2013-2014学年高二上学期期中数学文试卷 Word版含答案

2013-2014学年上海市浦东区高二（上）期中数学试卷一、填空题（1-10题每题3分，11-12题4分满分38分）1．（3分）数列﹣，，﹣，…的一个通项公式是．2．（3分）=．3．（3分）等差数列{a n}中，若a3+a7=16，则a5=．4．（3分）等比数列{b n}中，若b2b3b4=8，则b3=．5．（3分）与向量=（4，﹣3）同向的单位向量是．6．（3分）已知直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则•=．7．（3分）设数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，则a n=．8．（3分）在各项都是正数的等比数列{a n}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16，则a3+a5=．9．（3分）已知f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1，对任意n∈N*，f（n+1）﹣f（n）=．10．（3分）已知|AB|=|AC|=6，且•=18，则△ABC的形状是．11．（4分）若（）n=0，则实数x的取值范围是．12．（4分）观察如图数表，根据数表中的变化规律，2013位于数表中的第行，第列．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）已知数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）已知数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．915．（3分）若平面向量与=（1，﹣2）的夹角是180°，且||=3，则等于（）A．（6，﹣3）B．（3，﹣6）C．（﹣3，6）D．（﹣6，3）16．（3分）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直三、解答题（满分50分）17．（8分）已知无穷等比数列{a n}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比．18．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．19．（10分）已知向量=（﹣3，2）与向量=（x，﹣5）（1）若向量⊥向量，求实数x的值；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围．20．（10分）已知数列{a n}前n项的和S n，且a1=1，a n+1=S n（n∈N*）（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）（1）证明数列{a n+1}是等比数列；并求此数列的通项a n；（2）设数列b n=，记T n=b1+b2+…+b n，求T n的值．（3）若数列{C n}满足C1=10，C n+1=100C n，求数列{C n}的通项公式．2013-2014学年上海市浦东区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-10题每题3分，11-12题4分满分38分）1．（3分）数列﹣，，﹣，…的一个通项公式是a n=（﹣1）n．【解答】解：∵2，4，8，16，32，…是以2为首项和公比的等比数列，且1，3，5，7，9，…是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴此数列的一个通项公式是a n=（﹣1）n．故答案为：a n=（﹣1）n．2．（3分）=．【解答】解：==•=．故答案为：．3．（3分）等差数列{a n}中，若a3+a7=16，则a5=8．【解答】解：∵等差数列{a n}中，若a3+a7=2a5=16，∴a5=8．故答案为：8．4．（3分）等比数列{b n}中，若b2b3b4=8，则b3=2．【解答】解：∵等比数列{bn}中，若b2b3b4=8，∴，解得b3=2．故答案为：2．5．（3分）与向量=（4，﹣3）同向的单位向量是（，﹣）．【解答】解：∵向量=（4，﹣3），∴||==5，∴向量=（4，﹣3）同向的单位向量（，﹣）．故答案为：（，﹣）．6．（3分）已知直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则•=﹣16．【解答】解：∵直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，∴BC==5，∴cosC==，∴•=﹣•=﹣||•||cosC=﹣4×5×=﹣16．故答案为：﹣16．7．（3分）设数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，则a n=6n﹣5．【解答】解：数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，∴a1=S1=3﹣2=1，n≥2时，S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5，n=1时，上式成立，∴a n=6n﹣5．故答案为：6n﹣5．8．（3分）在各项都是正数的等比数列{a n}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16，则a3+a5= 4．【解答】解：在各项都是正数的等比数列{a n}中，∵a2a8+2a5a3+a2a4=16，∴=（a5+a3）2=16，解得a3+a5=4．故答案为：4．9．（3分）已知f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1，对任意n∈N*，f（n+1）﹣f（n）=2n﹣1．【解答】解：∵f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]+n=2×+n=n2．∴f（n+1）﹣f（n）=（n+1）2﹣n2=2n+1．故答案为：2n+1．10．（3分）已知|AB|=|AC|=6，且•=18，则△ABC的形状是等边三角形．【解答】解：∵在△ABC中，b=c=6，∴△ABC为等腰三角形，又bccosA=36cosA=18，∴cosA=，A∈（0，π），∴A=．∴△ABC为等边三角形，故答案为：等边三角形．11．（4分）若（）n=0，则实数x的取值范围是．【解答】解：∵（）n=0，∴﹣1＜＜1．解得：．故答案为：12．（4分）观察如图数表，根据数表中的变化规律，2013位于数表中的第45行，第77列．【解答】解：由数表中的变化规律，知第n行有2n﹣1个连续自然数，∵1+3+5+…+（2×45﹣1）==2025，1+3+5+…+（2×44﹣1）==1936，2013﹣1936=77，∴2013位于数表中的第45行，第77列．故答案为：45，77．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）已知数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若S n=an2+bn（a≠0），则当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=an2+bn﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）]=2an+b﹣a，当n=1，a1=S1=a+b满足a n=2an+b﹣a，此时当n≥2，a n﹣a n﹣1=2an+b﹣a﹣2a（n﹣1）﹣b+a=2a为常数，则数列{a n}成等差数列，即充分性成立，若a n=1，满足数列{a n}成等差数列，但数列{a n}前n项的S n=n，不满足S n=an2+bn （a≠0），即必要不充分条件，故数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）已知数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：数列，，1，3，…的首项为，公比为3，S n==，由S n=＞100，得3n＞1801，∵36=729，37=2187，∴数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是7．故选：B．15．（3分）若平面向量与=（1，﹣2）的夹角是180°，且||=3，则等于（）A．（6，﹣3）B．（3，﹣6）C．（﹣3，6）D．（﹣6，3）【解答】解：∵与所成的夹角是180°，∴=λ（1，﹣2），∵||=，∴λ2+4λ2=45∴λ=±3，∵两个向量方向相反，∴λ=﹣3，∴=（﹣3，6）故选：C．16．（3分）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直【解答】解：由定比分点的向量式得：，，，以上三式相加得，故选：A．