根据相反数的定义判断B 选项；根据0的相反数是0判断C 选项；根据正数的绝对值等于它本身判断D 选项．【解题过程】解：A 选项，2与﹣2互为相反数，故该选项不符合题意；B 选项，2与12互为倒数，故该选项不符合题意；C 选项，0的相反数是0，故该选项符合题意；D 选项，2的绝对值是2，故该选项不符合题意；故选：C ．2．（2021秋•滕州市月考）下列说法中正确的有（ ）个．①0是整数，也是正数：②﹣123是负分数；③3.2是正小数，不是正分数；④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数；⑥非负数就是正数和零．A ．0B ．1C ．2D ．3【思路点拨】分别根据有理数的定义与分类以及正数和负数的定义逐一判断即可．【解题过程】解：①0是整数，但0既不是正数，也不是负数，故原说法错误：②﹣123是负分数，说法正确；③3.2是正小数，也是正分数，故原说法错误；④自然数一定是正数，说法错误，0是自然数，但0既不是正数，也不是负数；⑤负分数一定是负有理数，说法正确；⑥非负数就是正数和零，说法正确．所以说法中正确的有3个．故选：D ．3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）A ．253B ．255C ．257D ．259【思路点拨】根据题意，n 个小时后细胞存活的个数是2n +1，求出n ＝8时的值即可．【解题过程】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；……n 个小时后细胞存活的个数是2n +1，当n ＝8时，存活个数是28+1＝257．故选：C ．4．（2021秋•新华区校级期中）若a ，b 互为相反数，且ab ≠0，c 、d 互为倒数，|m |＝2，则（a +b ）2021+（ba）3﹣3cd +2m 的值（ ）A ．0B ．0或﹣8C ．﹣2成6D ．2或﹣6【思路点拨】根据相反数、倒数、绝对值得出a +b ＝0，ba=−1，cd ＝1，m ＝±2，代入求出即可．【解题过程】解：∵a 、b 互为相反数，且ab ≠0，c 、d 互为倒数，|m |＝2，∴a+b＝0，ba=−1，cd＝1，m＝±2，当m＝2时，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3﹣3×1+2×2＝0﹣1﹣3+4＝0，当m＝﹣2时，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3﹣3×1+2×（﹣2）＝0﹣1﹣3﹣4＝﹣8．故（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m的值是0或﹣8．故选：B．5．（2020秋•江阴市校级月考）电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3跳4个单位到K4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是30，则电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数为（ ）A．﹣26B．﹣20C．﹣30D．30【思路点拨】设电子跳蚤落在数轴上的某点K0＝a，规定向左为负，向右为正，根据题意列出方程，再进一步根据有理数的加法法则进行计算．【解题过程】解：设电子跳蚤落在数轴上的某点K0＝a，规定向左为负，向右为正．根据题意，得a﹣1+2﹣3+4﹣…+100＝30，a+（2﹣1）+…+（100﹣99）＝30，a+50＝30，a＝﹣20．故选：B．6．（2022•钟山县模拟）计算：1+12+122+123+124+⋯⋯+1299+12100结果是（ ）A．1−12100B．1−12101C．2−12100D．2−12101【思路点拨】根据2×（12+122+123+124+⋯⋯+1299+12100）＝1+12+122+123+124+⋯⋯+1299，可得12+122+123+124+⋯⋯+1299+12100=1+12+122+123+124+⋯⋯+1299−（12+122+123+124+⋯⋯+1299+12100）＝1−12100计算即可求解．【解题过程】解：1+12+122+123+124+⋯⋯+1299+12100＝1+1−1 2100＝2−1 2100．故选：C．7．（2022春•岳麓区校级月考）在一次数学活动课上，某数学老师在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到，根据以上信息，下列判断正确的是（ ）A．四个正整数中最小的是1B．四个正整数中最大的是8C．四个正整数中有两个是2D．四个正整数中一定有3【思路点拨】分别列出两数相加为5，6，7，8的所有可能性求解．【解题过程】解：相加得5的两个整数可能为：1，4或2，3．相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3．相加得7的两个整数可能为：1，6或2，5或3，4．相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4．∵每次所得两个整数和最小是5，∴最小两个数字为2，3，∵每次所得两个整数和最大是8，∴最大数字为4或5，当最大数字为4的时，四个整数分别为2，3，4，4．当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5．∴四个正整数中一定有3．故选：D．8．（2022•平邑县一模）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为（ ）km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度86654高强度121315128休息00000A．35B．36C．37D．38【思路点拨】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．【解题过程】解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，∴当“高强度”的徒步距离＞前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，∵15＞6+6，12＞6+5，∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天，又∵第一天可选择“高强度”，∴方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12+0+15+5+4＝36（km），方案②第一天选择“高强度”，第二天选择“低强度”，第三天选择“休息”，第四天选择“高强度”，第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12+6+0+12+4＝34（km），综上，徒步的最远距离为36km．故选：B．9．（2020秋•江夏区校级月考）观察下列等式：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，…，若12+22+32+42+52+…+n2的个位数字是1（0＜n≤2020，且n为整数），则n的最大值是（ ）A．2001B．2006C．2011D．2019【思路点拨】通过计算发现每10个数，末位数字循环一次，再结合选项进行判断即可求解．【解题过程】解：∵12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121，122＝144，132＝169，…，∴每10个数，末位数字循环一次，∴1+4+9+6+5+6+9+1+0＝45，∵2001÷10＝200……1，∴200×45+1＝9001；∵2006÷10＝200……6，∴200×45+1+4+9+6+5+6＝9031；∵2011÷10＝201……1，∴201×45+1＝9046；∵2019÷10＝201……9，∴202×45＝9090；∵2006＞2001，∴n的最大值为2006，故选：B．10．（2021秋•江岸区校级月考）下列说法中，正确的个数是（ ）①若|1a |=1a，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；⑤a+b+c＝0，abc＜0，则b c|a|+a c|b|+a b|c|的值为±1．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可．【解题过程】解：若|1a|=1a，则a＞0，故①错误，不合题意；若|a|＞|b|，则a＞b＞0或a＞0＞b＞﹣a或﹣a＞b＞0＞a或0＞a＞b，当a＞b＞0时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，当a＞0＞b＞﹣a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，当﹣a＞b＞0＞a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，当0＞a＞b时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，由上可得，（a+b）（a﹣b）＞0是正数，故②正确，符合题意；A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2或﹣10或14，故③错误，不合题意；若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x+x﹣1+2011＝2019，故④错误，不合题意；∵a+b+c＝0，abc＜0，∴a、b、c中一定是一负两正，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，∴b c|a|+a c|b|+a b|c|=−aa+−b−b+−c−c＝﹣1+1+1＝1，故⑤错误，不合题意；故选：A．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2021秋•东城区期末）现把2021个连续整数1，2，3…2021的每个数的前面任意填上“+”号或者“﹣”号，然后将它们相加，则所得的结果绝对值的最小值为　1　．【思路点拨】根据有理数和绝对值的意义，得出绝对值和最小时数的符号规律，进而求出答案．【解题过程】解：根据绝对值的意义和题意可得，∵2021÷4＝505……1，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+13……+2018﹣2019﹣2020+2021＝1+（2﹣3﹣4+5）+（6﹣7﹣8+9）+（10﹣11﹣12+13）+……+（2018﹣2019﹣2020+2021）＝1+0+0+……+0＝1，故答案为：1．12．（2021秋•公安县期末）小聪在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为10，且A，B两点经上述折叠后重合，则B点表示的数为　6.5或﹣3.5　．【思路点拨】折叠后数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，点﹣2和点5的中点是1.5，数轴上A，B两点经上述折叠后重合，且A，B两点之间的距离为10，则A点与B点到1.5的距离都是5，进而求出B点表示的数即可．【解题过程】解：折叠后数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，折叠点为﹣2和5的中点：1.5．∵数轴上A，B两点经上述折叠后重合，且A，B两点之间的距离为10，∴A点与B点到1.5的距离都是5，当B点在中点右侧时，对应的数为1.5+5＝6.5，当B点在中点左侧时，对应的数是1.5﹣5＝﹣3.5．故答案为：6.5或﹣3.5．13．（2021秋•大田县期中）三个整数a，b，c满足a＜b＜c，且a+b+c＝0．若|a|＜10，则|a|+|b|+|c|的最大值为　34　．【思路点拨】根据a+b+c＝0，a＜b＜c，可得a＜0，c＞0，a+b＜0，则|a|＞|b|，再由|a|＜10，a，b，c都是整数，得到|a|≤9，则|b|≤8，根据|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，即可得到|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，由此求解即可．【解题过程】解：∵a+b+c＝0，a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，a+b＜0，∴|a|＞|b|，∵|a|＜10，a，b，c都是整数，∴|a|≤9，∴|b|≤8，∵|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，∴|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，∴|a|+|b|+|c|的值最大为9+8+17＝34，故答案为：34．14．（2021春•杨浦区校级期末）已知a，b，c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝　0或2　．【思路点拨】因为a、b、c都为整数，而且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，所以|a﹣b|与|c﹣a|只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出．【解题过程】解：∵a、b、c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，∴有|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0或|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1①若|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0，则a﹣b＝±1，a＝c，∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|a﹣b|＝1，∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝1+1+0＝2，②|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1，则a＝b，c﹣a＝±1，∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|c﹣a|＝1，∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝0+1﹣1＝0，故答案为：0或2．15．（2020秋•鄞州区期末）已知整数a，b，c，d的绝对值均小于5，且满足1000a+100b2+10c3+d4＝2021，则abcd的值为　±4　．【思路点拨】先根据条件确认个位上的1一定为d4产生，得d＝±1或±3，①当d＝±1时，d4＝1，②当d＝±3时，d4＝81，分别代入计算可得答案．【解题过程】解：∵1000a+100b2+10c3+d4＝2021，整数a，b，c，d的绝对值均小于5，∴个位上的1一定为d4产生，（±3）4＝81，（±1）4＝1，∴d＝±1或±3，①当d＝±1时，d4＝1，∴1000a+100b2+10c3＝2020，∴100a+10b2+c3＝202，∴个位上的2是由c3产生的，∴c3＝2或﹣8（﹣4～4中没有立方的个位数是2的），∴c3＝﹣8，∴c＝﹣2，∴100a+10b2﹣8＝202，100a+10b2＝210，10a+b2＝21，∴个位上的1是由b2产生的，（±1）2＝1，∴当b＝±1时，10a＝20，a＝2，∴abcd=2×1×(−2)×1=−42×(−1)×(−2)×1=42×1×(−2)×(−1)=42×(−1)×(−2)×(−1)=−4，∴abcd＝±4；②当d＝±3时，d4＝81，∴1000a+100b2+10c3＝2021﹣81＝1940，∴100a+10b2+c3＝194，同理43＝64，∴c＝4，∴100a+10b2+64＝194，100a+10b2＝130，10a+b2＝13，不存在整数满足条件，故d≠±3；综上，abcd ＝±4．故答案为：±4． 评卷人得 分三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（2021秋•随县期末）计算：①﹣2×3﹣|﹣4|；②﹣32+（−12）×（﹣8）+（﹣6）2；③（134−78−712）×（﹣117）；④8÷（﹣6）﹣[﹣3+116×（−27）]．【思路点拨】①先算乘法和去绝对值，然后计算减法即可；②先算乘方，然后算乘法、最后算加法即可；③根据乘法分配律计算即可；④先算括号内的式子，然后算括号外的除法、最后算减法．【解题过程】解：①﹣2×3﹣|﹣4|＝﹣6﹣4＝﹣10；②﹣32+（−12）×（﹣8）+（﹣6）2＝﹣9+4+36＝31；③（134−78−712）×（﹣117）=74×（−87）−78×（−87）−712×（−87）＝﹣2+1+23=−13；④8÷（﹣6）﹣[﹣3+116×（−27）]＝8÷（﹣6）﹣（﹣3−76×27）．＝8÷（﹣6）﹣（﹣3−13）＝8÷（﹣6）+103=−43+103 ＝2．17．（2022春•南岸区校级月考）我国约有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧150000吨煤所产生的能量．（1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量？（2）若1吨煤大约可以发出8000度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（结果用科学记数法表示）【思路点拨】（1）根据乘法的意义列出算式（9.6×106）×（1.5×105）计算，再用科学记数法表示即可；（2）用（1）的结果乘以8×103，求出结果后再用科学记数法表示即可．【解题过程】解：（1）（9.6×106）×（1.5×105）＝（9.6×1.5）×（106×105）＝1.44×1012（吨）．答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×1012吨煤．（2）（1.44×1012）×（8×103）＝（1.44×8）×（1012×103）＝1.152×1016（度）．答：（1）中的煤大约发出1.152×1016度电．18．（2021秋•邹城市期中）已知下列各有理数：a ，b ，c 的大小关系为a ＜﹣1＜b ＜0＜1＜c ．（1）画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点；（2）在横线上填上合适的符号（＞或＜或＝）：①a +c ＜　b +c ；②a ﹣c ＜　a ﹣b ；③ab ＞　ac ；④a b ＞　a c ；（3）化简：|a +b |﹣|b ﹣c |﹣|1﹣c |．【思路点拨】（1）准确把握a ，b ，c ，三点在数轴上的位置即可；（2）利用特殊值法，例如a ＝﹣2，b =−12，c ＝2，计算出各式的值，再进行比较；（3）利用绝对值的意义，先化简各式，再进行计算．【解题过程】解：（1）在数轴上表示各数如图所示：（2）当a ＝﹣2，b =−12，c ＝2时，①∵a +c ＝0，b +c =32，∴a +c ＜b +c ，②∵a ﹣c ＝﹣4，a ﹣b =−32∴a ﹣c ＜a ﹣b ，③∵ab ＝1，ac ＝﹣4，∴ab ＞ac ，④∵a b =4，a c =−1，∴a b ＞a c ，（3）|a +b |﹣|b ﹣c |﹣|1﹣c |＝﹣（a +b ）﹣（c ﹣b ）﹣（c ﹣1）＝﹣a ﹣b ﹣c +b ﹣c +1＝﹣a ﹣2c +1．19．（2022•义安区模拟）观察以下算式：①1×11×5=18×(1+31×5)；②2×35×9=18×(1+35×9)；③3×59×13=18×(1+39×13)．（1）请写出第④个算式：　4×713×17=18×(1+313×17)　．（2）请用n （n 是正整数）表示出第n 个算式，并计算1×11×5+2×35×9+3×59×13+⋯+9×1733×37+10×1937×41．【思路点拨】（1）观察已知等式即可写出第④个式子；（2）结合（1）即可用n （n 是正整数）表示出第n 个算式，再根据发现的规律解决问题即可．【解题过程】解：（1）∵①1×11×5=18×(1+31×5)；②2×35×9=18×(1+35×9)；③3×59×13=18×(1+39×13)．∴第④个算式：4×713×17=18×(1+313×17)．故答案为：4×713×17=18×(1+313×17)；（2）第n 个算式：n(2n−1)(4n−3)(4n 1)=18×(1+3(4n−3)(4n 1))；1×11×5+2×35×9+3×59×13+⋯+9×1733×37+10×1937×41=18×（1+31×5）+18×（1+35×9）+•••+18×（1+333×37）+18×（1+337×41）=18×（10+31×5+35×9+•••+333×37+337×41）=18×10+18×34×（1−15+15−19+•••+133−137+137−141）=54+18×34×4041 =5541．20．（2021秋•汝阳县期末）某批发商于上周日买进某产品10000kg ，每千克2.4元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000kg 该品种的产品，每个摊位的市场管理价为每天20元．如表为本周内该产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负，上周日当天的售价刚好为每千克2.4元） 星期一二三四五与前一天相比价格的涨跌+0.3﹣0.1+0.25+0.2﹣0.5情况/元当天的交易量/kg25002000300015001000（1）星期四该产品价格为每千克多少元？（2）本周内该产品的最高价格为每千克多少元？最低价格为每千克多少元？（3）该批发商在销售过程中采用逐步减少摊位个数（每天减少一个）的方法来降低成本，增加收益，请你帮他算一算，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？【思路点拨】（1）根据价格的涨跌情况即可作出判断；（2）计算出每天的价格即可作出判断；（3）根据售价﹣进价﹣摊位费用＝收益，即可进行计算．【解题过程】解：（1）2.4+0.3﹣0.1+0.25+0.2＝3.05（元）；答：星期四该产品价格为每千克3.05元；（2）星期一的价格是：2.4+0.3＝2.7（元）；星期二的价格是：2.7﹣0.1＝2.6（元）；星期三的价格是：2.6+0.25＝2.85（元）；星期四是：2.85+0.2＝3.05（元）；星期五是：3.05﹣0.5＝2.55（元）；因而本周内该农产品的最高价格为每斤3.05元，最低价格为每斤2.55元；（3）（2500×2.7﹣5×20）+（2000×2.6﹣4×20）+（3000×2.85﹣3×20）+（1500×3.05﹣2×20）+（1000×2.55﹣20）﹣10000×2.4＝6650+5120+8490+4535+2530﹣24000＝27325﹣24000＝3325（元）．答：他在本周的买卖中共赚了3325元钱．21．（2021秋•嘉鱼县期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题：（1）几何意义是数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是　|2﹣（﹣3）|　；式子|a+5|的几何意义是　数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离　；（2）根据绝对值的几何意义，当|m﹣2|＝3时，m＝　﹣1或5　；（3）探究：|m+1|+|m﹣9|的最小值为　10　，此时m满足的条件是　﹣1≤m≤9　；（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值为　17　，此时m满足的条件是　m＝9　．【思路点拨】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）根据||a﹣b|的几何意义求解可得；（3）根据m＜﹣1，﹣1≤m≤9，m＞9三种情况确定最小值和此时m的取值；（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|＝（|m+1|+|m﹣16|）+|m﹣9|，根据问题（3）可知，要使|m+1|+|m﹣16|的值最小，m的值只要取﹣1到16之间（包括﹣1、16）的任意一个数，要使|m﹣9|的值最小，m应取9，显然当m＝9时能同时满足要求，从而得结论．【解题过程】解：（1）数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|；式子|a+5|的几何意义是数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离；故答案为：|2﹣（﹣3）|，数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离；（2）等式|m﹣2|＝3的几何意义是表示m到数2的距离为3的点，则m的值为﹣1或5；故答案为：﹣1或5；（3）式子|m+1|+|m﹣9|表示数m到﹣1和9的距离之和，当m＜﹣1时，原式＝﹣m﹣1﹣m+9＝﹣2m+8＞10，当﹣1≤m≤9时，原式＝m+1+9﹣m＝10，当m＞9时，原式＝m+1+m﹣9＝2m﹣8＞10，故式子|m+1|+|m﹣9|的最小值为10，此时m满足的条件是﹣1≤m≤9；（4）由分析可知，|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值为17，此时m满足的条件是m＝9．22．（2021秋•江北区校级期中）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“广益点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“广益点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“广益点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．【思路点拨】（1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离即可得到结论；（2）根据题意可得PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，再根据“广益点”的定义即可求解；（3）分五种情况进行讨论：当点A是关于P→B的“广益点”时；当点A是关于B→P的“广益点”时；当点P 是关于A→B的“广益点”时；当点P是关于B→A的“广益点”时；当点B是关于P→A的“广益点”时，分别代入计算即可．【解题过程】解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离，∴点P是AB的中点，∴BP＝AP=12AB＝6，∴点P表示的数为﹣2；（2）设点P运动时间为t秒，根据题意可知，PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，∴t+8＝3|4﹣t|，解得：t＝1或10，∴点P运动的时间为1秒或10秒；（3）设点P表示的数为n，根据题意可得，PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，分五种情况进行讨论：①当点A是关于P→B的“广益点”时，得PA＝3AB，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；②当点A是关于B→P的“广益点”时，得AB＝3AP，即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；③当点P是关于A→B的“广益点”时，得PA＝3PB，即﹣n﹣8＝3（4﹣n），解得n＝10；（不符合题意，舍去）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝1（不符合题意，舍去）；④当点P是关于B→A的“广益点”时，得PB＝3AB，即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；⑤当点B是关于P→A的“广益点”时，得BP＝3AB，即4﹣n＝36，解得n＝﹣32，综上所述，所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．23．（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组： 第一列　第二列　第一排　1　2　第二排4 3然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为　3或11　．（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．【思路点拨】（1）按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；（2）利用分类讨论的方法，分0＜a＜6和a＞8两种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；（3）利用分类讨论的方法，分c＜﹣5，﹣5＜c＜﹣2，﹣2＜c＜1，1＜d＜2四种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可．【解题过程】解：（1）将“1，2，3，4”进行如下分组：∴以上分组方式的“M值”为：M＝|1﹣4|+|3﹣2|＝4；（2）①当0＜a＜6时，将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为6，∴|a﹣8|+|7﹣6|＝6．∴a＝3；②当a＜8时，将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为6，∴|a﹣6|+|7﹣8|＝6．∴a＝11；综上，a＝3或11．故答案为：3或11；（3）∵c+d＝2，且c＜d，∴c＝2﹣d，c＜1，d＞1．①当c＜﹣5时，则d＞7，将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为18，∴|2﹣d﹣d|+|﹣5﹣4|+|﹣2﹣2|＝18．解得：d=72（不合题意，舍去）．②当﹣5＜c＜﹣2时，则4＜d＜7，将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为18，∴|﹣5﹣d|+|2﹣d﹣4|+|﹣2﹣2|＝18．∴d=72（不合题意，舍去）．③当﹣2＜c＜1时，则1＜d＜4，将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为18，∴|﹣5﹣4|+|﹣2﹣d|+|2﹣d﹣2|＝18．∴d=72（符合题意）．④当1＜d＜2时，∵以上分组方式的“M值”为18，∴|﹣5﹣4|+|﹣2﹣2|+|2﹣d﹣d|＝18．∴d=72（不合题意，舍去）．综上分析可得：d=7 2．。

