高二数学选择性必修一导学案2.2.3直线的一般式方程(课后练习)

第二章 2.2.3直线的一般式方程A 级——基础过关练1．(2020年大连月考)倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．3x －y －1＝0B ．3x －y ＋1＝0C ．3x －3y －1＝0D ．3x ＋3y －1＝0【答案】A 【解析】由于直线的倾斜角为60°，故斜率为tan 60°＝3，由斜截式求得直线l 的方程为y ＝3x －1，即3x －y －1＝0.2．直线l 过点(－1,2)，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0【答案】A 【解析】设所求直线方程为3x ＋2y ＋m ＝0，代入点(－1,2)得3×(－1)＋2×2＋m ＝0，所以m ＝－1.故直线l 的方程是3x ＋2y －1＝0.3．若直线2x －y －4＝0在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则a －b 的值为( )A ．6B ．2C ．－2D ．－6【答案】A 【解析】令y ＝0，得x ＝2；令x ＝0，得y ＝－4.则a ＝2，b ＝－4，所以a －b ＝6.4．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )【答案】C 【解析】将l 1与l 2的方程化为斜截式得y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得C ．5．若直线mx ＋3y －5＝0经过连接点A (－1，－2)，B (3,4)的线段的中点，则m ＝________.【答案】2 【解析】线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.6．已知Rt △ABC 的顶点C (0，－1)，斜边AB 所在直线的方程为3x －2y ＋1＝0，则AB 边上的高所在直线的方程为________．【答案】2x ＋3y ＋3＝0 【解析】由题意，可得直线AB 的斜率k ＝32，则所求直线方程的斜率k ′＝－23，直线的点斜式方程为y ＋1＝－23x ，即2x ＋3y ＋3＝0. 7．在平面直角坐标系Oxy 中，若直线l 1：x －2y －1＝0和直线l 2：2x －ay －a ＝0平行，则常数a 的值为________．【答案】4 【解析】当a ＝0时，l 2：x ＝0，显然与l 1不平行；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 1×－a －－2×2＝0，－2×－a －－1×－a ≠0，解得a ＝4.8．已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．【答案】x ＋y －4＝0 【解析】线段PQ 的中点坐标为(1,3)，直线PQ 的斜率k PQ ＝1，所以直线l 的斜率k l ＝－1.所以直线l 的方程为x ＋y －4＝0.9．根据下列条件，求直线的一般方程：(1)过点(2,1)且与直线2x ＋3y ＝0平行；(2)与直线y ＝x 垂直，且在两坐标轴上的截距之和为－4.解：(1)设直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0，将(2,1)代入，得4＋3＋c ＝0，c ＝－7，所以所求直线方程为2x ＋3y －7＝0.(2)设直线方程为x a ＋y b ＝1，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－4，－b a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2，所以所求方程为x－2＋y－2＝1，即x ＋y ＋2＝0.10．求m ，n 的值，使直线l 1：y ＝(m －1)x －n ＋7满足：(1)平行于x 轴；(2)平行于直线l 2：7x －y ＋15＝0；(3)垂直于直线l 2：7x －y ＋15＝0.解：(1)当m ＝1且n ≠7时，l 1平行于x 轴．(2)7x －y ＋15＝0化为斜截式y ＝7x ＋15.当l 1∥l 2时，m －1＝7且－n ＋7≠15，所以m ＝8，n ≠－8.(3)当7(m －1)＝－1，即m ＝67，n ∈R 时，l 1⊥l 2.B 级——能力提升练11．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则该直线方程为() A ．15x －3y －7＝0 B ．15x ＋3y －7＝0C ．3x －15y －7＝0D ．3x ＋15y －7＝0【答案】A 【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －A B ＝5，A －2B ＋3C ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－5B ，C ＝73B . 所以直线方程为－5x ＋y ＋73＝0，即15x －3y －7＝0. 12．(多选)下列说法正确的是( )A ．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2)B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2C ．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角为60°D ．过点(－1,2)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＝0【答案】ABD 【解析】y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )可化为y －2＝a (x －3)，则直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2)，故A 正确；令x ＝0，则y ＝－2，即直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，故B 正确；3x ＋y ＋1＝0可化为y ＝－3x －1，则该直线的斜率为－3，即倾斜角为120°，故C 错误；设过点(－1,2)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线的斜率为k ，因为直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以k ·12＝－1，解得k ＝－2，则过点(－1,2)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线的方程为y －2＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＝0，故D 正确．