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青岛市2020年高三统一质量检测数学试题2020.04全卷满分150 分.考试用时120分钟｡一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位,复数12,iz i-=则z 的共轭复数z 的虚部为 A. –iB.1C. iD. -12.已知集合2{|log 2}A x R x =∈<,集合B={x ∈R||x-1|<2}, 则A∩B= A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-∞,3)3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772附:随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,(22)0.9544P μσξμσ-<<+=, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .4.设0.22,a b ==sin22,log 0.2,c =则a, b,c 的大小关系正确的是 A. a>b> cB. b>a> cC. b>c>aD. c>a>b5.已知函数39,0()( 2.718...,0x x x f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β=A.-1B.0C.1D.26.已知四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等,点E,F 分别在线段PA, PC 上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF 与PB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:22221(0,0)y x a b a b-=>>双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D,点A,B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上,则线段AB 长度的最小值为A.2.B.C D.18.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112.125A80.125B113.125C124.125D 二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=r r r r r 设,a b rr 的夹角为θ,则.||||A a b =r r .B a c ⊥r r.//C b c r r D. θ=135° 10.已知函数22()sin23sin cos cos ,fx x x x x =+-x ∈R,则 A. -2≤f(x)≤2B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x) 的最小正周期为π.3D x π=为f(x)图象的一条对称轴11.已知数列{}n a 的前n 项和为S 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}n n n a a +⋅的前n 项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为A.数列{1}n a +是等差数列B.数列{1}n a +是等比数列C.数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.1n D T <12.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形,其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是A.该四棱合的高为3 11.B AA CC ⊥C.该四棱台的表面积为26D.该四棱合外接球的表面积为16π三､填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分｡ 13.若∀x 1(0,),4x xa -∈+∞+≥恒成立,则实数a 的取值范围为____14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____ 15. 已知a ∈N,二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240,记a 的取值集合为A,则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q 的圆心,圆Q 过坐标原点O;点L ､S 均在x 轴上,圆L 与圆S 的半径都等于2,圆S ､圆L 均与圆Q 外切｡已知直线l 过点O .(1) 若直线l 与圆L ､圆S 均相切,则l 截圆Q 所得弦长为____ ; (2)若直线l 截圆L ､圆S ､圆Q 所得弦长均等于d,则d=____.(本题第一个空2分,第二个空3分)四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡ 17.(10分)设等差数列{}n a 的前n项和为,n S 等比数列{}n b 的前n项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =n ∈N *. (1)求{},{}n n a b 的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得6k S k <且139k T >？若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由｡18.(12分)在△ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,22222()(1tan )b b c a A =+--. (1)求角C ;(2)若210,c =D 为BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度｡ 条件①:△ABC 的面积S=4且B> A; 条件②:25cos .5B =注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡19. (12 分)在如图所示的四棱锥E-ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为AB, BE 的中点, OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线｡(1)证明:平面ABE ⊥平面BCE;(2)记OCDE 的重心为G,求直线AG 与平面ABCD 所成角的正弦值.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱｡ (1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表:求成交额y (,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;(2)在2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加A ､B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在A ､B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ､q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X .( i)求X 的分布列及E(X);(ii)已知每个订单由k (k≥2,k ∈N * )件商品W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ,假设27sin sin,44k k p q k k kπππ=-=,求E(Y)取最大值时正整数k 的值.附:回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1122211())ˆˆ;()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y ba y bxxnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑.21. (12 分)已知O 为坐标原点,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线D 2:4y x =的焦点,以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2) 若直线l 与D 相交于A,B 两点,记点A,B 到直线x=-1的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线l 与C 相交于E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为12,.S S(i)证明:1EFF ∆的周长为定值; (ii)求21S S 的最大值.已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1. (1)当x ∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;(2)设函数g(x)=xf(x),当x ∈(0,1)时,证明: 0<g(x)<1 ; (3)若数列{}n a 满足:*11(),01,n n a f a a n N +=<<∈.证明:1ln 0.ni ia=<∑- 11 -。
数学答案第1页（共6页）青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
