北京师范大学866专业课考研历年真题

The shortest way to do many things is 120121、解释下列词语（每题5分，共25分）《吴越春秋》 正始之音以文为词 南戏晚明小品文二、简答题（每题10分，共20分）1、举例说明《韩非子》寓言的特点。

2、举例说明苏轼诗如何体现出“有必达之隐，无难显之情”（赵翼《瓯北诗话》）的特色。

三、论述题（共30分）结合作品，分析《三国演义》如何塑造具有特征化性格的人物，并加以评价。

2011723古代一1庄骚2永明体3《云谣集杂曲子》4唐宋派5《阅微草堂笔记》二简答1班固《汉书》称司马迁“是非颇谬于圣人”，如何看待这一评价？2比较《长生殿》和《桃花扇》艺术结构上的特点。

三论述：结合作品，分析唐代边塞诗主题的发展演变2010723古代一1《古诗十九首》2宫体诗3词“别是一家”4拟话本5桐城派二简答1《战国策》的寓言特色2大历诗风的艺术特色三论述：根据鲁迅“……鬼魅亦有其性情”分析《西游记》2009723古代一1诗六义2骨气奇高 辞采华茂3《花间集》4四六5四大声腔二简答1简述《左传》记言特点2 姜夔词的艺术特征3 《聊斋志异》的讽刺艺术三论述：读杜甫的《秋兴八首》之一，结合具体的诗歌写一篇鉴赏性的文章。

2008723古代一1.骚体赋2.江西诗派3.才子佳人小说二1.结合实例谈谈庄子寓言的特点。

2.试述《西厢记》的结构特色。

三、论述题（二选一）1.李白诗歌的艺术特色。

2《红楼梦》在人物塑造上的艺术特色。

2007723古代一1《文选》2唐宋八大家3杂剧 二1、《诗经》中是如何运用赋、比、兴手法的，各举一例说明之．2、陈师道在《后山诗话》里说：“退之以文为诗，子瞻以诗为词，如教坊雷大使之舞，虽极天下之工，要非本色。

”谈对苏轼＂以诗为词＂的看法三、1、谈《三国演义》与《水浒传》人物塑造方法的异同2、论述王唯诗和孟浩然诗的异同．（艺术特色 2006 723古代一1楚辞2《元曲选》 3 公安派二1 举诗句说明《古诗十九首》的人生哲理（哲理特点2.谈一下欧阳修散文的艺术特色三1 根据材料谈对杜诗集大成的认识（材料出元稹《杜君墓系铭》和秦观《韩愈论》）元稹《唐故检校工部员外郎杜君墓系铭》“上薄风雅，下该沈、宋，言夺苏、李，气吞曹、刘，掩颜、谢之孤高，杂徐、庾之流丽，尽得古今之体势，而兼人人之所独专矣。

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。

试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。

包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。

这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。

解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。

2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。

北京师范大学2012年研究生入学考试试卷（学科英语教育硕士）1.Explain the following terms, use examples to illustrate (20分)DisplacementAssimilationInflectional morphemeDeep structureSocial linguistics2.What are the maxims of the cooperative principle, use some examplesto illustrate violation of the maxims may rise the particularization of the conversational implicature. (15分)3.What is the Sapir-Whorf Hypothesis, do you agree with it; providesome examples or proof to support your point of view. (15分)4.What is metaphor, use examples to explain the different kinds of it.(15分)5.What are the principals of a good planning, explain each of them. (15分)6.What are learning styles? What makes the differences between thefield-independent and field-dependent students? (15分)7.What is the code-switching in the language classroom, and why andhow it happened? (15分)8.What is the need analysis? What is wanted to be obtained through it?How do the people carry on “need analysis”? (15分)9.What are the principles of the reading teach? Explain themrespectively. (15分)10.E xplain the difference between Focus on Form and Focus on Forms inlanguage teaching, and explain the difference methodologies adopted based on the two different beliefs on the language teaching. (20分)北京师范大学2013年研究生入学考试试卷（学科英语教育硕士）1.Explain the following concept briefly. (40分)Prescriptive and descriptive linguisticsLinguistic competence and linguistic performanceDenotation and connotationFormative assessment, proficiency test and achievement test2.In what way is language arbitrary? Can you give examples to showthat language is not arbitrary? (15分)3.The meaning of a sentence is determined by the meaning of itscomponent parts and the way in which they are combined. Comment on this statement with example. (15分)4.What are the product and process of language learning? (15分)5.What is classroom management? What does it include? Whatprinciples do you usually base on when you manage your class?6.What does knowing a word involve? Give examples to illustrate yourexplanations. (15分)7.What are the differences between the inductive method and the guideddiscovery method in teaching grammar? (15分)8.What are the common question types in the language classroom?Explain different levels of thinking when answering different types of questions. Then design some questions for the following text thatreflect the different levels of thinking. Specify the levels ofunderstanding and give answers for each question you have designed.北京师范大学2014年研究生入学考试试卷（学科英语教育硕士）1.Explain and exemplify the terms briefly. (20分)ArbitrarinessMorphologyHyponymyIllocutionary2.What are the basic functions of language?3.Nowadays many new words are added to the English dictionary. Canyou illustrate some ways to show how new words are formed?4.Explain Krashen’s Input Hypothesis.5.What are the principles of communicative language teaching?6.What are bottom-up and top-down model of teaching reading?7.What are the procedures of process writing?8.What are the features of good text books?9.What are the principles of task-based language teaching? Can you givesome examples of a task?北京师范大学2015年研究生入学考试试卷（学科英语教育硕士）1.名词解释Explain the following terms.ParoleConsonantDerivationEntailmentImplicature简答1.Explain the features of Language2.Describe major changes that Language go through and the reasons forchanges3.How to understand Speech Act Theory? 3 theories of L2 acquisition.5.What are essential and desirable conditions of language learning?Give your reasons.6.What are common language learning styles?7.Explain the types of learners in learning English8.What types of assessment are used to evaluate English Learning?9.What is role of activities in English learning and teaching?10.W hat are the mistakes in this lesson plan? (Lesson design comment)大意是给你一个班级20人的初二班的教案，里面有一些课堂教学的步骤，让你进行评价。

北师大教育学考研真题详解附答案二、辨析题：完整试卷及答案1.教学是教师有目的有计划地培养学生知识和技能的活动。

答：此观点存在一些偏差。

教学是教和学相结合或相统一的活动，是由教师的教和学生的学所组成的双边活动过程，通过教学，学生在教师有目的有计划的引导之下，学习系统的科学文化知识和技能，发展智力、体力，陶冶品德，养成全面发展的个性。

凯程考研提供此题干中只说明了教师的教，对于学生的学并没有明确说明，因此，此观点是片面的。

我们所强调的教学是在教师教的基础上发挥学生主动性和积极性的活动，而绝非教师填鸭式的传授方式。

凯程教育学2014年在北师大方面保录班7多金花全部录取,专业课押题全部命中,其中张海y同学是来自某三本院校国经贸专业,,考取了北师大学校咨询状元,7名学员的经验视频均在凯程网站有展示,有志于考教育学的同学,可以去查看, 凯程的教育学由徐影团队负责教研,在集训营和远程进行全方面授课指导,加上凯程教育学资源,教育学考研十拿九稳. 特别提醒的是考教育学的学生,99%都是跨专业考生,且难度没有那么大,所以想跨专业考研的同学,教育学是首选. 择校择专业就找凯程老师2.课程是学校全部教学活动的总和。