故选ABD ．13．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．【答案】3或5 【解析】由两直线平行得，当k －3＝0时，两直线的方程分别为y ＝－1与y ＝32，显然两直线平行，当k －3≠0时，由k －32k －3＝4－k －2，可得k ＝5.综上所述，k 的值是3或5.14．直线ax ＋y ＋1＝0与连接A (2,3)，B (－3,2)的线段相交，则a 的取值范围是________．【答案】a ≤－2或a ≥1 【解析】直线ax ＋y ＋1＝0的可化为y ＝－ax －1，所以此直线斜率为－a ，恒过M (0，－1)．所以－a ≤k MB 或－a ≥k MA ，即－a ≤－1或－a ≥2，解得a ≤－2或a ≥1.15．设直线l 的方程为(a ＋3)x ＋y ＋3－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距均为0，求l 的方程；(2)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(3)若l 不经过第三象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，所以3－a ＝0，解得a ＝3，所以所求方程为6x ＋y ＝0.(2)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，所以3－a ＝0，所以a ＝3，方程为6x ＋y ＝0；当直线不过原点时，a ≠3.由a －3a ＋3＝a －3，得a ＝－2，方程为x ＋y ＋5＝0. 故所求的方程为6x ＋y ＝0或x ＋y ＋5＝0.(3)将l 的方程化为y ＝－(a ＋3)x ＋a －3，欲使l 不经过第三象限，当且仅当－(a ＋3)≤0且a －3≥0，解得a ≥3.故所求a 的取值范围为a ≥3.16．求与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 的方程． 解：方法一，由题意可设l 的方程为3x －4y ＋m ＝0，则l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－m 3，m 4. 由－m 3＋m 4＝1知，m ＝－12. 所以直线l 的方程为3x －4y －12＝0.方法二，设直线方程为x a ＋y b＝1， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－b a ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3. 所以直线l 的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0. C 级——探究创新练17．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0，则直线l 经过定点________；若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为______________．【答案】(1，－3) 3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0 【解析】直线l 的方程可写为a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，∴直线l 经过定点(1，－3)．当截距为0时，a ＝2，直线l 过原点，直线l 的方程为3x ＋y ＝0.当截距不为0时，a ＋1≠0，且a ≠2.∵直线l在两坐标轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2，∴a ＋1＝1，∴a ＝0.∴直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.18．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)证明：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35.而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解：如图，直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3. ∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.。

《2.2.3直线的一般式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.【教学目标与核心素养】【教学重点】：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式【教学难点】：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化【教学过程】1.在方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行于x 轴;(2)平行于y 轴;(3)与x 轴重合;(4)与y 轴重合. 答案:当A=0时,方程变为y=-CB ,当C≠0时表示的直线平行于x 轴,当C=0时与x 轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA ,当C≠0时表示的直线平行于y 轴,当C=0时与y 轴重合.2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ; 化为截距式为 . 解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x -12+y-13=1.答案:y=-23x-13; x -12+y-13=13.两条直线的位置关系3.判断下列两组直线是否平行或垂直:三、达标检测1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) 答案(1)√(2)√(3)×当C＝0时，直线与y轴重合．(4)×当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0,在y轴上的截距-1b <0;bx-ay=1在x轴上的截距1b>0,在y轴上的截距-1a>0.只有B满足.故选B.答案:B3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0四、小结五、课时练【教学反思】通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。

