[2020高中数学]成才之路人教A版数学必修1练习1-1-3-1

高中数学 1-1-3-3 习题课能力强化提升 新人教A 版必修1一、选择题1．(2012～2013河南安阳一中月考试题)如果集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0}只有一个元素则a 的值是( )A ．0B ．0或1C ．－1D ．0或－1[答案] D[解析] 若a ＝0则方程只有一根－12若a ≠0则方程只有一根应满足Δ＝0即4＋4a ＝0.∴a ＝－1故选D.2．(2012～2013广东惠州调研)集合M ＝{4,5，－3m }，N ＝{－9,3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．3或－1B ．3C ．3或－3D ．－1[答案] A[解析] ∵M ∩N ≠∅，∴－3m ＝－9或－3m ＝3，∴m ＝3或－1，故选A. 3．设A 、B 、C 为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠C D ．A ＝∅[答案] A[解析] ∵A ∪B ＝B ∩C ⊆B ， 又B ⊆A ∪B ，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆A ∪B ＝B ∩C ，且B ∩C ⊆B ， ∴B ∩C ＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .4．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N )＝( ) A ．{5,7} B ．{2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,3,5,6,7}[答案] C[解析] ∵M ∪N ＝{1,3,5,6,7}，U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U (M ∪N )＝{2,4,8}． 5．(胶州三中2012～2013学年高一期末测试)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x <3}，N ＝{x |－1≤x ≤4}，则N ∩∁U M ＝( )A ．{x |－4≤x ≤－2}B ．{x |－1≤x ≤3}C ．{x |3≤x ≤4}D ．{x |3<x ≤4}[解析]∁U M＝{x|x<－2或x≥3}，N∩∁U M＝{x|3≤x≤4}．6．集合M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩∁R M≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是( )A．{a|a≤3} B．{a|a>－2}C．{a|a≥－2} D．{a|－2≤a≤2}[答案] C[解析]∁R M＝{x|－2≤x<3}．结合数轴可知．a≥－2时，N∩∁R M≠∅.7．设P＝{3,4}，Q＝{5,6,7}，集合S＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则S中元素的个数为( ) A．3 B．4C．5 D．6[答案] D[解析]S＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D.8．(2012～2013·陕西模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B ＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析]因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．二、填空题9．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，且A∩B≠∅，则实数a的取值集合为________．[答案]{a|a≥－1}[解析]利用数轴标出两集合可直接观察得到．10．(河北孟村回民中学2012～2013学年月考试题)U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，∁U A＝{1}，则p＋q＝________.[答案]0[解析]由∁U A＝{1}，知A＝{2}即方程x2＋px＋q＝0有两个相等根2，∴p＝－4，q＝4，11．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________．[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈A ∩B ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}．12．已知A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |x 2＋4x ＋p ＝0}，若B ⊆A ，则实数p 的取值范围是________．[答案] p >4[解析] A ＝{－1,2}，若B ＝A ，则2＋(－1)＝－4矛盾；若B 是单元素集，则Δ＝16－4p ＝0∴p ＝4∴B ＝{－2}A .∴B ＝∅，∴p >4. 三、解答题13．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．[解析] 如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}． 由此求得(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．[评注] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现．14．(2012～2013山东鱼台一中月考试题)集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若A∩B≠∅，A∩C＝∅，求实数a的值．[解析]B＝{x|x2－5x＋t＝0}＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{x|(x－2)(x＋4)＝0}＝{2，－4}，∵A∩B≠∅，A∩C＝∅，∴3∈A，将x＝3代入x2－ax＋a2－19＝0得：a2－3a－10＝0解得a＝5或－2当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6}＝{2,3}与A∩C＝∅矛盾当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}符合题意综上a＝－2.15．设全集U＝R，集合A＝{x|－5<x<4}，集合B＝{x|x<－6或x>1}，集合C＝{x|x－m<0}，求实数m的取值范围，使其分别满足下列两个条件：①C⊇(A∩B)；②C⊇(∁U A)∩(∁U B)．[解析]∵A＝{x|－5<x<4}，B＝{x|x<－6或x>1}，∴A∩B＝{x|1<x<4}．又∁U A＝{x|x≤－5或x≥4}，∁U B＝{x|－6≤x≤1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|－6≤x≤－5}．而C＝{x|x<m}，∵当C⊇(A∩B)时，m≥4，当C⊇(∁U A)∩(∁U B)时，m>－5，∴m≥4.16．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6<x<6}，求A－(A－B)和B－(B－A)．[解析](1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A－B＝{1}．(2)不一定相等，由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，故A－B≠B－A.又如，A＝B＝{1,2,3}时，A－B＝∅，B－A＝∅，此时A－B＝B－A，故A－B与B－A不一定相等．(3)因为A－B＝{x|x≥6}，B－A＝{x|－6<x≤4}，A－(A－B)＝{x|4<x<6}，B－(B－A)＝{x|4<x<6}．。

