2017年秋九年级数学上册 21.2 二次函数的图象和性质(第6课时)习题 (新版)沪科版

21.2 二次函数的图象和性质同步测试一、选择题1.函数y=2x（x-3）中，二次项系数是（）A. 2B. 2x2C. －6D. -6x【答案】A2.二次函数的顶点坐标是（）A. （1，-2）B. （1，2）C. （0，-2）D. （0，2）【答案】D3.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（）A. y=x2﹣2x+2B. y=x2﹣2x﹣2C. y=﹣x2﹣2x+1D. y=x2﹣2x+1【答案】B4.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A. 0 5B. 0 1C. ﹣4 5D. ﹣4 1【答案】D5. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C6.已知A(－1，y1)、B(2，y2)、C(－3，y3)在函数y＝-5(x＋1)2＋3的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A. y1< y2< y3B. y1< y3 < y2C. y2 < y3 < y1D. y3< y2 < y1【答案】C7.如图，关于抛物线y=(x-1)2-2，下列说法错误的是（）A. 顶点坐标为(1，-2)B. 对称轴是直线x=lC. 开口方向向上D. 当x>1时，Y随X的增大而减小【答案】D8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a-2b+c|+|a+b+c|-|2a+b|+|2a-b|，则（）A. M＞0B. M＜0C. M＝0D. M的符号不能确定【答案】B9.关于抛物线y=x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（）A. 开口向上B. 当a=2时，经过坐标原点OC. a＞0时，对称轴在y轴左侧D. 不论a为何值，都经过定点（1，﹣2）【答案】C10.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（）A. y=3（x﹣3）2+3B. y=3（x﹣3）2﹣3C. y=3（x+3）2+3D. y=3（x+3）2﹣3【答案】D11. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＜0；④16a+4b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C12.如图，将抛物线y=-x2平移后经过原点O和点A(6,0)，平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线y=-x2相交于点C，则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为( )A. B. 12 C. D. 15【答案】C二、填空题13.y=﹣2x2+8x﹣7的开口方向是________，对称轴是________．【答案】向下；直线x=214.抛物线y=2x2+3x+k﹣2经过点（﹣1，0），那么k=________．【答案】315. 二次函数y=x2﹣2x+3图象的顶点坐标为________ .【答案】（1，2）16.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y=________．【答案】（x﹣1）2+217.把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是________．【答案】18.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为________【答案】19.已知点A(-2,m)、B(2,n)都在抛物线上，则m与n的大小关系是m ________n．（填“>”、“<”或“=”）【答案】＜20. 如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是________ .【答案】，（答案不唯一）．三、解答题21.已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．求二次函数的解析式；【答案】解：∵二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）,∴,解得.∴二次函数的解析式为.22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-8mx+16m-1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B （x2，0）．（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）若AB=2，求此抛物线的解析式．（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx2-8mx+16m-1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．【答案】（1）证明：△=64m2-4m•（16m-1）=4m，∵m＞0，∴△＞0，∴抛物线总与x轴有两个不同的交点（2）解：根据题意，x1、x2为方程mx2-8mx+16m-1=0的两根，∴x1+x2=- =8，x1•x2= ，∵|x1-x2|=2，∴（x1+x2）2-4x1•x2=4，∴82-4• =4，∴m=1，∴抛物线的解析式为y=x2-8x+15（3）解：抛物线的对称轴为直线x=- =4，∵抛物线开口向上，∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，∴4m-16m+16m-1≥0，∴m≥23.如图，抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．（1）求抛物线的解析式．（2）设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①如图①，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．②是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3（2）解：①∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴P（1，4），且C（0，﹣3），设直线BC解析式为y=kx+m，则有，解得，∴直线BC解析式为y=x﹣3，设对称轴交BC于点E，如图1，则E（1，﹣2），∴PE=﹣2﹣（﹣4）=2，∴S△PBC= PE•OB= ×3×2=3；②设P（1，t），由①可知E（1，﹣2），∴PE=|t+2|，∴S△PBC= OB•PE= |t+2|，∴|t+2|=6，解得t=2或t=﹣6，∴P点坐标为（1，2）或（1，﹣6），即存在满足条件的点P，其坐标为（1，2）或（1，﹣6）24.如图，抛物线y= x2﹣2x﹣6 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D 为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4 ，AE与y轴交F．（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；（2）点M，N是抛物线对称轴上两点，且M（2 ，a），N（2 ，a+ ），是否存在a使F，C，M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；（3）连接BC交对称轴于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2 个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间为t（0≤t≤ ）秒，求使得△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的时对应的t值．【答案】（1）解：∵y= x2﹣2x﹣6 = （x﹣2 ）2﹣8 ，∴顶点D坐标（2 ，﹣8 ），由题意E（4 ，﹣8 ），A（﹣2 ，0），B（6 ，0），设直线AE解析式为y=kx+b，则有，解得，∴直线AE解析式为y=﹣x﹣2 ，∴点F坐标（0，﹣2 ）（2）解：如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使得CC′= ，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．∵四边形CMNF的周长=CF+NM+CM+FN=5 +CM+NF，CM+NF=C′N+NF=C′N+NF′=C′F′（两点之间线段最短），∴此时四边形CMNF的周长最小．∵C′F=3∴GN= C′F= ，∴﹣（a+ ）=2 + ，∴a=﹣，∵C′F′= =5 ，∴四边形CMNF的周长最小值=5 +5 =10（3）解：如图2中，作PF⊥BD于F，QH⊥对称轴于H．由题意可知BD= =4 ，DQ=2 t，∵S△PQG= S△DPQ= S△PD′Q，∴PG= PD′= PD=2 = BF，情形①PG∥FB时，∵PF=PD，∴BG=GD，∴PG= BF=2 ，在Rt△QHD中，sin∠HDQ= ，DQ=2 t，∴HQ=2 t，HD=4 t，∵∠QPD′=∠QPD=45°，∴PH=HQ=2 t，∴PH+HD=PD，∴6 t=4 ，∴t= ．情形②如图3中，PG′=PG=2 ，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．由sin∠PDG=sin∠GPM= = ，∴MG′=MG= ，∴G′D=BD﹣GG′= ，∵= = ，∵∠QPD=∠QPG′，QK⊥PD，QJ⊥PG′，∴QK=QJ，∴= =2，∴QD= × = ，∴t= = ，综上所述t= 或秒时，△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的。

21.2.1 二次函数y ＝ax 2的图象和性质知识点 1 二次函数y ＝ax 2的图象画法1．请你帮小明完成用描点法画函数y ＝4x 2图象的有关步骤： 列表：图21－2－1知识点 2 二次函数y ＝ax 2的图象特征与有关概念 2．关于二次函数y ＝－23x 2的描述错误的是( )A ．它的图象关于y 轴对称B ．该抛物线开口向下C ．原点是该抛物线上的最高点D ．当x 为任意实数时，函数值y 总是负数3．若抛物线y ＝(6－a )x 2的开口向上，则a 的取值范围是( ) A ．a >6 B ．a <6 C ．a >0 D ．a <0 4．已知二次函数y ＝53x 2与y ＝－53x 2，下列说法错误的是( )A ．它们的图象都关于y 轴对称B ．它们的图象的顶点相同C ．二次函数y ＝53x 2的图象都在二次函数y ＝－53x 2的图象上方D ．二次函数y ＝53x 2与y ＝－53x 2的图象关于x 轴对称5．若二次函数y ＝ax 2的图象过点P (－2，4)，则该图象必经过点( )A ．(2，4)B ．(－2，－4)C ．(－4，2)D ．(4，－2)6．(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2与y ＝－12x 2的图象．(2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题：①由图象可知抛物线y ＝2x 2与抛物线________的形状相同，且关于________轴对称；同样，抛物线y ＝12x 2与抛物线________的形状相同，也关于________轴对称；②当|a |相同时，抛物线开口大小________；当|a |变大时，抛物线的开口变________(填“大”或“小”)；当|a |变小时，抛物线的开口变________(填“大”或“小”)．知识点 3 二次函数y ＝ax 2的性质7．二次函数y ＝14x 2不具有的性质是( )A ．函数图象的开口向上B ．图象关于y 轴对称C ．y 随x 的增大而增大D ．函数的最小值是08．抛物线y ＝－3x 2的顶点坐标是________，该抛物线上有A (2，y 1)，B (12，y 2)两点，则y 1________y 2(填“>”“<”或“＝”)．9．已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A (－1，－12)，则这个二次函数的表达式为________，当x ________时，函数y 随x 的增大而增大．10．如图21－2－2，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝12x 2和函数y ＝－12x 2的图象，已知坐标原点O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形的边分别与x 轴、y 轴平行，如果点D 的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )A ．4B ．8C ．12D ．16图21－2－211．若A (－14，y 1)，B (－1，y 2)，C (12，y 3)为二次函数y ＝－x 2的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y312．当ab＞0时，二次函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是( )图21－2－313．若对任意实数x，二次函数y＝(a＋1)x2的值总是非负数，则a的取值范围是________．14．已知二次函数y＝ax2的图象经过点(2，－8)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)说出函数在x取什么值时，有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少；(3)当x为何值时，函数y随x的增大而减小？15．如图21－2－4所示，直线l经过点A(4，0)，B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内相交于点P，且△AOP的面积为4.(1)求直线AB的函数表达式和点P的坐标；(2)求a的值．图21－2－416．如图21－2－5①，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝x2的图象相交于A，B 两点，点A，B的横坐标分别为m，n(m<0，n>0)．(1)当m＝－1，n＝4时，k＝______，b＝______；当m＝－2，n＝3时，k＝______，b＝______；(2)根据(1)中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；(3)利用(2)中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED.①当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为____________；②当四边形AOED为正方形时，m＝________，n＝____________．图21－2－51．解：列表：描点并连线如图：2．D3．B [解析] 因为抛物线的开口向上，所以6－a>0，解得a<6.故选B .4．C [解析] 函数y ＝53x 2与y ＝－53x 2都是关于y 轴对称的抛物线，顶点都是原点，故A ，B 选项正确．由于它们的图象大小和形状都相同，开口方向相反，所以它们的图象关于x轴对称，故D 选项正确．5．A [解析] 二次函数y ＝ax 2的图象是轴对称图形，且对称轴是y 轴，观察各选项可知，点(2，4)和点(－2，4)关于y 轴对称，故点(2，4)也在该函数的图象上．故选A .6．解：(1)略．(2)①y＝－2x 2x y ＝－12x 2 x②相同 小 大7．C [解析] 二次函数y ＝14x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；当x ＜0时，y 随x的增大而减小．8．(0，0) ＜ [解析] 抛物线y ＝ax 2的顶点坐标是(0，0)，比较函数值可以代入计算，也可以利用函数的性质：抛物线开口向下，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，所以y 1＜y 2.9．y ＝－12x 2＜010． B[解析] 由二次函数图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，即12×4×4＝8.11． C[解析] 由二次项系数的正负性就可以知道抛物线的增减性，如果所给的点没有在对称轴的同一侧，那么可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再进行判断．因为－1＜0，所以当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，又由抛物线的对称性知，y 3的值等于x ＝－12时的函数值．因为0>－14>－12>－1，所以y 2＜y 3＜y 1.故选C .12．D [解析] ∵ab＞0，∴a ，b 同号．当a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，直线过第一、二、三象限，没有符合题意的选项；当a ＜0，b ＜0时，抛物线开口向下，直线过第二、三、四象限．故D 选项符合题意．13． a>－114．解：(1)把x ＝2，y ＝－8代入y ＝ax 2，得－8＝22·a ，解得a ＝－2，∴二次函数的表达式为y ＝－2x 2.(2)由于a ＝－2，故抛物线的顶点为最高点， ∴当x ＝0时，函数有最大值，最大值为0.(3)由于抛物线开口向下，在对称轴的右边，即x ＞0时，函数y 随x 的增大而减小．15．解：(1)设直线AB 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，4k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4，∴直线AB 的函数表达式为y ＝－x ＋4. 过点P 作PC⊥OA 于点C. 由题意，得12×4·PC＝4，∴PC ＝2.把y ＝2代入y ＝－x ＋4，得2＝－x ＋4， ∴x ＝2，∴点P 的坐标为(2，2)．(2)将点P(2，2)代入y ＝ax 2，得4a ＝2， ∴a ＝12.16．解：(1)当m ＝－1时，可求得纵坐标y ＝1；当n ＝4时，可求得纵坐标y ＝16，即点A 的坐标为(－1，1)，点B 的坐标为(4，16)．把点A 、点B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝1，4k ＋b ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝4. 当m ＝－2时，可求得纵坐标y ＝4；当n ＝3时，可得纵坐标y ＝9，即点A 的坐标为(－2，4)，点B 的坐标为(3，9)．把点A 、点B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝4，3k ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝6.故答案为3，4，1，6.(2)k ＝m ＋n ，b ＝－mn.证明如下：设点A 的坐标为(m ，m 2)，点B 的坐标为(n ，n 2)．把点A 、点B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧mk ＋b ＝m 2，nk ＋b ＝n 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝m ＋n ，b ＝－mn.(3)由题意，得点D(0，－mn)，点A(m ，m 2)．①当四边形AOED 为菱形时，有－mn ＝2m 2，则n ＝－2m.故答案为n ＝－2m.②当四边形AOED 为正方形时，有⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2m ，－mn ＝－2m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.故答案为－1，2.。

