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微分方程的数值解法微分方程是自然科学和现代技术领域中一种最基本的数学描述工具，它可以描述物理世界中的各种现象。
微分方程的解析解往往很难求出，因此数值解法成为解决微分方程问题的主要手段之一。
本文将介绍几种常见的微分方程的数值解法。
一、欧拉法欧拉法是微分方程初值问题的最简单的数值方法之一，它是由欧拉提出的。
考虑一阶常微分方程：$y'=f(t,y),y(t_0)=y_0$其中，$f(t,y)$表示$y$对$t$的导数，则$y(t_{i+1})=y(t_i)+hf(t_i,y_i)$其中，$h$为步长，$t_i=t_0+ih$，$y_i$是$y(t_i)$的近似值。
欧拉法的精度较低，误差随着步长的增加而增大，因此不适用于求解精度要求较高的问题。
二、改进欧拉法改进欧拉法又称为Heun方法，它是由Heun提出的。
改进欧拉法是在欧拉法的基础上进行的改进，它在每个步长内提高求解精度。
改进欧拉法的步骤如下：1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$y_{i+1}$:$y^*=y_i+hf(t_i,y_i),t^*=t_i+h$2. 利用$y^*$和$t^*$估算$f(t^*,y^*)$:$f^*=f(t^*,y^*)$3. 利用$y_i$、$f(t_i,y_i)$和$f^*$估算$y_{i+1}$:$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(f(t_i,y_i)+f^*)$改进欧拉法具有比欧拉法更高的精度，但是相较于其他更高精度的数值方法，它的精度仍然较低。
三、龙格-库塔法龙格-库塔法是一种广泛使用的高精度数值方法，它不仅能够求解一阶和二阶常微分方程，还能够求解高阶常微分方程和偏微分方程。
其中，经典的四阶龙格-库塔法是最常用的数值方法之一。
四阶龙格-库塔法的步骤如下：1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$k_1$:$k_1=f(t_i,y_i)$2. 根据$k_1$和$y_i$估算$k_2$:$k_2=f(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_1)$3. 根据$k_2$和$y_i$估算$k_3$:$k_3=f(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_2)$4. 根据$k_3$和$y_i$估算$k_4$:$k_4=f(t_i+h,y_i+hk_3)$5. 根据$k_1$、$k_2$、$k_3$和$k_4$计算$y_{i+1}$:$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$龙格-库塔法的精度较高，在求解一些对精度要求较高的问题时，龙格-库塔法是一个比较好的选择。
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
常微分方程中的数值方法常微分方程是数学中的一个重要分支。
它主要研究的对象是随时间变化的函数。
在实际应用中，我们需要求解这些函数的解析解，但通常情况下，解析解并不容易得到，甚至是不可能得到。
因此，我们需要使用数值方法来求解这些函数的数值近似解。
在本文中，我们将介绍常微分方程中的数值方法。
一、欧拉法欧拉法是常微分方程数值解法中最基本的一种方法。
它是根据欧拉公式推导而来的。
具体地，我们可以将一阶常微分方程dy/dt=f(t,y)写成如下形式：y(t+h)=y(t)+hf(t,y(t))其中，h是步长，f(t,y)是t时刻y的导数。
欧拉法就是通过上面的公式进行逐步逼近，然后得到最终的数值解。
欧拉法的计算过程非常简单，但所得到的解可能会出现误差。
这是因为欧拉法忽略了f(t+h,y(t+h))和f(t,y(t))之间的变化。
因此，我们需要使用更为精确的数值方法来解决这个问题。
二、改进欧拉法为了解决欧拉法中的误差问题，我们可以使用改进欧拉法。
改进欧拉法又称作四阶龙格-库塔法。
它的基本思想是对欧拉法公式进行改进，以提高计算精度。
具体地，根据龙格-库塔公式，可将改进欧拉法表示为：y(t+h)=y(t)+1/6(k1+2k2+2k3+k4)其中，k1=h*f(t,y)k2=h*f(t+h/2,y+k1/2)k3=h*f(t+h/2,y+k2/2)k4=h*f(t+h,y+k3)改进欧拉法的计算过程比欧拉法要复杂些，但所得到的数值解比欧拉法更精确。
这种方法适用于一些特殊的问题，但在求解一些更为复杂的问题时，还需要使用其他的数值方法。
三、龙格-库塔法龙格-库塔法是求解常微分方程中数值解的常用方法之一。
它最常用的是四阶龙格-库塔法。
这种方法的基本思想是使用四个不同的斜率来计算数值解。
具体地，我们可以将四阶龙格-库塔法表示为：y(t+h)=y(t)+1/6(k1+2k2+2k3+k4)其中，k1=h*f(t,y)k2=h*f(t+h/2,y+k1/2)k3=h*f(t+h/2,y+k2/2)k4=h*f(t+h,y+k3)与改进欧拉法相比，龙格-库塔法的计算复杂度更高，但所得到的数值解更为精确。
微分方程的数值解法微分方程是描述自然界中众多现象和规律的重要数学工具。