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0；（1）点A表示的数为________；点B表示的数为________；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．________【答案】（1）-2；4（2）3；2；5；2；能.理由：当0＜t≤2时，t+2=4-2t解之：当t＞2时，t+2=2t-4解之：t=6∴当或6时，甲乙两小球到原点的距离相等.【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0，∴a+2=0且b-4=0解之：a=-2且b=4，∵在数轴上A点表示数a，B点表示数b，∴点A表示的数是-2，点B表示的数是4.故答案为：-2，4.（2）当0＜t≤2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（4-2t）个单位长度；当t＞2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（2t-4）个单位长度；①当t=1时，甲小球到原点的距离为：1+2=3；乙小球到原点的距离为4-2×1=2；当t=3时，甲小球到原点的距离为：3+2=5；乙小球到原点的距离为2×3-4=2；故答案为：3，2；5，2【分析】（1）利用几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可得到点A，B所表示的数。

有理数压轴题六、小虫从某点A 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+12，-3，+10，-8，-6，+12，-10．（每小题3分，计9分） （1）小虫最后是否回到出发点A ？若不能回到A 点，它应在A 点的什么方向？距离A 点有多远？（2）小虫离开A 点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 4、若已知a ＞0，b ＜0，|b|＞|a|，试讨论a ，－a ，b ，－b 四个数的大小关系，并用“＞”把它们连接起来．（提示：画数轴帮助理解）（7分）1、某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下。

（单位：km ）（1）求收工时距A 地多远？（2）若每km 耗油0.3升，问共耗油多少升？ （3）在第 次纪录时距A 地最远。

（12分）中央电视台每一期的“开心辞典”栏目，都有一个“二十四点”的趣味题，将四个数（四个数都用且只能用一次）进行“＋”、“－”、“×”、“÷”运算，可加括号使其结果等于24。

例如：对1、2、3、4可作运算()244321=⨯++，也可写成()243214=++⨯，但视作相同方法的运算。

①现有四个有理数3，4，－6，10请你用两种不同的算法计算出24，请分别写出三个算式。

②若给你四个有理数3，－5，7，－13，你还能凑出24吗？请写出一个算式。

7、已知∣x+3∣+∣y-5∣=0 求代数式-yx-xy 的值 27．某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下。

（单位：km ）（1）求收工时距A地多远？（2）在第次纪录时距A地最远。

（3）若每km 耗油0.3升，问共耗油多少升？(10分)26、（7分）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记整数为正数，向左爬的路程为负数，爬行的各段路程依次为（单位：cm）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10。

有理数压轴题六、小虫从某点A 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+12，-3，+10，-8，-6，+12，-10．（每小题3分，计9分）（1）小虫最后是否回到出发点A ？若不能回到A 点，它应在A 点的什么方向？距离A 点有多远？（2）小虫离开A 点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？4、若已知a ＞0，b ＜0，|b|＞|a|，试讨论a ，－a ，b ，－b 四个数的大小关系，并用“＞”把它们连接起来．（提示：画数轴帮助理解）（7分）1、某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下。

（单位：km ）（1）求收工时距A 地多远？（2）若每km 耗油0.3升，问共耗油多少升？ （3）在第 次纪录时距A 地最远。

（12分）中央电视台每一期的“开心辞典”栏目，都有一个“二十四点”的趣味题，将四个数（四个数都用且只能用一次）进行“＋”、“－”、“×”、“÷”运算，可加括号使其结果等于24。

例如：对1、2、3、4可作运算()244321=⨯++，也可写成()243214=++⨯，但视作相同方法的运算。

①现有四个有理数3，4，－6，10请你用两种不同的算法计算出24，请分别写出三个算式。

②若给你四个有理数3，－5，7，－13，你还能凑出24吗？请写出一个算式。

7、已知∣x+3∣+∣y-5∣=0 求代数式-yx-xy 的值27．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下。

