初中数学图形的旋转专题训练,图形的旋转中考题精选及答案

中考数学复习图形的旋转一、选择题1．下列图形中是中心对称图形的有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB 的延长线上，连结AD.下列结论一定正确的是( C )A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝BC,第2题图),第3题图) 3．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是( A )A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( A )A.10 B．2 2 C．3 D．25【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1，在Rt△BED中，BD＝BE2＋DE2＝10.故选A.,第4题图),第5题图) 5．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(－2，5)的对应点A′的坐标是( B )A．(2，5) B．(5，2) C．(2，－5) D．(5，－2)【解析】∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O，∠AOA′＝90°，∴AO＝A′O.作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°.∵∠COC′＝90°，∴∠AOA′－∠COA′＝∠COC′－∠COA′，∴∠AOC＝∠A′OC′.∴△ACO≌△A′C′O，∴AC＝A′C′，CO＝C′O.∵A(－2，5)，∴AC＝2，CO＝5，∴A′C′＝2，OC′＝5，∴A′(5，2)．故选B.6．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连结AD，BD.则下列结论：①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是( D ) A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，∴∠ACE＝120°，∠DCE ＝∠BCA＝60°，A C＝CD＝DE＝CE，∴∠ACD＝120°－60°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，AC＝AD＝DE＝CE，∴四边形ACED是菱形，∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，故选D.二、填空题7．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是__60°__．,第7题图),第8题图) 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：__将△COD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB(答案不唯一)．__．9．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A恰好落在AC上的点A′处，连结CC′，则∠ACC′＝__110°__．【解析】∵∠A＝70°，AC＝BC，∴∠BCA＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，∴∠α＝180°－2×70°＝40°，∵∠CBC′＝∠α＝40°，∴∠BCC′＝70°，∴∠ACC′＝∠ACB＋∠BCC′＝110°.10．如图，在正方形ABCD中，AD＝23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连结AP并延长交CD于点E，连结PC，则△PCE的面积为__9－53__．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP ＝60°，AP＝AB＝23，∵AD＝23，∴AE＝4，DE＝2，∴CE＝23－2，PE＝4－23，过P作PF ⊥CD 于F ，∴PF ＝32PE ＝23－3，∴△PCE 的面积为12CE ·PF ＝12×(23－2)×(23－3)＝9－5 3.故答案为9－5 3.,第10题图) ,第11题图)11．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，则DE 2＋BG 2＝__2a 2＋2b 2__．【解析】连结BD ，EG ，如图所示，∴DO 2＋BO 2＝BD 2＝BC 2＋CD 2＝2a 2，EO 2＋OG 2＝EG 2＝CG 2＋CE 2＝2b 2，则BG 2＋DE 2＝DO 2＋BO 2＋EO 2＋OG 2＝2a 2＋2b 2.三、解答题12. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别是A (－2，3)，B (－1，2)，C (－3，1)，△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A 1B 1C 1.(1)在正方形网格中作出△A 1B 1C 1；(2)在旋转过程中，点A 经过的路径AA 1︵的长度为__132π__；(3)在y 轴上找一点D ，使DB ＋DB 1的值最小，并求出D 点的坐标．,题图),答图)解：(1)如图所示： (2)在旋转过程中，点A 经过的路径AA 1︵的长度为90×π×13180＝132π (3)∵点B ，B 1在y 轴两旁，连结BB 1交y 轴于点D ，设D′为y 轴上异于D 的点，显然D′B ＋D′B 1>DB ＋DB 1，∴当点D 是BB 1与y 轴交点时，DB ＋DB 1最小．设直线BB 1的解析式为y ＝kx ＋b ，依据题意得⎩⎨⎧－k ＋b ＝2，2k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝－13，b ＝53，∴y ＝－13x ＋53，∴D (0，53) 13．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF ＝45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .(1)求证：△DEF ≌△DMF ；(2)若AE ＝1，求FM 的长．解：(1)∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM ＝∠FCD ＋∠DCM ＝180°，∴F ，C ，M 三点共线，∴DE ＝DM ，∠EDM ＝90°，∴∠EDF ＋∠MDF ＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠MDF ＝∠EDF ＝45°，在△DEF 和△DMF 中，∵⎩⎨⎧DE ＝DM ，∠EDF ＝∠MDF ，DF ＝DF ，∴△DEF ≌△DMF (SAS ) (2)由(1)得EF ＝MF ，设EF ＝MF ＝x ，∵AE ＝CM ＝1，且BC ＝3，∴BM ＝BC ＋CM ＝3＋1＝4，∴BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x ，∵EB ＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2，即22＋(4－x )2＝x 2，解得x ＝52，∴FM ＝5214．如图①，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2，宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF .现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE ′F ′D ′，旋转角为α.(1)当点D ′恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值；(2)如图②，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：GD ′＝E ′D ；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD ′与△CBD ′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，请说明理由．解：(1)∵DC ∥EF ，∴∠DCD ′＝∠CD′E ＝α，∵sin α＝CE CD′＝CE CD ＝12，∴α＝30° (2)∵G 为BC 中点，∴GC ＝CE′＝CE ＝1.∵∠D′CG ＝∠DCG ＋∠DCD′＝90°＋α，∠DCE ′＝∠D′CE′＋∠DCD′＝90°＋α，∴∠D ′CG ＝∠DCE′.又∵CD′＝CD ，∴△GCD ′≌△E ′CD (SAS )，∴GD ′＝E′D (3)能．α＝135°或α＝315°。

旋转一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．旋转参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB ﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】中心对称图形．【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选B．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是（﹣1，）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】压轴题．【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，∴P1点的坐标是（，∴P2的坐标是，又∵点P3与P2关于y轴对称，∴点P3的坐标是（﹣1，）．【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【考点】旋转的性质．【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA＜PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．又AB=BC＞PA，∴PA＜PB+PC．【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=45度．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE 绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG又∴AF=AF，GF=EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，∴△AOB≌△ADC，∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，即∠OAD=60°，所以旋转角为60°．∵OA=AD，∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形．【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．【解答】解：如图所示，△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，∴AP+AQ+QD+PB=2②，①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，∴PQ=PB+QD．延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，∵∠DCQ+∠QCB=90°，∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，∴△CPQ≌△CPM（SSS），∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】操作型．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF=；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，∴KN=NF•tan∠F=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KN=；②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，∴KP=KF=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．。

图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．23．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）6题7题9题A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+67．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题（共6小题）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是______．11题12题13题12．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为______．13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于______．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______．16．在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______．三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．20．（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．22．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B 的（）A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016•宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．（2016•朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016•莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016•呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．（2016•无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B 点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．8．（2016•和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春•雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015•浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016•邵阳）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．（2016•高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+（4﹣λ）2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016•海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．（2016•太原二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于70或120．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在AB上时，求出∠B=∠DB°，即可求出∠B′DB；②当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′DC，即可求出∠B′DB的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在AB上时，如图1，∵根据旋转的性质得出DB=DB′，∵∠B=55°，∴∠DB′B=∠B=55°，∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在AC上时，如图2，如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016•怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016•瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题（共8小题）17．（2016•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS 得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016•丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（2016•呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）和（2）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q（5，0）．【解答】（1）S△ABC=×2×2=2；（2）S△DEF=2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵ED=EF，∠DFE=90°，∴∠FDE=45°；（3）由勾股定理得：FC==，CQ==，FQ==，∴FC2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，∴∠FQC=90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；则点Q（5，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．（2016春•重庆期末）（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P 在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】（1）设直线AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠AOB，根据三角形外角性质求出∠AOB=∠1+∠3，即可得出答案；（2）延长AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠ABO=∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠AOB+∠3，代入求出即可；（3）延长AP交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】（1）∠2=∠1+∠3，证明：设直线AP交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠AOB，∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋•五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2=PE2+PB2，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ2+CQ2=PC2，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE2=22+22=8；∵PB2=1，BE2=9，∴BE2=PE2+PB2，∴∠BPE=90°，∵∠CPE=45°，∴∠BPC=135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；∵PQ2+CQ2=32+42=25，PC2=52=25，∴PQ2+CQ2=PC2，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋•苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋•利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN 是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋•江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．，【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB 中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB 中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．21。

中考数学总复习《旋转》专项测试题-附参考答案（考试时间：60分钟总分：100分）一、选择题（共8题，共40分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A．菱形B．等边三角形C．平行四边形D．直角三角形2.如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60∘后，得到△ABʹCʹ，且Cʹ为BC的中点，则CʹD:DBʹ=( )A．1:2B．1:2√2C．1:√3D．1:33.如图所示，将一个含30∘角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点Bʹ，若点Bʹ，A，C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是( )A．60∘B．90∘C．120∘D．150∘4.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AʹBʹC，使得点Aʹ恰好落在AB上，则旋转角度为( )A．30∘B．60∘C．90∘D．150∘5.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到△AʹBʹC，连接AAʹ，若∠1=25∘，则∠BAAʹ的度数是( )A．55∘B．60∘C．65∘D．70∘6.如图，O是正△ABC内一点OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60∘得到线段BOʹ，下列结论：①△BOʹA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60∘得到；②点O与Oʹ的距离为4；③∠AOB=150∘；=6+3√3；④S四边形AOBOʹ√3．⑤S△AOC+S△AOB=6+94其中正确的结论是( )A．①②③B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤7.如图，边长为8a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60∘得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是( )a A．4a B．2a C．a D．138.如图，在Rt△ABC中AC=BC=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60∘，连接BD，则图中阴影部分的面积是( )A．2√3−2B．2√3C．√3−1D．4√3二、填空题（共5题，共15分）9.如图所示，△ABC中∠BAC=33∘，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50∘，对应得到△ABʹCʹ，则∠BʹAC的度数为．10.如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30∘后，得到正方形EFCG，EF交AD于点H．则DH=．11.如图，将边长为2的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到正方形ABʹCʹDʹ，连接BBʹ，BCʹ，在旋转角从0∘到180∘的整个旋转过程中，当BBʹ=BCʹ时，△BBʹCʹ的面积为．12.如图，在等腰△ABC中AB=AC，∠B=30∘．以点B为旋转中心，旋转30∘，点A，C分别落在点Aʹ，Cʹ处，直线AC，AʹCʹ交于点D，那么AD的值为．AC13.如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180∘得到△AʹOBʹ，则点Bʹ的坐标是．三、解答题（共3题，共45分）14．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°，将△ABC绕点C按照顺时针方向旋转m度后得到△DEC，点D刚好落在AB边上，求m的值.15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形的面积；（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．16．如图是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B、C三点在小正方形的顶点上，请在图①、②中各画一个凸四边形，使其满足以下要求：（1）请在图①中取一点D（点D必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C、D为顶点的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）请在图形②中取一点D（点D必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．参考答案1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】C6. 【答案】C7. 【答案】B8. 【答案】C9. 【答案】17°10. 【答案】√311. 【答案】2+√3或2−√312. 【答案】√3−1或2−√313. 【答案】(−2,−2√3)14．【答案】解：∵∠ACB=90°,∠B=30°∴AB=2AC;∠A=60°；由题意得：AC=DC∴△DAC 为等边三角形∴∠ACD=60°∴m=60°.15．【答案】解；（1）如图所示：△A ′BC ′即为所求 ∵AB=√32+22=√13∴BA 边旋转到BA ″位置时所扫过图形的面积为：90π×(√13)2360=13π4（2）如图所示：△A ″B ″C ″∽△ABC ，且相似比为2．16．【答案】解：（1）如图所示：四边形ABCD 即为所求；（2）如图所示：四边形ABCD 即为所求．。