B C A D C B A B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．AC 10．BCD 11．ABD 12．CD三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．22m -≤≤；14．25-；15．10x y -+=；16．（1）28y x =；（2）2．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）解：（1）方案一：选条件①．因为数列1{}n S a +为等比数列所以2211131()()()S a S a S a +=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =所以22(2)2(2)q q q +=++，解得2q =或0q =（舍）所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）由（1）得12n n a -=*(N )n ∈所以212311111(log log (2)22n n n b a a n n n n ++===-⋅++所以1111111111[(1)((()(232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 13113111()()42122122n n n n ==--++-+++32342(1)(2)n n n +=-++方案二：（1）选条件②．因为点1(,)n n S a +在直线1y x =+上所以11n n a S +=+*(N )n ∈，所以11n n a S -=+(2)n ≥两式相减得1n n n a a a +-=，+1=2n n a a (2)n ≥因为11a =，211112a S a =+=+=，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）数学答案第2页（共6页）方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -++++= *(N )n ∈ （ⅰ）所以12121222(1)n n n na a a n a ---+++=- 所以121212222(1)n n n n a a a n a --+++=- （ⅱ）（ⅰ）-（ⅱ）得122(1)n n n a na n a +=--，即+1=2n n a a (2)n ≥当1n =时，122a a =，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）18．（本小题满分12分）解：（1）因为cos 2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin sin A C A C C A=-因为(0,)A π∈，sin 0A ≠所以cos 2cos sin C C C=-所以22cos sin cos sin C C C C -=-，即(cos sin )(cos sin 1)0C C C C -+-=所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=①若cos sin C C =，则4C π=②若cos sin 10C C +-=，则sin()42C π+=因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=综上，4C π=或2C π=(2)因为ABC ∆为锐角三角形，所以4C π=因为222221442cos 2(24c a b ab a b ab π==+-=+-≥-=-即72(2ab ≤=+（当且仅当a b =等号成立）所以11sin sin 72(236(1)22444S ab C ab π===≤⨯+=即ABC ∆面积S 的最大值是1)+数学答案第3页（共6页）19．（本小题满分12分）解：（1） 底面ABC D 和侧面11B BCC 都是矩形，∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥∵C CC CD =1 ，∴⊥BC 平面11D DCC ∵1D E ⊂平面11D DCC ，∴1BC D E ⊥，∵1D E CD ⊥，BC CD C = ，∴1D E ⊥底面ABCD1D E ⊂平面11CC D D ，∴平面11CC D D ⊥底面ABCD ．（2）取AB 的中点FE 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，EF CD∴⊥以E 为原点，以1EF EC ED 、、所在直线分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系E xyz -如图所示.设1(0)ED a a =>，则(0,0,0)E ，(1,1,0)B ，1(0,0,)D a ，(0,1,0)C ，1(0,2,)C a 设平面1BED 的法向量1111(,,)n x y z = ，(1,1,0)EB = ，1(0,0,)ED a =.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩，令11x =可得111,0y z =-=，∴1(1,1,0)n =- 设平面11BCC B 的法向量2222(,,)n x y z = ，(1,0,0)CB = ，1(0,1,)CC a = .由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，∴2(0,,1)n a =- 由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π，所以121212|cos ,|cos 3||||n n n n n n π⋅<>===⋅ 解得1a =．∴平面11BCC B 的法向量2(0,1,1)n =- ，由于(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)D ，所以111(1,2,0)(0,1,1)(1,1,1)CA CA AA CA DD =+=+=-+=- ，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则1212sin ||3||||CA n CA n θ⋅===⋅ A B C D 1A 1B 1C 1DE x y z F数学答案第4页（共6页）20．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= ,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b =又23c b =，解之得：0.3,0.1c a ==所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次（2）由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为100(0.350.20.05)60⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=，不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为质量不优秀质量优秀总计甲地4060100乙地2575100总计65135200（说明：填对5个数据得1分，用去尾法）所以2200(40752560)200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关（3）在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p =则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以04043181(0)(()44256P C ξ===131********(1)((4425664P C ξ====2224315427(2)()()44256128P C ξ====313431123(3)(()4425664P C ξ====4044311(4)()()44256P C ξ===所以ξ的分布列为ξ01234P 812562764271283641256ξ的数学期望8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21．（本小题满分12分）数学答案第5页（共6页）解：（1） 椭圆E 的离心率为12，12c e a ∴== 四边形1122A B A B的面积为，1222a b ∴⨯⨯=又222a b c =+解之得：2,1a b c ===∴椭圆E 的方程为：22143x y +=（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1F MN ∆的周长48a ==，1111(||||||)42F MN S F M F N MN r r ∆=++=，即114F MN r S ∆=当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，||3MN =1121113||||4424F MN r S MN F F ∆==⨯⨯=当l 与x 轴不垂直时，设:(1)l y k x =-(0)k ≠由22222(1)(43)690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩212122269,4343k k y y y y k k ∴+=-=-++112121221211221111||||||||||||222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅-1211||222F F =⨯⨯=114F MNr S ∆==令243k t +=，则3t >，r ===3t > ，1103t ∴<<，04r ∴<<综上可知：304r <≤22．（本小题满分12分）数学答案第6页（共6页）解：（1）由题()xf x e ax '=-因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x 所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根12,x x 设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意②0a >时，由()0x g x e a '=-=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增.所以min ()(ln )ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >，令()2ln a a a ϕ=-(0)a >，则22()1a a a a ϕ-'=-=，当(0,2)a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数；当(2,)a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数；∴min ()(2)22ln 22(1ln 2)0a ϕϕ==-=->()0a ϕ∴>，即2ln a a >，从而ln 2a a a <<，2a e a >∴2()0a g a e a =->，又因为(0)10g =>，所以()g x 在区间(0,ln )a 和(ln ,)a a 上各有一个零点，符合题意，综上，实数a 的取值范围为(,)e +∞.（2）不妨设12x x <，则1(,ln )x a ∈-∞，2(ln ,)x a ∈+∞，所以12ln x a x <<设()()(2ln )p x g x g a x =--2ln [(2ln )]x a x e ax e a a x -=----222ln x x e a e ax a a-=--+则2()2x xp x e a e a -'=+-2220a a a ≥-=-=（当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立）.所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln x a >，可得2()(ln )0p x p a >=，即22()(2ln )0g x g a x -->，又因为12,x x 为函数()g x 的两个零点，所以12()()g x g x =，所以12()(2ln )g x g a x >-，又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<，又函数()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<.。
