高中数学选修2-1第二章第8课时同步练习§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

课后导练基础达标1.双曲线与椭圆641622y x +=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x ，则双曲线方程为（ ）A.x 2-y 2=96B.y 2-x 2=160C.x 2-y 2=80D.y 2-x 2=24 答案：D2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是（ ）A.162022y x -=1B.162022x y -=1 C.201622y x -=1 D.201622x y -=1 答案：B3.中心在坐标原点，离心率为35的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A.y=±45x B.y=±54x C.y=±34x D.y=±43x答案：D4.焦点为(0，6)且与双曲线22x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A.241222y x -=1B.241222x y -=1 C.122422x y -=1 D.122422y x -=1 答案：B5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e 等于（ ） A.2 B.3 C.5 D.25 答案：C6.双曲线5y 2-4x 2=-20的实轴长为_____________,虚轴长为_____________,渐近线方程为,离心率为_______________. 答案：25 4 y=±552x 553 7.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是_________________.答案：xy=21 8.已知双曲线x 2-3y 2=3上一点P 到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P 点到右准线的距离为______________. 答案：69.双曲线4922y x -=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k 的值. 解：直线y=kx-1过(0，-1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±32x. ∴k=±32式.10.双曲线与圆x 2+y 2=17有公共点A （4，-1），圆在A 点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.解:∵点A 与圆心O 的连线的斜率为-41， ∴过A 的切线的斜率为4. ∴双曲线的渐近线方程为y=±4x.设双曲线方程为x 2162y -=λ.∵点A （4，-1）在双曲线上，∴16161-=λ,λ=2252y .∴双曲线的标准方程为2551625522y x ==1. 综合运用11.已知双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0),F 1、F 2为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，求|PF 1|·|PF 2|的最小值.解:设P 点的横坐标为x 0，则x 0≥a 或x 0≤-a.由焦半径公式得|PF 1|·|PF 2|=|a-ex 0||a+ex 0|=|a 2-22acx 02|=22a c x 02-a 2=222ab a +x 02-a 2. ∵|x 0|≥a,∴x 02≥a 2.∴|PF 1|·|PF 2|≥222ab a +·a 2-a 2=b 2. 当|x 0|=a 时，上式“=”成立. ∴|PF 1|·|PF 2|的最小值为b 2.12.在双曲线121322y x -=-1的一支上有不同的三点A （x 1，y 1）、B （x 2，6）、C （x 3，y 3），与焦点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；（2）求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标. 答案：（1）解：∵ca y PF 2||-=e. ∴|PF|=ey-a.又A 、B 、C 到F 的距离成等差数列， ∴2（ey 2-a ）=（ey 1-a ）+（ey 3-a ）. ∴y 1+y 3=2y 2=12.（2）证明：由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11312,1131223232121x y x y .①-②，得121（y 1-y 3）（y 1+y 3）131-（x 1-x 3）·（x 1+x 3）=0. ∴.13)(13)(123131313131x x y y x x x x y y +=++=--若x 1+x 3=0，则k AC =0，y 1=y 3=y 2=6，A 、B 、C 三点共线，这是不可能的. ∴x 1+x 3≠0.则AC 的中垂线方程为y-6=3113x x +-（x 231x x +-）.即y=2251331++-x x x .因此，AC 的中垂线过定点（0，225）. 13.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=21,求双曲线的方程. 解:∵双曲线的中心在原点，准线和x 轴垂直， ∴双曲线的方程是标准的且焦点在x 轴上.∵a c =4,c a 2=21.∴a=2,c=8.∴b 2=82-22=60.∴双曲线的方程是60422y x -=1. 拓展探究14.已知双曲线5422y x -=1，F 为其右焦点，A （4，1）为平面上一点，点P 为双曲线上一点，求|PA|+32|PF|的最小值（如右图）.解：由双曲线的第二定义可知d PF ||=e ，其中d 为P 到右准线l ：x=34的距离，e=23. ∴|PF|=ed=23d. ∴|PA|+32|PF|=|PA|+32·23d. ∴|PA|+32|PF|=|PA|+d ，则求|PA|+32|PF|的最小值：在双曲线上求一点P ，使P 到A 的距离与到右准线l ：x=34的距离之和最小，如题图，由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线段中，垂线段最短，从而过点A 向右准线l ：x=34作垂线ＡＢ，交双曲线于P点，此时|PA|+d 最小，即|PA|+32|PF|最小，最小值为垂线段AB 的长，易求|AB|=38，故|PA|+32|PF|的最小值为38.15.已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P 满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P 的轨迹为W.(1)求W 的方程;(2)若A 、B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求·的最小值.解法一:(1)由|PM|-|PN|=22知动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=2.又半焦距c=2,故虚半轴长b=222=-a c .所以W 的方程为2222y x -=1,x≥2.(2)设A 、B 坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2). 当AB ⊥x 轴时,x 1=x 2,y 1=-y 2. 从而·=x 1x 2+y 1y 2=x 12-y 12=2.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y=kx+m,与W 的方程联立,消去y 得(1-k 2)x 2-2kmx-m 2-2=0.故x 1+x 2=212k km -,x 1x 2=1222-+k m . 所以·=x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=2222222121)2)(1(m k m k k m k +-+-++ =142122222-+=-+k k k .又因为x 1x 2＞0,所以k 2-1＞0,从而·＞2. 综上,当AB ⊥x 轴时,·取得最小值2.解法二:(1)同解法一.(2)设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则x i 2-y i 2=(x i +y i )(x i -y i )=2(i=1,2). 令s i =x i +y i ,t i =x i -y i ,则s i t i =-2,且s i ＞0,t i ＞0(i=1,2),所以·=x 1x 2+y 1y 2=41(s 1+t 1)(s 2+t 2)+41(s 1-t 1)(s 2-t 2) =21s 1s 2+21t 1t 2≥2121t t s s =2. 当且仅当s 1s 2=t 1t 2,即⎩⎨⎧-==2121,y y x x 时“=”成立.所以·的最小值是2.。