中考数学复习《旋转》专题训练--附带参考答案一、选择题1．下列四个图形中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（）A． B． C． D．2．点(3，−2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(3，−2)B．(−3，2)C．(−3，−2)D．(2，−3)3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'，使CC'∥AB，若∠CAB＝70°，则旋转角的度数是（）A．35°B．40°C．50°D．70°5．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．如图，在△ABC中∠BAC=138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC 边上，且AB′=CB′，则∠C的度数为（）A．14°B．15°C．16°D．17°7．如图所示，在长方形ABCD中，AC是对角线.将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°到长方形GBEF位置，H是EG的中点.若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（）A．2√5B．√41C．2√10D．√218．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上AB⊥x轴AB=CB= 2，OA=OC，∠AOC=60°将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（）A．(−3，√3)B．(3，−√3)C．(−√3，1)D．(1，−√3)二、填空题9．已知M（a，3）和N（-4，b）关于原点对称，则a+b＝．10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE=．11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，E在同一条直线上AB=1，BC=2则AD=.12．如图所示，将四边形ABCD绕顶点A按顺时针方向旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB=16cm，则图中阴影部分的面积为cm.13．如图，△AOB与△OOD关于点O成中心对称，已知∠BAO=90°，AB=4，AO=3，则AD的长为三、解答题14．在△ABC中∠B+∠ACB=30°，AB=4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．（1）旋转中心是．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．15．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试判断四边形ABED的形状．并说明理由．16．如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标依次为(−2，3)，(−5，2)，(−1，1)根据题意，解答下列问题．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点M(1，0)顺时针旋转90°得到△A2B2C2；（3）连接CC1，CC2和C1C2，直接写出△CC1C2的面积．17．△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE.（1）如图1，若AB=4，CE=2求BE的长；（2）如图2，若AB>DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α(0°<α<120°)，连接BD、AE交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想. 18．如图①所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′，旋转角为α．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；（2）如图②，G为BC中点，且0°<α<90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．参考答案1．B2．B3．B4．B5．B6．A7．B8．B9．110．75°11．√712．32π13．2√1314．（1）A（2）解：∵在△ABC中∠B+∠ACB=30°∴∠BAC=180°−（∠B+∠BAC）=150°∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合∴△ABC≅△ADE∴∠BAC=∠DAE=150°，AB=AD=4∴∠BAE=360°−∠BAC−∠DAE=60°∵C是AD的中点∴AC=CD=2∵△ABC≅△ADE∴AE=AC=2∴∠BAE=60°，AE=2．15．（1）证明：∵由旋转可知，AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°∵AB⊥BC∴∠ABC＝90°∴∠ABD＝90°-60°＝30°，∠DBE＝60°-30°＝30°∴∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°在△BDE和△BCE中{BD=BC∠DBE=∠CBEBE=BE∴△BDE≌△BCE．（SAS）．（2）解：结论：四边形ABDE是菱形．理由：∵△BDE≌△BCE∴DE＝CE∵BE＝CE，AB＝EB，AD＝EC∴AB＝EB＝DE＝AD∴四边形ABED是菱形．16．（1）解：∵△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称A，B，C三点的坐标依次为(−2，3)，(−5，2)，(−1，1)∴A1、B1、C1三点的坐标依次为(2，−3)，(5，−2)△A1B1C1即为所求作；（2）解：∵△ABC绕点M(1，0)顺时针旋转90°得到△A2B2C2 A，B，C三点的坐标依次为(−2，3)，(−5，2)，(−1，1)∴A2、B2、C2三点的坐标依次为(4，3)，(3，6)，(2，2)△A2B2C2即为所求作；（3）解：417．（1）解：如图，过点E作EH⊥BC交BC的延长线于H∵△ABC与△DCE均为等边三角形∴AB=BC=4，∠ACB=∠DCE=60°∴∠ECH=180°−∠ACB−∠DCE=60°∴∠CEH=30°∴CH=12CE=1∴EH=√CE2−CH2=√3∵BH=BC+CH=5在Rt△BEH中BE=√BH2+EH2=√25+3=2√7；（2）解：BO=AO+CO，理由如下：如图，过点C作CP⊥AE于P，CF⊥BD于F，在BO上截取OH=OC，连接CH∵△ABC与△DCE均为等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=∠ACE在△BCD和△ACE中{BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE∴△BCD≌△ACE(SAS)∴∠CBD=∠CAE，AE=BD，S△ACE=S△BCD∴12×AE⋅CP=12×BD⋅CF∴CP=CF又∵CP⊥AE，CF⊥BD∴OC平分∠BOE∵∠ABC+∠BAC=120°∴∠ABO+∠CBO+∠BAC=120°∴∠ABO+∠CAO+∠BAC=120°∴∠AOB=60°∴∠BOE=120°∵OC平分∠BOE∴∠BOC=∠EOC=60°∵HO=CO∴△CHO是等边三角形∴CH=HO=CO，∠HCO=60°=∠ACB∴∠BCH=∠ACO在△BCH和△ACO中{∠CBD=∠CAE BC=AC∠BCH=∠ACO∴△BCH≌△ACO(ASA)∴BH=AO∴BO=BH+OH=AO+CO.18．（1）解：根据题意得：CE=1，CD′=2∴在Rt△CED′中∠CD′E=30°∵矩形CDEF，CD∥EF∴∠α=∠CD′E=30°；（2）证明：∵G为BC中点∴CG=1∴CG=CE∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α在△GCD′和△E′CD中∵{CD′=CD∠GCD=∠DCE′CG=CE′∴△GCD′≌△E′CD(SAS)∴GD′=E′D；（3）135°或315°。