2.1.1.1一、选择题1．下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4a 4＝a C.22＝2D ．a 0＝1[答案] C[解析] 由根式的意义知A 错；4a 4＝|a |,故B 错；当a ＝0时,a 0无意义,故D 错． 2．化简－x 3x 的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x[答案] A[解析] 由条件知,－x 3>0,∴x <0,∴－x 3x ＝|x |·－x x ＝－x －xx＝－－x .3．设n ∈N ＋,则18[1－(－1)n ]·(n 2－1)的值( )A ．一定是零B ．一定是偶数C ．是整数但不一定是偶数D ．不一定是整数 [答案] B[解析] 当n 为奇数时,设n ＝2k －1,k ∈N ＋,18[1－(－1)n ]·(n 2－1)＝18×2×[(2k －1)2－1]＝14(4k 2－4k )＝k (k －1)是偶数 当n 为偶数时,设n ＝2k ,k ∈N ＋,18[1－(－1)n ]·(n 2－1)＝0是偶数,∴选B.4．化简(x ＋3)2－3(x －3)3得( ) A ．6B ．2xC ．6或－2xD ．－2x 或6或2[答案] C[解析] 原式＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6 x ≥－3－2x x <－3. 5．已知x ＝1＋2b ,y ＝1＋2－b ,若y ＝f (x ),那么f (x )等于( ) A.x ＋1x －1 B.x －1xC.x －1x ＋1D.x x －1[答案] D[解析] 因为x ＝1＋2b ,∴2b ＝x －1,所以y ＝1＋2－b ＝1＋2b 2b ＝x x －1.即f (x )＝xx －1,故选D.6．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示,则f 2(1)的值为( )A ．2bB ．a －b ＋cC ．－2bD ．0[答案] C[解析] 由图象开口向下知,a <0. 又f (－1)＝a －b ＋c ＝0,∴b ＝a ＋c , 又－b2a <0,∴b <0,∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝2b , ∴f 2(1)＝|2b |＝－2b .7．若xy ≠0,那么等式4x 2y 3＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0,y >0 B ．x >0,y <0 C ．x <0,y >0D ．x <0,y <0[答案] C[解析] ∵xy ≠0,∴x ≠0,y ≠0,由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2y 3>0－2xy >0y >0得,⎩⎨⎧x <0y >0. 8．当n <m <0时,(m ＋n )－m 2－2mn ＋n 2＝( ) A ．2mB ．2nC ．－2mD ．－2n[答案] B [解析] (m ＋n )－m 2－2mn ＋n 2＝(m ＋n )－|m －n |＝(m ＋n )－(m －n )＝2n . 9.11－230＋7－210＝( ) A.6＋2－2 5 B.2－ 6 C.6－ 2D ．25－6－ 2[答案] C [解析] 11－230＋7－210 ＝6－230＋5＋5－210＋2＝(6－5)＋(5－2)＝6－ 2. 10．化简a －1＋b －1a －1b －1＝( )A ．ab B.ab C ．a ＋bD ．a －b[答案] C[解析] 先把负整数指数幂化为正整数指数幂,得到熟悉的繁分式再化简． 原式＝1a ＋1b 1a ·1b ＝ab (1a ＋1b )ab ·1a ·b ＝b ＋a .二、填空题11．已知a ＋a －1＝3,则a 2＋a －2＝__________. [答案] 7[解析] a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝7.12.x＋yx＋y＋2xyx y＋yx＝__________.[答案]x＋y[解析]原式＝x＋yx＋y＋2xyxy(x＋y)＝x＋yx＋y＋2xyx＋y＝(x＋y)2x＋y＝x＋y.13．已知15＋4x－4x2≥0,化简：4x2＋12x＋9＋4x2－20x＋25＝________.[答案]8[解析]由15＋4x－4x2≥0得：－32≤x≤524x2＋12x＋9＋4x2－20x＋25＝|2x＋3|＋|2x－5|＝2x＋3＋5－2x＝8.14．已知2a＋2－a＝3,则8a＋8－a＝________.[答案]18[解析]8a＋8－a＝(2a)3＋(2－a)3＝(2a＋2－a)(22a＋2－2a－1)＝3[(2a＋2－a)2－3]＝18.三、解答题15．化简y＝4x2＋4x＋1＋4x2－12x＋9,并画出简图．[解析]y＝4x2＋4x＋1＋4x2－12x＋9＝|2x＋1|＋|2x－3|＝⎩⎪⎨⎪⎧4x－2(x≥32)4(－12<x<32)2－4x(x≤－12)其图象如图．16．若x>0,y>0,且x(x＋y)＝3y(x＋5y),求2x＋2xy＋3yx－xy＋y的值．[解析] 将条件式展开整理得x －2xy －15y ＝0. 分解因式得(x ＋3y )(x －5y )＝0, ∵x >0,y >0,∴x ＝5y , ∴x ＝25y ,∴2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y ＝50y ＋225y 2＋3y 25y －25y 2＋y ＝3.17．已知x ＝12(ab ＋b a ),(a >b >0),求2ab x －x 2－1的值． [解析] ∵x ＝12⎝⎛⎭⎫a b＋b a ＝12⎝⎛⎭⎫ab b ＋ab a ＝ab (a ＋b )2ab ＝a ＋b 2ab , 又a >b >0, ∴原式＝2aba ＋b2ab－(a ＋b )24ab－1＝2ab a ＋b 2ab －a －b 2ab＝4ab2b＝2a .[点评] 若把条件a >b >0改为a >0,b >0则由于x 2－1＝|a －b |2ab,故须分a ≥b ,a <b 进行讨论． 18．已知f (x )＝e x －e －x ,g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )f (y )＝4,g (x )g (y )＝8,求g (x ＋y )g (x －y )的值．[解析] (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )] ＝2·e x ·(－2e －x )＝－4e 0＝－4. (2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y ) ＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )－e x －y －e －(x －y ) ＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4①同法可得g (x )g (y )＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8. ②解由①②组成的方程组得,g (x ＋y )＝6,g (x －y )＝2.∴g (x ＋y )g (x －y )＝62＝3.。

1.3.1.2一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋7 x ∈[－1，1],则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对[答案] A[解析] 分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者,最小值为各段上最小值中的最小者．当1≤x ≤2时,8≤2x ＋6≤10, 当－1≤x ≤1时,6≤x ＋7≤8. ∴f (x )min ＝f (－1)＝6, f (x )max ＝f (2)＝10. 故选A.2．函数y ＝x |x |的图象大致是( )[答案] A[解析] y ＝⎩⎨⎧x 2 x ≥0－x 2 x <0,故选A.3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量x 单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元[答案] C[解析] 设公司在甲地销售x 辆(0≤x ≤15,x 为正整数),则在乙地销售(15－x )辆,∴公司获得利润 L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30.∴当x ＝9或10时,L 最大为120万元． 故选C.[点评] 列函数关系式时,不要出现y ＝－x 2＋21x ＋2x 的错误． 4．已知f (x )在R 上是增函数,对实数a 、b 若a ＋b ＞0,则有( ) A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b ) D ．f (a )－f (b )＜f (－a )＋f (－b ) [答案] A[解析] ∵a ＋b ＞0 ∴a ＞－b 且b ＞－a ,又y ＝f (x )是增函数 ∴f (a )＞f (－b ) 且f (b )＞f (－a )故选A.5．(河南郑州市智林学校2009～2010高一期末)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1][答案] D[解析] ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数,∴a ≤1, 又∵g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数,∴a >0,∴0<a ≤1.6．函数y ＝3x ＋2x －2(x ≠2)的值域是( )A ．[2,＋∞)B ．(－∞,2]C ．{y |y ∈R 且y ≠2}D ．{y |y ∈R 且y ≠3}[答案] D[解析] y ＝3x ＋2x －2＝3(x －2)＋8x －2＝3＋8x －2,由于8x －2≠0,∴y ≠3,故选D.7．函数y ＝f (x )的图象关于原点对称且函数y ＝f (x )在区间[3,7]上是增函数,最小值为5,那么函数y＝f(x)在区间[－7,－3]上()A．为增函数,且最小值为－5B．为增函数,且最大值为－5C．为减函数,且最小值为－5D．为减函数,且最大值为－5[答案] B[解析]由题意画出示意图,如下图,可以发现函数y＝f(x)在区间[－7,－3]上仍是增函数,且最大值为－5.8．函数y＝|x－3|－|x＋1|有()A．最大值4,最小值0B．最大值0,最小值－4C．最大值4,最小值－4D．最大值、最小值都不存在[答案] C[解析]y＝|x－3|－|x＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4(x≥3)2－2x(－1＜x＜3)4(x≤－1),因此y∈[－4,4],故选C.9．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1,则()A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(1)<f(－1)<f(2)[答案] B[解析]因为二次函数图象的对称轴为直线x＝1,所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线,知f(x)在区间[1,＋∞)上为增函数,故f(1)<f(2)<f(3)＝f(－1)．故选B.10．(08·重庆理)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ,最小值为m ,则mM的值为( )A.14 B.12 C.22D.32[答案] C[解析] ∵y ≥0,∴y ＝1－x ＋x ＋3＝4＋2(x ＋3)(1－x ) (－3≤x ≤1),∴当x ＝－3或1时,y min ＝2,当x ＝－1时,y max ＝22,即m ＝2,M ＝22,∴m M ＝22.二、填空题11．函数y ＝－x 2－10x ＋11在区间[－1,2]上的最小值是________． [答案] －13[解析] 函数y ＝－x 2－10x ＋11＝－(x ＋5)2＋36在[－1,2]上为减函数,当x ＝2时,y min ＝－13.12．已知函数f (x )在R 上单调递增,经过A(0,－1)和B(3,1)两点,那么使不等式|f (x ＋1)|<1成立的x 的集合为________．[答案] {x |－1<x <2}[解析] 由|f (x ＋1)|<1得－1<f (x ＋1)<1,即f (0)<f (x ＋1)<f (3),∵f (x )在R 上是增函数, ∴0<x ＋1<3∴－1<x <2∴使不等式成立的x 的集合为{x |－1<x <2}．13．如果函数f (x )＝－x 2＋2x 的定义域为[m ,n ],值域为[－3,1],则|m －n |的最小值为________．[答案] 2[解析] ∵f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1,当m ≤x ≤n 时,－3≤y ≤1,∴1∈[m ,n ], 又令－x 2＋2x ＝－3得,x ＝－1或x ＝3, ∴－1∈[m ,n ]或3∈[m ,n ],要使|m －n |最小,应取[m ,n ]为[－1,1]或[1,3],此时|m －n |＝2. 三、解答题14．求函数f (x )＝－x 2＋|x |的单调区间．并求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大、小值．[解析] 由于函数解析式含有绝对值符号,因此先去掉绝对值符号化为分段函数,然后作出其图象,由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．①∵f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x ≥0)－x 2－x (x ＜0)即f (x )＝⎩⎨⎧－(x －12)2＋14(x ≥0)－(x ＋12)2＋14(x ＜0)作出其在[－1,2]上的图象如右图所示由图象可知,f (x )的递增区间为(－∞,－12)和[0,12],递减区间为[－12,0]和[12,＋∞)．②由图象知：当x ＝－12或12时,f (x )max ＝14,当x ＝2时,f (x )min ＝－2.15．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2(0≤x ≤400)，80000 (x ＞400)，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[解析] (1)设月产量为x 台,则总成本为u (x )＝20000＋100x ,从而f (x )＝R (x )－u (x ), 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20000(0≤x ≤400)，60000－100x (x ＞400).(2)当0≤x ≤400时,f (x )＝－12(x －300)2＋25000,∴当x ＝300时,有最大值25 000；当x ＞400时,f (x )＝60000－100x 是减函数,f (x )＜60000－100×400＝20 000.∴当x ＝300时,f (x )的最大值为25 000.答：每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25 000元． 16．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2,＋∞)),(1)证明函数f (x )为增函数． (2)求f (x )的最小值．[解析] 将函数式化为：f (x )＝x ＋3x ＋2①任取x 1,x 2∈[2,＋∞),且x 1＜x 2, f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－3x 1x 2)．∵x 1＜x 2, ∴x 1－x 2＜0,又∵x 1≥2,x 2＞2,∴x 1x 2＞4,1－3x 1x 2＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即：f (x 1)＜f (x 2)． 故f (x )在[2,＋∞)上是增函数． ②当x ＝2时,f (x )有最小值112.。

