2018年暑假初二升初三数学复习资料

八年级升九年级数学暑假班讲义八年级升九年级数学暑假班讲义第一讲一，三角形边与角1,角与角内角，外角1）三个内角之和_________________________2）三角形外角等于____________________，大于任何一个_________________________ 2, 边与边任何两边之和__________________，任何两边之差____________________即，若三角形两边分别是,,a b ，第三边为 c ，则____________________3, 边与角____________________，___________________二，三角形中的重要线段1.中线, 性质：________________________2. 高，________________________________3. 角平分线, __________________________三，全等三角形1，全等的判定方法___________，___________，___________， ___________2，全等的性质_________________________________________________________四，三角形分类1，按角分______三角形三角形_______三角形斜三角形_______三角形2，按边分不等边三角形三角形____________三角形_____三角形____________三角形五，特殊三角形1，直角三角形性质：1）_________________________2）_________________________3）_________________________4）_________________________2，等腰三角形1，认识等腰三角形各部分名称：底边，腰底角，顶角表示方法：______________________重要线段：三线合一总结等腰三角形性质：__________________________________________________________________特殊的等腰三角形：1）等边三角形2）等腰直角三角形练习一：1.若等腰三角形一个顶角为50°则这个三角形其余两角度数为________.2.已知等腰三角形一个内角的度数为30°,那么它底角的度数是________．3.若三角形一个外角为80°,则它底角度数为________．4．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．5.等腰三角形一内角为70°,则它腰上的高与底边的夹角为________．6.若某等腰三角形两边长为2cm，3cm，则这个三角形周长为________.7. 若某等腰三角形两边长为3cm，6cm，则这个三角形周长为________.8. 若某直角三角形两边长为3cm，4cm，则这个三角形周长为________.等腰三角形判定：____________________________________________证明线段相等的问题可用方法：首选方法证明三角形全等如果两条线段可以放到一个三角形中的话，可以转化为证明包含这两条线段的三角形是等腰三角形即可练习二：1,若点,D E 在ABC ?边BC 上，,,AD AE BD EC ==求证：ABC ?是等腰三角形2.把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由。

2018年中考数学总复习资料一、数的认识与8大运算1.1 自然数与整数自然数是从1开始的正整数，记为N. 整数包括自然数、0和负整数，记为Z.1.2 有理数有理数是整数和分数的集合，记为Q.1.3 实数实数包括有理数和无理数的集合，记为R.1.4 数的8大运算数的八大运算分别是加、减、乘、除、平方、开方、相反数和倒数。

二、代数式与方程式2.1 代数式代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，代表一个数或一类数的集合。

2.2 方程式方程式是用等号连接两个代数式的式子，其中至少有一个未知量。

2.3 一次方程式一次方程式的一般形式为ax+b=0，其中a为系数，b为常数，x为未知量。

2.4 二次方程式二次方程式的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b和c都是常数，且在a≠0的时候才有实数根。

2.5 不等式和不等式解集不等式是表达式之间的大小关系，其中包括大于、小于、大于等于和小于等于四种情况。

不等式的解集是符合不等式所代表的大小关系的数的集合。

三、几何3.1 几何基本概念点、线和面是几何基本概念。

点是没有长度、面积和体积的，用大写字母表示；线是由无数个点组成的，用小写字母表示；面是由无数个线组成的，用大写希腊字母表示。

3.2 角的概念和性质角是由两条射线公共端点组成的图形，其中公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两边。