中考数学专题复习《图形的旋转》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一．选择题（共5小题）1．如图四边形ABCD中AD∥BC AB⊥BC AD＝2 BC＝3 将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED连AE CE则△ADE的面积是（）A．1B．2C．3D．不能确定2．如图平面直角坐标系中点B在第一象限点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°OA＝2 将△AOB绕点O逆时针旋转90°点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1 2+）B．（﹣3）C．（﹣2+）D．（﹣3 ）3．如图平面直角坐标系中点B在第一象限点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣3）B．（﹣3 ）C．（﹣2+）D．（﹣12+）4．如图在正方形ABCD中E是BC边上的一点BE＝4 EC＝8 将正方形边AB沿AE折叠到AF延长EF交DC于G连接AG FC现在有如下4个结论：①∠EAG＝45°②FG＝FC③FC∥AG④S△GFC＝14．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如图在正方形ABCD中AB＝6 M是AD边上的一点AM：MD＝1：2．将△BMA 沿BM对折至△BMN连接DN则DN的长是（）A．B．C．3D．二．填空题（共12小题）6．如图△ABC是等边三角形AB＝7 点D是边BC上一点点H是线段AD上点连接BH CH．当∠BHD＝60°∠AHC＝90°时AH＝．7．如图已知点A（0 3）B（4 0）点C在第一象限且AC＝5BC＝10 则直线OC的函数表达式为．8．如图在△ABC中AB＝AC＝5 BC＝4D为边AB上一动点（B点除外）以CD 为一边作正方形CDEF连接BE则△BDE面积的最大值为．9．如图在△ABC中AB＝10 AC＝2∠ACB＝45°D为AB边上一动点（不与点B重合）以CD为边长作正方形CDEF连接BE则△BDE的面积的最大值等于．10．如图正方形ABCD和Rt△AEF AB＝5 AE＝AF＝4 连接BF DE．若△AEF绕点A旋转当∠ABF最大时S△ADE＝．11．如图正方形ABCD和Rt△AEF AB＝13 AE＝AF＝12 连接BF DE．若△AEF绕点A旋转当∠ABF最大时S△ADE＝．12．如图正方形ABCD的边长为2 点E F分别在边AD CD上若∠EBF＝45°则△EDF的周长等于．13．如图在正方形ABCD内作∠EAF＝45°AE交BC于点E AF交CD于点F连接EF过点A作AH⊥EF垂足为H将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG若BE＝2 DF＝3 则AH的长为．14．如图E F是正方形ABCD的边AD上两个动点满足AE＝DF．连接CF交BD于点G连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2 则线段DH长度的最小值是．15．如图E F是正方形ABCD的边AD上的两个动点满足AE＝DF连接CF交BD于点G连接BE交AG于点H．若正方形的边长为 4 则线段DH长度的最小值是．16．如图将边长为6的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E F分别在边AB CD上）使点B落在AD边上的点M处（点M不与A D重合）点C落在点N处MN与CD交于点P连接MB当点M在边AD上移动时有下列结论：①BM＝EF②0＜PF＜3③∠AMB＝∠BMP④△PDM的周长随之改变．其中正确结论的序号是（把你认为正确的结论的序号都填上）．17．如图在矩形ABCD中AB＝3 BC＝5 点E为BC边上一个动点连接AE将线段AE绕点E顺时针旋转90°点A落在点P处当点P在矩形ABCD外部时连接PC PD．若△DPC为直角三角形则BE的长为．三．解答题（共11小题）18．在△ABC中∠ACB＝90°＝m D是边BC上一点将△ABD沿AD折叠得到△AED连接BE．（1）特例发现如图1 当m＝1 AE落在直线AC上时．①求证：∠DAC＝∠EBC②填空：的值为（2）类比探究如图2 当m≠1 AE与边BC相交时在AD上取一点G使∠ACG＝∠BCE CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示）并写出探究过程（3）拓展运用在（2）的条件下当m＝D是BC的中点时若EB•EH＝6 求CG的长．19．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA）∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1 连接AM BN求证：AM＝BN（2）将△MON绕点O顺时针旋转．①如图2 当点M恰好在AB边上时求证：AM2+BM2＝2OM2②当点A M N在同一条直线上时若OA＝4 OM＝3 请直接写出线段AM的长．20．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON）∠AOB＝∠MON ＝90°．（1）如图1：连AM BN求证：△AOM≌△BON（2）若将△MON绕点O顺时针旋转①如图2 当点N恰好在AB边上时求证：BN2+AN2＝2ON2②当点A M N在同一条直线上时若OB＝4 ON＝3 请直接写出线段BN的长．21．如图在四边形ABCD中∠B＝60°∠D＝30°AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度数（2）连接BD探究AD BD CD三者之间的数量关系并说明理由（3）若AB＝1 点E在四边形ABCD内部运动且满足AE2＝BE2+CE2求点E运动路径的长度．22．问题发现：如图1 在△ABC中AB＝AC∠BAC＝60°D为BC边上一点（不与点B C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE连接EC则：（1）①∠ACE的度数是②线段AC CD CE之间的数量关系是．拓展探究：（2）如图2 在△ABC中AB＝AC∠BAC＝90°D为BC边上一点（不与点B C 重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE连接EC请写出∠ACE的度数及线段AD BD CD之间的数量关系并说明理由解决问题：（3）如图3 在Rt△DBC中DB＝3 DC＝5 ∠BDC＝90°若点A满足AB＝AC∠BAC＝90°请直接写出线段AD的长度．23．如图在△ABC中∠ACB＝90°∠BAC＝30°AB＝2．若点P是△ABC内一点求P A+PB+PC的最小值．24．已知在△ABC中∠ACB＝30°（1）如图1 当AB＝AC＝2 求BC的值（2）如图2 当AB＝AC点P是△ABC内一点且P A＝2 PB＝PC＝3 求∠APC的度数（3）如图3 当AC＝4 AB＝（CB＞CA）点P是△ABC内一动点则P A+PB+PC 的最小值为．25．已知在△ABC中O为BC边的中点连接AO将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角）得到△EOF连接AE CF．（1）如图1 当∠BAC＝90°且AB＝AC时则AE与CF满足的数量关系是（2）如图2 当∠BAC＝90°且AB≠AC时（1）中的结论是否仍然成立？若成立请写出证明过程若不成立请说明理由．（3）如图3 延长AO到点D使OD＝OA连接DE当AO＝CF＝5 BC＝6时求DE的长．26．如图在正方形ABCD中点E是AB边上一点以DE为边作正方形DEFG DF与BC交于点M延长EM交GF于点H EF与CB交于点N连接CG．（1）求证：CD⊥CG（2）若tan∠MEN＝求的值（3）已知正方形ABCD的边长为1 点E在运动过程中EM的长能否为？请说明理由．27．在正方形ABCD中点E是直线AB上动点以DE为边作正方形DEFG DF所在直线与BC所在直线交于点H连接EH．（1）如图1 当点E在AB边上时延长EH交GF于点M EF与CB交于点N连接CG①求证：CD⊥CG②若tan∠HEN＝求的值（2）当正方形ABCD的边长为4 AE＝1时请直接写出EH的长．28．如图在边长为1的正方形ABCD中动点E F分别在边AB CD上将正方形ABCD沿直线EF折叠使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A D重合）点C落在点N处MN与CD交于点P设BE＝x．（1）当AM＝时求x的值（2）随着点M在边AD上位置的变化△PDM的周长是否发生变化？如变化请说明理由如不变请求出该定值（3）设四边形BEFC的面积为S求S与x之间的函数表达式并求出S的最小值．参考答案一．选择题（共5小题）1．解：如图所示作EF⊥AD交AD延长线于F作DG⊥BC∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED∴∠EDF+∠CDF＝90°DE＝CD又∵∠CDF+∠CDG＝90°∴∠CDG＝∠EDF在△DCG与△DEF中∴△DCG≌△DEF（AAS）∴EF＝CG∵AD＝2 BC＝3∴CG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1∴EF＝1∴△ADE的面积是：×AD×EF＝×2×1＝1．故选：A．2．解：如图作B′H⊥y轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2 ∠B′A′H＝60°∴∠A′B′H＝30°∴A′H＝A′B′＝1 B′H＝∴OH＝3∴B′（﹣3）故选：B．3．解：如图过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中∵A′B′＝2 ∠B′A′H＝60°∴A′H＝A′B′cos60°＝1 B′H＝A′B′sin60°＝∴OH＝2+1＝3∴B′（﹣3）故选：A．4．解：如图连接DF．∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BC＝CD∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°由翻折可知：AB＝AF∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°BE＝EF＝4 ∠BAE＝∠EAF ∵∠AFG＝∠ADG＝90°AG＝AG AD＝AF∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）∴DG＝FG∠GAF＝∠GAD设GD＝GF＝x∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°故①正确在Rt△ECG中∵EG2＝EC2+CG2∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2∴x＝6∵CD＝BC＝BE+EC＝12∴DG＝CG＝6∴FG＝GC易知△GFC不是等边三角形显然FG≠FC故②错误∵GF＝GD＝GC∴∠DFC＝90°∴CF⊥DF∵AD＝AF GD＝GF∴AG⊥DF∴CF∥AG故③正确∵S△ECG＝×6×8＝24 FG：FE＝6：4＝3：2∴FG：EG＝3：5∴S△GFC＝×24＝故④错误故选：B．5．解：连接AN交BM于点O作NH⊥AD于点H．如图：∵AB＝6 AM：MD＝1：2．∴AM＝2 MD＝4．∵四边形ABCD是正方形．∴BM＝．根据折叠性质AO⊥BM AO＝ON．AM＝MN＝2．∴．∴＝．∴AN＝．∵NH⊥AD．∴AN2﹣AH2＝MN2﹣MH2．∴．∴．∴．∴．∴DN＝．故选：D．二．填空题（共11小题）6．解：作AE⊥BH于E BF⊥AH于F如图∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC∠BAC＝60°∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°∠BAH+∠CAH＝60°∴∠ABH＝∠CAH在△ABE和△CAH中∴△ABE≌△CAH（AAS）∴BE＝AH AE＝CH∵∠AHE＝∠BHD＝60°∴∠HAE＝∠HBF＝30°∴AH＝2HE AE＝HE BH＝2HF BF＝HF∴AH＝AE＝CH在Rt△AHC中AH2+（AH）2＝AC2＝72解得AH＝2故答案为2．7．解：如图连接AB作CD⊥x轴于点D∴AB＝＝＝5∵AC＝5BC＝10∴AB2+BC2＝52+102＝125＝AC2∴∠ABC＝90°∴∠ABO+∠CBD＝90°∵∠AOB＝∠BDC＝90°∴∠OAB+∠ABO＝90°∴∠OAB＝∠CBD∴△ABO∽△BCD∴即解得：BD＝6 CD＝8则OD＝10∴点C的坐标为（10 8）设直线OC的函数表达式为y＝kx将点C（10 8）代入得：10k＝8 即k＝∴直线OC的函数表达式为y＝x故答案为：y＝x．8．解：过点C作CG⊥BA于点G作EH⊥AB于点H作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5 BC＝4∴BM＝CM＝2∴△AMB∽△CGB∴即∴GB＝8设BD＝x则DG＝8﹣x∵ED＝DC∠EHD＝∠DGC∠HED＝∠GDC∴△EDH≌△DCG（AAS）∴EH＝DG＝8﹣x∴S△BDE＝＝＝当x＝4时△BDE面积的最大值为8．故答案为8．9．解：如图过点E作EM⊥BA于M过点C作CN⊥BA交BA的延长线于N过点A 作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中∵∠AHC＝90°∠ACH＝45°AC＝2∴AH＝CH＝AC•cos45°＝在Rt△ABH中∵∠AHB＝90°AB＝10 AH＝∴BH＝＝＝3∴BC＝BH+CH＝4∵S△ACB＝•BC•AH＝•AB•CN∴CN＝4在Rt△ACN中AN＝＝＝2∴BN＝BA+AN＝12 设BD＝x则DN＝12﹣x∵四边形EFCD是正方形∴DE＝DC∠EDC＝∠EMD＝∠DNC＝90°∴∠EDM+∠ADC＝90°∠ADC+∠DCN＝90°∴∠EDM＝∠DCN∴△EMD≌△DNC（AAS）∴EM＝DN＝12﹣x∴S△DBE＝•BD•EM＝•x•（12﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣6）2+18∵﹣＜0∴当x＝6时△BDE的面积的最大最大值为18．故答案为18．10．解：作DH⊥AE于H如图∵AF＝4 当△AEF绕点A旋转时点F在以A为圆心4为半径的圆上∴当BF为此圆的切线时∠ABF最大即BF⊥AF在Rt△ABF中BF＝＝3∵∠EAF＝90°∴∠BAF+∠BAH＝90°∵∠DAH+∠BAH＝90°∴∠DAH＝∠BAF在△ADH和△ABF中∴△ADH≌△ABF（AAS）∴DH＝BF＝3∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．11．解：过D作DH⊥AE于H如图所示：∵AF＝12∴当△AEF绕点A旋转时点F在以A为圆心12为半径的圆上∴当BF为此圆的切线时∠ABF最大∴BF⊥AF在Rt△ABF中由勾股定理得：BF＝＝＝5∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB∵∠EAF＝90°∴∠BAF+∠BAH＝90°∵∠DAH+∠BAH＝90°∴∠DAH＝∠BAF在△ADH和△ABF中∴△ADH≌△ABF（AAS）∴DH＝BF＝5∴S△ADE＝AE•DH＝×12×5＝30故答案为：30．12．解：∵四边形ABCD为正方形∴AB＝BC∠BAE＝∠C＝90°∴把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG如图∴BG＝BE CG＝AE∠GBE＝90°∠BAE＝∠C＝90°∴点G在DC的延长线上∵∠EBF＝45°∴∠FBG＝∠EBG﹣∠EBF＝45°∴∠FBG＝∠FBE在△FBG和△EBF中∴△FBG≌△FBE（SAS）∴FG＝EF而FG＝FC+CG＝CF+AE∴EF＝CF+AE∴△DEF的周长＝DF+DE+CF+AE＝CD+AD＝2+2＝4故答案为：4．13．解：由旋转的性质可知：AF＝AG∠DAF＝∠BAG．∵四边形ABCD为正方形∴∠BAD＝90°．又∵∠EAF＝45°∴∠BAE+∠DAF＝45°．∴∠BAG+∠BAE＝45°．∴∠GAE＝∠F AE．在△GAE和△F AE中∴△GAE≌△F AE．