1.2.2.2一、选择题1．集合A ＝{a ,b ,c },B ＝{d ,e }则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．9[答案] C[解析] 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎨⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d c →e b →e⎩⎪⎨⎪⎧c →d c →ea →e ⎩⎨⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d c →e b →e⎩⎪⎨⎪⎧c →dc →e 共8个．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3 (x ＞0)，1 (x ＝0)，x ＋4 (x ＜0).则f (f (f (－4)))＝( ) A ．－4 B ．4 C ．3D ．－3[答案] B[解析] f (－4)＝(－4)＋4＝0, ∴f (f (－4))＝f (0)＝1,f (f (f (－4)))＝f (1)＝12＋3＝4.故选B.3．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴有交点,则实数m 的范围是( ) A ．m ＞－1 B ．m ＞1 C ．m ≥－1 D ．m ≥1[答案] C[解析] f (x )＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴有交点,即方程－x 2＋2x ＋m ＝0有实根,∴Δ≥0即4＋4m ≥0,∴m ≥－1,故选C.4．下列从P 到Q 的各对应关系f 中,不是映射的是( ) A ．P ＝N ,Q ＝N *,f ：x →|x －8|B ．P ＝{1,2,3,4,5,6},Q ＝{－4,－3,0,5,12},f ：x →x (x －4)C ．P ＝N *,Q ＝{－1,1},f ：x →(－1)xD ．P ＝Z ,Q ＝{有理数},f ：x →x 2 [答案] A[解析] 对于选项A,当x ＝8时,|x －8|＝0∉N *, ∴不是映射,故选A. 5．给出下列四个命题：(1)若A ＝{整数},B ＝{正奇数},则一定不能建立从集合A 到集合B 的映射； (2)若A 是无限集,B 是有限集,则一定不能建立从集合A 到集合B 的映射； (3)若A ＝{a },B ＝{1,2},则从集合A 到集合B 只能建立一个映射； (4)若A ＝{1,2},B ＝{a },则从集合A 到集合B 只能建立一个映射． 其中正确命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] B[解析] 对于(1)f ：A →B 对应法则f ：x →2|x |＋1故(1)错；(2)f ：R →{1},对应法则f ：x →1,(2)错；(3)可以建立两个映射,(3)错；(4)正确,故选B.6．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 x ∈[－1，1]x x ∉[－1，1],若f [f (x )]＝2,则x 的取值范围是( )A ．∅B ．[－1,1]C ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)D ．{2}∪[－1,1] [答案] D[解析] 首先当x ＝2时,f (2)＝2, ∴f [f (2)]＝2,其次当x ∈[－1,1]时,f (x )＝2, ∴f [f (x )]＝2.7．已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (0)＝0,则f (4)的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．12 D ．20[答案] C[解析] 由f (1)＝f (0)＝0得到：1＋p ＋q ＝0①,q ＝0②,由①和②联立解得p ＝－1,q ＝0.于是f (x )＝x 2－x ,则f (4)＝42－4＝12.8．某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )[答案] D[解析] t ＝0时,该学生到学校的距离为d 0,排除A 、C,随着跑步开始,此学生到学校距离迅速缩短,而转入步行后,此学生到学校距离继续缩短,但较跑步时缩的慢了,∴选D9．某产品的总成本y (万元)与产量x 之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2,x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时的最低产量为( )A ．25台B ．75台C ．150台D ．200台[答案] C[解析] 由题意得：y ≤25x 得3000＋20x －0.1x 2≤25x ∴x 2＋50x －30000≥0解得：x ≥150或x ≤－200 又0＜x ＜240,∴150≤x ＜240,最低产量为150台．10．定义域为R 的函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝2x ＋1,则f (x )＝( ) A ．－2x ＋1B ．2x －13C ．2x －1D ．－2x ＋13[答案] D[解析] ∵f (x )＋2f (－x )＝2x ＋1 (x ∈R ) ∴f (－x )＋2f (x )＝－2x ＋1, 消去f (－x )得,f (x )＝－2x ＋13.二、填空题11．(2010·陕西文,13)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ,则实数a ＝________.[答案] 2[解析] 由题意得,f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ,a ＝2.12．已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数,且φ(13)＝16,φ(1)＝8,则φ(x )的表达式为________．[答案] 3x ＋5x[解析] 设f (x )＝kx (k ≠0),g (x )＝mx (m ≠0)则φ(x )＝kx ＋m x,由题设⎩⎪⎨⎪⎧k 3＋3m ＝16k ＋m ＝8解之得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3m ＝5,∴φ(x )＝3x ＋5x.三、解答题13．在国内投寄外埠平信,每封信不超过20克重付邮资80分,超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x (0≤x ≤40)克重的信应付的邮资y (分)与x (克)的函数关系,并求函数的定义域,然后作出函数的图象．[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ＝0)80 (0＜x ≤20)，160 (20＜x ≤40)定义域为[0,40],图象如下14．作出下列函数的图象． (1)f (x )＝2x ,x ∈Z ,且|x |≤2；[解析] (1)这个函数的定义域是集合{－2,－1,0,1,2},对应法则是“乘以2”,故它的图象由5个孤立的点(－2,－4),(－1,－2),(0,0),(1,2),(2,4)组成,函数图象如图(1)所示．(2)这个函数分为两部分, 当x ∈(0,＋∞)时,f (x )＝1, 当x ∈(－∞,0]时,f (x )＝－1,函数图象如图(2)所示．15．(1)一次函数的图象如图(1),求其解析式．(2)设二次函数的图象如图(2)所示,求此函数的解析式．[解析] (1)设y ＝kx ＋b (k ≠0),由图知过(－1,0)和(0,2)点,∴⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0b ＝2,∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝2, ∴y ＝2x ＋2.(2)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),由图知过A (－3,0)、B (1,0)、C (0,－2)三点, ∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝0c ＝－2,∴⎩⎨⎧a ＝23b ＝43c ＝－2,∴y ＝23x 2＋43x －2.[点评] 设y ＝ax 2＋bx ＋c ,由图知y ＝0时,x ＝－3或1,即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两根－3和1,故可用根与系数关系求解,也可设ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋3)(x －1)．由过(0,－2)求出a ,进而求出b 、c .16．设A ＝B ＝{(x ,y )|x ∈R ,y ∈R },f ：(x ,y )→(kx ,y ＋b )．是从集合A 到集合B 的映射,若B 中元素(6,2)在映射f 下对应A 中元素(3,1),求k ,b 的值．[解析] (3,1)对应元素为(3k,1＋b ),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＝6，b ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝1. 17．作出函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|的图象,并由图象求函数f (x )的值域． [解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 (x ≥2)1－2x (－1＜x ＜2)3 (x ≤－1)如图：由图象知函数f (x )值域为{y |－3≤y ≤3}．。

