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一元一次方程及相关历史一元一次方程﹝Linear Equation of One Variable ﹞是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一的整式方程，它的标准形式为0=+b ax ．一元一次方程最早出现在莱因特草纸书中，现收藏在伦敦博物馆里，是由古埃及僧人阿默士所著的，全书共有85个题目．有些题目是属于一元一次方程的，如第11题是：“一个数的32，加上这个数的21，再加上它的71，再加上这个数本身等于37，求这个数．”相当于解37712132=+++x x x x ． 《方程》是我国《九章算术》中的第八章，它除了给出一次联立方程组的解法外，还使用了负数，这在数学史上具有重要的意义．被誉为希腊代数学鼻祖的丢番图﹝公元246─330年﹞，在代数方程理论方面远远超出了他同时代的人．他曾在一本大约于4世纪时写的希腊文诗集上作了一首关于他生平的短诗﹝有的说是墓志铭﹞：“丢番图的一生，幼年占61，青少年占121，又过了71才结婚，婚后5年之后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半”．求丢番图究竟活了多少年岁，列出方程后得：x x x x x =+++++42157112161， 可知x = 84．一元一次方程首先是由阿默士用一大串符号表示的，经过三千多年的变化，到笛卡儿才形成现在的写法．至于解法也如此，阿默士是用算术的方法来解，古代数学家也曾用“试位法”来解，即先设21x x 、是0=+b ax 的两个猜测值，而21∆∆、是误差，则)1(11•••b ax ∆=+)2(22•••b ax ∆=+若猜测值正确，误差等于零，否则由(1)、(2)之差可得)3()(2121••••x x a ∆-∆=-又(1)乘2x 减去(2)乘1x ，得)4()(122121••••x x x x b ∆-∆=- 由(3)除(4)，得)5(211221••••x x a b ∆-∆∆-∆=-． 由原方程知x ab =-，可得原方程的解为 •x x x 211221∆-∆∆-∆=． 阿尔‧花拉子米及后来的阿拉伯数学家都曾用过此法，并将他们传入欧洲．17世纪以前，欧洲人认为此法是解决算术难题的万能方法，但实际上它早已包含在我国《九章算术》的《盈不足》一章中．。
一元一次方程疑点解读一元一次方程是学生初次接触到的条件等式，虽然一章学习完了,但是还有不少的疑点，本文再对这章的疑点作一解读，意在帮助同学们清除学习中的隐患.1、判断一个方程是否为一元一次方程时，不仅要看该方程是否只含一个未知数，未知数的次数是1,而且还要注意该方程必须是整式方程，三者缺一不可.例1 下列方程中,是一元一次方程的是( ） A 21=x B y 2+1 =3 C 3x+1=x D 2112=+x 剖析 容易错选A错误的原因是:忽略了分母中含有未知数的方程不是整式方程这一重要条件。
正确的答案为:C.2、利用等式的性质解方程时，一定要考虑全面，特别是方程两边同除以一个数（或一个代数式）时，注意除数不能为0.例2 能不能从（a+3）x=b-1得到等式x=31+-a b ?为什么？反之,能不能从x=31+-a b 得到(a+3）x=b-1?为什么？剖析 容易错解为：由(a+3)x=b —1能得到x=31+-a b ；由x=31+-a b 能得到（a+3）x=b-1. 错误的原因是：对等式的性质2理解不透彻,即由ax=b ，得x=ab 时，a 必须不为零。
正确答案是:当a=-3时，由（a+3)x=b-1不能得到x=31+-a b ;当a≠—3时,由(a+3)x=b —1能得到x=31+-a b .而由x=31+-a b 可以知道a+3≠0，所以利用等式性质2能得到(a+3)x=b —1. 3、解方程过程中要注意去分母时出现漏乘现象；去分母、去括号时，括号前为“—"号，括号内各项不改变符号等错误现象.例3 解方程325621x x -=-- 剖析 容易错解为： 去分母，得6—2-x=15-2x 。
移项得 –x+2x=15—6+2.合并，得x=11.错误的原因是:分数线除了起到“÷”的作用外，还起到括号的作用。
正确的答案为：去分母得6—(2—x)=15-2x 。
去括号得6—2+x=15-2x 。
初识一元一次方程用方程的方法来解决比较复杂的数量问题比算术的方法思路更清晰，解法也会更简便。
现在我们一起来认识方程和一元一次方程。
一、初识方程：1．方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
解读：方程的概念，包含两层意思：一是方程必须是等式，即用等号连接而成的式子；二是方程中至少含有一个未知数，二者缺一不可。
2．方程的解与解的检验：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解读：检验一个数〔或一组数〕是不是某个方程的解只需看两点：〔1〕它〔或它们〕是不是方程中未知数的值〔也即是否符合题意〕；〔2〕将它〔或它们〕代入方程的左右两边，假设左边等于右边，那么它们是方程的解，否那么不是。
二者缺一不可。
