实际问题与二次函数第一课时

实际问题与二次函数第一课时基础扫描1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是. 当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是；当a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是。

3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是，顶点坐标是。

当x= 时，y的最值是。

4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是，顶点坐标是。

当x= 时，函数有最值，是。

5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是.当x= 时，函数有最值，是。

实际问题与二次函数如何获得最大利润问题问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。

要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？合作交流问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件。

该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？问题3.已知某商品的进价为每件40元。

现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。

如何定价才能使利润最大？问题4.已知某商品的进价为每件40元。

现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。

如何定价才能使利润最大？练习：某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?1.已知某商品的进价为每件40元。

现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。

实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数〔1〕．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小〔大〕值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小〔大〕值等实际问题．教学重点求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小〔大〕值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究．二、新课教学问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h 〔单位：m 〕与小球的运动时间t 〔单位：s 〕之间的关系式是h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h 〔单位：m 〕与小球的运动时间t 〔单位：s 〕．然后画出函数h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)的图象〔可见教材第49页图〕．根据函数图象，可以观察到当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s 时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m ．一般地，当a ＞0〔a ＜0〕，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低〔高〕点，也就是说，当x ＝－a b 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小〔大〕值ab ac 442 ． 探究1 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S 关于l 的函数解析式，最后求出使S 最大的l 值．具体步骤可见教材第50页．三、稳固练习1．一个矩形的周长是100 cm ，设它的一边长为x cm ，那么它的另一边长为______cm ，假设设面积为s cm 2，那么s 与x 的函数关系式是__________，自变量x 的取值范围是________．当x 等于_____cm 时，s 最大，为_______ cm 2.2．：正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上任意一点，且AE =AF ，假设EC =x ，请写出△AEF 的面积y 与x 之间的函数关系式，并求出x 为何值时y 最大．参考答案：1．50－x ，s=x (50－x )，0<x <50，25，6252．y ＝－21x 2＋4x ，当x ＝4时，y 有最大值8． 四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题22.3 第1、4题．[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

22.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数（1）※教学目标※【知识与技能】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.【教学重点】通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.【教学难点】分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式，再求出使S 最大的l 值.矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S 有最大值 .探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时，每星期少卖10x 件，实际卖出()30010x -件，销售额为()60x +· ()30010x -元，买进商品需付()4030010x -元.因此，所得利润()()()60300104030010y x x x =+---，即2101006000y x x =-++，其中，0≤x ≤30.根据上面的函数，填空：当x= 时,y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？三、巩固练习1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；当x =50时，y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？答案：1.(1) ∵ AB 为x 米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为()244x －米.∴ ()()2244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a =-=时，有最大值24364ac b y a -==（平方米）.2.（1）设y kx b =+ .根据题意，得8060,10050.k b k b +⎧⎨=+⎩＝解得2,200.k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）.（2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.（3）()2? 2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60，∴当x =60时,W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.四、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题22.3中选取．※教学反思※二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.。

《实际问题与二次函数》教学设计第1课时一、教学目标1.能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数解析式，并能应用二次函数的相关性质解决面积问题；2.经历运用二次函数的性质解决实际问题的过程，体会“数形结合”的思想；3.通过建立实际问题与二次函数的联系，提高学生数学建模的能力；4.通过用二次函数解决实际生活中的问题，体会函数知识的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系.二、教学重难点重点：应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题难点：从实际问题中建立二次函数模型并求出最值三、教学用具电脑、多媒体、课件四、教学过程设计教师展示图片，通过常见的打高尔夫球，球在空中形成的曲线要求球到达的最大高度，喷泉到达的最大高度，引出实际生活与二次函数的联系，并回顾二次函数的最值.问题：还记得如何求二次函数的最值吗？教师带领学生回顾如何求二次函数的最值问题：你能画一个周长为60 cm的矩形吗？思考1：这些矩形的面积一定相等吗？不一定思考2：当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？教师给出完整分析过程，并借助二次函数图象求出最大值.=-x²＋30x，求S的最大值S矩形当x=15时，S最大=-15²+30⨯15=225所以，矩形的最大面积为225 cm².【典型例题】【例】如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形与墙平行的一边长为x m ，则当x 为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？思考：(1)菜园另一边的长= m ，菜园的面积= .(2) x 的取值范围是 . (3) 当x = 时，菜园面积最大，最大面积= .解：菜园的一边长为x m ，则另一边的长 为(30)2x－m ，所以菜园的面积为21(30)3022x S x x x --＝＝＋（0＜x ≤32）所以，当x =30时，菜园的面积最大，最大面积为450 m².1．已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm ，则这个直角三角形的最大面积为（ ） A ．25 cm 2B ．50 cm 2C ．100 cm 2D ．不确定2.在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD ，则矩形花园ABCD 的最大面积为 .答案：1.B 2.144 m²3．若把一根长为120 cm 的铁丝分成两部分 ，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是多少？解：设将铁丝分成长为x cm ，(120－x ) cm 的两段，并分别围成正方形，则正方形的边长分别为 4x cm ，1204x － cm ． 设它们的面积和为y cm 2，则当x=60时，y 的最小值为450． 所以，它们的面积和最小为450 cm 2．2222120115900(60)45001204488x x x y x x x -⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜()．。

