第2章 数 列(A)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于________． 2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________.
3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为________．
4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________．
5．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．
6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2
－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________. 7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________. 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 9
10．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．
11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9
a 2＋a 4＋a 10
＝________.
12．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 取到最大值的n 是________．
13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则5
6
是数列中的第________项．
14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，
a 99－1
a 100－1
<0.给出下列结论：①01成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号) 二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．
16．(14分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .
17．(14分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *
)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1
a n ＋1－a n
<1.
18．(16分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n
. (1)设b n ＝a n
2
n －1.证明：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和．
19．(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝1
2
S n (n ＝1,2,3，…)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n ＝n
1＋n
.
20．(16分)已知数列{a n }的各项均为正数，对任意n ∈N *
，它的前n 项和S n 满足S n ＝16
(a n
＋1)(a n ＋2)，并且a 2，a 4，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(－1)n ＋1
a n a n ＋1，T n 为数列{
b n }的前n 项和，求T 2n .
第2章 数 列(A)
答案
1．671
解析 由2 011＝1＋3(n －1)解得n ＝671. 2．15
解析 在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝a 4＋a 12，∴a 12＝16－1＝15. 3．120
解析 由a 5＝a 2q 3
得q ＝3.∴a 1＝a 2
q
＝3，
S 4＝a 11－q 41－q ＝31－34
1－3
＝120.
4．180
解析 ∵(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20) ＝(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18) ＝3(a 1＋a 20)＝－24＋78＝54，
∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20a 1＋a 20
2
＝180.
5．－4
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d <0
，解得－235≤d <－23
6，
∵d ∈Z ，∴d ＝－4.
6．8
解析 ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 2
4＝64，
∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2
>0，∴a 4＝8. 7．－1或2
解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2
－a 4q ，而a 4≠0， ∴q 2
－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2. 8．3∶4
解析 显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5
＝12⇒q 5＝－12
，
故S 15S 5＝1－q 151－q 5＝1－q 53
1－q 5
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1231－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12＝34. 9．n 2
＋n
解析 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n
行第n ＋1列的数是：n 2
＋n . 10．15
解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公
差d ＝2的等差数列，由求和公式得na 1＋n n －1d
2
＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解
得n