（单位：km）（1）求收工时距A地多远？（2）在第次纪录时距A地最远。

（3）若每km 耗油0.3升，问共耗油多少升？(10分)26、（7分）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记整数为正数，向左爬的路程为负数，爬行的各段路程依次为（单位：cm）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10。

有理数的运算压轴训练目录压轴题型一　根据点在数轴的位置判断式子的正负...............................................................................................1压轴题型二　根据点在数轴的位置化简绝对值. (3)压轴题型三　利用分类讨论数学思想化简绝对值 (6)压轴题型四　利用点在数轴上的几何意义化简绝对值 (9)压轴题型一　根据点在数轴的位置判断式子的正负例题：（2024·江苏徐州·二模）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b >B ．a b ->-C ． a b >D ．a b->-巩固训练1.（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a 、b 、c 三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）A ．0a b +<B ．0b a ->C ．0b c +<D ．0a c +<2.（2023·陕西渭南·一模）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a b (填“>”，“<”或“=”)3.（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)先把“a -”表示在数轴上，再用“>”或“<”填空．b c -___________0，a b +___________0，a c -___________0．(2)用“<”将a 、b、c 、a -、b -、c -连接起来：___________．01 压轴总结02 压轴题型压轴题型二　根据点在数轴的位置化简绝对值例题：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：(1)比较a﹣b与a+b的大小；(2)化简|b﹣a|+|a+b|．巩固训练（1）判断正负，用“>”、“<”或压轴题型三　利用分类讨论数学思想化简绝对值2．（2024六年级下·上海·专题练习）若0a >，||a a= ；若a<0，||a a = ；①若0||||a b a b +=，则||ab ab =- ；②若<0abc ，则||||||a b c a b c ++= ．压轴题型四　利用点在数轴上的几何意义化简绝对值例6.（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ；(2)数轴上若点A 表示的数是x ，点B 表示的数是2-，则点A 和B 之间的距离是 ，若2AB =，那么x 为 ；(3)利用数轴，求21x x ++-的最小值 ；(4)当x 是 时，代数式215x x ++-=；巩固训练1.（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与2-，1-与5-．并回答下列各题：(1)数轴上表示4和2-两点间的距离是______；表示1-和5-两点间的距离是______．(2)若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为3-．①数轴上A 、B 两点间的距离可以表示为______（用含x 的代数式表示）；②如果数轴上A 、B 两点间的距离为1=AB ，求x 的值．(3)直接写出代数式23x x ++-的最小值为______．2.（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ．则AB a b =-．所以式子3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：(1)若12x -=，则x = ；(2)若51x x -=+，则x = ；(3)式子32x x -++的最小值为 ；(4)若327x x -++=，则x = ；(5)式子213x x x ++-+-的最小值为 ，此时x = ．3.（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）：数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于m n -．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|25|3-=；①数轴上表示数3和1-的两点距离为|3(1)|--= ；②则|4|x +的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离．（2）实际应用（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点输送材料 才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小；②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A ，B ，C ，要在流水线上设一个材料供应点P 往三个加工点输送材料 才能使P 到A ，B ，C 三点的距离之和最小；③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A ，B ，C ，D ，要在流水线上设一个材料供应点P 往四个加工点输送材料 才能使P 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和最小．（3）结论应用（填空）；①代数式|3||4|x x ++-的最小值是 ；②代数式|6||3||2|x x x ++++-的最小值是 ；③代数式|7||4||2||5|x x x x ++++-+-的最小值是 ．4．（23-24六年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5上3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．探究：(1)41-表示数轴上4与______所对应的两点之间的距离；(2)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到______所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到______所对应的点之间的距离；(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=，则这样的整数x 有______个；(4)利用绝对值的几何意义，可以知道32x x ++-的最小值是______．。

第2章有理数（压轴必刷30题10种题型专项训练）一．正数和负数（共3小题）1．（2022秋•锡山区校级月考）某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，﹣3，+12，﹣7，﹣10，﹣4，﹣8，+1，0，+10；（1）这10名同学中的最高分是多少？最低分是多少？（2）10名同学中，低于80分的占的百分比是多少？（3）10名同学的平均成绩是多少？2．（2022秋•无锡期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减（单位：个）+5﹣2﹣5+15﹣10﹣6﹣9（1）写出该厂星期三生产工艺品的数量；（2）本周产量中最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？（3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；（4）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．3．（2022秋•江都区期中）“十一”国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：高度变化记作上升4.4km 4.4km下降3.2km﹣3.2km上升1.1km+1.1km下降1.5km﹣1.5km（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？二．数轴（共10小题）4．（2021秋•邗江区期中）我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n则点M，N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为．5．（2021秋•广陵区期中）阅读材料点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．也就是说，|4﹣（﹣3）|表示4与﹣3之差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣3两数在数轴上所对的两点之间的距离．比如|x+3|可以写成|x﹣（﹣3）|，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣3的点之间的距离再举个例子：等式|x﹣1|＝1的几何意义可表示为：在数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数x可以是0或2．解决问题（1）|4﹣（﹣3）|＝．（2）若|x+3|＝7，则x＝；若|x+3|＝|x﹣1|，则x＝．（3）|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对的点到﹣3和1所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4．（4）若x表示一个有理数，则|x+5|+|x+3|+|x﹣1|有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由．6．（2021秋•宝应县期末）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：，B：；（2）在数轴上与点A的距离为2的点所表示的数是；（3）若经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，则B点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为11（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：，N：．7．（2021秋•普宁市期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）运动前线段AB的长为；运动1秒后线段AB的长为；（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为和；（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．8．（2020秋•扬州期中）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0；（1）点A表示的数为；点B表示的数为；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝；乙小球到原点的距离＝；当t＝3时，甲小球到原点的距离＝；乙小球到原点的距离＝；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．9．（2022秋•宜兴市期中）已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且（a﹣1）2+|b+2|＝0．（1）求a，b的值；（2）点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值；（3）小蜗牛甲以1个单位长度/s的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3s后位于点A 的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/s的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？10．（2022秋•江岸区校级月考）在数轴上，表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，其几何意义可表示为：|x﹣1|＝1，这样的数x可以是0或2．（1）等式|x﹣2|＝2的几何意义可仿上解释为：在数轴上，其中x的值可以是．（2）等式|x+3|＝2的几何意义可仿上解释为：在数轴上，其中x的值可以是．（3）在数轴上，表示数x的点与表示数5的点的距离等于6，其几何意义可以表示为，其中x的值可以是．11．（2021秋•相城区月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．12．（2020秋•滨海县月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|．问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数﹣5、﹣1、3，那么A到B的距离是，A到C 的距离是（直接填最后结果）．问题（2）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．问题（3）：利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是；②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是．问题（4）：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值．13．（2022秋•宜兴市月考）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数表示的点重合；（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？三．绝对值（共4小题）14．（2022秋•崇川区期中）对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3．（1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为；（2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值；（3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…．①x0+x1的最小值为；②x1+x2+x3+……+x40的值为．15．（2022秋•江阴市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．16．（2022秋•秦淮区校级月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝；（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．17．（2021秋•金坛区月考）先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x 为；（3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．四．有理数的加法（共2小题）18．（2021秋•祁东县校级期中）将15、12、9、6、3、0、﹣3、﹣6、﹣9填入下列方格内，使大方格的横、竖、斜对角的三个数字之和都相等．19．（2021秋•灌南县校级月考）阅读第（1）小题计算方法，再类比计算第（2）小题．（1）﹣5+（﹣9）+17+（﹣3）解：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1上面这种方法叫做拆项法．（2）计算：（﹣2015）+（﹣2014）+（﹣1）+4030．五．有理数的减法（共1小题）20．（2022秋•昆山市校级月考）（1）已知|a|＝4，|b|＝6，求a+b的值；（2）在（1）的条件下，若|a﹣b|＝|a|+|b|，求a﹣b的值；（3）在（1）的条件下，若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．六．有理数的加减混合运算（共1小题）21．（2021秋•宜兴市月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7；根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：（1）|7﹣21|＝；（2）||＝；（3）||＝；（4）||＝；（5）用合理的方法计算：||+||﹣||．七．有理数的乘法（共1小题）22．（2021秋•秦淮区校级月考）阅读下列材料：|x|＝，即当x＜0时，＝﹣1．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求的值；（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．八．有理数的乘方（共1小题）23．（2021秋•惠山区校级月考）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（）A．46B．45C．44D．43九．非负数的性质：偶次方（共1小题）24．（2022秋•鼓楼区校级月考）在数轴上有三个点A、B、C，它们表示的有理数分别为a、b、c．已知a是最大的负整数，且|b+4|+（c﹣2）2＝0．（1）求A、B、C三点表示的有理数分别是多少？（2）填空：①如果数轴上点D到A，C两点的距离相等，则点D表示的数为；②如果数轴上点E到点A的距离为2，则点E表示的数为；（3）在数轴上是否存在一点F，使点F到点A的距离是点F到点B的距离的2倍？若存在，请直接写出点F表示的数；若不存在，请说明理由．一十．有理数的混合运算（共6小题）25．（2021秋•泰兴市期中）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是．26．（2021秋•鼓楼区校级月考）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．0*0＝02+02＝0（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，．（2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝．（3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．27．（2021秋•邳州市期中）定义一种新运算：a⊕b＝a﹣b+ab．（1）求（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）求5⊕[1⊕（﹣2）]的值．28．（2021秋•淮安区期中）观察下列各式，回答问题1﹣＝×，1﹣＝×，1﹣＝×…．按上述规律填空：（1）1﹣＝×．（2）计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝．29．（2022秋•东海县月考）数学老师布置了一道思考题“计算：﹣÷（﹣），小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．小明的解法：原式的倒数为（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣12）＝﹣4+10＝6，所以﹣÷（﹣）＝（1）请你判断小明的解答是否正确？答；并说明理由；．（2）请你运用小明的解法解答问题．计算：（﹣）÷（﹣﹣）30．（2022秋•射阳县校级月考）2006年3月17日俄罗斯特技飞行队在名胜风景旅游区﹣﹣张家界天门洞特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：高度变化记作上升4.5km+4.5km下降3.2km﹣3.2km上升1.1km+1.1km下降1.4km﹣1.4km（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.8千米，下降2.9千米，再上升1.6千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？。

七年级数学有理数压轴题一、有理数的概念与分类。

1. 把下列各数填在相应的大括号里：- - 5，(1)/(3)，0.62，4，0，-1.1，(7)/(6)，-6.4，-7，(22)/(7)- 正整数集合：{4}；- 负整数集合：{-5,-7}；- 分数集合：{(1)/(3),0.62,(7)/(6), - 1.1,-6.4,(22)/(7)}；- 非负数集合：{(1)/(3),0.62,4,0,(7)/(6),(22)/(7)}。

- 解析：正整数是大于0的整数；负整数是小于0的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；非负数是正数和0的统称。

2. 下列说法正确的是（）- A. 整数就是正整数和负整数。

- B. 分数包括正分数、负分数。

- C. 正有理数和负有理数组成全体有理数。

- D. 一个数不是正数就是负数。

- 答案：B。

- 解析：A选项，整数包括正整数、0和负整数；C选项，有理数包括正有理数、0和负有理数；D选项，一个数还可能是0。

二、有理数的大小比较。

3. 比较大小：-(2)/(3)与-(3)/(4)。

- 答案：-(2)/(3)>-(3)/(4)。

- 解析：先求出两个数的绝对值，|-(2)/(3)|=(2)/(3)=(8)/(12)，|-(3)/(4)|=(3)/(4)=(9)/(12)，因为(8)/(12)<(9)/(12)，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以-(2)/(3)>-(3)/(4)。

4. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，比较a，- a，b，-b的大小。

- （数轴上a在原点左侧，b在原点右侧，且| a|>| b|）- 答案：a < - b < b < - a。

- 解析：因为a是负数，所以-a是正数，b是正数，所以-b是负数，又因为| a|>| b|，所以a离原点的距离比b离原点的距离远，所以a < - b < b < - a。