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学习目标1．理解并掌握双曲线的几何性质．P 56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =． 复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学： ※ 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y ab-=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a=>．渐近线： 双曲线22221x y ab-=的渐近线方程为：0x y ab±=．问题2：双曲线22221y x ab-=的几何性质?图形： 范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a=>．渐近线：双曲线22221y x ab-=的渐近线方程为： ．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．※ 典型例题例1求双曲线2214925xy-=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e =(5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．※ 动手试试练1．求以椭圆22185xy+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升： ※ 学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．※ 当堂检测1． 双曲线221168xy-=实轴和虚轴长分别是（ ）．A ．8、B ．8、C ．4、D ．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±）3． 双曲线22148xy-=的离心率为（ ）．A ．1 B ． C D ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．1．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程．2．求与椭圆2214924xy+=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学习目标1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．P 58~ P 60，文P 51~ P 53找出疑惑之处） 复习1：说出双曲线的几何性质? 复习2：双曲线的方程为221914xy-=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程 ． 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：椭圆22464x y +=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x +=，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x +=，则双曲线的方程是？※ 典型例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例3过双曲线22136xy-=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求A B ？ 思考：1AF B ∆的周长？※ 动手试试练1．若椭圆22214xy a+=与双曲线2212xya-=的焦点相同，则a =____.练2 ．若双曲线2214xym-=的渐近线方程为2y =±，求双曲线的焦点坐标．三、总结提升1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合； 2．双曲线的另一定义； 3．直线与双曲线的位置关系．※ 当堂检测1．若椭圆2212516xy+=和双曲线22145xy-=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为（ ）． A ．212B ．84C ．3D ．212．以椭圆2212516x y+=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A.2211648xy-= B.221927xy-= C.2211648xy-=或221927xy-= D. 以上都不对3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PF Q π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．A.1B.C. 1D. 24．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________. 5．方程221xy+=表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ．1．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22221x y ab-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程．双曲线的简单几何性质随堂巩固1．双曲线19422=-yx的渐进线方程为（ ）A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±=2．已知双曲线C 的两条渐进线方程为x y ±=，且过点)1,2(M ，则双曲线的方程为（ ） A ．122=-y x B ．222=-y x C ．122-=-yx D ．222-=-y x3．双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角是4．已知双曲线1422=-ymx的一条渐近线方程为x y =，则实数m =5．已知P 是双曲线19222=-yax 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，设21F F 、分别为双曲线的左、右焦点.若32=PF ,则1PF = 6．已知双曲线与椭圆125922=+yx共焦点，它们离心率之和为514，则双曲线方程是强化训练1．已知双曲线12222=-by ax 和椭圆)0,0(12222>>>=+b m a by mx 的离心率互为倒数，那么以m b a 、、为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2．已知双曲线13622=-yx的焦点21,F F ，点M 在双曲线上且x MF ⊥1轴，则1F 到直线2MF 的距离为（ ）A ．563 B ．665 C ．56 D ．653．双曲线192522=-yx和)259(192522<<-=+--k k ykx有（ ）A ．相同焦点B ．相同的渐进线C ．相同顶点D ．相等的离心率 4．已知双曲线)0(19222>=-m x m y 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为51，则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．设1>a ，则1)1(2222=+-a yax 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)2,2(B ．)5,2(C ．)5,2(D ．)5,2(6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一条渐近线为)0(>=k kx y ，离心率为k e 5=，则双曲线方程为（ ）A ．142222=-a yax B ．152222=-ayax C ．142222=-by bxD ．152222=-by bx7．双曲线1251622=-yx的两条渐进线的夹角为8．已知圆0846:22=+--+y x y x C ，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 9．已知双曲线的渐进线方程为x y 34±=，并且焦点都在圆10022=+yx 上，求双曲线的方程10．已知双曲线的离心率21,2F F e 、=是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上且SPF F ,6021=∠△21FPF =123，求双曲线的方程11．已知双曲线的中心在原点，焦点21F F 、在坐标轴上，离心率为2，且过)10,4(-M （1）求双曲线的方程（2）若点),3(m N 在双曲线上，求证：021=⋅NF NF （3）求△21NF F 的面积12．双曲线14922=-yx与直线1-=kx y 只有一个公共点，求k 的值第二课时1．双曲线112422=-xy的准线方程为（ ）A ．169±=x B ．49±=x C ．169±=y D ．49±=y2．已知双曲线9322=-y x ，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A ．4 B ．332 C ．2 D ．23．若双曲线)0(116222>=-b by x的一条准线恰好为圆0222=++x y x 的一条切线，则b 的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．42 D ．434．若双曲线的两渐进线是x y 23±=，焦点)0,26()0,26(21F F 、-，那么它两准线间距离为（ ） A ．26138 B ．26134 C ．261318 D ．261395．双曲线两准线间距离等于半焦距，则离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．36．与曲线1492422=+yx共焦点，且与曲线1643622=-yx共渐进线的双曲线方程为（ ）A ．191622=-yxB ．116922=-yxC ．191622=-xyD ．116922=-xy强化训练1．已知双曲线14:22=-yx C ，过点)1,1(P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ） A ．1 条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 2．双曲线191622=-yx的右准线与渐进线在第四象限的交点与右焦点连线的斜率（ ）A ．35- B ．53 C ．34 D ．433．已知双曲线1242522=-yx上一点M 到右准线的距离是10，2F 是右焦点，N 是2MF 的中点，O 坐标原点，则ON 等于（ ）A ．2 B ．