2.2.2 直线的两点式方程班级： 姓名：[基础达标练]1.(多选题)下列语句中不正确的是( )A .经过定点()00,y x P 的直线都可以用方程()00x x k y y -=-表示B .经过任意两个不同点()()2211,,y x Q y x P ，的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示C .不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示 D .经过定点的直线都可以用b kx y +=表示2.两条直线1=-n y m x 与1=-my n x 在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的( )3.过点()4,3P 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A 01=+-y x B.03401=-=+-y x y x 或C.07=-+y xD.03407=-=-+y x y x 或4.直线l 过点()()5,21,1和--,点()b ,1010在直线l 上,则b 的值为( )A.2019B.2020C.2021D.20225.经过点()()4,3,1a B A 和的直线方程为 .6.斜率为21,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为 . 7.已知三角形三个顶点分别是()()()1,0,2,2,0,3C B A --,求这个三角形三边各自所在直线的方程.能力提升练1.直线01=+-y x 关于y 轴对称的直线的方程为( )A.01=--y xB.02=--y xC.01=-+y xD.01=++y x2.(多选题)经过点()1,2,且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是( )A.03=-+y xB.03=++y xC.01=--y xD.01=+-y x3.已知两点()()4,0,0,3B A ,动点()y x P ,在线段AB 上运动,则xy ( )A.无最小值,且无最大值B.无最小值,但有最大值C.有最小值,但无最大值D.有最小值,且有最大值4.已知直线l 过点()1,2P ,且与x 轴,y 轴的正半轴分别交于B A ,两点,O 为坐标原点,则三角形OAB 面积的最小值为 .5.已知直线l 过点()1,4P ,(1)若直线l 过点()6,1-Q ,求直线l 的方程;(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍,求直线l 的方程.6.如图,已知点()5,2A 与点()7,4-B ,试在y 轴上找一点P ,使得PB PA +的值最小.。

2.2.3直线的一般式方程（基础知识+基本题型）知识点一：直线方程的一般式1.定义在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于,x y 的二元一次方程Ax +0By C +=（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.2.适用范围在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.3.几何意义（1）当0B ≠时，A k B -=（斜率），Cb B -=（y 轴上的截距）；（2）当0A ≠时，Ca A-=（x 轴上的截距）.拓展直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式，斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线．因此,要注意运用分类讨论的思想．在高考中,题型以选择题和填空题为主,与其他知识点综合时,一般以解答题的形式出现．知识点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=-于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠）1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.考点一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是12-，经过点A （8，―2）；（2）经过点B （4，2），平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，―3；（4）经过两点P 1（3，―2），P 2（5，―4）．【答案】（1）x+2y ―4=0（2）y ―2=0（3）2x ―y ―3=0（4）10x y +-=【解析】（1）由点斜式方程得1(2)(8)2y x --=--，化成一般式得x+2y ―4=0．（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y ―2=0．（3）由截距式得1332x y +=-，化成一般式得2x ―y ―3=0．（4）由两点式得234(2)53y x +-=----，化成一般式方程为10x y +-=．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．考点二：直线与坐标轴形成三角形问题例2．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab =，再根据它的斜率已知，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可．【答案】334y x =±或334y x =-±【解析】解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．设l 的方程为34y x b =±+，令y=0，得43x b =±．∴直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫± ⎪⎝⎭，（0，b ）．∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3．故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±．解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y-=±．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．考点三利用一般式研究平行或垂直例3.已知直线l 的方程为34120x y +-=，求直线'l 的方程，'l 满足：（1）过点(1,3)-，且与l 平行；（2）过点(1,3)-，且与l 垂直.解：方法1：由已知，l 的方程34120x y +-=可化为334y x =-+，所以直线l 的斜率为34-.（1）由l 与'l 平行，得直线'l 的斜率为34-.