九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题及答案（人教版）姓名班级学号一、单选题1．下列函数不属于二次函数的是（）（x+1）2A．y=（x﹣1）（x+2）B．y= 12C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣√3 x22．已知y关于x的二次函数解析式为y=(m−2)x|m|，则m=（）A．±2 B．1 C．-2 D．±13．抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2+x﹣3关于x轴对称，则此抛物线的解析式为（）A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+x+3C．y=2x2﹣x+3 D．y=﹣2x2+x﹣34．二次函数y=x2−3x+1的图象与y轴的交点坐标是（）A．(0，0)B．(0，1)C．(0，−3)D．(3，0)5．对于二次函数y=ax2−2ax+3(a≠0)，下列说法错误的是( )A．对称轴为直线x=1B．一定经过点(2，3)C．当x<1时y随x增大而增大D．当a>0，m≠1时am2−2am+3>−a+3 .6．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax＋b与二次函数y=ax2+bx的图象可能是（）A． B． C． D．7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有( )A．3个B．2个C．1个D．0个8．已知点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数y=ax2−2ax+b(a>0)的图像上，若y1>y2，则必有（）A．x1>x2>1B．x1<x2<1C．|x1−1|<|x2−1|D．|x1−1|>|x2−1|9．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+4）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k＞2，m＜0，则二次函数y的最大值小于0B．若k≠2，m＜0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＜2，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k≠2，m＞0，则二次函数y的最大值大于0二、填空题10．把二次函数y=x2+3x+4的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数解析式是．11．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+5＝．12．函数y=x2+m与坐标轴交于A、B、C三点，若△ABC为等腰直角三角形，则m=．13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；③当x ＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有．14．如图，抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点为A，与y轴交于点B，BC∥x轴，与抛物线交于点C，CD∥y 轴，与射线OA交于点D，OC＝OD，则m＝．三、解答题15．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，−3），（3，0）．（1）求二次函数的表达式；时，（2）将二次函数y=x2+bx+c的图象向上平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G，当0≤x≤52图象G与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2mx +m－4 (m≠0)的顶点为A,与x轴交于B,C两点(B 在点C左侧)，与y轴交于点D．（1）求点A的坐标;（2）若BC=4,①求抛物线的解析式;②将抛物线在C,D之间的部分记为图象G (包含C,D两点) . 若过点A的直线y= kx+ b(k≠0)与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围.17．已知二次函数y=﹣2x2，y=﹣2（x﹣2）2，y=﹣2（x﹣2）2+2请回答下列问题：（1）写出抛物线y=﹣2（x﹣2）2的顶点坐标，开口方向和对称轴；（2）分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=﹣2x2得到抛物线y=﹣2（x﹣2）2和y=﹣2（x﹣2）2+2？（3）如果要得到抛物线y=﹣2（x﹣2017）2﹣2018，应将y=﹣2x2怎样平移？18．如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC 点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长；（3）当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？参考答案1．C2．C3．A4．B5．C6．D7．A8．D9．D10．y =(x −12)2−13411．612．-113．①14．2315．（1）解：∵该二次函数的图象经过点(0，-3)，( 3，0)∴{−3=0+0+c 0=9+3b +c解得：{b =−2c =−3∴二次函数的表达式为y =x 2−2x −3（2）解：如图74≤n ＜3或n ＝416．（1）解：y=mx2－2mx +m－4=m(x2－2x+1)－4=m(x－1)2－4.∴点A的坐标为(1，－4) ；（2）解：①由(1)得，抛物线的对称轴为：x= 1.∵抛物线与x轴交于B，C两点(点B在点C左侧)，BC=4∴点B的坐标为(－1,0)，点C的坐标为(3，0) .∴m+ 2m +m－4=0∴m=1.∴抛物线的解析式为：y= x2－2x－3；②由①可得点D的坐标为：(0，－3).当直线过点A， D时，解得：k=－1.当直线过点A， C时，解得：k=2.结合函数的图象可知，k的取值范围为：－1≤k<0或0<k≤2.17．（1）解：抛物线y=﹣2（x﹣2）2的顶点坐标（2，0），开口方向向下，对称轴为直线x=2 （2）解：y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣2（x﹣2）2的顶点坐标为（2，0）y=﹣2（x﹣2）2+2的顶点坐标为（2，2）所以，抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位得到抛物线y=﹣2（x﹣2）2抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线y=﹣2（x﹣2）2+2（3）解：∵抛物线y=﹣2（x﹣2017）2﹣2018的顶点坐标为（2017，﹣2018）∴应将y=﹣2x 2向右平移2017个单位，向下平移2018个单位得到．18．（1）解：∵抛物线y =ax 2+bx +4交x 轴于A(−3，0)，B(4，0)两点∴{9a −3b +4=016a +4b +4=0解得∴此抛物线的表达式为y =−13x 2+13x +4；（2）解：如图，抛物线y =−13x 2+13x +4，当x =0时∴点C 坐标为(0，4)∴OB =OC∵∠BOC =90°∴∠OBC =∠OCB =45°∵PM ⊥x 轴∴∠MQB =∠MBQ =45°∴∠MQB =∠PQN =45°∵PN ⊥BC∴∠NPQ =∠PQN =45°∴PN =QN∴PQ 2=PN 2+NQ 2=2PN 2∴PN =√22PQ ． 设直线BC 的表达式为y =kx +n∵点B(4，0)，点C(0，4)∴{4k +n =0n =4∴{k =−1n =4∴直线BC的表达式为y=−x+4∵点P的横坐标为m∴P(m，−13m2+13m+4)，Q(m，−m+4)∵点P在点Q的上方∴PQ=(−13m2+13m+4)−(−m+4)=−13m2+43m∴PN=√22PQ=√22(−13m2+43m)=−√26m2+2√23m(0<m<4)；（3）解：PN=−√26m2+2√23m=−√26(m−2)2+2√23(0<m<4)∵−√26＜0∴当m=2时，PN有最大值，PN最大=2√23．。

九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题及答案（人教版) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x+1B．y=(x−1)2−x2C．y=2x2D．y=−1x22．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠03．若二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(−2,−3)，则必在该图象上的点还有（）A．(−3,−2)B．(2,3)C．(2,−3)D．(−2,3)4．关于二次函数y=−x2−2下列说法正确的是（）．A．有最大值-2 B．有最小值-2C．对称轴是x=1D．对称轴是x=−15．已知抛物线y＝12（x−1）2+k上有三点A(﹣2，y1 )，B(﹣1，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y36．若二次函数y=(m−2)x2+2x−1的图象有最低点，则m的取值范围是（）A．m≥2B．m≤2C．m>2D．m<27．将y=x2+6x+7进行配方，正确的结果是（）A．y=(x−3)2−2B．y=(x−3)2+2C．y=(x+3)2−16D．y=(x+3)2−28．当a≠0时，y=ax+b和y=ax2+bx+c大致图像可能是（）A．B．C．D．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1，0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论①abc<0；②10a+3b+c>0：③抛物线经过点(4，y1)与点(−3，y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个，0)；⑤am2+bm+a≥0，其中正确的结论是（）点(−caA．①②③B．③④⑤C．②③④D．②④⑤二、填空题10．函数y=(m+3)x m2−7是二次函数，则m的值为．x2+3的顶点坐标为．11．函数y=1312．二次函数y＝2(x－3)2＋1的最小值是．13．已知二次函数y=−x2+2x，当−1<x<a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是三、解答题14．二次函数y=ax2+bx+5的图象经过(−1，11)，(1，3)两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．15．二次函数图象的对称轴是y轴，最大值为4，且过点A（1，2），与x轴交于B、C两点．求△ABC的面积．16．抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的交点坐标是(−1，0)（1）请直接写出这条抛物线的对称轴；（2）已知点A(m，y1)，B(m+1，y2)在抛物线上，若y1<y2，求m的取值范围．17．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．18．已知抛物线y＝ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A，C的坐标分别为（1，0），（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图1，直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标．②连接AC，求△ACM的面积．∠PBC时，求出直线BP的解析（3）如图2，P是在x轴上方抛物线上的一动点，连接BC，BP，当∠PBA＝12式．参考答案1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】311．【答案】(0，3)12．【答案】113．【答案】−1<a≤114．【答案】解：∵二次函数y=ax2+bx+5的图象经过(−1，11)，(1，3)两点∴{a−b+5=11a+b+5=3解这个方程组，得{a=2b=−4∴二次函数的解析式为：y=2x2−4x+5∵y=2x2−4x+5=2(x2−2x+1)+3=2(x−1)2+3∴二次函数图象的对称轴是直线x=1，顶点是(1，3)．故这个二次函数的解析式为：y=2x2−4x+5，对称轴：直线x=1，顶点：(1，3)．15．【答案】解：设该二次函数的表达式为y=ax2+4把点A（1，2）代入y=ax2+4，得a+4=2解得a=-2∴该二次函数的表达式为y=−2x2+4当y=0时解得x1=−√2，x2=√2∴BC=2√2∴S△ABC=12×2√2×2=2√2．16．【答案】（1）解：对称轴为x=1（2）解：由（1）可知，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的大致图象如图所示：∵a>0，对称轴x=1∴①当m+1<1时y1>y2；②当m>1时y1<y2；③当m与m+1在1的两侧且到1的距离相等时y1=y2此时m=1−12=12综上，m>12时17．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A ∴Δ=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1∴抛物线解析式为y=x2+2x+1（2）解：∵y=（x+1）2∴顶点A的坐标为（-1，0）∵点C是线段AB的中点即点A与点B关于C点对称∴B点的横坐标为1当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4）设直线AB的解析式为y=kx+b把A（-1，0），B（1，4）代入得{−k+b=0k+b=4解得∴直线AB的解析式为y=2x+2．18．【答案】（1）解：将A(1，0)，C(0，−4)代入y =ax 2+5x +c 得：{a +5+c =0c =−4解得{a =−1c =−4则抛物线的解析式为y =−x 2+5x −4．（2）解：①如图，作点C 关于直线l 的对称点C ′，连接C ′M则C ′M =CM∴AM +CM =AM +C ′M由两点之间线段最短可知，当点A ，M ，C ′共线时，AM +C ′M 最小 二次函数y =−x 2+5x −4=−(x −52)2+94的对称轴为直线x =52∵C(0，−4)∴C ′(2×52，−4)，即C ′(5，−4)设直线AC ′的解析式为y =kx +b将点A(1，0)，C ′(5，−4)代入得：{k +b =05k +b =−4，解得{k =−1b =1则直线AC ′的解析式为y=-x+1 当x =52时，y =−52+1=−32 故点M 的坐标为(52，−32)；②∵A(1，0)，C(0，−4)，C ′(5，−4)，M(52，−32)∴CC ′=5，△ACC ′的CC ′边上的高为4，△MCC ′的CC ′边上的高为−32+4=52 则△ACM 的面积为S △ACC ′−S △MCC ′=12×5×4−12×5×52=154．（3）解：如图，延长BP 交y 轴于点D∵二次函数y =−x 2+5x −4的对称轴为直线x =52，且A(1，0)∴B(4，0)∵OB ⊥CD ，∠PBA =12∠PBC∴BO 垂直平分CD （等腰三角形的三线合一） ∴点C 与点D 关于x 轴对称∵C(0，−4) ∴D(0，4)设直线BP 的解析式为y =k 1x +b 1将点B(4，0)，D(0，4)代入得：{4k 1+b 1=0b 1=4，解得{k 1=−1b 1=4则直线BP 的解析式为y =−x +4．。