答：对于课程的概念虽然目前没有明确的定义，但是我们要给课程下定义需要说明是广义和狭义的课程，在题干中课程是从一个狭义的角度来理解课程。

广义的课程是指学生在学校获得的全部经验。

其中包括有目的、有计划的学科设置、教学活动、教学进程、课外活动以及学校环境和氛围的影响。

而狭义的课程是指各级各类学校为了实现培养目标而开设的学科及其目的、内容、范围、活动。

因此，本题干中没有说明课程的广义和狭义的概念区分，另外，题干中也存在将课程和教学概念相混淆的问题。

题干中有明显的大课程小教学的倾向，这是存在争议的。

3.智力是创造力的必要条件。

答：该说法明确错误。

智力和创造力之间永远不出现充要的关系。

一般情况下我们说高的创造力需要一定智力的支持，但是这种智力是一般水平之上即可，不一定要达到超级高的水平，因此，高创造力需要基本智力水平的支持，高智力不一定会有高创造力，但是低智力一定没有高创造力。

北师大考研试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列关于教育学原理的表述，不正确的是：A. 教育是一种社会现象B. 教育是一种文化现象C. 教育是一种经济现象D. 教育是一种政治现象答案：C2. 以下哪项不是教育心理学的研究对象？A. 学习过程B. 教学过程C. 管理过程D. 评价过程答案：C3. 教育评价的目的是：A. 选拔人才B. 促进学生发展C. 激励教师工作D. 以上都是答案：D4. 教育心理学的研究方法包括：A. 实验法B. 观察法C. 调查法D. 以上都是答案：D5. 下列哪个理论不属于学习理论？A. 行为主义理论B. 认知主义理论C. 人本主义理论D. 系统论答案：D6. 教育心理学认为，影响学生学习的主要因素是：A. 智力因素B. 非智力因素C. 环境因素D. 以上都是答案：D7. 教育评价的类型包括：A. 形成性评价B. 总结性评价C. 诊断性评价D. 以上都是答案：D8. 教育心理学的研究内容不包括：A. 学习心理B. 发展心理C. 教学心理D. 管理心理答案：D9. 教育评价的功能包括：A. 导向功能B. 激励功能C. 反馈功能D. 以上都是答案：D10. 教育心理学的研究方法不包括：A. 实验法B. 观察法C. 历史法D. 调查法答案：C二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 教育心理学的研究对象包括：A. 学习心理B. 发展心理C. 教学心理D. 评价心理答案：ABC2. 教育评价的类型包括：A. 形成性评价B. 总结性评价C. 诊断性评价D. 比较性评价答案：ABC3. 影响学生学习的主要因素包括：A. 智力因素B. 非智力因素C. 环境因素D. 社会因素答案：ABC4. 教育心理学的研究方法包括：A. 实验法B. 观察法C. 调查法D. 历史法答案：ABC5. 教育评价的功能包括：A. 导向功能B. 激励功能C. 反馈功能D. 预测功能答案：ABC三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述教育心理学的研究内容。

北师大教育学考研真题之考研真题及答案一、单项选择题：1～45小题，每小题2分，共90分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

请在答题卡上将所选项的字母涂黑。

对于题目的答案有疑义的，可以进入论坛提问或者关注的微博。

1.关注和探询“谁控制学校”、“谁制定学校管理的政策”、“谁决定教育的伦理、社会和经济目标”、“谁设置课程”的教育理论流派是A. 制度教育学B. 改造主义教育理论C. 存在主义教育理论D. 批判教育学【参考答案】D【解析】批判教育学是20世纪70年代之后兴起的一种教育思潮，主要代表人物是鲍尔斯、金蒂斯、阿普尔、吉鲁，法国的布厄迪尔等。

基本观点是：第一，当代资本主义的学校教育不是一种民主的建制和解放的力量，而是维护现实社会的不公平和不公正的工具，是造成社会差别、社会歧视和社会对立的根源；第二，教育是与社会相对应的，有什么样的社会政治、经济和文化，就有什么样的学校教育机构，社会的政治意识形态、文化样态、经济结构都强烈低制约着学校的目的、课程、师生关系、评价方式等，学校教育的功能就是再生产出占主导地位的社会政治意识形态、文化关系和经济结构；第三，批判教育学的目的就是要揭示看似自然事实背后的利益关系，帮助教师和学生对自己所处的教育环境及形成教育环境的诸多因素敏感起来，即对他们进行“启蒙”，以达到意识“解放”目的，从而积极地寻找克服教育及社会不平等和不公正的策略；第四，教育现象不是中立的和客观的，而是充满着利益纷争的，教育理论研究不能采取唯科学主义的态度和方法，而要采用实践批判的态度和方法。

从题干的角度出发，选择D。

2.如下现象属于教育范畴的是A. 爸爸针对小明懦弱的个性设法训练小明如何以牙还牙报复欺侮者B. 妈妈指导小明在与他人冲突中如何保护自己C. 老师严格管理以保护小明等弱小学生不再受欺负D. 小明在与同学的多次冲突中逐渐学会了如何与人和睦相处【参考答案】B【解析】教育的定义具有广义和狭义的区分，广义的教育指的是，凡是有目的的地增进人的知识技能，影响人的思想品德，增强人的体质的活动，不论是有组织的或是无组织的，系统的或是零碎的，都是教育。