然而，许多微分方程是很难或者无法直接求解的，因此需要使用数值解法来近似求解。
本文将介绍几种常见的微分方程数值解法。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它将微分方程转化为差分方程，通过计算离散点上的导数来逼近原方程的解。
欧拉方法的基本思想是利用当前点的导数值来估计下一个点的函数值。
具体步骤如下：首先，将自变量区间等分为一系列的小区间。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，根据导数的定义，计算每个小区间上函数值的斜率。
最后，根据初始函数值和斜率，递推计算得到每个小区间上的函数值。
2. 龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种常用的高阶精度数值解法。
它通过进行多次逼近和修正来提高近似解的准确性。
相比于欧拉方法，龙格-库塔方法在同样的步长下可以获得更精确的解。
具体步骤如下：首先，确定在每个小区间上的步长。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，根据当前点的导数值，使用权重系数计算多个中间点的函数值。
最后，根据所有中间点的函数值，计算出当前点的函数值。
3. 改进欧拉方法（改进的欧拉-克罗默法）改进欧拉方法是一种中阶精度数值解法，介于欧拉方法和龙格-库塔方法之间。
它通过使用两公式递推来提高精度，并减少计算量。
改进欧拉方法相对于欧拉方法而言，增加了一个估计项，从而减小了局部截断误差。
具体步骤如下：首先，确定在每个小区间上的步长。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，利用欧拉方法计算出中间点的函数值。
最后，利用中间点的函数值和斜率，计算出当前点的函数值。
总结：微分方程的数值解法为我们研究和解决实际问题提供了有力的工具。
本文介绍了欧拉方法、龙格-库塔方法和改进欧拉方法这几种常见的数值解法。
选择合适的数值解法取决于微分方程的性质以及对解的精确性要求。
在实际应用中，我们应该根据具体情况选择最合适的数值解法，并注意控制步长以尽可能减小误差。
常微分方程的数值解法1. 引言常微分方程是自变量只有一个的微分方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
由于常微分方程的解析解不易得到或难以求得，数值解法成为解决常微分方程问题的重要手段之一。
本文将介绍几种常用的常微分方程的数值解法。
2. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值解法，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上假设解函数为线性函数，即通过给定的初始条件在每个子区间上构造切线；- 使用切线的斜率（即导数）逼近每个子区间上的解函数，并将其作为下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
3. 改进的欧拉方法改进的欧拉方法是对欧拉方法的一种改进，主要思想是利用两个切线的斜率的平均值来逼近每个子区间上的解函数。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上构造两个切线，分别通过给定的初始条件和通过欧拉方法得到的下一个初始条件；- 取两个切线的斜率的平均值，将其作为该子区间上解函数的斜率，并计算下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
4. 二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是一种更为精确的数值解法，其基本思想是通过近似计算解函数在每个子区间上的平均斜率。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上计算解函数的斜率，并以该斜率的平均值近似表示该子区间上解函数的斜率；- 利用该斜率近似值计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
5. 龙格-库塔法（四阶）龙格-库塔法是目前常用的数值解法之一，其精度较高。
四阶龙格-库塔法是其中较为常用的一种，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上进行多次迭代计算，得到该子区间上解函数的近似值；- 利用近似值计算每个子区间上的斜率，并以其加权平均值逼近解函数的斜率；- 计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
常微分方程的数值求解在数学中，常微分方程是一类重要的数学模型，通常用来描述物理、化学、生物等自然现象中的变化规律。
对于一些复杂的微分方程，无法通过解析方法进行求解，这时候就需要借助数值方法来近似求解。
本文将介绍常微分方程的数值求解方法及其应用。
一、数值求解方法常微分方程的数值求解方法主要包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
欧拉法是最简单也是最常用的数值求解方法，其基本思想是根据微分方程的导数近似求解下一个时间步上的解，并通过逐步迭代来得到整个解的数值近似。