3．一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数〔也称元〕，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
解读：认识一元一次方程必须注意：①将方程化成最简形式后是形如(,,0)ax b a b a =≠为常数的形式。
②一元一次方程的分母中不含未知数；③一元一次方程只含有一个未知数，而且未知数的次数是1。
二、学会一元一次方程的解法一元一次方程是最简单、最根本的方程，是以后学习其它方程或方程组的根底，其解法十分重要。
1．解方程的理论依据—方程的同解原理：同解原理1：方程的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。
同解原理2：方程的两边都乘或除以同一个不为0的数，方程的解不变。
解读：⑴方程的同解原理可以表示为：a b =，那么;,(0)a ba cbc ad bd d d d±=±==≠⑵在运用方程的同解原理1时，一定注意方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，才能保证方程的解不变，这里要注意“都〞和“同一个〞。
运用方程的同解原理2时，除了要注意方程两边都乘以或除以同一个数外，还要保证这个数不为0。
2．解一元一次方程的两种变形方式：〔1〕移项：将方程中的一项改变符号后从一边移到另一边叫做移项。
如何求解一元一次方程方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，并具有极其广泛的应用．从数学学科本身来看，方程是代数学的核心内容，它的开展推动了整个代数学的开展．代数方程一般按照其中未知数的个数和未知数的最高次数分类，一元一次方程是最简单的方程，也是所有代数方程的根底．解任何一个代数方程或方程组时最终都要化归为一元一次方程求解．一元一次方程的理解和掌握对于后续学习其他方程、方程组、不等式、函数等都具有重要的影响．因此，学习中应注意打好根底．从算式到方程是数学的进步，算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法．用算术方法解实际问题是前面学段中已经学习过的内容，它对于提高分析问题中数量关系的能力有着打根底的作用．算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式中只含数而不包含未知数；而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的量，这些式子实际上也是算式，只是其中可能含有字母〔未知数〕．方程是根据问题中等量关系列出的等式，其中既含有数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区别之一．由于方程中可以用未知数与数一起表示相关的量，所以方程的应用更为方便．这正是用字母表示数带来的好处．使用平衡模型是解方程的一个很古老的方法，而且它为处理方程提供了一个强有力的智力图像．方程类似于一组天平，方程中的“=〞表示天平处于平衡状态．通常我们可以画一个模型图来作为思考工具，但是某些例子中我们用一组真实的天平来代表方程也是可以扩大眼界的．由于物体的重量不可能为负的，可以用其他颜色来表示负数．在处于平衡状态的天平两边同时添加、减少相同重量的物体，天平仍保持平衡，方程也具有这种特性．利用方程的“平衡〞性〔实质上是等式的性质〕解以下方程：〔1〕852=+x ； 〔2〕35623=+x 利用天平模型表示方程122=+x 如下：两边同时加上-2〔用白色圆柱表示〕，即)2(1)2(22-+=-++x ．整理后得到为了简化操作过程，上述过程看作：将左侧的两个红色圆柱移到右侧，为保持天平平衡移过来的两个红色圆柱必须变成白色，一个白色和一个红色的圆柱重量和恰好是0，因此，右侧只剩下一个白色圆柱．方程也可以同样操作，即方程某一侧的一个项可以移到另一侧，并改变符号．因此，可以采用“移项〞、“合并〞求解方程，如122=+x 可变形212-=x ，解得21-=x ．“移项〞时一定注意符号的改变． 随着学习的深入，方程的形式也越来越复杂，如含有括号、分母等．方程中的字母表示的是数，因此去括号法那么于有理数运算中的去括号法那么相同，去括号过程中一定要注意符号的变化规律．假设方程中含有分母，首先通过“去分母〞使方程的系数都化为整数，这样可以使解方程中减少分数运算，从而计算更为方便．解一元一次方程时，主要依据等式的性质和运算律等，通过去分母、去括号、移项、合并、系数化为1等步骤，使一元一次方程逐步向x=a 的形式转化．求解中应灵活运用这些步骤．利用以上方法求解以下方程：〔1〕)1(2)1()1(3-=--+x x x〔2〕22)5(54-=--+x x x 改变颜色〔3〕13.02.03.05.09.04.0=+-+y y 〔4〕52221+-=--y y y 解答：〔1〕去括号，得22133-=+-+x x x移项，得13223+--=-+x x x合并，得42-=x系数化为1，得2-=x〔2〕去分母，得，)2(5)5(10)4(2-=--+x x x ，去括号，得，105501082-=+-+x x x ．