∵AB⊥GE AH⊥EF∴AB＝AH GE＝EF＝5．设正方形的边长为x则EC＝x﹣2 FC＝x﹣3．在Rt△EFC中由勾股定理得：EF2＝FC2+EC2即（x﹣2）2+（x﹣3）2＝25．解得：x1＝6．x2＝﹣1（舍去）∴AB＝6．∴AH＝6．故答案为：6．14．解：在正方形ABCD中AB＝AD＝CD∠BAD＝∠CDA∠ADG＝∠CDG 在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS）∴∠1＝∠2在△ADG和△CDG中∴△ADG≌△CDG（SAS）∴∠2＝∠3∴∠1＝∠3∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°∴∠1+∠BAH＝90°∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°取AB的中点O连接OH OD则OH＝AO＝AB＝1在Rt△AOD中OD＝＝＝根据三角形的三边关系OH+DH＞OD∴当O D H三点共线时DH的长度最小最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB AB直径的半圆上运动当O H D三点共线时DH长度最小）故答案为：﹣1．15．解：在正方形ABCD中AB＝AD＝CD∠BAD＝∠CDA∠ADG＝∠CDG在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS）∴∠1＝∠2在△ADG和△CDG中∴△ADG≌△CDG（SAS）∴∠2＝∠3∴∠1＝∠3∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°∴∠1+∠BAH＝90°∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°取AB的中点O连接OH OD则OH＝AO＝AB＝2在Rt△AOD中OD＝＝2根据三角形的三边关系OH+DH＞OD∴当O D H三点共线时DH的长度最小最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．故答案为：2﹣2．16．解：作FG⊥AB于G如图所示：则∠EGF＝90°GF＝BC＝AB∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC＝∠A＝90°∴∠ABM+∠AMB＝90°由折叠的性质得：BM⊥EF BE＝ME∠EMN＝∠ABC＝90°∴∠ABM+∠GEF＝∠ABM+∠AMB＝90°∴∠AMB＝∠GEF在△ABM和△GFE中∴△ABM≌△GFE（AAS）∴BM＝EF①正确若点M与A重合则C与D重合P与D重合PF＝3当M与D重合时N与C重合P与C重合EF与AC重合CF＝0 ∵点M不与A D重合∴0＜PF＜3 ②正确∵BE＝ME∴∠ABM＝∠EMB∵∠ABC＝∠EMN＝90°∴∠AMB＝∠BMP③正确设AM＝x则MD＝6﹣x．由折叠性质可知EM＝BE＝6﹣AE在Rt△AEM中AE2+AM2＝EM2即AE2+x2＝（6﹣AE）2整理得：AE2+x2＝36﹣12AE+AE2∴AE＝（36﹣x2）又∵∠EMP＝90°∴∠AME+∠DMP＝90°．∵∠AME+∠AEM＝90°∴∠AEM＝∠DMP．又∵∠A＝∠D∴△PDM∽△MAE．∴＝∴△PDM的周长＝△MAE的周长•＝（6+x）•＝12．∴△PDM的周长保持不变④不正确故答案为：①②③．17．解：①如图1中当∠PDC＝90°时∵∠ADC＝90°∴∠ADC+∠PDC＝180°∴A D P共线∵EA＝EP∠AEP＝90°∴∠EAP＝45°∵∠BAD＝90°∴∠BAE＝45°∵∠B＝90°∴∠BAE＝∠BEA＝45°∴BE＝AB＝3．②如图2中当∠DPC＝90°时作PF⊥BC于F PH⊥CD于H设BE＝x∵∠AEB+∠PEF＝90°∠AEB+∠BAE＝90°∴∠BAE＝∠PEF在△ABE和△EFP中∴△ABE≌△EFP∴EF＝AB＝3 PF＝HC＝BE＝x∴CF＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2∵∠DPH+∠CPH＝90°∠CPH+∠PCH＝90°∴∠DPH＝∠PCH∵∠DHP＝∠PHC∴△PHD∽△CHP∴PH2＝DH•CH∴（x﹣2）2＝x（3﹣x）∴x＝或（舍弃）∴BE＝综上所述当△PDC是直角三角形时BE的值为3或．故答案为3或．三．解答题（共11小题）18．解（1）①如图1 延长AD交BE于F由折叠知∠AFB＝90°＝∠ACB∴∠DAC+∠ADC＝∠BDF+∠EBC＝90°∵∠ADC＝∠BDF∴∠DAC＝∠EBC②由①知∠DAC＝∠EBC∵m＝1∴AC＝BC∵∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（ASA）∴CD＝CE∴＝1故答案为1．（2）如图2 延长AD交BE于F由（1）①知∠DAC＝∠EBC∵∠ACG＝∠BCE∴△ACG∽△BCE∴＝m（3）由折叠知∠AFB＝90°BF＝FE∵点D是BC的中点∴BD＝CD∴DF是△BCE的中位线∴DF∥CE∴∠BEC＝∠BFD＝90°∠AGC＝∠ECG∠GAH＝∠CEA 由（2）知△ACG∽△BCE∴∠AGC＝∠BEC＝90°＝＝2m＝∴＝tan∠GAC＝＝设CG＝x则AG＝x BE＝2x∴AG＝CE∴△AGH≌△ECH（AAS）∴AH＝EH GH＝CH∴GH＝x在Rt△AGH中根据勾股定理得AH＝＝x ∵EB•EH＝6∴2x•x＝6∴x＝或x＝﹣（舍）即CG＝．19．（1）证明：如图1∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB OM＝ON∴△AOM≌△BON（SAS）∴AM＝BN（2）①证明：如图2 连接BN∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB OM＝ON∴△AOM≌△BON（SAS）∴∠MAO＝∠NBO＝45°AM＝BN∴∠MBN＝90°∴MB2+BN2＝MN2∵△MON是等腰直角三角形∴MN2＝2ON2∴AM2+BM2＝2OM2②解：如图3当点N在线段AM上时连接BN设BN＝x由（1）可知△AOM≌△BON可得AM＝BN且AM⊥BN 在Rt△ABN中AN2+BN2＝AB2∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形OA＝4 OM＝3∴MN＝3AB＝4∴（x﹣3）2+x2＝（4）2解得：x＝∴AM＝BN＝如图4当点M在线段AN上时连接BN设BN＝x由（1）可知△AOM≌△BON可得AM＝BN且AM⊥BN 在Rt△ABN中AN2+BN2＝AB2∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形OA＝4 OM＝3∴MN＝3AB＝4∴（x+3）2+x2＝（4）2解得：x＝∴AM＝BN＝综上所述线段AM的长为或．20．（1）证明：如图1中∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOM＝∠BON∵AO＝BO OM＝ON∴△AOM≌△BON（SAS）．（2）①证明：如图2中连接AM．同法可证△AOM≌△BON∴AM＝BN∠OAM＝∠B＝45°∵∠OAB＝∠B＝45°∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°∴MN2＝AN2+AM2∵△MON是等腰直角三角形∴MN2＝2ON2∴NB2+AN2＝2ON2．②如图3﹣1中设OA交BN于J过点O作OH⊥MN于H．∵△AOM≌△BON∴AM＝BN∠OAM＝∠OBN∵∠AJN＝∠BJO∴∠ANJ＝∠JOB＝90°∵OM＝ON＝3 ∠MON＝90°OH⊥MN∴MN＝3MH＝HN＝OH＝∴AH＝＝＝∴BN＝AM＝MH+AH＝．如图3﹣2中同法可证AM＝BN＝．21．解：（1）如图1中在四边形ABCD中∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°∠B＝60°∠D＝30°∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°．（2）如图2中结论：DB2＝DA2+DC2．理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．∵∠ABC＝∠DBQ＝60°∴∠ABD＝∠CBQ∵AB＝BC DB＝BQ∴△ABD≌△CBQ（SAS）∴AD＝CQ∠A＝∠BCQ∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°∴∠DCQ＝90°∴DQ2＝DC2+CQ2∵CQ＝DA DQ＝DB∴DB2＝DA2+DC2．（3）如图3中连接AC将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR连接RE．则△AER是等边三角形∵EA2＝EB2+EC2EA＝RE EC＝RB∴RE2＝RB2+EB2∴∠EBR＝90°∴∠RAE+∠RBE＝150°∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°∴∠BEC＝150°∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上在⊙O上取一点K连接KB KC OB OC ∵∠K+∠BEC＝180°∴∠K＝30°∠BOC＝60°∵OB＝OC∴△OBC是等边三角形∴OB＝OC＝BC＝1∴点E的运动路径＝＝．22．解：（1）∵在△ABC中AB＝AC∠BAC＝60°∴∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC即∠BAD＝∠CAE在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ACE＝∠B＝60°BD＝CE∴BC＝BD+CD＝EC+CD∴AC＝BC＝EC+CD故答案为：60°AC＝DC+EC（2）BD2+CD2＝2AD2理由如下：由（1）得△BAD≌△CAE∴BD＝CE∠ACE＝∠B＝45°∴∠DCE＝90°∴CE2+CD2＝ED2在Rt△ADE中AD2+AE2＝ED2又AD＝AE∴BD2+CD2＝2AD2（3）作AE⊥CD于E连接AD∵在Rt△DBC中DB＝3 DC＝5 ∠BDC＝90°∴BC＝＝∵∠BAC＝90°AB＝AC∴AB＝AC＝∠ABC＝∠ACB＝45°∵∠BDC＝∠BAC＝90°∴点B C A D四点共圆∴∠ADE＝45°∴△ADE是等腰直角三角形∴AE＝DE∴CE＝5﹣DE∵AE2+CE2＝AC2∴AE2+（5﹣AE）2＝17∴AE＝1 AE＝4∴AD＝或AD＝4．23．解：以点A为旋转中心顺时针旋转△APB到△AP′B′旋转角是60°连接BB′PP′如图所示则∠P AP′＝60°AP＝AP′PB＝P′B′∴△APP′是等边三角形∴AP＝PP′∴P A+PB+PC＝PP′+P′B′+PC∵PP′+P′B′+PC≥CB′∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值即P A+PB+PC的最小值就是CB′的值∵∠BAC＝30°∠BAB′＝60°AB＝2∴∠CAB′＝90°AB′＝2 AC＝AB•cos∠BAC＝2×cos30°＝2×＝∴CB′＝＝＝故答案为：．24．解：（1）如图1中作AP⊥BC于P．∵AB＝AC AP⊥BC∴BP＝PC在Rt△ACP中∵AC＝2 ∠C＝30°∴PC＝AC•cos30°＝∴BC＝2PC＝2．（2）如图2中将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△QAC．∵AB＝AC∠C＝30°∴∠BAC＝120°∴P A＝AQ＝2 PB＝QC＝∵∠P AQ＝120°∴PQ＝2∴PQ2+PC2＝QC2∴∠QPC＝90°∵∠APQ＝30°∴∠APC＝30°+90°＝120°．（3）如图3中将△BCP绕点C逆时针旋转60°得到△CB′P′连接PP′AB′则∠ACB′＝90°．∵P A+PB+PC＝P A+PP′+P′B′∴当A P P′B′共线时P A+PB+PC的值最小最小值＝AB′的长由AB＝AC＝4 ∠C＝30°可得BC＝CB′＝3∴AB′＝＝．故答案为．25．解：（1）结论：AE＝CF．理由：如图1中∵AB＝AC∠BAC＝90°OC＝OB ∴OA＝OC＝OB AO⊥BC∵∠AOC＝∠EOF＝90°∴∠AOE＝∠COF∵OA＝OC OE＝OF∴△AOE≌△COF（SAS）∴AE＝CF．（2）结论成立．理由：如图2中∵∠BAC＝90°OC＝OB∴OA＝OC＝OB∵∠AOC＝∠EOF∴∠AOE＝∠COF∵OA＝OC OE＝OF∴△AOE≌△COF（SAS）∴AE＝CF．（3）如图3中由旋转的性质可知OE＝OA∵OA＝OD∴OE＝OA＝OD＝5∴∠AED＝90°∵OA＝OE OC＝OF∠AOE＝∠COF∴＝∴△AOE∽△COF∴＝∵CF＝OA＝5∴＝∴AE＝∴DE＝＝＝．26．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°AD＝CD DE＝DG∴∠ADE＝∠CDG在△ADE和△CDG中∴△ADE≌△CDG（SAS）∴∠A＝∠DCG＝90°∴CD⊥CG（2）解：∵四边形DEFG是正方形∴EF＝GF∠EFM＝∠GFM＝45°在△EFM和△GFM中∴△EFM≌△GFM（SAS）∴EM＝GM∠MEF＝∠MGF在△EFH和△GFN中∴△EFH≌△GFN（ASA）∴HF＝NF∵tan∠MEN＝＝∴GF＝EF＝3HF＝3NF∴GH＝2HF作NP∥GF交EM于P则△PMN∽△HMG△PEN∽△HEF ∴＝＝＝∴PN＝HF∴＝＝＝＝（3）EM的长不可能为理由：假设EM的长为∵点E是AB边上一点且∠EDG＝∠ADC＝90°∴点G在BC的延长线上同（2）的方法得EM＝GM＝∴GM＝在Rt△BEM中EM是斜边∴BM＜∵正方形ABCD的边长为1∴BC＝1∴CM＞∴CM＞GM∴点G在正方形ABCD的边BC上与“点G在BC的延长线上”相矛盾∴假设错误即：EM的长不可能为．27．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°AD＝CD DE＝DG∴∠ADE＝∠CDG在△ADE和△CDG中∴△ADE≌△CDG（SAS）∴∠A＝∠DCG＝90°∴CD⊥CG②如图1 过点N作NP∥DE∵四边形DEFG是正方形∴EF＝GF∠EFH＝∠GFH＝45°且HF＝HF ∴△EFH≌△GFH（SAS）∴EH＝GH∠HEF＝∠HGF∵∠HEF＝∠HGF EF＝GF∠EFM＝∠GFN ∴△EFM≌△GFN（ASA）∴FM＝NF EM＝GN∵tan∠HEN＝＝∴EF＝4MF＝4NF＝GF∴GM＝3MF＝EN＝3NF∴NP∥DE∴△PNE∽△MFE∴∴PN＝MF∵NP∥DE∴＝∴（2）如图1 ∵AD＝4 AE＝1∴DE＝＝＝∴EF＝GF＝∴NF＝EF＝∵GN2＝GF2+NF2∴GN＝∵∴GH＝GN＝∴EH＝GH＝若点E在点A左侧如图2 设AB与DH于点O过点F作FN⊥AB∵∠DEA+∠FEB＝90°∠DEA+∠ADE＝90°∴∠ADE＝∠FEB且∠DAE＝∠FNE＝90°DE＝EF∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1 DA＝EN＝4∴AN＝3 BN＝1∵DA∥NF∴∴ON＝∴BO＝∴AO＝∵DA∥BH∴∴BH＝∴EH＝＝＝如图3 过点F作FN⊥AB于N交BA的延长线于N BA的延长线交FH于M同理可求EH＝如图4 过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N同理可求EH＝28．解：（1）如图在Rt△AEM中AE＝1﹣x EM＝BE＝x AM＝∵AE2+AM2＝EM2∴（1﹣x）2+（）2＝x2∴x＝．（2）△PDM的周长不变为2．理由：设AM＝y则BE＝EM＝x MD＝1﹣y在Rt△AEM中由勾股定理得AE2+AM2＝EM2（1﹣x）2+y2＝x2解得1+y2＝2x∴1﹣y2＝2（1﹣x）∵∠EMP＝90°∠A＝∠D∴Rt△AEM∽Rt△DMP∴＝即＝解得DM+MP+DP＝＝2．∴△DMP的周长为2．（3）作FH⊥AB于H．则四边形BCFH是矩形．连接BM交EF于O交FH于K．在Rt△AEM中AM＝＝∵B M关于EF对称∴BM⊥EF∴∠KOF＝∠KHB∵∠OKF＝∠BKH∴∠KFO＝∠KBH∵AB＝BC＝FH∠A＝∠FHE＝90°∴△ABM≌△HFE∴EH＝AM＝∴CF＝BH＝x﹣∴S＝（BE+CF）•BC＝（x+x﹣）＝[（）2﹣+1]＝（﹣）2+．当＝时S有最小值＝．。