目录第一卷北京大学 (1)1.1996年数学分析(1)2.1996年高等代数(1)3.1997年数学分析(2)4.1997年高等代数(2)5.1998年数学分析(3) 6.1998年高等代数(4)7.1999年数学分析(5)8.1999年高等代数(5)9.2000年数学分析(6)10.2000年高等代数(7)11.2001年数学分析(8)12.2001年高等代数(8)13.2002年数学分析(9)14.2002年高等代数(10)15.2005年数学分析(11)16.2005年高等代数(11)17.2006年数学分析(12)18.2006年高等代数(13)19.2007年数学分析(14)20.2007年高等代数(14)21.2008年数学分析(15)22.2008年高等代数(16)23.2009年数学分析(16)24.2010年数学分析(17)25.2010年高等代数(18)第二卷北京师范大学 (19)1.1998年数学分析(19)2.1998年高等代数(19)3.1999年数学分析(20)4.1999年高等代数(20)5.2000年数学分析(21) 6.2000年高等代数(22)7.2001年数学分析(22)8.2001年高等代数(23)9.2002年数学分析(23)10.2002年高等代数(23)11.2003年数学分析(24)12.2003年高等代数(25)13.2004年数学分析(25)14.2004年高等代数(26)15.2005年数学分析(26)16.2005年高等代数(27)17.2006年数学分析与高等代数(28)18.2007年数学分析与高等代数(29)第三卷四川大学 (30)1.1997年数学分析(30)2.1998年数学分析(30)3.1999年数学分析(31)4.1999年高等代数(31)5.2000年数学分析(32) 6.2000年高等代数(32)7.2001年数学分析(33)8.2001年高等代数(34)9.2002年数学分析(34)10.2002年高等代数(35)11.2003年数学分析与高等代数(35)12.2004年数学分析与高等代数(36)13.2005年数学分析与高等代数(37)14.2006年数学分析与高等代数(38)15.2007年数学分析(39)16.2007年高等代数(39)17.2008年数学分析(41)18.2008年高等代数(42)第四卷西南大学 (44)1.2002年数学分析(44)2.2002年高等代数(45)3.2003年数学分析(45)4.2003年高等代数(46)5.2004年数学分析(47) 6.2004年高等代数(47)7.2005年数学分析(48)8.2005年高等代数(49)9.2006年数学分析(50)10.2006年高等代数(51)11.2007年数学分析(52)12.2007年高等代数(53)13.2008年数学分析(54)14.2008年高等代数(55)北京大学1996年数学分析试题1.(25分)判断下列命题的真伪：(1)对数列{a n }作和S n =n ∑k =1a k ，若{S n }是有界数列，则{a n }是有界数列；(2)数列{a n }存在极限lim n →∞a n =a 的充要条件是：对任一正整数p ，都有lim n →∞ a n +p −a n =0；(3)设f (x )是[a,+∞)上的递增连续函数，若f (x )在[a,+∞)上有界，则f (x )在[a,+∞)上一致连续；(4)设f (x )在[a,b ]上连续，且在(a,b )上可微，若存在极限lim x →a +0f ′(x )=ℓ，则右导数f ′+(a )存在且等于ℓ；(5)若f (x )是[a,+∞)上的非负连续函数，且积分∫+∞a f (x )d x 收敛，则lim x →+∞f (x )=0．2.(13分)设f (x )在x =a 处可微，f (a )=0．求极限lim n →∞(f (a +1n )f (a ))x ．3.(20分)(1)求幂级数+∞∑n =1nx n −1(|x |<1)的和；(2)求级数+∞∑n =12n 3n 的和．4.(12分)求积分I =∫∫∫D (x +y +z )d x d y d z 的值，其中D 是由平面x +y +z =1以及3个坐标平面围成的区域．5.(20分)设a n =0(n =1,2,...)且lim n →∞a n =0．若存在极限limn →∞a n +1a n =ℓ，证明|ℓ| 1．6.(10分)设在[a,b ]上，f n (x )一致收敛于f (x )，g n (x )一致收敛于g (x )．若存在正数列{M n }，使得对任意x ∈[a,b ]，n =1,2,···，有f n (x ) M n ，g n (x ) M n ．证明，f n (x )g n (x )在[a,b ]上一致收敛于f (x )g (x )．北京大学1996年高等代数与解析几何试题1.(15分)在仿射坐标系中，求过点M 0(0,0,−2)，与平面π1:3x −y +2z −1=0平行，且与直线ℓ1:x −14=y −3−2=z −1相交的直线ℓ的方程．2.(25分)作直角坐标变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并且指出它是什么曲面：x 2+4y 2+z 2−4xy −8xz −4yz +2x +y +2z −2516=0．3.(16分)设线性空间V 中的向量组α1,α2,α3,α4线性无关．(1)试问，向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1是否线性无关？要求说明理由；·2·博士家园首发(2)求向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1生成的线性子空间W 的一个基以及W 的维数．4.(16分)设V 是数域K 上的n 维线性空间，并且V =U ⊕W ．任给α∈V ，设α=α1+α2，其中α1∈U ，α2∈W ．令P (α)=α1．证明：(1)P 是V 上的线性变换，并且P 2=P ；(2)P 的核Ker P =W ，P 的象Im P =U ；(3)V 中存在一个基，使得P 在这个基下的矩阵是(I r O O O)，其中I r 表示r 阶单位矩阵；请指出r 等于什么．5.(12分)n 阶矩阵A 称为周期矩阵，如果存在正整数m ，使得A m =I ，其中I 是单位矩阵．证明，复数域C 上的周期矩阵一定可以对角化．6.(16分)用R [x ]4表示实数域R 上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个Euclid 空间，其上的内积为(f,g )=∫10f (x )g (x )d x ．设W 是由零次多项式组成的子空间，求W ⊥以及它的一个基．北京大学1997年数学分析试题1.(10分)将函数f (x )=arctan 2x 1−x 2在x =0点展开为幂级数，并指出收敛区间．2.(10分)判别广义积分的敛散性：∫+∞0ln(1+x )x pd x ．3.(15分)设f (x )在(−∞,+∞)上任意阶导数f (n )(x )，且对任意有限闭区间[a,b ]，f (n )(x )在[a,b ]上一致收敛于φ(x )(n →∞)．证明，φ(x )=c e x ，c 为常数．4.(15分)设x n >0(n =1,2,···)及lim n →+∞x n =a ．用ε−N 语言证明lim n →+∞√n =√．5.(15分)计算第二型曲面积分S (x d y d z +cos y d z d x +d x d y )，其中S 为x 2+y 2+z 2=1的外侧．6.(20分)设x =f (u,v )，y =g (u,v )，ω=ω(x,y )有2阶连续偏导数，满足∂f ∂u =∂g ∂v ，∂f ∂v =−∂g ∂u ，∂2ω∂x 2+∂2ω∂y2=0．证明：(1)∂2(fg )∂u 2+∂2(fg )∂v 2=0；(2)∂2ω∂u 2+∂2ω∂v 2=0．7.(15分)计算三重积分：∫∫∫x 2+y 2+z 2 2z(x 2+y 2+z 2)5/2d x d y d z ．北京大学1997年高等代数与解析几何试题1.(12分)判断下列二次曲线的类型：(1)x 2−3xy +y 2+10x −10y +21=0；(2)x 2+4xy +4y 2−20x +10y −50=0．2.(18分)过x 轴和y 轴分别做动平面，交角α是常数，求交线轨迹的方程，并且证明它是一个锥面．3.(20分)设A,B 是数域K 上的n 阶方阵，X 是未知量x 1,···,x n 所成的n ×1矩阵．已知齐次线性方程组AX =0和BX =0分别有ℓ,m 个线性无关解向量，这里ℓ 0，m 0．(1)证明(AB )X =0至少有max(ℓ,m )个线性无关的解向量；第一卷北京大学·3·(2)如果ℓ+m >n ，证明(A +B )X =0必有非零解；(3)如果AX =0和BX =0无公共非零解向量，且ℓ+m =n ；证明K n 中任一向量α可唯一表示成α=β+γ，这里β,γ分别是AX =0和BX =0的解向量．4.(20分)设A 是实数域R 上的3维线性空间V 上的一个线性变换，对V 的一组基ε1,ε2,ε3，有A (ε1)=3ε1+6ε2+6ε3，A (ε2)=4ε1+3ε2+4ε3，A (ε3)=−5ε1−4ε2−6ε3．(1)求A 的全部特征值和特征向量；(2)设B =A 3−5A ，求B 的一个非平凡的不变子空间．5.(10分)设f (x )是有理数域Q 上的一个m 次多项式(m 0)，n 是大于m 的正整数．证明，n √2不是f (x )的实根．6.(20分)设A 是n 维Euclid 空间V 上的一个线性变换，对任意α,β∈V ，有(A (α),β)=−(α,A (β))．(1)若λ是A 的一个特征值，证明λ=0；(2)证明V 内存在一组标准正交基，使得A 2在此基下的矩阵为对角矩阵．(3)设A 在V 的某组标准正交基下的矩阵．证明，把A 看做复数域C 上的n 阶方阵，其特征值比零．北京大学1998年数学分析试题1.