2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线． 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝±72.3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1ay ，其准线为y ＝2，∴a <0,2＝1－4a ，∴a ＝－18.4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12[答案] B[解析] 本题考查抛物线的定义．由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能[答案] B[解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y[答案] C[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意． 因为焦点坐标为(1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22D ．24[答案] A[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18， ∴|PF |＝x 0＋p2＝20.9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3B. 3C.123 D.143 [答案] B[解析] p 2＝c ＝32，∴p ＝ 3.10．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程x 21a 2＋y 21b 2＝1，y 2＝－a bx .因为a >b >0，因此1b >1a>0. 所以有椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明ax ＋by 2＝0的图象关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴，排除A. 二、填空题11．已知圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________. [答案] 4或8[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p2，圆心坐标为(－3,0)，半径为1，由题意知3－p 2＝1或p2－3＝1，∴p ＝4或p ＝8.12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________． [答案] y 2＝8－8x[解析] 设动点坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，化简得y 2＝8－8x .13．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．[答案] y 2＝－20x[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 又p ＝10，∴y 2＝－20x .14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0. ∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12，x 216－y 29＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12.|3a ±4b |＝5，解得b ＝138或b ＝78，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，138、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，78.三、解答题15．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)． ∵点M 到准线的距离为10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧62＝2px x ＋p 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1p ＝18，故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x . 当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .16．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程．(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点． 求证：OC ⊥OD (O 为原点)[解析] (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8 化简得x 2＝2y(2)将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2) 整理得x 2－2x －4＝0 可知Δ＝20>0设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4 ∵OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OC ⊥OD17．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的任意一条直线m ，交抛物线于P 1，P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切．[证明] 如下图，设P 1P 2的中点为P 0，过P 1，P 2，P 0分别向准线l 引垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 0，根据抛物线的定义，得|P 1F |＝|P 1Q 1|，|P 2F |＝|P 2Q 2|，所以|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|.因为P 1Q 1∥P 0Q 0∥P 2Q 2，|P 1P 0|＝|P 0P 2|，所以|P 0Q 0|＝12(|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|)＝12|P 1P 2|.由此可知，P 0Q 0是以P 1P 2为直径的圆P 0的半径，且P 0Q 0⊥l ，因此，圆P 0与准线相切．18．抛物线的焦点F 是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心． (1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于A ，B ，C ，D ，求|AB |＋|CD |.[解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0)．因为所求的抛物线以(2,0)为焦点，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .(2)如右图，|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |，又|BC |＝4，所以只需求出|AD |即可．由题意，AD 所在直线方程为y ＝2(x －2)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2(x －2)⇒x 2－6x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，|AD |＝|AF |＋|DF |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝6＋4＝10，所以|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝6.[点拨] 本题求出x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得|AD |＝|AF |＋|DF |＝x 1＋x 2＋p ，则简单利落．。

1.1。

1一、选择题1．方程组错误!的解集是( ）A.错误!B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7｝C ．{3，－7｝D ．{(x ，y )｜x ＝3且y ＝－7}[答案] D［解析］ 解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋y ＝2，2x －3y ＝27得错误! 用描述法表示为｛（x ，y ）｜x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为｛（3,－7)｝，故选D 。

2．集合A ＝{x ∈Z ｜y ＝错误!，y ∈Z }的元素个数为（ ）A ．4B ．5C ．10D ．12［答案］ D［解析] 12能被x ＋3整除．∴y ＝±1,±2，±3，±4，±6，±12，相应的x 的值有十二个：9,－15,3,－9，1,－7,0，－6，－1，－5，－2，－4。

故选D.3．集合A＝｛一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形｝，其中的元素个数为( )A．2 B．3C．4 D．无数个[答案] C[解析] 两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素,因此选C.4．已知a、b、c为非零实数,代数式错误!＋错误!＋错误!＋错误!的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是( ）A．0∉M B．－4∉MC．2∈M D．4∈M[答案] D［解析］a、b、c皆为负数时代数式值为－4，a、b、c二负一正时代数式值为0，a、b、c一负二正时代数式值为0，a、b、c皆为正数时代数式值为4,∴M＝{－4,0,4}．5．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（) A．｛(x,y）|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0｝B．｛(x，y）|x＝0且y＝0}C．{(x，y）|xy＝0｝D．｛(x，y)|x，y不同时为零}［答案] C［解析］在x轴上的点(x，y），必有y＝0;在y轴上的点（x,y），必有x＝0，∴xy＝0.6．集合M＝{(x，y)|xy≤0，x，y∈R｝的意义是（）A．第二象限内的点集B．第四象限内的点集C．第二、四象限内的点集D．不在第一、三象限内的点的集合[答案] D[解析］∵xy≤0，∴xy＜0或xy＝0当xy＜0时,则有错误!或错误!，点(x，y）在二、四象限，当xy＝0时，则有x＝0或y＝0，点（x，y)在坐标轴上,故选D.7．方程组错误!的解（x,y）构成的集合是（)A．(5,4) B．｛5，－4}C．{（－5，4）} D．{(5,－4）｝［答案] D[解析］首先A，B都不对，将x＝5，y＝－4代入检验知是方程组的解．∴选D.*8。

