已知两个数的和及它们之间的倍数 关系

和倍问题学法指导已知两个数的和及它们之间的倍数关系,求这两个数各是多少的应用题叫做和倍应用题,简称和倍问题。

首先我们要并清几个问题：两个数相比,以被比的数为标准，这个被比的数称为一倍数，比的数里有几个这样的一倍数，就是几倍数，我们就说一个数是另一个数的几倍。

它们之间的数量关系式是: 一倍数×倍数=几倍数t几倍数÷一倍数=倍数几倍数÷倍数=一倍数在解决和倍问题时，先要确定一个数为标准(通常以较小的数为标准)，即一倍数，再根据较大的数与较小的数之间的倍数关系,确定总和相当于一倍数(较小的数）的多少倍,然后求出一倍数（较小的数)，再算出其他各数量。

和倍问题的数量关系式是：和÷（倍数+1）=一倍数即较小的数和一较小的数=较大的数，或较小的数×倍数=较大的数甲、乙两车间共有工人664人，甲车间的人数是乙的3倍,甲、乙两车间各有工人多少人？【分析与解答】我们可以用线段图表示题中的已知条件与问题:乙车间:甲车间：从上图看出,甲车间的人数是乙的3倍，那么把乙车间的人数看作1份,甲就有这样的3份，总人数664人占了1+3 =4份，把664人平均分成4份,l份就是乙车间的人数,3份就是甲车间的人数。

664÷（1+3) =166（人）166 x3 =498（人)或664 —166= 498（人）答：甲车间有工人498人，乙车间有166人.试一试1华强和建军共有图书84本，华强的图书本数是建军的3倍。

华强和建军各有图书多少本？果园里有梨树、苹果树、桃树共207棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍,苹果树的棵数是桃树的2倍。

三种果树各多少棵?【分析与解答】我们把桃树的棵数看作1份，苹果树的棵数就是这样的2份，梨树的棵数就是桃树的2 x3 =6倍，三种果树的总棵数就是桃树的6 +2 +1 =9倍。

可以先求出桃树有207÷9=23（棵)，苹果树有23×2 =46（棵),梨树就是46 x3 =138（棵）。

基础知识1.和倍问题是已知两个数的和及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。

基本的数量关系：和÷(倍数+1)=较小数 (即1倍数、标准数)2.差倍问题是已知两个数的差及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。

基本公式：差÷(倍数的差)＝标准数(一倍数)例题解析一、和倍问题例1：某班为“希望工程”捐款，两组少先队员共交废报纸240千克，第一组交的废报纸是第二组的3倍，问两组各交废报纸多少千克？线段图分析：解答变式练习：NBA球星姚明到底有多高？现在已知小明和姚明的身高和是339厘米，姚明的身高大约是小明身高的2倍。

你能够算出来吗？分析过程：解答：例2：哥哥原有108元，弟弟有60元，如果现在想把哥哥的钱调整到弟弟的5倍，弟弟应给哥哥多少钱？分析过程：解答：变式练习：妹妹有课外书20本，姐姐有课外书25本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的2倍？分析过程：解答：例3：二个同学共做了23道题。

如果乙同学再多做1题，将是甲同学做的2倍，二个同学各做了几题？分析过程：解答：练一练：已知甲、乙两个数的商是4，而这两个数的差是30，那么这两个数中较小的一个是多少？分析过程：解答：例2：甲、乙两车间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调24人到乙车间.这时乙车间人数是甲车间的4倍.甲、乙两个车间原来各有多少人分析过程：解答：例3：四（1）班与四（2）班原有图书的本数一样多。

后来，四（1）班又买来新书118本，四（2）班从本班原有书中取出70本送给一年级同学。

这时，四（1）班的图书是四（2）班的3倍。

求两班原有图书各多少本分析过程：解答：例4：有大、小两猴都有一些桃子。

小猴比大猴少13个，如果小猴再给大猴6个，这时小猴的桃子相当于大猴的1半，求大、小两猴原来各有多少个？分析过程：解答：变式练习：有两块布料，第一块148米，第二块100米，两块布各剪去同样的一段后，剩下的米数第一块是第二块的3倍。