改进的欧拉法在欧拉法的基础上做出了一定的修正，提高了数值求解的精度。
而龙格-库塔法则是一种更加精确的数值求解方法，通过考虑多个点的斜率来进行求解，从而减小误差。
二、应用领域常微分方程的数值求解方法在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
在物理学中，通过数值求解微分方程可以模拟天体运动、粒子运动等现象；在生物学领域，可以模拟生物种群的增长和变化规律；在工程领域，可以通过数值求解微分方程来设计控制系统、优化结构等。
三、实例分析以一个简单的一阶常微分方程为例：dy/dx = -y，初始条件为y(0) = 1。
我们可以用欧拉法来进行数值求解。
将时间间隔取为0.1，通过迭代计算可以得到y(1)的近似值为0.367。
而利用改进的欧拉法或者龙格-库塔法可以得到更加精确的数值近似。
这个例子展示了数值方法在解决微分方程问题上的有效性。
四、总结常微分方程是求解自然界中变化规律的重要数学工具，而数值方法则是解决一些难以解析求解的微分方程的有效途径。
通过本文的介绍，读者可以了解常微分方程的数值求解方法及其应用，希望可以对相关领域的研究和实践有所帮助。
至此，关于常微分方程的数值求解的文章正文部分结束。
［例1］用欧拉方法与改进的欧拉方法求初值问题h 的数值解。
在区间[0,1]上取0.1［解］欧拉方法的计算公式为x0=0;y0=1;x(1)=0.1;y(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);for n=1:9x(n+1)=0.1*(n+1);y(n+1)=y(n)+0.1*2*x(n)/(3*y(n)^2);end;xy结果为x =Columns 1 through 80.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 100.9000 1.0000y =Columns 1 through 81.0000 1.0067 1.0198 1.0391 1.0638 1.0932 1.1267 1.1634 Columns 9 through 101.2028 1.2443改进的欧拉方法其计算公式为本题的精确解为()y x=x0=0;y0=1;ya(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);y(1)=y0+0.05*(2*x0/(3*y0^2)+2*x0/(3*ya^2));for n=1:9x(n+1)=0.1*(n+1);ya(n+1)=ya(n)+0.1*2*x(n)/(3*ya(n)^2);y(n+1)=y(n)+0.05*(2*x(n)/(3*y(n)^2)+2*x(n+1)/(3*ya(n+1)^2));end;xy结果为x =Columns 1 through 80.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 100.9000 1.0000y =Columns 1 through 81.0000 1.0099 1.0261 1.0479 1.0748 1.1059 1.1407 1.1783 Columns 9 through 101.2183 1.2600［例2］用泰勒方法解x＝0.1, 0.2, …, 1.0处的数值解，并与精确解进行比较。
常微分方程的数值解法常微分方程是研究变量的变化率与其当前状态之间的关系的数学分支。
它在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
解常微分方程的精确解往往十分困难甚至不可得，因此数值解法在实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍常见的常微分方程的数值解法，并比较其优缺点。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它基于近似替代的思想，将微分方程中的导数用差商近似表示。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
欧拉方法的计算简单，但是由于误差累积，精度较低。
2. 改进欧拉方法为了提高欧拉方法的精度，改进欧拉方法应运而生。
改进欧拉方法通过使用两个点的斜率的平均值来计算下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
改进欧拉方法相较于欧拉方法而言，精度更高。
3. 龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta）是常微分方程数值解法中最常用的方法之一。
它通过迭代逼近精确解，并在每一步中计算出多个斜率的加权平均值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）计算各阶导数的导数值。
（4）根据权重系数计算下一个点的值。
与欧拉方法和改进欧拉方法相比，龙格-库塔法的精度更高，但计算量也更大。
4. 亚当斯法亚当斯法（Adams）是一种多步法，它利用之前的解来近似下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）通过隐式或显式的方式计算下一个点的值。
亚当斯法可以提高精度，并且比龙格-库塔法更加高效。
