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北航数值分析实验报告篇一：北航数值分析报告第一大题《数值分析》计算实习报告第一大题学号：DY1305姓名：指导老师：一、题目要求已知501*501阶的带状矩阵A，其特征值满足?1?2...?501。
试求：1、?1，?501和?s的值；2、A的与数?k??1?k?501??140最接近的特征值?ik（k=1，2，...，39）；3、A的（谱范数）条件数c nd(A)2和行列式de tA。
二、算法设计方案题目所给的矩阵阶数过大，必须经过去零压缩后进行存储和运算，本算法中压缩后的矩阵A1如下所示。
?0?0?A1??a1??b??c0b a2bcc bb c............c bb ccb a500b0a 3...a499c?b??a501??0?0??由矩阵A的特征值满足的条件可知?1与?501之间必有一个最大，则采用幂法求出的一个特征值必为其中的一个：当所求得的特征值为正数，则为?501；否则为?1。
在求得?1与?501其中的一个后，采用带位移的幂法则可求出它们中的另一个，且位移量即为先求出的特征值的值。
用反幂法求得的特征值必为?s。
由条件数的性质可得，c nd(A)2为模最大的特征值与模最小的特征值之比的模，因此，求出?1，?501和?s的值后，则可以求得c nd(A)2。
软件工程（简要知识点）一、. 软件过程五个模型对比（瀑布模型、快速原型、增量、螺旋、喷泉模型）二、可行性研究：1、任务：用最小的代价在尽可能短的时间内确定问题是否能够解决。
2、四个方面：技术、经济、操作可行性、法律3、数据流图四种成分：1、源点/终点2、处理3、数据存储4、数据流三、需求分析：1、任务：确定系统必须完成哪些工作，对目标系统提出完整、清晰、具体的要求。
问题定义（确定题目）概要设计 详细设计 编码和单元测试系统设计 软件定软件开运行维护：主要任务是使软件持久地满足用户的软件生命2、结构化方法就是面向数据流自顶向下逐步求精进行需求分析的方法。
3、实体联系图：1、数据对象2、属性3、联系（1:1、1：N、M:N）四、总体设计：1.任务：回答“概括的说，系统应该如何实现”，用比较抽象概括的方式确定系统如何完成预定的任务，也就是说应该确定系统的物理配置方案，并且进而确定组成系统的每个程序结构。
2. 系统设计阶段（确定系统具体实施方案）、结构设计阶段（确定软件结构）3.模块独立：内聚和耦合4. 耦合表示一个软件结构内各个模块之间的互连程度，应尽量选用松散耦合的系统5. 内聚 (Cohesion): 一个模块内各元素结合的紧密程度6.面向数据流的设计方法：变换流和事务流五、详细设计：1.任务：确定应该怎样具体的实现所要求的系统，也就是说经过这个阶段的设计工作应该得出对目标系统的精确描述，从而在编码阶段可以把这个描述直接翻译成用某种程序设计语言书写的程序。
2.过程设计的工具（程序流程图、盒图、PAD图、判定表、判定树）3.面向数据结构的设计方法（jackson方法）：七、测试：1、单元测试：又称模块测试。
每个程序模块完成一个相对独立的子功能，所以可以对该模块进行单独的测试。
由于每个模块都有清晰定义的功能，所以通常比较容易设计相应的测试方案，以检验每个模块的正确性。
2、集成测试：在单元测试完成后，要考虑将模块集成为系统的过程中可能出现的问题，例如，模块之间的通信和协调问题，所以在单元测试结束之后还要进行集成测试。
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
数值分析第五章学习⼩结第五章学习⼩结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******⼀、本章学习体会本章的内容与实际关联很⼤，可以解决很多⼯程实际问题。
1、主要有两⽅⾯内容：插值与逼近。
插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。
逼近即是⽤简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最⼩最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。
2、插值中样条插值⽐较难，需要花⼀定的时间。
逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最⼩。
3、我个⼈觉得本章的难点是样条插值与最佳平⽅逼近。
⼆、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。
1、插值：2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下⽅式：⼀、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间上⾮负的函数满⾜（1）对⼀切整数存在；（2）对区间上⾮负连续函数，若则在上，那么，就称为区间上的权函数。
常见的权函数有2、两个函数的内积定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。
