2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题2 函数概念与基本初等函数I 第11练

（江苏专用）2018版高考数学专题温习 专题2 函数概念与大体初等函数 第14练函数模型及其应用练习 文1．(2016·扬州模拟)为了爱惜环境，进展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采纳了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每一个月的处置量最少为400吨，最多为600吨，月处置本钱y (元)与月处置量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处置一吨二氧化碳取得可利用的化工产品价值为100元．该单位每一个月可否获利？若是获利，求出最大利润；若是不获利，则国家至少需要补助多少元才能使该单位不亏损？2．(2016·广东江门一般高中调研测试)某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，衡宇所占地面是面积为12 m 2的矩形，衡宇正面每平方米的造价为1 200元，衡宇侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 200元．若是墙高为3 m ，且不计衡宇背面和地面的费用，问如何设计衡宇能使总造价最低？最低总造价是多少？3．(2016·镇江模拟)经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内(以30天计)销售价钱f (t )(元)与时刻t (天)的函数关系近似知足f (t )＝100(1＋k t)(k 为正常数)，日销售量g (t )(件)与时刻t (天)的函数关系近似知足g (t )＝125－|t －25|，且第25天的销售金额为13 000元．(1)求实数k 的值；(2)试写出该商品的日销售金额w (t )关于时刻t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式；(3)该商品的日销售金额w (t )的最小值是多少？4．某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品别离在国内和国外上市销售，而且价钱依照销售情形不断进行调整，结果40天内全数销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)别离是国外和国内市场的日销售量与上市时刻的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时刻的关系．(1)别离写出国外市场的日销售量f (t )与上市时刻t 的关系及国内市场的日销售量g (t )与上市时刻t 的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有无可能恰好等于6 300万元？如有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．答案精析1．解 设该单位每一个月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000， 因为400≤x ≤600，因此当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每一个月至少补助40 000元，才能不亏损．2．解 设衡宇地面长为y m ，宽为x m ，总造价为z 元(x ，y ，z ＞0)，则xy ＝12，z ＝3y ×1 200＋2×3x ×800＋5 200.∵y ＝12x， ∴z ＝12×3 600x＋4 800x ＋5 200. ∵x ＞0，y ＞0，∴z ≥212×3 600x ×4 800x ＋5 200＝34 000. 当12×3 600x＝4 800x ，即x ＝3时，z 取最小值，最小值为34 000元． 答 当衡宇地面长为4 m ，宽为3 m 时，总造价最低，最低总造价为34 000元．3．解 (1)由题意得f (25)·g (25)＝13 000，即100(1＋k 25)·125＝13 000，解得k ＝1. (2)w (t )＝f (t )·g (t )＝100(1＋1t)(125－|t －25|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100t ＋100t ＋101，1≤t ＜25，t ∈N ，100149＋150t －t ，25≤t ≤30，t ∈N .(3)①当1≤t ＜25时，因为t ＋100t≥20， 因此当t ＝10时，w (t )有最小值12 100；②当25≤t ≤30时，因为150t－t 在[25,30]上单调递减， 因此当t ＝30时，w (t )有最小值12 400.因为12 100＜12 400，因此当t ＝10时，该商品的日销售金额w (t )取得最小值为12 100元．4．解 (1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30＜t ≤40.图②是一个二次函数的部份图象，故g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件样品的销售利润h (t )与上市时刻t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤20，60，20＜t ≤40.故国外和国内的日销售利润之和F (t )与上市时刻t 的关系为F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，20＜t ≤30，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240，30＜t ≤40.当0≤t ≤20时，F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2， ∴F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫48－2720t ≥0， ∴F (t )在[0,20]上是增函数，∴F (t )在此区间上的最大值为F (20)＝6 000＜6 300.当20＜t ≤30时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t . 由F (t )＝6 300，得3t 2－160t ＋2 100＝0，解得t ＝703(舍去)或t ＝30. 当30＜t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240. 由F (t )在(30,40]上是减函数，得F (t )＜F (30)＝6 300.故国外和国内的日销售利润之和能够恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．。

第二章函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数教师用书理苏教版1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t＝a s＋t，(a s)t＝a st，(ab)t＝a t b t，其中s，t∈Q，a>0，b>0.2.指数函数的图象与性质y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0，1)(4)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘.( × ) (3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x是R 上的增函数.( × ) (5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x －1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________.答案 (2，3)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===，则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c <b <a解析 ∵y ＝(35)x是减函数，11034333()()(),555--∴＞＞即a >b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a .4.计算：133()2-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋148×42________.答案 2解析 原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)41233322338(4a a b ab a--÷-+.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 51116333111336(2)2a a a a b a ba=-⨯⨯-12233.a a a a =⨯⨯=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简132113321()4(0.1)()a b ---⋅⋅⋅＝________. 答案 85解析 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝|2x－1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2的零点的个数.解 (1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x <0可作出函数的图象如图所示.因此函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象如图所示.由图象知，当0012112x x +-=-，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x <log 223时，f (x )>f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x－1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10≤x <1，2x －12x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析 函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3，1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a－7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， 所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0. 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1). 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________. (2)函数2211()()2xx f x -++=的单调减区间为________________________________________________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究 函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________.答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3，2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________.答案 (1)[－3，0) (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a，－1)，所以[－12a ，－1)[－8，1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3，0).(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________.