高二人教a版必修5系列教案：3.2一元二次不等式及其解法2

教学要求：正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程. 教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法.教学难点：理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ===-二、讲授新课：1、教学不等式20(0)ax bx a ++>≠的解集① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”⑤ 简单的无理不等式的解法的关键是将无理不等式化为有理不等式。

2、教学例题：① 出示例1：求不等式244150x x --≤的解集.（解方程 → 给出图象 →学生板演）② 变式训练：求不等式244150x x -->的解集.③ 变式训练：求不等式244150x x -+->的解集.④ 出示例2：求不等式223x x -+<（方程的解→函数草图→观察得解）⑤ 出示例3：已知220ax x c ++>的解集为1132x -<<，试求,a c 的值，并解不等式220cx x a -+->（将一元二次不等式的解集与方程根的关系联系起来）⑥ 变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.3、小结：不等式20(0)ax bx a ++>≠的解集情况，解一元二次不等式的三步曲.三、巩固练习：1、求不等式2610x x --≤的解集.2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________3、作业：教材P90 1、4题.教学要求：掌握一元不等式的解法；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；能应用一元二次不等式解决一些实际问题.教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.教学难点：一元二次不等式的应用.教学过程：一、复习准备：1、解不等式：23520x x +->二、讲授新课：1、教学不等式的应用以及在实际问题中的应用① 应用范围：求定义域；集合运算；不等式恒成立；根的分布；实际应用问题.② 在求定义域的过程中结合了分数不等式、无理不等式、高次不等式等的解法,③ 解含参数的不等式问题，注意对不等式所对应的方程根的情况进行观察，同时要注意对参数的分类讨论.④ 解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组进而求解.⑤ 解一元二次不等式应用问题，需遵循以下四个步骤：（1）审题；（2）建模；（3）求解；（4）作答2、教学例题：① 出示例1：求函数21()56f x x x =-+的定义域. （教师讲思路→学生板演→小结方法）② .③ 出示例2：m 为何值时，方程2(3)0x m x m +-+=有实数解.（∆0≥还是0∆<→一元二次不等式问题→小结方法）④ 变式训练：m 为何值时，关于x 的方程2(1)2(21)(13)0m x m x m ++++-=（1）有两个相异实根；（2）有两个根，且它们之和为非负数.⑤ 出示例3：国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m 吨。

课题：3.2一元二次不等式及其解法（2）
【学习目标】
1．知识与技能：理解一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，继续探究一元二次不等式解法的步骤和过程。

2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情感、态度与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
【学习重点】熟练掌握一元二次不等式的解法
【学习难点】理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【授课类型】新授课
课后反思：
高二数学教·学案
【学习目标】
通过进一步探究一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，研究含有参数的一元二次不等式的解法，提高分析问题和解决问题的能力。