九年级数学上2126二次函数的图象与性质课时练习（沪科版附答案案和解释）九年级上学期数学课时练习题21.2二次函数表达式的确定一、精心选一选1q已知二次函数的图象经过点（－1，5），（0，－4）和（1，1），则这个二次函数的表达式（）A.y＝－6某2+3某+4B.y＝－2某2+3某－4C.y＝某2+2某－4D.y＝2某2+3某－42q顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y＝某2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（）A.y＝(某+6)2B.y＝(某－6)2C.y＝－(某+6)2D.y＝－(某－6)23q 若二次函数的图象的顶点坐标为（2，－1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（）A.y＝－(某－2)2－1B.y＝－(某－2)2－1C.y＝(某－2)2－1D.y＝(某－2)2－14q二次函数的图象如图所示，则它的解析式正确的是（）A.y＝2某2－4某B.y＝－某(某－2)C.y＝－(某－1)2+2D.y ＝－2某2+4某5q已知抛物线y＝某2－2(m+1)某+2m2－m的对称轴为某＝3，则该抛物线的解析式为（）A.y＝某2－4某+1B.y＝某2－6某+6C.y ＝某2－8某+15D.y＝某2－10某+286q如果二次函数y＝－某2+b某+c 的图象顶点为（1，－3），那么b和c的值是（）A.b＝2，c＝4B.b＝2，c＝－4C.b＝－2，c＝4D.b＝－2，c＝－47q已知二次函数的图象的顶点为（3，－1），与y轴的交点为（0，－4），则这个二次函数的表达式为（）A.y＝某2－2某+4B.y＝－某2+2某－4C.y＝某2－2某－4D.y＝－某2+6某－128q如果抛物线y＝a某2+b某+c上部分点的横坐标为某，纵坐标y的对应值如下表：某…－2－1012…y…04664…小明观察上表，得出下面结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的对称轴是直线某＝；③函数y的最大值为6；④在对称轴的左侧，y随某的增大而增大，其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个9q已知抛物线y＝某2－2某+c的顶点A在直线y＝某－5上，求该抛物线的解析式为_________.A.y＝某2－2某－3B.y＝某2+2某+3C.y＝某2－2某－4D.y＝某2+6某+410.如图，已知抛物线y＝－某2+p某+q的对称轴为某＝－3，过抛物线的顶点M的一条直线y＝k某+b与抛物线的另一个交点为N（－1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（）A.（0，2）B.（，0）C.（0，2）或（－，0）D.（0，2）或（，0）二、细心填一填11.若抛物线y＝(m－2)某2+m某+m2－4的经过坐标原点，则该抛物线的解析式为___________.12.若抛物线y＝某2+(m－1)某+(m+3)顶点在某轴上，则m＝_________________.13.若函数y＝a(某－h)2+k的图象经过坐标原点，且最大值为8，形状与抛物线y＝－2某2－2某+3相同，则此函数表达式为_____________________.14.已知二次函数的图象与某轴的两个交点A、B关于直线某＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2某的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________________.15.二次函数的图象如图所示，则其解析式为________________________.第15题图第16题图第17题图第18题图16.已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式是_______________________.17.如图，已知直线y＝－某+3分别交某轴、y轴于点A、B，P是抛物线y＝－某2+2某+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－某+3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是_____________________________.18.如图，抛物线y＝－某2+b某+c过A（0，2），B（1，3），CB⊥某轴于点C，四边形CDEF是正方形，点D在线段BC上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧，则正方形CDEF的边长为__________________________.三、解答题19.已知二次函数y＝－2某2+b某+c的图象经过点A（0，4）和B（1，－2）.（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积.20.如图，已知抛物线y＝a某2+b某+c经过点A（1，0），B（5，0），C（0，5）三点.（1）求此抛物线的函数关系式；（2）当某取何值时，二次函数中的y随某的增大而增大？（3）若过点C的直线y＝k某+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△BCE的面积.21.如图，已知二次函数y＝a某2+b某+c的图象是由y＝－某2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，这时图象与某轴的交点为A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C.（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P是抛物线对称轴上l上一动点，求使AP+CP的值最小时点P的坐标.22.如图，已知二次函数y＝某2+m某+n的图象经过点P（－3，1），对称轴是经过（－1，0），且平行于y轴的直线.（1）求此二次函数的表达式；（2）一次函数y＝k某+b的图象经过点P，与某轴相交于点A（－4，0），与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，求点B的坐标.23.如图，抛物线y＝某2－b某+c交某轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是某＝2.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PA B的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.21.2二次函数表达式的确定课时练习题参考答案一、精心选一选题号12345678910答案DDCDBBBDAC1q已知二次函数的图象经过点（－1，5），（0，－4）和（1，1），则这个二次函数的表达式（）A.y＝－6某2+3某+4B.y＝－2某2+3某－4C.y＝某2+2某－4D.y＝2某2+3某－4解答：设二次函数的解析式为y＝a某2+b某+c，则，解得：，∴二次函数的解析式为y＝2某2+3某－4，故选：D.2q顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y＝某2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（）A.y＝(某+6)2B.y＝(某－6)2C.y＝－(某+6)2D.y＝－(某－6)2解答：∵抛物线的顶点为（6，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a(某－6)2，∵所求抛物线的开口向下，开口的大小与函数y＝某2的图象相同，∴a＝－，∴y＝－(某－6)2，故选：D.3q若二次函数的图象的顶点坐标为（2，－1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（）A.y＝－(某－2)2－1B.y＝－(某－2)2－1C.y＝(某－2)2－1D.y＝(某－2)2－1解答：设抛物线的解析式为y＝a(某－2)2－1，把（0，3）代入上式得：a(0－2)2－1＝3，解得：a＝1，∴y＝(某－2)2－1，故选：C.4q二次函数的图象如图所示，则它的解析式正确的是（）A.y＝2某2－4某B.y＝－某(某－2)C.y＝－(某－1)2+2D.y＝－2某2+4某解答：由图象可知：抛物线的对称轴是某＝1（根据抛物线的对称性），顶点坐标为（1，2），∴可设抛物线的解析式为y＝a(某－1)2+2，∵抛物线过点（2，0），∴a(2－1)2+2＝0，解得：a＝－2，∴y＝－2(某－1)2+2＝－2某2+4某，故选：D.5q已知抛物线y＝某2－2(m+1)某+2m2－m的对称轴为某＝3，则该抛物线的解析式为（）A.y＝某2－4某+1B.y＝某2－6某+6C.y＝某2－8某+15D.y＝某2－10某+28解答：∵抛物线y＝某2－2(m+1)某+2m2－m的对称轴为某＝3，∴m+1=3，解得：m＝2，∴y＝某2－2(2+1)某+2某22－2＝某2－6某+6，故选：B.6q如果二次函数y＝－某2+b某+c的图象顶点为（1，－3），那么b和c的值是（）A.b＝2，c＝4B.b＝2，c＝－4C.b＝－2，c＝4D.b＝－2，c＝－4解答：∵二次函数y＝－某2+b某+c的图象顶点为（1，－3），∴－＝1，则b＝2，＝－3，则c＝－4，故选：B.7q已知二次函数的图象的顶点为（3，－1），与y轴的交点为（0，－4），则这个二次函数的表达式为（）A.y＝某2－2某+4B.y＝－某2+2某－4C.y＝某2－2某－4D.y＝－某2+6某－12解答：设抛物线的解析式为y＝a(某－3)2－1，把（0，－4）代入得a某(－3)2＝－4，解得：a＝－∴y＝－(某－3)2－1＝－某2+2某－4，故选：B.8q如果抛物线y＝a某2+b某+c上部分点的横坐标为某，纵坐标y的对应值如下表：某…－2－1012…y…04664…小明观察上表，得出下面结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的对称轴是直线某＝；③函数y的最大值为6；④在对称轴的左侧，y随某的增大而增大，其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个解答：根据表格中数据可得出抛物线的开口向下，故①正确；根据表格中数据规律可知抛物线与某轴的另一个交点为（3，0）即当某＝－2时，y＝0和当某＝3时，y＝0，所以对称轴为某＝，故②正确；当某＝时，函数有最大值，而表中0和1所对应的y值为6，所以最大值不为6，故③错误；并在直线某＝的左侧，y随某的增大而增大，故④正确，综合上述，正确的结论为①②④，故选：D.9q已知抛物线y＝某2－2某+c的顶点A在直线y＝某－5上，求该抛物线的解析式为_________.A.y＝某2－2某－3B.y＝某2+2某+3C.y＝某2－2某－4D.y＝某2+6某+4解答：∵抛物线y＝某2－2某+c的对称轴为某＝1，∴顶点A的横坐标为1，∵顶点A在直线y＝某－5上，∴y＝1－5＝－4，则A（1，－4），把A（1，－4）代入y＝某2－2某+c得：1－2+c＝－4，解得：c＝－3，∴y＝某2－2某－3，故选：A.10.如图，已知抛物线y＝－某2+p某+q的对称轴为某＝－3，过抛物线的顶点M的一条直线y＝k某+b与抛物线的另一个交点为N（－1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（）A.（0，2）B.（，0）C.（0，2）或（－，0）D.（0，2）或（，0）解答：由题意得：，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝－某2－6某－4，由y＝－某2－6某－4＝－(某+3)2+5得：顶点M的坐标为（－3，5），∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，∴只需PM+PN最小，①如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P，则M′（3，5），设直线M′N的解析式为：y＝a某+t（a≠0），则，解得：，∴该直线的解析式为y＝某+2，故当某＝0时，y＝2，即P（0，2）；②如图2，过点M作关于某轴对称的点M′，连接M′N，则M′N与y轴的交点即为所求的点P，如①类似即可求得P（－，0），综合上述，符合条件的点P的坐标是（0，2）或（－，0），故选：C.图1图2二、细心填一填11.y＝－4某2－2某；12.3；13.y＝－2某2+8或y＝－2某2－8；14.y＝某2+某－；15.y＝－某2+2某+3；16.y＝某2－2某－3；17.－1，4，4+2，4－2；18..11.若抛物线y＝(m－2)某2+m某+m2－4的经过坐标原点，则该抛物线的解析式为_________.解答：∵抛物线y＝(m－2)某2+m某+m2－4的经过坐标原点，∴m2－4＝0，且m－2≠0，∴m＝－2，∴y＝－4某2－2某，故答案为：y＝－4某2－2某.12.若抛物线y＝某2+(m－1)某+(m+3)顶点在某轴上，则m＝_________________.解答：∵抛物线y＝某2+(m－1)某+(m+3)顶点在y轴上，∴＝0，解得：m＝－3，故答案为：3.13.若函数y＝a(某－h)2+k的图象经过坐标原点，且最大值为8，形状与抛物线y＝－2某2－2某+3相同，则此函数表达式为_____________________.解答：∵函数y＝a(某－h)2+k的图象经过坐标原点，∴把（0，0）代入解析式，得：ah2+k＝0，∵函数的最大值为8，∴抛物线的开口向下，即a＜0，顶点纵坐标k＝8，又∵所求抛物线的形状与抛物线y＝－2某2－2某+3相同，∴a＝－2，把a＝－2代入ah2+h＝0得：－2h2+k＝0，解得：h＝±2，∴此函数表达式为y＝－2(某－2)2+8或y＝－2(某+2)2+8，即y＝－2某2+8或y＝－2某2－8，故答案为：y＝－2某2+8或y＝－2某2－8.14.已知二次函数的图象与某轴的两个交点A、B关于直线某＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2某的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________________.解答：∵二次函数图象的对称轴为直线某＝－1，且与某轴的两个交点A、B，AB＝6，∴直线与某轴交于（－4，0），（2，0），顶点的横坐标为－1，∵顶点在函数y＝2某的图象上，∴y＝2某(－1)＝－2，∴顶点坐标为（－1，－2），设二次函数的解析式为y＝a(某+1)2－2，把（2，0）代入得：0＝9a－2，解得：a＝，∴y＝(某+1)2－2＝某2+某－，故答案为：y＝某2+某－.15.二次函数的图象如图所示，则其解析式为________________________.第15题图第16题图第17题图第18题图解答：由图象可知，抛物线的对称轴为直线某＝1，与y轴交于（0，3），与某轴交于（－1，0），设函数解析式为y＝a某2+b某+c，则：，解得：，∴y＝－某2+2某+3，故答案为：y＝－某2+2某+3.16.已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式是_______________________.解答：根据图象可：抛物线与某轴的两个交点为（－1，0），（3，0），设抛物线的解析式为y＝a(某+1)(某－3)，把（0，－3）代入解析式得：－3＝－3a，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(某+1)(某－3)＝某2－2某－3，故答案为：y＝某2－2某－3.17.如图，已知直线y＝－某+3分别交某轴、y轴于点A、B，P是抛物线y＝－某2+2某+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－某+3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是_____________________________.解答：由题意知：P （a，－a2+2a+5），则点Q为（a，－a+3），点B为（0，3），当点P在点Q上方时，BQ＝，PQ＝－a2+2a+5－(－a+3)＝－a2+a+2，∵PQ＝BQ，∴＝－a2+a+2，解得：a＝－1或a＝4，当点P在点Q下方时，BQ＝，PQ＝－a+3－(－a2+2a+5)＝a2－a－2，∵PQ＝BQ，∴＝a2－a－2，解得：a＝4+2或a＝4－2，综合上述，a的值为－1，4，4+2，4－2，故答案为：－1，4，4+2，4－2.18.如图，抛物线y＝－某2+b某+c过A（0，2），B （1，3），CB⊥某轴于点C，四边形CDEF是正方形，点D在线段BC上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧，则正方形CDEF的边长为__________________________.解答：把A（0，2），B（1，3）代入y＝－某2+b某+c得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝－某2+某+2，设正方形CDEF的边长为a，则D（1，a），E（1－a，a），把E（1－a，a）代入y＝－某2+某+2得：－(1－a)2+(1－a)+2＝a，整理得：a2+3a－6＝0，解得：a1＝，a2＝（舍去），∴正方形CDEF的边长为，故答案为：.三、解答题19.已知二次函数y＝－2某2+b某+c的图象经过点A（0，4）和B（1，－2）.（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积.解答：（1）把A（0，4）和B（1，－2）代入y＝－2某2+b某+c得：，解得：，∴此抛物线的解析式为y＝－2某2－4某+4，（2）∵y＝－2某2－4某+4＝－2(某2+2某)+4＝－2[(某+1)2－1]+4＝－2(某+1)2+6，∴此抛物线的对称轴为直线某＝－1，顶点坐标为（－1，6）；（3）由（2）知：顶点C（－1，6），∵点A（0，4），∴OA＝4，∴S△CAO＝OA＝某4某1＝2，即△CAO的面积为2.20.如图，已知抛物线y＝a某2+b某+c经过点A（1，0），B（5，0），C（0，5）三点.（1）求此抛物线的函数关系式；（2）当某取何值时，二次函数中的y随某的增大而增大？（3）若过点C的直线y＝k某+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△BCE的面积.解答：（1）把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入y＝a某2+b某+c得：，解得：，∴此抛物线的函数关系式为y＝某2－6某+5；（2）∵y＝某2－6某+5＝(某－3)2－4，∴抛物线的对称轴为某＝3，又∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当某＞3时，y随某的增大而增大；（3）把某＝4代入y＝某2－6某+5得：y＝－3，∴E（4，－3），把C（0，5），E（4，－3）代入y＝k某+b得：，解得：，∴y＝－2某+5，设直线y＝－2某+5交某轴于点D，则D（，0），∴OD＝，∴BD＝5－＝，∴S△CBE＝S△CBD+S△EBD＝某某5+某某3＝10，即△BCE的面积为10.21.如图，已知二次函数y＝a某2+b某+c的图象是由y＝－某2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，这时图象与某轴的交点为A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C.（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P是抛物线对称轴上l上一动点，求使AP+CP的值最小时点P的坐标.解答：（1）∵二次函数y＝a某2+b某+c的图象是由y＝－某2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，∴二次函数的解析式为y＝－(某－1)2+4，即y＝－某2+2某+3；（2）当y＝0时，－(某－1)2+4＝0，解得：某1＝－1，某2＝3，∴A（－1，0），B（3，0），当某＝0时，y＝3，则C（0，3），抛物线y＝－(某－1)2+4的对称轴为直线某＝1，点A与点B关于直线某＝1对称，连接BC交直线某＝1于点P，如图，则PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC＝BC，∴此时AP+CP的值最小，设直线BC的解析式为y＝k某+b，把B （3，0）、C（0，3）分别代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝－某+3，当某＝1时，y＝－某+3＝2，∴P点坐标为（1，2）.22.如图，已知二次函数y＝某2+m某+n的图象经过点P（－3，1），对称轴是经过（－1，0），且平行于y轴的直线.（1）求此二次函数的表达式；（2）一次函数y＝k某+b的图象经过点P，与某轴相交于点A（－4，0），与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，求点B的坐标.解答：（1）∵对称轴是经过（－1，0）且平行于y轴的直线，∴－＝－1，∴m＝2，∵二次函数的图象经过点P（－3，1），∴9－3m－8＝0，解得：n＝－2，∴此二次函数的表达式为y＝某2+2某－2；（2）把P（－3，1），A（－4，0）代入y＝k某+b得：，解得：，∴直线PA的解析式为y ＝某+4，由得或，∵点B在点P的右侧，∴点B的坐标为（2，6）.23.如图，抛物线y＝某2－b某+c交某轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是某＝2.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解答：（1）由题意得：，解得：b＝4，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝某2－4某+3；（2）存在，∵点A与点C关于直线某＝2对称，∴连接BC与直线某＝2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），∴抛物线与y轴的交点为（0，3），设直线BC的解析式为y＝k某+b，则，解得：k＝－1，b＝3，∴直线BC的解析式为y＝－某+3，∴直线BC与直线某＝2的交点坐标为（2，1），即点P的坐标为（2，1）.。

