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《数值分析》课件 第八章 特征值特征向量

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数值分析8(向量范数与矩阵范数)

数值分析8(向量范数与矩阵范数)

20:22
16/16
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11/16
A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
20:22
2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
12/16
对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
20:22
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矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn

Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。

数值分析课件第八章

数值分析课件第八章

k k 2 n k Ak v0 1 a1 x1 a2 x2 an xn , 1 1
2 n a1 x1 a2 x2 an xn k A v0 1 1 uk k k k max(A v0 ) 2 n max a1 x1 a2 x2 an xn 1 1 x1 (k ) max(x1 )
的按模最大特征值及其特征向量. 取p 0.75.
1 0.5 0.25 解：B A pI 1 0.25 0.25 0.5 0.25 1.25 用幂法求B的主特征值及其特征向量，具体结果见书上。
2. 瑞利商加速法
定理9 设A R
nn
为对称矩阵, 其特征值满足
，1 1 幂法中存在的问题：v k a1x1 0, 1 1
k 1
定 理8 设A R nn有n个线性无关的特征向量 其特征值 ,
为了避免“溢出”下面做改进. 记 max(v )为向量v的绝对 v 值最大的分量，规范化得 u (v 0). 就有 max(v )
解：选取u 0 v 0 [1,1,1]T , 则v1 Au 0 [2.5, 2.25, 2.75]T ,
v2 v 2 Au1 , max(v 2 ) ?, u 2 ?, 计算结果见书上。 max(v 2 )
A=[1 1 0.5;1 1 .25;.5 .25 2] u=[1,1,1]' v=A*u,v1=max(v),u=v/v1
x0
（3）
( Ax, x) n minn . xR (x,x)
x0
二、特征值估计与扰动

特征值与特征向量 课件

特征值与特征向量 课件
特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，对于理解矩阵的性质和进行矩阵运算具有重要意义。文档首先通过计算示例引入了特征值与特征向量的概念，并给出了特征值及特征向量的定义。接着，详细阐述了如何求解二阶矩阵的特征值和特征向量，包括构建特征多项式、求解特征方程以及，即特征向量经过矩阵变换后方向保持不变或相反。特别地，当特征值为0时，特征向量被变换成零向量。文档还进一步讨论了属于不同特征值的特征向量之间的关系，指出它们不共线。最后，通过例题和练习巩固了所学知识，并展示了特征值与特征向量在实际问题中的应用。然而，文档中并未直接提及已知某个特征向量时求另一个特征向量的简便方法，这可能需要结合具体问题和矩阵性质进行推导。

数值分析课件第8章3-4节

数值分析课件第8章3-4节

其中 U 0 U1U 2 U n2 为初等反射阵的乘积.
1. U0 I
2. 对于 k 1,2,, n 2
(1) 计算初等反射阵 Rk 使 Rk ck k e1
11
(2) 约化计算
Ik A U k AU k , U k Rk
(3)
1 4.472136,
T R1 I 11u1u1 .
则有
R1c1 1e1 .
(2) 约化计算 令
1 U1 0 0 , R1
14
则
4 A2 U1 A1U1 4.472136 0 7.602631 7.799999 0.399999 0.447214 0.400000 H . 2.200000
23
对于一般矩阵 A R nn （或对称矩阵），首先用豪斯 霍尔德方法将 A化为上海森伯格阵 B（或对称三对角阵）， 然后再用QR方法计算 B的全部特征值. 设 A R nn ，且对 A进行QR分解，即
A QR,
其中 R为上三角阵，Q 为正交阵. 于是可得到一个新矩阵
B RQ Q T AQ.
20
( 6)
ak , k k uk 1,k
(7)
3)
bk k d
应用变换
(1)
(2)
s0
(k T 计算A22 ) uk 及uk rk
对于i k 1,,n
(a ) bi h
j k 1
a
i
ij
u jk a ji u jk
j i1
5
(2) 第 k 步约化： 重复上述过程，设对 A已完成第1步，…，第 k 1步 正交相似变换