【学习重点】
含参数的一元二次不等式的解法
【学习难点】
含参数的一元二次不等式的解法
【授课类型】新授课
【学习方法】讲练结合法。

3.2 一元二次不等式及其解法(二)自主学习知识梳理1．解分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔____________； (2)f (x )g (x )≤0⇔________________； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 2．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c>0 (a ≠0)恒成立⇔____________； ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔____________.(2)一般地，若函数y ＝f(x)，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a>f(x)，x ∈D 恒成立⇔____________； a<f(x)，x ∈D 恒成立⇔____________.自主探究对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)，你能借助二次函数的图象，探求两根满足下列特征的等价条件吗？(1)两个正根⇔____________； (2)两个负根⇔____________； (3)一正一负根⇔____________； (4)两根都小于k ⇔____________；(5)一根大于k ，一根小于k ⇔____________. (注：答案不唯一)对点讲练知识点一 分式不等式的解法例1 解分式不等式： (1)x ＋12－x ≥－2；(2)x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.总结 简单的分式不等式在求解时多化为f (x )g (x )>0，f (x )g (x )<0的形式，在变形的过程中，要注意等价性，同时要注意不等号是否含有等号，如f (x )g (x )≥0应⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，g (x )<0但不等价于f(x)g(x)≥0，要注意这一点．变式训练1解不等式：x＋2x2＋x＋1>1.知识点二恒成立问题例2设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．总结含参数的二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数在区间上的最值来处理；方法二是分离出参数再去求函数的最值．变式训练2若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有实数都成立，求x的取值范围．知识点三一元二次方程根的分布例3 设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，求a 的取值范围．总结 解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组，进而求解．变式训练3 若方程4x ＋(m －3)·2x ＋m ＝0有两个不相同的实根，求m 的取值范围．1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题，要注意结合对应的二次函数图象特征，使问题更简单、直观.课时作业一、选择题1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x ＝－2} D ．{x |x ≥－2或x ＝1}2．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}3．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)．5．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．7．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________．8．已知关于x 的不等式axx －1<1的解集为{x |x <1或x >3}，则a 的值是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a ，b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k >1，解关于x 的不等式：f (x )<(k ＋1)x －k2－x.10．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围．§3.2 一元二次不等式及其解法(二)知识梳理1．(1)f (x )·g (x )>0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0 2．(1)⎩⎨⎧ a >0Δ<0 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0(2)a >f (x )max a <f (x )min自主探究(1)⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0x 1＋x 2>0x 1x 2>0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2<0x 1x 2>0(3)⎩⎨⎧Δ>0x 1x 2<0(4)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2<2k (x 1－k )(x 2－k )>0 (5)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0(x 1－k )(x 2－k )<0对点讲练例1 解 (1)x ＋12－x ≥－2⇔x ＋12－x ＋2≥0⇔5－x2－x ≥0⇔x －5x －2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0x －2≠0 ∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．(2)原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0 ①x 2－x －6>0 ② ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0 ③x 2－x －6<0 ④由①解得{x |x <－3或x >1}； 由②解得{x |x <－2或x >3}．∴不等式组(1)的解集是{x |x <－3或x >3}． 由③解得{x |－3<x <1}； 由④解得{x |－2<x <3}．∴不等式组(2)的解集是{x |－2<x <1}．综上，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}． 变式训练1 解 因为x 2＋x ＋1>0， 所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1， 即x 2－1<0，解得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 例2 解 (1)要mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. ∴－4<m ≤0.(2)要f (x )<－m ＋5，就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0，x ∈[1,3]． 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]， 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)，∴7m －6<0，得m <67.∴0<m <67.当m ＝0时，－6<0恒成立．当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数． ∴f (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6.∴m <0.综上所述，m <67.方法二 ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又∵m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67.∴只需m <67即可．变式训练2 解 不等式变为m (x 2－1)－(2x －1)<0，即f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)<0在{m |－2≤m ≤2}上恒成立， 故⎩⎪⎨⎪⎧f (2)<0，f (－2)<0.解得7－12<x <1＋32，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，1＋32. 例3 解 设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2. 因为x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根， 且0<x 1<1,1<x 2<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，7－(a ＋13)＋a 2－a －2<0，28－2(a ＋13)＋a 2－a －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，a 2－2a －8<0，a 2－3a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，－2<a <4，a <0或a >3⇒－2<a <－1或3<a <4.所以a 的取值范围是{a |－2<a <－1或3<a <4}．变式训练3 解 令2x ＝t ，则原方程变为t 2＋(m －3)t ＋m ＝0， ∵t >0.∴关于t 的二次方程有两不同正根的充要条件为：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m >0x 1＋x 2＝－(m －3)>0x 1·x 2＝m >0，解得0<m <1.∴所求m 的取值范围为(0,1)． 课时作业1．C [当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．] 2．A [原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2 ⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．]3．D [－b <1x <a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >01x <a 或⎩⎪⎨⎪⎧x <01x>－b⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0x >1a或⎩⎪⎨⎪⎧x <0bx <－1⇔x >1a 或x <－1b .]4．A [f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)．] 5．B [设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝x 2－3x ＋2>0g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3 ⇔x <1或x >3.] 6．0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.7．k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解， 把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2. 8.23解析 原不等式化为axx －1－1＝(a －1)x ＋1x －1<0，其等价于(x －1)[(a －1)x ＋1]<0.∵不等式的解集为{x |x <1或x >3}，∴x ＝11－a＝3，解得a ＝23.9．解 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程 x 2ax ＋b－x ＋12＝0 得⎩⎨⎧93a ＋b＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2，所以f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)不等式即为x 22－x <(k ＋1)x －k2－x ，可转化为x 2－(k ＋1)x ＋k2－x<0.即(x －2)(x －1)(x －k )>0.①当1<k <2时，原不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}；②当k ＝2时，不等式为(x －2)2(x －1)>0，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >2}； ③当k >2时，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }． 综上知，当1<k <2时，不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}； 当k ＝2时，不等式的解集为{x |1<x <2或x >2}； 当k >2时，不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }． 10．解 (1)当a 2－1≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 得a <－1或a >53.又a 2－1＝0时，得a ＝±1.a ＝－1时，满足题意．a ＝1时，不合题意．∴实数a 的取值范围为a ≤－1或a >53.(2)只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f (x )的值域为R ， 故当a 2－1≠0时， 有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ≥0，得1<a ≤53.又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意．a ＝－1时不合题意．∴实数a 的取值范围为1≤a ≤53.。