三、解答题（满分50分）17．（8分）已知无穷等比数列{a n}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公比为q（|q|＜1），依题意得：=①=②两式相除得q=．将q=代入①得a1=32．∴此数列的首项为32，公比为．18．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【解答】解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．依题意，有由①式得x=3y﹣12．③将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2，整理得y2﹣13y+36=0．解得y1=4，y2=9．代入③式得x1=0，x2=15．从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．19．（10分）已知向量=（﹣3，2）与向量=（x，﹣5）（1）若向量⊥向量，求实数x的值；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）∵向量⊥向量….1′∴•=0….1′∴﹣3x﹣10=0 ….1′∴x=﹣…1′（2）∵向量与向量的夹角为钝角∴•＜0且•≠﹣1 …2′∴﹣3x﹣10＜0且﹣3x﹣10≠﹣1 ….2′∴x的取值范围是（﹣，﹣3）∪（﹣3，+∞）…2′．20．（10分）已知数列{a n}前n项的和S n，且a1=1，a n+1=S n（n∈N*）（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．=S n（n∈N*），且a1=1得【解答】解（1）：由a n+1a2=﹣….1′a3=﹣….1′a4=﹣…..1′（2）：猜想：a n=…2′下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1、n=2时，a1=1，a2=﹣，猜想结论成立…1′（ⅱ）假设当n=k（，k≥2，k∈N*），猜想结论成立．当n=k+1时，a k+1=S k=﹣（S k﹣1+a k）=﹣S k﹣1a k=a k a k===…3′由（ⅰ），（ⅱ）可得，猜想对任意n∈N*都成立．…1′．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）（1）证明数列{a n+1}是等比数列；并求此数列的通项a n；（2）设数列b n=，记T n=b1+b2+…+b n，求T n的值．（3）若数列{C n}满足C1=10，C n+1=100C n，求数列{C n}的通项公式．【解答】（1）证明：∵a n=2a n﹣1+1∴a n+1=2a n﹣1+2∴a n+1=2（a n﹣1+1）∴数列{a n+1}是以2为公比的等比数列…2′又∵a1=1，∴a1+1=2∴a n+1=2•2n﹣1，∴a n=2n﹣1….2′（2）解：∵b n===….2′∴T n=b1+b2+…+b n=1﹣+﹣+﹣+…+=1﹣，∴T n=1 ….2′=100C n（3）解：∵C n+1=2+lgC n， (2)∴lgC n+1∴{lgC n}是以2为公差的等差数列 (1)又∵C1=10，∴lgC1=1lgC n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴C n=102n﹣1，（n∈N*）…1．第14页（共14页）。

2013-2014学年贵州省重点高中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（）A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”2．（3分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8 B．18 C．26 D．803．（3分）直线l过点P（﹣2，0）且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．± C．±D．±4．（3分）下列各数中，最大的是（）A．32（8）B．111（5）C．101010（2）D．54（6）5．（3分）一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位：cm）分布茎叶图如图所示，记录的平均身高为177cm，则这7名选手身高的方差为（）A．B．14 C．D．6．（3分）一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6：2：1：4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg）在[3.2，4.0）的人数是（）A．30 B．40 C．50 D．558．（3分）一个中袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片，现从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于14的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12，21，25，43，则总人数N为（）A．801 B．808 C．853 D．91210．（3分）设a，b为实数，则“a＜或b＞”是“0＜ab＜1”的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件11．（3分）某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：如回归方程=x+的斜率是，则它的截距是（）A．=11﹣22 B．=11﹣22C．=22﹣11D．=22﹣1112．（3分）在某市创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对某校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，共16分）13．（4分）直线2x+3y﹣6=0关于直线x+y+2=0对称的直线方程为．14．（4分）如果执行如图所示的程序，则输出的数t=．15．（4分）在区域内随机撒一粒黄豆，落在区域内的频率是．16．（4分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切．其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共6个小题，每题8分，共48分）17．（8分）学校举行演讲比赛，高二（12）班有4名男同学和3名女同学都很想参加这次活动，现从中选一名男同学和一名女同学代表本班参赛，求女同学甲参赛的概率是多少？18．（8分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．（1）计算甲班的样本方差；（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．19．（8分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图所示）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，求抽取的学生人数．20．（8分）甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．21．（8分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y ﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，求圆C的方程．22．（8分）已知向量=（﹣2，1），=（x，y）．（Ⅰ）若x，y分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足•=﹣1的概率．（Ⅱ）若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足•＜0的概率．2013-2014学年贵州省重点高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（）A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”【解答】解：先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币的基本事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}、{反，反}，故“至少一枚硬币正面向上”的目标事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}，故选：A．2．