二年级奥数《简单消去法》
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第14讲消去法解题(两个重要题型)公式宝典:常常我们会遇到同时出现两个或两个以上的未知的数量,并给出不同情形下数量间的关系,这时我们通常采用“消去法”——即通过分析比较,去同求异,设法消去一个未知数量,从而将问题简化。
题型一:小华买了3把小刀和4块擦皮,共用去10元。
小芳买了同样的6把小刀和4块擦皮,共用去16元。
小刀和擦皮单价分别是多少元?想法: 3把小刀+4块擦皮=10元6把小刀+4块擦皮=16元观察式子,课堂分析1、奶奶去买水果,如果她买4千克梨和5千克荔枝,需花58元,如果她买6千克梨和5千克荔枝,那么需花62元,问1千克梨和1千克荔枝各多少元?2、3筐苹果和5筐橘子共重270千克,3筐苹果和7筐橘子共重342千克,一筐苹果和一筐橘子各重多少千克?3、张老师为阅览室买书,如果他买了6本童话书和7本故事书需144元,如果他买9本童话书和7本故事书需174元,现在张老师买了7本童话书和6本故事共需多少元?4、粮店运来一批粮食,4袋大米和5袋面粉共重600千克,4袋大米和6袋面粉共重680千克,一袋大米和一袋面粉各重多少千克?5、李明50元钱,买10支铅笔,5本练习本。
小红26元钱买回来4支铅笔,5本练习本,求铅笔和练习本的单价?题型二:食堂第一次运进大米5袋,面粉9袋,共重850千克。
第二次运进大米7袋,面粉3袋,共重710千克。
大米和面粉每袋各重多少千克?关键点:在等式的两边同时乘以或除以同一个数(0除外),等式仍然成立。
分析:5袋大米+9袋面粉=850千克7袋大米+3袋面粉=710 千克观察式子,课堂分析。
1、学校买足球和排球,买3个足球和4个排球共需190元,如果买6个足球2个排球需要230元,买一个足球和一个排球各需多少元?2、商店里的5筐番茄和2筐黄瓜共重330千克,3筐番茄和4筐黄瓜共重310千克,一筐番茄和一筐黄瓜共重多少千克?3、4本练习本和5支圆珠笔共14元,2本练习本和4支圆珠笔共10元,一本练习本和一支圆珠笔各多少元?4、2件上衣和3条裤子共480元,4件上衣和2条裤子共640元,一件上衣和一条裤子共多少元?5、 5头牛、6匹马每天吃草139千克,6头牛、5匹马每天吃草125千克。
小学奥数系列第8讲巧用消去法解题巧点晴——方法和技巧有些应用题,给出了两个或两个以上的未知量,要求出这些未知量,应先把题中的条件按对应关系一一排列,分析对应的未知量的变化情况。
通过“代人法”或“加减法”消去一些未知量,使数量关系较复杂的题目变得比较简单。
巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴一、巧妙简单消去学校第一次买了6个水瓶和40个茶杯,共用去268元;第二次又买了同样的6个水瓶和32个茶杯,共用去236元。
问水瓶和茶杯的单价各是多少元?分析与解用数量关系式来比较对应的未知量的情况。
第一次:6个水瓶的价钱+40个茶杯的价钱=268(元)第二次:6个水瓶的价钱+32个茶杯的价钱=236(元)268元与236元的差正好是8个茶杯的价钱。
可以把6个水瓶的价钱消去,先求出茶杯的价钱,再求出水瓶的价钱。
每个茶杯的价钱为:(268-236)÷(40-32)=4(元)每个水瓶的价钱为:(268-4×40)÷6=18(元)答:每个水瓶18元,每个茶杯4元。
做一做1 二年级同学买4个水壶和8只水桶,共用去64元;五年级同学买同样的4个水壶和12只桶,共用去88元。
问每个水壶卖多少元?每只水桶卖多少元?【例2】6篓苹果和10蒌梨一共有172只,12篓苹果和8篓梨一共有224只。
问每篓苹果和每蒌梨各有多少只?分析与解散先列出题中的数量关系式,设法消去其中的一个未知量,然后再解答。
6篓苹果的个数+10篓梨的个数=172(只)12篓苹果的个数+8篓梨的个数=224(只)把第一个关系式的每一项都乘以2,就可以得到:12篓苹果+20篓梨=344(只),再和第二个关系式比较,就可以得到12篓梨共120只,从而算出1篓梨的个数和1篓苹果的个数。