(26分)单项选择题：(1)设f (x )定义在区间[a,b ]上．若对任意的g ∈R ([a,b ])，有f ·g ∈R ([a,b ])，则()．A.f ∈R ([a,b ]) B.f ∈C ([a,b ])C.f 可微 D.f 可微(2)f ∈C ((a,b ))．若存在lim x →a +f (x )=1，lim b →b −f (x )=2，则()．A.f (x )在[a,b ]一致连续B.f (x )在[a,b ]连续C.f (x )在(a,b )一致连续D.f (x )在(a,b )可微(3)若广义积分∫10f (x )d x 和∫10g (x )d x 都存在，则广义积分∫10f (x )g (x )d x ()．A.收敛B.发散C.不一定收敛D.一定不收敛(4)若lim n →∞na n =1，则∞∑n =1a n()．A.发散 B.收敛C.不一定收敛D.绝对收敛(5)设f (x,y )在区域{(x,y ) x 2+y 2<1}上有定义．若存在偏导数f ′x (0,0)=0=f ′y (0,0)，则f (x,y )()．A.在点(0,0)处连续B.在点(0,0)处可微C.在点(0,0)处不一定连续D.在点(0,0)处不可微2.(24分)计算下列极限：(1)lim n →∞n √1+a n (a >0)；(2)lim x →0(1x 2−cot x x )；(3)lim x →0+∞∑n =112n n x ．3.(10分)计算下列积分：·4·博士家园首发(1)∫∫S x 3d y d z +x 2y d z d x +x 2z d x d y ，其中S 为z =0，z =b 和x 2+y 2=a 2围成的区域；(2)∫C 1yd x +1x d y ，其中C 为y =1，x =4和y =√x 所围区域的边界，逆时针旋转一周．4.(16分)解答下列问题：(1)求幂级数∞∑n =1(−1)n n !(n e )n x n 的收敛半径；(2)求级数∞∑n =02n (n +1)n !的和．5.(24分)试证明下列命题：(1)广义积分∫+∞0sin x 21+x p d x (p 0)是收敛的；(2)设f (x,y )在G ={(x,y ) x 2+y 2<1}上有定义．若f (x,0)在x =0处连续，且f ′y (x,y )在G 上有界，则f (x,y )在(0,0)处连续．北京大学1998年高等代数与解析几何试题1.(15分)设在直角坐标系中给出了两条互相异面的直线ℓ1和ℓ2的普通方程：{x +y +z −1=0x +y +2z +1=0，{3x +y +1=0y +3z +2=0．(1)过ℓ1作平面π，使得π与ℓ2平行；(2)求ℓ1和ℓ2的距离；(3)求ℓ1和ℓ2的公垂线的方程．2.(15分)在直角坐标系中，球面的方程为：(x −1)2+y 2+(z +1)2=4．求所有与向量u (1,1,1)平行的球面的切线构成的曲面的方程．3.(16分)讨论a,b 满足什么条件时，数域K 上的方程组 ax 1+3x 2+3x 3=3x 1+4x 2+x 3=12x 1+2x 2+bx 3=2有唯一解，有无穷多个解，无解？当有解时，求出该方程组的全部解．4.(12分)设V 是定义域为实数集R 的所有实值函数组成的集合，对于f,g ∈V ，α∈R ，分别用下列式子定义f +g 与αf ：对任意x ∈V ，(f +g )(x )=f (x )+g (x )，(αf )(x )=α(f (x ))．则V 成为R 上的一个线性空间．设f 0(x )=1，f 1(x )=cos x ，f 2(x )=cos 2x ，f 3(x )=cos 3x ．(1)判断f 0,f 1,f 2,f 3的线性相关性，写出理由；(2)用⟨f,g ⟩表示f,g 生成的线性子空间，判断⟨f 0,f 1⟩+⟨f 2,f 3⟩是否为直和，写出理由．5.(20分)用J 表示元素全为1的n 阶方阵，n 2．设f (x )=a +bx 是有理数域Q 上的一元多项式，令A =f (J )．(1)求J 的全部特征值、全部特征向量、所有特征子空间；(2)A 是否可以对角化？如果可以对角化，求出有理数域Q 上的一个可逆矩阵，使得P −1AP 为对角矩阵，并且写出这个对角矩阵．6.(22分)用M 2(C )表示复数域C 上所有2阶矩阵组成的集合．令V ={A ∈M 2(C ) Tr(A )=0且A ∗=A }．其中Tr(A )表示A 的迹，A ∗表示A 的转置共轭矩阵．(1)证明V 对于矩阵的加法以及实数与矩阵的数量乘法作成实数域R 上的线性空间，并且说明V 中的元素形如：(a 1a 2+i a 3a 2−i a 3−a 1)，其中a 1,a 2,a 3∈R ，i =√−1．第一卷北京大学·5·(2)设A =(a 1a 2+i a 3a 2−i a 3−a 1)，B =(b 1b 2+i b 3b 2−i b 3−b 1)，考虑V 上的一个二元函数：(A,B )=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3．证明，这个二元函数是V 上的一个内积，从而V 成为Euclid 空间；并且求出V 的一个标准正交基，要求写出理由．(3)设T 是一个酉矩阵（即，T 满足T ∗T =I ，其中I 是单位矩阵），对任意A ∈V ，规定ΨT (A )=T AT −1，证明ΨT 是V 上的正交变换．(4)ΨT 的意义通第(3)小题，求集合：S ={T det T =1且ΨT =1V }．其中det T 表示T 的行列式，1V 表示V 上的恒等变换．北京大学1999年数学分析试题1.(15分)判断下列命题的真伪：(1)设{a n }是一个数列．若存在一个子列{a n k }中存在收敛子列{a n k i }，则{a n }比为收敛列；(2)设f ∈C ((a,b ))．若存在lim x →a +f (x )=A <0，lim x →b −f (x )=B >0，则必存在ξ∈(a,b )，使得f (ξ)=0；(3)设f (x )在[a,b ]上有界．若对任意δ>0，f (x )在[a +δ,b ]上可积，则f (x )在[a,b ]上可积；(4)设f (x ),g (x )在[0,1]上的暇积分均存在，则乘积f (x )·g (x )在[0,1]上的暇积分必存在；(5)设级数∞∑n =1b n 收敛．若有a n b n (n =1,2,···)，则级数∞∑n =1a n 收敛．2.(40分)求下列极限值：(1)lim x →0a tan x +b (1−cos x )αlog(1−x )+β(1−e −x 2)(a 2+α2=0)；(2)lim n →∞∫10(1−x 2)n d x ；(3)lim n →∞(sin πn n +1+sin 2πn n +12+···+sin πn +1n)；(4)lim n →∞n √1+a n (a >0)．3.(45分)求解下列命题：(1)求级数∞∑n =0n 3n 2n 之和；(2)证明，级数∞∑n =1(−1)n arctan n √n 收敛；(3)设f ∈C ([0,1])，且在(0,1)上可微．若有8∫17/8f (x )d x =f (0)，证明，存在ξ∈(0,1)，使得f ′(ξ)=0；(4)证明，积分∫+∞0x e −xy d y 在(0,+∞)上不已知收敛；(5)设u =f (x,y,z )，g (x 2,e y ,z )=0，y =sin x ，且已知f 与g 都有一阶连续偏导数，∂g ∂z =0．求d u d x ；(6)设f (x )在[−1,1]上二次连续可微，且有lim x →0f (x )x =0．证明，级数∞∑n =1f (1n )绝对收敛．北京大学1999年高等代数与解析几何试题1.(20分)在仿射坐标系中，已知直线ℓ1,ℓ2的方程分别是：x +132=y −53=z 1，x −105=y +74=z 1．(1)判断ℓ1与ℓ2的位置关系，要求说出理由；(2)设直线ℓ的一个方向向量⃗v (8,7,1)，并且ℓ与ℓ1和ℓ2都相交，求直线ℓ的方程．·6·博士家园首发2.(10分)在直角坐标系O −xyz 中，设顶点在原点的二次锥面S 的方程为：a 11x 2+a 22y 2+a 33z 2+2a 12xy +2z 13xz +2a 23yz =0．(1)如果三条坐标轴都是S 的母线，求a 11,a 22,a 33；(2)证明，如果S 有三条互相垂直的直母线，则a 11+a 22+a 33=0．3.(16分)设实数域R 上的矩阵A = 110−101−300．(1)求A 的特征多项式f (λ)；(2)f (λ)是否为R 上的不可约多项式；(3)求A 的最小多项式；(4)A 在R 上是否可对角化，说明理由．4.(16分)设实数域R 上的矩阵A = 10106−21−22．(1)判断A 是否为正定矩阵，说明理由；(2)设V 是实数域R 上的3维线性空间，V 上的一个双线性函数f (α,β)在V 的一个基α1,α2,α3下的度量矩阵为A ．证明，f (α,β)是V 的一个内积；并且求出V 对于这个内积所成的Euclid空间的一个标准正交基．5.(16分)设V 是数域K 上的一个n 维线性空间，α1,α2,···,αn 是V 的一个基．用V 1表示由α1+α2+···+αn 生成的线性空间，令V 2={n ∑i =1k i αi n ∑i =1k i =0，k i ∈K }．(1)证明，V 2是V 的子空间，并且V =V 1⊕V 2；(2)设V 上的一个线性变换A 在基α1,α2,···,αn 下的矩阵A 是置换矩阵（即：A 的每一行与每一列都只有一个元素是1，其余元素全为0），证明V 1与V 2都是A 的不变子空间．6.(12分)设V 和U 分别是数域K 上的n 维、m 维线性空间，A 是V 到U 的一个线性映射，即A是V 到U 的映射，且满足对任意α,β∈V ，有A (α+β)=A (α)+A (β)；对任意α∈V ，k ∈K ，有A (kα)=k A (α)．令Ker A :={α∈V A (α)=0}，称Ker A 是A 的核，它是V 的一个子空间，用Im A 表示A 的象（值域）．