电路理论基础课后习题答案 陈希有主编 第五章

1V
答案 5.2 解：(1)根据电容串、并联等效关系，可得
Cab
1
1
1
C2
1 5 20
0.06
0.1F
C3 C4
Ceq
1 1 1
1 0.08F 2.5 10
C1 Cab
(2)当电容原未充电时，各电容上的电压分别为
U1
U
Cab C1 Cab
50 0.1 10V ， 0.1 0.4
U2 U U1 40V
u1
uS
(0.2
0.064)
diS dt
(3)
将 uS 及 iS 代入式(3)得
u1 (8te20t 0.816e10t )V
答案 5.13 解：由消去互感法可将图(a)电路等效成图(b)。
L1 M
M
+ i1
u Leq
-
i2 +
L2 M u2
-
i3
(b)
由电感的串、并联等效得：
Leq (L1 M ) (L2 M )∥M
i1
iS
(10
30 32 30)
0.25e10t A
则
p8 i12 32 (0.25e10tA)2 32 2e20t W
答案 5.18 解：求等效电容就是要求 i1 与 u1 的关系。为此可按如下步骤进行，其中要涉及
理想变压器和电容元件方程：
i1
1 n
i2
i2
C
du2 dt
1 (C du2 ) n dt
1A 2s t 3s
i(t) 的变化规律如图(d)所示。
i/A 1
o
1
2
3
t/s
-1
图 (d)
(2)在关联参考方向下，电容上电压与电流关系又可表示为
u(t) 1
t
i( )d
C
图(c)所示电流可描述为
1A 0 t 1s
i(t)
0 1s<t 0.5A 2s
2s t
3s
0 t 3s
答案 5.10 解：因为磁链是电压的时间积分，所以在一个周期内电感磁链的增量等于电压
与时间轴围成曲线的面积：
Ψ 60.1 20.1 0.4Wb
图中电压的周期是 0.2s ，4s 相当于 20 个周期，所以 t 4s 时电感总磁链为
Ψ Ψ (0) 20Ψ 0 200.4 8Wb
故 t=4s 时的电流值为
由此可知
WR WC
注释：当通过电阻给电容充电时，无论电阻为何值( R 0 )，被电阻损耗的能量 总等于电容最终储存的能量。
答案 5.4 解： 取电容、电感上的电压、电流为关联参考方向，如图所示。由运算放大器
输入端口电流为零的条件可知
iC iR
又由运算放大器输入端口电压为零的条件可知
iR
uR R
整理得其端口特性方程
u1
( La
Lb )
di1 dt
Lb n
di2 dt
u2
Lb n
di1 dt
Lb n2
di2 dt
(2)
对比方程(1)和方程(2)可见，二者满足下列条件时可以相互等
L1
L3 L3
La Lb n
Lb
L2
L3
Lb n2
解得
La
L1L2
L1L3 L2 L3
L2 L3
已知 q(0) 0.5C
由 q Cu
可求得 u(0) q(0) 0.5V C
当 t 3.5s 时，电容上的电压取决于电流在此刻前的历史，即
u(t) 1
0 i( )d 1
1
1Ad
1
2
0d
1
3
(0.5A)d
1
3.5
0d
C
C0
C1
C2
C3
u(0) (1 0 0.5 0)V
(1 4n
n)u1
1 n 1 4n
解得
n 0.5
答案 5.17
解：图(a)电路，从 ab 端看过去，等效电阻 Req n2 8 48 32 电路等效
成图(b)所示。
a 10 i1
iS
30
32
b (b)
因为理想变压器为非能元件，图(b)电路中 32电阻消耗的功率与图(a)电路 8 电 阻消耗的功率相同。由分流公式得
即
(12 18t)e3t 0
可求得电感上电压的极值。由上式解得
t 1s 将 t 1s 代入式(2)，
u(1s) 2e2V
因为该电流源表达式为分段连续函数，求最大值应该考虑间断点的函数值，即
limu(t) 2V ， lim u(t) 0
t 0
t
比较极值点和间断点的函数值，可得
u 2V max
Lb
L32 L2 L3
n L3
L2 L3
答案 5.16 解：由变压器特性方程可知
u1 nu2
i1
1 n
i2
1 n
( u2 ) 16
(1)
对左回路应用 KVL 方程
u1 4i1 u1 4i1 nu2
(2)
将式(1)代入式(2)，考虑到 u2 u1 ，可得
u1
(1 4n
n)u2
u2
u1 n
解得
C n
d(u1 ) n dt
C n2
du1 dt
Ceq
du1 dt
Ceq
C n2
u1
L1
di1 dt
L3
d(i1 dt
i2 )
Fra Baidu biblioteku2
L2
di2 dt
L3
d(i1 i2 ) dt
整理得
u1
(L1
L3 )
di1 dt
L3
di2 dt
u2
L3
di1 dt
(L2
L3 )
di2 dt
(1)
对图(b)电路，
u1
La
di1 dt
u1
u1
Lb
di1 dt
nu2
i1
1 n
i2
i1 i1 i1
ui R
, uo
uC
故
uo
1 C
t
iC ( )d
1 C
0
iC
(
)d