12篓苹果和2篓梨一共有:172×2=344(只)1篓梨有:(344-224)÷(20-8)=10(只)1篓苹果有:(172-10×10)÷6=12(只)答:每篓苹果有12只,每篓梨有10只。
第11讲消去法解题知识导航在一些应用题中,有时会出现两个或两个以上并列的未知数,我们可以根据数据特点,设法消去一个或两个未知数,只保留其中的一个未知数,在求得这个未知数后,再求出其它的未知数。
这种解题思路和方法就是消去法。
我们需要先根据已知条件列出数量关系,再比较求解。
解题方法有:代入消去法和加减消去法,而加减消去法有时候还需要先扩大倍数再加减。
在解题过程中同学们一定要先将数量关系整理清楚,最好先列出整齐的关系式,为以后的解方程组打下很好的基础。
精典例题例1:妈妈买4千克鱼与3千克是共用59元,爸爸又买了7千克鱼与3千克虾共用钱74元,那么鱼每千克多少元,虾每千克多少元?思路点拨买4千克鱼与3千克是共用59元,7千克鱼与3千克虾共用钱74元,为什么会多用15元钱呢?模仿练习第一次买回大米10袋和面粉6袋共430千克,第二次买回大米10袋和面粉8袋共490千克,大米每袋多少千克?面粉每袋多少千克?例2:学校买7个篮球和3个排球共用246元,买5个篮球和9个排球共用258元。
每个篮球多少元?每个排球多少元?思路点拨先把第一次买的篮球数和排球数扩大3倍,再利用排列消去法解题。
模仿练习买4个篮球和5个足球共用去549元,买同样的8个篮球和7个足球共用去903元。
篮球和足球的单价各是多少元?例3:甲、乙两人共有人民币40元,乙、丙两人共有人民币52元,丙、丁两人共有人民币38元。
那么甲、丁两人共有人民币多少元?思路点拨根据已知条件求出甲、乙、丙、丁的和,再求出甲、丁两人共有人民币多少元。
模仿练习有甲、乙、丙、丁四袋小球,甲、乙两袋共有83个小球,乙、丙两袋共有86个,丙、丁两袋共有88个。
那么甲、丁两袋共有多少个?消去法解题练习题1. 张老师到体育用品商店为学校买球,计算了一下,要买5个足球和3个篮球需要付244元;而买2个足球和3个篮球只需付139元。
请你算算,足球和篮球每个各多少元?2. 4本练习本和5枝圆珠笔共14元,2本练习本和4枝圆珠笔共10元,一本练习本和一枝圆珠笔各多少元?3.李老师为图书馆买书,如果他买6本童话书和7本故事书需144元;如果买9本童话书和7本故事书需174元,现在李老师买7本童话书和6本故事书共需多少元?4.商店新进一批水果,4箱苹果和5箱桔子一共重428千克,已知1箱桔子比1箱苹果轻8千克,1箱苹果核1箱桔子各重多少千克?5.小明和小红共12岁,小红和小丽共17岁,小丽和小明共13岁,三个人各多少岁?6.3个菠萝的重量等于1个梨和1个西瓜的重量,而1个菠萝和3个梨的重量等于1个西瓜的重量,多少个梨的重量等于1个西瓜的重量?7.百货商店运来三种鞋子,其中37双不是皮鞋,54双不是运动鞋,51双不是跑鞋,三种鞋各运来多少双?。
消去问题解决这类问题的方法和数学家高斯有紧密的关系。
这个方法的全名是高斯消去法,又称高斯消元法,我们学的只是这个方法的一些简单应用,一般叫做消去法。
☆典型例题一☆小红家买2千克梨和6千克苹果,共付了26元,小斌家买同样单价的梨2千克和苹果15千克,共付了53元,梨每千克多少元?苹果每千克多少元?例题解析:从题中的信息可知,小红和小斌家买的水果是同样价钱的苹果和梨,而苹果和梨的价钱都是未知的。
我们把信息进行整理如下:梨苹果总价小红家: 2千克6千克26元小斌家:2千克15千克53元我们可以发现两家人买的水果中,都买了2千克的梨,也就是说买梨用的钱是相同的,那么他们所付的钱不同,就是买苹果所花的钱不同造成的。
也就是说,总价中小斌家多出的钱53-26=27(元),是由于多买了苹果:15-6=9(千克),即:9千克苹果的价钱是27元,苹果的单价为:27÷9=3(元)。
接下来求梨的单价,可以用这两家人任意一家人数据来求,以小红家为例:梨的单价:(26-3×6)÷2=4(元)故苹果每千克3元,梨每千克4元。