1.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝24x（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DEAB＝（）A.2B.2C.5D.32.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.3.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求△COB的面积.第1题图第2题图1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝14x2于点B、C，则BC的长为_____________.2.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是___________.3.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.（1）求A、B两点的坐标；（2）根据图象填空：①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.4.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝－2x－2.（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.5.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为2cm，抛物线可用y＝14x2+4表示.（1）一辆货车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？21.2二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质1.如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系式不正确的是( )A．k＝n B．h＝mC．k＜n D．h＜0，k＜02．当－4≤x≤2时，函数y＝－(x＋3)2＋2的取值范围为( )A．－23≤y≤1 B．－23≤y≤2C．－7≤y≤1 D．－34≤y≤23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1＝x2经过平移得到抛物线y2＝(x－2)2－4，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A．1 B．2 C．4 D．84．在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数y1＝a1(x＋h1)2＋k1与y2＝a2(x＋h2)2＋k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y＝(x＋1)2－1与y＝(x－1)2－1互为梦函数，写出二次函数y＝2(x＋3)2＋2的其中一个梦函数为____________．5．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作CD∥x 轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为(－1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求梯形COBD的面积．21.2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．二次函数y＝ax2＋x＋a2－1的图象可能是( )图12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－1，0)，B(2，0)，C(－3，y1)，D(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )A．y1＜y2 B．y1＝y2C．y1＞y2 D．不能确定3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2所示，给出以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.其中正确结论的序号是( )图2A．③④ B．②③C．①④ D．①②③4．如图3，在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2－2x－3的图象与两坐标轴分别交于点A，点B和点C，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．(1)将这个二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式为________________．(2)当自变量x满足________时，两函数的函数值都随x的增大而增大．(3)当自变量x满足________时，一次函数值大于二次函数值．(4)当自变量x满足________时，两个函数的函数值的积小于0.图3 图45．如图4，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴上任意一点，若D，E，F分别是BC，PB，PC的中点，连接DE，DF，则DE＋DF的最小值为________．6．如图5，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B 的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．图57.若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3)．（1）求a，b的值以及顶点D的坐标．（2）直接写出这个二次函数图象关于x轴对称后所得的新图象的函数表达式．（3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21.2二次函数y=ax2的图象和性质1.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝24x（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DEAB＝（）A.2B.2C.5D.3 解答：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2＝a，解得：x＝a，∴B（a，a），当24x＝a时，x＝2a，∴C（2a，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为2a，∴y1＝(2a)2＝4a，∴点D的坐标为（2a，4a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为4a，∴24x＝4a，解得：x＝4a，∴点E的坐标为（4a，4a），∴DE＝4a－2a＝2a，∴DEAB＝2aa＝2，故选：A.2.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.解：设点P的坐标为（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，0），B（0，4）分别代入y＝kx+b，得k＝－1，b＝4，故y＝－x+4，∵△AOP的面积为4.5＝12×4×y，∴y＝94，再把y＝94代入y＝－x+4，得x＝74，∴P（74，94），把P（74，94）代入到y＝ax2得：a＝3649.3.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求△COB的面积.解：（1）设直线的函数表达式为y＝kx+b，∵A（2，0），B（1，1）都在直线y＝kx+b上，∴201k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为y＝－x+2；∵点B（1，1）在y＝ax2的图象上，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2；（3）由22y x y x=-+⎧⎨=⎩得：24x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，∵点C 在第二象限，∴点C 的坐标为（－2，4）， ∴S △COB ＝S △AOC －S △OAB ＝12×2×4－12×2×1＝3， 即△COB 的面积为3.21.2 二次函数y =ax 2+k 的图象和性质1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+4与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝14x 2于点B 、C ，则BC 的长为_____________.解答：∵抛物线y ＝ax 2+4与y 轴交于点A ， ∴A （0，4）， 把y ＝4代入y ＝14x 2得：14x 2＝4， 解得：x ＝±4，又∵过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝14x 2于点B 、C ， ∴B 、C 两点的横坐标分别为－4，4， ∴BC ＝44--＝8， 故答案为：8.2.如图，二次函数y ＝ax 2+c （a ＜0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是___________.解答：设正方形的对角线OA 长为2m ， 则B （－m ，m ），C （m ，m ）,A （0，2m ）， 把A 、C 的坐标代入解析式可得： c ＝2m ①，am 2+c ＝m ②，把①代入②得：m 2a +2m ＝m ，解得：a ＝－1m，则ac＝－1m×2m＝－2，故答案为：－2.3.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.（1）求A、B两点的坐标；（2）根据图象填空：①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.解答：（1）由213y xy x⎧=--⎨=--⎩得：1112xy=-⎧⎨=-⎩，2225xy=⎧⎨=-⎩，∵点A在第三象限，点B在第四象限，∴A（－1，－2），B（2，－5）；（2）①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大？②当x取任何实数时，y2的值随x的增大而减小？（3）∵抛物线y1＝－x2－1的顶点坐标为（0，－1），∴C（0，－1），设直线AB与y轴交于点D，则点D的坐标为（0，－3），∴CD＝31-+＝2，∴S△ACD＝12×2×1＝1，S△BCD＝12×2×5＝5，∴S△ABC＝S△ACD+ S△BCD＝1+5＝6，即△ABC的面积为6.4.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝－2x－2.（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.解答：（1）根据题意得：x2+m＝－2x－2，整理得：x2+2x+m+2＝0，∵抛物线c与直线l没有公共点，∴△＝22－4(m +2)＜0， 解得：m ＞－1，∴当m ＞－1时，抛物线c 与直线l 没有公共点； （2）∵抛物线c 的顶点在直线l 上， ∴抛物线c 的顶点为（0，－2），将（0，－2）代入y ＝x 2+m 得：m ＝－2， ∴抛物线c 的解析式为y ＝x 2－2，由2222y x y x ⎧=-⎨=--⎩得：02x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 与抛物线c 的交点为（0，－2），（－2，2）∴直线l 被抛物线c 所截得的线段长为22(20)(22)--++＝25.5.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm ，宽为2cm ，抛物线可用y ＝14x 2+4表示. （1）一辆货车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？解答：（1）当货车沿着路面中线行驶时，货车边沿的横坐标为1或－1，当x ＝±1时，y ＝－14×(±1)2+4＝154， 此处隧道高为154+2＝234＞4，故货车能通过隧道.（2）若隧道内设双行道，此时货车一边靠近隧道中线，另一边沿横坐标为2或－2，反x ＝2或－2代入y ＝14x 2+4得：y ＝3，此处隧道高为3+2＝5＞4， 故货车能通过隧道.21.2 二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k 的图象和性质1．[解析]A 根据二次函数表达式确定抛物线的顶点坐标分别为(h ，k)，(m ，n)．因为点(h ，k)在点(m ，n)的下方，所以k ＝n 不正确．故选A .2．[解析]B ∵a ＝－1，∴抛物线的开口向下，故有最大值．又∵对称轴为直线x ＝－3，∴当x ＝－3时，y 有最大值为2；当x ＝2时，y 有最小值为－23，∴当－4≤x ≤2时，函数y ＝－(x ＋3)2＋2的取值范围为－23≤y ≤2.3．[解析]D 如图，由题意可知四边形ABCO 为矩形，且点B 的坐标为(2，－4)， 则S 阴影＝S 矩形ABCO ＝AB ·BC ＝2×4＝8.4．[答案]y ＝2(x －3)2＋2(答案不唯一)[解析]梦函数要符合两个条件：①二次项系数的绝对值相同；②对称轴关于y 轴对称．5．解：(1)把A(－1，0)代入y ＝a(x －1)2＋4，得0＝4a ＋4，解得a ＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋4.(2)令x ＝0，得y ＝3，∴OC ＝3.∵抛物线y ＝－(x －1)2＋4的对称轴是直线x ＝1，∴CD ＝1．又∵A(－1，0)，∴B(3，0)，∴OB ＝3，∴S 梯形COBD ＝（1＋3）×32＝6. 21.2 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象和性质1． B .2． A3．C4．[答案]5．[答案]3226．解：(1)把点B(3，0)代入y ＝－x 2＋mx ＋3，得0＝－32＋3m ＋3，解得m ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)．(2)连接BC 交抛物线的对称轴l 于点P ，则此时PA ＋PC 的值最小．由题可知C(0，3)，由(1)可知，抛物线的对称轴l 为直线x ＝1.设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b.则⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b ，3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3， ∴直线BC 的函数表达式为y ＝－x ＋3.当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．7.若二次函数y ＝ax 2＋b 的最大值为4，且该函数的图象经过点A (1，3)．（1）求a ，b 的值以及顶点D 的坐标．（2）直接写出这个二次函数图象关于x 轴对称后所得的新图象的函数表达式．（3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）由二次函数y＝ax2＋b的最大值为4可知b＝4.∵函数的图象经过点A(1，3)，∴3＝a＋4，解得a＝－1.故该二次函数的表达式为y＝－x2＋4，顶点D的坐标为(0，4)．（2）y＝x2－4.（3）存在．假设存在点B(x，y)，使得S△DOB＝2S△AOD，∴12OD·|x|＝2×12OD×1，解得x＝±2.①当x＝2时，则y＝－x2＋4＝0；②当x＝－2时，则y＝－x2＋4＝0.∴存在满足条件的点B，它的坐标为(2，0)或(－2，0)．。