2020年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．39．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N﹣PAC与三棱锥D﹣PAC的体积比为（）A．1：2 B．1：8 C．1：6 D．1：310．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为_______．12．二项式的展开式中，常数项等于_______（用数字作答）．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM 为等腰直角三角形，则f（x）=_______．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是_______．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．2020年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出全集中y的值确定出U，再由B利用补集的定义求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．【解答】解：由全集U中y=log2x，x=，1，2，16，得到y=﹣1，0，1，4，即全集U={﹣1，0，1，4}，∵A={﹣1，1}，B={1，4}，∴∁U B={﹣1，0}，则A∩（∁U B）={﹣1}，故选：B．2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．故选：B．3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式．【分析】函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，可得ξ＞1，根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，∴△=4﹣4ξ＜0，∴ξ＞1∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于直线x=1对称∴P（ξ＞1）=故选C．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要判断“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．【解答】解：函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）则当a＜1时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2故“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充分不必要条件故选：A．5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x2， }，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x＜0时，＜x2，所以，根据新定义有f（x）=min{x2， }=，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c，∠PF2F1=120°，即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1=4c2+4c2﹣2•4c2•（﹣）=12c2，即有|PF1|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故选：A．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2n cosnπ的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣ (2100)=．故选：C．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x ﹣z 经过点A 时，z 取得最大值，此时z 最大．即A （﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x +2y |得z=2×2+2=6故选：C ．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB=2PN ，则三棱锥N ﹣PAC 与三棱锥D ﹣PAC 的体积比为（ ）A ．1：2B ．1：8C ．1：6D ．1：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥P ﹣ABC 的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥P ﹣ABC 的关系，得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC =S △ACD ．∴V D ﹣PAC =V P ﹣ACD =V P ﹣ABC ．∵NB=2PN ，∴NB=PB ，∴V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ，∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ﹣V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ．∴．故选：D ．10．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），运用向量的数量积的坐标表示，由换元法可得二次方程，由判别式大于等于0和两根非负的条件，运用韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由y=k（k＞0），代入抛物线x2=4y，可得x=±2，可设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），由，可得（2﹣m，k﹣）•（﹣2﹣m，k﹣）=0，即为（2﹣m）（﹣2﹣m）+（k﹣）2=0，化为m4+m2（1﹣）+k2﹣4k=0，可令t=m2（t≥0），则t2+t（1﹣）+k2﹣4k=0，可得△=（1﹣）2﹣（k2﹣4k）≥0，即1≥0恒成立，由韦达定理可得﹣（1﹣）≥0，k2﹣4k≥0，解得k≥4．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】解：m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，可得m=2，n=﹣2，====﹣i．它的共轭复数为i．故答案为：i．12．二项式的展开式中，常数项等于1215（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：展开式的通项公式为，由6﹣3k=0得k=2，所以常数项为，故答案为1215．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=cosπx．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A=，φ=2kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ=，函数f（x）=sin（ωx+）=cosωx．再根据•=，可得ω=π，函数f（x）=cosπx，故答案为：cosπx．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是2+3．【考点】基本不等式．【分析】化简可得=++3，从而利用基本不等式求解即可．【解答】解：=2+++1=++3≥2+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+3．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=+﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2] =，|x1﹣x2|≤|1﹣2|=1，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|≤=，由于|≤K恒成立，∴，∴K的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC==≤．∴△ABC面积的最大值是．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．…都付0元的概率为P1==，都付40元的概率为P2==，都付80元的概率为P3=（1﹣）（1﹣）=，故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=．（Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，P（ξ=0）==，P（ξ=40）==，P（ξ=80）=+=，P（ξ=120）=+=，P（ξ=160）=（1﹣）（1﹣）=，∴ξ的分布列为：ξ0 40 80 120 160P数学期望E（ξ）=+=80．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）取CD的中点H，∵AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，∴AH⊥CD，∠CAH=∠CAB=45°，即∠BAH=90°，即四边形ABCH是矩形，则AB∥CH，AB∥CD∵CD⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴CD∥面PAB，∵CD⊂面PCD，面PAB∩面PCD=l，∴根据线面平行的性质得CD∥l．（Ⅱ）∵AC=2，∴AB=BC=AH=，DH=，建立以A为原点，AH，AB，AP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（0，，0），C（，，0），P（0，0，2），E（0，0，1），D（，﹣，0），=（﹣，﹣，1），=（，0，0），=（0，﹣2，0）设平面BPC的一个法向量为=（x，y，z），则，则x=0，令y=，则z=2，即=（0，，2），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），，则y=0，令x=，则z=2，=（，0，2），则cos＜，＞====，即二面角B﹣CE﹣D的余弦值是．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）由，可得=T1+2=22，解得a1．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，S n．可得2n+1=T n+2，利用递推关系可得b n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．可得：c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．