1.3.1.1一、选择题1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数嘚是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝xx －1 [答案] D[解析] y ＝1－x 2在(－∞，0)上为增函数，y ＝x 2＋x 在(－∞，0)上不单调，y ＝－－x 在(－∞，0)上为增函数，故选D. 2．已知f(x)是R 上嘚减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x >f(1)嘚x 嘚取值范围是( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ∵f(x)在R 上单调递减且f(1x)>f(1)， ∴1x<1，∴x<0或x>1. 3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数嘚是( )A ．y ＝3－xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝1xD ．y ＝－|x|[答案] B[解析] y ＝3－x ，y ＝1x，y ＝－|x|在(0,2)上都是减函数，y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数． 4．若y ＝f(x)是R 上嘚减函数，对于x 1＜0，x 2＞0，则( )A ．f(－x 1)＞f(－x 2)B ．f(－x 1)＜f(－x 2)C ．f(－x 1)＝f(－x 2)D ．无法确定[答案] B[解析] 由于x 1＜0，x 2＞0，所以x 1＜x 2，则－x 1＞－x 2，因为y ＝f(x)是R 上嘚减函数，所以f(－x 1)＜f(－x 2)，故选B.5．函数f(x)＝－x 2＋6x ＋7嘚单调增区间为( )A ．(－∞，3]B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．[3,7][答案] C[解析] 方程－x 2＋6x ＋7＝0嘚两根为x 1＝－1，x 2＝7，又y ＝－x 2＋6x ＋7对称轴为x ＝3，如图知选C.6．函数y ＝1－1x －1( ) A ．在(－1，＋∞)内单调递增B ．在(－1，＋∞)内单调递减C ．在(1，＋∞)内单调递增D ．在(1，＋∞)内单调递减[答案] C[解析] 因为函数y ＝1－1x －1可视作函数y ＝－1x 嘚图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到嘚，所以y ＝1－1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)内都是增函数，故选C. 7．已知函数y ＝f(x)嘚定义域是数集A ，若对于任意a ，b∈A，当a<b 时都有f(a)<f(b)，则方程f(x)＝0嘚实数根( )A ．有且只有一个B ．一个都没有C ．至多有一个D ．可能会有两个或两个以上[答案] C[解析] 由条件知f(x)在A 上单调增，故f(x)嘚图象与x 轴至多有一个交点，故选C.8．如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，则( )A ．f(2)<f(1)<f(4)B ．f(1)<f(2)<f(4)C ．f(2)<f(4)<f(1)D ．f(4)<f(2)<f(1)[答案] A[解析] 由条件知，二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 嘚对称轴为x ＝2，其图象开口向上， ∵2－1<4－2，∴f(4)>f(1)>f(2)．[点评] 当二次函数嘚图象开口向上时，与对称轴距离越远，对应嘚函数值越大；开口向下时恰好相反． 9．(09·天津文)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f(x)＞f(1)嘚解集是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)[答案] A[解析] ∵f(1)＝3，∴当x≥0时，由f(x)＞f(1)得x 2－4x ＋6>3，∴x＞3或x ＜1.又x≥0，∴x∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x ＜0时，由f(x)＞f(1)得x ＋6＞3∴x＞－3，∴x∈(－3,0)．综上可得x∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.10．设(c ，d)、(a ，b)都是函数y ＝f(x)嘚单调减区间，且x 1∈(a，b)，x 2∈(c，d)，x 1<x 2，则f(x 1)与f(x 2)嘚大小关系是( )A ．f(x 1)<f(x 2)B ．f(x 1)>f(x 2)C ．f(x 1)＝f(x 2)D ．不能确定[答案] D[解析] 函数f(x)在区间D 和E 上都是减函数(或都是增函数)，但在D∪E 上不一定单调减(或增)．如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．二、填空题11．考察单调性，填增或减函数y ＝1－x 在其定义域上为________函数； 函数y ＝1x在其定义域上为________函数． [答案] 减 减12．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2 x≥0x ＋1 x ＜0，则f(x)嘚单调增区间是________，单调减区间是________．[答案] 增区间为(－∞，0]、[1，＋∞)，减区间[0,1][解析] 画出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2 (x≥0)x ＋1 (x<0)嘚图象如图，可知f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.13．已知函数f(x)＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(1)＝________.[答案] 21[解析] 由已知得－－m 2×4＝－2，解得m ＝－16 ∴f(x)＝4x 2＋16x ＋1，则f(1)＝21.三、解答题14．设f(x)在定义域内是减函数，且f(x)＞0，在其定义域内判断下列函数嘚单调性(1)y ＝f(x)＋a(2)y ＝a －f(x)(3)y ＝[f(x)]2.[解析] (1)y ＝f(x)＋a 是减函数，(2)y ＝a －f(x)是增函数．证明从略．(3)设x 2＞x 1，f 2(x 2)－f 2(x 1)＝[f(x 2)＋f(x 1)][f(x 2)－f(x 1)]＜0，∴y＝f 2(x)是减函数．15．画出函数y ＝|x 2－x －6|嘚图象，指出其单调区间．[解析] 函数解析式变形为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ＋6(－2≤x≤3)x 2－x －6(x ＜－2或x ＞3)画出该函数图象如图，由图知函数嘚增区间为[－2，12]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[12，3]．16．讨论函数y ＝1－x 2在[－1,1]上嘚单调性．[解析] 设x 1、x 2∈[－1,1]且x 1<x 2，即－1≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)－f(x 2)＝1－x 21－1－x 22 ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)1－x 21＋1－x 22当1>x 1≥0,1≥x 2>0，x 1<x 2时，f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在[0,1]上为减函数，当－1≤x 1<0，－1<x 2≤0，x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在[－1,0]上为增函数．17．求证：函数f(x)＝x ＋a 2x(a ＞0)，在区间(0，a]上是减函数． [解析] 设0＜x 1＜x 2≤a，f(x 2)－f(x 1)＝(x 2＋a 2x 2)－(x 1＋a 2x 1) ＝(x 2－x 1)＋a 2(x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x 2. ∵0＜x 1＜x 2≤a，∴0＜x 1x 2＜a 2，∴(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1)， ∴f(x)＝x ＋a 2x(a>0)在(0，a]上是减函数． 18．已知f(x)在R 上是增函数，且f(2)＝0，求使f(|x －2|)>0成立嘚x 嘚取值范围．[解析] 不等式f(|x －2|)>0化为f(|x －2|)>f(2)，∵f(x)在R 上是增函数，∴|x－2|>2，∴x>4或x<0.。

第一章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。

满分150 分。

考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷 ( 选择题共60分)一、选择题 ( 本大题共 12 个小题，每题5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的。