和倍问题（二）6-1-5.教学目标学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题1.掌握寻找和倍的方法解决问题．2.知识点拨知识点说明：和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

1大数一般是把较小数看作倍数，和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，. 就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数小数+)=和÷(倍数和倍问题的数量关系式是：1 大数和一小数= 或小数×倍数=大数如果要求两个数的差，要先求份数： 1.)=两数差份数×(倍数－1l 解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

例题精讲妈妈的年龄是孩子的倍，三人各是多少岁？】1一家三口人，三人年龄之和是岁，妈妈和爸爸同岁，【例724 【题型】填空【难度】2星【考点】和倍问题倍，把孩子的年龄作为妈妈的年龄是孩子的倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的【解析】144，妈妈的年龄是：岁)倍数，已知三口人年龄和是岁，那么孩子的年龄为：(=8）4?472?(1?72 ，爸爸和妈妈同岁为岁．(岁)32?8?432 岁岁，爸爸妈妈的年龄为【答案】孩子的年龄为8325条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的】三只小猫去钓鱼，它们共钓上36【例2条鱼。

倍少9条。

黑猫钓上2倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的【题型】填空星【考点】和倍问题【难度】3 题【关键词】希望杯，四年级，二试，第82条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的6条，花猫和黑猫共钓30白猫钓到36÷（5+1）＝【解析】＝9条3条，黑猫钓到（30-3）÷3条，那么就比黑猫钓到的倍少92倍多【答案】9）岁．、乙、丙三人的年龄和为30岁，乙的年龄是甲、丙年龄和的一半．乙（【例3】甲【题型】填空星【考点】和倍问题【难度】3 【关键词】走美杯，四年级，初赛故乙的年龄为那么三人的年龄和就是乙的3倍，题意可知，【解析】由甲丙的年龄和是乙的2倍，103?30?岁。

六年级下小升初典型奥数之和倍问题在六年级下册的小升初数学学习中，和倍问题是一个重要且常见的知识点。

和倍问题，简单来说，就是已知两个数的和以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少。

让我们通过一些具体的例子来深入理解和倍问题。

例 1：果园里一共有苹果树和梨树 180 棵，苹果树的棵数是梨树的3 倍，苹果树和梨树各有多少棵？我们先来分析一下这道题。

题目中告诉我们苹果树和梨树的总数是180 棵，并且苹果树的棵数是梨树的 3 倍。

这就是一个典型的和倍问题。

那我们该怎么求解呢？我们可以把梨树的棵数看作 1 份，那么苹果树的棵数就是 3 份，它们的总和就是 4 份。

用总数 180 除以 4 份，就可以得到 1 份的数量，也就是梨树的棵数：180 ÷（3 ＋ 1) ＝ 45（棵）。

知道了梨树的棵数，苹果树的棵数就容易求了，因为苹果树的棵数是梨树的 3 倍，所以苹果树的棵数是 45 × 3 ＝ 135（棵）。

我们再来看一个例子。

例 2：学校图书馆新购进科技书和故事书共 360 本，其中科技书的本数是故事书的 4 倍，科技书和故事书各购进多少本？同样，我们把故事书的本数看作 1 份，科技书的本数就是 4 份，总共 5 份。

先求出 1 份，也就是故事书的数量：360 ÷（4 ＋ 1) ＝ 72（本）。

科技书的数量就是 72 × 4 ＝ 288（本）。

通过这两个例子，我们可以总结出解决和倍问题的一般步骤：第一步，确定两个数的和以及它们之间的倍数关系。

第二步，把倍数关系较小的那个数看作 1 份，另一个数就是相应的份数，求出总份数。

第三步，用两个数的和除以总份数，得到 1 份的数量。

第四步，根据倍数关系求出另一个数。

下面我们再来看一个稍微复杂一点的例子。

例 3：甲、乙、丙三个数的和是 480，甲数是乙数的 2 倍，乙数是丙数的 3 倍，甲、乙、丙三个数各是多少？这道题中，丙数最小，我们把丙数看作 1 份，乙数就是 3 份，甲数就是 6 份（因为甲数是乙数的 2 倍，乙数是 3 份，所以甲数是 6 份），总份数就是 1 ＋ 3 ＋ 6 ＝ 10 份。