n≥3，W n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴=T1+2=2+2=4=22，∴+1=2，解得a1=1．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴S n==n2．∴2n+1=T n+2，+2）=b n，∴当n≥2时，2n+1﹣2n=T n+2﹣（T n﹣1∴b n=2n，当n=1时也成立．∴b n=2n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．∴c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．∴n≥3，W n=﹣c1﹣c2+c3+…+c n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，2Q n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣Q n=2（2+22+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=2×﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴Q n=（2n﹣3）•2n+1+6．∴W n=．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，运用直线斜率公式和斜率之积为﹣1，可得m，再由直线MA与椭圆求得交点P；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，运用韦达定理，解得P的坐标；同理求得Q的坐标，运用直线的斜率公式可得PQ的斜率，由点斜式方程可得PQ的方程，再由恒过定点思想，即可得到所求定点．【解答】解：（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，可得k BH•k MA=﹣1，即有•=﹣1，可得m=，由MA的方程：y=（x+2），代入椭圆方程，可得8x2+4x﹣48=0，解得x=﹣2，或，即有P（，）；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，可得（36+m2）x2+4m2x+8m2﹣288=0，由﹣2x P=，可得x P=，y P=（x P+2）=；又MB：y=（x﹣2），代入椭圆方程，可得（4+m2）x2﹣4m2x+8m2﹣32=0，由2+x Q=，可得x Q=，y Q=（x Q﹣2）=﹣，即有直线PQ的斜率为k==，则直线PQ：y﹣=（x﹣），化简即有y=（x﹣1），由x﹣1=0，解得x=，y=0．故直线PQ恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）﹣x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．2020年9月9日。
2020年山东省青岛市高考数学一模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i 是虚数单位，复数12iz i-=，则z 的共轭复数z 的虚部为( ) A ．i -B ．1C ．iD ．1-2．（5分）已知集合2{|log 2}A x R x =∈<，集合{||1|2}B x R x =∈-<，则(A B =I ) A ．(0,3)B ．(1,3)-C ．(0,4)D ．(,3)-∞3．（5分）已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布(2000N ，2100)，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为( ) 附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=．A ．0.9759B ．0.84C ．0.8185D ．0.47724．（5分）设0.22a =，sin 2b =，2log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>5．（5分）已知函数39,0()( 2.718,0x x x f x e xe x ⎧-==⋯⋯⎨<⎩…为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则(αβ+= ) A ．1-B ．0C ．1D ．26．（5分）已知四棱锥P ABCD -的所有棱长均相等，点E ，F 分别在线段PA ，PC 上，且//EF 底面ABCD ，则异面直线EF 与PB 所成角的大小为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．（5分）在同一直角坐标系下，已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为()A ．2B CD ．18．（5分）某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率()A．112125B．80125C．113125D．124125二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9．（5分）已知向量(1,1),(3,1),(1,1)a b a b c+=-=-=r rr r r，设,a brr的夹角为θ，则() A．||||a b=rrB．a c⊥r rC．//b cr rD．135θ=︒10．（5分）已知函数22()sin23sin cos cosf x x x x x=+-，x R∈，则() A．2()2f x-剟B．()f x在区间(0,)π上只有1个零点C．()f x的最小正周期为πD．3xπ=为()f x图象的一条对称轴11．（5分）已知数列{}na的前n项和为nS，11a=，121n n nS S a+=++，数列12{}nn na a+g的前n 项和为*,nT n N∈，则下列选项正确的为()A．数列{1}na+是等差数列B．数列{1}na+是等比数列C．数列{}na的通项公式为21nna=-D．1nT<12．（5分）已知四棱台1111ABCD A B C D-的上下底面均为正方形，其中22AB=，111112,2A B AA BB CC====，则下述正确的是()A ．该四棱合的高为3B ．11AA CC ⊥C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱合外接球的表面积为16π三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若(0,)x ∀∈+∞，14x x a -+…恒成立，则实数a 的取值范围为 ．14．（5分）已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(0)1f =，则f （2）= ． 15．（5分）已知a N ∈，二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于240，记a 的取值集合为A ，则由集合A 中元素构成的无重复数字的三位数共有 个．16．（5分）2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为 ； （2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d = ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．已知112a b =，26S =，312S =，243T =，*n N ∈． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使得6k S k <且139k T >？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，22222()(1tan )b b c a A =+--． （1）求角C ；。
山东省青岛市2019-2020学年高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX < 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项. 【详解】13X =表示取出的为一个白球，所以()14116233C P X C ===.12X =表示取出一个黑球，()12116123C P X C ===，所以()121832333E X =⨯+⨯=.23X =表示取出两个球，其中一黑一白，()11422268315C C P X C ===，22X =表示取出两个球为黑球，()22226115C P X C ==，24X =表示取出两个球为白球，()242266415C P X C ===，所以()2816103241515153E X =⨯+⨯+⨯=.所以()()1233P X P X =>=，12EX EX <. 故选：C 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.3．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r ，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r ，设EF 和1BB 成角为θ，则11cos 2EF BB EF BB θ⋅===⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.4．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ） A ．2- B ．2C ．43-D ．43【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质求出点P 坐标和焦点F 坐标，进而求出点M 的坐标，代入斜率公式即可求解. 【详解】设点P 的坐标为()000,,0x y y >，由题意知，焦点()1,0F ,准线方程:1l x =-， 所以015PM x =+=，解得04x =， 把点P ()04,y 代入抛物线方程可得，04y =±，因为00y >，所以04y =，所以点M 坐标为()1,4-， 代入斜率公式可得，40211MF k -==---. 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.5．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]【答案】A 【解析】 【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，∴b a 22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件． 6．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A B ．1C D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题. 7．已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的代数运算法则化简即可得到结论. 