（3分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8 B．18 C．26 D．80【解答】解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，故输出的结果为26．故选：C．3．（3分）直线l过点P（﹣2，0）且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．± C．±D．±【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，由直线l过点（﹣2，0），得到直线l的方程为：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，∵直线l与圆相切，∴圆心（0，0）到直线l的距离d==r=1，两边平方整理得：4k2=k2+1，即k2=，则k=±．故选：D．4．（3分）下列各数中，最大的是（）A．32（8）B．111（5）C．101010（2）D．54（6）【解答】解：A.=26．B.=31C.101010（2）=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+0×20=42．D.=34．比较以上化成“十进制”的数可知：只有C最大．故选：C．5．（3分）一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位：cm）分布茎叶图如图所示，记录的平均身高为177cm，则这7名选手身高的方差为（）A．B．14 C．D．【解答】解：=（180+181+170+173+170+x+178+179）=177，解得x=8，∴S2=[（180﹣177）2+（181﹣177）2+（170﹣177）2+（173﹣177）2+（178﹣177）2+（178﹣177）2+（179﹣177）2]=．故选：D．6．（3分）一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6：2：1：4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比依次为6：2：1：4，红色或蓝色的区域占总数的，故指针停在红色或蓝色的区域的概率是．故选：B．7．（3分）某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg）在[3.2，4.0）的人数是（）A．30 B．40 C．50 D．55【解答】解：在频率分步直方图中小长方形的面积为频率．在[3.2，3.6）的频率为0.625×0.4=0.25，频数为0.25×100=25，在[3.6，4.0）的频率为0.375×0.4=0.15，频数为0.15×100=15．则新生婴儿的体重在[3.2，4.0）（kg）内大约有25+15=40人．故选：B．8．（3分）一个中袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片，现从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于14的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：基本事件总数n==28，取得两张卡片的编号和不小于14的基本事件个数m=2，∴取得两张卡片的编号和不小于14的概率：p==．故选：C．9．（3分）学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12，21，25，43，则总人数N为（）A．801 B．808 C．853 D．912【解答】解：由题意知：=，解得N=808．故选：B．10．（3分）设a，b为实数，则“a＜或b＞”是“0＜ab＜1”的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件【解答】解：由a＜或b＞，∴b（ab﹣1）＜0或a（ab﹣1）＞0，∴或或或．因此“a＜或b＞”是“0＜ab＜1”的必要条件但不是充分条件．故选：B．11．（3分）某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：如回归方程=x+的斜率是，则它的截距是（）A．=11﹣22 B．=11﹣22C．=22﹣11D．=22﹣11【解答】解：由题意，==11，==22，∵回归方程=x+的斜率是，∴=22﹣11．故选：C．12．（3分）在某市创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对某校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：总体平均数为=7.5．设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果．事件A包含的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果；∴所求的概率为二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，共16分）13．（4分）直线2x+3y﹣6=0关于直线x+y+2=0对称的直线方程为3x+2y+16=0．【解答】解：设P（x，y）为所求直线上的任意一点，则P关于直线x+y+2=0对称点P′（x′，y′）在直线2x+3y﹣6=0，∴必有2x′+3y′﹣6=0 （*）由对称性可得，解得，代入（*）式可得2（﹣y﹣2）+3（﹣x﹣2）﹣6=0化简可得3x+2y+16=0∴所求对称直线的方程为：3x+2y+16=0故答案为：3x+2y+16=014．（4分）如果执行如图所示的程序，则输出的数t=120．【解答】解：模拟程序语言的运行过程，得出该程序输出的是：t=1×2×3×4×5=120．故答案为：120．15．（4分）在区域内随机撒一粒黄豆，落在区域内的频率是．【解答】解：区域在平面直角坐标系中的形状如下图矩形所示，区域在平面直角坐标系中的正式成立如下图阴影所示，=2×4=8由图可知：S矩形S阴影=×2×4=4故落在区域内的频率P==，故答案为：16．（4分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切．其中真命题的序号是①③．【解答】解：①因为球的体积是半径的三次函数关系，所以一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的，所以①正确．②根据平均数和标准差的公式可知若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，所以②错误．③圆心到直线的距离d=等于半径，所以直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切，所以③正确．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6个小题，每题8分，共48分）17．（8分）学校举行演讲比赛，高二（12）班有4名男同学和3名女同学都很想参加这次活动，现从中选一名男同学和一名女同学代表本班参赛，求女同学甲参赛的概率是多少？【解答】解由于男生从4人中任意选取，女生从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男生为A，B，C，D，女生为1，2，3，我们可以用一个“数对”来表示随机选取的结果．如（A，1）表示：从男生中随机选取的是男生A，从女生中随机选取的是女生1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“女同学甲参赛”为事件E．由上表可知，可能的结果总数是12个．设女同学甲为编号1，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P（E）==．18．（8分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．（1）计算甲班的样本方差；（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．【解答】解：（1）==170．甲班的样本方差s2=[（158﹣170）2+（162﹣170）2+（163﹣170）2+（168﹣170）2+（168﹣170）2+（170﹣170）2+（171﹣170）2+（179﹣170）2+（179﹣170）2+（182﹣170）2]=57.2．（2）设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A．从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：（181，173），（181，176），（181，178），（181，179），（179，173），（179，176），（179，178），（178，173），（178，176），（176，173），共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：（181，176），（179，176），（178，176），（176，173）．