2或7 C ．7或12 D ．2或124．设双曲线12222=-by ax 的右准线与渐进线交于B A 、两点，点F 为右焦点，若AB 以为直径的圆经过点F ，则该双曲线离心率为（ ）A ．332 B ．2 C ．3 D ．25．设双曲线12222=-by ax 与)0,0(12222>>=+-b a by ax 的离心率分别为21e e 、，则当b a 、在变化时，2221e e +的最小值是（ ）A ．2B ．42 C ．22 D ．46．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(]2,1 B ．[)+∞,2 C ．(]12,1+ D ．[)+∞+,127．双曲线两准线将实轴三等分，则双曲线的离心率为 8．已知：点)0,2(),0,3(F A ，在双曲线1322=-yx 上求一点P ，使PF PA 21+的值最小9．设双曲线C 的渐进线方程为034=±y x ,一条准线为516=y ,求双曲线C 的方程10．设双曲线中心在坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知)5,0(P 到双曲线上的点最近距离为2,求此双曲线的方程 11．在双曲线1121322-=-yx的一支上有不同的三点),()6,(),(33211y x C x B y x A 、、,与焦点)5,0(F 成等差数列(1)求31y y +的值(2)求证:线段AC 的垂直平分线经过某一定点,并求出定点坐标12．已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(- （1）求此双曲线（2）若直线系03=+--m k y kx （其中k 为参数）所过定点M 恰好在双曲线上， 求证：M F M F 21⊥13．已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于B A ,两点 （1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值 （2）是否存在这样的实数a ，使B A ,两点关于直线x y 21=对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由 14．设双曲线)0(1:222>=-a yax C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点B A 、（1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围 （2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 125=,求a 的值。

双曲线及其标准方程导学案【学习要求】1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程.3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【学法指导】本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程.【知识要点】1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2探究点一 双曲线的定义问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|?问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1）6)5()5(2222=+--++y x y x ；（2）6)4()4(2222=+--++y x y x（3）方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.跟踪训练1 （1）过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程是 ( )A ．12122=-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1D ．x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1（2）若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______探究点三 与双曲线定义有关的应用问题例2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点).跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ． 3B ． 5C ．5－ 3D ．5＋ 3例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.【当堂检测】1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或234．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程.【课堂小结】1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立.要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别.在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解.【拓展提高】1．已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A ．k >5B ．k >5，或22<<-kC ．k >2,，或2-<kD ．22<<-k2．===-212221121625,PF PF y x F F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点（ ） A ．2 B ．22 C ．4或22 D ．2或223．已知双曲线14922=-y x ，B A 、为过左焦点1F 的直线与双曲线左支的两个交点，2,9F AB =为右焦点，则△B AF 2的周长为4．是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线P F F y x 2122,13=-__________602121的面积等于，则PF F PF F ∆=∠5．根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上； （2）c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．（3））的双曲线。

3.2 双曲线的简单性质知识点 双曲线的简单性质[填一填]设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其简单性质如下： (1)双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴的轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)都在两条平行直线x ＝－a 和x ＝a 的两侧，因此双曲线上点的横坐标满足x ≤－a 或x ≥a .(3)双曲线与它的对称轴的交点A 1(－a,0)，A 2(a,0)叫作双曲线的顶点．显然顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长度等于2a .设B 1(0，－b )，B 2(0，b )为y 轴上的两个点，我们把线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长度为2b .a 为实半轴长，b 为虚半轴长．(4)c a ＝e 叫作双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率，因为c >a >0，所以e ＝c a >1.b a 决定双曲线的开口大小，ba 越大，双曲线的开口就越大．(5)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .[答一答]1．等轴双曲线(实轴长与虚轴长相等的双曲线)的离心率和渐近线方程分别是什么？提示：等轴双曲线是一种特殊的双曲线，离心率为e ＝2，渐近线方程为y ＝±x .2．双曲线与椭圆的离心率有哪些异同？提示：双曲线的离心率算法与椭圆相同，都是e ＝ca ，但因c >a ，所以e >1.又因为双曲线与椭圆的形状不同，所以离心率的几何意义不同，对于椭圆，它决定其“扁平”程度，而对于双曲线，它决定其“张口”大小．1．关于双曲线的几何性质的几个方面：(1)双曲线的对称性与椭圆的对称性完全相同，并且含对称中心的区域称为双曲线的内部．(2)双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点，这与椭圆不同．(3)利用双曲线的渐近线，可以帮助我们准确地画出双曲线的草图．具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线．(4)根据关系式：c 2＝a 2＋b 2，b 2a 2＝e 2－1，e ＝ca ，可知在a ，b ，c ，e四个参数中，已知其中两个就可求得另外两个．(5)若双曲线的焦点在x 轴上，渐近线的倾斜角为α(0<α<π2)，则cos α＝a c ＝1e ，即e ＝1cos α.(6)抛物线和双曲线的一支的区别：当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的斜率(曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率)接近于坐标轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于和坐标轴所在直线平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线的斜率．