角的大小用度数表示。

3.3 图形的周长和面积图形的周长是该图形的边界长度，面积是图形所占的平面区域的大小。

不同图形的周长和面积计算方法不同，需要分别记忆。

四、概率统计4.1 随机事件随机事件是在同样条件下可能发生，也可能不发生的事件。

4.2 事件的概率事件的概率是表示该事件发生的可能性大小，概率的取值范围为0~1之间。

4.3 随机变量随机变量是随机试验的结果，它既可以是一个数也可以是一个变量。

随机变量有离散型和连续性两种类型。

4.4 统计图表统计图表是指用图形来表示数据分布规律的图表。

初二初三暑期过渡学习资料及答案（十二）一、填空题（每小题2分）1、在实数范围内因式分解：44-x ＝ 。

2、当x 时，代数式x--13有意义。

3、6-是 的平方根。

4、若x ＝3＋2，则代数式162+-x x 的值是 。

5、比较大小：－72（填“＞、＜或＝”）6、计算：20022003)23()23(+⋅-＝ 。

7、用4米长的铁丝围成一个平行四边形，使长边与短边的比为3∶2，则长边为 米。

8、矩形ABCD 中，E 是边DC 的中点，△AEB 是等腰直角三角形，矩形ABCD 的周长是24，则矩形的面积是 。

9、正方形的面积为2㎝2，则对角线的长是 。

10、在26个英文大写字母中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数共有 个。

11一个多边形除一个内角外，其余各内角的和等于2000°，则这个内角应等于 度。

12观察图形：图中是边长为1，2，3 …的正方形：当边长n ＝1时，正方形被分成2个全等的小等腰直角三角形； 当边长n ＝2时，正方形被分成8个全等的小等腰直角三角形；当边长n ＝3时，正方形被分成18个全等的小等腰直角三角形；…… 以此类推：当边长为n 时，正方形被分成全等的小等腰直角三角形的个数是 。

二、选择题（每小题3分）13、已知：6.3、－327-、π、－3.14、2)5(-、0.101001000…，其中无理数的个数有（ ）A 、 2 个B 、3 个C 、 4 个D 、5个 14、下列结论中正确的是（ ）A 、实数分为正实数和负实数B 、没有绝对值最小的实数C 、实数a 的倒数是a1 D 、当n 为奇数时，实数的n 次方根有且仅有一个。

15、把21)2(--a a 根号外的因式移入根号内化简，得到的结果是（ ）A 、2-aB 、a -2C 、－2-aD 、－a -2 16、一个直角三角形的两条边是3㎝和4㎝，则第三边长是（ ）A 、5㎝B 、7 ㎝C 、5㎝或7㎝ D 、不能确定17、不等边的两个全等三角形可以拼成不同的平行四边形的个数是（ ）A 、2 个B 、3 个C 、4 个D 、5 个 18、下列命题正确的是（ ）A 、对角线相等的四边形是矩形B 、对角线垂直的四边形是菱形C 、对角线互相垂直平分的四边形是矩形D 、对角线相等的菱形是正方形19、从平行四边形的各顶点作对角线的垂线，则顺次连结四个垂足所成的四边形是（ ）A 、任意四边形B 、平行四边形C 、矩形D 、菱形20、如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∠C ＝30°，BC ＝4㎝，则四边形AEDF 的周长是（ ）A 、4㎝B 、34㎝C 、)32(+㎝ D 、)322(+㎝FED CBA21、以线段a ＝16，b ＝13，c ＝10，d ＝6为边构造四边形，且使a ∥c ，则这样的四边形可作（ ）A 、1个B 、2个C 、无数多个D 、0个三、化简题（每题4分）22、n m n m b a b a 1052⋅⋅ 23、1--b b b (b ≥0且b ≠1)四、计算题（每题4分） 24、451－491＋2)21(- 25、(3－2)2·(5＋26) 26、y x 3÷2y x·553y x 五、先化简，再求值（本题6分）27、)2(365222-+⋅-+-m m m m m m m 其中154-=m六、（本题6分）28、已知，一张矩形纸片ABCD 的边长分别为9㎝和3㎝，把顶点A 和C 叠合在一起，得折痕EF （如图）①猜想四边形AECF 是什么四边形，并证明你的猜想。