《有理数》压轴题训练(1)1.如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为.若点表示的有理数互为相,,,M P N Q ,M N 反数，则表示的数的绝对值最小的点是( )A.点B.点C.点D.点M N P Q2. 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照,a b ,,,,,a a b b a b a b --+-从小到大的顺序排列，正确的是( )A. a b b a a a b b -<-<<-<+<B. b a b a a b a b -<-<<-<<+C. a b a b a b a b -<<-<+<-<D. b a a b a b a b-<<-<-<<+3.若与互为相反数.则= .2x +5y -x y -4. 是不为1的有理数,我们把称为的差倒数.如:2的差倒数是,-1的差倒a 11a -a 1112=--数是.已知,是的差倒数，是的差倒数, 是的差倒111(1)2=--113a =-2a 1a 3a 2a 4a 3a 数……依此类推.则=.2018a 5.在解决数学问题的过程中，我们常用到 “分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题. 【提出问题】三个有理数满足，求的值.,,a b c 0abc >a b c abc++【解决问题】解:由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.,,a b c ①都是正数，即时，则;,,a b c 0,0,0a b c >>>1113a b c a b cabca b c++=++=++= ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则,,a b c 0,0,0a b c ><<.1(1)(1)1a b c a b c abca b c --++=++=+-+-=-综上所述，值为3或-1.a b c ab c++【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题:(1)三个有理数满足，求的值;,,a b c 0abc <a b c abc++(2)若为三个不为0的有理数，且，求的值.,,a b c 1a b c a b c ++=-abcabc6.我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴a a 上两个点分别表示数，那么.利用此结论，回答下列问题:,A B ,a b AB a b =- (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ; (2)数轴上表示和-1的两点之间的距离是 ，如果=2，那么的值x ,A B AB x 为;(3)写出表示的几何意义:,该式的最小值为;12x x +++ (4)求的最小值.1232019x x x x -+-+-+⋅⋅⋅+- (2)1.四个各不相等的整数，满足，则的值为.,,,a b c d 9abcd =a b c d +++A.无法确定 B. 4 C. 10 D. 02. 8月是新学期开学准备月，东风和百惠两家书店才学习用品和工具书实施优惠销售活动.优惠方案分别是:若在东风书店购买学习用品或工具书累计花费超过60元，超出部分按50%收费;若在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费超过50元，超出部分按60%收费.李明同学准备买价值300元的学习用品和工具书，比较优惠的书店是( ) A.东风书店 B.百惠书店 C.两家一样 D.无法确定3.观察下列等式: 试猜想的个位12345633,39,327,381,3243,3729======⋅⋅⋅⋅⋅⋅20163数字是.4.为了求的值，可令，则2310013333++++⋅⋅⋅+2310013333M =++++⋅⋅⋅+,因此，，所以.234101333333M =++++⋅⋅⋅+101331M M -=-101312M -=即.1012310031133332-++++⋅⋅⋅+=仿照以上的过程，计算: = .23201515555++++⋅⋅⋅+5.一辆货车为一家商场的仓库运货，仓库在记录进出货物时把运进记作正数，运出记作负数.某日下午的运货记录如下(单位:吨):+ 5. 5，-4. 6，-5. 3, +5. 4，-3. 4 ,+ 4. 8，-3. (1)仓库该日上午存货60吨，下午运完货物后存货多少吨?(2)如果货车的运费为每吨10元，那么该日下午货车司机共得运费多少元?6.观察下列各式:,322111124==⨯⨯,33221129234+==⨯⨯,33322112336344++==⨯⨯，33332211234100454+++==⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅回答下列问题:(1)猜想 =(直接写出结果).33333123(1)n n +++⋅⋅⋅+-+(2)利用你得到的(1)中的结论，计算: .3333312399100+++⋅⋅⋅++ (3)计算: .3333311121399100+++⋅⋅⋅++参考答案(1)1.C2.A3.-74.345.(1) ①当都是负数，=-3,,a b c a b c a b c++②当中有一个为负数，另两个为正数时，=1,,a b c a b c abc++(2)=1abcabc6.(1) 253,2(5)3,1(3)4-=---=--= (2) ；或-3.1x +1x = (3)数轴上表示的点分别到表示-1和-2两点的距离和.当取-2与-1之间的任意一个值x x 时,该代数式取值最小，为1.(4) =1019090.1232019x x x x -+-+-+⋅⋅⋅+-(2)1.D2.A3. 14.2016514-5.(1)下午运完货物后存货59.4吨?(2)该日下午货车司机共得运费320元?6.(1) .22(1)4n n +(2) =25502500.3333312399100+++⋅⋅⋅++ (3) =25499475.3333311121399100+++⋅⋅⋅++。

特训01 有理数 压轴题一、解答题1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：(1)请直接写出a、b、c的值．a b＝ ，c＝ ．(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）；②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．习中要注意培养数形结合的数学思想．2．阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①121；②23 32；③34 43；④45 54；⑤56 65；⑥67 76；⑦78 87．(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系： ．(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017 20172016．当n＝1或2时，nn＋1＜（n＋1）n；当n＞2的整数时，nn＋1＞（n＋1）n；（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017＞20172016．【点睛】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律．3．（1）如图（1），数轴上有一个表示数a的点M，已知点M在数轴上移动3个单位长度后表示的数是5，那么a（2）如图（2），有一根木尺PQ放置在数轴上，它的两端P Q、分别落在A B、两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点P移动到点B时，点Q所对应的数为24；当点Q移动到点A 时，点P所对应的数为6（单位：cm)．利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺PQ的长．（3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是116岁！小明纳闷，爷爷今年到底是多少岁？请你画出示意图，求出小明和爷爷的年龄，并写出合理的计算过程．年龄；【解析】（1）当M 点向右移动，则532a =-=，当点M 向左移动，则538a =+=，故答案为2或8；（2）由题意可知，B 点到24的距离、PQ 的距离、A 点到6的距离相等，()24636PQ \=-¸=，A \点表示的数为6612+=，B 点表示的数为24618-=；（3）如图：爷爷和小明的年龄差为：()11640352+¸=（岁)，\爷爷的年龄为1165264-=（岁)，小明的年龄为645212-=（岁)，\小明12岁，爷爷64岁．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系．4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M 、点N 表示的数分别为m 、n ，则M 、N 两点之间的距离MN m n =-，线段MN 的中点表示的数为2m n +．如图，数轴上点M 表示的数为1-，点N 表示的数为3．(1)直接写出：线段MN 段MN 的中点表示的数为______；(2)x 表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：136++-=x x ，则x = ：13x x ++-有最小值是______；(3)点S 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程72146x x -=+的解，动点P 在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM PN PS +=，则称点P 是关于点M 、N 、S 的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。

第一章有理数压轴题考点训练在数轴正半轴上，较大的数表示的点离原点较远，故③错误；3的相反数为-3，-3的倒数为0的相反数等于0，0的绝对值等于故选D．【答案】3【分析】此题需要寻找规律：每4个数一组，分别与¸4，看是第几组的第几个数.①如果点A 所表示的数是5-，那么点B 所表示的数是②请在图1中标出原点O 的位置；(3)如图3，数轴上标出若干个点，其中点A ，B ，C 所表示的数分别为出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如1AB =），且28c a -=．①试求a 的值；②若点D 也在这条数轴上，且3CD =，设D 点所表示的数为d ，求d 的值．【答案】(1)①5；②见解析(2)画图见解析，4(3)①2a =-；②1或7【分析】（1）①根据相反数的定义可得点B 表示的数，②根据A 、B 的位置可得原点的位置；（2）根据A 、B 所表示的数可得单位长度表示3，进而可得原点的位置和点C 表示的数；（3）①由数轴可得6c a -=，再结合28c a -=可得a 的值；②根据a 的值可得c ，根据3CD =可得3c d -=或3d c -=，即可求出答案．【详解】（1）解：①点A 所表示的数是5-，点A 、点B 所表示的数互为相反数，所以点B 所表示的数是5，故答案为：5；②在图1中表示原点O 的位置如图所示：（2）原点O 的位置如图所示，点C 所表示的数是4．故答案为：4；（3）①由题意得：6AC =，∴6c a -=，又∵28c a -=，∴2a =-；②设D 表示的数为d ，∵6c a -=，2a =-，∴4c =，∵3CD =，∴3c d -=或3d c -=，∴1d =或7d =．（1）若点A表示数-2, 点B表示的数如图，当点1P在点A左侧时，1PB则30－x＝2（－10－x），则30－x＝2（x＋10），解得x＝10.则x＋10＝2（30－x），解得x＝50.﹣|×【答案】（1）a=－8，b=12；（2）7；（3）1.2；1.8；3；4.【详解】试题分析：（1）根据偶次方以及绝对值的非负性即可求出。

第一章 有理数压轴题考点训练1．设|a |=4，|b |=2，且|a +b |=－(a +b )，则a －b 所有值的和为( )A ．－8B ．－6C ．－4D ．－2【答案】A【详解】∵|a +b |=－（a +b ），∴a +b ≤0，∵|a |=4，|b |=2，∴a =±4，b =±2，∴a =－4，b =±2，当a =－4，b =－2时，a -b =－2；当a =－4，b =2时，a -b =－6；故a －b 所有值的和为：－2+（－6）=－8．故选A ．2．实数,,x y z 在数轴上的对应点的位置如图所示，若z y x y +<+，则A ，B ，C ，D 四个点中可能是原点的为（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点3．如图，A ，B ，C ，D 是数轴上四个点，A 点表示数为10，E 点表示的数为10010AB BC CD DE ===，，则数9910所对应的点在线段（ ）上．A ．ABB ．BC C ．CD D ．DE【答案】A4．计算2019202020222 1.5(1)3æö-´´-ç÷èø的结果是（ ）A ．23B ．32C ．23-D ．32-5．如图，在一个由六个圆圈组成的三角形里，把-1，-2，-3，-4，-5，-6这6个数分别填入图中圆圈里，要求三角形每条边上的三个数的和S 都相等，那么S 的最大值是（ ）A ．-9B ．-10C ．-12D ．-13【答案】A 【详解】解：六个数的和为：()()()()()()12345621-+-+-+-+-+-=-，最大三个数的和为：()()()1236-+-+-=-，，S=[(21)(6)]39-+-¸=-．填数如图：故选A ．6．|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+|x ﹣8|的最小值是a ，||||||1a b c a b c ++=-，那么||||||||ab bc ac abc ab bc ac abc +++的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．不确定7．若|x |＝11，|y |＝14，|z |＝20，且|x +y |＝x +y ，|y +z |＝﹣（y +z ），则x +y ﹣z ＝_____．【答案】45或23【详解】解：∵|x |＝11，|y |＝14，|z |＝20，∴x ＝±11，y ＝±14，z ＝±20．∵|x +y |＝x +y ，|y +z |＝﹣（y +z ），∴x +y ≥0，y +z ≤0．∵x +y ≥0．∴x ＝±11，y ＝14．∵y +z ≤0，∴z ＝﹣20当x ＝11，y ＝14，z ＝﹣20时，x +y ﹣z ＝11+14+20＝45；当x ＝﹣11，y ＝14，z ＝﹣20时，x +y ﹣z ＝﹣11+14+20＝23．故答案为：45或23．8．若|a|+|b|=|a+b|，则a 、b 满足的关系是_____．【答案】a 、b 同号或a 、b 有一个为0或同时为0【详解】∵|a|+|b|=|a+b|，∴a 、b 满足的关系是a 、b 同号或a 、b 有一个为0，或同时为0，故答案为a 、b 同号或a 、b 有一个为0，或同时为0．9．计算：11111111111111234201723420182342018æöæöæö----¼-´+++¼+-----¼-ç÷ç÷ç÷èøèøèø11112342017æö´+++¼+=ç÷_________．10．已知a ，b ，c ，d 表示4个不同的正整数，满足a +b 2+c 3+d 4＝90，其中d ＞1，则a +2b +3c +4d 的最大值是_____．【答案】81【详解】解：∵a ，b ，c ，d 表示4个不同的正整数，且a +b 2+c 3+d 4＝90，其中d ＞1，∴d 4＜90，则d ＝2或3，c 3＜90，则c ＝1，2，3或4，b 2＜90，则b ＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，a ＜90，则a ＝1，2，3， (89)∴4d ≤12，3c ≤12，2b ≤18，a ≤89，∴要使得a +2b +3c +4d 取得最大值，则a 取最大值时，a ＝90﹣（b 2+c 3+d 4）取最大值，∴b ，c ，d 要取最小值，则d 取2，c 取1，b 取3，∴a 的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，∴a +2b +3c +4d 的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，故答案为：81．11．如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A 放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A 到达点A ¢的位置，则点A ¢表示的数是 _______；若起点A 开始时是与—1重合的，则滚动2周后点A ¢表示的数是______．【答案】 2p 或2p - 41p -或41p --【详解】解：因为半径为1的圆的周长为2p ，所以每滚动一周就相当于圆上的A 点平移了2p 个单位，滚动2周就相当于平移了4p 个单位；当圆向左滚动一周时，则A'表示的数为2p -，当圆向右滚动一周时，则A'表示的数为2p ；当A 点开始时与1-重合时，若向右滚动两周，则A'表示的数为41p -，若向左滚动两周，则A'表示的数为41p --；故答案为：2p ①或2p -；41p -②或41p --．12．已知 10a =，211a a =-+，322a a =-+，…，依此类推，则 2019a =_______．13．问题提出：学习了|a |为数轴上表示a 的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对数轴上分别表示数a 和数b 的两个点A ，B 之间的距离进行了探究：（1）利用数轴可知5与1两点之间距离是 ；一般的，数轴上表示数m 和数n 的两点之间距离为 ．问题探究：（2）请求出|x ﹣3|+|x ﹣5|的最小值．问题解决：（3）如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道L ，L 旁依次有3处防疫物资放置点A ，B ，C ，已知AB ＝800米，BC ＝1200米，现在设计在主干道L 旁修建防疫物资配发点P ，问P 建在直线L 上的何处时，才能使得配发点P 到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？（3）∵到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离，∴当配发点P 在点B 时，到三处放置点路程之和最短；即：最小距离和=AB +BC = 800米+1200米=2000米．14．如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，且a 、b 满足212(6)0a b ++-=．()1求A 、B 两点之间的距离；()2点C 、D 在线段AB 上，AC 为14个单位长度，BD 为8个单位长度，求线段CD 的长；()3在()2的条件下，动点P 以3个单位长度/秒的速度从A 点出发沿正方向运动，同时点Q 以2个单位长度/秒的速度从D 点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P 、点Q 到点C 的距离相等．15．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，式子2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-1所对应的点之间的距离．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）若23x -=，则x = ；32x x -++的最小值是 ．（2）若327x x -++=，则x 的值为；若43113x x x ++-++=，则x 的值为 ．（3）是否存在x 使得32143x x x +-+++取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时x 的取值情况；若不存在，请说明理由．。