(1)证明：dim(Ker A )+dim(Im A )=dim V ；(2)证明：如果dim V =dim U ，则A 是单射当且仅当A 是满射．7.(10分)设V 是实数域R 上的n 维线性空间．V 上的复值函数组成集合，对于函数的加法以及复数与函数的数量乘法，形成复数域C 上的一个线性空间，记为C V ．证明，如果f 1,f 2,···,f n +1是C V 中n +1个不同的函数，并且它们满足：对任意α,β∈V ，有f i (α+β)=f i (α)+f i (β)；对任意k ∈R ，α∈V ，有f i (kα)=kf i (α)，则f 1,f 2,···,f n +1是C V 中线性相关的向量组．北京大学2000年数学分析试题1.(40分)计算题．(1)求极限lim x →0(a +x )x −a x x 2，a >0；(2)求e 2x −x 2到含x 5项的Taylor 展开式；(3)求积分∫10x b −x a ln x d x ，其中a >b >0；(4)求积分∫∫∫V(x 2+y 2+z 2)αd x d y d z ，V 是实心球x 2+y 2+z 2 R 2，α>0；(5)求积分∫∫S x 2d y d z +y 3d x d z +z 3d x d y ，S 是x 2+y 2+z 2=a 2的外表面．第一卷北京大学·7·2.(10分)叙述定义．(1)lim x →−∞f (x )=+∞；(2)当x →a −0时，f (x )不以A 为极限．3.(13分)函数f (x )在[a,b ]上一致连续，又在[b,c ]上一致连续，a <b <c ．用定义证明f (x )在[a,c ]上一致连续．4.(10分)构造一个二元函数f (x,y )，使得它在原点(0,0)两个偏导数都存在，但在原点不可微．5.(12分)函数f (x )在[a,b ]连续．证明不等式：(∫b a f (x )d x )2(b −a )∫b af 2(x )d x ．6.(15分)(1)在区间(0,2π)内展开f (x )的Fourier 级数，其中f (x )=π−x 2．(2)证明它的Fourier 级数在(0,2π)内每一点上收敛与f (x )．北京大学2000年高等代数与解析几何试题1.(20分)(1)在直角坐标系中，一个柱面的准线方程为{xy =4z =0，母线方向为(1,−1,1)，求这个柱面的方程；(2)在平面直角坐标系O −xy 中，二次曲线的方程为：x 2−3xy +y 2+10x −10y +21=0，求I 1,I 2,I 3；指出这是什么二次曲线，并且确定其形状．2.(22分)(1)设实数域R 上的矩阵A =204060402，求正交矩阵T ，使得T −1AT 为对角矩阵，并且写出这个对角矩阵；(2)在直角坐标系O −xyz 中，二次曲面S 的方程为：2x 2+6y 2+2z 2+8xz =1，作直角坐标变换，把S 的方程化成标准方程，并且指出它是什么二次曲面．3.(12分)设实数域R 上的s ×n 矩阵A 的元素只有0和1，并且A 的每一行的元素之和是常数r ，A 的每两个行向量的内积为常数m ，其中m <r ．(1)求det(AA T )；(2)证明s n ；(3)证明AA T 的特征值全为正实数．4.(8分)设V 是数域K 上的n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，且满足A 3−7A =−6I ，其中I 表示V 上的恒等变换．判断A 是否可以对角化，说明理由．5.(12分)设V 和V ′都是数域K 上的有限维线性空间，A 是V 到V ′的一个线性映射．证明，存在直和分解V =U ⊕W ，V ′=M ⊕N ，使得Ker A =U ，并且W ∼=M ．6.(10分)设f (x )和p (x )都是首项系数为1的整系数多项式，且p (x )在有理数域Q 上不可约．如果p (x )与f (x )有公共复根α，证明：(1)在Q [x ]中，p (x )整除f (x )；(2)存在首项系数为1的整系数多项式g (x )，使得f (x )=p (x )g (x )．7.(16分)(1)设V 是实数域R 上的线性空间，f 是V 上的正定的对称双线性函数，U 是V 的有限维子空间．证明，V =U ⊕U ⊥，其中U ⊥={α∈V f (α,β)=0，对任意β∈U }．·8·博士家园首发(2)设V 是数域K 上的n 维线性空间，g 是V 上的非退化的对称双线性函数，W 是V 的子空间．令W ⊥={α∈V g (α,β)=0，对任意β∈W }．证明：x dim V =dim W +dim W ⊥；y (W ⊥)⊥=W ．北京大学2001年数学分析试题1.(10分)求极限lim n →∞a 2n1+a 2n．2.(10分)设f (x )在点a 可导，f (a )=0．求极限lim n →∞(f (a +1n )f (a ))n ．3.(10分)证明函数f (x )=√x ln x 在[1,+∞)上一致连续．4.(10分)设D 是包含原点的平面凸区域，f (x,y )在D 上可微，且x∂f ∂x +y ∂f ∂y=0．证明，f (x,y )在D 上恒为常数．5.(10分)计算第一型曲面积分∫∫Σx d S ，其中Σ是锥面z =√x 2+y 2被柱面x 2+y 2=ax (a >0)割下的部分．6.(10分)求极限lim t →0+01t4∫∫∫x 2+y 2+z 2 t 2f (√x 2+y 2+z 2)d x d y d z ，其中f 在[0,1]上连续，f (0)=0，f ′(0)=1．7.(10分)求常数λ，使得曲线积分∫L x yr λd x −x 2y 2r λd y =0(r =√x 2+y 2)对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立．8.(10分)证明函数f (x )=∞∑n =11n x 在(1,+∞)上无穷次可微．9.(10分)求广义积分∫+∞0arctan(bx 2)−arctan(ax 2)xd x ，b >a >0．10.(10分)设f (x )是以2π为周期的周期函数，且f (x )=x ，−π x <π．求f (x )与|f (x )|的Fourier 级数．它们的Fourier 级数是否一致收敛？说明理由．北京大学2001年高等代数与解析几何试题1.(15分)在空间直角坐标系中，点A,B,C 的坐标依次为：(−2,1,4)，(−2,−3,−4)，(−1,3,3)．(1)求四面体OABC 的体积；(2)求三角形ABC 的面积．2.(15分)在空间直角坐标系中，ℓ1:x −a 1=y −2=z 3与ℓ2:x 2=y −11=z −2是一对相交直线．(1)求a ；(2)求ℓ2绕ℓ1旋转出的曲面的方程．3.(12分)设ω是复数域C 上的本原n 次单位根（即，ωn =1，而当0<ℓ<n 时，ωℓ=1），s,b 都是正整数，而且s <n ．令A = 1ωb ω2b ···ω(n −1)b 1ωb +1ω2(b +1)···ω(n −1)(b −1)...............1ωb +s −1ω2(b +s −1)···ω(n −1)(b +s −1)任取β∈C s ，判断线性方程组AX =β无解？有多少解？说明理由．4.(18分)(1)设矩阵A = 010001−23−1．x 若把A 看成有理数域Q 上的矩阵，判断A 是否可对角化，说明理由；y 若把A 看成复数域C 上的矩阵，判断A 是否可对角化，说明理由．(2)设A 是有理数域Q 上的n 阶对称矩阵，并且在Q 上A 合同于单位矩阵I ．用δ表示元素全为1的列向量，b ∈Q ．证明，在Q 上(A bδbδT b )∼=(I 00b −b 2δT A −1δ)．5.(14分)在实数域R 上的n 维列向量空间R n 中，定义内积(α,β)=αT β，从而R n 成为Euclid 空间．(1)设R 上的矩阵A = 1−35−2−21−31−1−79−4．求齐次线性方程组AX =0的解空间的一个正交基；(2)设A 是R 上的s ×n 矩阵，用W 表示齐次线性方程组AX =0的解空间，用U 表示A T 的列向量（即，A T 的列向量生成的子空间）．证明：U =W ⊥．6.设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的一个线性变换．在K [x ]中，f (x )=f 1(x )f 2(x )，且f 1(x )与f 2(x )互素．用Ker A 表示线性变化A 的核．证明：Ker f (A )=Ker f 1(A )⊕Ker f 2(A )．7.设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，I 是恒等变换．证明，A 2=A 的充分必要条件是rank(A )+rank(A −I )=n ．北京大学2002年数学分析试题1.(10分)求极限lim x →0(sin x x)11−cos x．2.(10分)设a 0，x 1=√2+a,···,x n +1=√2+x n ,n =1,2,···，证明极限lim n →∞x n 存在并求其极限值．3.(10分)设f (x )在[a,a +2α]上连续，证明存在x ∈[a,a +α]，使得f (x +α)−f (x )=f (x +2α)−f (a )2．4.(10分)设f (x )=x √1−x 2+arctan x ，求f ′(x )．5.(10分)设u (x,y )有二阶连续偏导数．证明u 满足偏微分方程∂2u ∂x 2−2∂2u ∂x ∂y +∂2u ∂y 2=0当且仅当存在二阶连续可微函数φ(t ),ψ(t )，使得u (x,y )=xφ(x +y )+yψ(x +y )．6.(10分)计算三重积分∫∫∫Ωx 2√x 2+y 2d x d y d z ，其中Ω是曲面z =√x 2+y 2与z =x 2+y 2围成的有界区域．7.