所以P（A）==．19．（8分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图所示）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，求抽取的学生人数．【解答】解：前3个小组的频率和为1﹣0.0375×5﹣0.012 5×5=0.75．因为前3个小组的频率之比为1：2：3，所以第2小组的频率为×0.75=0.25．又知第2小组的频数为12，则=48，即为所抽取的学生人数．20．（8分）甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．【解答】解：设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y．则作出如图所示的区域．本题中，区域D的面积S1=242，区域d的面积S2=242﹣182．∴P===．即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为．21．（8分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y ﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，求圆C的方程．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），由圆心C与点P关于直线y=x+1对称，得到直线CP与y=x+1垂直，结合y=x+1的斜率为1得直线CP的斜率为﹣1，所以=﹣1，化简得a+b+1=0①，再由CP的中点在直线y=x+1上，得到=+1，化简得a﹣b﹣1=0②联解①②，可得a=0，b=﹣1，∴圆心C的坐标为（0，﹣1），可得圆心C到直线AB的距离d==3，又∵|AB|=3，∴根据勾股定理，得r满足：r2=d2+（|AB|）=18，因此，圆C的方程为x2+（y+1）2=18．22．（8分）已知向量=（﹣2，1），=（x，y）．（Ⅰ）若x，y分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足•=﹣1的概率．（Ⅱ）若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足•＜0的概率．【解答】解：（Ⅰ）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6=36个；由a•b=﹣1有﹣2x+y=﹣1，所以满足a•b=﹣1的基本事件为（1，1），（2，3），（3，5），共3个；故满足a•b=﹣1的概率为=．（Ⅱ）若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}；满足a•b＜0的基本事件的结果为A={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6且﹣2x+y＜0}；画出图形如下图，矩形的面积为S 矩形=25，阴影部分的面积为S 阴影=25﹣×2×4=21， 故满足a•b ＜0的概率为．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。

2013～2014学年度第一学期期中考试高二数学试题(考试时间：120分钟 总分160分)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）110y -+=的斜率是 ▲ ．2. 经过点(3,0)B ，且与直线210x y +-=垂直的直线方程为： ▲ . 3．以(2,1)A -为圆心，半径为2的圆的标准方程为 ▲ .4．方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围是： ▲ ．5．抛物线216y x =-的准线方程为 ▲ ．6．已知双曲线的实轴长为16，虚轴长为12，则双曲线的离心率为 ▲ ． 7．在立体几何中，下列结论一定正确的是： ▲ （请填所有正确结论的序号） ①一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；②用一个平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台； ③将直角三角形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥； ④将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台. 8．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是 1 : 4，截去的小圆锥的母线长是3 cm ，则圆台的母线长 ▲ cm ．9．与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程为 ▲ .10．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为 ▲ ． 11．已知圆()()22:112C x y -++=，过点()2,3的直线l 与圆相交于,A B 两点，且90ACB ∠=,则直线l 的方程是 ▲ ．12．在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的重心（三角形三条中线的交点），则AP = ▲ ．13．在直角坐标系中，已知()()1,0,1,0A B -，点M 满足MAMB=AM 的斜率的取值范围为 ▲ ．14．函数5)y x =≤≤的图象上至少有三个点到原点的距离成等比数列，则公比q 的最大值是 ▲ . 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分） 已知直线1:220l x y ++=和2:310l x y ++=（Ⅰ）求过直线1l 和2l 的交点且与直线3:2350l x y ++=平行得直线方程；（Ⅱ）若直线4:3220l x y ++=与直线1l 和2l 的分别交于点A B 、 ，求线段AB 的长 16．（本题满分14分）已知圆心()(1,2)0,1C ，且经过点 （Ⅰ）写出圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(2,1)P -作圆C 的切线，求切线的方程及切线的长.17．（本题满分14分）已知椭圆C : ()222210x y a b a b +=>>过点(0,4)，且离心率为35．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求过点(3,0)且斜率为54的直线被C 所截线段的中点坐标．18．（本题满分16分）已知抛物线C 顶点在坐标原点，准线方程为1x =- （Ⅰ）求抛物线C 的方程.（Ⅱ）若直线经过抛物线C 的焦点，与抛物线交于,A B 两点，且线段AB 中点的横坐标为2，求直线AB 的方程.19. （本题满分16分）已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()()()2,0,1,0,0,4A B C - （Ⅰ）若直线2y x b =+平分ABC ∆面积，求实数b 的值；1（Ⅰ）若直线042:=-+y x l 与圆1C 相交于A B ,两点．求弦AB 的长；（Ⅱ）若圆2C 经过(1,3),(0,4)E F -，且圆2C 与圆1C 的公共弦平行于直线210x y ++=，求圆2C 的方程．（Ⅲ）求证：不论实数λ取何实数时，直线1:2230l x y λλ-+-=与圆1C 恒交于两点，并求出交点弦长最短时直线1l 的方程。