六年级下小升初典型应用题之和倍问题在六年级的数学学习中，和倍问题是一类非常重要的应用题。

和倍问题是指已知两个数的和以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少。

为了更好地理解和倍问题，我们先来看一个简单的例子。

比如，小明和小红一共有 30 颗糖果，小明的糖果数是小红的 2 倍，那么小明和小红分别有多少颗糖果呢？要解决这个问题，我们首先要明确，这里把小红的糖果数看作1 份，小明的糖果数就是 2 份，他们一共的糖果数就是 3 份。

而总共的糖果数是 30 颗，所以 1 份就是 30÷3 ＝ 10 颗，这就是小红的糖果数。

小明的糖果数是小红的 2 倍，所以小明有 10×2 ＝ 20 颗糖果。

接下来，我们再看一个稍微复杂一点的例子。

学校图书馆新购进一批图书，其中故事书和科技书一共有 840 本，故事书的数量是科技书的 3 倍，故事书和科技书各有多少本？同样，我们把科技书的数量看作 1 份，那么故事书的数量就是 3 份，总共就是 4 份。

所以 1 份就是 840÷4 ＝ 210 本，这就是科技书的数量。

故事书的数量是科技书的 3 倍，所以故事书有 210×3 ＝ 630 本。

在解决和倍问题时，关键是要找到两个数的和以及它们之间的倍数关系，然后通过份数来求出 1 份的数量，进而求出其他份数对应的数量。

为了更熟练地解决这类问题，我们可以总结一个公式：较小数＝和÷（倍数＋ 1），较大数＝较小数×倍数。

例如，果园里苹果树和梨树一共有 720 棵，苹果树的棵数是梨树的5 倍。

按照公式，我们先求出梨树的棵数，也就是较小数，720÷（5 ＋1）＝ 120 棵。

那么苹果树的棵数，也就是较大数，就是 120×5 ＝ 600 棵。

再比如，甲、乙两个车间共有工人 360 人，甲车间的人数是乙车间的 4 倍。

这里乙车间的人数是较小数，为 360÷（4 ＋ 1）＝ 72 人，甲车间的人数就是 72×4 ＝ 288 人。

专题5-和倍问题（知识梳理+专项训练）1、和倍问题。

已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

2、解题关键。

找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。

求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。

根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

3、关系式。

和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）1．有一个公园里，银杏树和柳树共有450棵，已知银杏树的棵数比柳树的2倍多30棵，银杏树有()棵。

A．255 B．280 C．140 D．3102．学校花坛里有月季花和玫瑰花共114棵，玫瑰花的棵数是月季花的一半，月季花有()棵。

A．72 B．38 C．763．一个等腰三角形，如果一个底角的度数是顶角度数的4倍，这个三角形的顶角是()度。

A．45 B．160 C．204．足球社团共有40名学生，男生人数是女生的4倍，这个社团男生有()人。

A．20 B．25 C．325．一大盒糖和一小盒糖共36块，大盒里的块数是小盒里的块数的2倍，大盒里有()块糖。

A．12 B．24 C．186．小明和爸爸去旅游，买2张火车票一共用去240元。

爸爸的火车票票价是小明的2倍。

小明的火车票票价是()元。

A．120 B．60.C．807．一本英语书加上配套光碟的价钱一共是132元，其中光碟的价钱是这本英语书的3倍，一本英语书的价钱是()元。

A．32 B．33 C．34 D．43二．填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）8．甲、乙两数的和是104，甲数的2倍和乙数的3倍一共是256。