【详解】由i z11=-，得()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以，1122z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 8．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A b a <B b a >C ．abe b e a -<- D ．abe b e a ->-【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项． 【详解】已知0a b >>，赋值法讨论0a b >>的情况：（1）当1a b >≥时，令2a =，1b =b a <，a b e b e a ->-，排除B 、C 选项；（2）当01b a <<≤时，令12a =，13b =b a >，排除A 选项.故选：D. 【点睛】比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题．9．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题． 10．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10 B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.11．已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABCD ．2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.12．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G，若PA =AB =O 的表面积为（ ） A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得2PG ==，再结合球的性质，求得球的半径32R =，利用表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，可得此六棱锥为正六棱锥， 又由2AB =，所以2AG =，在直角PAG ∆中，因为6PA =，所以222PG PA AG =-=，设外接球的半径为R ，在AOG ∆中，可得222AO AG OG =+，即222(2)(2)R R =-+，解得32R =， 所以外接球的表面积为249S R ππ==. 故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
青岛市2020年高三统一质量检测数学试题2020.04全卷满分150 分.考试用时120分钟｡一､单项选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分｡在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的已知♓是虚数单位 复数12,iz i-=则 的共轭复数 的虚部为 ✌ ♓ ♓ 已知集合2{|log 2}A x R x =∈< 集合 ⌧∈ ⌧ ❝ 则✌✆ ✌ ☎ ✆ ☎ ✆ ☎ ✆ ☎ ✆已知某市居民在 年用于手机支付的个人消费额ξ☎单位 元✆服从正态分布2(2000,100),N 则该市某居民手机支付的消费额在☎ ✆内的概率为✌ 附 随机变量ξ服从正态分布2(,),N μσ则 ☎↗⇔↘↗⇔✆ (22)0.9544P μσξμσ-<<+= ☎↗ ⇔↘↗ ⇔✆ 设0.22,a b ==♦♓⏹2,log 0.2,c =则♋ ♌♍的大小关系正确的是 ✌ ♋♌ ♍ ♌♋ ♍ ♌♍♋ ♍♋♌已知函数39,0()( 2.718...,0x xx f x e xe x ⎧-≥==⎨<⎩为自然对数的底数✆若♐☎⌧✆的零点为↑极值点为↓则↑↓✌ 已知四棱锥 ✌的所有棱长均相等 点☜☞分别在线段 ✌ 上 且☜☞底面✌则异面直线☜☞与 所成角的大小为✌ 在同一直角坐标系下 已知双曲线 22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率为双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线 点✌分别在双曲线 的下支和曲线 上 则线段✌长度的最小值为✌.3B .2C 某单位举行诗词大会比赛 给每位参赛者设计了❽保留题型❾ ､❽升级题型❾ ､❽创新题型❾三类题型 每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立 则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率112.125A80.125B113.125C124.125D 二､多项选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分｡在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求｡全部选对的得 分 部分选对的得 分 有选错的得 分｡已知向量(1,1),(3,1),(1,1),a b a b c +=-=-=设,a b 的夹角为→则.||||A a b = .B a c ⊥ .//C b c → 已知函数22()sin 23sin cos cos ,f x x x x x =+-⌧∈ 则 ✌ ♎♐☎⌧✆♎ ♐☎⌧✆ 在区间☎⇨✆上只有 个零点 ♐☎⌧✆ 的最小正周期为⇨.3D x π=为♐☎⌧✆图象的一条对称轴 已知数列{}n a 的前⏹项和为 11,1,21,n n n a S S a +==++数列12{}n n n a a +⋅的前⏹项和为*,,n T n N ∈则下列选项正确的为✌数列{1}n a +是等差数列数列{1}n a +是等比数列数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.1n D T <已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形 其中22,AB =111112,2,A B AA BB CC ====则下述正确的是✌该四棱合的高为311.B AA CC ⊥该四棱台的表面积为 该四棱合外接球的表面积为 ⇨三､填空题 本题共 个小题 每小题 分 共 分｡ 若 ⌧1(0,),4x xa -∈+∞+≥恒成立 则实数♋的取值范围为♉♉♉♉ 已知函数♐☎⌧✆的定义域为 ♐☎⌧ ✆为奇函数 ♐☎✆ 则♐☎✆♉♉♉♉ 已知♋∈☠二项式61()a x x++展开式中含有2x 项的系数不大于 记♋的取值集合为✌则由集合✌中元素构成的无重复数字的三位数共有♉♉♉♉♉♉个 年是中国传统的农历❽鼠年❾有人用 个圆构成❽卡通鼠❾的形象 如图 ✈☎ ✆是圆✈的圆心 圆✈过坐标原点 点☹､ 均在⌧轴上 圆☹与圆 的半径都等于 圆 ､圆☹均与圆✈外切｡已知直线●过点 ☎ ✆ 若直线●与圆☹､圆 均相切 则●截圆✈所得弦长为♉♉♉♉ ☎✆若直线●截圆☹､圆 ､圆✈所得弦长均等于♎则♎♉♉♉♉ ☎本题第一个空 分 第二个空 分✆四､解答题 本题共 小题 共 分｡解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤｡ ☎ 分✆设等差数列{}n a 的前⏹项和为,n S 等比数列{}n b 的前⏹项和为.n T 已知112,a b =236,12,S S ==24,3T =⏹∈☠✉ ☎ ✆求{},{}n n a b 的通项公式☎✆是否存在正整数 使得6k S k <且139k T >？若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由｡ ☎ 分✆在△✌中 ♋ ♌ ♍分别为内角✌ 的对边 22222()(1tan )b b c a A =+-- ☎ ✆求角 ☎✆若210,c= 为 中点 在下列两个条件中任选一个 求✌的长度｡条件① △✌ 的面积 且 ✌条件②25 cos.5B=注 如果选择两个条件分别解答 按第一个解答计分｡ ☎ 分✆在如图所示的四棱锥☜✌中 四边形✌为平行四边形 △ ☜为边长为 的等边三角形 ✌✌☜点☞分别为✌ ☜的中点 ☞是异面直线✌和 的公垂线｡☎ ✆证明 平面✌☜⊥平面 ☜☎✆记 ☜的重心为☝求直线✌☝与平面✌所成角的正弦值 ☎ 分✆某网络购物平台每年 月 日举行❽双十一❾购物节 当天有多项优惠活动 深受广大消费者喜爱｡☎ ✆已知该网络购物平台近 年❽双十❾购物节当天成交额如下表年份成交额（百亿元） 求成交额✆的线性回归方程 并预测 年该平台❽双十一❾购物节当天的成交额☎百亿元✆ ☎✆在 年❽双十一❾购物节前 某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台 上分别参加✌､ 两店各一个订单的❽秒杀❾抢购 若该同学的爸爸､妈妈在✌､ 两店订单❽秒杀❾成功的概率分别为☐､❑记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为✠ ☎ ♓✆求✠的分布列及☜☎✠✆☎♓♓✆已知每个订单由 ☎♏∈☠✉ ✆件商品 构成 记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 总数量为✡假设27sinsin,44k k p q k k kπππ=-= 求☜☎✡✆取最大值时正整数 的值附 回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1122211())ˆˆ;()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y ba y bxxnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑☎ 分✆已知 为坐标原点 椭圆 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左 右焦点分别为点12,,F F 2F 又恰为抛物线2:4y x =的焦点 以12F F 为直径的圆与椭圆 仅有两个公共点☎ ✆求椭圆 的标准方程☎✆ 若直线●与 相交于✌两点 记点✌到直线⌧ 的距离分别为1,d 212,||.d AB d d =+直线●与 相交于☜☞两点 记△ ✌△ ☜☞ 的面积分别为12,.S S☎♓✆证明 1EFF ∆的周长为定值 ☎♓♓✆求21S S 的最大值 ☎ 分✆已知函数2()ln 2f x ax x x =-+的图象在点☎ ✆处的切线方程为⍓ ☎ ✆当⌧∈☎✆时 证明 ♐☎⌧✆☎✆设函数♑☎⌧✆⌧♐☎⌧✆当⌧∈☎ ✆时 证明 ♑☎⌧✆ ☎ ✆若数列{}n a 满足 *11(),01,n n a f a a n N +=<<∈ 证明1ln 0.ni ia=<∑。