又因为'l 过(1,3)-，由点斜式，知方程为33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.（2）由l 与'l 垂直，得直线'l 的斜率为43.又因为'l 过(1,3)-，由点斜式，知方程为43(1)3y x -=+，即43130x y -+=.方法2：（1）由l 与'l 平行，可设'l 的方程为340x y m ++=.将点(1,3)-代入上式，得9m =-.所以直线'l 的方程为3490x y +-=.（2）由l 与'l 平行，可设'l 的方程为430x y n -+=.将点(1,3)-代入上式，得13m =.所以直线'l 的方程为43130x y -+=.总结：（1）直线1111:0l A x B y C ++=，直线2222:0l A x B y C ++=：①'12210l l A B A B ⇔-= ，且122112210(0)B C B C A C A C -≠-≠或；②'12120l l A A B B ⊥⇔+=.（2）利用平行与垂直的关系巧设方程①与直线0Ax By C ++=平行的直线方程可设为10Ax By C ++=，再由其他条件求1C .注意当1C C =时，两直线重合，当1C C ≠时，两直线平行.②与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为20Bx Ay C -+=，再由其他条件求2C .例4（1）过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是．(2)已知直线l 过点(2,1)p ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别为交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则BC △O 面积的最小值为；此时的直线方程为．【解析】欲求“直线与两坐标轴围成的三角形的面积”，设直线方程并求其在两坐标轴上的截距是解题的关键．（1）设所求直线方程为4(5)y k x +=+，依题意有14(5)(54)52k k--=，所以22530160k k -+=（无解）或22550160k k -+=，解得25k =或85k =；所以直线方程是25100x y --=或85200x y -+=．（2）设直线AB 的方程为1(2)(0)y k x k -=-<，则11(2)(12)211 =44211 4(4)()21 442S k k k k k k =----=--+-≥+=△O A B ，当且仅当14kk-=-即12k=-时取等号，故当12k=-时，OABS△有最小值4．此时，直线方程为11(2),2y x-=--即240x y+-=．反思：本题第（2）小题是将面积化成关于斜率k的函数，然后用函数的有关方法求最值．这里的关键是根据函数式的结构特征选用均值不等式．。

第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程2.2.3 直线的一般式方程教学设计一、教学目标1. 掌握直线的一般式方程；2. 了解一般式方程与二元一次方程的关系.二、教学重难点1. 教学重点直线的一般式方程.2. 教学难点直线的一般式方程的应用.三、教学过程（一）新课导入思考：（1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？（2）任意一个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线吗？（学生自由回答，教师引导，引出接下来要学习的内容）（二）探索新知先看问题（1）. 任意一条直线l ，在其上任取一点000()P x y ，，当直线l 的斜率为k 时（此时直线的倾斜角90α≠︒），其方程为00()y y k x x -=-，这是关于x ，y 的二元一次方程.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的倾斜角90α=︒时，直线的方程为00x x -=，上述方程可以认为是关于x ，y 的二元一次方程，因此此时方程中y 的系数为0.方程00()y y k x x -=-和00x x -=都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示.反之，对于任意一个二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0），如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.当0B ≠时，方程0Ax By C ++=可变形为A C y x B B =--，它表示过点(0)C B -，，斜率为A B-的直线. 当0B =时，0A ≠，方程0Ax By C ++=可变形为C x A =-，它表示过点(0)C A -，，且垂直于x 轴的直线.由上可知，关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.问题 在方程0Ax By C ++=中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 轴重合.（学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师做最后总结）（1）0A =且00B C ≠≠，；（2）0B =且00A C ≠≠，；（3）0A =且00B C ≠=，；（4）0B =且00A C ≠=，. 例1 已知直线经过点(64)A -，，斜率为43-，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点(64)A -，，斜率为43-的直线的点斜式方程是44(6)3y x +=--， 化为一般式，得43120x y +-=.例2 把直线l 的一般式方程260x y -+=化为斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：把直线l 的一般式方程化为斜截式132y x =+. 因此，直线l 的斜率12k =，它在y 轴上的截距是3. 在直线l 的方程260x y -+=中，令0y =，得6x =-，即直线l 在x 轴上的截距是6-. 由上面可得直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为(60)(03)A B -，，，，如图，过A ，B 两点作直线，就得直线l .（三）课堂练习1.直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A. 25a b ==，B. 25a b ==-，C. 25a b =-=，D. 25a b =-=-，答案：B解析：令0x =得5y =-，即5b =-；令0y =得2x =，即2a =.故选B.2.