(10分)计算第二型曲面积分I =∫∫Σx 2d y d z +y 2d z d x +z 2d x d y ，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=az (a >0)的外侧．8.(10分)判断级数∞∑n =1ln cos 1n的敛散性，并给出证明．9.(10分)证明：(1)函数项级数∞∑n=1nx e−nx在区间(0,+∞)上不一致收敛；(2)函数项级数∞∑n=1nx e−nx在区间(0,+∞)上可逐项求导．10.(10分)设f(x)连续，g(x)=∫0xyf(x−y)d y．求g′′(x)．北京大学2002年高等代数与解析几何试题1.(18分)在空间直角坐标系中，直线ℓ1和ℓ2分别有方程{x+y+z−1=0 x+y+2z+1=0，{3x+y+1=0=0x+3z+2=0．(1)求过ℓ1且平行于ℓ2的平面的方程；(2)求ℓ1和ℓ2的距离；(3)求ℓ1和ℓ2的公垂线的方程．2.(12分)在空间直角坐标系中，求直线{z=3x+2z=2y−1绕z轴旋转所得旋转曲面的方程．3.(15分)设用正交变换化下面二次型为标准型：f(x1,x2,x3)=x21+x22+x23−4x1x2−4x1x3−4x2x3．(要求写出正交变换的矩阵的相应的标准型)4.(12分)对于任意非负整数n，令f n(x)=x n+2−(x+1)2n+1，证明：(x2+x+1,f n(x))=1．5.(18分)设正整数n 2，用M n(K)表示数域K上全体n×n阶矩阵关于矩阵加法和数乘构成的K上的线性空间．在M n(K)中定义变换A如下：对任意的(a ij)n×n∈M n(K)，令A((a ij)n×n)=(a′ij)n×n．其中a′ij ={a ij,当i=j时；i·Tr((a ij)n×n)，当i=j时．(1)证明A是M n(K)上的线性变换；(2)求出Ker(A)的维数与一组基；(3)求出A的全部特征子空间．6.(12分)用R表示实数域，定义R n到R的映射f如下：f(x)=|x1|+···+|x r|−|x r+1|−···−|x r+s|,∀x=(x1,x2,···,x n)T∈R n，其中r s 0．证明：(1)存在R n的一个n−r维子空间W，使得f(x)=0，对任意x∈W；(2)若W1,W2是R n的两个n−r维子空间，且满足对任意x∈W1∪W2，均有f(x)=0，那么一定有dim(W1∩W2) n−(r+s)．7.(13分)设V是数域K上n维线性空间，V1,V2,···,V s是V的s个真子空间，证明：(1)存在α∈V，使得α/∈V1∪V1∪V2∪···∪V s；(2)存在V中的一组基ε1,ε2,···,εn，使得{ε1,ε2,···,εn}∩(V1∪V1∪V2∪···∪V s)=∅．北京大学2005年数学分析试题1.设f(x)=x2sin x−1x2−sin xsin x，试求lim supx→+∞f(x)和lim infx→+∞f(x)．2.(1)设f(x)在开区间(a,b)上可微，且f′(x)在(a,b)上有界，证明f(x)在(a,b)上一致连续；(2)设f(x)在开区间(a,b)(−∞<a<b<+∞)上可微且一致连续，试问f′(x)在(a,b)是否一定有界．(若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明)3.设f(x)=sin2(x2+1)，(1)求f(x)的麦克劳林展开式；(2)求f(n)(0),n=1,2,3,···．4.试作出定义在R2中的一个函数f(x,y)，使得它在原点处同时满足一下三个条件：(1)f(x,y)两个偏导数都存在；(2)任何方向极限都存在；(3)在原点不连续．5.计算∫Lx2d s，其中L是球面x2+y2+z2=1与平面x+y+z=0的交线．6.设函数列{f n(x)}满足下列条件：(1)对∀n,f n(x)在区间[a,b]上连续且有f n(x) f n+1(x),x∈[a,b]；(2){f n(x)}点点收敛于[a,b]上的连续函数s(x)；证明{f n(x)}在[a,b]上一致收敛于s(x)．北京大学2005年高等代数与解析几何试题1.在直角坐标系中，求直线ℓ:{2x+y−z=0x+y+2z=0到平面π:3x+By+z=0的正交投影轨迹的方程，其中B是常数．2.在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断平面二次曲线x2+y2+2λxy+λ=0的形状：(1)对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；(2)对于线心型曲线，写出对称直线的方程．3.设数域K上的n级矩阵A的(i,j)元为a i−b j．(1)求det(A)；(2)当n 2时，a1=a2，b1 b2．求齐次线性方程组AX=0的解空间的维数和一个基．4.(1)设数域K上的n级矩阵，对任意正整数m，求C m；(2)用M n(K)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K上的线性空间．数域K上n级矩阵A=a1a2a3···a na n a1a2···a n−1...............a2a3a4···a1称为循环矩阵．用U表示上所有n级循环矩阵组成的集合．证明U是M n(K)的一个子空间，并求U的一个基和维数．5.(1)设实数域R上n级矩阵的(i,j)元为1i+j−1(n>1)．在实数域上n维线性空间R n中，对于α,β∈R n，令f(α,β)=α′Hβ．试问f是不是R n上的一个内积，写出理由．(2)设A 是n 级正定矩阵(n >1)，α∈R n ，且α是非零列向量．令B =Aαα′，求B 的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基．6.设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用E 表示V 上的恒等变换，证明：A 3=E ⇐⇒rank(E −A )+rank(E +A +A 2)=n ．北京大学2006年数学分析试题1.确界原理是关于实数域完备性的一种描述．试给出一个描述实数域完备性的其它定理并证明其与确界原理等价．2.设f (x,y )=x 3+3xy −y 2−6x +2y +1，求f (x,y )在(−2,2)处的二阶带Peano 余项的Taylor展式．问f (x,y )在R 2上有哪些关于极值的判别点，这些判断点是否为极值点？3.设F (x,y )=y 3x 2+|x |y +y −5．(1)证明方程F (x,y )=0在(−∞,+∞)上确定惟一的隐函数y =f (x )；(2)求f (x )的极值点．4.计算第二型曲面积分I =∫∫Σx 3d y d z +y 3d z d x +z 3d x d y ，其中曲面Σ为椭球面x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=1，方向取外侧．5.证明，广义积分∫+∞0sin x xd x 收敛，并计算此积分．6.设f (x,y )定义在D =(a,b )×[c,d ]上，x 固定时对y 连续．设x 0∈(a,b )取定，对于任意y ∈[c,d ]，极限lim x →x 0f (x,y )=g (y )收敛．证明，重极限lim x →x 0y →y 0f (x,y )=g (y 0)对任意y 0∈[c,d ]成立的充分必要条件是，极限lim x →x 0f (x,y )=g (y )在[c,d ]上一致收敛．7.设f (x )是定义在[a,b ]上的有界函数，给出并证明f (x )在[a,b ]上的Riemann 和的极限lim λ(∆)→0n ∑i =1f (ξi )(x i −x i −1)收敛的Cauchy 准则．8.设{f n (x )}是(−∞,+∞)上的一致连续函数列，并且一致有界（即，存在常数M ，使得对于任意f n (x )和x ∈(−∞,+∞)恒有 f n (x ) M ）．假定对(−∞,+∞)中的任意区间[a,b ]都有lim n →∞∫ba f n (x )d x =0．证明，对于任意区间[c,d ]⊆(−∞,+∞)以及[c,d ]上绝对可积函数h (x )，恒有lim n →∞∫ba f n (x )h (x )d x =0．9.设存在一区间[a,b ]，使得以下两个Fourier 级数：a 02+∞∑n =1a n cos nx +b n sin nx ，α02+∞∑n =1αn cos nx +βn sin nx ．都在[a,b ]上收敛，并且其和函数[a,b ]上连续且相等．试问，对于任意自然数，a n =αn ，b n =βn 是否成立？如成立，请证明．如不成立，补充什么条件后能保证成立？说明理由．10.设f (x )在[0,+∞)上内闭Riemann 可积．证明，广义积分∫+∞0f (x )d x 绝对可积的充分必要条件是：对于任意满足x 0=0，x n →+∞的单调递增序列{x n }，级数∞∑n =0∫x n +1x nf (x )d x 绝对收敛．北京大学2006年高等代数与解析几何试题1.回答下列问题：(1)设A,B 分别是数域K 上的s ×n 和s ×m 矩阵，叙述矩阵方程AX =B 有解的充要条件，并且给予证明；(2)设A 是数域K 上s ×n 阶列满秩矩阵．试问，方程XA =E n 是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由；(3)设A 是数域K 上s ×n 阶列满秩矩阵．试问，对于K 上任意s ×m 矩阵B ，矩阵方程AX =B是否一定有界？当有解时，它有多少要解？求出它的解集．说明理由．2.(1)证明，rank(A −ABA )=rank(A )+rank(E n −BA )−n ，其中A 与B 分别是数域K 上的s ×n 与n ×s 矩阵；(2)证明，实数域R 上的n 阶方阵A 与矩阵B 的相似关系不随数域扩大而改变．3.(1)设A 是数域K 上的n 阶方阵．