八耳怨升九耳怨來席复司资抖第一部今今式【知识网络】厂I分式的基本性质-式舷1-—份式乘除因呵[5)^]_ L分式加减原T|Lpy^wbrl分式帶的解法I1--------- 斗分式方程的应甬卜【思想方法】1.转化思想转化是i种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题, 把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等.2.建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题---------------- 分式方程模型------ 求解------- 解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.3.类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程.第一讲今式的运篇【知识要点】1.分式的概念以及基本性质； 2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幕的运算法则h/? + 个【主要公式】1 •同分母加减法则：一±上二二4口#0)a a a八o八厂丄亠、亠z b , d be , da be 土 da(门八2.异分母加减法则：一土一 = 一±— = ------------- (Q主0,c主0);a c ac ac ac八亠丄jm、亠—c人、亠 b d hd h c h d hd3.分式的乘法与除法：一•一 = —, —a c ac a d a c ac4.同底数幕的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幕的乘法与除法；r・r二尹；aT『乞…6.积的乘方与幕的乘方：(ab)m= a m b n, (a m)n= a mn7.负指数幕：a化丄cTP = (-Y a°=1 (a不为0)a1a8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b) (a~b)= a2- b2 ; (a±b)2= a2±2ab+b2(一八3、式定丈及韦关龜哩题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：兰丄—上工，是分式的有: 龙 2 Q a + b 题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义(1)- (2) (3) -^―x + 4 宀2x 2-l练习:1. 当x 取何值时，下列分式有意义:2. 当x 为何值时，下列分式的值为零:3. 解下列不等式(二丿今式的基瘁世质及韦矣題型1分式的基本性质：令鍔.鍔题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当X取何值时，下列分式的值为0.(1)口 (2)x+3广-4题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式丄为正； 8-x分式 ‘7 、为负; 3 + (x-l)2分式口为非负数.x + 3 【例4】(1)当x为何值时, (2)当x为何值时, (3)当x 为何值吋,(3)_ 2兀 _3 — 5x — 6(4)卅(5)兀一-(1)(3)(1) x + 4(2) 25-Fx 2- 6x + 5 (1)(2)J* >0 x 2+2x + 3x题型二：分数的系数变号题型三：化简求值题【例3】已知：丄+ 1 = 5,求2x-3卩+ 2尹的值x y x + 2xy + y 提示：整体代入，①X +尸3卩，②转化出丄+丄.兀 y【例4】已知：兀-丄=2,求F+亠的值.X *【例5】若|x_尹+ l|+(2x_3)2 =0,求 ------------- 的值.4x 一 2y 练习：1.不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.(|、0.03x - 0.2y0.08x + 0.5y30Aa + -b⑵1 1a ---- b4102. 已知：x +丄=3,求 一的值.X X 4 +X* +1a-b +b -b b 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.2.分式的变号法则: -a -a(1) 1 2x — y 2 3 1 1 -x +— y 3 4(2)0・2a — 0・03b0.04a + b【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子.分母的首项的符号变为正号.-x+ y -x- y(3)-a3.已知：丄-丄=3,求2o + 3〃-2b的值a b b-ab-a4.若/+2Q +/>2 _6b + io = o,求的值3a + 5b5.如果l<x<2,试化简上二丄+凶.2-x| x-11 x(三丿今式的运翼1.确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，収各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕.2.确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幕.题型一：通分【例1］将下列各式分别通分.(1)___ 匕 ___ ；(2)」_______ ；-2ab ' 3a2 c -5b2c a_b 2b-2a题型二：约分【例2】约分:题型三：分式的混合运算n2 - m2(3)+ x - 2 x2-x-6【例3】计算：2 > ?(―)3-(^—)2 —c - ab ⑵(斗.(宀宀戶)2；x + y y + x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值(1)已知：求卫=的值;2 34 x 2 +y 2 +z 2(2)已知：Q 2-3Q + 1=0,试求(°2 ——)(d - 丄)的值.cr a题型五：求待定字母的值【例5】若沽=岛+占试求“的值•2. 先化简后求值帛其中。

第一讲一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。

其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：如果方程(x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。

2018年中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00,πφa a a a a a（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