过点(13)P -，且垂直于直线230x y -+= 的直线方程为( )A. 210x y +-=B. 250x y +-=C. 250x y +-=D. 270x y -+= 答案：A解析：∵直线230x y -+=的斜率为12， ∴由垂直关系可得所求直线的斜率为-2， ∴所求直线的方程为32(1)y x -=-+， 化为一般式可得：210x y +-=，故选A.3.无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为( )A. (21)-，B. (21)--，C. (21)，D. (21)-，答案：A解析：直线:120l mx y m +-+=可化为(2)(1)0m x y ++-=，由题意，可得2010x y +=⎧⎨-=⎩， ∴21x y =-⎧⎨=⎩， ∴直线:120l mx y m a +-+=，恒过一定点(21)-，.故选A.4.若直线的截距式1x y a b+=化为斜截式为2y x b =-+，化为一般式为80bx ay +-=，且0a >，则a b +=__________.答案：6 解析：由1x y a b+=，得b y x b a =-+，一般式为0bx ay ab +-=，2,8b ab a ∴-=--=-，即28b a ab =⎧⎨=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩或24a b =-⎧⎨=-⎩.0246a a b a b >∴==∴+=，，，.5.已知在ABC 中，()()()123425A B C --，，，，，.求：（1）BC 边所在直线的一般式方程；（2）BC 边上的高AH 所在直线的一般式方程. 答案：（1）由题意，可得541235BC k -==---， 由直线的点斜式方程，可得1435()y x -=--， 即BC 边所在直线的一般式方程为5230x y +-=.（2）由（1），可得15BC k =-，所以5AH k =， 所以由直线的点斜式方程，可得(21)5y x -=+， 即BC 边上的高AH 所在直线的一般式方程为570x y -+=.（四）小结作业小结：1. 直线的一般式方程；2. 直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 作业：四、板书设计2.2.3 直线的一般式方程1. 直线的一般式方程；。

2.2.3 直线的一般式方程一、内容和内容解析1.内容直线的一般式方程.2.内容解析直线是平面几何中已经研究过的图形，本章用解析几何的方法进行再研究，可以使学生体会解析几何方法的特点.直线的方程是在平面直角坐标系中对直线的代数刻画.直线的方程包括直线的点斜式、两点式和一般式方程，斜截式、截距式方程分别是点斜式、两点式方程的特例.（1）一般式方程揭示的是任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.从而直线的一般式方程是二元一次方程的形式.教科书按照这一思路，利用第64页的思考，得到了直线的一般式方程.（2）与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是，直线的一般式方程能表示平面上的所有直线，点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.教科书第65页的探究旨在让学生领悟这一事实.（3）点斜式方程、两点式方程都可以化为一般式方程.教科书第65-66页的例5、例6进行的就是一般式方程与其它直线方程之间的互化，从而让学生掌握这几种直线方程的内在联系.（4）在本小节的最后，教科书说明应该从几何与代数两个角度看待二元一次方程：在代数中我们研究方程，着重研究方程的解；建立直角坐标系后，二元一次方程的每一个解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的解集，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线，直角坐标系把直线与方程联系起来.结合以上分析，确定本节课的教学重点：直线的一般式方程的求解及与其他方程的转化.二、目标和目标解析1.目标（1）探索直线的一般式方程，掌握直线的一般式方程；（2）会进行直线的一般式方程与其它直线方程的转化，提升学生的数学运算核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）了解直线的一般式方程的一般形式，对于具体问题，会求直线的一般式方程；（2）对于具体问题，会进行直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程之间的转化．三、教学问题诊断分析本节属于《普通高中数学课程标准（2017年版）》中“几何与代数”主线的内容，在学习本节内容之前，学生已学习了直线的倾斜角与斜率，两条直线平行和垂直的判定，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，对直线方程的形式有一定了解．在推导平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示时，学生对于按直线l 的斜率存在和不存在的讨论可能还不太习惯.分类问题始终是教学的难点，很多学生不了解确定“类”的依据是什么；而是涉及字母系数的二元一次方程比数字系数的二元一次方程抽象，同解变形更加形式化.这些都是教学中需要特别关注的.在学习完直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程之后，部分学生可能对这五种形式的适用范围和一般形式的掌握程度略低，导致相互转化时的准确性和速度略低.本节课的教学难点是分类讨论思想在研究二元一次方程与直线的关系时的运用，以及直线方程的应用．四、教学过程设计（一）直线的一般式方程的推导同学们，前面我们学习了直线的倾斜角与斜率，两条直线平行和垂直的判定，直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程．观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于y x ,的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题.问题1：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗？师生活动：教师讲解，学生观看并认真思考．教师分直线l 的斜率存在和不存在两种情况进行分析，并提示在研究关于直线的问题时，经常按︒≠90α和︒=90α进行分类讨论.设计意图：通过推导过程，让学生明确在研究关于直线的问题时，注意按︒≠90α和︒=90α进行分类讨论，并得到“平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示”这一事实.问题2：任意一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线吗？