山东省青岛市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】B 【解析】 【分析】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 2．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C 【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.5．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23C ．53D ．56【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，所以sin()1633ωωπππ+-=±，即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以52,3k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为53．故选C ． 6．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=【答案】C【分析】判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与x 轴的夹角为30°或60°，双曲线C 的渐近线方程为y x =或y =.A 选项渐近线为y x =，B 选项渐近线为y =，C 选项渐近线为12y x =±，D 选项渐近线为y =.所以双曲线C 的方程不可能为221312y x -=.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.7．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ， 故选C8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( )A B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，有21ba=，再利用222a b c =+即可解决.由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，所以21ba=，即()2224a c a -=，解得2e =. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题.9．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =-的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案. 【详解】 解：1sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.10．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩…函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,1)(0,)-∞-+∞U D ．(0,1)【答案】C 【解析】 【分析】转化()()g x f x kx =+有1个零点为()y f x =与y kx =-的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解. 【详解】()()g x f x kx =+有1个零点等价于()y f x =与y kx =-的图象有1个交点．记()(1)(3)(1)h x x x x x =--->，则过原点作()h x 的切线， 设切点为00(,)x y ，则切线方程为000()()()y h x h x x x '-=-， 又切线过原点，即000()()h x h x x '=， 将0000()13,()()h x x x x =---，02003()38x h x x '-+=-代入解得02x =．所以切线斜率为2(2)328231h '=-⨯+⨯-=， 所以1k <-或0k >． 故选：C 【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.11．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =+ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022{820xx ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ． 考点：函数的定义域．12．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由b a >可得e >由过点T 所作的圆的两条切线互相垂直可得TF =,又焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,则TF b =≥,进而求解.【详解】b a >Q ,所以离心率c e a ==>,又圆222()a c y x +=-是以(c,0)F 为圆心,半径r a =的圆,要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直,必有TF ,而焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,所以TF b =≥,即ba所以c e a ==,所以双曲线M 的离心率的取值范围是. 故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
B C A D C B A B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．AC 10．BCD 11．ABD 12．CD三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．22m -≤≤；14．25-；15．10x y -+=；16．（1）28y x =；（2）2．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）解：（1）方案一：选条件①．因为数列1{}n S a +为等比数列所以2211131()()()S a S a S a +=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =所以22(2)2(2)q q q +=++，解得2q =或0q =（舍）所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）由（1）得12n n a -=*(N )n ∈所以212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++===-⋅++所以1111111111[(1(()()()]232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 13113111()()42122122n n n n ==--++-+++32342(1)(2)n n n +=-++方案二：（1）选条件②．因为点1(,)n n S a +在直线1y x =+上所以11n n a S +=+*(N )n ∈，所以11n n a S -=+(2)n ≥两式相减得1n n n a a a +-=，+1=2n n a a (2)n ≥因为11a =，211112a S a =+=+=，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -++++= *(N )n ∈ （ⅰ）所以12121222(1)n n n na a a n a ---+++=- 所以121212222(1)n n n n a a a n a --+++=- （ⅱ）（ⅰ）-（ⅱ）得122(1)n n n a na n a +=--，即+1=2n n a a (2)n ≥当1n =时，122a a =，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）18．（本小题满分12分）解：（1）因为cos 2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin sin A C A C C A=-因为(0,)A π∈，sin 0A ≠所以cos 2cos sin C C C=-所以22cos sin cos sin C C C C -=-，即(cos sin )(cos sin 1)0C C C C -+-=所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=①若cos sin C C =，则4C π=②若cos sin 10C C +-=，则2sin(42C π+=因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=综上，4C π=或2C π=(2)因为ABC ∆为锐角三角形，所以4C π=因为222221442cos 2(24c a b ab a b ab π==+-=+-≥-=-即72(2ab ≤=+（当且仅当a b =等号成立）所以1122sin sin 72(236(1)22444S ab C ab π===≤⨯+=即ABC ∆面积S 的最大值是1)+19．（本小题满分12分）解：（1） 底面ABCD 和侧面11B BCC 都是矩形，∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥∵C CC CD =1 ，∴⊥BC 平面11D DCC ∵1D E ⊂平面11D DCC ，∴1BC D E ⊥，∵1D E CD ⊥，BC CD C = ，∴1D E ⊥底面ABCD1D E ⊂平面11CC D D ，∴平面11CC D D ⊥底面ABCD ．（2）取AB 的中点FE 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，EF CD∴⊥以E 为原点，以1EF EC ED 、、所在直线分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系E xyz -如图所示.设1(0)ED a a =>，则(0,0,0)E ，(1,1,0)B ，1(0,0,)D a ，(0,1,0)C ，1(0,2,)C a 设平面1BED 的法向量1111(,,)n x y z = ，(1,1,0)EB = ，1(0,0,)ED a =.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩，令11x =可得111,0y z =-=，∴1(1,1,0)n =- 设平面11BCC B 的法向量2222(,,)n x y z = ，(1,0,0)CB = ，1(0,1,)CC a = .由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，∴2(0,,1)n a =- 由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π，所以121212|cos ,|cos 3||||n n n n n n π⋅<>===⋅ 解得1a =．∴平面11BCC B 的法向量2(0,1,1)n =- ，由于(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)D ，所以111(1,2,0)(0,1,1)(1,1,1)CA CA AA CA DD =+=+=-+=- ，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则12126sin ||3||||CA n CA n θ⋅===⋅ A B C D 1A 1B 1C 1DE x y z F20．