在解题的过程中,我们先消去了梨这个未知量,求出苹果的单价,再来求梨的单价。
☆典型例题二☆3头牛和8只羊一天共吃93千克。
5头牛和15只羊一天共吃青草165千克。
问1头牛、1只羊一天各吃多少千克?可以将题目简写成下面的形式等式1:3头牛+8只羊=93千克等式2:5头牛+15只羊=165千克方法:消去牛等式1左右两边同时乘以5:15头牛+40只羊=465千克等式2左右两边同时乘以3:15头牛+45只羊=495千克(实际上就是找3和5的最小公倍数)两个新等式相减:5只羊=30千克1只羊吃30÷5=6(千克)1头牛吃(93-6×8)÷3=15(千克)☆试一试吧☆1. 妈妈买水果,原计划买4千克草莓和5千克苹果,要付47元。
结果买了2千克草莓和5千克苹果,共用了31元,1千克草莓和1千克苹果各多少元?2. 小明买了4枝铅笔和3枝钢笔,共付了19元,小华买了同样的4枝铅笔和5枝钢笔,共付29元,铅笔和钢笔的单价各是多少元?☆挑战一下☆1、如果买3盒水彩笔和1枝毛笔共需要40元,而买同样的4盒水彩笔和2枝毛笔共需58元,请问水彩笔多少钱一盒?毛笔多少钱一枝?2、王老师买2枝钢笔和5枝圆珠笔共22元,后来又买4枝这样的钢笔和8枝这样的圆珠笔共40元,钢笔和圆珠笔的单价各是多少元?☆大显身手☆1、7袋大米和3袋面粉共重425千克,同样的3袋大米和7袋面粉共重325千克。
第十五讲消去法解题专题简析:在有些应用题中,给出了两个或两个以上的未知量间的关系,要求出这些未知的数量。
解题时可以通过比较条件,分析对应的未知数量变化的情况,想办法消去其中一个未知量,从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。
这样的解题方法,我们通常把它叫做“消去法”。
例1、林超在商店里买了4个修正带和3支墨水笔,共付钱18元。
王斌买了同样的2个修正带和3支墨水笔,共付了12元。
1个修正带和1支墨水笔各是多少钱?分析与解答:我们先来把两个人买的修正带和墨水笔的情况用两个等式表示,并列在一起进行比较:4个修正带+3支墨水笔=18元2个修正带+3支黑水笔=12元为什么王斌比林超少付18-12=6(元)钱呢?从题中我们不难发现两人买的墨水笔的数量是相同的,但是他们买的修正带却是不同的,那么我们可以知道少付6元的原因就是少买了2个修正带,即2个修正带的钱正好是6元。
可以用下面的竖式来表示:4个修正带+3支墨水笔=18元—2个修正带+3支黑水笔=12元2个修正带=6元从而我们找到解题法如下:(18-12)÷(4-2)=3(元)…….1个修正带的钱(12-3×2)÷3=2(元)……1支墨水笔的钱答:一个修正带3元。
一支墨水笔2元。
课堂练习:1、学校第一次买了2只热水瓶和6只玻璃杯,共花去96元;第二次又买了同样的2只热水瓶和10只玻璃杯,共用去128元。
一只热水瓶和一只玻璃杯各是多少元?2、买5本练习本和4本征文本需要19元,买同样的8本练习本和4本征文本需要28元。
买1本练习本和1本征文本各需要多少钱?例2、买4个篮球和5个足球共用去549元,买同样的8个篮球和7个足球共用去903元。
篮球和足球的单价各是多少元?分析与解答:这个题目和例1有些不同,但同样我们也是把题目中的数量关系先列出来:4个篮球+5个足球=549元(1)8个篮球+7个足球=903元(2)从2个算式中我们可以知道,篮球和足球两次买的都没有相同的,但我们可以发现第二次买的篮球刚好是第一次的2倍,因此利用这个条件我们可以把第一个算式中的篮球也变成8个,把第一次用去的钱扩大2倍,即549×2=1098元,因此篮球和足球的个数也扩大2倍,即篮球变成8个,而足球变成10个,也就是说8个篮球和10足球花去1098元,这时我们再和算式(2)去比较:8个篮球+10个足球=1098元—8个篮球+7 个足球= 903元3个足球=195元可见1098元与903元的差就是3个足球的价钱,因此可得:(549×2-903)÷(2×5-7)=65(元)……每个足球的价钱。