师生活动：教师讲解，学生认真观看．教师分0≠B 和0=B 两种情况进行推导，得出结论.设计意图：通过分类讨论，得出结论：任意一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线.（二）直线的一般式方程的概念我们把关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （其中B A ,不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.问题3：在方程0=++C By Ax 中，C B A ,,为何值时，方程表示的直线：①平行于x 轴？ ②平行于y 轴？ ③与x 轴重合？ ④与y 轴重合？ ⑤过原点？师生活动：教师依次讲解四个问题的思考过程，并得出结论，学生观看并思考．设计意图：对一般式方程的系数进行思考，得出方程表示的直线在特殊位置时的系数特点，有利于对直线的一般式方程的深入理解，体会一般式方程相对于点斜式、两点式的适用范围的增加，及其带来的便利．练习 若方程()()226235210a a x a a y a --+-+++=表示平行于y 轴的直线，则 .a = 师生活动：教师讲解解题过程，学生同时思考．设计意图：考察学生对直线的一般式方程的系数对直线位置的影响的掌握程度，以及对解方程的熟练程度．（三）直线的一般式方程的应用例1 （教科书第65页例5）已知直线经过点(),4,6-A 斜率为,34-求直线的点斜式和一般式方程． 师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考．设计意图：通过具体实例展示直线的一般式方程的求解过程，使学生熟悉直线的点斜式方程向一般式方程的转化．练习1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式：（1）经过点(),2,8-A 斜率是;21- （2）经过点(),2,4-B 平行于x 轴； （3）经过点()();4,5,2,321--P P （4）在x 轴、y 轴上的截距分别是.3,23- 师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考．设计意图：让学生回忆求直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的过程，并训练学生由四种形式向一般式方程转化的过程，熟悉解题思路．例2 （教科书第66页例6）把直线l 的一般式方程062=+-y x 化为斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考．设计意图：当学生经历了点斜式、斜截式、两点式、截距式方程向一般式方程的转化过程之后，也要学会由一般式方程向另外四种形式的转化．此题就是一般式向斜截式的转化，并利用一般式方程，求横、纵截距，进而在平面直角坐标系中画出直线，掌握在平面直角坐标系中画直线的一般方法：找出直线与两条坐标轴的交点，然后连接这两个点．结合例2，我们可以从集合角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线．在代数中，我们研究了二元一次方程的解．因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线．平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟大贡献．在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示．练习2 求下列直线的斜率以及在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形：（1）;053=-+y x （2）;154=-y x （3）;02=+y x （4）.0467=+-y x师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考．设计意图：熟悉利用直线的一般式方程求直线斜率、截距，以及在坐标系中画直线的过程，夯实基础．练习3 已知直线12,l l 的方程分别是1111:0,l A x B y C ++=（其中11,A B 不同时为0），2222:0,l A x B y C ++=（其中22,A B 不同时为0），并且，02121=+B B A A 求证：.21l l ⊥ 师生活动：教师提示证明两直线垂直的方法是证斜率相乘等于-1，并结合斜率是否存在进行分类讨论,之后展示证明过程.追问：已知直线12,l l 的方程分别是1111:0,l A x B y C ++=（其中11,A B 不同时为0），2222:0,l A x B y C ++=（其中22,A B 不同时为0），并且12,l l ⊥是否有12120A A B B +=呢？类似的，若已知直线21,l l 的方程分别是1111:0,l A x B y C ++=（其中11,A B 不同时为0）， 2222:0,l A x B y C ++=（其中22,A B 不同时为0），你能证明122112122112210//00A B A B l l B C B C AC A C -=⎧⇔⎨-≠-≠⎩或吗？ 师生活动：学生课下完成．设计意图：通过对练习3的求解，帮助学生熟悉证明两直线垂直的方法以及分类讨论的思想，熟悉直线的一般式方程的系数与两直线的位置关系之间的联系．（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识：1、对直线的斜率是否存在进行分类讨论，得到了：在平面直角坐标系中，（1）任意一个二元一次方程都表示直角坐标平面上一条确定的直线；（2）直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示．2、直线的一般式方程：0=++C By Ax （B A ,不同时为0）.3、直线的一般式方程与其它四种直线方程的互化；4、通常可以利用直线与两条坐标轴的交点在平面直角坐标系中画直线.设计意图：对本节课进行小结，复习提升．布置作业：教科书第67页习题2.2第8、10、11题．五、目标检测设计1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式．（1）斜率是3且经过点();3,5（2）斜率为4，在y 轴上的截距为;2-（3）经过()()1,2,5,1--B A 两点；（4）在x 轴，y 轴上的截距分别是.1,3--设计意图：考查学生对求直线方程，以及四种直线方程向直线的一般式方程的转化的掌握程度．2．已知直线()(),022:,0613:21=+-+=-++m y mx l y m x l 分别求满足下列条件的m 的值.（1）;21l l ⊥ （2）.//21l l设计意图：考查学生对与以一般式方程给出的直线平行或垂直的直线的一般式方程的一般形式的理解和掌握程度．。