错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a ≤b ＋a t ≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.答案 2，2现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1，0].①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数，∴a t ∈[1a ，1]，22x x b a ++∈[b ＋1a ，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数，∴a t ∈[1，1a ]，则22x x b a ++∈[b ＋1，b ＋1a ]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.答案 2，2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________.答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.2.函数f (x )＝2|x －1|的图象是________.答案 ②解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除③、④.又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除①.3.已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则a ，b ，c 的大小关系为__________.答案 a >b >c解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1，所以a >b ，综上，a >b >c .4.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为__________. 答案 [1，9]解析 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.5.(2015·山东改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为__________.答案 (0，1)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x＋12x －a，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3， 当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解.∴x 的取值范围为(0，1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b，则a ，b 的大小关系为________.答案 a ≤b解析 依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ，又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b . 7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________. 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立； 当x ≥1时，由13x ≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________.答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14]解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x≥1，∴0<t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14].∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0].故函数的值域为[－14，14].10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)，(1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1，3]的值域.(1)解 函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解 由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1，3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2，32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值.解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3xx --+，令t ＝－x 2－4x ＋3， 由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2). (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值.解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x＋3(－1≤x ≤2).设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2).当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2).所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34.所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为[34，3716].(2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去；②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)；③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去.综上所述，实数λ的值为 2.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x ＋1＋m ，m 是实常数.(1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ，3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0，2)， 所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1，3)， 即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1，3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下 ：当m ＝0时，f (x )＝23x ＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32， 因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立， 化简整理得－2m ＝2×3x1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2，所以m ＝－1. 下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减.所以f (f (x ))＋f (a )<0有解，且函数f (x )为奇函数，所以f (f (x ))<－f (a )＝f (－a )，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (x )>－a 有解，又易求函数f (x )＝23x ＋1－1的值域为(－1，1)，所以－a <1，即a >－1.。

2.8 函数与方程(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根.对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210【知识拓展】有关函数零点的结论(1)假设连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点.( √ )(5)假设函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点.( √ )1.(教材改编)函数f (x )＝12x －(12)x的零点个数为____________.答案 1解析 f (x )是增函数，又f (0)＝－1，f (1)＝12，∴f (0)f (1)<0，∴f (x )有且只有一个零点.2.(教材改编)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点为1,3，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是________. 答案 x ＝2解析 ∵y ＝a (x －1)(x －3)＝a (x －2)2－a ， ∴对称轴为x ＝2.3.(2016·长春检测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是________.①(1e ，1); ②(1,2)； ③(2，e); ④(e,3).答案 ③解析 因为f (1e )＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x－2的零点所在区间是(2，e).f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)<0，∴(－3a ＋1)·(1－a )<0，解得13<a <1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 5.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是__________.答案 (－2,0)解析 结合二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 的图象知⎩⎪⎨⎪⎧f 0<0f1>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a <01＋1＋a >0，所以－2<a <0.题型一 函数零点确实定 命题点1 确定函数零点所在区间例1 (1)(2016·盐城调研)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是________.(填序号) ①(0,1); ②(1,2); ③(2,3);④(3,4).(2)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，假设x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是______. 答案 (1)③ (2)(1,2)解析 (1)∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)为增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120<0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121>0，∴x 0∈(2,3).(2)令f (x )＝x 3－(12)x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，且f (1)<0，f (2)>0，∴x 0所在的区间是(1,2).命题点2 函数零点个数的判断例2 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.