移项合并后，6813=x ．两边同时除以13，得1368=x ． 〔3〕原方程化为1323594=+-+y y ， 去分母，得15)23(5)94(3=+-+y y ，去括号，得1510152712=--+y y ，移项合并后32=y ．系数化为1，得23=y ． 〔4〕去分母，得 )2(220)1(510+-=--y y y去括号，得42205510--=+-y y y移项，得54202510--=+-y y y合并，得117=y系数化为1，得711=y自己尝试做一做〔1〕某抗洪突击队有50名队员，承当着保护大堤的任务．在相同的时间内，每名队员可装土7袋或运土3袋．问应如何分配人数，才能使装好的土及时运到大堤上？〔2〕 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成．现在先由甲单独做4小时，剩下的局部由甲、乙合做．剩下的局部需要几小时完成？与下面的答案比照一下，看看你做得如何？〔1〕解：设分配工人装土，那么运土有)50(x -人．根据装上的袋数与运土的袋数相等的关系，列得)50(37x x -=去括号，得x x 31507-=移项及合并，得15010=x所以运土的人数为3550=-x ．答：应分配15人装土，35人运土，才能使装好的土及时运到大堤上．说明：找准题目中的相等关系关键在于如何理解“装好的土及时运到大堤上〞，即使得已装好土的袋数和运走的袋数是相同的，所以依靠总人数50人可没装土的人数为x 人，那么可以用x 表示运土的人数．其实在题中还可以依靠其他的相等关系列方程，试试看．〔2〕解：设剩下的局部需要x 小时完成．根据两段工作量之和应是总工作量，得11220204=++x x 去分母，得605312=++x x移项及合并，得488=x6=x答：剩下的局部需要6小时完成．说明：此问题里的相等关系可以表示为：全部工作量＝甲独做工作量＋甲、乙合做的工作量．于是问题转化为如何表示工作量，我们知道，工作量＝工作效率×工作时间．这里的工作效率是用分数表示的：一件工作需要a 小时完成，那么1小时的工作效率为a 1．由此可知：m 小时的工作量＝工作效率a m m =⨯，全部工作量＝工作效率1==⨯a a a ，即在工程问题中，可以把全部工作量看作是1．前面涉及的方程系数都是具体的数，我们探索一下字母系数的方程如何求解． 请尝试解一元一次方程：b ax =． 同学甲说：太简单了，ab x =． 同学乙说：不对，0=a ，x 不存在．经过仔细研究发现：一元一次方程b ax =的解由a 、b 的值来确定：〔1〕假设0≠a ，那么方程有唯一解ab x =． 〔2〕假设0=a ，且0=b ，方程变为00=⋅x ，x 为任意数都满足，那么方程有无数多个解．〔3〕假设0=a ，且0≠b ，方程变为b x =⋅0，那么方程无解．请考虑以下问题：问题1：解关于x 的方程0))((=+-n m n mx ．分析：这个方程中未知数是x ，而m 、n 是取不同实数的常数，因此需要讨论m 、n 取不同值时，方程解的情况．把原方程化为022=--+n mn mnx x m ，整理得)()(n m n x n m m +=+．等式两边能不能同时除以〔n m +〕？应该怎样处理？〔1〕当0≠+n m ，且0≠m 时，原方程有唯一解mn x =； 〔2〕当0≠+n m ，且0=m 时，方程无解；〔3〕当0=+n m 时，方程的解为一切实数．这个含有字母系数的方程的求解过程，提醒我们一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．问题2：解方程2222))(())((b a x b x a x b a b x a -+-=---+．分析：此题将方程中的括号去掉后产生2x 项．但整理化简后，可以消去2x 也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．将原方程整理化简得：222222222)(b a x x b x a b a x b a ---+=--，即222)()(b a x b a -=-． 〔1〕当0)(22≠-b a 时，即b a ±≠时，方程有唯一解b a b a b a b a x +-=--=222)(； 〔2〕当022=-b a 且 0≠-b a 且 b a ≠，即b a -=时，方程无解；〔3〕假设0=-b a ，即b a =，方程有无数多个解．问题3：08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式m m x x m +-+)2)((199的值．因为08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，所以012=-m ，即1±=m ．〔1〕当1=m 时，方程变为082=+-x ，因此4=x ，代数式的值为19911)124)(41(199=+⨯-+；〔2〕当1-=m 时，原方无解．所以所求代数式的值为1991．问题4：关于x 的方程23)12(-=-x x a 无解，试求a 的值．将原方程变形为232-=-x a ax ，即2)32(-=-a x a ．由该方程无解，所以⎩⎨⎧≠-=-,02,032a a 所以23=a 为所求．。