2013-2014学年度第一学期期中考试高二数学（文）参考答案与评分标准一、填空题：1. 03,2≠+-∈∀x x R x2. 33.()2,1-4.5. 052622=+--+y x y x6.3 7. 23a π 8. 20x y -=或30x y +-= 9. ()()12222=++-y x 10. 菱形11. ①③④ 12. (1,1]{-⋃ 13. (],1-∞ 14. 2+7二、解答题：15. 解：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，因为点M 是线段BC 中点， 所以20221,022x y -+-==-==即点M 的坐标为(1,0)-------------------2分 由两点式得AM 所在直线方程为1421y x +=+即4340x y -+=----------------5分 所以中线AM 的方程为：4340x y -+=(12)x -≤≤----------------------7分（2）直线BC 的斜率为：2BC k =----------------------------------------8分因为AD BC ⊥所以112AD BC k k =-=， 所以AD 所在直线方程是14(2)2y x -=-即260x y --=---------------11分 直线BC 的方程为：220x y ++=，因为AD 就是A 点到直线BC 的距离所以由点到直线的距离公式得AD ==分16．解：（1）取BC 的中点M ，连接AM SM ,SC SB = AC AB = BC SM ⊥∴，BC AM ⊥又M AM SM =⋂，⊥∴BC 面SMA 又⊂SA 面SMA ，SA BC ⊥∴．………7分(2)在ABC ∆中，222SC SB BC += SC SB ⊥∴，可得22=SM ， 同理AC BA ⊥ ，22=AM ，在SMA ∆中，222SA AM SM =+ MA SM ⊥∴，又BC SM ⊥，M MA BC =⋂⊥∴SM 面ABC 12221223131=⋅⋅=⋅=∴∆-ABC ABC S S SM V …………14分 17．解：{}53>-<=x x x M 或，{}0))(8(≤+-=a x x x N ．…………………2分（1）当6-=a 时，{}86≤≤=x x N ．若“p 且q ”为真命题，则N M x ⋂∈ ∈∴x []8,6 …………7分（2）当8-<a 时，{}a x x N -≤≤=8，由命题p 是命题q 的必要但不充分条件，可知N 是M 的真子集，此时符合题意 ……………10分 当8->a 时，{}8≤≤-=x a x N ，要使N 是M 的真子集，须5>-a ，即58-<<-a ．…………12分当8-=a 时，{}8=N ，满足命题p 是命题q 的必要但不充分条件． 因此，a 的取值范围是5-<a ． ………14分18. 解：（1）设AC BD O = ，连接OP,O P 分别是1,BD DD 的中点，1BD OP ∴∥ …………………3分OP ⊂ 平面PAC ，1BD ⊄平面PAC ， 1BD ∴∥平面PAC …………………7分(2) 1DD ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1DD ⊥ AC …………10分 又AC BD ⊥ ，1DD BD D = ，AC ∴⊥平面1BDD ……………13分 AC ⊂ 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面1BDD ……………16分19．解：（1）以灯柱底端O 点为原点，灯柱OA 所在直线为y 轴，路宽OC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系， ………2分则A 点的坐标为(0, h )， C 点的坐标为(23,0)， …………3分 因为灯杆AB 与灯柱OA 成120o 角，所以AB 的倾斜角为30o ，则B 点的坐标为(2.5cos30o , h + 2.5sin30o )， 即（h + 1.25）． ……………5分 因为BD ⊥AB ，所以11tan 30BD oAB k k =-=-= ……………7分 当h =10时，B 点的坐标为（11.25），此时BD的方程为11.25y x -=-，150y +-= ……10分（2）设路面中线与路宽OC 的交点为D ，则点D 的坐标为（11.5,0）．…11分 可求得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-AB AB B 21535.11,23， 由BD 斜率35.112321535.11-=-+-=AB AB k ………13分解得 2.5AB =答：（1）当10h =150y +-=，（2）当5h =米且灯罩轴线正好通过道路路面的中线时 2.5AB =米． …………16分20．（1）圆的方程化为8)2()1(22=-+-y x 所以圆心为（1，2），半径为22 ………2分 22221=+-=∴bd35-=∴或b ………6分(2)设),(),,(2211y x B y x A 1,2211-=⋅∴⊥x y x y OB OA ，即02121=+y y x x 0))((,,21212211=+++∴+=+=b x b x x x b x y b x y 0)(222121=+++∴b x x b x x 将b x y +=代入圆方程得：034)3(2222=--+-+b b x b x234,322121--=-=+∴b b x x b x x 03,0)3(34222=--=+-+--∴b b b b b b b 2131±=b ………14分 所以所求直线方程为2131±+=x y ………16分（答案不唯一请参考给分）。

山西省忻州市2013-2014学年高二第二学期期中联考试题数学(文科)注意事项:1.答题前,考生务必用蓝､黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称､姓名､班级､联考证号填写在试题和试卷上｡2.请把所有答案做在试卷上,交卷时只交试卷,不交试题,答案写在试题上无效｡3.满分150分,考试时间120分钟｡一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A =}lg |{x y x =,B =x x y x 2|{2-=},则AB =A.}2|{≥x xB.}2|{>x xC.}0|{>x xD.}2,0|{≥≤x x x 或2.已知复数i z a =+(0i a >，是虚数单位),若||z =则1z的虚部是 A.13-B.1i 3-C.1i 5- D.15- 3.已知向量(21,4)c x →=+,(2,3)d x →=-,若//c d →→,则实数x 的值等于 A.21-B.21C.61 D.61- 4.已知中心在坐标原点,焦点在x 轴上的双曲线C 的渐近线方程为x y 2±=,则此双曲线的离心率为A.25 B.5C.25 D.55.给出下列四个命题:① 因为(43i)(23i)20+-+=>,所以43i 23i +>+; ② 由a b a c ⋅=⋅两边同除a ,可得b c =;③ 数列1,4,7,10,…,3n +7的一个通项公式是37n a n =+;④ 演绎推理是由一般到特殊的推理,类别推理是由特殊到特殊的推理. 其中正确命题的个数有 A.1个B.2个C.3个D.4个6.为研究变量x 和y 的线性相关性,甲､乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程1l 和2l ,两人计算知x 相同,y 也相同,下列正确的是A.1l 与2l 重合B.1l 与2l 一定平行C.1l 与2l 相交于点),(y xD.无法判断1l 和2l 是否相交7.“2m =”是“直线3(1)(7)0x m y m ++--=与直线230mx y m ++=平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且83742S a a ==-，, 则9a 为 A.-6 B.-4 C.-2 D.2 9.右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图, 其中判断框内应填入的条件是A.8?i >B.9?i >C.10?i >D.11?i > 10.若函数()2sin()(210)63f x x x ππ=+-<<的图像与x 轴交于 点A ,过点A 的直线l 与函数f (x )的图像交于B 、C 两点, 则()OB OC OA +⋅=A.-32B.-16C.16D.3211.设a ,b ,c ∈(-∞,0),则a +1b ,b +1c ,c +1aA.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不小于-2D.至少有一个不大于-212.设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x ',()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x '',若在区间(,)a b 上()0f x ''<恒成立,则称函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”.已知432113()1262f x x mx x =--,若对任意的实数m 满足2m ≤时,函数()f x 在区间上(,)a b 为“凸函数”,则b a -的最大值为A.4B.3C.2D.1二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.已知实数x ,y 满足条件4003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，,则y x z +=的最大值为 .14.将掷一枚骰子一次得到的点数记为a ,则使得关于x 的方程042=++ax x 有实数解的概率为________.15.若数轴上不同的两点A B 、分别与实数12x x 、对应,则线段AB 的中点M 与实数122x x +对应.