初三旋转考试题及答案初三数学旋转考试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 在平面直角坐标系中，点P(3,4)绕原点O逆时针旋转90°后，新坐标为：A. (4,3)B. (-3,4)C. (3,-4)D. (4,-3)2. 一个正方形绕其中心点旋转45°后，其边长不变，面积不变，以下说法正确的是：A. 形状不变B. 形状改变C. 面积改变D. 形状和面积都改变3. 一个圆心在原点的圆，半径为r，绕原点旋转任意角度后，其半径：A. 变大B. 不变C. 变小D. 无法确定4. 若点A(1,2)绕点B(2,3)旋转30°，旋转后的点A'坐标为：A. (1.5, 3.5)B. (1.5, 2.5)C. (2.5, 3.5)D. 无法确定5. 一个等腰直角三角形绕其直角顶点旋转90°后，其形状：A. 不变B. 变为等边三角形C. 变为等腰三角形D. 变为直角三角形二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个矩形绕其中心点旋转180°后，其形状________。

7. 点P(2,-1)绕原点O逆时针旋转45°后，新坐标的横坐标为________。

8. 若一个圆绕其圆心旋转任意角度，其周长________。

9. 一个平行四边形绕其对角线交点旋转90°后，其形状变为________。

10. 一个等边三角形绕其一边的中点旋转60°，旋转后的图形与原图形________。

三、解答题（共25分）11. （5分）若点M(-1,1)绕点N(1,1)旋转60°，求点M'的坐标。

12. （10分）一个边长为4的正方形ABCD，以点A为旋转中心，逆时针旋转30°，求旋转后正方形A'B'C'D'的顶点坐标。

13. （10分）一个圆心在原点，半径为5的圆，绕原点旋转60°，求旋转后圆上任意一点P(x,y)的新坐标。

旋转基础练习一一、选择题1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A．6个B．7个C．8个D．9个2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°(图1) (图2) (图3)二、填空题．1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB 上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP是________三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图4，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置．如图5，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．(图4) (图5) (图6) (图7) 如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，AF=21AB ． （1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 移到△ADF 的位置？（2）指出如图7所示中的线段BE 与DF 之间的关系．2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B 点从开始至结束所走过的路径长是多少？答案:一、1．B 2．C 3．B二、1．旋转 旋转中心 旋转角 2．A 45° 3．点A 60° 等边 三、1．（1）通过旋转，即以点A 为旋转中心，将△ABE 逆时针旋转90°．（2）BE=DF ，BE ⊥DF2．翻滚一次滚120° 翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2．旋转基础练习二一、选择题1．△ABC 绕着A 点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（ ） A ．50° B ．210° C ．50°或210° D ．130° 2．在图形旋转中，下列说法错误的是（ ）A ．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B ．图形上每一点转动的角度相同C ．图形上可能存在不动的点D ．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（ ）二、填空题1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD CE（填“>”,“<”或“=”）．3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是________．三、解答题1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？3．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，则△OAF与△OBE重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？答案:一、1．C 2．A3．D二、1．相等2．△ACE 图形全等= 3．相等三、1．这四个部分是全等图形2．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴绕AB、AC的中点旋转180°，可以得到一个半圆，∴面积之和=21． 3．重合：证明：∵EG ⊥AF ∴∠2+∠3=90° ∵∠3+∠1+90°=180° ∵∠1+∠3=90° ∴∠1=∠2同理∠E=∠F ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ∴△ABF ≌△BCE ，∴BF=CE ，∴OE=OF ，∵OA=OB ∴△OBE 绕O 点旋转90°便可和△OAF 重合．旋转基础练习三一、选择题1．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（ ） A ．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B ．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C ．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D ．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90° 2．同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围 成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形均 是等边三角形，其中的菱形AEFG 可以看成把菱形ABCD 以 A 为中心（ ）A ．顺时针旋转60°得到的B ．顺时针旋转120°得到的C ．逆时针旋转60°得到的D ．逆时针旋转120°得到的3．下面的图形中，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是 （ ）A ．（1），（4）B ．（1），（3）C ．（1），（2）D ．（3），（4）二、填空题1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度是________．2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．3．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．三、解答题．1．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标．2．如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！3．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△AC P′重合，如果AP=3，求PP′的长．答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．4 72°2．旋转3．相等三、1．答案不唯一，学生设计的只要符合题目的要求，都应给予鼓励．2．略3．∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（）A．55°B．125°C．70°D．110°二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）梯形．三、解答题1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．A2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．答案:一、1．B 2．D 3．D二、1．这一点（对称中心）2．中心对称3．（1）（4）（5）三、1．略2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA；（3）连结A′D′、D′C′、C′B则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．3.略.旋转基础练习五一、选择题1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．直角B．等边三角形C．直角梯形D．两条相交直线2．下列命题中真命题是（）A．两个等腰三角形一定全等B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形D．两直线平行，同旁内角相等3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A．60°B．50°C．75°D．55°二、填空题1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心所________．2．关于中心对称的两个图形是_________图形．3．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，它的对称中心是__________．三、解答题1．分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：21085（1）以顶点A 为对称中心，（2）以BC 边的中点K 为对称中心．2．如图，已知一个圆和点O ，画一个圆，使它与已知圆关于点O 成中心对称．3．如图，A 、B 、C 是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校M ，现计划修建居民小区D ，其要求：（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试写居民小区D 的位置．答案:一、1．D 2．C 3．A二、1．对称中心 平分 2．全等 3．线段中垂线，线段中点．三、1．略 2．作出已知圆圆心关于O 点的对称点O′，以O′为圆心，已知圆的半径为半径作圆．3．连结AB 、AC ，分别作AB 、AC 的中垂线PQ 、GH 相交于M ，学校M 所在位置，就是△ABC 外接圆的圆心，小区D 是在劣弧BC 的中点即满足题意．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰梯形 C ．平行四边形 D ．正六边形2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是（ ）A ．21085B ．28015C ．58012D ．51082二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________． 三、解答题1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”） ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ） ②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ）（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是_____．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如图，将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠，使B 1点落在A 1D 1边上的B 处；沿BG 折叠，使D 1点落在D 处且BD 过F 点．（1）求证：四边形BEFG 是平行四边形；（2）连接BB ，判断△B 1BG 的形状，并写出判断过程．FG DECA B1A 1B 1C 1D3．如图，直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）设过A 、A 1、B 三点的函数解析式为y=ax 2+bx+c ，求这个解析式．答案：一、1．D 2．D 3．D二、1．中心对称图形 2．答案不唯一 3．答案不唯一三、1．（1）①假 ②真 （2）①③（3）①例如正五边形 正十五边形 •②例如正十边 正二十边形2．（1）证明：∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1BD=∠C 1FB 又∵四边形ABEF 是由四边形A 1B 1EF 翻折的，∴∠B 1FE=∠EFB ，同理可得：∠FBG=∠D 1BG ， ∴∠EFB=90°-21∠C 1FB ，∠FBG=90°-21∠A 1BD ， ∴∠EFB=∠FBG∴EF ∥BG ，∵EB ∥FG ∴四边形BEFG 是平行四边形． （2）直角三角形，理由：连结BB ，∵BD 1∥FC 1，∴∠BGF=∠D 1BG ，∴∠FGB=∠FBG 同理可得：∠B 1BF=∠FB 1B ． ∴∠B 1BG=90°，∴△B 1BG 是直角三角形 3．解：（1）如右图所示（2）由题意知A 、A 1、B 1三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0）∴⎩=++⎪⎨=⎪⎧=-+a b cc a b c 04210 解这个方程组得⎩⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪⎪=-⎧c b a 12121∴所求五数解析式为y=-21x 2+21x+1．旋转基础练习七一、选择题1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（ ） A ．y=x1B ．y=2x+1C ．y=-2x+1D ．以上三种都不可能2．如图，已知矩形ABCD 周长为56cm ，O 是对称线交点，点O 到矩形两条邻边的距离之差等于8cm ，则矩形边长中较长的一边等于（ ）A ．8cmB ．22cmC ．24cmD ．11cm 二、填空题1．如果点P （-3，1），那么点P （-3，1）关于原点的对称点P′的坐标是P′_______． 2．写出函数y=-x 3与y=x3具有的一个共同性质________（用对称的观点写）． DCAB O三、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，A （-3，1），B （-2，3），C （0，2），画出△ABC 关于x 轴对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于y 轴对称的△A″B″C″，那么△A″B″C″与△ABC 有什么关系，请说明理由．2．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且A （0，3），B （3，0），现将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1． （1）在图中画出直线A 1B 1；（2）求出过线段A 1B 1中点的反比例函数解析式； （3）是否存在另一条与直线A 1B 1平行的直线y=kx+b （我们发现互相平行的两条直线斜率k 相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由．答案:一、1．A 2．B 二、1．（3，-1） 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形． 三、1．画图略，△A″B″C″与△ABC 的关系是关于原点对称． 2．（1）如右图所示，连结A 1B 1； （2）A 1B 1中点P （1.5，-1.5），设反比例函数解析式为y=x k ，则y=-x2.25．（3）A 1B 1：设y=k 1x+b 1 ⎩=-⎨⎧=-k b 033311⎩=-⎨⎧=b k 3111∴y=x+3∵与A 1B 1直线平行且与y=x2.25相切的直线是A 1B 1•旋转而得到的． ∴所求的直线是y=x+3， 下面证明y=x+3与y=-x2.25相切， ⎩⎪=-⎨⎪⎧=+x y y x 2.253 ⇒x 2+3x+2.25=0，b 2-4ac=9-4×1×2.25=0，∴y=x+3与y=-x2.25相切．旋转基础练习八一、选择题1．在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（ ）2．将三角形绕直线L 旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）二、填空题1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的______和______都保持不变．2．如上右图，是由________关系得到的图形．三、解答题 1．（1）图案设计人员在进行图设计时，常常用一个模具板来设计一幅幅美丽漂亮的图案，你能说出用同一模具板设计出的两个图案之间是什么关系吗？（2）现利用同一模具板经过平移、旋转、轴对称设计一个图案，并说明你所表达的意义．2．如图，你能利用平移、旋转或轴对称这样的变化过程来分析它的形成过程吗？答案:一、1．D 2．B二、1．形状大小2．旋转三、1．（1）用同一块模块设计出的两个图案之间可能是由平移、旋转、•轴对称变化得到的，或者是由这三种变化的组合而成的；（2）略2．略。