【一课一练】22.2二次函数y=ax 2的图象和性质(50分钟，共100分)班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______ 一、请准确填空(每小题3分，共24分)1.设一圆的半径为r ，则圆的面积S =______，其中变量是_____.2.有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm 和6 cm ，现在长宽上分别剪去宽为x cm (x <6)的纸条(如图1)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y =______，其中_____是自变量，_____是函数.图1 3.下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是__ ____(其中x 、t 为自变量).4.函数y =622--a a ax是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =__ _ 时，其图象开口向下.5.如图2，根据图形写出一个符合图象的二次函数表达式：______.6.若抛物线y =ax 2经过点A (3，－9)，则其表达式为______.7.函数y =2x 2的图象对称轴是______，顶点坐标是______.8.直线y =x +2与抛物线y =x 2的交点坐标是______. 二、相信你的选择(每小题3分，共24分)9.下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) （ ） A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x 10.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是（ ） A.a ≠0，b ≠0，c ≠0 B.a <0，b ≠0，c ≠0 C.a >0，b ≠0，c ≠0 D.a ≠011.函数y =ax 2(a ≠0)的图象与a 的符号有关的是（ ） A.顶点坐标 B.开口方向 C.开口大小 D.对称轴12.函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ） A.±2 B.－2 C.2 D.313. 自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 14.如图3平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是（ ）xA.y =23x 2 B.y =32x 2 C.y =34x 2 D.y =43x 2 15.下列结论正确的是（ ） A.y =ax 2是二次函数B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例D.二次函数的取值范围是非零实数16.在图4中，函数y =－ax 2与y=ax +b 的图象可能是（ ）yxyyCD图4三、考查你的基本功(共16分)17.(8分)已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？18.(8分)先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：(1)函数y =3x 2的最小值是多少？(2)函数y =－3x 2的最大值是多少？(3)怎样判断函数y =ax 2有最大值或最小值？与同伴交流.四、生活中的数学(共16分)19.(8分)如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.20.(8分)图6中动物身体的部分轮廓线呈抛物线形状，你还能找出类似的动物或植物吗？(最少举三个)图6 五、探究拓展与应用(共20分)21.(10分)二次函数y =－2x 2的图象与二次函数y =2x 2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？作图看看.它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？与同伴交流.22.(10分)已知一次函数y =ax +b 的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y =31x 2的图象经过A 、B 两点. (1)请求出一次函数的表达式;(2)设二次函数的顶点为C ，求△ABC 的面积.参考答案一、1.πr2S、r 2.(6－x)(8－x) x y 3.①④4.4 －25.y=－2x2(不唯一)6.y=－3x27.y轴 (0，0) 8.(2，4)，(－1，1)二、9.A 10.D 11.B 12.C 13.C 14.D 15.B 16.D三、17.解：(1)∵m2－m=0，∴m=0或m=1.∵m－1≠0，∴当m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵m2－m≠0，∴m1=0，m2=1.则当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.18.解：(1)0 (2)0(3)当a>0时，y=ax2有最小值,当a<0时，y=ax2有最大值.四、19.解：y=(80－x)(60－x)=x2－140x+4800(0≤x＜60).20.如：某些树的树冠、叶片等；动物中鸡的腹部、背部等.五、21.解：两个图象关于x 轴对称；整个图象是个轴对称图形.y =－2x 2 ⎪⎩⎪⎨⎧(0,0)顶点坐标轴对称轴开口方向向下yy =2x 2⎪⎩⎪⎨⎧(0,0) 顶点坐标轴对称轴开口方向向上y 22.解：(1)设A 点坐标为(3，m )；B 点坐标为(－1，n ). ∵A 、B 两点在y =31x 2的图象上, ∴m =31×9=3, n =31×1=31. ∴A (3，3),B (－1，31). ∵A 、B 两点又在y =ax +b 的图象上,∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=.31,33b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.1,32b a∴一次函数的表达式是y =32x +1. (2)如下图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为(－23，0). ∴|DC |=23. S △ABC =S △ADC －S △BDC=21×23×3－21×23×31 =49－41=2.。

九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题及答案（人教版) 班级姓名学号一、单选题1．下列函数是二次函数的是（）B．y=x2+xz+1 C．x2+2y﹣1=0 D．xy=x2﹣yA．y=﹣1x22．抛物线y＝－2x2－x＋2与坐标轴的交点个数是( )A．3 B．2 C．1 D．03．已知二次函数y=x2﹣4x+5的顶点坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）4．抛物线y=x2−2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0 5 B．0 1 C．﹣4 5 D．﹣4 16．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=(x+2)2+3B．y=(x+2)2−3C．y=(x−2)2+3D．y=(x−2)2−3x2+2的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分7．如图所示是二次函数y=﹣12的面积，你认为与其最接近的值是（）C．2πD．8A．4 B．1638．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a、b、c都小于0二、填空题9．已知等边三角形的边长为x，则用边长x表示等边三角形的面积y的函数表达式为．10．已知正整数a满足不等式组{x≥a+2x≤3a−2（x为未知数）无解，则函数y=(3−a)x 2−x−14的图象与x轴的交点坐标为.11．已知 A(-4，y1），B(-3，y2）， C(3，y3）两点都在二次函数y=−2(x+2)2+b的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系为．12．已知当x1＝a，x2＝b，x3＝c时，二次函数y＝12x2＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．13．关于抛物线y=45x2−85kx+95k2（k为常数），下来结论一定正确的是（填序号即可）.①开口向上；②顶点不可能在第三，四象限；③点M(k+m,y1)，N(k−m,y2)是抛物线上的两点，则y1>y2；④k取任意实数，顶点所在的曲线为y=x2 .三、解答题14．已知抛物线的顶点为（4，﹣8），并且经过点（6，﹣4），试确定此抛物线的解析式.并写出对称轴方程.15．用配方法把二次函数y= 12x2﹣4x+5化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．16．如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.（1）当a=－1 , b=1时，求抛物线n的解析式；（2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（3）若四边形AC1A1C为矩形，请求出a和b应满足的关系式.17．已知抛物线y=x2−bx+2经过点A（－2，8）.（1）求此抛物线的函数解析式，并写出此抛物线的对称轴；（2）判断点B（－1，－4）是否在此抛物线上.18．如图，已知二次函数y=−x2+bx+3的图象经过点(−2，3) .（1）求二次函数的表达式；（2）给出一种平移方案，使该二次函数的图象平移后经过原点.19．已知二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b为常数）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与yx+4与x轴交于点D.轴的正半轴交于点C，过点C的直线y＝﹣43（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；（3）如图2，点M是二次函数图象上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF//x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．C2．A3．B4．A5．D6．B7．B8．C9．y =√34x 2 10．(1−√34，0)11．y 3＜y 1 ＜y 212．m >−5213．①②④14．解：∵抛物线的顶点为（4，﹣8）∴可设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣4）2﹣8将点（6，﹣4）代入，得：4a ﹣8＝﹣4解得：a ＝1则此抛物线的解析式为y ＝（x ﹣4）2﹣8＝x 2﹣8x+8其对称轴方程为x ＝415．解：y= 12 x 2﹣4x+5= 12 （x ﹣4）2﹣3∴抛物线开口向上，对称轴x=4，顶点（4，﹣3）16．（1）当a =−1,b =1时，抛物线m 的解析式为：y =x 2+1.令x =0，得：y =1.∴C （0,1）.令y =0，得：x =±1.∴A （-1,0），B （1,0）∵C 与C 1关于点B 中心对称， ∴C 1（2, -1）.∴抛物线n 的解析式为：y =(x −2)2−1=x 2−4x +3（2）四边形AC 1A 1C 是平行四边形.理由：∵C 与C 1、A 与A 1都关于点B 中心对称，∴AB =BA 1,BC =BC 1,∴四边形AC 1A 1C 是平行四边形.（3）令x =0，得：y =b .∴C （0,b ）.令y =0，得：ax 2+b =0,∴x =±√−b a ,∴A (−√−b a ,0),B (√−b a ,0),∴AB =2√−b a ,BC =√OC 2+OB 2=√b 2−b a .要使平行四边形AC 1A 1C 是矩形，必须满足AB =BC ,∴2√−b a =√b 2−b a ，∴4×(−b a )=b 2−b a ，∴ab =−3.∴a,b 应满足关系式ab =−3.17．（1）解：将点A （－2，8）代入 y =x 2−bx +2 得 8＝（－2）2－b ⋅(−2)+2解得 b =1∴抛物线的函数解析式为 y =x 2−x +2∴抛物线的对称轴为直线 x =−−12=12 （2）解：当 x =−1 时∴点B （－1，－4）不在此抛物线上18．（1）解：将点 (−2，3) 代入 y =−x 2+bx +3 中 得 b =−2 .∴二次函数的表达式为 y =−x 2−2x +3 .（2）答案不唯一∵y =−x 2−2x +3 ＝ =−(x +1)2+4∴向下平移3个单位；或向左平移1个单位；或向右平移3个单位；或先向右平移1个单位再向下平移4个单位等.19．（1）解：将A （−1，0），B （6，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋4∴{a −b ＋4=036a ＋6b ＋4=0∴{a =−23b =103∴y =−23x 2+103x +4（2）解：过点P 作PG ⊥x 轴交直线CD 于点G设P （t ，−23t 2+103t +4），则G （t ，−43t +4） ∴GP ＝−23t 2+143t令y ＝0，则x ＝3∴D （3，0）∵S △CDP ＝S △PCG −S △PDG ＝12×PG ×3＝−（t −72）2＋494 ∴当t ＝72时，S △CDP 有最大值494此时P （72，152）；（3）解：存在点M ，使得△MEF ≌△COD ，理由如下： ∵ME ⊥CD∴∠MEF ＝90°∵MF ∥x 轴∴∠FME ＝∠CDO∵△MEF ≌△COD∴MF ＝CD∵OC ＝4，OD ＝3∴CD ＝5∴FM ＝5设M （m ，−23m 2+103m +4），则F （m −5，43(m −5)+4） ∵F 点在直线CD 上∴−23m 2+103m +4＝43(m −5)+4 ∴m ＝2或m ＝5∴M（2，8）或M（5，4）。