)1．已知会合 A ＝ {0,1,2,3,4,5} ， B ＝ {1,3,6,9} ，C ＝ {3,7,8} ，则 ( A ∩B ) ∪C 等于()A ．{0,1,2,6,8}B ． {3,7,8}C ．{1,3,7,8}D ． {1,3,6,7,8}[ 答案] C[ 分析]A ∩B ＝ {1,3} ， ( A ∩ B ) ∪C ＝ {1,3,7,8} ，应选 C.2．(09 ·陕西文 ) 定义在 R 上的偶函数f ( x ) 知足：对随意的x 1， x 2∈[0 ，＋∞ )( 1≠ 2) ，x xf ( x 2) －f ( x 1)有<0，则 ()x －x12A ．f (3)< f ( － 2)< f (1)B ．f (1)< f ( －2)< f (3)C ．f ( － 2)< f (1)< f (3)D ．f (3)< f (1)< f ( － 2)[ 答案] A[ 分析]若 x 2－ 1>0，则 f ( x 2) － ( 1)<0 ，xf x即 f ( x 2)< f ( x 1) ，∴ f ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上是减函数，∵3>2>1，∴ f (3)< f (2)< f (1) ，又 f ( x ) 是偶函数，∴ f ( － 2) ＝f (2) ，∴ f (3)< f ( －2)< f (1) ，应选 A.3．已知 f ( x ) ， g ( x ) 对应值如表 .x0 1 －1f ( x )1－ 1x0 1 － 1 ( )－ 11g x则 f ( (1)) 的值为 ()gA ．－ 1B ． 0C ．1D ．不存在[ 答案 ] C[ 分析]∵ (1) ＝0， (0) ＝ 1，∴ f ( g (1)) ＝ 1.g f4 ．已知函数 f ( x ＋ 1) ＝ 3x ＋ 2，则 f ( x ) 的分析式是 ()A ．3x ＋ 2B ． 3x ＋1C ．3x － 1D ． 3x ＋4[答案]C[ 分析 ]设 x ＋ 1＝ t ，则 x ＝ t －1，∴ f ( t ) ＝ 3( t － 1) ＋ 2＝ 3t － 1，∴ f ( x ) ＝ 3x － 1.2x － 1 ( x ≥2)5 ．已知 f ( x ) ＝ － x 2＋3x ( x <2) ，则 f ( － 1) ＋ f (4) 的值为 ()A ．－ 7B ． 3C ．－ 8D ． 4[ 答案] B[ 分析] f (4) ＝2×4－ 1＝ 7， f ( － 1) ＝－ ( － 1) 2＋3×( － 1) ＝－ 4，∴ f (4) ＋ f ( － 1) ＝ 3，应选 B.6．f ( x ) ＝－ x 2＋ mx 在 ( －∞， 1] 上是增函数，则 m 的取值范围是 ( )A ．{2}B ． ( －∞， 2]C ．[2 ，＋∞ )D ． ( －∞， 1][ 答案]Cm 22m mm[ 分析] f ( x ) ＝－ ( x －2) ＋ 4 的增区间为 ( －∞， 2] ，由条件知 2≥1，∴ m ≥2，应选 C. 7．定义会合 A 、 B 的运算 A * B ＝{ x | x ∈ A ，或 x ∈ B ，且 x ?A ∩ B } ，则 ( A * B )* A 等于 ( )A ． ∩B ． ∪A BA B C ．AD ． B[ 答案] D[ 分析]* 的实质就是会合A 与B 的并集中除掉它们的公共元素A B后，节余元素构成的会合．所以 ( A * B )* A 是图中暗影部分与 A 的并集，除掉 A 中暗影部分后剩余部分即 B ，应选 D.[ 评论 ]可取特别会合求解．如取A ＝ {1,2,3}， B ＝{1,5}，则A *B ＝ {2,3,5}，( A * B )*A ＝ {1,5}＝B .8．( 广东梅县东山中学2020～ 2020高一期末) 定义两种运算：ab ＝a 2－b 2， a ?b ＝( a －b ) 2，则函数f ( x ) ＝为()A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数[ 答案] A[ 分析] 由运算与 ?的定义知，f ( x)＝4－x2 ，( x－ 2) 2－ 2∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，4－x 2 4－x2∴f ( x)＝(2－x)－2＝－x ，∴f( x)的定义域为{ x|－2≤ x<0或0<x≤2}，又 f (－ x)＝－ f ( x)，∴ f ( x)为奇函数．9．(08 ·天津文 ) 已知函数x＋2，x≤0，f ( x)≥ x2的解集为f ( x)＝则不等式－ x＋2，x>0，()A．[ － 1,1] B．[ － 2,2]C．[ － 2,1] D．[ － 1,2][ 答案] A[ 分析] 解法 1：当x＝ 2 时，f ( x) ＝ 0，f ( x) ≥x2不建立，清除 B、D；当x＝－ 2 时，f ( x) ＝ 0，也不知足 f ( x)≥ x2，清除C，应选 A.解法 2：不等式化为x≤0x>0x＋2≥ x2或－ x＋2≥ x2 ，解之得，－ 1≤x≤0或 0<x≤1，即－ 1≤x≤1.10．检查了某校高一一班的50 名学生参加课外活动小组的状况，有32 人参加了数学兴趣小组，有27 人参加了英语兴趣小组，对于既参加数学兴趣小组，又参加英语兴趣小组的人数统计中，以下说法正确的选项是( )A．最多 32 人B．最多 13 人C．最少 27 人D．最少 9 人[ 答案] D[ 分析] ∵27＋ 32－ 50＝ 9，故两项兴趣小组都参加的至多有27 人，起码有9 人．11．设函数f (x)(x∈ ) 为奇函数，f(1) ＝1，f(x＋2) ＝(x) ＋(2) ，则f(5) ＝ ()R 2 f fA ．0B ． 15C. 2D ． 5[ 答案]C1 1[ 分析]f (1) ＝ f ( － 1＋ 2) ＝ f ( － 1) ＋ f (2) ＝ 2，又 f ( － 1) ＝－ f (1) ＝－ 2，∴ f (2) ＝ 1，∴ f (5) ＝ (3) ＋ (2) ＝ (1) ＋2 (2) ＝5.f f f f 212．已知 f ( x ) ＝3－2| x | ， ( x ) ＝ x 2 －2，(g ( x ) ，若 f ( x ) ≥ g ( x ) ， ( ) 的最) ＝则g x F xF xf ( x ) ，若 f ( x )<g ( x ).值是()A ．最大值为 3，最小值－ 1B ．最大值为 7－ 2 7，无最小值C ．