内积的性质：（1）对称性：()(),,f g g f =；（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==；（3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+；（4）⾮负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。
(,)a b ()x ρ0,()bna n x x dx ρ≥?(,)ab ()f x ()0bn ax x dx ρ=?(,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)ab 2()1,()11()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤=-<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞(,)a b (,)()()()ba f g x f x g x dx ρ=?(,)0f f >3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系若内积则称()f x 与()g x 在区间[a,b]上带权()x ρ正交若函数系.满⾜则称是上带权的正交函数系。
百度文库•好好学习.天天向上数值分析重点第一章误差分析近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差帝效数字1、有效数字的判断定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。
几个重点结论：(1) 、设数X 的近似值可以表示为 X* =±0.a {a 2 - a n xlO m其中m 是整数E,2,…，”)是0到9中的一个数字， 而6 H 0.如果其绝对误差限为< _ x 1"2(不超过其末尾数的半个单位)则称近似数x*具有"位有效数字。
(2) 、相对误差与有效数字的关系(课差：精确值与近似值的差值) x* = ±0.a }a 2 • • a” x 10" = a x .a 2a y a n x >a 1xl0//,"1A -/ S 丄xl （严得到相对误差限■Sr(讣知讣煤心—xl0〃i 2 ----------- =_Lx]0ZV - ---------- - = ------- a } x 10m_,2a,唱(r ；)+菁(一；)+•••+签GT)例如：E (X1+X2)= £(Xl)+ e(X2)e (xi*X2)=1x11 e(X2)+Ix2l e (xi)e (X1/X2) ={lxil 8 (X2)+IX2l e (Xi)}/IX2l2第二章代数插值通过一些实验所得的离散点找到函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式(多项式)。
n+1个互异的节点可以唯一确定一个n次多项式。
填空1 •差商与微商的关系f[x9xo9xl9..9x j=--—例1：f(x) = x5-x + l，试求其如下差商：/[2°,2*,22,2\ 2\ 25] /[2°, 2*,22,23,24,25,26]例2：已知一个四阶差商和一个五阶差商，用定义反求另一个四阶差商。
一般地，称阶差商的一阶差商为R阶差商：为他)关于点“I,…心的k阶差商。
CAGD 复习知识点第一章1 工业产品的形状大致可以分为两类：一种是可以由画法几何和工程制图清晰描绘的初等解析曲面；另一种则是不能有画法几何和工程制图描绘的自由型的曲线曲面。
2 CAGD 的原理：首先根据形状的几何信息，建立相应的曲线曲面方程，并通过在计算机上执行计算和处理程序，从而计算出曲线曲面上大量的点和其他信息。
3 形状信息的计算机表示的核心：形状信息的计算机表示，即找到既适合计算机处理且有效地满足形状的表达与几何设计的要求，又能方便形状信息的传递和产品数据的交换的形状描述的数学方法。
4 形状数学描述的思想：将传统的由标量表示的显函数转化为用参数表示的矢函数的形式。
5 形状几何的基础：微分几何。
6 形状数学描述基本要求：唯一性和几何不变性。
后续要求：易于定界、统一性和计算机处理简单易行。
从形状表示和处理的角度：具有丰富的表达力和灵活相应的能力；易于连接和光顺连接；易于实现对形状的控制；几何直观。
7 CAGD 长期待解决的问题：用于工业产品形状数学描述的标准形式，曲线曲面的形状控制、曲线曲面的光顺连接与统一表示。
8 微分几何与CAGD 的关系：微分几何与CAGD 都是用矢函数来描述曲线曲面的，不同的是前者是研究曲线曲面上某点附近的微分性质；而CAGD 则是研究符合形状数学描述要求的工业产品形状描述的数学方法。
9 曲线曲面用参数表示的形式：平面曲线：()()21;,t t t t y t x x ≤≤==；空间曲线：()()()21;,,t t t t z z t y y t x x ≤≤===； 曲面：2121,);,(),,(),,(v v v u u u v u z z v u y y v u x x ≤≤≤≤===；参数表示的矢函数的优缺点：优点：易于表示封闭曲线、多值曲线和无穷大斜率曲线，独立于坐标轴易于进行变换，易于生成复合曲线，易于控制，易于拟合和操作自由外形，同时还可以通过具有几何不行性的基函数将不具有几何不变性的函数转化为具有几何不变性的曲线曲面。