沪科版九年级数学上册《21.2二次函数的图像和性质》同步练习题(带答案)一、选择题（在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为( )A. −2B. 2C. ±2D. 02.对于二次函数y=−(x−1)2的图象的特征，下列描述正确的是( )A. 开口向上B. 经过原点C. 对称轴是y轴D. 顶点在x轴上3.当1≤x≤3时，二次函数y=x2−2ax+3的最小值为−1，则a的值为( )A. 2B. ±2C. 2或52D. 2或1364.已知点A(−2,y1)。

B(−1,y2)，C(5,y3)都在二次函数y=−x2+2x+k的图象上，则( )A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y35.若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax−2a总不经过点P(m−3,m2−16)，则符合条件的点P( )A. 有且只有1个B. 有且只有2个C. 至少有3个D. 有无穷多个6.用配方法将二次函数y=x2−8x−9化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为( )A. y=(x−4)2+7B. y=(x+4)2+7C. y=(x−4)2−25D. y=(x+4)2−257.将抛物线y=x2−6x+5绕坐标原点旋转180°后，得到的抛物线的解析式为( )A. y=−x2−6x−5B. y=−x2+6x+5C. y=x2+6x+5D. y=x2+6x−58.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致为( )A. B.C. D.9.二次函数y=3(x−2)2−5与y轴交点坐标为( )A. (0,2)B. (0,−5)C. (0,7)D. (0,3)10.要得到函数y=−(x−2)2+3的图象，可以将函数y=−(x−3)2的图象( )A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位11.已知抛物线y1:y=−2(x−4)2+2和抛物线y2:y=2x2+8x+18，若无论k取何值，直线y=kx−kp+ q被两条抛物线所截的两条线段都保持相等，则( )A. pq=3B. pq=4C. pq=5D. pq=612.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0②b−a>c③4a+2b+c>0 ④3a>−c⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论有( )A. ①②③B. ②③⑤C. ②③④D. ③④⑤二、填空题13.将抛物线y=5x2向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线的表达式为______．14.已知点A(−2,3)，B(0,3)是抛物线y=−x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是．15.函数y=−(x−3)2+1中，当x时，y随x的增大而减小．16.若直线y=ax+b(ab≠0)经过第一、二、三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第______象限．17.二次函数y=2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x=1，则常数b的值为．18.如图所示为函数y=x2+bx−1的图象，根据图象提供的信息，当−1≤x≤4时，y的取值范围是______ ．19.将抛物线y=ax2+b向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是y=2(x+ 3)2+4，则原抛物线的解析式为______ ．20.小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：x˙˙˙012345˙˙˙y˙˙˙50−3−4−30˙˙˙该二次函数的表达式为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）x2−x−321. (1)已知二次函数y=14①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向②列表，并在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象(2)抛物线y=ax2+bx+c过(−3,0)，(1,0)两点，与y轴的交点为(0,4)，求抛物线的解析式．22.把抛物线C1：y=x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．(1)直接写出抛物线C2的函数关系式；(2)动点P(a,−6)能否在抛物线C2上？请说明理由；(3)若点A(m,y1)，B(n,y2)都在抛物线C2上，且m<n<0，比较y1，y2的大小，并说明理由．23.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴交于点C(0,−5)，且经过点D(3,−8)．(1)求此二次函数的解析式；(2)将此二次函数的解析式写成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的另一个交点B的坐标．答案1.【答案】B2.【答案】D3. 【答案】A4.【答案】C5. 【答案】B6. 【答案】C7. 【答案】A8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】C11. 【答案】D12.【答案】B13.【答案】y=5(x−3)2+214. 【答案】(−1,4)15. 【答案】>316. 【答案】三17. 【答案】−418. 【答案】−2≤y≤719. 【答案】y=2x2+220.【答案】y=(x−3)2−4(或y=x2−6x+5)21. 【答案】解：(1)y=14x2−x−3=14(x−2)2−4①∴函数图象顶点坐标(2,−4)、对称轴直线x=2，开口向上②x……01214……y……−3−154−4−154−3……(2)y=ax2+bx+c过(−3,0)，(1,0)两点，与y轴的交点为(0,4)用交点式，则表达式为：y=a(x−1)(x+3)，把(0,4)代入得：4=−a·3，解得a=−43函数解析式为：y=−43(x−1)(x+3)=−43x2−83x+4．22.【答案】解：(1)y=(x−3)2−3；(2)动点P(a,−6)不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y=(x−3)2−3∴函数的最小值为−3∵−6<−3∵动点P(a,−6)不在抛物线C2上；(3)∵抛物线C2的函数关系式为：y=(x−3)2−3∴抛物线的开口向上，对称轴为x=3∴当x<3时，y随x的增大而减小∵点A(m,y1)，B(n,y2)都在抛物线C2上，且m<n<0<3∴y1>y2．23. 【答案】解：(1)根据题意得，{a−b+c=0①c=−5②9a+3b+c=−8③②分别代入①、③得a−b=5④3a+b=−1⑤④+⑤得，4a=4解得a=1把a=1代入④得1−b=5解得b=−4∴方程组的解是{a=1 b=−4 c=−5∴此二次函数的解析式为y=x2−4x−5；(2)y=x2−4x−5=x2−4x+4−4−5=(x−2)2−9二次函数的解析式为y=(x−2)2−9顶点坐标为(2,−9)对称轴为x=2设另一点坐标为B(a,0)则−1+a=2×2解得a=5∴点B的坐标是B(5,0)．。

二次函数y=a(x+h)2的图象和性质一、精心选一选1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝－2x2C.y＝(2x+1)2D.y＝(x－2)25﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)27﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、细心填一填11.将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.12.若抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.13.抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.14.二次函数y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）15.二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.16.抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.17.抛物线y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.三、解答题19.已知二次函数y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.21.二次函数y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.二次函数y=a(x+h)2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B B C D A C B B C1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.解答：抛物线y＝a(x－h)2（a≠0）顶点在x轴上，故D选项符合，故选：D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴解答：二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是直线x＝2，故选：B.3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.解答：∵抛物线y＝a(x－1)2的对称轴是x＝1，∴可排除D选项错误；当a＞0时，直线y＝ax+a经一、二、三象限，抛物线y＝a(x－1)2开口向上，故B选项符合要求，故选：B.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝(2x+1)2C.y＝－2x2D.y＝(x－2)2∴它与y＝－2x2的图象形状相同，解答：∵函数y＝2(x－2)2中a＝2，且2＝2故选：C.5﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）解答：A.该函数图象是轴对称图形，故A选项错误；B.抛物线 y＝－(x－2)2的开口向下，故B选项错误；C.对称轴是直线x＝2，故C选项错误；D.抛物线y＝－(x－2)2的最高点是（2，0），故D选项正确，故选：D.6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)2解答：二次函数y＝(x+2)2的对称轴为x＝－2，故选：A.7﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解答：二次函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为（0，0），二次函数y＝－2(x+3)2的图象的顶点坐标为（－3，0），所以平移的方法是向左平移3个单位，故选：C.8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关解答：二次函数y＝a(x+h)2中a决定抛物线的开口方向，h决定抛物线的位置，故选：B.9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小解答：抛物线y＝5(x－1)2，其顶点坐标为（1，0），故A选项不合题意；对称轴为直线x＝1，故B 符合题意；当x＞1时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意；当x＜1时，y随x的增大而增减小，故D不符合题意，故选：B.10. 已知二次函数y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：由二次函数图象可知：抛物线开口向上，故①正确；抛物线的对称轴在y轴的左侧，则h＞0，故②正确；抛物线的开口向上，所以顶点是最低点，y有最小值，而顶点在x轴上，所以y的最小值是0，故③正确；x＜0时图象在y轴的左侧，在左侧部分x＜－h时，y随x的增大而减小，－h ＜x＜0时，y随x的增大而增大，故④错误，故3个选项都是正确的，故选：C.二、细心填一填11.y＝(x+2)2； 12. 14，y＝14(x－3)2； 13. y＝－3(x－1)2；14. 上升； 15. （－1，0），0； 16. 向下，直线x＝5；17. 4； 18. 6.y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.解答：将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为y＝(x+2)2，故答案为：y＝(x+2)2.y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.解答：抛物线y＝ax2向右平移3个单位后得到的解析式为y＝a(x－3)2，把（－1，4）代入y＝a(x－3)2得：4＝a(－1－3)2，解得：a＝14，故答案为：14，y＝14(x－3)2.y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.解答：抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为y＝－3(x－1)2，故答案为：y＝－3(x－1)2.y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）解答：∵a＝－2，∴抛物线开口向下，故在对称轴的左侧部分是上升的，故答案为：上升.y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.解答：二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为（－1，0），函数的最大值为0，故答案为：（－1，0），0.y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.解答：抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是向下，对称轴是直线x＝5，故答案为：向下，直线x＝5.y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.解答：∵当y＝0时，即49(x－3)2＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴S△AOB＝12×3×4＝6，故答案为：6.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A 作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.解答：∵抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（2，0），B（0，4），∵抛物线y＝(x－2)2的对称轴为x＝2，BC∥x轴，AD∥y轴，∴直线AD就是抛物线y＝(x－2)2的对称轴，∴B、C关于直线BD对称，∴BD＝DC＝2，∵顶点A到直线BC的距离最大，∴点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为：12DC×AD＝12×2×4＝4，故答案为：4.三、解答题y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？解答：（1）二次函数y＝－12(x－2)2的图象为：抛物线的开口向下、顶点坐标为（2，0），对称轴为直线x＝2；（2）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小.20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.解答：（1）∵抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，∴h＝－12，则y＝a(x－12)2，又∵抛物线y＝a(x－12)2的形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同，∴a＝－3，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－3(x－12 )；（2）∵当x＝0时，y＝－3(x－12)＝－3×(－12)＝32，∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，32）.y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.解答：（1）∵点A为抛物线y＝12(x－h)2的顶点，∴A（h，0），∴OA＝h，∵OA＝OB，且点B在y轴的正半轴上，∴OB＝h，∴B（0，h），把B（0，h）代入y＝12(x－h)2得：h＝12(0－h)2，解得：h1＝0（不合题意，舍去），h2＝2，∴该抛物线的函数关系式y＝12(x－2)2，（2）由（1）知：OA＝2，∴将该抛物线向左平移4个单位即可得到它的关于y轴对称的图象，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝12(x+2)2，故该抛物线关于y轴对称的图象表达式为y＝12(x+2)2.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.解答：（1）∵直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（－2，0），B（0，－2），∵抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，∴h＝2，则y＝a(x+2)2，∵该抛物线经过点B（0，－2），∴a(0+2)2＝－2，解得：a＝－12，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－12(x+2)2，（2）∵点C（m，－92）在该抛物线y＝－12(x+2)2上，∴－12(m+2)2＝－92，解得：m1＝1，m2＝－5，即m的值为1或－5.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.解答：∵当x＝0时，y＝2(x+2)2＝8，∴A（0，8），由22(2)24y xy x⎧=+⎨=+⎩，得：112xy=-⎧⎨=⎩，2212xy=-⎧⎨=⎩，∴B（－2，0），C（－1，2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，交y轴于点D，∴202k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解得：24kb=⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y＝2x+4，当x＝0时，y＝4，∴D（0，4），∴AD＝8－4＝4，∴S△ABC＝S△ABD－S△ACD＝12×4×2－12×4×1＝2.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.解答：（1）∵OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，∴A（1，0），B（1，1），由平称性质得：A1（2，0），B1（2，1），∵抛物线的顶点A（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2，把B1（2，1）代入y＝a(x－1)2得：a＝1，∴以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式为y＝(x－1)2；（2）设直线OB的解析式为y＝kx，把B（1，1）代入得：k＝1，∴直线OB 的解析式为y ＝x ，由2(1)y x y x =⎧⎨=-⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故点C的坐标为（32-，32-），对于y ＝(x －1)2，当x ＝0时，y ＝1， ∴D （0，1）故C（32，32-），D （0，1）.。