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= ,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b =又23c b =，解之得：0.3,0.1c a ==所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次（2）由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为100(0.350.20.05)60⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=，不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为质量不优秀质量优秀总计甲地4060100乙地2575100总计65135200（说明：填对5个数据得1分，用去尾法）所以2200(40752560)200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关（3）在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p =则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以04043181(0)((44256P C ξ===131********(1)(()4425664P C ξ====2224315427(2)()()44256128P C ξ====313431123(3)()()4425664P C ξ====4044311(4)()()44256P C ξ===所以ξ的分布列为ξ01234P 812562764271283641256ξ的数学期望8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21．（本小题满分12分）解：（1） 椭圆E 的离心率为12，12c e a ∴== 四边形1122A B A B的面积为1222a b ∴⨯⨯=又222a b c =+解之得：2,1a b c ===∴椭圆E 的方程为：22143x y +=（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1F MN ∆的周长48a ==，1111(||||||)42F MN S F M F N MN r r ∆=++=，即114F MN r S ∆=当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，||3MN =1121113||||4424F MN r S MN F F ∆==⨯⨯=当l 与x 轴不垂直时，设:(1)l y k x =-(0)k ≠由22222(1)(43)690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩212122269,4343k k y y y y k k ∴+=-=-++112121221211221111||||||||||||222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅-1211||222F F =⨯⨯=114F MNr S ∆==令243k t +=，则3t >，r ===3t > ，1103t ∴<<，304r ∴<<综上可知：304r <≤22．（本小题满分12分）解：（1）由题()xf x e ax '=-因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x 所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根12,x x 设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意②0a >时，由()0x g x e a '=-=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增.所以min ()(ln )ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >，令()2ln a a a ϕ=-(0)a >，则22()1a a a a ϕ-'=-=，当(0,2)a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数；当(2,)a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数；∴min ()(2)22ln 22(1ln 2)0a ϕϕ==-=->()0a ϕ∴>，即2ln a a >，从而ln 2a a a <<，2a e a >∴2()0a g a e a =->，又因为(0)10g =>，所以()g x 在区间(0,ln )a 和(ln ,)a a 上各有一个零点，符合题意，综上，实数a 的取值范围为(,)e +∞.（2）不妨设12x x <，则1(,ln )x a ∈-∞，2(ln ,)x a ∈+∞，所以12ln x a x <<设()()(2ln )p x g x g a x =--2ln [(2ln )]x a x e ax e a a x -=----22x x e a e ax -=--+则2()2x xp x e a e a -'=+-2220a a a ≥-=-=（当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立）.所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln x a >，可得2()(ln )0p x p a >=，即22()(2ln )0g x g a x -->，又因为12,x x 为函数()g x 的两个零点，所以12()()g x g x =，所以12()(2ln )g x g a x >-，又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<，又函数()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<.。
青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科） 2020.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1(i 为虚数单位)等于 A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 2．若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ，}1{x y x B -==，则A B =I A ．(]1,∞- B ．]1,1[-C ．φD ．{1}3．设p 和q 是两个简单命题，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则p 是q ⌝的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是1=a 3=b b a a += b a b -= PRINT b a ,A ．1 3 B ．4 1 C ． 0 0 D ．605．若dx x a ⎰=22sin π，dx x b ⎰=1cos ，则a 与b 的关系是A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．0=+b a 6．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是A ．2B. 1C ．22+D. 1+7．已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a 的值为 A ．1B ．4C ．8D ．168．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为A ．2B ．3C ．4D ．69．已知281(0,0)x y x y+=>>，则x y +的最小值为A ．12B ．14C ．16D ．1810．过原点的直线与函数x y 2=的图像交于B A ,两点，过B 作y 轴的垂线交于函数x y 4=的图像于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是A ．)2,1(B ．)4,2(C ．)2,21( D ．)1,0( 11．在数列}{n a 中，a a a n n +=+1（a n ,N *∈为常数），若平面上的三个不共线的非零向量,,满足a a 20101+=，三点C B A ,,共线且该直线不过O 点，则2010S 等于A ．1005B ．1006C ．2010D ．201212．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给出下列四个命题： ①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ； ③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确．．．的命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．若n xx )1(+展开式中第2项与第6项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为 ； 14．已知区域}0,5,0|),{(},0,0,10|),{(≥≤≥-=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率()P A = ； 15．关于x 的不等式|2||1|5x x ++-<的解集为 ；16．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知向量)cos ,2sin 3(x t x m +=，)cos 2,1(x =，设函数n m x f ⋅=)(. (Ⅰ)若21)32cos(=-πx ，且⊥，求实数t 的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,若1,3)(==b A f ,且ABC ∆的面积为23,实数1=t ,求边长a 的值. 18．（本小题满分12分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21,若使促销方案对商场有利，则x 最少为多少元？ 19.(本题满分共12分)下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图，在直观图中，SA SC =，N M 、分别为SB AB 、的中点.（Ⅰ）求证：SB AC ⊥;（Ⅱ）求二面角B NC M --的余弦值.20.(本题满分共12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a aa ,其中*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较nn T T 4121++与1log 22log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明.21.