2．两条特殊双曲线： (1)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a 2＝1是一对共轭双曲线．共轭双曲线有公共的渐近线，且焦点在以中心为圆心，半焦距c 为半径的圆上．求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的共轭双曲线方程 ，只需将方程中的“1”改为“－1”即可．(2)等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，叫作等轴双曲线，方程记为x 2－y 2＝a 2.所有的等轴双曲线的渐近线方程均为y ＝±x ，并且离心率e ＝ 2.特别地xy ＝1是一条等轴双曲线．3．关于双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有以下几个结论： (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)；(2)若双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，则双曲线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可表示为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)；(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)；(5)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可表示为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2)． 利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度．类型一 由双曲线的性质求标准方程【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)实轴长为16，离心率为54；(2)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．【思路探究】 由双曲线的几何性质，列出关于a ，b ，c 的方程，求出a ，b ，c 的值．【解】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2a ＝16，c a ＝54，c 2＝a 2＋b 2， 解得c ＝10，a ＝8，b ＝6，所以双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知得a ＝3，c ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝1.∴双曲线的标准方程为：x 23－y 2＝1.规律方法 根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法．首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为23，且经过P(6，2)，求双曲线方程；(2)求焦点在x轴上，离心率为53，且经过点M(－3，23)的双曲线方程．解：(1)设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ab＝23，4a2－6b2＝1⇒⎩⎨⎧a2＝43，b2＝3.故所求双曲线方程为y243－x23＝1.(2)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．∵e＝53，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝259，∴ba＝43.9a2－12b2＝1，解得⎩⎨⎧a2＝94，b2＝4.∴所求的双曲线方程为x294－y24＝1.类型二 双曲线的渐近线【例2】 求过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程．【思路探究】 由于双曲线x 22－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，但焦点的位置不确定，所以应进行分类讨论．【解】 方法1：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22，故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，将(2，－2)代入方程，得b 2＝－2(舍)．当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，将(2，－2)代入方程，得a 2＝2，故所求双曲线的方程为y 22－x 24＝1.方法2：因为与双曲线x 22－y 2＝1有公共的渐近线，可设双曲线的方程为x 22－y 21＝λ(λ≠0)，将(2，－2)代入方程，得λ＝－2.所以双曲线的方程为x 22－y 2＝－2， 即y 22－x 24＝1.规律方法 求解双曲线的方程主要依据双曲线的焦点所在的坐标轴，设双曲线的方程．或者利用与已知双曲线有公共渐近线的双曲线系较为方便．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，焦距为226，求双曲线的标准方程．解：当双曲线的焦点在x 轴上时，由⎩⎨⎧ b a ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝8，所以所求双曲线的标准方程为x 218－y 28＝1； 当双曲线的焦点在y 轴上时，由⎩⎨⎧a b ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝18，a 2＝8，所以所求双曲线的标准方程为y 28－x 218＝1.综上可知，所求双曲线的标准方程为x 218－y 28＝1或y 28－x 218＝1. 类型三 求双曲线的离心率【例3】 求符合下列条件的双曲线的离心率． (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线所成角为90°；(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .【思路探究】 由题设条件直接求a ，c 的值或把ca 作为整体转化为e 的方程，解方程求之．【解】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132；若焦点在y 轴上，则a b ＝32， 即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133.综上，双曲线的离心率为132或133. (2)如图所示，∠AF 1B ＝90°，∴|F 1F 2|＝12|AB |. ∴2c ＝b 2a ，即2c a ＝b 2a 2， ∴2e ＝e 2－1.即e 2－2e －1＝0， ∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍)． ∴离心率为1＋ 2.(3)方法1：由l 过两点(a,0)，(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为34c ， 得ab a 2＋b2＝34c .将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得 16(a 2c 2)2－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ， 则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 即e ＝ca ，有e ＝1x .∴e ＝233或e ＝2.∵0<a <b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2>2，∴离心率为2.方法2：依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ， 得ab a 2＋b2＝34c ，即ab ＝34c 2. ∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0. ∴3(b 2a 2)2－10b 2a 2＋3＝0. 解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3. 又0<a <b ，∴b 2a 2＝3. ∴e ＝1＋b 2a 2＝2.方法3：如图，设A (a,0)，B (0，b )，则|AB |＝c .令∠BAO＝α，则cosα＝a c＝1e，sinα＝34ca＝34e.又sin2α＋cos2α＝1，∴316e2＋1e2＝1，即3e4－16e2＋16＝0.∴e2＝43或e2＝4，即e＝233或e＝2.又0<a<b，∴ba>1，∴e＝1＋b2a2> 2.∴离心率e＝2.规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把ca或ba视为整体，把关系式转化为关于ca或ba的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的第(3)小题中，要注意条件0<a<b对离心率的限制，保证题目结果的准确性．(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为(C)A. 2B. 3C．2 D.4(2)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点(4，－2)，则它的离心率为(D)A. 6B. 5C.62 D.52解析：(1)因为抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，所以双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中c＝2.