九年级上册第21章二次函数和反比例函数21.2二次函数的图象和性质21.2.1二次函数y＝ax2的图象和性质基础知识和同步测试题基础知识1．函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条关于____对称的抛物线，它具有如下性质：当a＞0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，当x＞0时，y随x的增大而________；当x ＜0时，y随x的增大而____；当x＝____时，y最小值＝____．2．对于函数y＝ax2(a≠0)当a＜0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点．当x ＞0时，y随x的增大而________；当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＝____时，y最大值＝____．答案1. y轴上低增大减小0 02. 下高减小增大0 0同步测试题二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a＞0)在同一坐标系里，大致图象是( )2．抛物线y＝－3x2的开口向____，顶点坐标是_________，顶点是抛物线的最____点，当x ＝____时，函数有最____值，为____．3．若y＝(m＋3)xm2－9是开口向上的抛物线，则m＝____．4．如图，是函数y1＝3x2，y2＝(1－k)x2，y3＝(k－2)x2的图象，则k的取值范围是________．5. 如图，边长为2的正方形ABCD的中心在原点O，AD∥x轴，以O为顶点，且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中的阴影部分的面积是____．6．已知点A (－1，y 1)、点B (－2，y 2)、点C (－2，y 3)都在函数y ＝－12x 2的图象上，则( ) A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 1>y 3>y 2C ．y 3>y 2>y 1D ．y 2>y 1>y 37．下列说法错误的是( )A ．二次函数y ＝3x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y ＝－6x 2中，当x ＝0时，y 有最大值0C ．二次函数y ＝ax 2图象中，开口方向与a 无关D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点8. 在函数y ＝－x 2中，当－3<x <1时，则y 的取值范围是___________9．函数y ＝(m －3)xm 2－3m －2为二次函数．(1)若其图象开口向上，求函数的关系式；(2)若当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，求函数的关系式．10．给出下列函数：①y ＝3x ；②y ＝－3x －1；③y ＝－5x 2(x <0)；④y ＝23x 2(x <0)，其中y 随x 的增大而增大的函数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．函数y ＝2x 2，y ＝－3x 2，y ＝13x 2的图象的共同点是( ) A ．都关于y 轴对称，开口向上B ．都关于y 轴对称，开口向下C ．都关于原点对称，顶点在原点D ．都关于y 轴对称，顶点在原点12．如图所示，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 的各边平行或垂直，若小正方形的边长为x ，且0<x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )13．抛物线y ＝(m ＋1)x 2上有点A (－5，2)，则它的对称点B 的坐标是___________．14．二次函数y ＝mxm 2一2有最大值，则m ＝____，当x ____时，y 随x 的增大而减小．15．如图，⊙O 的半径为3，C 1是函数y ＝12x 2的图象，C 2是函数y ＝－12x 2的图象，则阴影部分的面积是____．16．如图，请把图中图象的序号填在它的解析式后面．y ＝2x 2的图象为____．y ＝12x 2的图象为____． y ＝－x 2的图象为____．y ＝－23x 2的图象为____．17．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)．(1)求抛物线的解析式；(2)当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？(3)当x 为何值时，它有最大(小)值，是多少？18．有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为6 m ，跨度为8 m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)若要在离地面4.5 m 的隧道壁上，安装两盏照明灯，求两灯之间的距离．19. 如图，直线AB 过x 轴上的一点A (2，0)，且与抛物线y ＝ax 2相交于B ，C 两点，点B 的坐标为(1，1)．(1)求直线AB 和抛物线y ＝ax 2的解析式；(2)若抛物线在第一象限内有一点D ，使得S △AOD ＝S △BOC ，求点D 的坐标．答案1. B2. 下 (0，0) 高 0 大 03. 114. 1<k<325. 26. A7. C8. －9<y ≤09. 解：∵函数y ＝(m －3)xm 2－3m －2为二次函数，∴m 2－3m －2＝2，解得m ＝－1或m ＝4 (1)∵函数图象开口向上，∴m －3＞0，∴m ＝4，此时函数关系式为y ＝x 2 (2)∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴m －3＜0，∴m ＝－1，此时函数关系式为y ＝－4x 210. C11. D12. D13. (5，2)14. －2 >015. 92π16 ④③②②17. 解：(1)y ＝－2x 2(2)x>0 (3)x ＝0，y 最大值＝018. 解：(1)y ＝－38x 2 (2)设两灯为点P 、点Q ，则它们的纵坐标为－1.5，令－38x 2＝－32，解得x 1＝－2，x 2＝2，∴两灯间的距离PQ ＝4 m。

21.2 二次函数的图象与性质一、选择题（本题包括9小题.每小题只有1个选项符合题意）1.下列函数是二次函数的是（）A. y=B.y=x3-2x-3C.y=（x+1）2-x2D.y=3x2-12.二次函数y=-x2-2x+1的二次项系数是（）A.1B.-1C.2D.-23.已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A.-2B.2C.±2D.04.对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A.y=（m-1）2x2B.y=（m+1）2x2C.y=（m2+1）x2D.y=（m2-1）x25.若关于x的函数y=（2-a）x2-x是二次函数，则a的取值范围是（）A.a≠0B.a≠2C.a＜2D.a＞26.已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有（）A.最小值-5B.最大值-5C.最小值3D.最大值37.抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8.已知二次函数y=3（x-1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（-，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3C.y3＞y1＞y2D.y3＞y2＞y 19.在同一直角坐标系中，抛物线y=（x-a ）2与直线y=a+ax的图象可能是（）A. B.C. D.二、填空题（本题包括7小题）10.若函数是二次函数，则m的值为 ______ ．11.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表：x…-2 0 1 3 …y… 6 1 0 1 …则当x=2时对应的函数值y= ______ ．12.二次函数y=x2-bx+c的图象上有两点A（3，-8），B（-5，-8），则此抛物线的对称轴是直线x= ______ ．13.已知抛物线y=（m2-2）x2-4mx+n的对称轴是x=2，且它的最高点在直线上，则它的顶点为 ______ ，n= ______ ．14.二次函数y=-3(x-2)2+5，在对称轴的左侧，y随x的增大而____________．15.若抛物线y=a（x-3）2+2经过点（1，-2），则a= ______ ．16.如图，抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S=______ ．三、解答题（本题包括4小题）17.已知抛物线y=2x2+2x-3经过点A（-3，a），求a的值．18.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，12），B（2，-3）．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标．19.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…-2 -1 0 1 2 …y…0 -4 -4 0 8 …(1)根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是____________和____________；②抛物线经过点 (-3，____________)；③在对称轴右侧，y随x增大而____________；(2)试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，-），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）若（1）中抛物线的对称轴上有点P，使△ABP的面积等于△A BC的面积的2倍，求出点P的坐标；（3）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点Q，使AQ+CQ的值最小？若存在，求AQ+CQ的最小值；若不存在，请说明理由．21.2 二次函数的图象与性质参考答案一、选择题（本题包括9小题.每小题只有1个选项符合题意）1.D分析：二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，（其中a≠0） A.分析最高次数项为1次，故A错误； B.最高次数项为3次，故B错误； C.y=x2+2x+1-x2=2x-1，故C错误.故选D.2.B分析：二次函数y=-x2-2x+1的二次项系数是-1．故选B．3.B分析：由y=（m-2）x|m|+2是y关于x的二次函数，得 |m|=2且m+2≠0．解得m=2．故选B．4.C分析：A.当m=1时，不是二次函数，故错误； B.当m=-1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误； C.是二次函数，故正确； D.当m=1或-1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误．故选C．5.B分析：∵函数y=（2-a）x2-x是二次函数，∴2-a≠0，即a≠2，故选B．6.B分析：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，-5），所以该抛物线有最大值-5.故选B．7.B8.D9.D10.-3 分析：若y=（m-3）x m2-7是二次函数，则m2-7=2，且m-3≠0，故（m-3）（m+3）=0，m≠3，解得m1=3（不合题意舍去），m2=-3.∴m=-3．11.0 分析：将点（0，1）、（1，0）、（3，1）代入y=ax2+bx+c中，，解得：，∴二次函数解析式为y=x2-x+1，∴二次函数的对称轴为x=-=．∵2×-2=1，∴当x=2时，与x=1时y值相等．12.-1 分析：∵函数y=x2-bx+c的图象上有两点A（3，-8），B（-5，-8），且两点的纵坐标相等，∴A、B是关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为：x==-1.13.（2，2）；-2 分析：抛物线y=（m2-2）x2-4mx+n的对称轴是x =2，且它的最高点在直线上，则最高点即为顶点，把x=2代入直线得y=1+1=2，得顶点坐标为（2，2），又m2-2＜0，由=2，=2，代入求得m=-1，n=-2．14.增大分析：∵二次函数y=-3(x-2)2+5的二次项系数a=-3＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．15.-116.217.18.19.20.。

九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题带答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，﹣1），此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，则a、b、c、d之值何者为正？（）A．a B．b C．c D．d2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x …-1 0 1 2 ……y …0 3 4 3那么关于它的图象，下列判断正确的是（）A．开口向上B．与x轴的另一个交点是（3，0）C．与y轴交于负半轴D．在直线x=1的左侧部分是下降的3．已知抛物线C：y=(x+2)2+1，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线C和C′关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是（）A．将抛物线C向右平移3个单位B．将抛物线C向右平移6个单位C．将抛物线C向左平移3个单位D．将抛物线C向左平移6个单位4．将函数y=x2-2x-5变形为y=a（x-h）2+k的形式，正确的是（）A．y=（x-1）2-5 B．y=（x-2）2+5C．y=（x-1）2-6 D．y=（x+1）2-45．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（）A．x>-3 B．-3<x<1 C．x<-3或x>1 D．x<1x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 13，则a、b的值分别为（）围成的阴影部分的面积为83A．和B．和﹣C．和﹣D．﹣和7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：x …0 1 2 3 …y …﹣1 2 3 2 …在该函数的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1＜y28．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜x A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC=2OA，则2b﹣ac=4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．10．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过象限．11．若函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式．12．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.有下列结论：①b2−4ac<0；②ab>0；③a−b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能等于0 .其中正确的是13．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，当y˃0时，x的范围是.三、解答题14．将长为156cm的铁线剪成两段，每段都围成一个边长为整数（cm）的正方形，求这两个正方形面积和的最小值．15．已知二次函数y=x2+bx+c的图象过（2，-1）和（4，3）两点，求y=x2+bx+c的表达式16．已知二次函数y=-2x2+8x-6，完成下列各题：（1）写出它的顶点坐标C；（2）它的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，求S△ABC．x2﹣x+4.17．已知抛物线y=﹣12（1）用配方法确定它的顶点坐标和对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？18．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，−2m+3)，过点A作y轴的平行线交二次函数y=x2的图象于点B．（1）点B的纵坐标为（用含m的代数式表示）；（2）当点A落在二次函数y=x2的图象上时，求m的值；（3）当m<0时，若AB=2．求m的值；（4）当线段AB的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．19．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.x⋯−3−52−2−10 1 2523 ⋯y⋯ 3 540 −10 −10543 ⋯（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（2）观察函数图象，写出2条函数的性质；（3）进一步探究函数图象发现：①方程x2−2|x|=0的实数根为；②方程x2−2|x|=2有个实数根.③关于x 的方程 x 2−2|x|=a 有4个实数根时，a 的取值范围 .参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】-1；增大 10．【答案】三、四11．【答案】y=﹣2（x ﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8 12．【答案】③④ 13．【答案】−1<x <314．【答案】解：设其中一段铁丝的长度为xcm ，另一段为（156﹣x ）cm 则两个正方形面积和S= 116 x 2+ 116 （156﹣x ）2= 18 （x ﹣78）2+761 ∴由函数当x=78cm 时，S 最小，为761cm 2． 答：这两个正方形面积之和的最小值是761cm 215．【答案】解：把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x 2+bx+c 得 {1+2b +c =−116+4b +c =3解得 {b =−4c =3所以二次函数解析式为y=x 2﹣4x+316．【答案】（1）解：∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2 ∴顶点坐标C 为（2，2） （2）解：∵二次函数y=-2x 2+8x-6的图象与x 轴交于A ，B 两点 ∴当y=0时，0=-2x 2+8x-6 ∴x 1=1，x 2=3∴点A （1，0），点B （3，0） ∴AB=2∴S △ABC = 12 ×AB ×2=2.17．【答案】（1）解：∵y=﹣ 12 x 2﹣x+4=﹣ 12 （x 2+2x ﹣8）=﹣ 12 [（x+1）2﹣9]=﹣ 12 （x+1）2+ 92 ∴它的顶点坐标为（﹣1， 92 ），对称轴为直线x=﹣1 （2）解：∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，开口向下 ∴当x ＞﹣1时，y 随x 增大而减小 18．【答案】（1）m 2（2）解：把A （m ，-2m+3）代入y=x 2，得-2m+3=m 2． 解得m 1=-3，m 2=1；（3）解：根据题意知：|-2m+3-m 2|=2． ①-2m+3-m 2=2解得m 1=−√2−1，m 2=√2−1 ∵m ＜0∴m=−√2−1，符合题意； ②-2m+3-m 2=-2解得m 1=−√6−1，m 2=√6−1 ∵m ＜0∴m=−√6−1，符合题意．综上所述，m 的值为−√2−1或−√6−1； （4）-3＜m ≤-1或m ＞119．【答案】（1）解：如图所示；（2）①函数图象是轴对称图形，关于 y 轴对称；②当 x >1 时， y 随 x 的增大而增大 （3）x 1=−2，x 2=0，x 3=2；2；−1<a <0。