3.2 一元二次不等式及其解法一、教学目标：知识与技能：1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.过程与方法：采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;情感、态度与价值观：通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.二．重点难点重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.三、教材与学情分析由具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的一元二次不等式关系并鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，及数形结合思想，感受函数思想在解决二次不等式的作用。

激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，激发学生的学习兴趣.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课播放2014“新闻联播最萌结尾”，为学生创设如下问题情境：春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室。

现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？分析可得如下数学模型：设与墙平行的栅栏长度为x（0<x<20）则依题意得：整理得：x2师生活动：针对问题情境，在教师的引导下，展开课堂讨论，分析得出以上数学模型。

设计意图：舍弃课本上枯燥的收费问题，换用一个鲜活的实例吸引学生的注意力，激发学习兴趣，以便顺利导入新课。

（2）观察归纳，形成概念观察式子：x2-20x+84≤0抢答竞赛：（1）该式子是等式还是不等式？（2）该式中含有几个未知数？（3）未知数的最高次数是几次？通过抢答竞赛，你能归纳出一元二次不等式的定义吗？定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

人教版高中必修5-3.2：一元二次不等式及其解法教学设计一、教学目标本节课主要通过讲解一元二次不等式的定义、性质以及求解方法，让学生掌握解决实际问题的方法，使其具有初步解决实际问题的能力。

具体目标如下：1.理解一元二次不等式的定义及其解法。

2.掌握一元二次不等式求解的方法及其应用。

3.培养学生解决实际问题的能力。

二、教学重点难点1. 教学重点：1.掌握一元二次不等式的概念。

2.掌握一元二次不等式的性质。

3.掌握一元二次不等式求解的基本方法。

2. 教学难点：1.拟合实际问题，生成一元二次不等式。

2.计算不等式的解集。

三、教学过程设计1. 导入通过一个掷骰子的游戏引出实际问题，让学生了解到数学中的不等式与实际问题的联系。

2. 讲解1.概念：引出一元二次不等式的定义，让学生了解其概念及表达式形式。

2.性质：通过实例让学生掌握一元二次不等式的基本性质。

3.求解：介绍一元二次不等式的求解方法，并配以实例讲解具体步骤。

4.应用：通过实际问题的应用示范让学生掌握不等式的作用及意义。

3. 练习教师设置不等式的基本练习，通过练习让学生掌握一元二次不等式的求解方法及应用。

4. 总结让学生总结本节课的重点内容及学习方法，同时帮助学生发现学习中存在的不足之处并提出改进方法。

四、教学评价通过课堂练习及思考题考核，了解学生对于一元二次不等式概念、性质及求解方法的理解程度及学习进度。

同时，通过与学生进行个别交流，收集他们在学习中遇到的问题及建议，为今后的教学提供参考。

五、课后拓展1.自主拟合一元二次不等式解决实际问题。

2.阅读相关数学文章，拓宽知识面。

3.参与有关数学的社区活动，与他人交流学习心得。

课题：一元二次不等式及其解法（第二课时）教学目标：1、知识与技能目标：（1）理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系. （2）熟练掌握一元二次不等式的解法.（3）掌握含参数的一元二次不等式的解法及简单的不等式中的恒成立问题的解题方法.（4）培养学生数形结合的能力，分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、过程与方法目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.3、情感态度价值观目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