甲数是，乙数是。

9．在一个两位数的中间加上小数点，得到一个小数，若这个小数与原来的两位数的和是86.9，则原来两位数是。

10．用方程解：果园里桃树和梨树一共有320棵．已知桃树的棵数比梨树棵数的3倍少40棵．果园里桃树和梨树各有棵．（按桃树、梨树的顺序填写）11．甲、乙、丙三数的和是188，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结果都是商6余2，乙数是．12．某两位数除三位数，所得商是带分数，它的整数部分与分子的比是4:3，分子和分母的和是41，若分子减少1，约分得17，这个两位数是三位数是．13．某鞋店有旅游鞋和皮鞋400双，在售出旅游鞋的14后，又采购来70双皮鞋，此时皮鞋恰好是旅游鞋的2倍，原来两种鞋各有、双。

1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．知识点说明： 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题． 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数 或 和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l 份数×(倍数－1)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

【例 1】 某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍．如果评出一、二、三等奖各2人，那么每个一等奖的奖金是308元．如果评出1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 我们把每个三等奖奖金看作1份，那么每个二等奖奖金是2份，每个一等奖奖金则是4份．当一、二、三等奖各评2人时，2个一等奖的奖金之和是(3082)⨯元，2个二等奖的奖金之和等于1个一等奖的奖金308元，2个三等奖的奖金等于1个二等奖奖金(3082)÷元．所以奖金总额是：308230830821078⨯++÷=元．当评1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖时，1个一等奖奖金看做4份，2个二等奖奖金224⨯=（份），3个三等奖奖金的份数是133⨯=（份），总份数就是：44311++=（份）．这样，可以求出1份数为10781198÷=元，一等奖奖金为：984392⨯=（元）．【答案】392元【例 2】 有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆，苹果数之差为5个；又较大的3堆平均有苹果26个，较小的2堆苹果之差为7个；最大堆与最小堆平均有22个苹果，问：各堆各有多少个苹果？例题精讲 知识点拨教学目标6-1-5.和倍问题【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 方法二：作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系看起来简洁明了且不易混乱，用下图表示它们的关系：最大堆与最小堆平均22个，那么最大堆与最小堆一共有22244⨯=（个）；较大的2堆，苹果数之差为5个，得知次大堆比最大堆少5个苹果；较小的2堆苹果之差为7个，说明次小堆比最小堆多7个苹果，因此，得知次小堆和次大堆之和为：445746-+=（个），这样最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：444690+=（个），较大的3堆苹果之和：26378⨯=（个），较小的3堆苹果之和：18354⨯=（个），较大的3堆苹果和较小的3堆苹果总和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2个中间堆的数量之和． 所以，中间堆的数量是：785490221（）+-÷=（个），最大堆与次大堆的和是：782157-=（个），最大堆有苹果：575231（）+÷=（个），次大堆有：573126-=（个），同理最小堆有苹果：5421（-7213）-÷=（个），次小堆有苹果：13720+=（个）． 方法一：最大堆与最小堆共22244⨯=个苹果．较大的2堆与较小的2堆共4427590⨯+-=个苹果．所以中间的一堆有：(18326390)221⨯+⨯-÷=个苹果；较大的2堆有：2632157⨯-=个苹果；最大的一堆有：(575)231+÷=个苹果；次大的一堆有：573126-=个苹果；较小的2堆有：1832133⨯-=个苹果；次小的一堆有：(337)220+÷=个苹果；最小的一堆有：20713-=个苹果．【答案】最小的有13个，次小的有20个，中间的有21个，次大的有26，最大的有31【例 3】 食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到10种不同重量（单位：千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59．问：这五只羊各重多少千克？【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 可以设定羊的重量从轻到重分别为A ，B ，C ，D ，E ．则47+=A B ，59+=D E ．同时不难整体分析得到()475051525354555758594134++++=+++++++++÷=A B C D E 千克．则134475928=--=C 千克．不难有50+=A C ，58+=E C ．则22=A 千克，30=E 千克，25=B 千克，29=D 千克．【答案】这五只羊重为：22，25，28，29，30【例 4】 某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有16人，其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有1人．那么六年级的男生有 人．【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2008年，湖北省，第六届，创新杯【解析】 因“五年级的学生比六年级的学生多”，故五年级学生至少有9人，而六年级学生至多有7人；因“五年级男生比五年级的女生多”，所以五年级男生至少有5人；因“六年级男生比五年级男生多”，所以六年级男生至少有6人，而六年级男生不能多于6人，否则再加上六年级的女生至少有1人，则六年级的学生人数就会多于7人，这不可能．因此，六年级的男生恰好有有6人．【关键词】6人【例 5】某校师生共为地震灾区捐款462000元，经统计发现，他们各自所捐的钱数，共有10种不同档次．最低档次共有10人，而每上升一个档次，捐款人数就减少1人；且从第二档次开始，以后各档次的捐款钱数，分别为最低档次的2倍、3倍、4倍……10倍，那么捐款最多的人捐款___ ____元．【考点】和倍问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，四年级，初试，9题【解析】本题是一道和倍问题,最高档次是1个人,恰好是最低档次10人合捐的10倍,则把最低档次10人看作"1"份,则共10×1+9×2+8×3+7×4+5×6+……++2×9+1×10=220份,462000÷220=2100元,则最高档次即捐款最多的人捐款为2100×10=21000元【答案】21000元【例 6】（）、、、、A B C D E五人坐在一起聊天．小明想知道这五个人的年龄和．可五人都没有直接回答．E说：“、、、A B C D四个人的年龄和101岁”．D说：“、、A B D E四个人的年龄和115B C E三个人的年龄和105岁”．C说：“、、、岁”．B说：“、、A D E三个人的年龄和80岁”．A说：“、、A C D三个人的年龄和66岁”．请问：五人的年龄和是岁。