，则原点是（M N N PA．或B．或MN MN(1)直接写出：线段的长度是，线段的中点表示的数为(1)填空：______，______．(2)若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点AB =BC =A时间为秒，写出、两点间的距离（用含的代数式表示）．t ()019t ≤≤P Q t参考答案：()1，【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，绝对值中含有未知数时要进行分类讨论，这是解题的关键.18．(1)10，16(2)不会改变，见解析(3)t 或或【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；（2）根据题意求出点A ，B ，C 向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可；（3）分三种情况讨论，点Q 在点A 处，点P 在点Q 的右边，点Q 在点P 的右边．【详解】（1）解： ，，（2）解：不变，因为：经过t 秒后，A ，B ，C 三点所对应的数分别是，，，所以：， ，所以：，所以的值不会随着时间t 的变化而改变；（3）解：经过t 秒后，P ，Q 两点所对应的数分别是，，当点Q 追上点P 时，，解得：，①当时，点Q 在还点A 处，所以：，②当时，点P 在点Q 的右边，所以：，③当时，点Q 在点P 的右边，所以：，综上所述，P 、Q 两点间的距离为t 或或．【点睛】本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关12t -+12t -AB BC ()81810AB =---=()8816BC =--=18t --84t -+89t +()8984165BC t t t =+--+=+()8418105AB t t t =-+---=+()1651056BC AB t t -=+-+=BC AB -18t -+()1826t -+-()1818260[]t t -+--+-=12t =06t <≤PQ t =612t <≤()18182612PQ t t t =-+--+-=-+⎡⎤⎣⎦1219t <≤()()18261812PQ t t t =-+---+=-12t -+12t -键，同时渗透了分类讨论的数学思想．。