九年级数学上册《实际问题与二次函数(1)》【学习目标】（1）能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，（2）能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。

【重点难点】重点：让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决实际问题中最大（小）值问题。

难点：如何分析实际问题中的数量关系，从中构建二次函数模型，从而解决实际问题。

【课前准备】学生预习教材P22－23内容。

【教学过程】一．学前准备：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为；当 x= 时y有最大或最小值为。

二、合作探究【活动一】面积问题问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化。

当L是多少时，场地面积S最大？分析：先写出S与L的函数关系式，再求出使S最大的L值。

完成填空：矩形场地的周长是60 cm，一边长为L，则另一边长为 cm，场地的面积为，即S与L的函数关系式为，自变量的取值范围为。

解题如下：这个函数的简图如下：由图象可以看出：①这个函数的图象是抛物线的一部分；②抛物线的顶点是函数的图象的最高点，当L取顶点的横坐标时，S最大值为顶点的纵坐标。

即当L= 时S最大= 。

【活动二】利润问题问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？[议一议] 涨价与降价有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？（1）在涨价的情况下，最大利润是多少？设商品每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化。

①每星期的销售量为件；②所获利润是元；③所获得利润为y与x的函数关系为：；④自变量x的取什范围是；⑤如何求最大值？。

解题如下：因此，当x＝时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价元，即定价元时，利润最大，最大利润是元。

（2）在降价的情况下，最大利润又是多少呢？（我们用类似的方法进行分析）设每件降价a元，所获利润为b元，解题如下：因此，当a＝时，b最大，也就是说，在降价的情况下，降价元，即定价元时，利润最大，最大利润是元。

人教版数学九年级上22.3.1第一课时教学设计坐标是 .当x= 时，函数有最_______ 值，是 .讲授新课二、探究新知问题1: 体育课上，同学们都在准备体育测试。

小明从地面竖直向上抛出一个小球，铅球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系是2305h t t =-（06t ≤≤）。

小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动1：教师提出问题，学生尝试回答。

（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？教师追问：如何求出球的最大高度呢？小组内探究分析：画出2305h t t =-（06t ≤≤）的图象，借助函数图象解决实际问题：学生通过思考，循序渐进找到解答问题的突破口，从而学会运用二次函数解决实际问题。

学生分组分析讨论，并回答问题。

结合学生生活创设情境，引导学生思考实际问题。

通过追问为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系。

()230506h t t t=-≤≤从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最值。

解：当= = 时，h有最大值244ac ba-= .∴小球运动的时间是时，小球运动到最大高度是.活动2：探究归纳如何求出二次函数y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？一般地，当a＞0（a____）时，抛物线_____(a≠0)的顶点是最低____( )点，也就是说，当x=（）时，y有最____（）值是_____。

巩固练习：教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣x2+x，由此可知铅球推出的距离是（）A．10m B．3m C．4m D．2m或10m 让学生自主探究归纳，得出求二次函数的最小（大）值的结论。