又双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，所以a＝1.故该双曲线的离心率e＝ca＝2.(2)设过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－ba x ， ∴－2＝－ba ×4，∴a ＝2b .方法1：设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ， ∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.方法2：e 2＝b 2a 2＋1＝14＋1＝54，故e ＝52.——多维探究——巧妙运用双曲线的标准方程及其性质通过近三年的高考试题分析，对双曲线的标准方程与几何性质的考查主要是：焦点、顶点、离心率、渐近线方程等知识，均以选择题、填空题的形式出现，一般不会在解答题中出现，难度中等偏下．【例4】 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．【思路分析】 第1步：求出双曲线的焦点坐标； 第2步：根据双曲线的定义求a ，b .【解析】 方法1：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据定义2a ＝|(15－0)2＋(4－3)2－(15－0)2＋(4＋3)2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.方法2：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.【答案】 y 24－x 25＝1规律方法 求解双曲线的标准方程最常用的方法是定义法和待定系数法．但本例可利用共焦点的曲线系方程求解，其要点是根据题目中的一个条件写出含一个参数的共焦点的二次曲线方程，再根据另外一个条件求出这个系数．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则它的一条渐近线方程为( D )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝3x －1C ．y ＝－3x ＋1D.y ＝3x解析：由x 2a 2－y 23＝1，可知虚半轴长b ＝3，而离心率e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，解得a ＝1.故渐近线方程为y ＝±3x .1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( A )A.53B.43C.54D.32解析：由已知得b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝53.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( A )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1解析：由题意知，焦距为10，∴c ＝5， 又∵P (2,1)在双曲线的渐近线上， ∴a ＝2b ，联立得a 2＝20，b 2＝5， 故双曲线方程x 220－y 25＝1.3．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )A. 5 B ．4 2 C ．3D.5解析：由y 2＝12x ，焦点坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝9，∴b ＝ 5. 双曲线的一条渐近线为y ＝52x . ∴d ＝353＝ 5.4．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为2.解析：由双曲线标准方程x 2m －y 2m 2＋4＝1知a 2＝m >0，b 2＝m 2＋4，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋m 2＋4，由e ＝5得c2a 2＝5，∴m >0且m ＋m 2＋4m＝5，∴m ＝2.经检验符合题意．5．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .求双曲线E 的离心率．解：∵双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ， ∴ba ＝2，∴c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ， 从而双曲线E 的离心率e ＝ca ＝ 5.。

双曲线（填空题：较难）1、已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．2、已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，是坐标原点，是以为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线的离心率是______________.3、椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆于双曲线的离心率分别为，，则的最小值为__________．4、已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_______．5、已知椭圆：，双曲线：，以的短轴为一条最长对角线的正六边形与轴正半轴交于点，为椭圆右焦点，为椭圆右顶点，为直线与轴的交点，且满足是与的等差中项，现将坐标平面沿轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为__________．6、已知等腰梯形ABCD中AB//CD，AB=2CD=4，∠BAD=600，双曲线以A，B为焦点，且经过C、D两点，则该双曲线的离心率为_________．7、点是焦点为的双曲线上的动点，若点满足,则点的横坐标为____________8、点在曲线上，点在曲线上，线段的中点为，是坐标原点，则线段长的最小值是__________．9、已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，已知点坐标，双曲线上点满足，则__________．10、设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为__________．11、双曲线的左右两焦点分别是，若点在双曲线上，且为锐角，则点的横坐标的取值范围是________．12、已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，若直线与圆相切于点且，则双曲线的离心率值为__________．13、已知双曲线：（，）和圆：.过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为，.若可为正三角形，则双曲线离心率的取值范围是__________．14、过双曲线的右焦点且垂于轴的直线与双曲线交于,两点，与双曲线的渐近线交于,两点，若,则双曲线离心率的取值范围为__________．15、过双曲线（，）的左焦点向圆作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐进线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为__________．16、已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．17、给出如下命题:①已知随机变量，若，则②若动点到两定点的距离之和为，则动点的轨迹为线段;③设，则“”是“”的必要不充分条件;④若实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为;其中所有正确命题的序号是_________.18、设为双曲线右支上的任意一点，为坐标原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于,两点，则平行四边形的面积为__________．19、已知双曲线的离心率为，点是其左右焦点，点与点是双曲线上关于坐标原点对称的两点，则四边形的面积为__________．20、设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上任一点，当的最小值为时，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．21、在平面直角坐标系中，的顶点分别是离心率为的圆锥曲线的焦点，顶点在该曲线上．一同学已正确地推得：当时，有．类似地，当时，有（________）．22、如果曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是__________．23、已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，．若，且，则双曲线的离心率为＿＿＿＿．24、平面直角坐标系xoy中，抛物线的焦点为F，设M是抛物线上的动点，则的最大值是25、把离心率的双曲线称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线是黄金双曲线；②若双曲线上一点到两条渐近线的距离积等于，则该双曲线是黄金双曲线；③若为左右焦点，为左右顶点，且，则该双曲线是黄金双曲线；④．若直线经过右焦点交双曲线于两点，且，，则该双曲线是黄金双曲线；其中正确命题的序号为 .26、已知双曲线的右焦点到其渐进线的距离为，则此双曲线的离心率为_________．