证明，如果A 的各阶顺序主子式都不为0，那么A 可以惟一地分解成A =BC ，其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角矩阵；(2)设A 是数域K 上的n 阶可逆矩阵．试问：A 是否可以分解成A =BC ，其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角矩阵？说明理由．4.(1)设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，它的特征多项式f (λ)的所有不同复根为实数：λ1,λ2,···,λs ．把A 的最小多项式分解成为R 上不可约多项式的乘积；(2)设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，A 是R n 上的一个线性变换，满足对任意α∈R n ，有A (α)=Aα．利用(1)中m (λ)的分解，把R n 分解成线性变换A 的不变子空间的直和．5.设X ={1,2,···,n }，用C X 表示定义域为X 的所有复值函数组成的集合，它对于函数的加法和数量乘法称为复数域C 上的一个线性空间．对于任意f (x ),g (x )∈C X ，规定⟨f (x ),g (x )⟩=n ∑j =1f (j )g (j )．这个二元函数是复线性空间C X 上的一个内积，从而C X 成为一个酉空间．设p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )∈C X ，且对任意j ∈X ，满足p k (j )=1√n ωkj ，其中ω=e 2πn i ．(1)求复线性空间C X 的维数；(2)证明p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )是酉空间C X 上的一个标准正交基；(3)对任意f (x )∈C X ，令A (f (x ))=ˆf(x )，其中ˆf (x )在x =k 处的函数值ˆf (k )是f (x )在标准正交基p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )下的坐标的第k 个分量．证明，A 是酉空间C X 上的一个线性变换，并且求出A 在标准正交基p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )下的矩阵；(4)证明第(3)题中的A 是酉空间C X 上的一个酉变换．6.设V 是数域F 上的n 维线性空间，A 1,A 2,···,A s 均为V 上的线性变换，令A =A 1+A 2+···+A s ．证明，A 为幂等变换且rank(A )=rank(A 1)+rank(A 2)+···+rank(A s )的充分必要条件是各A i 均为幂等变换，且A i A j =0，i =j ．7.求一个过x 轴的平面π，使得其与单叶双曲面x 24+y 2−z 2=1的交线为一个圆．8.证明四面体的每个顶点到对面重心的连线都相交于一点，而且该点分线段比为3:1．9.一条直线与坐标平面Y OZ 面，XOZ 面，XOY 面的交点分别是A,B,C ．当直线变动时，直线上的三个定点A,B,C 也分别在坐标平面上变动．此外，直线上有第四点P ，点P 到三点的距离分别是a,b,c ．求该直线按照保持点A,B,C 分别在坐标平面上的规则移动时，点P 的轨迹．10.在一个仿射坐标系中，已知直线ℓ1的方程为{x −y +z +7=02x +y −6=0，直线ℓ2过点M (−1,1,2)，并且平行于向量⃗u (1,2,3)．判别这两条直线的位置关系，并说明理由．北京大学2007年数学分析试题1.用有限覆盖定理证明连续函数的介值性定理．2.f (x )和g (x )在有界区间上一致连续，证明在此区间上f (x )g (x )也一致连续．3.已知f (x )在[a,b ]上有4阶导数，且有f (4)(β)=0,f ′′(β)=0,β∈(a,b )；证明：存在x 1,x 2∈(a,b )，使成立f (x 1)−f (x 2)=f ′(β)(x 1−x 2)．4.构造一函数在R 上无穷次可微，且f (2n +1)(0)=n,f (2n )(0)=0，并说明满足条件的函数有任意多个．5.设D =[0,1]×[0,1]，f (x,y )是D 上的连续函数；证明∫∫D f (x,y )d x d y =f (ξ,η)，并且这样的ξ,η有无穷多个．6.求∫∫S sin 4x d y d z +e −|y |d z d x +z 2d x d y ，其中S 是x 2+y 2+z 2=1,z >0，方向向上．7.f (x )是R 2上连续函数，试作一无界区域D ，使f (x )在D 上广义积分收敛．8.已知f (x )=ln (1+sin x xp )，讨论不同p 对f (x )在(1,+∞)积分的敛散性．9.已知F (x,y )=+∞∑n =1ny e −n (x −y )，是否存在a 以及函数h (x )在(1−a,1+a )可导，且h (1)=0，使F (x,h (x ))=0．10.设f (x )和g (x )在[a,b ]上Riemann 可积，证明f (x )和g (x )的Fourier 展开式有相同系数的充要条件是∫b af (x )−g (x ) d x =0．北京大学2007年高等代数与解析几何试题1.回答下列问题：(1)是否存在n 阶方阵A,B ，满足AB −BA =E (单位矩阵)？又，是否存在n 维线性空间上的线性变换A ,B ，满足A B −BA =E (恒等变换)？若是，给出证明；若否，举出例子．(2)n 阶行列式A 各行元素之和为常数c ，则A 3的各行元素之和是否为常数？若是，是多少？说明理由．(3)m ×n 矩阵秩为r ．取r 个线性无关的行向量，再取r 个线性无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定为0？若是，给出证明；若否，举出反例．(4)A,B 都是m ×n 矩阵．线性方程组AX =0与BX =0同解，则A 与B 的列向量是否等价？行向量是否等价？若是，给出证明；否，举出反例．(5)把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，b =p 3q 2r ，这里的p,q,r 是互不相同的素数．判断向量组1,n √b,n √b 2,···,n √b n −1是否线性相关？说明理由．2.矩阵A,B 可交换．证明rank(A +B ) rank(A )+rank(B )−rank(AB )．3.f 为双线性函数，且对任意的α,β,γ都有f (α,β)f (γ,α)=f (β,α)f (α,γ)．试证明f 为对称的或反对称的．4.V 是Euclid 空间，U 是V 的子空间，α∈V ．试证明β是α在U 上的正交投影的充要条件是：对任意γ∈U ，都有|α−β| |α−γ|．5.复矩阵A 满足：对任意k ，有Tr(A k )=0．试求A 的特征值．6.n 维线性空间V 上的线性变换A 的最小多项式与特征多项式相同．试证明存在α∈V ，使得{α,A α,···,A n −1α}为V 的一个基．7.P 是球内一定点，A,B,C 是球面上三动点，∠AP B =∠BP C =∠CP A =π/2．以P A,P B,P C为棱作平行六面体，记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹．8.直线ℓ的方程为{A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0．问系数要满足什么条件，才能使得直线满足下列条件：(1)过原点；(2)平行于x 轴，但不与x 轴重合；(3)与y 轴相交；(4)与z 轴重合．9.证明双曲抛物面x 2a 2−y 2b2=2z 的相互垂直的直母线的交点在双曲线上．10.求椭球面x 225+y 216+z 29=2z 被点(2,−1,1)平分的弦．北京大学2008年数学分析试题1.证明有界闭区间上的连续函数一致有界．2.是否存在(−∞,+∞)上的连续函数f (x )，满足f (f (x ))=e −x ？证明你的结论．3.数列{x n }(n >1)，满足对任意n <m ，有|x n −x m |>1n ，求证x n 无界．4.f (x )是(−1,+1)上的无穷次可微函数，f (0)=1，f ′(0) 2，令g (x )=f ′(x )f (x )．若 g (n )(0) 2n ! ，证明对所有的正整数n ，均成立|f n (0)| (n −1)!．5.计算第二类曲面积分∫∫Σ(y −z )d y d z +(z −x )d z d x +(x −y )d x d y ，其中曲面Σ是球面x 2+y 2+z 2=2Rx 被圆柱面x 2+y 2=2rx (z >0,0<r <R )所截部分，定向取外侧．6.已知函数F (x,y )=2−sin x +y 3e −y 定义在全平面上，证明F (x,y )=0唯一确定了全平面上连续可微的隐函数y =y (x )．7.设函数f (x )是[0,+∞)上内闭Riemann 可积，且广义积分∫+∞0f (x )d x 收敛，证明lim a →0+∫+∞0e −ax f (x )d x =∫+∞0f (x )d x ．8.已知函数f (x )是(−∞,+∞)上2阶连续可微函数，满足lim |x |→+∞(f (x )−|x |)=0，且存在一点x 0，使得f (x 0) 0．证明f ′′(x )在(−∞,+∞)上变号．9.设函数f (x )在区间[0,1]上有一阶连续导数且f (0)=f (1)，g (x )是周期为1的连续函数，并且满足∫10g (x )d x =0．记a n =∫10f (x )g (nx )d x ，证明lim n →∞na n =0．10.若函数f (x )在区间[0,1]上Riemann 可积，并且对[0,1]中任意有限个两不相交的闭区间序列[a i ,b i ]都有 ∑i ∫b i a i f (x )d x 1．证明∫10|f (x )|d x 2．。