专题1.4 有理数（满分120）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022秋·全国·七年级期中）若a<b<0<c<d，则以下四个结论中，正确的是（）A．a+b+c+d一定是正数B．d+c−a−b可能是负数C．d−c−b−a一定是正数D．c−d−b−a一定是正数【思路点拨】本题应用特值排除法，对于A，如果设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数；对于B，d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b一定大于0；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，不是正数.【解题过程】解：A.根据已知条件a<b<0<c<d，可设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数，故错误；B. 根据已知条件a<b<0<c<d可知d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b>0，故错误；C. 根据已知条件a<b<0<c<d可知d-c>0，-a-b>0，所以d−c−b−a一定是正数，故正确；D，根据已知条件a<b<0<c<d可设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，是负数，故错误；故选C2．（2022秋·北京朝阳·九年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（）A．159B．-156C．158D．1【思路点拨】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数．【解题过程】解：设向右为正，向左为负，则P1表示的数为+1，P2表示的数为+3P3表示的数为0P4表示的数为-4P5表示的数为+1……由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为39×(-4)=−156．则第157次向右移动157个单位长度，P157=1；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以P158=1+158=159．故P158在数轴上表示的数为159．故选A．3．（2022秋·广西防城港·七年级统考阶段练习）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2<0；②|a−b|+|b−c|=|a−c|；③(a+b)(b+c)(c+a)>0；④||a|<1−bc．其中正确的结论有（ ）个A．4B．3C．2D．1【思路点拨】根据数轴上各数的位置得出a<−1<0<b<c<1，依此逐个判定即可得出结论．【解题过程】解：根据题意得：a<−1<0<b<c<1，则①a2−a−2=(a−2)(a+1)>0；故①错误；②∵|a−b|+|b−c|=−a+b−b+c=−a+c，|a−c|=−a+c，∴|a−b|+|b−c|=|a−c|；故②正确；③∵a+b<0，b+c>0，c+a<0，∴(a+b)(b+c)(c+a)>0；故③正确；④∵|a|>1，1−bc<1，∴|a|>1−bc；故④错误；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若|a−2|=18，且3|a−c|=|c|，则所有满足条件的数c的和是（ ）A．﹣6B．2C．8D．9【思路点拨】根据绝对值的代数意义对|a−2|=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3|a−c|=|c|进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，3|20−c|=|c|和3|−16−c|=|c|，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故c共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．【解题过程】解：∵|a−2|=18，∴a−2=18或a−2=−18，∴a=20或a=−16，当a=20时，3|a−c|=|c|等价于3|20−c|=|c|，即|60−3c|=|c|，∴60−3c=c或60−3c=−c，∴c=15或c=30；当a=−16时，3|a−c|=|c|等价于3|−16−c|=|c|，即|−48−3c|=|c|，∴−48−3c=c或−48−3c=−c，∴c=−12或c=−24，故c=15或c=30或c=−12或c=−24，∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．故答案为：D5．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【思路点拨】通过观察所给的式子，发现每4次运算尾数循环出现，由此求解即可．【解题过程】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，∵21÷4=5⋯⋯1，∴221的末尾数字与21=2的尾数相同为2，∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，∵11÷4=2⋯⋯3∴311的末尾数字与33=27的尾数相同为7，∴221+311的末位数字是：2+7=9．故选：D ．6．（2022·全国·七年级假期作业）设有理数a 、b 、c 满足a >b >c(ac <0)，且|c |<|b |<|a|，则|x ﹣a b2|+|x ﹣b c2|+|x +a c2|的最小值是（ ）A ．a−c2B C D 【思路点拨】根据ac <0可知a ，c 异号，再根据a >b >c ，以及|c |<|b |<|a|，即可确定a ，−a ，b ，−b ，c ，−c 在数轴上的位置，而|x +|x +|x +a c 2|−a c 2三点的距离的和，根据数轴即可确定．【解题过程】解：∵ac <0，∴a ，c 异号，∵a >b >c ，∴a >0，c <0，又∵|c |<|b |<|a|，∴−a <−b <c <0<−c <b <a ，又∵|x +|x +|x +a c 2|−a c 2三点的距离的和，当x 在b c2时距离最小，即|x ﹣a b 2|+|x ﹣b c2|+|x +a c 2|最小，最小值是ab 2与−ac 2之间的距离，即2a b c2．故选：C ．7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）A ．80B ．90C ．100D ．120【思路点拨】分别列出两个正整数的和为5，6，7，8的所以可能的情况，然后求解即可．【解题过程】解：和为5的两个正整数可为：1，4或2，3；和为6的两个正整数可为：1，5或2，4或3，3；和为7的两个正整数可为：1，6或2，5或3，4；和为8的两个正整数可为：1，7或2，6或3，5或4，4；∵每次所得的和最小是5，∴最小的两个数字为2或3；∵每次所得的和最大是8，∴最大的两个数字为4或5；当最大数字为4时，四个整数分别为2，3，4，4；当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5；∴2×3×4×4=96，2×3×3×5=90，故选：B ．8．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a 的值为（ ）A ．−4B ．−3C ．3D ．4【思路点拨】共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．【解题过程】解：因为共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，所以−5,−1,5这一行最后一个圆圈数字应填3，则a 所在的横着的一行最后一个圈为3，−2,−1,1这一行第二个圆圈数字应填4，目前数字就剩下−4,−3,0,6，1,5这一行剩下的两个圆圈数字和应为−4，则取−4,−3,0,6中的−4,0，−2,2这一行剩下的两个圆圈数字和应为2，则取−4,−3,0,6中的−4,6，这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填−4，所以1,5这一行第三个圆圈数字应为0，则a 所在的横行，剩余3个圆圈里分别为2,0,3，要使和为2，则a 为−3故选：B9．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）有一列数{−1,−2,−3,−4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1,2,3,4}，再分别求与113,14{a 1,a 2,a 3,a 4}，称这为一次操作，第二次操作是将{a 1,a 2,a 3,a 4}再进行上述操作，得到{a 5,a 6,a 7,a 8}；第三次将{a 5,a 6,a 7,a 8}重复上述操作，得到{a 9,a 10,a 11,a 12}……以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个①a 5=2，a 6=32，a 7=43，a 8=54 ②a 2015=3③a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 49+a 50=−11310．A ．0B ．1C ．2D ．3【思路点拨】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．【解题过程】解：由题意得：a 1=12，a 2=13，a 3=14，a 4=15，a 5=112=2，a 6=113=32，a 7=1141=43，a 8=115=54，故①正确；∵2015÷4=503⋯⋯3，∴a 2015是由a 3经过503次操作所得，∵a 3=14，a 7=114=43，a 11=143=−3，a 15=131=14，∴a 3、a 7、a 11、……，三个为一组成一个循环，∵503÷3=167⋯⋯2，∴a 2015=a 11=−3，故②错误；依次计算：a 9=1−21=−1，a 10=132=−2，a 11=143=−3，a 12=154=−4，a 13=111=12，a 14=121=13，a 15=131=14，a 16=141=15，…，则每3次操作，相应的数会重复出现，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=12+13+14+15+2+32+43+54−1−2−3−4=−7930，∵50÷12=4......2，∴a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 48+a 49+a 50=−7930×4+12+13=−9710．故③错误；综上分析可知，正确的有2个，故选：B ．10．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）下列说法正确的有（ ）①已知a ，b ，c 是非零的有理数，且|abc|abc =−1时，则|a|a +|b|b+|c|c 的值为1或−3；②已知a ，b ，c 是有理数，且a +b +c =0，abc <0a c |b|−1或3；③已知x ≤4时，那么|x +3|−|x−4|的最大值为7，最小值为−7；④若|a |=|b |且|a−b|=23，则式子a b−abb 21的值为110；⑤如果定义{a,b }=a +b(a >b)0(a =b )b−a(a <b)，当ab <0，a +b <0，|a |>|b |时，{a ，b}的值为b−a ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【思路点拨】①由题意可得，abc <0，则a ，b ，c 中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由abc <0可得a ，b ，c 中有一个值为负数，求解即可；③根据x ≤4化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得a =b 或a =−b ，分别求解即可；⑤根据题意可得a ，b 异号，分两种情况求解即可．【解题过程】解：①由|abc|abc =−1可得abc <0，a ，b ，c 中有一个或三个值为负数，当a <0，b >0，c >0时，|a|a +|b|b +|c|c =−1+1+1=1当a <0，b <0，c <0时，|a|a +|b|b+|c|c=−1−1−1=−3故①正确；②由abc <0和a +b +c =0得a ，b ，c 中有一个值为负数，∴a +b =−c ，a +c =−b ，b +c =−a∴−a |a|+−b |b|+−c|c|=1−1−1=−1，故②错误；③当−3≤x ≤4时，x−4≤0，x +3≥0，则|x +3|−|x−4|=x +3+x−4=2x−1，此时最大值为7，最小值为−7当x <−3时，x−4≤0，x +3<0则|x +3|−|x−4|=−x−3+x−4=−7故③正确；④由|a |=|b |可得a =b 或a =−b当a =b 时，a−b =0与|a−b|=23矛盾，舍去；当a =−b 时，a−b =−2b ，a +b =0且|2b |=23解得a =13,b =−13或a =−13,b =13则ab =−19，b 2=19a +b−ab b 2+1=1919+1=110故④正确；⑤由题意可得a ，b 异号，当a <0，b >0时，|a |=−a ，|b |=b ，由|a |>|b |可得−a >b ，即a +b <0符合题意，此时a <0<b 则{a ，b}=b−a当a >0，b <0时，|a |=a ，|b |=−b由|a |>|b |可得a >−b ，即a +b >0，与a +b <0矛盾，舍去，综上{a ，b}=b−a 故⑤正确；正确的个数为4故选：C ．评卷人得 分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）三个整数a ，b ，c 满足a <b <c ，且a +b +c =0．若|a |<10，则|a |+|b |+|c|的最大值为 ．【思路点拨】根据a +b +c =0，a <b <c ，可得a <0，c >0，a +b <0，则|a |>|b |，再由|a |<10，a ，b ，c 都是整数，得到|a |≤9则|b |≤8，根据|a +b |=−(b +a )=−b−a ，|b |≥−b ，|a |≥a 即可得到|c |=|−a−b |=|a +b |≤|a |+|b |≤17，由此求解即可．【解题过程】解：∵a+b+c=0，a<b<c，∴a<0，c>0，a+b<0，∴|a|>|b|，∵|a|<10，a，b，c都是整数，∴|a|≤9∴|b|≤8，∵|a+b|=−(b+a)=−b−a，|b|≥−b，|a|≥a∴|c|=|−a−b|=|a+b|≤|a|+|b|≤17，∴|a|+|b|+|c|的值最大为9+8+17=34，故答案为：34．12．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如果有4个不同的正整数a，b，c，d满足（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，那么a+b+c+d的值是．【思路点拨】根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8分类讨论即可解答．【解题过程】解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，∴四个括号内是各不相同的整数，不妨设（2021﹣a）＜（2021﹣b）＜（2021﹣c）＜（2021﹣d），又∵（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．∵（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝8084﹣（a+b+c+d），∴a+b+c+d＝8084﹣[（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）]，①当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，a+b+c+d＝8084﹣（﹣2）＝8086；②当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣2﹣1+1+4＝2时，a+b+c+d＝8084﹣2＝8082．故答案为：8086或8082．13．（2022秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是．【思路点拨】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．【解题过程】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．故答案为：8和9．14．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是．【思路点拨】根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．【解题过程】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，∴d4＜90，则d＝2或3，c3＜90，则c＝1，2，3或4，b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，a＜90，则a＝1，2，3， (89)∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，故答案为：81．15．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作|AB|，定义|AB|=|a−b|，若|a+4|+(b−1)2=0，设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|，|PB|相差2时，则x的值为．【思路点拨】先利用绝对值的非负性，求出点A、点B所对应的数分别为，a=−4，b=1，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到|x+4|−|x−1|=2或|x−1|−|x+4|=2，然后针对x的取值范围进行分类讨论即可．【解题过程】解：∵|a+4|+(b−1)2=0，∴a+4=0，b−1=0，即a=−4，b=1，∵|PA|，|PB|相差2，∴|x+4|−|x−1|=2或|x−1|−|x+4|=2，当|x+4|−|x−1|=2时，x≤−4时，−x−4+x−1=2，无解；－４＜x≤１时，x＋4+x−1=2，解得x＝−0.5，x＞1时，x+4−x+1=2，无解；当|x−1|−|x+4|=2时，x≤−4时，−x+1+x+4=2，无解，－４＜x≤１时，−x＋1−x−4=2，解得x=−2.5，x＞1时，x−1−x−4=2，无解；综上所述，x的值为：−0.5或−2.5，故答案为：−0.5或−2.5．