27、已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右顶点，且该双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程为_________.28、过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，交其准线于点，若，则直线的斜率为___________．29、圆的切线过双曲线的左焦点，其中为切点，为切线与双曲线右支的交点，为的中点，则___________．30、已知动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，则动点的轨迹方程为______________．31、、是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则△的面积为 .32、如图，已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为____________．33、已知双曲线的右焦点为,过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点,在直线上,且满足,则．34、如图，在中，，、边上的高分别为BD、AE，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则的值为 .35、过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为．36、已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是____．37、已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为__________.38、已知,,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .39、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：（a＞0）的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a的值是．40、过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若且，则双曲线的离心率为_____________．41、过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点.若，则双曲线的离心率为_______.42、已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点．设直线的斜率分别为，当最小时，双曲线的离心率为________________．43、已知点为双曲线右支上的一点，点分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为，若为的内心，且，则的值为．44、在平面直角坐标系中, 若双曲线的一条准线恰好与抛物线的准线重合，则双曲线的渐近线方程为．45、双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为．46、已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为．47、若圆与双曲线C：的渐近线相切, 双曲线C的渐近线方程是48、已知抛物线与双曲线有相同的焦点，是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率是 .49、已知双曲线的右焦点, 在双曲线的左支上,，当的周长最小值时,该三角形的面积为50、已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________51、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，线段与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为_____．52、平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的渐近线方程为________．53、过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线的右支上到直线对的距离恒大于，则双曲线的离心率的最大值是_____.54、设F1，F2为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是．55、如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．56、已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆，△ABC的顶点B在椭圆上，顶点A，C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e，则，现将该命题类比到双曲线中，△ABC的顶点B在双曲线上，顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为．双曲线的离心率为e，则有________．57、在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在双曲线上，则为___________．58、已知点P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，G为三角形的内心，若成立，则的值为（）B．C．D．A．59、设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为____________．60、如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二，第四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是．61、已知双曲线的焦点分别为，．则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．62、中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是．63、中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是．64、已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则．65、已知点是双曲线E：上的一点，M、N分别是双曲线的左右顶点，直线PM、PN的斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为___________________．66、在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。

2.3.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质内容标准学科素养1.掌握双曲线的简单几何性质．2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第36页[基础认识]知识点双曲线的几何性质预习教材P56－58，思考并完成以下问题椭圆的简单几何性质有哪些？研究方法是什么？双曲线是否有类似的性质呢？提示：范围、对称性、顶点、离心率．研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质．知识梳理(1)双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥ay∈R y≤－a或y≥ax∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±ba x y＝±ab x2.[自我检测]1．若点M (x 0，y 0)是双曲线y 24－x 225＝1上支上的任意一点，则x 0的取值范围是________，y 0的取值范围是________．答案：(－∞，＋∞) [2，＋∞)2．双曲线4x 2－2y 2＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦距等于________． 答案：1233．双曲线x 22－y 214＝1的离心率为________．答案：2 2授课提示：对应学生用书第37页探究一 根据双曲线方程研究几何性质[阅读教材P 58例3]求双曲线9y 2－16x 2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．题型：根据双曲线方程研究其几何性质． 方法步骤：(1)将方程化成标准方程的形式． (2)写出a 2、b 2，从而求出a 、b 、c 的值． (3)求出双曲线的几何性质．[例1] 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．[解析] 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .方法技巧 1.已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c 值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质．2．求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错． 跟踪探究 1.求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．解析：双曲线的方程25y 2－4x 2＋100＝0可化为x 225－y 24＝1，所以焦点在x 轴上，所以a 2＝25，b 2＝4，因此实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)．