(2)假设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________. 答案 (1)2 (2)4解析 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (xf (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2. (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点.思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.(1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在以下区间中，包含f (x )零点的区间是________.(填序号) ①(0,1); ②(1,2)； ③(2,4);④(4，＋∞).(2)(教材改编)已知函数f (x )＝2x－3x ，则函数f (x )的零点个数为________. 答案 (1)③ (2)2解析 (1)因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4).(2)令f (x )＝0，则2x ＝3x ，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝2x和y ＝3x 的图象，如下图，由图知函数y ＝2x和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f (x )的零点个数为2.题型二 函数零点的应用例 3 (1)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是__________.(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，假设方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (1)(0,3) (2)(0,1)∪(9，＋∞)解析 (1)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0＜a ＜3.(2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如下图.由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a 1－x 有两组不同解，消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，∴0<a <1或a >9. 引申探究本例(2)中，假设f (x )＝a 恰有四个互异的实数根，则a 的取值范围是________________.答案 (0，94)解析 作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a 的图象如下：当x ＝－32时，y 1＝94；当x ＝0或x ＝－3时，y 1＝0，由图象易知，当y 1＝|x 2＋3x |和y 2＝a 的图象有四个交点时，0<a <94.思维升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围. (2)方法：常利用数形结合法.(1)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________.(2)(2016·江苏前黄中学调研)假设函数f (x )＝|x |x －1－kx 2有4个零点，则实数k 的取值范围是______________.答案 (1)(－2,0) (2)(－∞，－4) 解析 (1)∵－a ＝x 2＋x 在(0,1)上有解， 又y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，∴函数y ＝x 2＋x ，x ∈(0,1)的值域为(0,2)， ∴0<－a <2，∴－2<a <0. (2)令f (x )＝0，则方程|x |x －1＝kx 2有4个不同的实数根，显然，x ＝0是方程的一个实数根. 当x ≠0时，方程可化为1k＝|x |(x －1)，设h (x )＝1k，g (x )＝|x |(x －1)，由题意知h (x )与g (x )图象(如下图)有三个不同的交点，由g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1，x >0，－x x －1，x <0，结合图象知－14<1k<0，所以k <－4.题型三 二次函数的零点问题例4 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.方法二 函数图象大致如图，则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围是(－2,1).思维升华 解决与二次函数有关的零点问题 (1)利用一元二次方程的求根公式.(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系. (3)利用二次函数的图象列不等式组.(2016·江苏泰州中学质检)关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m 的取值范围是______. 答案 (－∞，－214)解析 设f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14， 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f 3<0，f1<0，所以m <－214.典例 (1)假设函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________.(2)假设关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________. 思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决.解析 (1)函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，即方程a x－x －a ＝0有两个根，即函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点.当0<a <1时，图象如图(1)所示，此时只有一个交点. 当a >1时，图象如图(2)所示，此时有两个交点. ∴实数a 的取值范围为(1，＋∞).(2)由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－(t ＋2t ＋1－1)＝2－[(t ＋1)＋2t ＋1]，其中t ＋1>1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2. 答案 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，2－22]1.(2016·江苏东海中学期中)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为______________.答案 1＋2或1解析 题目转化为求方程f (x )＝x 的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x ，解得x ＝1＋2或x ＝1，所以g (x )的零点为1＋2或1.f (x )＝log 3x ＋x －3的零点所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________.答案 2解析 由f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝1>0，知f (x )＝0的根在区间(2,3)内，即n ＝2.f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________. 答案 a <c <b解析 方法一 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0且f (x )为R 上的递增函数.故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0). ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2； ∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，∴h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a <c <b . 方法二 由f (x )＝0得2x＝－x ；由h (x )＝0得log 2x ＝－x ，作出函数y ＝2x，y ＝log 2x 和y ＝－x 的图象(如图).由图象易知a <0,0<c <1，而b ＝2， 故a <c <b .4.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________. 答案 2解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0，x －2＋ln xx >0的零点个数为______.答案 2解析 当x ≤0时，令f (x )＝0，得x 2－1＝0，∴x ＝－1，此时f (x )有一个零点；当x >0时，令f (x )＝0，得x －2＋ln x ＝0，在同一个坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象(图略)，观察其图象可知函数y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象在(0，＋∞)上的交点个数是1，所以此时函数f (x )有一个零点，所以f (x )的零点个数为2.x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，假设函数f (x )＝[x ]x－a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是________________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪[43，32)解析 当0<x <1时，f (x )＝[x ]x－a ＝－a ；当1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ；当2≤x <3时，f (x )＝[x ]x－a ＝2x－a ；…f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如下图，通过数形结合可知a ∈(34，45]∪[43，32).7.(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________.答案 x ＝0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解. 综上，函数f (x )的零点只有0.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，假设函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0<m <1，即m ∈(0,1).R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 015x＋log 2 015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________.答案 3解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x 在区间(0，12 015)内存在一个零点， 又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3. a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n 的最小值为________.答案 1解析 设F (x )＝a x ，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 横坐标分别为m ，n (m >0，n >0).