特征值与特征向量课件课件

特征值与特征向量课件课件

就是属于特征值 0 的一个特征向量. 于是可得求
线性变换 A 的特征值与特征向量的步骤如下：
Step 1 ：在线性空间 V 中取一组基1 , 2 , …,
n ，写出 A 在这组基下的矩阵 A ；
Step 2 ：计算 A 的特征多项式，并求出特征
方程在数域 P 中的所有根. 设矩阵 A 有 s 个不同 的特征值 1 , 2 , …, s ，它们也就是线性变换 A 的全部特征值.
第3页，幻灯片共40页
二、几何意义
在几何向量空间 R2 和 R3 中，线性变换 A 的
特征值与特征向量的几何意义是：
特征向量 ( 起
点在坐标原点) 与其像 A 同向(或反向)，同向时，
特征值 0 > 0，反向时， 0 < 0，且 0 的绝对值等 于 | A | 与 | | 之比值； 如果特征值 0 = 0，则特
a22 a22
an1 an2 ann
称为 A 的特征多项式， 这是数域 P 上的一个 n
次多项式.
第12页，幻灯片共40页
上面的分析说明，如果 0 是线性变换 A 的特
征值，那么 0 一定是矩阵 A 的特征多项式的一个
根； 反过来，如果 0 是矩阵 A 的特征多项式在数
域 P 中的一个根，即 |0E - A | = 0，那么齐次线性
关于特征值与特征向 量课件
第1页，幻灯片共40页
一、定义
我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基 之后，线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩 阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我 们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形
式. 从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择
基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简 单形式. 为了这个目的，先介绍特征值和特征向量

数值分析课件第8章 矩阵特征值问题计算

数值分析课件第8章 矩阵特征值问题计算

特征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离
(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.
上页 下页
证明 只就⑴给出证明. 设λ为A的特征值，即 Ax=λx，其中x=(x1,x2,, xn)T0.
记 xk max xi x 1 i n 方程，即

0 ，考虑Ax=λx的第k个
i 1
i 1 i 1
上页
下页
定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵
P使B=P-1AP），则 ⑴ A与B有相同的特征值； ⑵ 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量.
定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征 值不变. 定义2 如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ, 且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数< k，则A
其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶
Rii是A的实特征值，每个二阶对角块Rii的两个特征值
是 A的两个共轭复特征值.
上页 下页
我们转向实Schur型的实际计算. 定义4 设A∈Rn×n为对称矩阵，对于任一非零 向量x，称 ( Ax, x ) R( x ) , ( x, x ) 为对应于向量x的瑞利(Rayleigh)商. 定理11 设A∈Rn×n为对称矩阵(其特征值次序记 为λ1≥λ2≥≥λn)，则 ( Ax , x ) 1. n 1 (对任何非零x∈Rn)； ( x, x ) 2. 3.
x0为Rn中任一向量，则有
x i xi ,
i 1 n
x2
n

i 1
n
2 i
0.
于是
( Ax, x ) n ( x, x )
2 i i i 1 n 2 i i 1

特征值与特征向量的应用PPT


定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1

数值分析Ch8矩阵特征值的计算


• 注(2)可用 A pI 来加速.
例 用反幂法求矩阵A的最接近 p 13 的特征值和特 征向量.
解
其中:
3 12 3 A 3 1 2 3 2 7 3 1 3 LU A pI 3 14 2 3 2 20 0 0 3 1 1 3 L 3 1 0 U 0 5 11 11 66 1 3 0 0 5 5
取 1 max v7 3.41, X1 u7 (.707,1,.707)
2.加速方法(原点平移法)
• 令 : B A pI ,设 B 的特征值为 i 则: i i p
i i p i 希望 : 1 1 p 1
若设 : 1 2 n1 n
2 p n p 选p使 : max , min 1 p 1 p
n p 2 n 2 p * 当 取p 达最小. 1 p 1 p 2
2 n • 使用幂法,取 p 计算 1 得到加速. 2
i (1 X 1 i Xi ) i 2 1
k 1 n
k
vk Avk 1 X 1 X 2 X n
k 1 1
k 2 2
k n n
i i 1 (1 X 1 i X ) i 1 i 2 1 vk k lim k 1 X 1 vk 11 X 1
取
v0 u0 1,1,1
T
计算公式:
vk Lyk uk 1 , Uvk yk , uk max vk
0 1
k 迭代向量 分
量 max