初二初三暑期过渡学习资料及答案 初二初三暑期过渡学习资料及答案（五）一、填空题：（每题2分；共30分） 1、4的平方根是 。

2、3－1的倒数是 。

3、已知536.136.2=，则23600＝ 。

4、当x 时，2+x 在实数范围内有意义。

5、一个多边形的内角和等于10800，则它的边数是 。

6、已知=+=yy x y x 则,52 。

7、一个菱形的两条对角线长分别为6cm ，8cm 。

这个菱形的面积为 cm 2。

8、如果两个相似三角形对应中线的比为4∶5，那么这两个相似三角形的面积比是 。

9、如图：如果∠AEF ＝∠C ，那么△AEF ∽ 。

FECB AE DCB A10、如图：△ABC 中，DE//BC ，则AD ∶DB ＝ 。

11、化简：271＝ 。

12、多项式4322+-x x 的一次项系数为 。

13、如果线段a ＝2，且a 、b 的比例中项为14，那么线段b ＝ 。

14、梯形的上底长为3cm ，下底长为5cm ，则它的中位线长为 cm 。

15、当a ＜2时，化简aa a -+-2442＝ 。

二、选择题：（每题3分，共24分） 1、下列运算正确的是（ ）A 、632=⨯ B 、532=+ C 、3232=÷ D 、4787= 2、下列说法中不正确的是（ ）A 、－1的立方是－1B 、－1的立方根是－1C 、222-=-)(D 、2是无理数 3、下列语句正确的是（ ）A 、两条对角线相等的梯形是等腰梯形；B 、对角线相等的四边形是矩形；C 、两条对角线垂直且相等的四边形是正方形；D 、对角线互相垂直的四边形是菱形； 4、下列图形既是轴对称又是中心对称的图形是（ ）A 、平行四边形；B 、矩形；C 、等边三角形；D 、等腰梯形。

5、下列说法中正确的是（ ）A 、无理数包括正无理数，零和负无理数；B 、2与50是同类二次根式；C 、27是最简二次根式；D 、4是无理数。

6、能判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是（ ）A 、AB ∥CD ，AD ＝BC ； B 、∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D ； C 、AB ＝AD ，∠B ＝∠D ； D 、AB ＝CD ，AD ＝BC ； 7、下列判断正确的是（ ）A 、△ABC 和△CB A '''中∠A ＝400，∠B ＝700，∠A '＝400，∠C '＝800则可判定两三角形相似；B 、有一锐角对应相等的两个直角三角形相似；C 、所有的矩形都相似；D 、所有的菱形都相似。

第六讲列方程解应用题【学习目标】1、学会分析具体问题中的数量关系，建立数学模型并解决实际问题2、加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养【知识要点】1、一元二次方程的解法：①配方法；②公式法；③十字相乘法。

2、列方程解应用题的一般步骤：（1）要读懂题目中的关键词以及所涉及的运算；（2）用字母x表示未知数，并准确的用含有x的代数式表示题目中涉及的量；（3）努力找出相等关系，列出方程并求出其根；（4）结合实际情况选择恰当的根。

【典型例题】例1、台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？⑴甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米．解：设道路宽为x米，根据题意，得答：本方案的道路宽为米．⑵乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米．解：设道路宽为x米，根据题意，得答：本方案的道路宽为米．⑶丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．解：设道路宽为x米，根据题意，得3220图1图2例2、某乡产粮大户，1995年粮食产量为50吨，由于加强了经营和科学种田，1997年粮食产量上升到60.5吨．求平均每年增长的百分率．例3、有一件工作，如果甲、乙两队合作6天可以完成；如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需几天完成?例4、某商店将每件进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？例5、有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。