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消去法解应用题知识要点1.消去法有的应用题含有含有两种未知的相关联的数量关系,包含有两个要求的不同数量,解答这类问题,应该设法消去一个要求的数量,从而求出另一个要求的数量,然后再求出消去的要求的那个数量,这种方法叫消去法。
2.基本方法解答这类问题,由于方法不同可分为加减消去法,带入消去法。
(1)加减消去法应用加减的运算,在两个加减相等的算式中消去一个要求的数量(2)带入消去法应用加减乘除运算,变换一个已知条件,先用一个数量代换另一个数量,再将变换后的一个要求的数带入另一个等式里,从而消去一个要求的数量。
3.解题关键用消去法解题的关键是设法使问题中要求的两个未知数量先变成一个,求出这个未知量后方能进一步求出另一个。
例题讲解例1. 华光小学五(2)班课外小组第一次买了4瓶胶水和4个笔记本共付3.20元,第二次买了4瓶胶水和2个笔记本共付2.20元,那么一瓶胶水和一个笔记本的价格各是多少?例2. 买4张桌子和2把椅子要付520元,而3张桌子的价钱比2把椅子的价钱贵180元,求一把椅子和一张桌子的价钱各是多少元?例3. 王丽到商店买了6个本子和4支铅笔共付了4.60元,刘洋买了同样的3个本子和一支铅笔,共付了1.90元,那么买一个本子和一支铅笔各应付多少钱?例4.音乐老师到琴行买了2支长笛和两把小号,共付57元,若买三支长笛和两把小号需付63元,那么买一支长笛和一把小号各应付多少元?例五.有“酷儿”饮料20瓶,“露露”饮料10瓶,共重12.5千克,一瓶“酷儿”饮料的质量恰好等于2瓶“露露”饮料质量。
请问“酷儿”饮料和“露露”饮料每瓶个重多少千克?例6.甲、乙两数和是70,乙、丙两数和是140,甲、丙两数和是90,求甲、乙、丙三数个是多少?例7.买4套足球服和5个足球共花1020元,买一套足球服的钱可以买三个足球。
问:1套足球服、1个足球各卖多少元?例8.杨丽娟花153元买了1身衣服、一个书包、和一个文具,衣服的价格比书包贵95,衣服和书包一共比文具盒贵137元,你知道衣服、书包、文具盒的价格各是多少?1 / 1。
消去法解题知识纵横:知道有些应用题中,给出了两个或两个以上的未知数量间关系,要求出这些未知的数量,设法消去一个或一些未知量,从而把一道数量关系较复杂的题目,变成比较简单的题目解答出来,叫消去问题,也叫消去法。
技能目标:掌握消去问题的基本方法,熟练运用几个部分量扩大(或缩小)相同的倍数,总量也随着扩大(或缩小)相同倍数的知识。
思维能力:分析能力、理解能力、比较判断能力、数学建模能力。
过程索引:解决消去问题,要先把题中的条件按对应关系一一排列出来,通过比较条件,分析对应的未知量的变化情况,设法将其中一个量消去,先求出另一个量,再求出消去的量,有时需要其中一个同类量转化为数学量相同的量便于比较。
思想方法:比较思想、对应思想、带入思想、转化思想。
探究1:一千克白菜和一千克萝卜共6.8元,买同样的3千克白菜和3千克萝卜,一共用去多少元?列出已知条件:1千克白菜+1千克萝卜=6.8元将等式扩大3倍得:3×(1千克白菜+1千克萝卜)=3×6.8=20.4元。
答:3千克白菜和3千克萝卜,一共用去20.4元探究2:小美在商店买了4本练习本和3支铅笔,共付了30元,小泉买同样的2本练习本和3支铅笔,共付24元,一本练习本和一支铅笔的价钱各是多少?列出已知条件:4本练习本+3支铅笔=30元2本练习本+3支铅笔=24元为什么价钱会有不同?比较两个等式:消去铅笔和练习本相同的数量。
得:(4-2)本练习本=(30-24)元则:1本练习本=6÷2=3元1支铅笔=(24-3×2)÷3=6(元)答:一本练习本3元,一支铅笔6元。
探究3:龙博士买3张桌子和5把椅子,共用去480元,买同样的6张桌子和3把椅子,共用去519元,桌子和椅子单价各是多少元?列出已知条件:3张桌子+5把椅子=480元6张桌子+3把椅子=519元把第一个等式扩大2倍,可得到:6张桌子+10把椅子=960元比较两式,得(10-3)把椅子=960-519元1把椅子=(960-519)÷(10-3)=63元1张桌子=(519-63×3)÷6=55元答:一把椅子63元,一张桌子55元。