由此结论类比到平面:若平面上不共线的三点A B C 、、分别与实数对112233(,)(,)(,)x y x y x y 、、对应,则ABC ∆的重心G 与 对应.16.下面的数组均由三个数组成:(1,2,3),(2,4,6),(3,8,11),(4,16,20),(5,32,37),…,(a n ,b n ,c n ).若数列{n c }的前n 项和为n S ,则10S = (用数字作答).三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.(本题满分10分)(A 题仅限忻州一中和范亭中学学生做,B 题其余学校学生做) A.已知直线l 的方程为2)4sin(=+πθρ,圆C 的方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧==sin cos y x .(1) 把直线l 和圆C 的方程化为普通方程; (2) 求圆C 上的点到直线l 距离的最大值.B.已知复数()21i 3(1i)z 2i-++=-.(1) 求z 的共轭复数z ;(2) 若1i az b +=-,求实数a b ，的值. 18.(本题满分12分)在△ABC 中,a b c 、、分别是角A B C 、、所对的边,且满足222a cb ac +-=. (1) 求B ∠的大小;(2) 设向量(sin cos2)(61)m A A n ==--，，，,求m n ⋅的最小值.19.(本题满分12分)如图,在直角梯形ABCD 中,90A D ∠=∠=︒,AB CD <,SD ⊥平面ABCD ,AB AD a ==,SD =,设SB 的 中点为M ,DM MC ⊥. (1) 求证:⊥DM 平面SBC ; (2) 求四棱锥S ABCD -的体积. 20.(本题满分12分)ABCD M S随着生活水平的提高,人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了n 个人,其中男性占被调查人数的25.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动,而女性只有13的人的休闲方式是运动.(1)完成下列22⨯列联表:(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可认为“性别与休闲方式有关”,那么本次被调查的人数至少为多少?(3)根据(2)的结论,本次被调查的人中,至少有多少人的休闲方式是运动?(参考公式:)(22bc ad n K -=,其中n = a + b + c + d ,临界值表如下:21.(本题满分12分)长方形ABCD 中,AB =1BC =.以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系.(1) 求以A ､B 为焦点,且过C ､D 两点的椭圆的标准方程;(2) 过点(0,2)P 的直线l 交(1)中椭圆于M ,N 两点,是否存在直线l ,使得以线段MN 为直径的圆恰好过坐标原点?若存在,求 出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.22.(本题满分12分)已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ,其中0a >. (1) 当1a =时,求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程; (2) 求函数()f x 的单调区间及在-1,+∞)上的最大值.忻州市2013−2014学年第二学期期中联考高二数学(文科)参考答案及评分标准一.选择题(每小题5分,共60分) ADBBA CAACD DC 二.填空题(每小题5分,共20分)13.10 14.12 15.123123(,)33x x x y y y ++++ 16.2101 三.解答题(本大题共6小题,共70分)17.A.解:(1)直线l 的方程为2=+y x . ……3分 圆C 的方程为122=+y x . ……6分 (2) 易求得圆心C 到直线l 的距离为222==d , ……8分所以距离的最大值为r d +=12+. ……10分 B.解:(1)i iii i i +=-+=-++-=1232332z . (4)分 ∴z =1-i .……5分 (2) ,1)1(i b i a -=++ 即i ai b a -=++1 (8)分解得2,1=-=b a .……10分 18.解:(1)∵222a cb ac +-=,∴2221cos 22a cb B ac +-==.……3分又∵0B π<<,∴3B π=. ……5分 (2)6sin cos2m n A A ⋅=--……6分 223112sin 6sin 12(sin )22A A A =--=--,……8分∵203A π<<,∴0sin 1A <≤. …10分∴当sin 1A =时,取得最小值为5-.……12分19.解:(1)证明:BD SD =,DM SB ∴⊥. 又DM MC ⊥,DM SBC ∴⊥面. ……6分(2)SBC DM 面⊥ ,DM BC ∴⊥,又SD ⊥平面ABCD ,∴BC ⊥SD .SD ∩DM =D ,∴BC ⊥平面SBD . (9)分BD ⊆平面SBD ,∴BC ⊥BD .∵//AB CD 045CDB ABD ∴∠=∠=2CD a ∴=.213()22ABCD S AB CD AD a ∴=+⋅=.∴313S ABCD ABCD V S SD -=⋅=. (12)分20.解:(1)依题意:被调查的男性人数为25n ,其中有5n人的休闲方式是运动;被调查的女性人数为3n ,其中有n人的休闲方式是运动,则22⨯列联表如下:……4分(2) 由表中数据,得222()55552323365555n n n n n n K n n n n ⋅-⋅==⋅⋅⋅.要在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“性别与休闲方式有关”, 则23.841K ≥, 所以3.84136n ≥,解得138.276n ≥. 又n N *∈,且5nN *∈,∴140n ≥. 故本次被调查的人数至少是140人.……8分(3) 由(2)可知2140565⨯=, 所以,本次被调查的人中至少有56人的休闲方式是运动. (12)分21.解:(1)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-.设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by a x .2a =|AC |+|BC |=3+1=4>22,2=∴a .224222=-=-=∴c a b .∴椭圆的标准方程是.12422=+y x……4分(2) 由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 联立方程⎩⎨⎧=++=42222y x kx y ,消去y 整理得()0482122=+++kx xk .……6分设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x ∴221221214,218k x x k k x x +=+-=+.若以MN 为直径的圆恰好过原点,则⊥,所以02121=+y y x x , ……8分 所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即()()042121212=++++x x k x x k .所以()04211621142222=++-++k k k k ,即,0214822=+-kk 得.2,22±==k k 满足∆>0.……10分所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .故存在过P (0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点. (12)分22.解:(1)当1a =时,22()1xf x x =+,(1)1f =, (1)分又22222222(1)422()(1)(1)x x x f x x x +--'==++,则(1)0f '=. ……3分所以曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程为10y -=. …4分(2) 2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++. 由于0a >,令()0f x '=,得到11x a=-,2x a =, (6)分当x 变化时,()()f x f x '，的变化情况如下表: (9)分∴()f x 在区间1a ⎛⎫∞-⎪⎝⎭-，,()a ∞，+内为减函数,在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数. 故函数()f x 在点2x a =处取得极大值()f a ,且()1f a =.∵f (-1)=-2a -a 2+12,且f (-1)-()f a =-2a -a 2+12-1=-2a -a 2-12<0,∴f (x )在-1,+∞)上的最大值为1.……12分高二数学(文科)双向细目表说明:1.第7题是课本必修3习题改编.2.第10题是课本选修1-2习题改编.3.第14题是课本必修1习题改编.4. 第19题是课本选修1-2习题改编.5.第21题是课本必修5复习题改编.。