因为F (x )与G (x )关于直线y ＝x 对称，所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称.又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2，所以m ＋nm >0，n >0，所以1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·m ＋n 4＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2 n m ×m n)＝1. 当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝2时等号成立.所以1m ＋1n的最小值为1. 11.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两个实根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a 的取值范围是________.答案 (2，115) 解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ f 1>0，f 2<0，f 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋a ＋2>0，4－4a ＋a ＋2<0，9－6a ＋a ＋2>0，解得2<a <115，所以实数a 的取值范围为(2，115).x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围. 解 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解，0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x ，又∵y ＝x ＋1x 在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增， ∴y ＝x ＋1x 在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1].y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)假设方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围.解 (1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝x 2＋2x .又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解.即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点，作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如下图，故假设方程f (x )＝a 恰有3个不同的解只需－1<a <1，故a 的取值范围为(－1,1).。

1．已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是1，＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是________．2．(2016·河北衡水故城高中开学检测)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________________．3．(2016·淮阴中学期中)下列幂函数：①y ＝x 12；②y ＝x －2；③y ＝x 43；④y ＝x 13，其中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是________．(填相应函数的序号)4．(2016·泰州质检)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．(填序号)5．(2016·南京三模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，那么关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是______________．6．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是____________．7．(2016·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．8．(2016·无锡模拟)已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k，当x∈1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，则实数k的取值范围是__________．9．若关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间1,5]上有解，则实数a的取值范围为________________．10．已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋3(m∈R)，若关于x的方程f(x)＝0有实数根，且两根分别为x1，x2，则(x1＋x2)·x1x2的最大值为________．11．已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m的取值范围是__________．12．(2016·惠州模拟)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是____________．13．(2016·重庆部分中学一联)已知f(x)＝x2＋kx＋5，g(x)＝4x，设当x≤1时，函数y＝4x－2x＋1＋2的值域为D，且当x∈D时，恒有f(x)≤g(x)，则实数k的取值范围是____________．14．设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x ∈a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b]上是“关联函数”，区间a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．答案精析1．3 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 3.③ 4.④ 5．{x |x ＜－3或1＜x ＜3}解析 若3－2x ≥0，原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；若3－2x＜0，原不等式化为x 2＞(3－2x )2，解得32＜x ＜3.故原不等式的解集为{x |x ＜－3或1＜x ＜3}．6．(－2,2]解析 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4＜0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎨⎧ a －2＜0，Δ＜0，解得－2＜a ＜2.所以a 的取值范围是(－2,2]．7.14解析 令f (x 2)＋f (k －x )＝0，即f (x 2)＝－f (k －x )．因为f (x )为奇函数，所以f (x 2)＝f (x －k )．又因为f (x )为单调函数，所以x 2＝x －k ，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，即方程x 2－x ＋k ＝0只有一个根，故Δ＝1－4k ＝0，解得k ＝14.8．0,1]解析 ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；若m ＝0，则f (x )＝x 2，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，故f (x )＝x 2.当x ∈1,2)时，f (x )∈1,4)，g (x )∈2－k,4－k )，即A ＝1,4)，B ＝2－k,4－k )，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，则⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1. 9.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 方法一 由x 2＋ax －2＞0在x ∈1,5]上有解，令f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (0)＝－2＜0，f (x )的图象开口向上，∴只需f (5)＞0，即25＋5a －2＞0，解得a ＞－235.方法二 由x 2＋ax －2＞0在x ∈1,5]上有解，可得a ＞2－x 2x ＝2x －x 在x ∈1,5]上有解．又f (x )＝2x －x 在x ∈1,5]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝－235，只需a ＞－235.10．2解析 ∵x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m ＋3，∴(x 1＋x 2)·x 1x 2＝－2m (2m ＋3)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋342＋94.又Δ＝4m 2－4(2m ＋3)≥0，∴m ≤－1或m ≥3.∵t ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋342＋94在m ∈(－∞，－1]上单调递增，m ＝－1时最大值为2；t ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋342＋94在m ∈3，＋∞)上单调递减，m ＝3时最大值为－54，∴(x 1＋x 2)·x 1x 2的最大值为2.11．(0，＋∞)解析 因为0＜0.71.3＜1,1.30.7＞1，所以0.71.3＜1.30.7，又因为(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，所以幂函数y ＝x m 在(0，＋∞)上单调递增，所以m ＞0.12.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23解析 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，由题意知⎩⎨⎧ f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎨⎧ 2k －1＞0，3k －2＜0，4k －1＞0，解得12＜k ＜23.13．(－∞，－2]解析 令t ＝2x ，由于x ≤1，则t ∈(0,2]，则y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1∈1,2]，即D ＝1,2]．由题意f (x )＝x 2＋kx ＋5≤4x在x ∈D 时恒成立．方法一 ∵x 2＋(k －4)x ＋5≤0在x ∈D 时恒成立，∴⎩⎨⎧ 1＋(k －4)＋5≤0，22＋2(k －4)＋5≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤－2，k ≤－12，∴k ≤－2.方法二 k ≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x ＋4 在x ∈D 时恒成立，故k ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x ＋4min ＝－2. 14．(－94，－2]解析由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈0,3])的大致图象如图所示． 结合图象可知，当x ∈2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈－94，－2]，故当m ∈(－94，－2]时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈0,3])的图象有两个交点．即当m ∈(－94，－2]时，函数y ＝f (x )－g (x )在0,3]上有两个不同的零点．。