学习目标一、考点突破正确理解方程和一元一次方程的概念，会判断一个方程是不是一元一次方程，能根据等式的基本性质解简单的一元一次方程。
二、重难点提示重点：一元一次方程的定义和一般形式。
难点：解答与一元一次方程定义有关的问题。
考点精讲一元一次方程（1）如果一个方程只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
任何一个一元一次方程变形后都可以化为ax＋b＝0（其中a≠0，a、b为常数）的形式，我们就把ax＋b＝0（其中a≠0，a、b为常数）叫做一元一次方程的标准形式，其中ax叫一次项，a叫一次项系数，b叫常数项。
（2）识别一元一次方程时，应注意以下三点：①分母中不含未知数；②方程中只能含有一个未知数；③未知数的次数是1。
如3m－6，3m－n＝5，6x2－34＝0，1－＝5＋x等都不是一元一次方程。
（3）一元一次方程的解也叫一元一次方程的根。
典例精析例题1若方程（m2－1）x2－mx－x＋2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m－1|的值为（）A. 0B. 2C. 0或2D. －2思路分析：根据一元一次方程的定义知m2－1＝0，且－m－1≠0，据此可以求得代数式|m－1|的值。
答案：由已知方程，得（m2－1）x2－（m＋1）x＋2＝0。
因为方程（m2－1）x2－mx－x＋2＝0是关于x的一元一次方程，所以m2－1＝0，且－（m＋1）≠0，解得m＝1，则|m－1|＝0。
故选A。
技巧点拨：本题考查了一元一次方程的概念和解法。
解题关键是一元一次方程的未知数的指数为1。
例题2已知关于x的方程mx＋2＝2x的解满足︱x－︱＝0，求m的值。
思路分析：先由︱x－︱＝0求出x的值，再代入mx＋2＝2x，求得m的值。
答案：由︱x－︱＝0得x－＝0，解得x＝。
把x＝代入mx＋2＝2x得m＋2＝1，两边减2得m＝－1，两边乘2得m＝－2。
所以m的值为－2。
技巧点拨：本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值。
K12教育资源学习用资料
K12教育资源学习用资料 丢番图的墓志铭（希腊）
数学家丢番图的生平事迹现已无据可考，仅在其墓志铭上可略知一二．其墓碑十分特殊，铭文是一首诗谜：
过路的人！
这儿埋藏着丢番图．
请计算一下下面的数目，
便可知道他多少岁时寿终正寝．
他的一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年，
再过去七分之一的年程，
他建立了幸福的家庭．
五年后儿子出生，
不料儿子只活到父亲一半的年龄，
竟先其父四年而终．
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年！
请你算一算，
丢番图活了多大年龄？
这首墓志铭被数学家麦特劳德尔收入数学问题中．他收集了希腊数学家的许多名题，并以诗歌的形式写成，其手抄本当时曾广为流传，影响颇大．
设丢番图活了x 岁，据题意得
x x x x x =+++++42
57126 解得84=x ，故知丢番图活了84岁．。
丢番图的墓志铭（希腊）
数学家丢番图的生平事迹现已无据可考，仅在其墓志铭上可略知一二．其墓碑十分特殊，铭文是一首诗谜：
过路的人！
这儿埋藏着丢番图．
请计算一下下面的数目，
便可知道他多少岁时寿终正寝．
他的一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年，
再过去七分之一的年程，
他建立了幸福的家庭．
五年后儿子出生，
不料儿子只活到父亲一半的年龄，
竟先其父四年而终．
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年！
请你算一算，
丢番图活了多大年龄？
这首墓志铭被数学家麦特劳德尔收入数学问题中．他收集了希腊数学家的许多名题，并以诗歌的形式写成，其手抄本当时曾广为流传，影响颇大．
设丢番图活了x 岁，据题意得
x x x x x =+++++42
57126 解得84=x ，故知丢番图活了84岁．。
1 丢番图的墓志铭（希腊）
数学家丢番图的生平事迹现已无据可考，仅在其墓志铭上可略知一二．其墓碑十分特殊，铭文是一首诗谜：
过路的人！
这儿埋藏着丢番图．
请计算一下下面的数目，
便可知道他多少岁时寿终正寝．
他的一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年，
再过去七分之一的年程，
他建立了幸福的家庭．
五年后儿子出生，
不料儿子只活到父亲一半的年龄，
竟先其父四年而终．
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年！
请你算一算，
丢番图活了多大年龄？
这首墓志铭被数学家麦特劳德尔收入数学问题中．他收集了希腊数学家的许多名题，并以诗歌的形式写成，其手抄本当时曾广为流传，影响颇大．
设丢番图活了x 岁，据题意得
x x x x x =+++++42
57126 解得84=x ，故知丢番图活了84岁．。