如把十位上的数字和个位上的数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数，就得到1855。

求原来的两位数。

例6、甲、乙二人分别从相距20km的A、B两地以相同的速度同时相向而行。

⼋升九暑期数学衔接资料说明本套资料是结合现今最新版中学⽣数学教材为主线编纂的⼀套课外数学暑假衔接教材。

共分12讲，主要编排思路是按照“4、7、1模式”进⾏安排，即4次复习，7次预习和1次检测。

除检测之外，其它每⼀讲内容都由知识结构、例题解析和变式练习三部分组成，每⼀讲并配有⼗⼏道相应的同步习题。

暑假时间较长，学⽣对上期所学知识容易遗忘，本套学习资料能够使每⼀位初中⽣将所学旧知识点和新学期要学的新知识点起到有效的衔接作⽤。

希望拥有此书的学⼦，在漫长的暑假期间，快乐的过暑假的同时，不要忘记做到有效的复习和预习。

此书将是你的好帮⼿。

精诚培优初中组⽬录复习部分1 全等三⾓形和轴对称 (1)2 整式乘除和因式分解及分式 (15)3 ⼆次根式和勾股定理 (25)4 平⾏四边形和⼀次函数 (37)预习部分5 ⼀元⼆次⽅程及其解法 (54)6 根的判别式和根与系数的关系及应⽤ (74)7 ⼆次函数的图像与性质⼀ (88)8 ⼆次函数的图像与性质⼆ (98)9 待定系数法求⼆次函数的解析式 (115)10 ⽤函数观点看⼀元⼆次⽅程 (121)11 实际问题与⼆次函数 (132)检测部分12 ⼀元⼆次⽅程和⼆次函数知识检测 (141)复习部分第⼀讲全等三⾓形和轴对称【知识⽹络】【要点梳理】要点⼀、全等三⾓形的判定与性质要点⼆、全等三⾓形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS→→→→→→→→→→找夹⾓已知两边找直⾓找另⼀边边为⾓的对边找任⼀⾓找夹⾓的另⼀边已知⼀边⼀⾓边为⾓的邻边找夹边的另⼀⾓找边的对⾓找夹边已知两⾓找任⼀边⼀般三⾓形直⾓三⾓形判定边⾓边（SAS ）⾓边⾓（ASA ）⾓⾓边（AAS ）边边边（SSS ）两直⾓边对应相等⼀边⼀锐⾓对应相等斜边、直⾓边定理（HL ）性质对应边相等，对应⾓相等（其他对应元素也相等，如对应边上的⾼相等）备注判定三⾓形全等必须有⼀组对应边相等要点三、⾓平分线的性质1.⾓的平分线的性质定理⾓的平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等.2.⾓的平分线的判定定理⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上.3.三⾓形的⾓平分线三⾓形⾓平分线交于⼀点，且到三边的距离相等.4.与⾓平分线有关的辅助线在⾓两边截取相等的线段，构造全等三⾓形；在⾓的平分线上取⼀点向⾓的两边作垂线段.要点四、全等三⾓形证明⽅法全等三⾓形是平⾯⼏何内容的基础，这是因为全等三⾓形是研究特殊三⾓形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有⼒⼯具，是解决与线段、⾓相关问题的⼀个出发点.运⽤全等三⾓形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、⾓相等、两直线位置关系等常见的⼏何问题.可以适当总结证明⽅法.1．证明线段相等的⽅法：(1) 证明两条线段所在的两个三⾓形全等.(2) 利⽤⾓平分线的性质证明⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明⾓相等的⽅法：(1) 利⽤平⾏线的性质进⾏证明.(2) 证明两个⾓所在的两个三⾓形全等.(3) 利⽤⾓平分线的判定进⾏证明.(4) 同⾓（等⾓）的余⾓（补⾓）相等.(5) 对顶⾓相等.3．证明两条线段的位置关系（平⾏、垂直）的⽅法：可通过证明两个三⾓形全等，得到对应⾓相等，再利⽤平⾏线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三⾓形；(2)倍长中线法；(3)作以⾓平分线为对称轴的翻折变换全等三⾓形；(4)利⽤截长(或补短)法作旋转变换的全等三⾓形.5. 证明三⾓形全等的思维⽅法:（1）直接利⽤全等三⾓形判定和证明两条线段或两个⾓相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个⾓所在的两个三⾓形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个⾓所在的三⾓形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三⾓形全等以补⾜条件.（3）如果现有图形中的任何两个三⾓形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三⾓形，通过构造出全等三⾓形来研究平⾯图形的性质.【巩固练习】⼀.选择题1. 下列命题中, 错误的命题是( )A.两边和其中⼀边上的中线对应相等的两个三⾓形全等B.两边和第三边上的⾼对应相等的两个三⾓形全等C.两边和第三边上的中线对应相等的两个三⾓形全等D.两边和其夹⾓对应相等的两个三⾓形全等2. 如图, 在∠AOB的两边上截取AO ＝ BO, CO ＝ DO, 连结AD、BC交于点P. 则下列结论正确的是( )①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上A. 只有①B. 只有②C. 只有①②D. ①②③3. 如图, AB∥CD, AC∥BD, AD与BC交于O, AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, 那么图中全等的三⾓形有( )A. 5对B. 6对C. 7对D. 8对4．如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上⼀点，AD＝AB，则（）．A．∠1＝∠EFD B． FD∥BC C．BF ＝DF＝CD D．BE＝EC5. 如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（）A.20°B.30°C.40°D.150°6. 根据下列条件能画出唯⼀确定的△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D.∠C＝90°，AB＝AC＝67. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同⼀条直线上.下⾯的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个8. 如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的⾯积S是（）A．50 B．62 C．65 D．68⼆.填空题9. 在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满⾜条件的E点的坐标．10. 如图，△ABC中，H是⾼AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE 的周长为_________.12. 如图，△ABC中，∠C＝90°，ED∥AB，∠1＝∠2，若CD＝1.3cm，则点D到AB边的距离是_______.13. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三⾓形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______.15. △ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC平分线，交BC于点D，且DC：DB＝3:5，则点D 到BA的距离是_______.16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的⼀条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝_______.三.解答题17．如图所⽰，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的⾓平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18. 在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.19. 如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.。