中考数学真题《图形的旋转》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（30题）一 、单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，ABC 中 55BAC ∠=︒ 将ABC 逆时针旋转(055),αα︒<<︒得到ADE DE 交AC 于F ．当40α=︒时 点D 恰好落在BC 上 此时AFE ∠等于（ ）A ．80︒B ．85︒C ．90︒D ．95︒2．（2023·天津·统考中考真题）如图，把ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE 点B C 的对应点分别是点D E 且点E 在BC 的延长线上 连接BD 则，下列结论一定正确的是（ ）A ．CAE BED ∠=∠B ．AB AE =C ．ACE ADE ∠=∠D ．CE BD =3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 把ADE 以A 为中心顺时针旋转 点M 为射线BD CE 的交点．若3AB 1AD =．以下结论： ①BD CE = ①BD CE ⊥ ①当点E 在BA 的延长线上时 33MC -=①在旋转过程中 当线段MB 最短时 MBC 的面积为12． 其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，已知等腰直角ABC 90ACB ∠=︒ 2AB = 点C 是矩形ECGF 与ABC 的公共顶点 且1CE = 3CG = 点D 是CB 延长线上一点 且2CD =．连接BG DF 在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中 当线段BG 达到最长和最短时 线段DF 对应的长度分别为m 和n 则，mn的值为（ ）A ．2B ．3C 10D 13二 填空题5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE 的顶点C 为旋转中心 按顺时针方向旋转 使得新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，正五边ABCDE 旋转的度数至少为______°．6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，AO 为BAC ∠的平分线 且50BAC ∠=︒ 将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C ''' 且100OAC '∠=︒则，四边形ABOC 旋转的角度是______．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = D 是AB 上一点 且2AD = 过点D 作DE BC ∥交AC 于E 将ADE 绕A 点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为__________．8．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线12C C 、分别是函数2(0),(0,0)ky x y k x x x=-<=>>的图像 边长为6的正ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上 顶点B C 在x 轴上（B 在C 的左侧） 现将ABC 绕原点O 顺时针旋转 当点B 在曲线1C 上时 点A 恰好在曲线2C 上则，k 的值为__________．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段8AB = 点C 是线段AB 上的动点 将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD 连接CD 在AB 的上方作Rt DCE ∆ 使90,30DCE E ∠=∠= 点F 为DE 的中点 连接AF 当AF 最小时 BCD ∆的面积为___________．10．（2023·江西·统考中考真题）如图，在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为_______．11．（2023·上海·统考中考真题）如图，在ABC 中 35C ∠=︒ 将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒ 旋转后的点B 落在BC 上 点B 的对应点为D 连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线则，α=________．12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 3cm AB = =60B ∠︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转 得到AB C ''△ 若点B 的对应点B '恰好落在线段BC 上则，点C 的运动路径长．．．．．是___________cm （结果用含π的式子表示）．13．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,3,1ACB AC BC ∠=︒== 将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒ 得到AB C ''△．连接BB ' 交AC 于点D 则，ADDC的值为________．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知等腰ABC 120A ∠=︒ 2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒ 得到A BC ''△ 延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______． 15．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一副三角板ABC 和DEF 中90304512C D B E BC EF ∠=∠=︒∠=︒∠=︒==，，，．将它们叠合在一起 边BC 与EF 重合 CD 与AB 相交于点G （如图1） 此时线段CG 的长是___________ 现将DEF 绕点()C F 按顺时针方向旋转（如图2）边EF 与AB 相交于点H 连结DH 在旋转0︒到60︒的过程中 线段DH 扫过的面积是___________．三 解答题16．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．17．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1 一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起 M N 分别是斜边DE AB 的中点 2,4DE AB ==．(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周 请直接写出点M N 距离的最大值和最小值(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2） 求MN 的长．18．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1 ABC 的顶点均在小正方形的格点上．(1)将ABC 向下平移3个单位长度得到111A B C △ 画出111A B C △ (2)将ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到222A B C △ 画出222A B C △ (3)在（2）的运动过程中请计算出ABC 扫过的面积．19．（2023·辽宁·统考中考真题）在Rt ABC ∆中 90°ACB ∠= CA CB = 点O 为AB 的中点 点D 在直线AB 上（不与点,A B 重合） 连接CD 线段CD 绕点C 逆时针旋转90° 得到线段CE 过点B 作直线l BC ⊥ 过点E 作EF l ⊥ 垂足为点F 直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D 与点O 重合时 请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系 (2)如图，当点D 在线段AB 上时 求证：2CG BD BC +=(3)连接DE CDE 的面积记为1S ABC 的面积记为2S 当:1:3EF BC =时 请直接写出12S S 的值．20．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后 刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板ABC 绕点A 逆时针旋转θ到达AB C ''△的位置 那么可以得到：AB AB '=AC AC '= BC B C ''= BAC B AC ''∠=∠ ABC AB C ''∠=∠ ACB AC B ''∠=∠（ ）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中 即“变”中蕴含着“不变” 这是我们解决图形旋转的关键 故数学就是一门哲学． 【问题解决】（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________（2）如图，小王将一个半径为4cm 圆心角为60︒的扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90︒到达扇形纸板A B C '''的位置．①请在图中作出点O①如果=6cm BB '则，在旋转过程中 点B 经过的路径长为__________ 【问题拓展】小李突发奇想 将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠 一个固定在墙上 使得一边位于水平位置 另一个在弧的中点处固定 然后放开纸板 使其摆动到竖直位置时静止 此时 两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示 请你帮助小李解决这个问题．21．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形ABCD 中（顶点,,,A B C D 按逆时针方向排列） 12,10,AB AD B ==∠为锐角 且4sin 5B =．(1)如图1 求AB 边上的高CH 的长．(2)P 是边AB 上的一动点 点,C D 同时绕点P 按逆时针方向旋转90︒得点,C D ''． ①如图2 当点C '落在射线CA 上时 求BP 的长． ①当AC D ''△是直角三角形时 求BP 的长．22．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形ABCD 中 点M 在边BC 上 点E 是AM 的中点 连接EDEC ．(1)求证：ED EC =(2)将BE 绕点E 逆时针旋转 使点B 的对应点B '落在AC 上 连接MB '．当点M 在边BC 上运动时（点M 不与B C 重合） 判断CMB '的形状 并说明理由．(3)在（2）的条件下 已知1AB = 当45DEB ∠'=︒时 求BM 的长．23．（2023·江苏扬州·统考中考真题）【问题情境】在综合实践活动课上 李老师让同桌两位同学用相同的两块含30︒的三角板开展数学探究活动 两块三角板分别记作ADB 和,90,30A D C ADB A D C B C ∠=∠=︒∠''''=∠=︒△ 设2AB =． 【操作探究】如图1 先将ADB 和A D C ''的边AD A D ''重合 再将A D C ''绕着点A 按顺时针．．．方向旋转 旋转角为()0360αα︒≤≤︒ 旋转过程中ADB 保持不动 连接BC ．(1)当60α=︒时 BC =________ 当22BC = α=________︒ (2)当90α=︒时 画出图形 并求两块三角板重叠部分图形的面积(3)如图2 取BC 的中点F 将A D C ''绕着点A 旋转一周 点F 的运动路径长为________． 24．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]如图1 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O ．在线段AO 上任取一点P （端点除外） 连接PD PB 、．①求证：PD PB =①将线段DP 绕点P 逆时针旋转 使点D 落在BA 的延长线上的点Q 处．当点P 在线段AO 上的位置发生变化时 DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由 ①探究AQ 与OP 的数量关系 并说明理由． （2）[迁移探究]如图2 将正方形ABCD 换成菱形ABCD 且60ABC ∠=︒ 其他条件不变．试探究AQ 与CP 的数量关系 并说明理由．25．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年 法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A B C 求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置 意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明 该点也被称为“费马点”或“托里拆利点” 该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法 请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空 ①处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空 ①处填写角度数 ①处填写该三角形的某个顶点）当ABC 的三个内角均小于120︒时如图1 将APC △绕 点C 顺时针旋转60︒得到A P C '' 连接PP '由60PC P C PCP ''=∠=︒， 可知PCP '△为 ① 三角形 故PP PC '= 又P A PA ''= 故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥由 ① 可知 当B P P ' A 在同一条直线上时 PA PB PC ++取最小值 如图2 最小值为A B ' 此时的P 点为该三角形的“费马点” 且有APC BPC APB ∠=∠=∠= ①已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时 “费马点”为该三角形的某个顶点．如图3 若120BAC ∠≥︒则，该三角形的“费马点”为 ① 点．(2)如图4 在ABC 中 三个内角均小于120︒ 且3430AC BC ACB ==∠=︒，， 已知点P 为ABC 的“费马点” 求PA PB PC ++的值(3)如图5 设村庄A B C 的连线构成一个三角形 且已知4km 23km 60AC BC ACB ==∠=︒，，．现欲建一中转站P 沿直线向A B C 三个村庄铺设电缆 已知由中转站P 到村庄A B C 的铺设成本分别为a 元/km a 元/km 2a 元/km 选取合适的P 的位置 可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a 的式子表示）26．（2023·四川·统考中考真题）如图1 已知线段AB AC 线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转 连接BC 以BC 为边在BC 上方作Rt BDC 且30DBC ∠=︒．(1)若=90BDC ∠︒ 以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △ 且90AEB ∠=︒ 30EBA ∠=︒ 连接DE 用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是(2)如图2 在(1)的条件下 若DE AB ⊥ 4AB = 2AC = 求BC 的长(3)如图3 若90BCD ∠=︒ 4AB = 2AC = 当AD 的值最大时 求此时tan CBA ∠的值．27．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形 90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒== 连接AD BE 探究ADBE 的位置关系．(1)如图1 当1m =时 直接写出AD BE 的位置关系：____________(2)如图2 当1m ≠时 （1）中的结论是否成立？若成立 给出证明 若不成立 说明理由． 【拓展应用】(3)当3,7,4m AB DE ===时 将CDE 绕点C 旋转 使,,A D E 三点恰好在同一直线上 求BE 的长．28．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图① 把一个含有45︒角的三角尺放在正方形ABCD 中 使45︒角的顶点始终与正方形的顶点C 重合 绕点C 旋转三角尺时 45︒角的两边CM CN 始终与正方形的边AD AB 所在直线分别相交于点M N 连接MN 可得CMN ．【探究一】如图① 把CDM 绕点C 逆时针旋转90︒得到CBH 同时得到点H 在直线AB 上．求证：CNM CNH ∠=∠【探究二】在图①中 连接BD 分别交CM CN 于点E F ．求证：CEF CNM △∽△【探究三】把三角尺旋转到如图①所示位置 直线BD 与三角尺45︒角两边CM CN 分别交于点E F ．连接AC 交BD 于点O 求EFNM的值．29．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后 进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD 的边BC 上任意取一点G 以BG 为边长向外作正方形BEFG 将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转．特例感知：（1）当BG 在BC 上时 连接DF AC ，相交于点P 小红发现点P 恰为DF 的中点 如图①．针对小红发现的结论 请给出证明（2）小红继续连接EG 并延长与DF 相交 发现交点恰好也是DF 中点P 如图① 根据小红发现的结论 请判断APE 的形状 并说明理由 规律探究：（3）如图① 将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转α 连接DF 点P 是DF 中点 连接AP EP AEAPE 的形状是否发生改变？请说明理由．30．（2023·贵州·统考中考真题）如图① 小红在学习了三角形相关知识后 对等腰直角三角形进行了探究 在等腰直角三角形ABC 中 ,90CA CB C =∠=︒ 过点B 作射线BD AB ⊥ 垂足为B 点P 在CB 上．(1)【动手操作】如图① 若点P 在线段CB 上 画出射线PA 并将射线PA 绕点P 逆时针旋转90︒与BD 交于点E 根据题意在图中画出图形 图中PBE ∠的度数为_______度 (2)【问题探究】根据（1）所画图形 探究线段PA 与PE 的数量关系 并说明理由 (3)【拓展延伸】如图① 若点P 在射线CB 上移动 将射线PA 绕点P 逆时针旋转90︒与BD 交于点E 探究线段,,BA BP BE 之间的数量关系 并说明理由．参考答案一 单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，ABC 中 55BAC ∠=︒ 将ABC 逆时针旋转(055),αα︒<<︒得到ADE DE 交AC 于F ．当40α=︒时 点D 恰好落在BC 上 此时AFE ∠等于（ ）A ．80︒B ．85︒C ．90︒D ．95︒【答案】B【分析】根据旋转可得B ADB ADE ∠=∠=∠ 再结合旋转角40α=︒即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：55BAC DAE ∠=∠=︒ AB AD = ①40α=︒①15DAF ∠=︒ 70B ADB ADE ∠=∠=∠=︒ ①85AFE DAF ADE ∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了几何—旋转问题 掌握旋转的性质是关键．2．（2023·天津·统考中考真题）如图，把ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE 点B C 的对应点分别是点D E 且点E 在BC 的延长线上 连接BD 则，下列结论一定正确的是（ ）A ．CAE BED ∠=∠B ．AB AE =C ．ACE ADE ∠=∠D ．CE BD = 【答案】A【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意 由旋转的性质可得AB AD = AC AE = BC DE = 故B 选项和D 选项不符合题意=ABC ADE ∠∠=ACE ABCBAC∴=ACE ADEBAC 故C 选项不符合题意=ACB AED =ACB CAECEA=AED CEA BED∴=CAE BED 故A 选项符合题意故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质 熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 把ADE 以A 为中心顺时针旋转 点M 为射线BD CE 的交点．若3AB 1AD =．以下结论： ①BD CE = ①BD CE ⊥ ①当点E 在BA 的延长线上时 33MC -=①在旋转过程中 当线段MB 最短时 MBC 的面积为12．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】证明BAD CAE ≌即可判断① 根据三角形的外角的性质得出① 证明DCM ECA ∠∠∽得出313-= 即可判断① 以A 为圆心 AD 为半径画圆 当CE 在A 的下方与A 相切时 MB 的值最小 可得四边形AEMD 是正方形 在Rt MBC 中22MC BC MB -21 然后根据三角形的面积公式即可判断①．【详解】解：①ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 ①,,90BA CA DA EA BAC DAE ==∠=∠=︒ ①BAD CAE ∠=∠ ①BAD CAE ≌①ABD ACE ∠=∠ BD CE = 故①正确 设ABD ACE α∠=∠= ①45DBC α∠=︒-,①454590EMB DBC BCM DBC BCA ACE αα∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-+︒+=︒ ①BD CE ⊥ 故①正确当点E 在BA 的延长线上时 如图所示①DCM ECA ∠=∠ 90DMC EAC ∠=∠=︒ ①DCM ECA ∠∠∽①MC CDAC EC= ①3AB = 1AD =．①31CD AC AD =-= 222CE AE AC =+= 313-=①33MC -=故①正确 ①如图所示 以A 为圆心 AD 为半径画圆①90BMC ∠=︒ ①当CE 在A 的下方与A 相切时 MB 的值最小 90ADM DAE AEM ∠=∠=∠=︒①四边形AEMD 是矩形 又AE AD =①四边形AEMD 是正方形 ①1MD AE ==①222BD EC AC AE =- ①21MB BD MD =-= 在Rt MBC 中 22MC BC MB -①PB 取得最小值时 222MC AB AC MB +-()2332121+--①)()1112121222BMCSMB MC =⨯==故①正确 故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质 相似三角形的性质 勾股定理 切线的性质 垂线段最短 全等三角形的性质与判定 正方形的性质 熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，已知等腰直角ABC 90ACB ∠=︒ 2AB = 点C 是矩形ECGF与ABC 的公共顶点 且1CE = 3CG = 点D 是CB 延长线上一点 且2CD =．