由c ＝a 2＋b 2＝29，得焦点坐标为(29，0)，(－29，0)．离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x .探究二 根据双曲线的几何性质求标准方程[阅读教材P 58例4]双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图(1))，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高为55 m ．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．题型：根据双曲线的几何性质求其标准方程．方法步骤：(1)根据双曲线的对称性，建立适当的坐标系． (2)设出标准方程．(3)求出方程中的a 2、b 2，进而求出c . [例2] 求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6. [解析] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵双曲线过点P (6，2)， ∵4a 2－6b2＝1. 由题意得⎩⎨⎧a b ＝23，4a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝3.故所求双曲线方程为3y 24－x 23＝1.(2)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259， ∴b a ＝43. 由题意得⎩⎨⎧b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴所求的双曲线方程为4x 29－y 24＝1.(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3.当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.方法技巧 1.根据双曲线的几何性质求其标准方程时，常用的方法是先定型(确定焦点在哪个轴上)，后计算(确定a 2，b 2的值)．要特别注意c 2＝a 2＋b 2的应用，不要与椭圆中的关系混淆．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．跟踪探究 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．解析：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵点A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②①②联立，无解．当焦点在y 轴上时，设所求方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵点A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.探究三 求双曲线的离心率[例3] (1)点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．[解析] (1)由题意得不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列， 分别设为m －d ，m ，m ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m －(m －d )＝2a ，m ＋d ＝2c ，(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ＝8a ，c ＝5d 2，∴离心率e ＝c a ＝5aa ＝5.故选D.(2)不妨设一个焦点F (c,0)，虚轴的一个端点B (0，b )，则k FB ＝b－c .又∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，∴－b c ·ba＝－1，即b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ，∴c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， ∴e ＝1±52(舍负)，∴e ＝1＋52.[答案] (1)D (2)1＋52方法技巧 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca 得解；(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2得解；(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪探究 3.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解析：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b 2a ＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0， 所以⎝⎛⎭⎫c a 2－2×c a －1＝0， 即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋ 2.授课提示：对应学生用书第38页[课后小结](1)通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质，通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线方程．(2)渐近线是双曲线特有的性质，渐近线和离心率都可以描述双曲线的“张口”大小．[素养培优]1．考虑问题不全面致误已知双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，求其离心率．易错分析 因为渐近线方程为y ＝±13x ，所以b a ＝13，即a ＝3b ，所以a 2＝9b 2，a 2＝9(c 2－a 2)， 即10a 2＝9c 2，c 2a 2＝109，所以e ＝103. 本解法忽视了该双曲线的焦点位置不确定，故13＝b a 或13＝ab 两种情况，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养．自我纠正 由题意得b a ＝13或a b ＝13，故c 2－a 2a 2＝13或a 2c 2－a 2＝13， e 2－1＝13或e 2－1＝3，e ＝103或e ＝10. 2．解题缺乏依据致误点P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，且有2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，其中F 1，F 2是双曲线C 1的左、右两个焦点，求双曲线C 1的离心率．易错分析 因为圆的半径r ＝a 2＋b 2＝c ，又因为∠F 1PF 2＝90°，2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c，故|PF1|＝3c，|PF2|＝c.又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.此解法步骤不严谨，解析缺乏依据．考查直观想象、逻辑推理．自我纠正因为圆的半径r＝a2＋b2＝c，所以圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径．所以∠F1PF2＝90°.因为2∠PF1F2＝∠PF2F1，所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c.故|PF1|＝3c，|PF2|＝c.又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.。

[课时作业 ][A 组基础稳固 ]x 2 y 21．设双曲线 a 2－b 2＝1(a>0， b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为 ( )A ． y ＝± 2xB ．y ＝±2x21C ． y ＝± 2xD ．y ＝± 2xb分析：由题意得 b ＝ 1， c ＝ 3.∴a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝ ± a x ，2 即 y ＝±2 x.答案： C．双曲线 2x 2－ y 2＝8 的实轴长是 ( )2A ． 2B ．2 2C ．4D ．4 222 x 2 y 22分析：将双曲线 2x － y ＝8 化成标准方程 4 －8 ＝ 1，则 a ＝ 4， 因此实轴长 2a ＝ 4.答案： C．双曲线 2＋ y 2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于 ()3 mx1 1 A ．－ 4B ．－ 4C ．4D. 4分析： ∵方程 mx 2＋ y 2＝1 表示双曲线，2∴ m<0.将方程化为标准方程为 y 2－ x＝ 1.－m 1则 a 2＝1，b2＝－ m 1.∵双曲线的虚轴长是实轴长的2 倍，∴可知 b ＝ 2a ，221 1∴ b ＝4a ，∴－ m ＝4，∴ m ＝－ 4.答案： A4．中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点在直线 3x － 4y ＋12＝ 0 上的等轴双曲线方程是 ()A ． x 2 －y 2 ＝8C ． y 2－x 2＝8B ．x 2－y 2＝ 4D ．y 2－x 2＝4分析：令 y ＝ 0，则 x ＝－ 4，即 c ＝4，又 c 2＝a 2＋ b 2，a ＝b ，∴ c 2＝ 2a 2， a 2＝8.答案： A5．已知 A ，B 为双曲线 E 的左、右极点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ( )A. 5 B ．