5. 多步法和多级法除了亚当斯法，还有其他的多步法和多级法可以用于解常微分方程。
多步法通过利用多个点的值来逼近解，从而提高精度。
而多级法则将步长进行分割，分别计算每个子问题的解，再进行组合得到整体解。
数学理论中的微分方程数值解法研究引言微分方程作为数学理论的重要组成部分，广泛应用于各个学科的研究中。
在实际问题的处理过程中，我们经常会遇到无法求得解析解的微分方程。
因此，寻找一种可行的数值解法成为了解决这类问题的重要手段之一。
本文将详细介绍微分方程的数值解法研究，包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法和有限差分法等。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一，其基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过一系列逐步递进的计算得到近似解。
具体而言，对于一阶常微分方程y’(t) =f(t, y(t))，给定初始条件y(t0) = y0，可以通过以下公式计算y的近似解：y(t + h) = y(t) + h * f(t, y(t))其中，h为步长，表示每一步的迭代间隔。
欧拉方法的优点是简单易懂，计算速度快，但其精度较低，对于一些复杂的微分方程可能无法得到准确解。
二、改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉方法的一种改进，旨在提高解的精度。
其基本思想是通过计算两个不同步长下的近似解来得到更精确的结果。
具体而言，假设有两个步长h1和h2，那么可以通过以下公式来计算y的近似解：y(t + h1) = y(t) + h1 * f(t, y(t))y(t + h2) = y(t) + h2 * f(t, y(t))y(t + h) = y(t) + (h1 + h2) * f(t, y(t))/2其中，h = (h1 + h2)/2。
改进的欧拉法相对于欧拉方法而言，精度有所提高，但仍然存在一定的误差。
三、龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常用的数值解法，其主要优点是精度较高。
该方法通过逐步逼近精确解，以提高解的精确度。
龙格-库塔法的基本思想是，对于一阶常微分方程y’(t) = f(t, y(t))，给定初始条件y(t0) = y0，通过以下公式进行迭代计算：k1 = h * f(t, y(t))k2 = h * f(t + h/2, y(t) + k1/2)k3 = h * f(t + h/2, y(t) + k2/2)k4 = h * f(t + h, y(t) + k3)y(t + h) = y(t) + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6其中，h为步长，k1、k2、k3和k4为辅助变量。
微分方程数值解法微分方程是数学中的重要概念，它描述了物理系统中变量之间的关系。
解微分方程是许多科学领域中常见的问题，其中又可以分为解析解和数值解两种方法。
本文将重点介绍微分方程的数值解法，并详细讨论其中的常用方法和应用。
一、微分方程的数值解法概述微分方程的解析解往往较为复杂，难以直接求解。
在实际问题中，我们通常利用计算机进行数值计算，以获得方程的数值解。
数值解法的基本思想是将微分方程转化为一组离散的数值问题，通过逼近连续函数来获得数值解。
二、常见的数值解法1. 欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，其核心思想是将微分方程转化为差分方程，通过逼近连续函数来获得数值解。
欧拉法的基本形式为：yn+1 = yn + h·f(xn, yn)其中，yn表示第n个时间步的数值解，h为时间步长，f为微分方程右端的函数。
欧拉法的精度较低，但计算简单，适用于初步估计或简单系统的求解。
2. 改进的欧拉法（Heun法）改进的欧拉法（Heun法）是对欧拉法的改进，其关键在于求解下一个时间步的近似值时，利用了两个斜率的平均值。
Heun法的基本形式为：yn+1 = yn + (h/2)·(k1 + k2)k1 = f(xn, yn)，k2 = f(xn+h, yn+h·k1)Heun法较欧拉法的精度更高，但计算量较大。
3. 龙格-库塔法（RK方法）龙格-库塔法是一类常用的数值解法，包含了多个不同阶数的方法。
其中，最常用的是经典四阶龙格-库塔法（RK4法），其基本形式为：k1 = f(xn, yn)k2 = f(xn + h/2, yn + (h/2)·k1)k3 = f(xn + h/2, yn + (h/2)·k2)k4 = f(xn + h, yn + h·k3)yn+1 = yn + (h/6)·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)RK4法实现较为复杂，但精度较高，适用于解决大多数常微分方程问题。
四川师范大学本科毕业论文微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法学生姓名XXX院系名称数学与软件科学学院专业名称信息与计算科学班级2006级 4 班学号********XX指导教师Xxx四川师范大学教务处二○一○年五月微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法学生姓名：xxx 指导教师：xx【内容摘要】微分方程是最有生命力的数学分支，在自然科学的许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。