连接BG DF 在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中 当线段BG 达到最长和最短时 线段DF 对应的长度分别为m 和n 则，mn的值为（ ）A ．2B ．3C 10D 13【答案】D【分析】根据锐角三角函数可求得1AC BC == 当线段BG 达到最长时 此时点G 在点C 的下方 且BC G 三点共线 求得4BG = 5DG = 根据勾股定理求得26DF = 即26m = 当线段BG 达到最短时 此时点G 在点C 的上方 且B C G 三点共线则，2BG = 1DG = 根据勾股定理求得2DF 即2n = 即可求得13mn【详解】①ABC 为等腰直角三角形 2AB = ①2sin 4521AC BC AB ==⋅︒== 当线段BG 达到最长时 此时点G 在点C 的下方 且B C G 三点共线 如图：则4BG BC CG =+= 5DG DB BG =+=在Rt DGF △中 22225126DF DG GF =++ 即26m =当线段BG 达到最短时 此时点G 在点C 的上方 且B C G 三点共线 如图：则2BG CG BC =-= 1DG BG DB =-=在Rt DGF △中 2222112DF DG GF =++ 即2n = 故26132m n == 故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数 勾股定理等 根据旋转推出线段BG 最长和最短时的位置是解题的关键．二 填空题5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE 的顶点C 为旋转中心 按顺时针方向旋转 使得新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，正五边ABCDE 旋转的度数至少为______°．【答案】72【分析】依据正五边形的外角性质 即可得到DCF ∠的度数 进而得出旋转的角度． 【详解】解：①五边形ABCDE 是正五边形①530726DCF ∠÷=︒=︒①新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，旋转的最小角度是72︒故答案为：72．【点睛】本题主要考查了正多边形 旋转性质 关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，AO 为BAC ∠的平分线 且50BAC ∠=︒ 将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C ''' 且100OAC '∠=︒则，四边形ABOC 旋转的角度是______．【答案】75︒【分析】根据角平分线的性质可得25BAO OAC ==︒∠∠ 根据旋转的性质可得50BAC B AC ''∠=∠=︒ 25B AO O AC ''''==︒∠∠ 求得75OAO '∠=︒ 即可求得旋转的角度．【详解】①AO 为BAC ∠的平分线 50BAC ∠=︒①25BAO OAC ==︒∠∠①将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C '''①50BAC B AC ''∠=∠=︒ 25B AO O AC ''''==︒∠∠①1002575OAO OAC O AC ''''∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：75︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质 旋转的性质 熟练掌握以上性质是解题的关键．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = D 是AB 上一点 且2AD = 过点D 作DE BC ∥交AC 于E 将ADE 绕A 点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为__________．【答案】45【分析】首先根据勾股定理得到2210AC AB BC += 然后证明出ADE ABC △△∽ 得到AD AEAB AC= 进而得到ADABAE AC = 然后证明出ABD ACE ∽ 利用相似三角形的性质求解即可．【详解】①在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = ①2210AC AB BC +①DE BC ∥①90ADE ABC ∠=∠=︒ AED ACB ∠=∠①ADE ABC △△∽ ①ADAEAB AC = ①ADABAE AC =①BAC DAE ∠=∠①BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠①BAD CAE ∠=∠①ABD ACE ∽ ①84105BD AB CD AC ===． 故答案为：45．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定 解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．8．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线12C C 、分别是函数2(0),(0,0)k y x y k x x x=-<=>>的图像 边长为6的正ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上 顶点B C 在x 轴上（B 在C 的左侧）现将ABC 绕原点O 顺时针旋转 当点B 在曲线1C 上时 点A 恰好在曲线2C 上则，k 的值为__________．【答案】6【分析】画出变换后的图像即可（画AOB 即可） 当点A 在y 轴上 点B C 在x 轴上时 根据ABC 为等边三角形且AO BC ⊥ 可得3OB OA = 过点A B 分别作x 轴垂线构造相似则，BFO OEA ∽ 根据相似三角形的性质得出3AOE S =△ 进而根据反比例函数k 的几何意义 即可求解．【详解】当点A 在y 轴上 点B C 在x 轴上时 连接AOABC 为等边三角形且AO BC ⊥则，30BAO ∠=︒∴tan tan30BAO ∠=︒=3OB OA = 如图所示 过点,A B 分别作x 轴的垂线 交x 轴分别于点,E FAO BO ⊥ 90BFO AEO AOB ∠=∠=∠=︒∴90BOF AOE EAO ∠=︒-∠=∠∴BFO OEA ∽ ∴213BFO AOE S OB SOA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴212BFO S -==∴3AOE S =△∴6k =．【点睛】本题考查了反比例函数的性质 k 的几何意义 相似三角形的性质与判定 正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段8AB = 点C 是线段AB 上的动点 将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD 连接CD 在AB 的上方作Rt DCE ∆ 使90,30DCE E ∠=∠= 点F 为DE 的中点 连接AF 当AF 最小时 BCD ∆的面积为___________．3【分析】连接CF BF ， BF ，CD 交于点P 由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF 垂直平分CF 60ABF ∠=︒为定角 可得点F 在射线BF 上运动 当AF BF ⊥时 AF 最小 由含30度角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接CF BF ， BF ，CD 交于点P 如图，①90DCE ∠= 点F 为DE 的中点①FC FD =①30E ∠=①60FDC ∠=︒,①FCD 是等边三角形①60DFC FCD ∠=∠=︒①线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD①BC BD =①FC FD =①BF 垂直平分CF 60ABF ∠=︒①点F 在射线BF 上运动①当AF BF ⊥时 AF 最小此时9030FAB ABF ∠=︒-∠=︒ ①142BF AB == ①1302BFC DFC ∠=∠=︒ ①90FCB BFC ABF ∠=∠+∠=︒①122BC BF == ①112PB BC == ①由勾股定理得223PC BC PB - ①223CD PC == ①11231322BCD S CD PB =⋅=⨯△3【点睛】本题考查了等腰三角形性质 含30度直角三角形的性质 斜边中线性质 勾股定理 线段垂直平分线的判定 勾股定理 旋转的性质 确定点F 的运动路径是关键与难点．10．（2023·江西·统考中考真题）如图，在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为_______．【答案】90︒或270︒或180︒【分析】连接AC 根据已知条件可得90BAC ∠=︒ 进而分类讨论即可求解．【详解】解：连接AC 取BC 的中点E 连接AE 如图所示①在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， ①12BE CE BC AB ===①ABE 是等边三角形①60BAE AEB ∠=∠=︒ AE BE =①AE EC = ①1302EAC ECA AEB ∠=∠=∠=︒ ①90BAC ∠=︒①AC CD ⊥如图所示 当点P 在AC 上时 此时90BAP BAC ∠=∠=︒则，旋转角α的度数为90︒当点P 在CA 的延长线上时 如图所示则，36090270α=︒-︒=︒当P 在BA 的延长线上时则，旋转角α的度数为180︒ 如图所示①PA PB CD == PB CD ∥①四边形PACD 是平行四边形①AC AB ⊥①四边形PACD 是矩形①90PDC ∠=︒即PDC △是直角三角形综上所述 旋转角α的度数为90︒或270︒或180︒故答案为：90︒或270︒或180︒．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定 等边三角形的性质与判定 矩形的性质与判定 旋转的性质 熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11．（2023·上海·统考中考真题）如图，在ABC 中 35C ∠=︒ 将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒ 旋转后的点B 落在BC 上 点B 的对应点为D 连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线则，α=________．【答案】1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【分析】如图，AB AD = BAD ∠=α 根据角平分线的定义可得CAD BAD α∠=∠= 根据三角形的外角性质可得35ADB α∠=︒+ 即得35B ADB α∠=∠=︒+ 然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：AB AD = BAD ∠=α①AD 是BAC ∠的角平分线①CAD BAD α∠=∠=①35ADB C CAD α∠=∠+∠=︒+ AB AD =①35B ADB α∠=∠=︒+则在ABC 中 ①180C CAB B ∠+∠+∠=︒①35235180αα︒++︒+=︒ 解得：1103α⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭故答案为：1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了旋转的性质 等腰三角形的性质 三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识 熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 3cm AB = =60B ∠︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转 得到AB C ''△ 若点B 的对应点B '恰好落在线段BC 上则，点C 的运动路径长．．．．．是___________cm （结果用含π的式子表示）．3π【分析】由于AC 旋转到AC ' 故C 的运动路径长是CC '的圆弧长度 根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ' 如图所示．在直角ABC 中 =60B ∠︒则，30C ∠=︒则()2236cm BC AB ==⨯=． ①)22226333cm AC BC AB =--．由旋转性质可知 AB AB '= 又=60B ∠︒①ABB '是等边三角形．①60BAB '∠=︒．由旋转性质知 60CAC '∠=︒．故弧CC '的长度为：()602333cm 3603AC πππ⨯⨯⨯=⨯ 3π【点睛】本题考查了含30︒角直角三角形的性质 勾股定理 旋转的性质 弧长公式等知识点 解题的关键是明确C 点的运动轨迹．13．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,3,1ACB AC BC ∠=︒== 将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒ 得到AB C ''△．连接BB ' 交AC 于点D 则，AD DC 的值为________．【答案】5【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F 利用勾股定理求得10AB根据旋转的性质可证ABB ' DFB △是等腰直角三角形 可得DF BF = 再由1122ADB SBC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 得=10AD DF 证明AFD ACB 可得DF AF BC AC = 即3AF DF = 再由=10AF DF 求得10=DF 从而求得52AD = 12CD = 即可求解． 【详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F①90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC = ①223110AB +①将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△ ①==10AB AB ' 90BAB '∠=︒①ABB '是等腰直角三角形①45ABB '∠=︒又①DF AB ⊥①45FDB ∠=︒①DFB △是等腰直角三角形①DF BF = ①1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ① 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠①AFD ACB ①DF AF BC AC= 即3AF DF = 又①=10AF DF ①10=DF ①105=10=2AD 51=3=22CD - ①52==512AD CD 故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质 等腰三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 三角形的面积 熟练掌握相关知识是解题的关键．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知等腰ABC 120A ∠=︒ 2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒ 得到A BC ''△ 延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______． 【答案】423423+-或【分析】根据题意 先求得23BC = 当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ 过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E 当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒ 过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F 分别画出图形 根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示 过点A 作AM BC ⊥于点M①等腰ABC 120BAC ∠=︒ 2AB =． ①30ABC ACB ∠=∠=︒ ①112AM AB == 223BM CM AB AM =- ①23BC =如图所示 当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ 过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E①120BAC ∠=︒①60DA B '∠=︒ 30A EB '∠=︒在Rt A BE '中 24A E A B ''== 2223BE A E A B ''-= ①等腰ABC 120BAC ∠=︒ 2AB =． ①30ABC ACB ∠=∠=︒①ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ ①45ABA '∠=︒①180********DBE ∠=︒-︒-︒-︒=︒ 1804530105A BD '∠=︒-︒-︒=︒ 在A BD '中 1801806010515D DA B A BD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=''︒, ①D EBD ∠=∠ ①23EB ED ==①423A D A E DE ''=+=+如图所示 当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒ 过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F在BFD △中 45BDF CBC ∠'=∠=︒ ①DF BF =在Rt DC F '中 30C '∠=︒ ①3'DF ①33BC BF BF ==①33DF BF ==①2623DC DF '==-①6232423A D C D A C ''''=-=-=- 综上所述 A D '的长度为423-423+ 故答案为：43-43+【点睛】本题考查了旋转的性质 勾股定理 含30度角的直角三角形的性质 熟练掌握旋转的性质 分类讨论是解题的关键．15．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一副三角板ABC 和DEF 中90304512C D B E BC EF ∠=∠=︒∠=︒∠=︒==，，，．将它们叠合在一起 边BC 与EF 重合 CD 与AB 相交于点G （如图1） 此时线段CG 的长是___________ 现将DEF 绕点()C F 按顺时针方向旋转（如图2） 边EF 与AB 相交于点H 连结DH 在旋转0︒到60︒的过程中 线段DH 扫过的面积是___________．【答案】6662 1218318π-【分析】如图1 过点G 作GH BC ⊥于H 根据含30︒直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出3BH GH = GH CH = 然后由12BC =可求出GH 的长 进而可得线段CG 的长 如图2 将DEF 绕点C 顺时针旋转60︒得到11D E F 1FE 与AB 交于1G 连接1D D 1AD 22D E F 是DEF 旋转0︒到60︒的过程中任意位置 作1DN CD ⊥于N 过点B 作1BM D D ⊥交1D D 的延长线于M 首先证明1CDD 是等边三角形 点1D 在直线AB 上 然后可得线段DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积 求出DN 和BM 然后根据线段DH 扫过的面积111121D DBCD DD DBD D D CD D S SS SS=+=-+弓形扇形列式计算即可．【详解】解：如图1 过点G 作GH BC ⊥于H①3045ABC DEF DFE ∠=︒∠=∠=︒， 90GHB GHC ∠=∠=︒ ①3BH GH = GH CH = ①312BC BH CH GH GH =+=+= ①36GH =①()226366662CG GH ===如图2 将DEF 绕点C 顺时针旋转60︒得到11D E F 1FE 与AB 交于1G 连接1D D 由旋转的性质得：1160E CB DCD ∠=∠=︒ 1CD CD = ①1CDD 是等边三角形①30ABC ∠=︒ ①190CG B ∠=︒ ①112CG BC =①1CE BC =①1112CG CE = 即AB 垂直平分1CE①11CD E 是等腰直角三角形 ①点1D 在直线AB 上连接1AD 22D E F 是DEF 旋转0︒到60︒的过程中任意位置 则线段DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积 ①12BC EF == ①22DC DB === ①1162DC D D == 作1DN CD ⊥于N 则，132ND NC == ①()()222211623236DN D D ND =-=-过点B 作1BM D D ⊥交1D D 的延长线于M 则，90M ∠=︒ ①160D DC ∠=︒ 90CDB ∠=︒①118030BDM D DC CDB ∠=︒-∠-∠=︒ ①1322BM BD == ①线段DH 扫过的面积112D DBD D D S S =+弓形111CD DD DBCD D S S S=-+扇形(260621123623236022π⋅=-⨯⨯ 1218318π=-故答案为：6662 1218318π-．【点睛】本题主要考查了旋转的性质 含30︒直角三角形的性质 二次根式的运算 解直角三角形 等边三角形的判定和性质 勾股定理 扇形的面积计算等知识 作出图形 证明点1D 在直线AB 上是本题的突破点 灵活运用各知识点是解题的关键．三 解答题16．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明． 【答案】(1)见解析 (2)90AEF ∠=︒ 证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE = 2MDE α∠= 利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠= 可得DE DC = 等量代换得到DM DC =即可（2）延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH 可得DE 是FCH 的中位线 然后求出B ACH ∠∠= 设DM DE m == CD n = 求出2BF m CH == 证明()SAS ABF ACH ≅ 得到AF AH = 再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．。