和倍问题：已知两个数量的和及它们之间的倍数关系，求这两个数量各是多少的应用题。

解题规律：解题时，要以其中的一个数量作为标准量（即把它看作一份数），再根据倍数关系，求出另一个数是几份，进而求出要求的数。

和倍问题的关系式是：和÷（倍数 + 1）= 较小的数较小的数×倍数 = 较大的数例：菜站运来西红柿和黄瓜共240千克，其中西红柿的重量是黄瓜重量的3倍。

菜站运来西红柿和黄瓜各多少千克？⑴ 以黄瓜重量为1份数，总共有几份？3 + 1 = 4⑵ 黄瓜有多少千克？240÷4 = 60（千克）⑶ 西红柿有多少千克？60×3 = 180（千克）或240 – 60 = 180（千克）答：菜站运来黄瓜60千克，西红柿180千克。

差倍问题：已知两个数量的差及它们之间的倍数关系，求这两个数量各是多少的应用题。

解题规律：解题时，先选择小数为一份数，再找出两个实际数量的差与它们相应的倍数的差，求出一份数，再求其它的数。

差倍问题的关系式是：差÷（倍数 - 1）= 较小的数较小的数×倍数 = 较大的数例1：大小两个数的差是24，大数是小数的3倍，求大、小两个数各是多少？⑴ 大数比小数多几份？3 – 1 = 2⑵ 小数是多少？24÷2 = 12⑶ 大数是多少？12×3 = 36或12 + 24 = 36答：大数是36，小数是12。

例2：甲、乙两个粮食仓库，甲仓存的粮食是乙仓存粮的3倍，从甲仓运走34吨，乙仓运进22吨后，这时两仓的粮食吨数相等。

原来两仓各存粮多少吨？⑴ 甲仓比乙仓多多少吨？34 + 22 = 56（吨）⑵ 乙仓有多少吨？56÷（3 - 1）= 28 (吨)⑶ 甲仓有多少吨？28×3 = 84 (吨)答：甲仓有粮食84吨，乙仓有粮食28吨。

和差问题：已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少的应用题。

解题规律：两数的和加上两数的差，正好等于两个大数；两数的和减去两数的差，正好等于两个小数。