最大值为 3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值[ 答案] B[ 分析]作出 F ( x ) 的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，应选 B.第Ⅱ卷 ( 非选择题 共 90 分 )二、填空题 ( 本大题共4 个小题，每题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上 )13． (2020 ·江苏， 1) 设会合 ＝ { － 1,1,3} ， ＝{ a ＋2， 2＋4} ， ∩ ＝{3} ，则实数aABa A B＝ ________.[ 答案] －1[ 分析]∵ ∩ ＝{3} ，∴3∈ ，A BB∵a 2＋4≥4，∴ a ＋ 2＝ 3，∴ a ＝－ 1.14．已知函数 y ＝ f ( n ) 知足 f ( n ) ＝ 2( n ＝ 1)，则 f (3) ＝ ________.3 ( －1) (n ≥2)f n[ 答案] 18[ 分析] 由条件知， f (1) ＝ 2，f (2) ＝ 3f (1) ＝ 6，f (3) ＝ 3f (2) ＝ 18.15．已知函数 f ( x)＝2－ax ( a≠0) 在区间[0,1] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是________．[ 答案] (0,2][ 分析] a<0时， f ( x)在定义域上是增函数，不合题意，∴a>0.2由 2－ax≥0得，x≤a，2∴f ( x)在(－∞，a]上是减函数，2由条件a≥1，∴ 0< a≤2.16．国家规定个人稿费的纳税方法是：不超出800 元的不纳税；超出800 元而不超出4000 元的按超出800 元的14%纳税；超出4000 元的按所有稿酬的11%纳税．某人第一版了一本书，共纳税420 元，则这个人的稿费为________．[ 答案] 3800 元[ 分析] 因为4000×11%＝440>420，设稿费x 元， x<4000，则( x－800)×14%＝420，∴x＝3800(元)．三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17． ( 此题满分12 分 ) 设会合A＝ { x| a≤x≤a＋ 3} ，会合B＝{ x| x<－1 或x>5} ，分别就下列条件务实数 a 的取值范围：(1)A∩ B≠?，(2) A∩ B＝ A.[ 分析 ] (1) 因为A∩B≠ ?，所以a<－ 1 或a＋ 3>5，即a<－ 1 或a>2.(2)因为 A∩B＝ A，所以 A? B，所以 a>5或 a＋3<－1，即 a>5或 a<－4.18． ( 此题满分 12 分 ) 二次函数f ( x) 的最小值为 1，且f (0) ＝f (2) ＝3.(1)求 f ( x)的分析式；(2) 若 f ( x)在区间[2 a， a＋1]上不但一，求 a 的取值范围．[ 分析] (1) ∵f ( x) 为二次函数且f (0) ＝f (2) ，∴对称轴为 x＝1.又∵ f ( x)最小值为1，∴可设 f ( x)＝ a( x－1)2 ＋ 1 ( a>0)∵f (0) ＝ 3，∴a＝ 2，∴f ( x) ＝ 2( x－ 1) 2＋1，即f (x)＝2 2 －4 ＋3.x x1(2)由条件知 2a<1<a＋1，∴ 0<a< .219．( 此题满分12 分 ) 图中给出了奇函数f (x) 的局部图象，已知f( ) 的定义域为 [ － 5,5] ，x试补全其图象，并比较f (1) 与 f (3) 的大小．[ 分析 ] 奇函数的图象对于原点对称，可画出其图象如图．显见 f (3)> f (1) ．20． ( 此题满分 12 分 ) 一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为 40cm 与 60cm 现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问如何剪法，才能使剩下的残料最少？[ 分析] 如图，剪出的矩形为 CDEF ，设 CD ＝ x ， CF ＝ y ，则 AF ＝ 40－ y .∵△ AFE ∽△ ACB .AF FE 40－ y x∴ ＝ 即∴40＝AC BC602∴y ＝ 40－ 3x . 剩下的残料面积为：1 S ＝2×60×40－2 2 x · y ＝ 3x － 40x ＋1 20022＝3( x － 30) ＋600∵0<x <60∴当x ＝ 30 时， S 取最小值为600，这时y ＝ 20.∴在边长 60cm 的直角边 CB 上截 CD ＝ 30cm ，在边长为 40cm 的直角边 AC 上截 CF ＝ 20cm 时，能使所剩残料最少．21． ( 此题满分 12 分 )a(1) 若 a <0，议论函数 f ( x ) ＝ x ＋x，在其定义域上的单一性；a(2) 若 a >0，判断并证明 f ( x ) ＝ x ＋ x 在(0 ， a ] 上的单一性．[ 分析 ] (1) ∵ <0，∴y＝ a在 ( －∞， 0) 和 (0 ，＋∞ ) 上都是增函数，axa又 y ＝ x 为增函数，∴ f ( x ) ＝ x ＋x 在 ( －∞， 0) 和 (0 ，＋∞ ) 上都是增函数．(2) f ( x) ＝ ＋a在(0 ，] 上单一减，xxa设 0<x1<x2≤a，则f ( x1) －f ( x2)a a ( －x )a x 2 1 ＝( x1＋x1) － ( x2＋x2) ＝ ( x1－x2) ＋x1x2＝( x1 － x2 )(1 －a)>0 ，x1x 2∴( x)> f ( x ) ，∴f ( x)在(0，] 上单一减．1 2 a22． ( 此题满分14 分 ) 设函数f ( x) ＝ | x－a| ，g( x) ＝ax.(1)当 a＝2时，解对于 x 的不等式 f ( x)< g( x)．(2)记 F( x)＝f ( x)－ g( x)，求函数 F( x)在(0， a]上的最小值( a>0)．[ 分析 ] (1)| x－ 2|<2 x，则x≥2，x<2，或x－2<2x.2－x<2x.∴≥2或2< <2.即x2 3> .x x 3(2)F( x)＝| x－ a|－ ax，∵0< x≤a，∴F( x)＝－( a＋1) x＋a.∵－( a＋1)<0，∴函数 F( x)在(0， a]上是单一减函数，∴当x＝ a 时，函数 F( x)获得最小值为－a2.。