北师考研详解与指导1.北师大学科教学（英语）专业介绍我们都知道北师大在全国师范院校中是首屈一指，排名第一。

北师大也是批开设全日制教育硕士的学校，学科教学（英语）专业从2011年就有。

2011年这个专业是设在北师大的外国语言文学学院的，从2012年起北师大的研究生院珠海分院也开始招生，12年当年外文学院招生20人，珠海分院也招生20人。

13年外文学院暂停招生，珠海招20人。

14年也是如此。

近几年来北师大本部招的教育硕士越来越少，大多数教育硕士都已经放在珠海分院培养了。

据说（只是据说），以后北师大全部的教育硕士都要在珠海分院培养。

学科教学（英语）每年招生20人，不接收推免生。

珠海分院的学科英语从12年开始每年都在接收调剂生，直接报考的学生很少（我是直接报考的）。

原因主要是好多人对珠海分院不了解或者存在误解，而直接考上的人又很少，很难联系到，所以导致很多学生不敢报考。

其实，我在去年考珠海的时候也有很多疑惑，通过全面的的了解，我才决定报考的。

网上有一些关于珠海分校的谣言说珠海是北师大的三本院校或者珠海发的毕业证和本部的不一样这些说法都是错误的！珠海只是北师大的分校，像北大，清华，北理工，人大，哈工大在深圳都有分校。

珠海分院的研究生学籍都在本部，只是学习和生活地点在珠海。

毕业后所发的毕业证和学位证和本部是一样的，大家完全可以放心报考。

珠海分院不接收推免生，而且近年来还要调剂生，这对于考学科英语的人来说真是太好了，竞争力一下子少了一大半。

我们都知道学科英语在陕师大，华东，华中，东北等这些师范院校竞争是多么的激烈，这些学校名额很少，还要推免生，复试线每年都在360分左右，而北师大近年的复试分数线一直是310。

考北师大比起其他学校压力真是太小了。

所以说，考北师大的学科教学（英语）是一个非常明智的选择。

2.专业课真题分析北师大学科英语两个专业课分别是333教育综合和866语言学与教学法。

333教育综合考题大部分是基础题，大约只有二，三道题难度大一些。

学姐分享：2019北师大学科教学英语866专业课考研高分必看经验贴！866这一门课，不似333那样大部分无需理解只需死记硬背。

除了名词解释〔尤其语言学〕或许需要死记硬背之外，其他的都可以根据自己的理解用自己的话来阐述。

尤其教学法，北师大考教学法考的特别活，很多时候并不能靠背诵来解决问题，而是需要在记忆的基础上去发散思维，去写出自己的理解和思考才行。

先总结一下866的复习流程：1.看一遍书，理解2.对着笔记看书，形成框架3.背诵，六普及以上〔达不到也不要紧，主要看质量〕接下来，我分科说明一下我的复习见解，仅供参考。

一．语言学语言学是最难理解的一门，也是最容易记了就忘的一门。

我的建议是，当你弄懂某一个知识点时，在知识点旁边用概括性的语言总结一下，以防忘记。

书的话，我建议看1-2遍就行，不需要超过两遍。

看够两遍，就直接上手背吧。

其实对很多人来说，某个知识点需要大量的重复记忆，才能形成酝酿效应，在某一天茅塞顿开。

语言学就是，读完书，大概理解一下，背一遍框架，好，开始背笔记吧。

第一遍第二遍全部都背，第三遍第四遍根据真题分析背重点，第五遍第六编查漏补缺。

其中，到了第六遍，就最好开始上手默写。

有的时候，你背的很开心，结果一到默写的时候才发现，原来自己只记得几点。

默写也不是让你把整本笔记的知识点给默写完，而是做模拟题，特别是那种根据真题的出题模式编制的模拟题，最好还给你带解析的那一种。

北师大866的语言学，很少会有能让你烧死不少脑细胞的思维发散性题目，所以解析一般就是题眼的解释，值得一看。

二．教学法教学法是最好理解的一门，但也是最难拿全分的一门。

为什么呢？因为北师大最喜欢拿教学法出发散性思考的问题。

每个人思考水平不同，拿到的分数肯定也就不一样。

那么，应该怎么复习呢？首先，我们要认识到，所有的发散性的思考题，都是建立在你对这个知识点的基础上的。

这也就是说，你要是对这个知识点理解的不透彻，概念记忆的不清楚，你就无法作答。

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