1 C
t 0
iC
(
)d
1 C
t
0 iC ( )d uC (0)
1 RC
t
0 ui ( )d uC (0)
答案 5.5 解：取电容、电感上的电压、电流为关联参考方向，如图所示。由运算放大器
输入端口电流为零的条件可知
(L1
M
)
(L2 L2
M M
)M M
L1
M
L2M L2
M
2
M2 L1 L2
答案 5.14 解：这里所谓等效是指两个电路端口电压、电流关系相同。下面循此思路加以
证明。对图(b)可知，
u1
L1
diL1 dt
L1
d dt
(i1
i1)
(1)
由理想变压器元件方程得
i1 i2 / n
(2)
将式(2)代入式(1)得
i(t) 1
0 u( )d 1
1
1.5d
1
t
(1)d
L
L0
L1
i(0) 1.5 1 (1 t) 0.5 0.5
(3)
6 2t
令 i(t) 0 ，得
t 3s
(2) t 4s 时，由式(3)得此时电流
i(4s)=6A-2 4A=-2A
故磁链及磁场能分别为
(4s) Li(4s) 0.5(2)Wb=-1Wb
答案 5.1 解：(1)图(b)电压随时间分段连续，可描述为
t 0 t 1s
u(t) 1 1s t 2s
(1)
3 t 2s t 3s
图(a)电容电流与电压为关联参考方向，其关系可表示为
i C du du dt dt
将式(1)代入，可得
1A 0 t 1s i(t) 0 1s t 2s
u1
L1
d dt
(i1
i2
/
n)
L1
di1 dt
L1L2
di2 dt
(3)
由理想变压器特性还可得
1 u2 n u1
L1 L2
di1 dt
L2
di2 dt
方程(3)和(4)刚好是图(a)全耦合电感( M
等效。
(4) L1L2 )的特性方程，故图(a)、(b)相互
答案 5.15
解：证明：
对图(a)电路，列其端口特性方程
i Ψ 4A L
答案 5.11 解：图题电路为直流电路，电容相当于开路，电感相当于短路。
由分流公式得电感电流
IL
0.3A 12 (12 10 8)
0.12A
电容电压
UC IL 8 0.96V 电容储存的能量为
WC
1 2
CUC
2
1 2
0.5F (0.96V)2
0.2304J
电感储存的能量为
WL
1 2
LI L 2
1 2
0.2H (0.12A)2
1.44103V
答案 5.12
解：由互感元件的端口特性方程，得
0.2
diS dt
0.08
di2 dt
u1
(1)
0.1
di2
dt
0.08 diS dt
uS
(2)
将式(2)乘以 0.8，再与式(1)相减，从而消去 di2 得 dt
U3
U
2
C4 C3 C4
40 0.05 0.2 0.05
8V ，U4
U2
U3
32V
则各电容储存的电场能量为
WC1
1 2
C1U12
20J ，WC2
1 2
C2U
2 2
48J
，
WC3
1 2
C3U32
6.4J
， WC4
1 2
C4U
2 4
25.6J
注释：只有对联接到电路前均未充电的电容，才可按电容分压来计算串联电容
iC iR
又由运算放大器输入端口电压为零的条件可知
iC
C duC dt
C
dui dt
， uo
uR
故
uo
iR R
RC
dui dt
答案 5.6 解：由
we
(t)
1 2
Cu 2
得
u2 2we (t) 4t2 C
解得电容上的电压为
u 2t 电容上的电流为
i C du 4 A dt
由 KVL 方程得
答案 5.8 解：（1）由图(b)可知电感上电压的表达式为
1.5V 0 t 1s
u(t)
1V
t 1s
(1)
电感元件上电流与电压的关系可表示为
i(t) 1
t
u( )d
L
(2)
在 0 t 1s 内，电流在1.5V 电压作用下继续增加，只有在 t 1s 后，由于电压改
变极性，电流方开始减小，并在某一时刻达到零值。在 t 1s 后电流变化规律为
W (4s) 1 Li2 (4s) 1J 2
答案 5.9 解：由题意，电感两端电压为
u L diS dt
将电流源的电流表达式代入式(1)，得
（1）
u L d iS dt
0 (2 6t)e3t
t0 t 0
（2）
由式(2)可知，当 t 0 时，电感上电压为 0，其绝对值仍为 0；当 t 0 时，令 du 0 ， dt
的电压。
答案 5.3 解：电阻消耗的电能为
WR
0 pR (t)d
i2Rd
0
(
Ie
t RC
)2
Rd
0.5R2I 2C
0
电容最终储存的电荷为
qC () qC (0) 0 id
t
CuC (0) 0 (Ie RC )d RCI
电容最终储能为
WC
qC2 () 2C
0.5R 2 I
2C
uS u i 1 (2t 4)V
答案 5.7 解：设各元件电压、电流取关联参考方向，由 KVL 得
uR uC uL uL 0
即
iC R uC
(1 ) L diC dt
0
(1)
将
iC
C
duC dt
2e2tA
代入(1)式得
2e2t e2t (1 ) 4e2t 0
解得
0.75