第8章 矩阵特征值与特征向量的计算

也可将上式改写成
Ax k = y k −1 m = max( x ) k k y = x / m , k = 1,2,3, ⋯ k k k
式(8.8)称为反幂法. 显然有 1 lim mk =
k →∞
(8.8)
λn
, lim y k = x n / max( x n )
k →∞
每一步求xk需要求解线性方程组, 可采用LU分解法求解.
i =2
n
其收敛速度由比值|λ2/λ1|来确定.
又由于
A k x0 mk = max( y k ) = max( Axk −1 ) = max( ) k −1 max( A x0 )
所以
lim mk = λ1
k →∞
= λ1
λ max[β 1ξ1 + ∑ β i ( λ1i ) k ξ i ] λ max[ β1ξ1 + ∑ β i ( λ1i ) k −1 ξ i ]
可取 λ1 ≈6.000837, ξ1 ≈(1,0.714316,-0.249895)T.
研究生学位课程 数值分析
8.1.2 加速技术
由于
mk = max( x k ) = λ1 + o(
λ2 k λ1
)
所以,乘幂法收敛速度取决于比值|λ2/λ1|,当|λ2/λ1|≈1时,收敛是很慢的.
1.Aitken 加速方法 Aitken
可得
y k = Ax k −1 m = max( y ) k k x = y / m , k = 1,2,3, ⋯ k k k
A x0 xk = = max( A k x0 )
k
λ β1ξ1 + ∑ β i ( λ ) k ξ i