2013—2014学年度第一学期高二数学期中测试卷答案一、填空题1、b a b a ≤-≤-则若,212、1sin ,>∈∃x R x3、 必要不充分4、36π5、y x 82=6、23y x =±7、 33 8、②③ 9、2 10、（2）、（4） 11、 )1,41(- 12、(]1,∞- 13 14、552 二、解答题15．(本小题满分14分)已知:|3|2,:(1)(1)0p x q x m x m -≤-+--≤，若p ⌝是q ⌝充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.解:由题意 p: 232≤-≤-x ∴ 51≤≤x …… (3分)∴p ⌝：51><x x 或……. (5分) q ：11+≤≤-m x m …… (8分) ∴q ⌝：11+>-<m x m x 或…… (10分)又∵p ⌝是q ⌝充分而不必要条件∴⎩⎨⎧≤+≥-5111m m 且等号不同时成立∴42≤≤m …… (14分) 16．(本小题14分)设命题p ：方程17622=-++a y a x 表示双曲线，命题q ：圆9)1(22=-+y x 与圆16)1()(22=++-y a x 相交． 若“p ⌝且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若p 真，即方程22167x y a a +=+-表示双曲线，则()()670a a +-<，67a ∴-<<． ………………………………………5分 若q 真，即圆()2219x y +-=与圆()()22116x a y -++=相交，则17,a <<∴-<< …………………………………………10分 若“p ⌝且q ”为真命题，则p 假q 真，67a a a ≤-≥⎧⎪∴⎨-<<⎪⎩或6a -≤-， ∴符合条件的实数a的取值范围是6a -<≤-． ………………………………14分17．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AB ＝AC ，点D 为BC 中点，点E 为BD 中点，点F 在AC 1上， 且AC 1＝4AF .(1)求证：平面ADF ⊥平面BCC 1B 1； (2)求证：EF //平面ABB 1A 1.证明：(1) 因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，所以CC 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ， 所以CC 1⊥AD . ……………… 2分又AB ＝AC ，D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ，……………… 4分 因为BC ⋂CC 1＝C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1， ……………… 6分因为AD ⊂平面ADF ，所以平面ADF ⊥平面BCC 1B 1. ……………… 7分 (2) 连结CF 延长交AA 1于点G ，连结GB .因为AC 1＝4AF ，AA 1//CC 1，所以CF ＝3FG ，……………… 9分又因为D 为BC 中点，点E 为BD 中点，所以CE ＝3EB ，……………… 11分 所以EF //GB ，而EF ⊄平面ABBA 1，GB ⊂平面ABBA 1，所以EF //平面ABBA 1. ……………… 14分 18.（15分）如图在直角梯形ABCD 中，AD=3，AB=4，BC=，曲线DE 上任一点到A 、B 两点距离之和为常数. （1）建立适当的坐标系，求曲线DE 的方程；（2）过C 点作一条与曲线DE 相交且以C 为中点的弦，求出弦所在直线的方程.解：⑴a ＝21（｜AD ｜＋｜BD ｜）＝4，可求出曲线DE 的方程为121622y x +＝1，（－2≤x ≤4,0≤y ≤23） ………………7分 （2）椭圆弧DE 与y 轴的交点M （0，），与x 轴的交点N （4，0），C （2，）为M ，N 的中点，所以弦MN 即为所求，其所在直线方程为3223+-=x y .……15分ABCC 1A 1B 1FE D G ABCC 1A 1B 1 FE D19.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC. （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BEBF的值。

湖北省部分重点中学2013—2014学年度上学期高二期中考试数 学 试 卷(文)命题人：市49中 唐和海 审题人： 洪高 高珺一、选择题1、通过随机抽样用样本估计总体，下列说法正确的是( ).A ．样本的结果就是总体的结果B ．样本容量越大，可能估计就越精确C ．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D ．数据的方差越大，说明数据越稳定2、下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( ）(A ）1000NP =（B ） 41000N P =（C ） 1000M P =（D ） 41000M P =3、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示（如图所示）,设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙,中位数分别为m 甲，m 乙，则 （ )A ．x x <甲乙,m 甲>m 乙 B ．xx <甲乙,m 甲<m 乙C ．xx >甲乙，m 甲>m 乙D ．xx >甲乙，m 甲<m 乙4、函数[]2()2155f x x x x =+-∈-，，,在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（ ）. Ａ．320Ｂ．23Ｃ．310Ｄ．455、对学生进行某种体育测试，甲通过测试的概率为1P ，乙通过测试的概率为2P ,则甲、乙至少1人通过测试的概率为（ ）A ．21P P + B ．21P P C ．21P P 1- D ．)P 1)(P 1(121---6、一个袋中装有2个红球和2个白球,现从袋中取出1球,然后放回袋中再取出一球,则取出的两个球同色的概率是( ）A ．41B ．31C ．21D ．527、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）8、设m ,n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面,给出下列四个命题：①若m ⊥α,n //α，则m n ⊥; ②若αβ//，βγ//,m ⊥α,则m ⊥γ； ③若m //α，n //α，则m n //； ④若αγ⊥，βγ⊥,则//αβ.其中正确命题的序号是 ( ）.A ．①和④B ．①和②C ．③和④D ．②和③E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．9、圆心为C 错误!的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点,O 为坐标原点,且满足O 错误!·O 错误!＝0，则圆C 的方程为（ ）． A 。

2013—2014学年度第一学期南昌市期中形成性测试卷 高二数学(文科甲卷)参考答案及评分意见 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题目12345678910答案CBBAADACBB二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上） 11. ； 12．－＝1; 13．2x＋4y－3＝0; 14.; 153．. 16. 解：(1)由题意，可知tanα＝，k＝tan2α＝＝＝，…………………………3分 y－3＝(x－2)，所以所求直线的方程为：3x－4y＋6＝0. …………………………6分 （2） ………………………….8分 17. 解：设生产甲产品x吨、乙产品y吨， 则获得的利润为z＝5x＋3y. ……………………1分 由题意得 ……………………4分 可行域如图阴影所示． …………………….6分 由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，………………….8分 z＝5×3＋3×4＝27(万元)． ………………………9分 答：该企业在一个生产周期内可获得的最大利润为27万元 …………………….10分 18.解：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 根据题意，得 ……………………………………………3分 解得a＝b＝1，r＝2， 故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4 ……………………………………………6分 (2) 根据几何意义是圆上任意一点与定点斜率的问题 设切线方程为： ………………………8分 所以 …………………………10分 19. 解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意∴b＝1.∴所求椭圆方程为＋y2＝1……6分 (2)当直线的位置转动到轴时，面积的最大，……………10分 20（1）由抛物线的定义可得抛物线标准方程为 ……………………………4分 （2） …………………………10分 ……………………12分。