2 C. 3D. 22 分析：不如取点 M 在第一象限，如下图，设双曲线方程为x2－ay 2b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)，则 |BM|＝|AB|＝ 2a ，∠ MBx ＝ 180°－120°＝60°，∴ M 点的坐标为 (2a ， 3a ).4a 2 3a 2∵ M 点在双曲线上，∴ a 2 － b 2 ＝ 1， a ＝ b ，c∴ c ＝ 2a ，e ＝a ＝ 2.应选 D.答案： D2x26．已知双曲线 a 2－ y ＝ 1(a ＞ 0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则 a ＝________.分析：双曲线x 2x3x ＋y ＝0，a 22＝1 的渐近线为 y ＝ ± ，已知一条渐近线为－ ya13即 y ＝－3x ，由于 a ＞ 0，因此 a ＝ 3，因此 a ＝ 3.3答案： 3x 2 y 27．过双曲线 a 2－b 2＝1(a>0， b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线订交于M ， N 两点，以 MN 为直径的圆恰巧过双曲线的右极点，则双曲线的离心率为________．2分析：由题意知， a ＋ c ＝ ba ，即 a 2＋ac ＝ c 2－a 2，∴ c 2 －ac －2a 2＝ 0，∴ e 2－e －2＝0，解得 e ＝ 2 或 e ＝－ 1(舍去 )． 答案： 2x2y 28．已知双曲线 C ： a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的离心率 e ＝ 2，且它的一个极点到较近焦点的距离为 1，则双曲线 C 的方程为 ________．c分析：双曲线中，极点与较近焦点距离为c －a ＝1，又 e ＝ a ＝2，两式联立得 a ＝1，c ＝2，∴ b 2 ＝c 2 －a 2＝ 4－ 1＝ 3，2∴方程为 x 2－y3 ＝ 1.2答案： x 2－y3 ＝1x 2y 2x 2y 29．已知椭圆 3m 2＋ 5n 2＝ 1 和双曲线 2m 2－3n 2＝1 有公共的焦点，求双曲线的渐近 线方程及离心率．分析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，因此椭圆的右焦点坐标为 ( 3m 2－ 5n 2， 0)，双曲线的右焦点坐标为 ( 2m 2＋3n 2，0)，因此 3m 2－ 5n 2＝ 2m 2＋3n 2，因此 m 2＝ 8n 2，即 |m|＝2 2|n|，因此双曲线的渐近线方程为 y ＝± 6|n| ， ＝ ± 3x.2|m|x y42m 2＋3n 21919离心率 e ＝2|m|＝ 4 ，e ＝ 4.x 2 y 210．设 A ， B 分别为双曲线 a 2 －b 2＝1(a>0，b>0)的左、右极点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；3(2)已知直线 y ＝ 3 x －2 与双曲线的右支交于M 、 N 两点，且在双曲线的右支上→ → →存在点 D ，使 OM ＋ON ＝ tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标．分析： (1)由题意知 a ＝2 3，b∴一条渐近线为 y ＝x ，|bc|即 bx －23y ＝ 0，∴2＝ 3，b ＋1222∴ b 2＝3，∴双曲线的方程为 12x －y3 ＝1.(2)设 M(x 1，y 1)，N(x 2， y 2)，D(x 0，y 0)，则 x 1＋x 2＝ tx 0，y 1＋ y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得 x 2－16 3x ＋ 84＝0，则 x 1＋x 2＝ 16 3，y 1＋y 2＝12，x 04 3 0＝3 ，0＝4 3，∴ 22∴x 0 y 00＝3，12－ 3 ＝1， y∴ t ＝4，点 D 的坐标为 (4 3，3)．[B 组能力提高 ]x 2y 21．(2016 ·高考全国Ⅰ卷 )已知方程 m 2＋ n － 3m 2－n ＝1 表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 ( )A ．(－1,3)B ．(－1， 3)C ． (0,3)D ． (0， 3)分析：依据双曲线的焦距，成立对于n 的不等式组求解．m 2＋ n>0，若双曲线的焦点在x轴上，则3m 2－n>0.又∵ (m 2 ＋n)＋(3m 2 －n)＝ 4，∴ m2＝1，∴1＋n>0，3－n>0，∴－ 1<n<3.若双曲线的焦点在 y 轴上，则双曲线的标准方程为y2x2n － 3m 2>0，n －3m 2－－m 2－ n ＝ 1，即－m 2－ n>0， 即 n>3m 2 且 n<－m 2，此时 n 不存在．应选 A. 答案： A222．已知 F 1，F 2 xy分别是双曲线 a 2－ b 2＝1(a>0， b>0) 的左、右焦点，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于 A 、B 两点，若△ ABF 2 为锐角三角形， 则双曲线的离心率的范围是 ()A ． (1,1＋ 2)B ．(1＋ 2，＋ ∞)C ．(1－ 2，1＋ 2)D ．( 2， 2＋1)分析：由△ ABF 2 为锐角三角形得，2baπ2 2 22c <tan 4＝ 1，即 b <2ac ，∴ c － a <2ac ，∴ e 2 －2e －1<0，解得 1－ 2<e<1＋ 2，又 e>1，∴ 1<e<1＋ 2.答案： A23．已知 F 是双曲线 C ：x 2－y8＝ 1 的右焦点， P 是 C 左支上一点， A (0， 6 6)，当△ APF 周长最小时，该三角形的面积为 ________．22y分析：由双曲线方程 x － 8 ＝1 可知， a ＝1，c ＝3，故 F(3,0)，F 1(－3,0)．当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－ |PF 1|＝2，因此 |PF|＝|PF 1 |＋2，进而△ APF 的周长＝ |AP|＋ |PF|＋ |AF|＝ |AP|＋ |PF 1 ＋ ＋ 由于 ＝ 2＋ 6 2＝15 为| 2 |AF|. |AF| 3定值，因此当 (|AP|＋|PF 1|)最小时，△ APF 的周长最小，由图象可知，此时点 P 在线段 AF 1 与双曲线的交点处 (如下图 )．由题意可知直线 AF 1 的方程为 y ＝2 6x ＋ 6 6，y ＝2 6x ＋66，由 22＋6 6y －96＝0，x 2－ y ＝1，得 y8解得 y ＝2 6或 y ＝－ 8 6(舍去 )，因此 S △ APF ＝S △AF 1F － S △ PF 1F11＝2×6×6 6－2×6×2 6＝12 6.答案： 12 6x 2 y 24．已知双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆 (x －2)2＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 ________．分析：由双曲线的渐近线b± ×2a3，＝b 2可知1＋ ac ＝2，b 与圆 －22 相切y ＝±(x 2) ＋y ＝3axa ＝1， 解得b ＝ 3.a 2＋b 2 ＝c 2，2y2故所求双曲线的方程为x － 3＝1.y 2 答案： x 2－ 3 ＝1x 2 y 2a 235．已知双曲线 C ：a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的离心率为 3，且 c ＝ 3 .(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知直线 x －y ＋m ＝ 0 与双曲线 C 交于不一样的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点在圆 x 2＋ y 2＝5 上，求 m 的值．a 23c＝3 ，a ＝1，分析： (1)由题意得解得c 3，c ＝ 3.a ＝因此 b 2＝ c 2－a 2＝2.2因此双曲线 C 的方程为 x 2－y2 ＝ 1.(2)设 A ， B 两点的坐标分别为 (x 1 ，y 1 )， (x 2， y 2 )，线段 AB 的中点为 M(x 0， y 0)．x －y ＋m ＝0，由x 2－y 2＝1， 2得 x 2－2mx － m 2－2＝0(鉴别式 >0)．x 1＋x2因此 x 0＝＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m.由于点 M(x 0，y 0)在圆 x 2＋y 2＝ 5 上，因此 m 2＋(2m)2＝5.故 m ＝±1.x 2 y 26．已知双曲线 C ：a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的一个焦点是 F 2(2, 0)，离心率 e ＝ 2.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 订交于两个不一样的点 M ，N ，线段 MN 的垂直均分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线 l 的方程．分析： (1)由已知得 c ＝2，e ＝2， ∴ a ＝ 1， b ＝ 3.y2∴所求的双曲线方程为 x 2－ 3 ＝1.(2)设直线 l 的方程为 y ＝x ＋m ， 点 M(x 1， y 1 ) ， 2，y 2 的坐标知足方程组N(x) y ＝ x ＋ m ，① 2x 2－y＝ 1，②3将①式代入②式，整理得 2x 2－ 2mx －m 2－ 3＝ 0.(*) 设 MN 的中点为 (x 0 ，y 0)，x 1＋ x 2m则 x 0＝2 ＝ 2 ，0＝ x 0 ＋m ＝3m，因此线段 MN 垂直均分线的方程为 y －3m＝－ x －my222即 x ＋y － 2m ＝ 0，与坐标轴的交点分别为 (0,2m)，(2m,0)，1可得2|2m| ·|2m|＝ 4，得 m2＝ 2， m＝± 2此时 (*) 的鉴别式>0，故直线 l 的方程为 y＝ x± 2.。