特征值特征向量定义.ppt


例设
A 3 2， 1 0
则有
X1
1 1
O，使得
AX1
3 1
2 0
1 1
1 1
1X1
，
所以 1 是A的特征值，对应的特征向量为 X1 .
有
X2
2 1
O，使得
AX 2
3 1
2 0
2 1
4 2
2
2 1
2X2
，
所以 2 是A的特征值，对应的特征向量分别为 X2 .
对于 1.
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
（一） 特征值特征向量的定义
定义4.1 设A是 n 阶方阵，如果存在数
和 n 维非零向量 X 使
AX X
则称 为方阵A的一个特征值，X 为方阵A对应于或
属于特征值 的一个特征向量。
特征值公式实现了矩阵乘法向数乘的转换。
特征值问题在经济理论，自动控制，稳定性理论 等方面有着非同寻常的用途。
得基础解系
0
，
A对应于
1＝2
1 的全部特征向量为：
c
0 0,c
0
1
将 2＝1 代入方程组 (I A)X O,整理得
x2
x3
2 x1 , x1
1
取 x1 1 得基础解系
2
,
1
A对应于 2＝1 的全部特征向量为：
1 c 2
,c 0
1
此二重特征值 1对应了一个线性无关的特征向量。
性质2
X ,Y 是A 属于同一特征值 0 的特征向量，且 X Y O X Y 也是A 属于 0 的特征向量。
证 AX 0 X , X O, AY 0Y ,Y O A( X Y ) AX AY 0 X 0Y 0( X Y )
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xi ]
max(1k 1[a1 x1
n i2
ai
(
i 1
)k1 xi ])
所以 k
max(vk )
1 max(a1 max(a1x1
x1
i n
i2
n 2
aiห้องสมุดไป่ตู้
ai ( ( i 1
i 1
)k
xi
)
)k1 xi )
1
(k )
说明序列 k (k=0,1,2,…)收敛到对应的主特征值.
例. 用幂法求矩阵
有 vk 1 1k1a1x1, vk 1k a1x1, vk 1 1vk
(2)
若（2）式迭代收敛，则 vk1和vk 近似线性相关，
其系数 1 即为模最大的特征值.
可近似地作为 1 的特征向量.
vk1、vk 为向量,
求1可取
(vk1 ) (vk ) j
j
1
其中 (vk ) j 表示向量 vk 的第j个分量
时, 则迭代向量
vk 1k a1x1 会随着 k 而趋向于无穷大或0,
计算机处理时, 数值可能会”溢出”, 可使用规范化幂法求解,
即令:
uk
vk max(vk )
(k 0,1, 2,...)
式中, max(vk)表示vk中取绝对值最大的分量.
为方便计算, 初始向量通常取v0=u0=(1,1,…,1)T, 或最大分量为1 的形式进行计算, 因此有向量序列:
现从v0出发作一系列迭代：
vk1 Avk (k 0,1,)
可得一向量序列，并利用（1）可得:
a1Ax1 a2 Ax2 an Axn
利用(I A)x 0,即Axk k xk可得
v1 a11x1 a22 x2 ann xn
同样地, 有：
v2 Av1 A2v0 a112 x1 a222 x2 ann2 xn ……
3
A
4
2
5
的主特征值(误差不超过0.0001)和对应
的特征向量, 计算结果保留小数点后4位,
解:
可通过规范化方法计算,
取v 0
u0
(1,1)T
,
v 1
Au0
(5, 9)T
,
1 9,
u1 (0.5556, 1.0000)T ,
v 2
Au1
(3.6667, 7.2222)T
,
2 7.2222,
该方法的特点：
（1）它是迭代法，收敛速度主要取决于 当 2 越小，收敛越快。
2 1
1
( 1 2 3
（2）迭代过程中，主要计算 K •V0, 所以称为幂法。
n )
初始向量对迭代过程有影响，因此通常采用先算下去 再说的方法. 如不收敛, 及时调整初值进行计算。
(3) 使用幂| 法1 |计1或算| 1 |时1 , 若
u2 (0.5077, 1.0000)T ,
v 3
Au2
(3.5231, 7.0308)T
,
v 4
Au3
(3.5033, 7.0006)T
,
v 5
Au4
(3.5001, 7.0000)T
,
v 6
Au5
(3.5001, 7.0000)T
,
3 7.0308, 4 7.0006, 5 7.0000, 6 7.0000,
由于 v0 a1x1 a2 x2 an xn , 因此
Akv0
n 1
aiik xi
1k [a1x1
n i2
ai
(
i 1
)k
xi ],
uk
Ak v0 max( Akv0 )
1k [a1x1 max(1k [a1x1
n i2
ai
( i 1
)k
xi
]
n i2
ai
( i 1
)k
xi ])
a1x1
n i2
ai
( i 1
)k
xi
max(a1x1
n i2
ai
( i 1
)k
xi )
x1 max( x1 )
(k )
说明规范化向量序列uk (k=0,1,2,…)收敛到主特征值对应的特征向量.
同理可得:
vk
Auk 1
Ak u0 max( Ak1u0 )
1k [a1x1
n i2
ai
(
i 1
)k
第八章 矩阵的特征值及特征向量计算
8.1问题提出
a11 a12 a1n
对n阶方阵A=
a21
a22
a2
n
an1
an2
a
nn
a11
其特征值为特征方程 A I a21
a12 a22
a1n
a2n 0 的根,
可写成:
an1
an2
ann
n c1n1 cn1 cn 0
vk Ak v0 a11k x1 a22k x2 annk xn
1k
a1 x1
a2
(
2 1
)k
x2
an
(
n 1
)k
xn
k=0,1,2,…
同理,
vk 1
1k
1
a1
x1
a2
(
2 1
)k1 x2
an
(
n 1
)
k
1
xn
i 1 , i=2,3,…,n
lim vkk1(Av1ik)k 1v0k , iv=k 2,3,…,n
8.2 模最大特征值的求解——幂法
矩阵A的特征值中，模最大的特征值称为主特征值，其模长 称为谱半径（实数中，模长为绝对值，对于复数 a bi, 模长为
a2 b2 ）
1 2 n ,
思路： 设n 阶方阵A有n个线性无关的特征向量 (前提条件) x1, x2, , xn ,
对应的特征值 分别为 1, 2, , n, 并按模的大小排列, 即
u3 (0.5011, 1.0000)T , u4 (0.5000, 1.0000)T , u5 (0.5000, 1.0000)T , u6 (0.5000, 1.0000)T ,
v1 Av0 Au0 ,
u1
v1 max(v1)
Au0 max( Au0 )
v2
Au1
A2u0 , max(Au0 )
u2
v2 max(v2 )
A2u0 max(A2u0 )
......
vk
A uk 1
Aku0 max(Ak1u0 )
,
uk
vk max(vk )
Aku0 max(Aku0 )
其中ci为系数，与矩阵A有关. 对矩阵A的特征方程 0，有n个根（包括重根、复数根）
称为特征值（特征根）. 当 是A的特征值时，相应方程组
A I x 0 的非零解x称为矩阵A关于 的特征向量.
对特征值和特征向量的计算，可看成是方程求根和线性方程组 求解问题（理论上可以求出）. 但根据向量和矩阵及线性代数中的知识，可以使用一些别的数 值方法计算， 如对模最大或最小特征值的求解；一般特征值的统一求解方法.
分以下两种情况讨论: (1) 1 2 n
(2) 1 2 n
（1） 1 2 n 先构造一初始向量v0，
矩阵A有n个线性无关的特征向量
任何一个n维向量都可以由它们线性表示，有
v0 a1x1 a2 x2 an xn (a1 0)
(1)
v1 Av0 A(a1x1 a2 x2 an xn )