例1：构造求解下列方程组收敛的Gauss-Seidel 迭代格式（不计算），并说明收敛的理由。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----456401-1-51-1-1-6645116401151321321x x x x x x 同解变换为GS 迭代格式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=++=+++++141151511616111133********k k kk k kk k x x x x x x x x ，k=0，1，2，…其中)0(3)0(2)0(1,,x x x 为初值。
因为变换后的系数矩阵为严格对角占优阵，所以GS 迭代格式收敛。
公式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=∑∑-≠=+=++111111i i j j ni j i k j ij k j ij ii k i b x a x a a x 收敛性：1.若A 主对角元占优，则收敛。
2.若A 对称正定，则收敛。
3.若1〈G ，则收敛 4.收敛1)(<⇔G ρ例2：用Doolittle （LU ）分解法求解如下线性方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---203214511121321x x x 解：设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=203,214511121b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==332322131211323121111u u u u u u l l l LU A 公式n k i u u l a l n k k j u l a u kk sk k s is ik ik sj k s ks kj kj ,...,1,/)(,,...,1,,1111+=-=+=-=∑∑-=-= 由矩阵相等得:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1263121,1374111U L由Ly=b ，解得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333321y y y ，由Ux=y, 解得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4/12/34/1321x x x注：Crout 分解：A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111231312333231222111u u u l l l l l l LU ),...,1,(11n k k i u l a l tk k t it ik ik +=-=∑-=，),,...,2,1(,/)(11n k n k k j l u l a u kk k t tj kt kj kj <++=-=∑-=例3：用Euler 法求初值问题：⎩⎨⎧==≤≤-=1.0,0)0(5.00,,h y x y x y 解：1)Euler 公式：⎩⎨⎧=-=+=+001)(1,...,1,0),,(y x y n i y x hf y y i i i i公式：))(,()(,i i i x y x f x y =，对于[]))(,()(,,,x y x f x y b a x =∈∀ 这里ih x y x y x f h b a y n i =-======,),(,1.0,5.0,0,0,50 注：因为x 最大能取到0.5，步长h=0.1，所以n=5i y y i y y i i i i 01.09.0)1.0(1.01+=-+=+2)算得：=====54321,,,,y y y y y例4：(Householder)设Ta )4,3,1,0,7(-=求H 使5,)0,,1,0,7(±=-=σσTHa解：设T b )0,,1,0,7(σ-=（取σ=5，（σ符号的选取应使2b a -的值尽可能大，σ与1+m a 同号））T b a )4,8,0,0,0(-=-∴, 54)4(8222=-+=-baT b a b a V )1,2,0,0,0(512-=--=, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=5/35/45/45/3235I VV I H T公式：设Ha=b ，计算T VV I H b a ba Vb a b a 2,,,22-=--=--（ , ||m a x ||||111∑=≤≤=ni ij nj a A （列范数） 的最大特征值矩阵A A A T =2||||）例5：利用householder 把下列矩阵化为拟上三角矩阵。