九年级上学期数学课时练习题21.2二次函数y=ax2的图象和性质一、精心选一选1﹒抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（）A. B.C.D.3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限4﹒抛物线y＝12x2，y＝－3x2，y＝x2的图象开口最大的是（）A.y＝12x2B.y＝－3x2C.y＝x2D.无法确定5﹒二次函数y＝13x2的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7﹒苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（）A.B.C.D.8﹒关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是（）A .对称轴是y 轴B .顶点是坐标原点C .当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D .y 有最大值 9﹒已知点A （－3，y 1），B （－1，y 2），C （2，y 3）在抛物线y ＝23x 2上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A .y 1＜y 2＜y 3B .y 1＞y 2＞y 3C .y 1＜y 3＜y 2D .y 2＜y 3＜y 110.如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1＝x 2（x ≥0）与y 2＝24x（x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB＝（ ） A .2 B .2 C .5 D .3 二、细心填一填11.已知关于x 的二次函数y ＝a 226a a x--，当a ＝_____时，其图象开口向上；当a ＝_____时，其图象开口向下.12.已知坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点，则m 的取值范围是___________________. 13.已知二次函数y ＝12x 2的图象如图所示，线段AB ∥x 轴，交抛物线 于A 、B 两点，且点A 的横坐标为2，则AB 的长度为__________. 14.对于二次函数y ＝ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4， 则常数a 的值是___________. 15.写出抛物线y ＝12x 2与抛物线y ＝－12x 2的一条共同特征 是_________________________.16.若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P （－2，4），则当x ＝2时，y ＝______.17.抛物线y ＝－3x 2的对称轴是_______________，当x ____________时，抛物线上的点都在x 轴的下方.18.下列函数中，具有过原点，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这两个特征的函数有_______________.（只填序号）①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）；③y ＝－2x +a 2（a ≠0）；④y ＝32x －a .三、解答题（本题共8小题，第19题8分；第20、21每小题各10分；第22、 23每小题各12分；第24题14分共66分） 19.已知函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数.（1）求m 的值；（2）当m 为何值时，该函数图象的开口向下？ （3）当m 为何值时，该函数有最小值？ （4）试说明函数的增减性.20.已知，二次函数y ＝x 2与一次函数y ＝2x +3的图象交于A 、B 两点.（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象； （2）求△AOB 的面积.21.如图，已知直线l 过A （4，0），B （0，4）两点，它与二次函数y ＝ax 2的图象在第一象限内相交于点P .若△AOP 的面积为4.5，求a 的值.22.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求△COB的面积.23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：x/m 5 10 20 30 40 50y/m0.125 0.5 2 4.5 8 12.5甲乙（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y 关于x的函数图象；（2）猜想出用x表示y的二次函数的关系式；（3）当水面宽度为36m时，一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？21.2二次函数y=ax2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A B A A A C D D A1﹒抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小解答：∵a＝2＞0，∴抛物线y＝－2x2开口向下，以y轴为对称轴，有最高点，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x ＜0时，y随x的增大而减小；∵a＝－2＜0，∴抛物线y＝2x2开口向上，以y轴为对称轴，有最低点，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；∵a＝12＞0，∴抛物线y＝12x2开口向下，以y轴为对称轴，有最高点，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；综合上述，这三条抛物线均以y轴为对称轴，故选：B.2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（）A. B.C.D.解答：由y＝－a(x+a)得y＝－ax+a2，当a＞0时，直线y＝－ax+a2经过一、二、四象象，抛物线y＝－ax2开口向下；当a＜0时，直线y＝－ax+a2经过一、二、三象象，抛物线y＝－ax2开口向上；符合上述要求的只有A选项，故选：A.3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限解答：∵a＜0，∴抛物线y＝ax2经过三、四象限，故选：B.4﹒抛物线y＝12x2，y＝－3x2，y＝x2的图象开口最大的是（）A.y＝12x2B.y＝－3x2C.y＝x2D.无法确定解答：∵12＜1＜3，∴抛物线y＝12x2的图象开口最大，故选：A.5﹒二次函数y＝13x2的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右解答：∵a＝13＞0，∴二次函数y＝x2的图象的开口向上，故选：A.6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：①y＝－x，要分两种情况判断其增减性，故不符合题意；②y＝－x2（x＜0），y随x的增大而增大，故不符合题意；③y＝2x+1，y随x的增大而增大，故不符合题意；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小，故符合题意，综上，可知只有④符合题意，故选：A.7﹒苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（）A.B.C.D.解答：由s＝gt2（g＝9.8）可知此函数为二次函数，且g＞0，自变量t的取值范围为t＞0，所以只有C符合题意，故选：C.8﹒关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是（）A.对称轴是y轴B.顶点是坐标原点C.当x＞0时，y随x的增大而增大D.y有最大值解答：对于二次函数y＝3x2有下列性质：开口向上；以y轴为对称轴；顶点是坐标原点；当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；y有最小值，故选：D.9﹒已知点A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝23x2上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y1＞y2＞y3C.y1＜y3＜y2D.y2＜y3＜y1解答：当x＝－3时，y1＝6；当x＝－1时，y2＝23；当x＝2时，y3＝83，而23＜83＜6，∴y2＜y3＜y1，故选：D.10.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝24x（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DEAB＝（）A.2B.2C.5D.3 解答：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2＝a，解得：x＝a，∴B（a，a），当24x ＝a 时，x ＝a∴C （a a ）， ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为a ∴y 1＝a 2＝4a ，∴点D 的坐标为（a ，4a ）， ∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为4a ，∴24x ＝4a ，解得：x ＝a ，∴点E 的坐标为（a 4a ）， ∴DE ＝a a ＝a ，∴DE AB 2aa＝2， 故选：A . 二、细心填一填11. 4，－2； 12. m ＜－1； 13. 4； 14. －43； 15. 以y 轴为对称轴； 16. 4； 17. y 轴，≠0； 18. ①②.11.已知关于x 的二次函数y ＝a 226a a x --，当a ＝_____时，其图象开口向上；当a ＝_____时，其图象开口向下. 解答：∵y ＝a 226a a x--是二次函数，∴a 2－2a －6＝2，解得：a 1＝－2，a 2＝4，∴当a ＝4时，其图象开口向上；当a ＝－2时，其图象开口向下，故答案为：4，－2.12.已知坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点，则m 的取值范围是___________________.解答：∵坐标原点是抛物线y＝(m+1)x2的最高点，∴该抛物线的开口向下，则m+1＜0，解得：m＜－1，故答案为：m＜－1.13.已知二次函数y＝12x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为__________. 解答：当y＝2时，x＝±2，则A、B两点横坐标分别为－2，2，∵AB∥x轴，∴AB＝22--＝4，故答案为：4.14.对于二次函数y＝ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是___________.解答：当x＝1时，y＝ax2＝a，当x＝2时，y＝ax2＝4a，由a－4a＝4得：a＝－43，故答案为：－4 3 .15.写出抛物线y＝12x2与抛物线y＝－12x2的一条共同特征是_________________________.解答：均以y轴为对称轴，故答案为：以y轴为对称轴.16.若二次函数y＝ax2的图象经过点P（－2，4），则当x＝2时，y＝______.解答：将P（－2，4）代入y＝ax2得：(－2)2a＝4，解得：a＝1，∴y＝x2，∴当x＝2时，y＝4，故答案为：4.17.抛物线y＝－3x2的对称轴是_______________，当x____________时，抛物线上的点都在x轴的下方.解答：抛物线y＝－3x2的对称轴是y轴，当x≠0时，抛物线上的点都在x轴的下方，故答案为：y轴，≠0.18.下列函数中，具有过原点，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这两个特征的函数有 _______________.（只填序号）①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）；③y ＝－2x +a 2（a ≠0）；④y ＝32x －a . 解答：具有过原点，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这两个特征的函数有：①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1），故答案为：①②.三、解答题19.已知函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数.（1）求m 的值；（2）当m 为何值时，该函数图象的开口向下？（3）当m 为何值时，该函数有最小值？（4）试说明函数的增减性.解：∵函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数，∴232230m m m ⎧+-=⎨+≠⎩，解得：124,13m m m =-=⎧⎨≠-⎩， ∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数；（2）∵函数图象的开口向下，∴m +3＜0，∴m ＜－3，∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下；（3）∵该函数有最小值，∴m +3＞0，∴m ＞－3，∴当m ＝1时，该函数有最小值；（4）①当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；②当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小.20.已知，二次函数y ＝x 2与一次函数y ＝2x +3的图象交于A 、B 两点.（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象；（2）求△AOB的面积.解：（1）画函数图象如下：（2）由图象可知：A（－1，1），B（3，9），设直线y＝2x+3与y轴交点为C，则点C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝12×3×1+12×3×3＝32+92＝6.21.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.解：设点P的坐标为（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，0），B（0，4）分别代入y＝kx+b，得k＝－1，b＝4，故y＝－x+4，∵△AOP的面积为4.5＝12×4×y，∴y＝94，再把y＝94代入y＝－x+4，得x＝74，∴P（74，94），把P（74，94）代入到y＝ax2得：a＝3649.22.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求△COB的面积.解：（1）设直线的函数表达式为y＝kx+b，∵A（2，0），B（1，1）都在直线y＝kx+b上，∴201k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为y＝－x+2；∵点B（1，1）在y＝ax2的图象上，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2；（3）由22y x y x=-+⎧⎨=⎩得：24x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩， ∵点C 在第二象限，∴点C 的坐标为（－2，4），∴S △COB ＝S △AOC －S △OAB ＝12×2×4－12×2×1＝3， 即△COB 的面积为3.23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：x /m5 10 20 30 40 50 y /m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5甲 乙 （1）请你以上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y 关于x 的函数图象；（2）猜想出用x 表示y 的二次函数的关系式；（3）当水面宽度为36m 时，一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m 的货船能否在这个河段安全通过？为什么？解：（1）画出y 关于x 的函数图象如下：（2）猜想：y＝1200x2；（3）当水面宽度为36m时，相应的x＝18，则y＝1200x2＝1200×182＝1.62，即此时河段的最大水深为1.62m，∵货船吃水深为1.8m，而1.62m＜1.8m，∴当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个河段.。

二次函数图象与性质（1）1. 二次函数的定义：一般地，形如()20y ax bx c a b c a =++≠，，为常数，且的函数叫做二次函数，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2. 当b ＝0且c ＝0时：二次函数变为()20y ax a =≠， （1）当a ＞0时，其图象如下：xyy = 2∙x 2y = x 2y = 12∙x 2y =110∙x 2O（2）当a ＜0时，其图象如下：可以看到：对于抛物线2y ax =，a 越大，开口越小。

3. 二次函数()20y axa =≠的图象与性质()20y ax a =>()20y ax a =<开口方向上下顶点坐标 （0，0） 对称轴 y 轴性质 在y 轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而增大 在y 轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而减小最值函数有最小值，最小值为0函数有最大值，最大值为0例题1 已知函数42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大。

（1）求k 的值；（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴。

思路分析：由二次函数的定义，求出k 的值，然后写出顶点坐标和对称轴。

答案：（1）由二次函数的定义，得242k k +-=，解得13k =-，22k =；当3k =-时，原函数为2y x =-，当0>x 时，y 随x 的增大而减小，故3k =-不合题意，舍去；当2k =时，原函数为24=y x ，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，符合题意； 故2k =。

（2）抛物线24=y x 的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴。

点评：注意对k 的值进行合理的取舍。

例题2 （1）已知A （1，y 1）、B （－2，y 2）、C （－2，y 3）在函数y ＝241x 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 。