湖北省部分重点中学2013-2014学年高二上学期期中联考（文）考试时间：2013年11月11日上午8:00～10:00 试卷满分150分★祝考试顺利★一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．） 1.下列叙述错误．．的是（ ） A ．若事件A 发生的概率为()P A ，则()01P A ≤≤B ．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C ．两个对立事件的概率之和为1D ．对于任意两个事件A 和B ，都有()()()P A B P A P B ⋃=+2.已知过()1,A a -、(),8B a 两点的直线与直线210x y -+=平行，则a 的值为（ ） A ．10- B ．2 C ．5 D ．17 3．最小二乘法的原理是( ) A ．使得1()nii i ya bx =-+⎡⎤⎣⎦∑最小 B ．使得1()ni i i y a bx =-+∑最小C ．使得221()n i i i y a bx =⎡⎤-+⎣⎦∑最小 D ．使得21()ni i i y a bx =-+⎡⎤⎣⎦∑最小 4. 某地共有10万户居民，按城市居民和农村居民分两层用分层抽样的方法从中随机调查了1000A ．1.2万户B ．3万户C ．1.68万户D ．1.8万户 5．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）A ．92 , 2.8B ．92 , 2C ．93 , 2．8 D.93 , 26. 已知点M(a,b)在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的 位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定7. 阅读如图所示的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i <6?D ．i ≤7?8．下图有四个游戏盘，撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，若你想增加中奖机会，应选（ ）9. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为（ ） A ．19 B ．29 C ．718 D ．4910．设11(,)M x y ， 22(,)N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的个数为（ ）① 不论δ为何值，点M, N 都不在直线l 上； ②若1δ=，则过M ，N 的直线与直线l 平行； ③若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；④若01δ<<，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的反向延长线相交． A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分．把答案填在答题卡的相应位置上．)11.高二（1）班共有60人，学号依次为1，2，3，┅，60，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为8，38，53的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号应为 _________ ． 12．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,39}，，那么⊥a b 的概率是 ． 13．右边的程序运行时输出的结果是 .14．已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切,则圆C 的方程为 ．15．某城市供电局为了了解用电量)(度y 与气温）（C x 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程ˆ2yx a =-+,则a = ;当气温为4-℃时， 预测用电量的度数约为 .16.已知x 取值范围为[0，10]，如图输入一个数x ，使得输出的y 满足 O17.圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R)．以⊙C 与直线l 相交的弦为直径的圆的面积最小时圆的方程为 。

2013-2014学年度第一学期期中测验 高二数学答案 12013-2014学年度第一学期期中测验 高二数学答案一、选择题：B A B D C C D B A C二、填空题: 11、{}53<<x x 12、32 13、0 14、400, 2)1(22n n + 三、解答题（本大题共6题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）15、解：（源自必修57P 例4）⑴根据余弦定理，ac b c a B 2cos 222-+=……3分，852785222⨯⨯-+= 21=……5分，π<<B 0，所以3π=B ……7分． ⑵B c a S sin 21⨯⨯⨯=……10分，3103sin 8521=⨯⨯⨯=π……12分16、解：（1）22a =-Q ，54a =………………4分（2）由题意知：等比数列{}n b 中，12252,4b a b a ==-==，………………6分 公比212b q b ==-………………8分 {}n b ∴等比数列的通项公式111(2)(2)(2)n n n n b b q --=⋅=-⋅-=- ………………12分17.解：（1）由2230x x --<得13x -<<，所以A=（-1，3） ………2分 由260x x +-<得32x -<<，所以B=（-3，2）， ………4分∴A∩B=（-1，2） ………6分（2）由不等式20x ax b ++<的解集为（-1，2），所以10420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，………9分 解得12a b =-⎧⎨=-⎩ ………12分 ∴220x x -+-<，解得解集为R. ………14分2013-2014学年度第一学期期中测验 高二数学答案 218解：（1）Θ 三个内角A 、B 、C 成等差数列，C A B +=∴2， ……2分 又Θο180=++C B A ，即ο1803=B ，ο60=∴B ……4分 由36=ABC S ∆得36sin 21=B ac ，即3660sin 321=⨯οc ， 8=∴c ……7分（2）由（1）可知ο60,8,3===B c a ，又由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+= ……9分 即4960cos 83283222=⨯⨯-+=οb ，7=∴b ……12分 由正弦定理得：R Bb 2sin =（R 是ABC ∆的外接圆的半径） 31423760sin 7sin ===∴οB b ，37=∴R ……14分 19.⑴12cos 2sin cos 2cos sin 2)cos (sin cos 2)(2++=+=+=x x x x x x x x x f ……2分1)42sin(2++=πx ……4分，所以)(x f 的最小正周期π=T ……5分，最大值2=M +1……6分 ⑵依题意，21)42sin(2)(=++=πA A f ，得22)42sin(=+πA ……7分 π<<A 0，42424ππππ+<+<A ……9分，所以4342ππ=+A ，4π=A ……11分 根据余弦定理，4cos 2222π⨯⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ……12分， 1=……13分，所以1=BC ……14分2013-2014学年度第一学期期中测验 高二数学答案 320.⑴2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两个根，所以32=a 、95=a 或92=a 、35=a ……2分，因为{}n a 是正项等差数列，所以{}n a 的公差0≥d ，32=a 、95=a ……3分。