评卷人得 分三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）①−32×−+16×(−24)②(−2)3+(−3)×(−4)2+2−(−3)2÷(−2)③(−47.65)×2611+(−37.15)×+10.5×−7+5÷④−56+÷−×72+|−13|+(−1)2018【思路点拨】①先计算乘方，再计算括号内的，最后计算括号外的；②先计算乘方，再计算括号内的，最后计算括号外的；③先利用乘法分配律对原式进行整理，再根据有理数混合运算法则计算；④先计算乘方和绝对值，再计算括号内的，最后计算括号外的．【解题过程】解：①−32×−+16+×(−24)=−9×19+34×(−24)−16×(−24)+58×(−24)=−1−18+4−15=−30②(−2)3+(−3)×(−4)2+2−(−3)2÷(−2)=−8+(−3)×(16+2)−9÷(−2)=−8−54+92=−5712③(−47.65)×2611+(−37.15)×+10.5×−7+5÷=(−47.65)×2611+37.15×2611+10.5×+5÷56=(−47.65+37.15)×2611+10.5×−7+5×65=(−10.5)×2611+10.5×+6=10.5×−2+10.5×−7+6=10.5×−2611+6=10.5×(−10)+6=−105+6=−99④−56+÷−×72+|−13|+(−1)2018=−×−×72+13+1=1+13+1=73．17．（2022秋·福建宁德·七年级统考期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a ⊕b =a ×b +2×a ．（1）3⊕(−2)=___________；（2）求−5⊕−4（3）试探究这种新运算“⊕”是否满足交换律？举例说明【思路点拨】（1）将a =3，b =−2代入a ⊕b =a ×b +2×a 计算可得；（2）根据法则，先计算−4⊕12=−10，再计算−5⊕(−10)⊕(−10)可得；（3）计算3⊕(−2)和(−2)⊕3即可得出答案．【解题过程】（1）解：∵a ⊕b =a ×b +2×a ，∴3⊕(−2)=3×(−2)+2×3=0；（2）解：∵a ⊕b =a ×b +2×a ，∴−5⊕−4=−5⊕(−4)×12+2×(−4)=−5⊕(−10)=(−5)×(−10)+2×(−5)=40；（3）解：新运算“⊕”不满足交换律．例如：由（1）知3⊕(−2)=0又∵(−2)⊕3=(−2)×3+2×(−2)=−10∴3⊕(−2)≠(−2)⊕3，∴新运算“⊕”不满足交换律．18．（2022秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a−b，a−c2，b−c 3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，−2，3，因为1−(−2)=3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，−2，3的“分差”为−53．（1）−2，−4，1的“分差”为______；（2）调整“−2，−4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．【思路点拨】（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案；（2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．【解题过程】（1）解：根据题意可得：−2−(−4)=2，−2−12=−32，−4−13=−53，∵−53<−32<2，∴−2，−4，1的“分差”为−53，故答案为：−53；（2）①这三个数的位置为：−2，−4，1时，根据（1）中所求“分差”为−53；②这三个数的位置为：−2，1，−4时，则−2−1=−3，−2−(−4)2=1，1−(−4)3=53，∵−3<1<53，∴−2，1，−4的“分差”为−3；③这三个数的位置为：1，−2，−4时，则1−(−2)=3，1−(−4)2=52，−2−(−4)3=23，∵23<52<3，∴1，−2，−4的“分差”为23；④这三个数的位置为：1，−4，−2时，则1−(−4)=5，1−(−2)2=32，−4−(−2)3=−23，∵−23<32<5，∴1，−4，−2的“分差”为−23；⑤这三个数的位置为：−4，1，−2时，则−4−1=−5，−4−(−2)2=−1，1−(−2)3=1，∵−5<−1<1，∴−4，1，−2的“分差”为−5；’⑥这三个数的位置为：−4，−2，1时，则−4−(−2)=−2，−4−12=−52，−2−13=−1，∵−52<−2<−1，∴−4，−2，1的“分差”为−52；∵23>−23>−53>−52>−3>−5，∴这些不同“分差”中的最大值为23．19．（2022秋·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期中）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．星　期一二三四五六日增减产量/个+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8【思路点拨】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；（2）根据题意和表格中的数据，本周生产个数=2100+增减产量，即可求得；（3）根据题意和表格中的数据，本周收入=本周生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），即可解得；（4）根据题意和表格中的数据，每天收入=生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），然后累加即可解得．【解题过程】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），所以，2100×0.6+11×（0.6+0.15）＝1260+11×0.75＝1260+8.25＝1268.25（元），答：小王这一周的工资总额是1268.25元；（4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）；第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）；第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）；第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）；第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）；第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）；第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）；共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）．答：小王这一周的工资总额是1267.1元．20．（2023秋·山西运城·七年级统考期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3，(−2)÷(−2)÷(−2)÷(−2)等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3记作3③，读作“3的圈3次方”，(−2)÷(−2)÷(−2)÷(−2)记作(−2)④，读作“−2的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋅⋅⋅÷a(a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．n个【初步探究】（1）直接写出计算结果：4③=______，−=______．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式(−3)④=______；5⑥=______=______．（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方幂的形式等于______．（4）比较：(−9)⑤______(−3)⑦（填“>”“<”或“=”）【灵活应用】（5）算一算：−32÷−×−．【思路点拨】（1）根据题目给出的定义，进行计算即可；（2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可；（3）从（2）中总结归纳相关规律即可；（4）将两数变形，求出具体值，再比较大小即可；（5）先将除方转化为乘方，再运用有理数混合运算的方法进行计算即可．【解题过程】解：（1）4③=4÷4÷4=14，−=−÷−÷÷−=4，故答案为：14，4；（2）(−3)④=(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)=−；5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5==12÷12÷12÷12÷12=23；故答案为：，23；（3）a的圈n次方为：a÷a÷a÷...÷an个a=；（4）(−9)⑤==−1729，(−3)⑦==−1243，∵729>243，∴−1729>−1243，∴(−9)⑤>(−3)⑦，故答案为：>；（5）−32÷−×−=−32÷(−33)×42=−9÷(−27)×16=163．21．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x=|a|a +|b|b的值．请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为．（2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a，b，c均不为零，求x=|a|a +|b|b−|c|c的值．②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式b c|a|+a c|b|+a b|c|的值．【思路点拨】（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案；③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；综合上面三个的结果得到答案；（2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案；②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可.【解题过程】（1）①∵a、b都是正数，∴|a|=a，|b|=b，∴x=|a|a +|b|b=1+1=2，故答案为：2；②设a是负数，b是正数，∴|a|=-a，|b|=b，∴x=|a|a +|b|b=-1+1=0，故答案为：0；③∵a、b都是负数，∴|a|=-a，|b|=-b，∴x=|a|a +|b|b=-1-1=-2，故答案为：-2；综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：当a、b、c都是正数时，x=|a|a +|b|b−|c|c=1+1-1=1，当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，x=|a|a +|b|b−|c|c=1+1+1=3，当a 、b 、c 为一正两负且a 、b 为负c 为正时，x =|a |a +|b |b −|c |c =-1-1-1=-3,当a 、b 、c 都是负数时，x =|a |a +|b |b −|c |c =-1-1+1=-1，综上，x =|a |a +|b |b −|c |c 的值为1或3或-3,或-1；②∵a ，b ，c 均不为零，且a+b+c=0，∴b c |a |a b |c |=−a |a |−b |b |−c |c |，∴当a 、b 、c 为两正一负时，b c |a |+a c|b |+a b |c |=-1-1+1=-1，当a 、b 、c +a c |b |，综上，b c |a |++a b|c |的值为-1或1.22．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考期中）已知A ，B 两点在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB =|a−b |．已知数轴上A ，B 两点对应的数分别为－1，3，P 为数轴上一动点．（1）若点P 到A ，B 两点之间的距离相等，则点P 对应的数为______．（2）若点P 到A ，B 两点的距离之和为6，则点P 对应的数为______．（3）现在点A 以2个单位长度/秒的速度运动，同时点B 以0.5个单位长度/秒的速度运动，A 和B 的运动方向不限，当点A 与点B 之间的距离为3个单位长度时，求点B 所对应的数是多少？【思路点拨】（1）根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；（2）设点P 对应的数为x ，根据题意可得|x +1|+|x−3|=6；分类讨论，当−1<x <3时，②当x >3时，③当x <−1时，计算即可得出答案；（3）设经过t 秒，分情况讨论①当点A 点B 相向而行时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3−0.5t ，即可得出|(−1+2t)−(3−0.5t)|=3，②当点A 点B 同向向右运动时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3+0.5t ，则|(−1+2t)−(3+0.5t)|=3，③当点A 点B 同向向左运动时，求出t 的值，即可算出点B 对应的数．【解题过程】（1）解：根据题意可得，AB =|−1−3|=4，因为点P 到A ，B 两点之间的距离相等，所以点P 到点−1和点3的距离为2，则点P 对应的数为：1；故答案为：1；（2）解：设点P 对应的数为x ，则|x +1|+|x−3|=6；①当−1<x <3时，最大值为4，不满足题意；②当x >3时，解得：x =4；③当x <−1时，解得：x =−2，点P 对应的数为4或−2；故答案为：4或−2；（3）解：设经过t 秒，①当点A 点B 相向而行时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3−0.5t ，则|(−1+2t)−(3−0.5t)|=3，解得t =145或t =25，点B 对应的数为3−12×143=23或3−12×25=145；②当点A 点B 同向向右运动时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3+0.5t ，则|(−1+2t)−(3+0.5t)|=3，解得：t =143或t =23，点B 表示的数为3+12×143=163或3+12×23=103；③当点A 点B 同向向左运动时，因为AB =4，点A 的运动速度大于点B 的运动速度，不能满足题意．综上：点B 表示的数为23或145或163或103．23．（2023·江苏·七年级假期作业）【定义新知】我们知道：式子|x−3|的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离AB =|a−b |．请根据数轴解决以下问题：（1）式子|x+2|在数轴上的意义是；（2）|x+1|+|x−3|当取最小值时，x可以取整数；（3）|x+1|−|x−3|最大值为；（4）|x+1|+|x−2|+|x−6|的最小值为；【解决问题】（5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km，左侧1km，右侧1km，右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．【思路点拨】（1）根据题意即可得出结论；（2）|x+1|+|x−3|的最小值表示有理数x的点到−1的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在−1和3之间的线段上，即可求出结果；（3）根据|x+1|−|x−3|的几何意义是表示x的点到−1的距离减去x到3的距离，可得x≥3时取得最大值，即可求出结果；（4）|x+2|+|x+6|+|x−1|的几何意义是表示x的点到−2的点和到−6的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即|x+5|+|x+1|+|x−1| +|x−3|，求出最小值即可．【解题过程】（1）解：由题意可知，式子|x+2|在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−2的点之间的距离；故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−2的点之间的距离．（2）解：根据题意可得，|x+1|+|x−3|的几何意义是数轴上表示有理数x到−1的距离与x到3的距离之和，∴当−1≤x≤3时，|x+3|+|x−1|取最小值，即当x可以取整数−1，0，1，2，3；故答案为：−1，0，1，2，3．（3）解：∵|x+1|−|x−3|的几何意义是表示x的点到−1的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离，∴x≥3时取得最大值，∴|x+1|−|x−3|的最大值是：x+1−(x−3)=4．（4）解：根据题意可得，|x+2|+|x+6|+|x−1|的几何意义是数轴上表示x的点到表示−2的点和到表示−6的点和表示1的点的距离之和，当表示x的点在表示−6的点到表示1的点的线段上，|x+2|+|x+6|+|x−1|有最小值，即−6≤x≤1，当x=−2时，|x+2|+|x+6|+|x−1|的值最小，最小值为7；故答案为：7．（5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处，根据题意可得，便民服务点到四点的距离为|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|，当表示x的点在表示−5的点到表示3的点的线段上，|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|有最小值，即−5≤x≤3，当x=±1时，|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|取得最小值，此时|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|=10，答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是10km．。