(本题满分12分)A B C M S N侧视图俯视图4已知定义在正实数集上的函数ex x x f 221)(2+=,b x e x g +=ln 3)(2（其中e 为常数，2.71828e =⋅⋅⋅）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同. (Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,x a e x g e a ex x f )2())(2(6)2)((222+≤++-恒成立,求实数a 的取值范围.22.(本题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两焦点分别为21,F F ，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是1PF 上一点，若12120,0PF OH F F PF ==⋅=⋅，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31λ（其中O 为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22=b ，点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM =u u u r u u u u r, 求直线l 的方程.青岛市高三教学质量统一检测 数学试题（理科）答案 2020.3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBBBA BCDDA AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．20 14．4115．），（23- 16．），（∞+1 三、解答题（共74分）． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)由题意得01)62sin(2cos 2)2sin 3(2=+++=++=⋅t x x t x π…………3分所以21)32cos(21)62sin(2-=---=-+-=ππx x t …………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知2)62sin(21)62sin(2)(++=+++=ππx t x x f由题意得32)62sin(2)(=++=πA A f所以21)62sin(=+πA …………………8分因为6136260ππππ<+<<<A A ，，所以6562ππ=+A解得3π=A因为ABC ∆的面积为23,所以23sin 21=A bc ,2=bc 即2=c …………10分 由余弦定理得32121241cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a …………12分 18．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)选出3种商品一共有37C 种选法, …………2分选出的3种商品中至多有一种是家电商品有251235C C C +种. …………4分 所以至多有一种是家电商品的概率为7637251235=+=C C C C P .…………5分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为ξ,可能值为0, 40,80,120.…………6分(),81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ …………7分 (),832121402113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ …………8分 (),832121801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ …………9分 ().1111200333=⎪⎫ ⎛⋅⎪⎫ ⎛==C P ς…………10分 所以60812088084080=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .所以60≥x ,因此要使促销方案对商场有利，则x 最少为60元. …………12分 19.(本题满分12分)解: 由题意知: 32==SC SA ，侧面⊥SAC 底面ABC ， 底面ABC ∆为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. 因为BC AB SC SA ==,,所以OB ACSO AC ⊥⊥,. 所以⊥AC 平面OSB .所以SB AC ⊥ …………4分(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -. (4,0,0),(0,AC SB ∴=-=-u u u r u u r.).2,0,1(),0,3,3(-==MN CM …………6分 设=),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02033z x yx ，取1=z ,得6,2-==y x . 所以)1,6,2(-=n …………8分又由上可得).2,3,2(),0,32,2(==设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅02320322c b a CN m b a CB m ,得02=+c a , 令1=c ，则)1,36,2(-=…………10分 所以11333333122||||,cos -=⨯+--=>=<n m所以二面角B NC M --的余弦值为1133. …………12分 20.(本题满分12分)解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列…………2分 由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a 故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=)N (*∈n …………4分(Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列 所以)14(34-=nn T …………6分 则1431)14(48441211-+=-+=+++nn n n n T T 又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n)14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n猜想：13471+>⋅-n n …………8分①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立； ②假设当k n =时，不等式13471+>⋅-k k 成立…………9分 当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n …………11分 又410,410n n ->->01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T 所以对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T …………12分 21.(本题满分12分)解:(Ⅰ)e x x f 2)(+=',xe x g 23)(='………………1分设函数ex x x f 221)(2+=与b x e x g +=ln 3)(2的图象有公共点为),(00y x 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=++=+032ln 3221002002020x x e e x b x e ex x ………………………3分解得:22e b -= ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2ln 3)(22e x e x g -=所以x a x e x g ea ex x f ln ))(2(6)2)((2222+=++- 即)1(2)ln 2Λx x x x a -≥-（当)1,1[ex ∈时，0ln <x ，0ln >-∴x x当[]e x ,1∈时，x x ≤≤1ln ，且等号不能同时成立，0ln >-∴x x所以,则由(1)式可得x x x x a ln 22--≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立……………………7分设x x x x x F ln 2)(2--=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1又2)ln (ln 22)(1()(x x x x x x F --+-='）……………………9分令0)(='x F 得：1=x 又0ln 22,1ln >-+∴≤x x x所以，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0)(<'x F ；当(]1,x e ∈时，0)(>'x F ；所以，)(x F 在)1,1[e上为减函数，)(x F 在(]1,e 上为增函数…………11分又<<+-=0)1(21)1(e e ee F 12)(2--=e e e e F故12)()(2max --==e ee e F x F所以实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--,122e e e ……………12分 22.(本题满分14分)解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥ 则有OH F 1∆与21PF F ∆相似 所以λ==PF PF OF OH 121……………2分设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P 则有122122=+b y a c ,解得a b y 21= 所以ab y PF 212== 根据椭圆的定义得:ab a PF a P F 22122-=-= ……………4分 2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222a b 所以112122222-+=-==λa b a c e ……………6分 显然1122-+=λe 在]21,31[上是单调减函数 当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是22……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222=-=-==a a b a c e ,解得42=a 所以此时椭圆C 的方程为12422=+y x ……………10分 由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k , 则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211k y x =-=∴……………12分 又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k解得4k±=所以直线l的方程为04=+4+yx……………14分+44=-yx或0。