当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具，利用计算机解微分方程主要使用数值方法，欧拉方法和龙格——库塔方法是求解微分方程最典型常用的数值方法。
本文详细研究了这两类数值计算方法的构造过程，分析了它们的优缺点，以及它们的收敛性，相容性，及稳定性。
讨论了步长的变化对数值方法的影响和系数不同的同阶龙格—库塔方法的差别。
通过编制C程序在计算机上实现这两类方法及对一些典型算例的结果分析比较，能更深切体会它们的功能，优缺点及适用场合，从而在实际应用中能对不同类型和不同要求的常微分方程会选取适当的求解方法。
关键词：显式单步法欧拉（Euler）方法龙格—库塔（Runge—Kutta）方法截断误差收敛性Two commonly used numerical solution of differentialequations：Euler method and Runge - Kutta method Student Name: Xiong Shiying Tutor：Zhang Li【Abstract】The differential equation is the most vitality branch in mathematics. In many domains of natural science, we can meet the ordinary differential equation solution question. Currently, the development of computer has provided the extremely powerful tool for the ordinary differential equation application and the fundamental research, the computer solving differential equation mainly uses value method. The Euler method and the Runge—Kutta method are the most typical commonly value method to solve the differential equation. This article dissects the structure process of these two kinds of values commonly value method to solve the analyses their good and bad points, to their astringency, the compatibility, and the stability has made the proof. At the same time, the article discuss the length of stride to the numerical method changing influence and the difference of the coefficient different same step Runge—kutta method. Through establishing C program on the computer can realize these two kind of methods, Anglicizing some models of calculate example result can sincerely realize their function, the advantage and disadvantage points and the suitable situation, thus the suitable solution method can be selected to solve the different type and thedifferent request ordinary differential equation in the practical application . Keywords:Explicit single-step process Euler method Runge—Kutta method truncation error convergence目录微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法前言常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学其他分支的新发展，如复变函数、群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。
后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量，微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