图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D 两点间的距离为（）A．B．2C．3 D．23．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）6题7题9题A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+67．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题（共6小题）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是______．11题12题13题12．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为______．13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．14．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=55°，点D 在BC 边上，DB=2CD ，若将△ABC 绕点D 逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B 恰好落在初始位置时△ABC 的边上，则α等于______．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______． 16．在平面直角坐标系中，点P （1，1），N （2，0），△MNP 和△M 1N 1P 1的顶点都在格点上，△MNP 与△M 1N 1P 1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______． 三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CE=BC ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CF ，连接EF ．（1）补充完成图形；（2）若EF ∥CD ，求证：∠BDC=90°． 18．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2，并直接写出点B 2、C 2的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 和DE 的端点A 、B 、D 、E 均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB 为一边且面积为2的Rt △ABC ，顶点C 必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE 为一边，含有45°内角且面积为的△DEF ，顶点F 必须在小正方形的顶点上；（3）若点C 绕点Q 顺时针旋转90°后与点F 重合，请直接写出点Q 的坐标． 20．（1）如图（1），直线a ∥b ，A ，B 两点分别在直线a ，b 上，点P 在a ，b 外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论； （2）如图（2），直线a ∥b ，点P 在直线a ，b 直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度交直线b 于点M ，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数．小强在解决此题时，是将△APC 绕C 旋转到△CBE 的位置（即过C 作CE ⊥CP ，且使CE=CP ，连接EP 、EB ）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P 是等边△ABC 内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB 的度数． 22．如图1，在等腰直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A 上，从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E ．操作一：在线段BC 上取一点M ，连接AM ，旋转中发现：若AD 平分∠BAM ，则AE 也平分∠MAC ．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016?玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016?宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C 落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A．B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．（2016?朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016?莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016?呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．（2016?无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD 沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．8．（2016?和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春?雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015?浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016?邵阳）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．（2016?高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+（4﹣λ）2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016?海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．（2016?太原二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于70或120 ．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在AB上时，求出∠B=∠DB°，即可求出∠B′DB；②当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′DC，即可求出∠B′DB的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在AB上时，如图1，∵根据旋转的性质得出DB=DB′，∵∠B=55°，∴∠DB′B=∠B=55°，∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在AC上时，如图2，如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB 的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016?怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016?瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题（共8小题）17．（2016?荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016?丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A 1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（2016?呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）和（2）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q（5，0）．【解答】（1）S△ABC=×2×2=2；（2）S△DEF=2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵ED=EF，∠DFE=90°，∴∠FDE=45°；（3）由勾股定理得：FC==，CQ==，FQ==，∴FC2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，∴∠FQC=90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；则点Q（5，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．（2016春?重庆期末）（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b 外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】（1）设直线AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠AOB，根据三角形外角性质求出∠AOB=∠1+∠3，即可得出答案；（2）延长AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠ABO=∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠AOB+∠3，代入求出即可；（3）延长AP交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】（1）∠2=∠1+∠3，证明：设直线AP交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠AOB，∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋?五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2=PE2+PB2，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ2+CQ2=PC2，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE2=22+22=8；∵PB2=1，BE2=9，∴BE2=PE2+PB2，∴∠BPE=90°，∵∠CPE=45°，∴∠BPC=135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；∵PQ2+CQ2=32+42=25，PC2=52=25，∴PQ2+CQ2=PC2，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋?苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋?利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋?江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE ⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE ﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．。