8年级升九年级暑假知识点暑假即将到来，对于即将升入九年级的同学们来说，这段时间是巩固和扩展知识的好机会。

为了帮助大家度过一个高效而充实的暑假，下面是一些重要的知识点供大家参考。

1. 数学知识点1.1 代数- 线性方程组- 一元二次方程- 图示方程解- 分式方程1.2 几何- 平面图形的性质- 三角形的性质- 直线和角的关系- 圆的性质1.3 数据与统计- 读取和理解表格、图表- 平均值、中位数、众数- 概率与统计2. 英语知识点2.1 语法- 时态与语态- 名词、代词、动词等基础语法- 定语从句和状语从句- 宾语从句和主语从句2.2 阅读理解- 短文理解- 主旨概括- 推理判断2.3 写作- 书面表达- 作文写作技巧- 语言表达的准确性和流畅性3. 物理知识点3.1 力学- 物体的运动- 力的概念与计算- 牛顿三定律- 力的合成与分解3.2 光学- 光的传播与反射- 光的折射与色散- 成像与光学仪器3.3 电学- 电流与电路- 电阻与电功率- 并联与串联电路- 电磁感应与发电4. 生物知识点4.1 细胞学- 细胞的结构与功能- 细胞膜与细胞器的作用- 细胞分裂与遗传变异4.2 生物多样性- 动植物分类- 物种形成与进化- 生态系统与生态平衡4.3 人体生物学- 五官与感觉器官- 呼吸与循环系统- 消化与排泄系统- 生殖与发育以上仅是涉及到的一些主要知识点，希望同学们在暑假期间能够认真复习和掌握。

除了针对具体的学科知识，同学们还可以加强阅读和写作练习，提高语言表达和思维能力。

在复习期间，合理安排时间并制定学习计划是非常重要的。

每天保持一定的学习时间，并结合课外活动进行知识的巩固和运用。

同时，可以寻找一些题型和考试样卷进行模拟练习，提高解题能力和时间管理能力。

希望大家能够在暑假期间充实自己，为即将到来的九年级打下扎实的基础。

祝愿大家度过一个愉快、有意义的暑假！。