七上第二章有理数压轴题班级姓名得分一、解答题1.如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3．（1）数轴上点A表示的数为______．（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数为______．②设点A的移动距离AA′=x．ⅰ．当S=4时，x=______；OO′，当点D，E所表ⅱ．D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE=13示的数互为相反数时，求x的值．2.在数轴上有A、B两点，所表示的数分别为n，n+6，A点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时B点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，设运动时间为t秒．(1)当n=1时，则AB=______ ；(2)当t为何值时，A、B两点重合；(3)在上述运动的过程中，若P为线段AB的中点，数轴上点C所表示的数为n+10是否存在t的值，使得线段PC=4，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．3.如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．（1）当0＜t＜5，用含t的式子填空：BP＝____________________，AQ＝__________；（2）当t＝2时，求PQ的值；AB时，求t的值．（3）当PQ=124.如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为-2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）当t=0秒时，AC的长为______，当t=2秒时，AC的长为______．（2）用含有t的代数式表示AC的长为______．（3）当t=______秒时AC-BD=5，当t=______秒时AC+BD=15．（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC=2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．5.已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数-24，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA= ______ ，PC= ______ ；（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．6.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3b|+（a+b-4）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．7.如图，数轴上的点O和A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t 秒（0≤t≤10）．（1）线段BA的长度为______ ；（2）当t=3时，点P所表示的数是______ ；（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；（4）在运动过程中，若OP中点为Q，则QB的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含t的代数式QB的长度．8. 已知：b 是最小的正整数，且a 、b 满足（c -6）2+|a +b |=0，请回答问题（1）请直接写出a 、b 、c 的值．a = ______ ，b = ______ ，c = ______（2）a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在A 、B 之间运动时，请化简式子：|x +1|-|x -1|-2|x +5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒n （n ＞0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2n 个单位长度和5n 个单位长度的速度向右运动，假设经过t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC -AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．9. 观察下面的变形规律：11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，…解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n(n+1)= ______ ； （2）证明你猜想的结论；（3）计算：11×2+12×3+13×4+…+12014×2015+12015×2016．10. 阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x |={x,x >00,x =0−x,x <0，所以当x ＞0时，x|x|=xx =1；当x ＜0时，x|x|=x−x =-1．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，a|a|+b|b|= ______ ； （2）已知a ，b 是有理数，当abc ≠0时，a|a|+b|b|+c|c|= ______ ；（3）已知a ，b ，c 是有理数，a +b +c =0，abc ＜0，则b+c |a|+a+c |b|+a+b|c|= ______ ．11. 阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x |={x ，(x ＞0)0，(x =0)−x ，(x ＜0)，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x +1|+|x -2|时，可令x +1=0和x -2=0，分别求得x =-1，x =2（称-1，2分别叫做|x +1|与|x -2|的零点值．）在有理数范围内，零点值x =-1和x =2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当x ＜-1时，原式=-（x +1）-（x -2）=-2x +1； （2）当-1≤x ≤2时，原式=x +1-（x -2）=3； （3）当x ＞2时，原式=x +1+x -2=2x -1．综上所述，原式={−2x +1，(x ＜−1)3，(−1≤x ≤2)2x −1，(x ＞2)．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x +2|和|x -4|的零点值； （2）化简代数式|x +2|+|x -4|；（3）求方程：|x +2|+|x -4|=6的整数解；（4）|x +2|+|x -4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．12. 如图所示，数轴上依次有三点A ，O ，B ，点A 位于原点O 的左侧且相距40个单位长度，BO =30个单位长度，点P 从A 点出发以3个单位长度/秒的速度匀速向B 点运动，点Q 从B 点出发，以a 个单位长度/秒的速度匀速向A 点运动，两点同时出发（P 、Q 只在线段AB 上运动）．若BO 表示点O 与点B 之间的距离，PO 表示点P 与点O 之间的距离，QO 表示点Q 与点O 之间的距离．（1）2秒后点P 与点Q 的距离为______ ；（用含a 的代数式表示） （2）当a =2时，求经过多少秒后PO =QO ；（3）当a =94且t ≠403时，POQO 的值随时间t 的变化而改变吗？请说明理由．13. 先阅读下面文字，然后按要求解题．例：1+2+3+…+100=？如果一个一个顺次相加显然太麻烦，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的．因为1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果： 1+2+3+4+5+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51） =101×______ =______．（1）补全例题解题过程；（2）请猜想：1+2+3+4+5+6+…+（2n -2）+（2n -1）+2n =______． （3）试计算：a +（a +b ）+（a +2b ）+（a +3b ）+…+（a +99b ）．14. 点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且a 、b 满足：|a +6|+（b -4）2=0（1）求线段AB 的长；（2）如图1，点C 在数轴上对应的数为x ，且是方程x +1=14x -5的根，在数轴上是否存在点P 使PA +PB =14BC +AB ？若存在，求出点P 对应的数；若不存在，说明理由；（3）如图2，若P 点是B 点右侧一点，PA 的中点为M ，N 为PB 的三等分点且靠近于P 点，当P 在B 的右侧运动时，有两个结论：①12PM -38BN 的值不变；②PM +34BN 的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并求出其值．15. （1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB |=|OB |=|b |=|a -b |； 当A 、B 两都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |=|OB |-|OA |=|b |-|a |=b -a =|a -b |；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |=|OB |-|OA |=|b |-|a |=-b -（-a ）=|a -b |； ③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |=|OB |+|OA |=|a |+|b |=a +（-b ）=|a -b |；（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是______ ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______ ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______ ；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是______ ，如果|AB|=2，那么x为______ ；③当代数式取|x+1|+|x-2|最小值时，相应的x的取值范围是______ ；④求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2015|的最小值．（提示：1+2+3+…+n=n(n+1)）216.求1+2+22+23+…+22016的值，令S=1+2+22+23+…+22016，则2S=2+22+23+…+22016+22017，因此2S-S=22017-1，S=22017-1．参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．答案和解析1.【答案】（1）4；（2）①6或2 ； ②ⅰ．83；ⅱ．如图1，当原长方形OABC 向左移动时，点D 表示的数为4−12x ，点E 表示的数为−13x ，由题意可得方程：4-12x -13x =0， 解得：x =245，如图2，当原长方形OABC 向右移动时，点D ，E 表示的数都是正数，不符合题意．【解析】解：（1）∵长方形OABC 的面积为12，OC 边长为3，∴OA =12÷3=4， ∴数轴上点A 表示的数为4， 故答案为：4．（2）①∵S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半， ∴S =6，∴O ′A =6÷3=2， 当向左运动时，如图1，A ′表示的数为2 当向右运动时，如图2， ∵O ′A ′=AO =4， ∴OA ′=4+4-2=6， ∴A ′表示的数为6，故答案为：6或2．②ⅰ．如图1，由题意得：CO •OA ′=4， ∵CO =3， ∴OA ′=43， ∴x =4-43=83，同法可得：右移时，x =83 故答案为：83；ⅱ．见答案．当向左运动时，当向右运动时，分别求出A ′表示的数；②i 、首先根据面积可得OA ′的长度，再用OA 长减去OA ′长可得x 的值；ii 、此题分两种情况：当原长方形OABC 向左移动时，点D 表示的数为4−12x ，点E 表示的数为−13x ，再根据题意列出方程；当原长方形OABC 向右移动时，点D ，E 表示的数都是正数，不符合题意．此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解． 2.【答案】解：（1）|2t -6|（2）根据题意得：5t +n =3t +n +6， 解得：t =3．∴当t 为3时，A 、B 两点重合． （3）∵P 为线段AB 的中点，∴点P 表示的数为（5t +n +3t +n +6）÷2=4t +n +3， ∵PC =4，∴|4t +n +3-n -10|=|4t -7|=4， 解得：t =114或t =34．∴存在t 的值，使得线段PC =4，此 时t 的值为114或34．【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、数轴以及列代数式，解题的关键是： （1）找出点A 、B 表示的数；（2）根据两点重合列出关于t 的一元一次方程；（3）根据PC 列出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程．找出运动时间为t 秒时，点A 、B 表示的数．（1）将n =1代入点A 、B 表示的数中，再根据两点间的距离公式即可得出结论；（2）根据点A 、B 重合即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）根据点A 、B 表示的数结合点P 为线段AB 的中点即可找出点P 表示的数，根据PC =4即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当运动时间为t 秒时，点A 表示的数为5t +n ，点B 表示的数为3t +n +6． （1）当n =1时，点A 表示的数为5t +1，点B 表示的数为3t +7， AB =|5t +1-（3t +7）|=|2t -6|． 故答案为|2t -6|． （2）见答案； （3）见答案.3.【答案】解：（1）∵当0＜t ＜5时， P 点对应的有理数为10+t ＜15， Q 点对应的有理数为2t ＜10，∴BP =OB -OP =OB -(OA +AP )=15-（10+t ）=5-t ，AQ =OA -AQ =10-2t ； 故答案为5-t ，10-2t ；（2）当t =2时，P 点对应的有理数为10+2=12， Q 点对应的有理数为2×2=4，Q点对应的有理数为2t，∴PQ=|2t-（10+t）|=|t-10|，AB，∵PQ=12∴|t-10|=2.5，解得t=12.5或7.5．【解析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（3）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，再根据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；（2）先求出当t=2时，P点对应的有理数为10+2=12，Q点对应的有理数为2×2=4，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距AB列出方程，解方程即可．离公式得出PQ=|2t-（10+t）|=|t-10|，根据PQ=124.【答案】解：（1）2；4；（2）t+2；（3）6；11；（4）假设能相等，则点A表示的数为2t-2，C表示的数为t，D表示的数为t+3，B表示的数为12，∴AC=|2t-2-t|=|t-2|，BD=|t+3-12|=|t-9|，∵AC=2BD，∴|t-2|=2|t-9|，解得t1=16，t2=20．3秒．故在运动的过程中使得AC=2BD，此时运动的时间为16秒和203【解析】【分析】本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．（1）依据A、C两点间的距离=|a-b|求解即可；（2）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，从而点C表示的数；根据A、C两点间的距离=|a-b|求解即可；（3）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，从而可得到点C、点D表示的数；根据两点间的距离=|a-b|表示出AC、BD，．根据AC-BD=5和AC+BD=15得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程，分别解方程即可得出结论；（4）假设能够相等，找出AC、BD，根据AC=2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）当t=0秒时，AC=|-2-0|=|-2|=2；当t=2秒时，移动后C表示的数为2，∴AC=|-2-2|=4．故答案为2；4；（2）点A表示的数为-2，点C表示的数为t；（3）∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，∴C表示的数是t，D表示的数是3+t，∴AC=t+2，BD=|12-（3+t）|，∵AC-BD=5，∴t+2-|12-（t+3）|=5．解得：t=6．∴当t=6秒时AC-BD=5；∵AC+BD=15，∴t+2+|12-（t+3）|=15，t=11；当t=11秒时AC+BD=15，故答案为6，11；（4）见答案.5.【答案】（1）t；34-t（2）点P表示的数为-4，-2，3，4．【解析】【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用以及利用数轴确定点的位置，利用分类讨论得出是解题关键．（1）根据P点位置进而得出PA，PC的距离；（2）分别根据P点与Q点相遇前以及相遇后进而分别分析得出即可．【解答】解：（1）∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t 秒，∴P到点A的距离为：PA=t，P到点C的距离为：PC=（24+10）-t=34-t；故答案为：t，34-t；（2）当P点在Q点右侧，且Q点还没有追上P点时，3（t-14）+2=t解得：t=20，∴此时点P表示的数为-4，当P点在Q点左侧，且Q点追上P点后，相距2个单位，3（t-14）-2=t解得：t=22，∴此时点P表示的数为-2，当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，t+2+3（t-14）-34=34解得：t=27，∴此时点P表示的数为3，当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，t-2+3（t-14）-34=34解得：t=28，∴此时点P表示的数为4，综上所述：点P表示的数为-4，-2，3，4．6.【答案】解：（1）∵a、b满足|a-3b|+（a+b-4）2=0，∴a-3b=0，且a+b-4=0，∴a=3，b=1；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t=（20+t）×1，解得t=10；②当60＜t＜120时，3t-3×60+（20+t）×1=180°，解得t=85；③当120＜t＜160时，3t-360=t+20，解得t=190＞160，（不合题意）综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）设A灯转动时间为t秒，∵∠CAN=180°-3t，∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，又∵PQ∥MN，∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，而∠ACD=90°，∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，∴∠BAC：∠BCD=3：2，即2∠BAC=3∠BCD．【解析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．（1）根据|a-3b|+（a+b-4）2=0，可得a-3b=0，且a+b-4=0，进而得出a、b的值；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．7.【答案】（1）5；（2）6；（3）当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20-2t；（4）QB的长度发生变化，当0≤t≤5时，QB=5-t，当5≤t≤10时，QB=5-1（20-5t）=t-5．2【解析】解：（1）∵B是线段OA的中点，∴BA=1OA=5；2故答案为：5；（2）当t=3时，点P所表示的数是2×3=6，故答案为：6；（3）见答案；（4）见答案.【分析】（1）根据B 是线段OA 的中点，即可得到结论； （2）根据已知条件即可得到结论；（3）当0≤t ≤5时，当5≤t ≤10时，即可得到结论；（4）当0≤t ≤5时，当5≤t ≤10时，根据线段的和差即可得到结论． 此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P 点位置的不同得出等式方程求出是解题关键． 8.【答案】（1）-1；1；6（2）由题意-1＜x ＜1，∴|x +1|-|x -1|-2|x +5|=x +1+1-x -2（x +5） =2-2x -10=-2x -8．（3）由题意BC =5+5nt -2nt =5+3nt ，AB =nt +2+2nt =2+3nt ， ∴BC -AB =（5+3nt ）-（2+3nt ）=3， ∴BC -AB 的值不变，BC -AB =3．【解析】【分析】本题考查非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，属于中考常考题型．（1）根据最小的正整数是1，推出b =1，再利用非负数的性质求出a 、c 即可． （2）首先确定x 的范围，再化简绝对值即可．（3）BC -AB 的值不变．根据题意用n ，t 表示出BC 、AB 即可解决问题． 【解答】解：（1）∵b 是最小的正整数， ∴b =1，∵（c -6）2+|a +b |=0，（c -6）2≥0，|a +b |≥0， ∴c =6，a =-1，b =1， 故答案为-1，1，6．（2）由题意-1＜x ＜1， ∴x +1＞0，x -1＜0，x +5＞0∴|x +1|-|x -1|-2|x +5|=x +1+1-x -2x -10=-2x -8．（3）由题意BC =5+5nt -2nt =5+3nt ，AB =nt +2+2nt =2+3nt ， ∴BC -AB =（5+3nt ）-（2+3nt ）=3， ∴BC -AB 的值不变，BC -AB =3．9.【答案】（1）1n -1n+1；（2）已知等式右边=n+1−nn(n+1)=1n(n+1)=左边，得证； （3）原式=1-12+12-13+…+12015-12016=1-12016=20152016．【解析】解：（1）1n(n+1)=1n -1n+1； 故答案为：1n -1n+1．（2）见答案； （3）见答案.（1）观察已知等式，写出猜想即可；（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得证； （3）原式利用拆项法变形后，抵消合并即可得到结果．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.【答案】（1）±2或0； （2）±1或±3； （3）-1.【解析】解：（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时， ①a ＜0，b ＜0，a|a|+b|b|=-1-1=-2， ②a ＞0，b ＞0，a|a|+b |b|=1+1=2， ③a 、b 异号，a|a|+b |b|=0，故答案为：±2或0； （2）已知a ，b 是有理数，当abc ≠0时， ①a ＜0，b ＜0，c ＜0，a|a|+b|b|+c|c|=-1-1-1=-3， ②a ＞0，b ＞0，c ＞0，a|a|+b|b|+c|c|=1+1+1=3， ③a 、b 、c 两负一正，a|a|+b|b|+c|c|=-1-1+1=-1， ④a 、b 、c 两正一负，a|a|+b|b|+c|c|=-1+1+1=1， 故答案为：±1或±3； （3）已知a ，b ，c 是有理数，a +b +c =0，abc ＜0， 则b +c =-a ，a +c =-b ，a +b =-c ，a 、b 、c 两正一负， 则b+c |a|+a+c |b|+a+b|c|═-a|a|-b|b|-c |c|=1-1-1=-1，故答案为：-1．【分析】（1）分3种情况讨论即可求解； （2）分4种情况讨论即可求解；（3）根据已知得到b +c =-a ，a +c =-b ，a +b =-c ，a 、b 、c 两正一负，进一步计算即可求解．此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.【答案】解：（1）∵|x +2|和|x -4|的零点值，可令x +2=0和x -4=0，解得x =-2和x =4，∴-2，4分别为|x +2|和|x -4|的零点值． （2）当x ＜-2时，|x +2|+|x -4|=-2x +2； 当-2≤x ＜4时，|x +2|+|x -4|=6； 当x ≥4时，|x +2|+|x -4|=2x -2； （3）∵|x +2|+|x -4|=6， ∴-2≤x ≤4，∴整数解为：-2，-1，0，1，2，3，4． （4）|x +2|+|x -4|有最小值， ∵当x =-2时，|x +2|+|x -4|=6， 当x =4时，|x +2|+|x -4|=6，∴|x +2|+|x -4|的最小值是6．【解析】本题主要考查了绝对值，解题的关键是能根据材料所给信息，找到合适的方法解答．（1）根据题中所给材料，求出零点值；（2）将全体实数分成不重复且不遗漏的三种情况解答； （3）由|x +2|+|x -4|=6，得到-2≤x ≤4，于是得到结果；（4）|x +2|+|x -4|有最小值，通过x 的取值范围即可得到结果． 12.【答案】（1）|64-2a |； （2）设t 秒后，PO =QO ，当a =2时，点P 表示数-40+3t ，点Q 表示30-2t ， 根据题意知，|-40+3t |=|30-2t |， 解得：t =14或t =10，答：经过10秒或14秒后PO =QO ；（3）当a =94时，点P 表示数-40+3t ，点Q 表示数30-94t ， 则PO =|-40+3t |、QO =|30-94t |， ∵t ≠403， ∴POQO =|−40+3t||30−94t|=|3t−40||−34|⋅|3t−40|=43，故当a =94且t ≠403时，POQO 的值不随时间t 的变化而改变．【解析】解：（1）2秒后点P 表示数-40+2×3=-34，点Q 表示数30-2a ， 则PQ =|30-2a -（-34）|=|64-2a |， 故答案为：|64-2a |； （2）见答案； （3）见答案．（1）先表示出2秒后P 、Q 两点所表示的数，再根据两点间的距离公式可得；（2）设t 秒后，PO =QO ，表示出a =2时，P 、Q 两点所表示的数，继而由PO =QO 列出关于t 的方程，解之可得；（3）表示出a =94且t ≠403时PO 、QO 的长，由POQO =|−40+3t||30−94t|=|3t−40||−34|⋅|3t−40|=43可得答案．本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，根据两点间的距离公式表示出所需线段的长度是解题的关键．13.【答案】（1）50 5050 （2）n （2n +1）（3）a +（a +b ）+（a +2b ）+（a +3b ）+…+（a +99b ）， =（a +a +99b ）+（a +b +a +98b ）+…+（a +49b +a +50b ）， =（2a +99b ）×50， =100a +4950b ．【解析】解：（1）1+2+3+4+5+ (100)=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）， =101×50， =5050．故答案为：50；5050．（2）∵1+2n =2+（2n -1）=3+（2n -2）=…=n +n +1=2n +1， ∴1+2+3+4+5+6+…+（2n -2）+（2n -1）+2n ， =（2n +1）+（2n +1）+…+（2n +1）， =n （2n +1）．故答案为：n （2n +1）． （3）见答案 【分析】（1）根据数的个数可找出总共有50个101，由此即可得出结论； （2）仿照（1）找出规律，由此即可求出结论； （3）仿照（1）找出规律，由此即可求出结论．本题考查了规律型中数字的变化类，观察数列，找出“首尾相加=第二项+倒数第二项=…”是解题的关键．14.【答案】解：（1）∵|a +6|+（b -4）2=0， ∴a +6=0，b -4=0， ∴a =-6，b =4， ∴AB =|-6-4|=10． 答：AB 的长为10； （2）存在， ∵2x +1=14x -5，∴x =-8， ∴BC =12．设点P 在数轴上对应的数是m ， ∵PA +PB =14BC +AB ， ∴|m +6|+|m -4|=14×12+3， 令m +6=0，m -4=0，∴m =-6或m =4． ①当m ≤-6时， -m -6+4-m =13， m =-7.5；②当-6＜m ≤4时，m +6+4-m =13，（舍去）； ③当m ＞4时， m +6+m -4=13， m =5.5．∴当点P 表示的数为-7.5或5.5时，PA +PB =14BC +AB ；（3）设P 点所表示的数为n ， ∴PA =n +6，PB =n -4． ∵PA 的中点为M ， ∴PM =12PA =n+62．N 为PB 的三等分点且靠近于P 点， ∴BN =23PB =23×（n -4），∴①12PM -38BN =12×n+62-38×2(n−4)3=52（不变）， ②PM +34BN =n+62+34×2(n−4)3=n +1（随点P 的变化而变化），即正确的结论为①12PM -38BN 的值不变，其值为52．【解析】（1）利用非负数的性质求出a 与b 的值，即可确定出AB 的长；（2）求出已知方程的解确定出x ，得到C 表示的点，设点P 在数轴上对应的数是m ，由PA +PB =14BC +AB 确定出P 位置，即可做出判断；（3）设P 点所表示的数为n ，就有PA =n +6，PB =n -4，根据条件就可以表示出PM =n+62，BN =23×（n -4），再分别代入①12PM -38BN 和②PM +34BN 求出其值即可． 本题考查了一元一次方程的运用，分段函数的运用，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键． 15.【答案】（1）3；3；4；（2）|x +1|；-3或1；(3)-1≤x ≤2; (4)1015056【解析】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是：|2-5|=3， 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：|-2+5|=3， 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是：|1+3|=4，②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是：|x +1|， 当|AB |=2，即|x +1|=2， 解得x =-3或1．③若|x +1|+|x -2|取最小值，那么表示x 的点在-1和2之间的线段上， 所以-1≤x ≤2． ④解：当x =1+20152=1008时，|x -1|+|x -2|+|x -3|+…+|x -2015|最小，最小值为1+2+3+…+1007+0+1+2+3+…+1007 =（1+2+3+…+1007）×2 =(1+1007)×10072×2=1015056．故答案为：3，3，4； |x +1|，-3或1； -1≤x ≤2; 1015056①根据两点间的距离公式即可求解；②根据两点间的距离公式可求数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x ；③求|x +1|+|x -2|的最小值，意思是x 到-1的距离之和与到2的距离之和最小，那么x 应在-1和2之间的线段上；④根据提示列出算式计算即可求解．本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．绝对值是正数的数有2个．16.【答案】解：设S =5+52+53+…+52016，则5S =52+53+…+52017， ∴5S -S =52+53+…+52017-（5+52+53+…+52016）=52017-5， ∴S =52017−54．【解析】仿照例题可设S=5+52+53+…+52016，从而得出5S=52+53+…+52017，二者做差后即可得出结论．本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，仿照例题找出4S=52017-5是解题的关键．。