然而，我们知道，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。
在常微分方程课中的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。
这些方法可以给出解的近似表达式，通常称为近似解析方法。
还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值，利用计算机解微分方程主要使用数值方法。
本文主要讨论一阶常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy （1.1） 在区间],[b a 上的数值解法，其中),(y x f 为关于x ，y 的已知函数，0y 为给定的初始值，将上述问题的精确解记为)(x y 。
该问题常用的数值解法有：欧拉（Euler ）方法、龙格—库塔（Runge —Kutta ）方法及一些常用的线性多步法。
本文重点介绍欧拉（Euler ）方法和龙格—库塔（Runge —Kutta ）方法。
并对这两种方法编制程序，体会它们的功能、优缺点及适用场合，对不同类型常微分方程会选取适当的求解方法。
１ 基本概念和准备知识一阶常微分方程初值问题是：(1.1.2))((1.1.1) ),(00⎪⎩⎪⎨⎧==y x y y x f dx dy 其中),(y x f 是平面上某个区域D 上的连续函数，式（1.1.1）的微分方程一般有无穷多个解，式（1.1.2）是确定解的初始条件，如果一元函数)(x y 对一切b x a ≤≤满足（1）D x y x ∈))(,(；（2）00)(y x y =；（3）'y 存在而且))(,()('x y x f x y =；则称)(x y 是初值问题（1.1）在区间],[b a 上的解。
误差：假定在计算1+n y 时，用到的前一步的值n y 是准确的(即))(n n x y y =，把用)(n x y 计算得到的近似值记为1+-n y ，估计误差：1+n E = y (x n +1)1+--n y ，这种误差称为局部截断误差。
如果不作这一假定，在每一步计算时除局部截断误差以外，还有由于前一步不准确而引起的误差，称为总体截断误差。
收敛性：对于解初值问题的数值方法，我们希望它产生的数值解收敛于初值问题的准确解，“收敛性”的一般定义为：对于所有满足引理 1.1条件的初值问题（1.1），如果有一种显式单步法：),,(1h y x h y y n n n n ϕ+=+ 产生的近似解，对于任意固定的nh x x n +=0，均有0lim →h )(n n x y y =，则称该显式单步法是收敛的。
相容性：显式单步法（1.2.1）称为与原微分方程相容，如果))(,()0),(,(x y x f x y x =ϕ （1.2.3）成立。
并称式（1.2.3）为相容性条件。
稳定性：在实际计算中，一方面初始值0y 不一定精确，往往带有一定误差，同时由于计算机字长有限，在计算过程中有舍入误差，而且这种误差在式（1.2.1）的递推过程中会传递下去，对以后的结果产生影响。
因此要考虑舍入误差的积累是否会得到控制，也即要考虑数值方法的稳定性。
当∞→n 时，若舍入误差引起的后果是有限的，则可以认为该方法是数值稳定的。
2 欧拉方法2.1欧拉方法简介对常微分方程初值问题（1.1）用数值方法求解时，我们总是认为（1.1）的解存在且唯一。
欧拉方法是解初值问题的最简单、最原始的数值方法，它是显式单步法。
下面介绍几种导出欧拉法的途径，每个途径皆可以推导出更为有效的数值方法。
（1）Taylor 展开在n x 点将)()(1h x y x y n n +=+作Taylor 展开得：)(!2)(')()()(21n n n n n y h x hy x y h x y x y ε''++=+=+ ),(1+∈n n n x x ε 当h 充分小时略去误差项)("22n y h ε，并注意到))(,()('n n n x y x f x y =，得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+，以n y 近似代替)(n x y ，以1+n y 近似代替)(1+n x y ，且用“=”代替“≈”得差分方程初值问题：⎩⎨⎧=+=+)(),(001x y y y x hf y y n n n n nh x x n +=0，1,,2,1,0-=N n ，=N ha b - (2.1.1) 用式(2.1.1)求解初值问题（1.1）的方法称为欧拉方法。
（2）数值微分由导数的定义知，对于充分小的h))(,()(')()(1n n n n n x y x f x y hx y x y =≈-+ 整理得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+，对此作相似的处理也可以得到欧拉方法(2.1.1)。
（3）数值积分在区间],[1+n n x x 对))(,('x y x f y =积分得dx x y x f x y x y n n x x n n ⎰++=+1))(,()()(1 （2.1.2）用数值积分的左矩形公式计算式（2.1.2）右端的积分，得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+，于是同样可以得到欧拉方法(2.1.1)。