教学重难点：1、一元二次不等式的解法.2、含参数的一元二次不等式以及不等式中的恒成立问题. 教学方法：情景教学法、问题教学法、引探式教学法。

教学过程：一、复习回顾，引入新课1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么？ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆ )0(2>++=a c bx ax y 的图象)0(02>=++a c bx ax 的根 不相等的两实根1x )212x x x <（、相等的两实根无实根2、解一元二次不等式的基本步骤是什么？（1）化不等式为标准形式：)0(02>>++a c bx ax 或)0(02><++a c bx ax 。

（2）求方程)0(02>=++a c bx ax 的根。

（3）画出函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像。

（4）由图像找出不等式的解集。

即：转化、求根、画图、找解。

二、讲授新课：例题1. 一元二次不等式的解法： 解不等式：10732≤-x x教师展示做题步骤：解：原不等式可化为：010732≤--x x因为010732=--x x 的两根分别为11-=x 、3102=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3101x x变式训练：解下列不等式：（1）04422<-+-x x （2）322-<+-x x 学生演板：（1） 解：原不等式可化为：0222>+-x x因为0424)2(2<-=⨯--=∆ 所以原不等式的解集为Ø 学生复述做题过程：（2）解：原不等式可化为：0322>+-x x 因为0322=--x x 的两根分别为11-=x 、232=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3101x x x 或例题2. 已知解集，求参数的取值或取值范围。

3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。

2019人教A版数学必修五3.2 《一元二次不等式及其解法》（二）教案教学要求：掌握一元不等式的解法；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；能应用一元二次不等式解决一些实际问题.教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.教学难点：一元二次不等式的应用.教学过程：一、复习准备：1、解不等式：二、讲授新课：1、教学不等式的应用以及在实际问题中的应用①应用范围：求定义域；集合运算；不等式恒成立；根的分布；实际应用问题.②在求定义域的过程中结合了分数不等式、无理不等式、高次不等式等的解法,③解含参数的不等式问题，注意对不等式所对应的方程根的情况进行观察，同时要注意对参数的分类讨论.④解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组进而求解.⑤解一元二次不等式应用问题，需遵循以下四个步骤：（1）审题；（2）建模；（3）求解；（4）作答2、教学例题：①出示例1：求函数的定义域.（教师讲思路→学生板演→小结方法）②变式训练：求不等式的解集.③出示例2：为何值时，方程有实数解.（还是→一元二次不等式问题→小结方法）④变式训练：为何值时，关于的方程（1）有两个相异实根；（2）有两个根，且它们之和为非负数.⑤出示例3：国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品吨。

按规定，农民向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称做税率为8个百分点，即8%）。

为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低个百分点，收购量能增加个百分点。

试确定的范围，使税率调底后，国家此项税收总收入不底于原计划的78%。

（审题→建模→求解→作答）3、小结：不等式的应用范围；解一元二次不等式应用问题，需遵循的四个步骤.三、巩固练习：1、若，则不等式的解是___________2、解关于的不等式：作业：教材P90 1、4题3、某地区上年度电价为0.8/千瓦时，年用电量为千瓦时。

一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.练［例题剖析］ 例1解下列不等式 （1）022<--x x （2）01652<-+-x x（3）0122<-+-x x （4）0962≤+-x x（5）01062≤++x x （6）0222<---x x课本80页练习例2已知不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131|x x 试解不等式022>-+-a x cx变式：已知的大小）与（）比较（的值）求（的正负）确定（）的解集是（）（且)7(f 5f 3ab -c 2a 14,20f ,)(2-<++=x c bx ax x f——————————————————————注意事项————————————————————以上高中数学必修教学课程教案均为word 文字可编辑版，如果刚好符合你要求，欢迎下载使用。