一、选择题1．以下函数中在区间[1,2] 上有零点的是( )A．f ( x) ＝ 3x2－4x＋ 5 B．f ( x) ＝x3－ 5x－ 5 C．f ( x) ＝ ln x－ 3x＋ 6 D．f ( x) ＝e x＋ 3x－ 6 [ 答案] D[ 分析] 对于函数 f ( x)＝ e x＋3x－6来说f(1) ＝e－ 3<0，f (2) ＝e2>0∴f(1) f (2)<0，应选 D.2．已知函数f2x 轴的交点起码有一个在原点右边，则实( x) ＝mx＋ ( m－ 3) x＋ 1 的图象与数 m的取值范围是( )A．(0,1] B． (0,1)C．( －∞， 1) D． ( －∞， 1][答案] D1[ 分析 ]解法1：取m＝0有f(x)＝－3x＋1的根x＝>0，则m＝0应切合题设，因此排3除 A、 B，当m＝1 时，f ( x) ＝x2－ 2x＋ 1＝ ( x－1) 2它的根是x＝ 1 切合要求，清除 C.∴选 D.解法 2：直接法，∵f (0) ＝ 1，∴ (1) 当 <0 时必建立，清除A、 B，mm>0，(2) 当 >0 时，要使与轴交点起码有一个在原点右边，则＝ ( －3) 2－4 >0，x m mmm－3－2m >0，∴0<m≤1.1(3)当 m＝0时根为 x＝3>0.∴选D.3．函数y＝f ( x) 与函数y＝ 2x－3 的图象对于直线y＝ x 对称，则函数y＝ f ( x)与直线 y＝x 的一个交点位于区间()A．( － 2，－ 1) B． (2,3)C．(1,2) D． ( － 1,0)[ 答案] B[ 分析] y＝2x－3 的反函数为 y＝log2( x＋3)由图象得：交点分别位于区间( － 3，－ 2) 与 (2,3) 内，应选 B.94．函数f ( x) ＝ lg x－x的零点所在的大概区间是()A．(6,7) B． (7,8)C．(8,9) D． (9,10)[ 答案] D9[ 分析 ]∵f(9)＝lg9－1<0，f(10)＝1－10>0，∴f(9)· f (10)<0，∴f ( x)在(9,10) 上有零点，应选 D.5．已知 f ( x)＝( x－a)( x－ b)－2，而且α、β 是函数 f ( x)的两个零点，则实数a、 b、α、β 的大小关系可能是( )A．a<α<b<βB．a<α<β<bC．α<a<b<βD．α<a<β<b[ 答案] C[ 分析] ∵α、β是函数 f ( x)的两个零点，∴f(α)＝ f (β)＝0，又 f ( x)＝( x－ a)( x－ b)－2，∴f( a)＝ f ( b)＝－2<0.联合二次函数 f ( x)的图象可知， a、 b 必在α、β之间．6．若函数f ( x) ＝ax＋b的零点是2，则函数g( x) ＝bx2－ax的零点是 ()A．0,21B．0，2 1 1C．0，－2 D． 2，－2 [ 答案] C[ 分析] 由条件 2a＋b＝ 0，∴b＝－ 2a∴g ( x ) ＝－ ax (2 x ＋ 1) 的零点为10 和－ 2.x 2＋ 2x － 3， x ≤0，7．(2020 ·福建理， 4) 函数 f ( x ) ＝的零点个数为 ()－ 2＋ ln x ， x >0A ．0B ． 1C ．2D ． 3[ 答案] C[ 分析] 令 x 2＋2x － 3＝0，∴ x ＝－ 3 或 1 ∵x ≤0，∴ x ＝－ 3；令－ 2＋ ln x ＝ 0，∴ ln x ＝ 2 ∴x ＝ e 2>0，故函数 f ( x ) 有两个零点．8．函数 y ＝x 3与 y ＝ 1 x的图象的交点为 ( x 0， y 0) ，则 x 0 所在区间为 () 2 A ．( － 2，－ 1) B ． ( － 1,0) C ．(0,1)D ． (1,2)[ 答案] C[ 分析]令 f ( x ) ＝ 31 x ，则 f 1x －2 (0) ＝－ 1<0，f (1) ＝ >0，应选 C.29．( 湖南省醴陵二校 2020～ 2020 高一期末 ) 有以下四个结论： ①函数 f ( x ) ＝ lg( x ＋1) ＋ lg( － 1) 的定义域是 (1 ，＋∞)x②若幂函数 y ＝ f ( x ) 的图象经过点 (2,4) ，则该函数为偶函数③函数 y ＝ | x |的值域是 (0 ，＋∞)5④函数 f ( x ) ＝ x ＋ 2 x 在 ( －1,0) 有且只有一个零点． 此中正确结论的个数为 ()A ．1B ． 2C ．3D ． 4[ 答案] C[ 分析]x ＋ 1>0，得 x >1，故①正确；∵ f ( x ) ＝ x αα由过(2,4) ，∴2 ＝ 4，∴ α＝ 2，x － 1>0∴f ( x ) ＝ x 2 为偶函数，故②正确；∵| x | ≥0，∴ y ＝ 5| x| ≥1，∴函数y ＝ 5| x| 的值域是 [1 ，－ 11x＋∞ ) ，故③错；∵ f ( － 1) ＝－ 1＋ 2 ＝－ 2<0， f (0) ＝ 0＋ 2 ＝1>0，∴ f ( x ) ＝ x ＋ 2 在( －1,0) 内起码有一个零点， 又 f ( x ) ＝ x ＋2x 为增函数， ∴ f ( x ) ＝ x ＋ 2x 在( － 1,0) 内有且只有一个零点，∴④正确，应选 C.2210．若函数 f ( x ) ＝x － ax ＋ b 的两个零点是 2 和 3，则函数g ( x ) ＝ bx － ax － 1 的零点是()11A ．－ 1 和6B ．1 和－ 61 111C. 2和 3 D ．－ 2和－ 3[ 答案] B[ 分析]因为 f ( x ) ＝x 2 －ax ＋ b 有两个零点 2 和 3，∴ a ＝5， ＝6.∴ ( ) ＝ 6x 2－ 5 － 1 有两个零点 1 和－1.bg xx 6二、填空题11．二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( x ∈R) 的部分对应值以下表：x －3 － 2 － 1 0 1 2 3 4y6－ 4－6－ 6－ 46则使 ax 2＋ bx ＋ c >0 的自变量 x 的取值范围是 ______． [ 答案]( －∞，－ 2) ∪(3 ，＋∞)ax － 1112．(09 ·湖北理 ) 已知对于 x 的不等式 x ＋ 1 <0 的解集是 ( －∞，－1) ∪ － ，＋∞. 则 a2＝ ________.[ 答案]－2－ 1[ 分析]ax<0? ( ax － 1)( x ＋1)<0 ，x ＋11∵其解集为 ( －∞，－ 1) ∪( －，＋∞ ) ，21∴a <0 且－ 1 和－ 2是 ( ax － 1)( x ＋ 1) ＝ 0 的两根，解得 a ＝－ 2.1 [ 评论]由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知，－2是ax － 1＝ 0 的根，∴ a ＝－2.三、解答题13．已知函数 f ( x ) ＝2x －x 2，问方程 f ( x ) ＝0 在区间 [ － 1， 0] 内能否有解，为何？－ 1 21[ 分析] 因为 f ( － 1) ＝ 2 － ( － 1) ＝－ 2<0， f (0) ＝ 20－ 02＝ 1>0，而函数 f ( x ) ＝ 2x － x 2 的图象是连续曲线， 因此 f ( x ) 在区间 [ － 1,0] 内有零点， 即方程 f ( x )＝ 0 在区间 [ － 1,0] 内有解．14．议论函数 f ( x ) ＝ln x ＋ 2x －6 的零点个数．[ 分析 ] 函数的定义域为 (0 ，＋∞ ) ，任取 x 1、 x 2∈(0 ，＋∞ ) ，且 x 1＜ x 2.f ( x 1) － f ( x 2) ＝ (ln x 1＋ 2x 1－ 6) － (ln x 2＋ 2x 2－ 6)＝(ln x 1－ ln x 2) ＋ 2( x 1－ x 2) ，∵ 0＜ x 1＜ x 2，∴ ln x 1＜ ln x 2.∴ f ( x 1) － f ( x 2)<0 ，即 f ( x 1)< f ( x 2)∴ f ( x ) 在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数．又 f (1) ＝ ln1 ＋2×1－ 6＝－ 4<0.f (3) ＝ ln3 ＋2×3－ 6＝ ln3 ＞ 0∴ f ( x ) 在 (1,3) 内有零点．由 f ( x ) 是单一函数知， f ( x ) 有且仅有一个零点．115．定义在 R 上的偶函数 y ＝ f ( x ) 在 ( －∞， 0] 上递加，函数 f ( x ) 的一个零点为－ 2，求 知足 f (log 1x ) ≥0的 x 的取值会合．411[ 分析 ]∵－ 2是函数的零点，∴ f － 2 ＝ 0，1∵ f ( x ) 为偶函数，∴ f ( ) ＝ 0， 211∵f ( x ) 在 ( －∞， 0] 上递加， f (log 4 x ) ≥ f － 2 ，1∴0≥log 1x ≥－ ，∴ 1≤ x ≤2，42∵f ( x ) 为偶函数，∴f ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上单一减，又 f (log 1x ) ≥ f ( 1) ， 24∴0≤log1x ≤1，∴ 1≤ x ≤1，∴ 1≤ x ≤2.22241故 x 的取值会合为 { x | 2≤ x ≤2} ．16．二次函数 f ( x ) ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的零点是－ 2 和 3，当 x ∈( － 2,3) 时， f ( x )<0 ，且 f ( －6) ＝ 36，求二次函数的分析式．[ 分析 ]由条件知 f ( x ) ＝ a ( x ＋2)( x － 3) 且 a >0∵ f ( － 6) ＝36，∴ a ＝1∴ f ( x ) ＝ ( x ＋ 2)( x － 3)知足条件－ 2<x <3 时， f ( x )<0.∴ f ( x ) ＝ x 2－ x － 6.xx－217．已知函数 f ( x)＝a ＋( a>1) ．(1)证明：函数 f ( x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2) 用反证法证明方程 f ( x)＝0没有负数根．[ 分析] (1) 任取x、x∈( － 1，＋∞ ) ，不如设x <x，则x －x >0，ax－x >1，且ax >0.1 2 1 2 2 1 2 1 1∴a x2－ ax1＝ ax1( ax2－ x1－1)>0.又∵ x1＋1>0，x2＋1>0，x2 －2 x1－2 ( x2－ 2)( x1＋1) － ( x1－ 2)( x2＋ 1)∴2 －1＝1 2x ＋ 1 x ＋1 ( x＋ 1)( x ＋1)3( x2－x1)＝( x1＋ 1)( x2＋ 1)>0x2－2x1－2于是 f ( x2)－ f ( x1)＝ ax2－ ax1＋x2＋1－x1＋1>0，故函数 f ( x)在(－1，＋∞)上为增函数．x －2(2) 证法 1：设存在x <0( x≠－ 1) ，知足f ( x ) ＝ 0，则ax 0 ＝－x0＋1，且 0<ax <1，0 0 0 0 0x －2 10 0∴0<－x0＋1<1，即2<x <2. 与假定x <0 矛盾，故方程 f ( x)＝0没有负数根．证法 2：设存在x0<0( x0≠－ 1) ，知足f ( x0) ＝ 0x －2( Ⅰ) 若－ 1< 0 <0，则0 <－ 2，ax 0<1，xx 0＋1∴f( x0)<－1与 f ( x0)＝0矛盾．x0－2( Ⅱ) 若x0<－ 1，则x0＋1>0，ax0>0，∴f ( x0)>0 与 f ( x0)＝0矛盾，故方程 f ( x)＝0没有负数根．。