小学奥数系列第8讲巧用消去法解题巧点晴——方法和技巧有些应用题,给出了两个或两个以上的未知量,要求出这些未知量,应先把题中的条件按对应关系一一排列,分析对应的未知量的变化情况。
通过“代人法”或“加减法”消去一些未知量,使数量关系较复杂的题目变得比较简单。
巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴一、巧妙简单消去学校第一次买了6个水瓶和40个茶杯,共用去268元;第二次又买了同样的6个水瓶和32个茶杯,共用去236元。
问水瓶和茶杯的单价各是多少元?分析与解用数量关系式来比较对应的未知量的情况。
第一次:6个水瓶的价钱+40个茶杯的价钱=268(元)第二次:6个水瓶的价钱+32个茶杯的价钱=236(元)268元与236元的差正好是8个茶杯的价钱。
可以把6个水瓶的价钱消去,先求出茶杯的价钱,再求出水瓶的价钱。
每个茶杯的价钱为:(268-236)÷(40-32)=4(元)每个水瓶的价钱为:(268-4×40)÷6=18(元)答:每个水瓶18元,每个茶杯4元。
做一做1 二年级同学买4个水壶和8只水桶,共用去64元;五年级同学买同样的4个水壶和12只桶,共用去88元。
问每个水壶卖多少元?每只水桶卖多少元?【例2】6篓苹果和10蒌梨一共有172只,12篓苹果和8篓梨一共有224只。
问每篓苹果和每蒌梨各有多少只?分析与解散先列出题中的数量关系式,设法消去其中的一个未知量,然后再解答。
6篓苹果的个数+10篓梨的个数=172(只)12篓苹果的个数+8篓梨的个数=224(只)把第一个关系式的每一项都乘以2,就可以得到:12篓苹果+20篓梨=344(只),再和第二个关系式比较,就可以得到12篓梨共120只,从而算出1篓梨的个数和1篓苹果的个数。
12篓苹果和2篓梨一共有:172×2=344(只)1篓梨有:(344-224)÷(20-8)=10(只)1篓苹果有:(172-10×10)÷6=12(只)答:每篓苹果有12只,每篓梨有10只。
消去法解题〖数学广角〗在一些应用题中,会同时出现两个或两个以上并列的未知数,并给出相应的几个等量关系。
这类习题适合列出一次方程组求解,但在小学阶段常用消去法解答此类应用题。
即根据题中数据特点,通过分析比较,去同存异,设法抵消掉其中的一个或两个未知数,只剩下的一个未知数。
先求出剩下的这个未知数,再根据题中数量关系,求出其它的未知数。
这种解决问题的策略方法就叫做消去法。
消去法是一种很重要的数学思想方法,也是初中解答一次方程组的主要方法之一。
适当渗透,有利于孩子的后续学习。
应用领域消去法答疑较繁杂的的应用题,须要运用至等式的基本性质:在等式的两边同时乘以或除以同一个数(0除外),等式仍然成立。
根据这个性质可以将题目中所给的条件适度转变,设法使题中某一项在前后相同的等量关系中,具备成正比的数量,从而可以抵销掉下来这一项。
解题策略:先梳理好题目给出的条件,列出相应的等量关系式,在每个等量关系式中按相同的顺序排列不同的未知项,便于分析、比较、转化条件、抵消未知项、求解。
〖智慧密码〗例1:买3条毛巾6把牙刷要花12.3元,买同样的3条毛巾9把牙刷要花14.7元,每条毛巾和每把牙刷各多少元?思路点睛:通过比较,毛巾条数相同,14.7元与12.3元的差就是3把牙刷的钱,这就容易求出每把牙刷0.8元,每条毛巾2.5元。
这就是消去法的简单应用。
解题过程:每把牙刷的单价:(14.7-12.3)÷3=0.8(元)每条毛巾的单价:(14.7-0.8×9)÷3=2.5(元)答:每条毛巾0.8元,每把牙刷2.5元。
基准2:学校买回11根跳绳和9个皮球共用回去69元,后来又买了同样的7根跳绳和3个皮球共用回去33元,每根跳绳和每个皮球各多少元?思路点睛:先根据题中的条件列举等量关系式:⑴11根跳绳的钱+9个皮球的钱=69元⑵7根跳绳的钱+3个皮球的钱=33元倍,将这个条件转化为:⑶(3×7)21根跳绳的钱+(3×3)9个皮球的钱=(3×33)99元比较⑴式和⑶式,皮球的钱数抵消了。