苏教版必修5高中数学第2章数列单元综合测试A

苏教版高中数学五（必修）第二章《数列》单元测试试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将每题答案写在下面的表格中）1. A ．11 B ．12 C ．13 D ．142. 在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +=+，则101a 的值为A ．49B ．50C ．51D ．523. 已知数列11110，21110，31110，…，1110n ，…，使数列前n 项的乘积不超过510的最大正整数n 是A ．9B ．10C ．11D ．124. 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为A ．513B ．512C ．510D ．82255. 等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和S 9等于A ．66B ．99C ．144D ．297 6. 已知命题甲：“任意两个数a ，b 必有唯一的等差中项”，命题乙：“任意两个数a ，b必有两个等比中项”.则A ．甲是真命题，乙是真命题B ．甲是真命题，乙是假命题C ．甲是假命题，乙是真命题D ．甲是假命题，乙是假命题 7. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS 的值为A ．1B ．－1C ．2D ．21 8. 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A ．9B ．12C ．16D ．179. 数列{a n }、{b n }的通项公式分别是a n =an+b (a ≠0，a 、b ∈R)，b n =q n-1(q>1)，则数列{a n }、{b n }中，使a n =b n 的n 值的个数是A 、2B 、1C 、0D 、可能为0，可能为1，可能为210. 在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=Ａ．2- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则74a a ⋅=___________. 12. 等差数列110，116，122，128，…在[400，600]内的共有________项.13. 已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=_____________。

卜人入州八九几市潮王学校高二数学单元测试题〔数列〕一．选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．1．数列 ,161,81,41,21--的一个通项公式可能是〔〕 A ．n n 21)1(- B ．n n 21)1(- C ．n n 21)1(1--D ．n n 21)1(1-- 2．在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝()A ．12B ．14C ．16D ．183．假设等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=()〔A 〕14〔B 〕21〔C 〕28〔D 〕35 4.设数列{}n a 的前n 项和3S nn =，那么4a 的值是()〔A 〕15(B)37(C)27〔D 〕64{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，那么42S a =〔〕 A ．2B ．4C ．215D ．217 6.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3432S a =-，2332S a =-，那么公比q =〔〕〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕5 〔D 〕67.,231,231-=+=b a 那么b a ,的等差中项为〔〕A ．3B ．2CD．28．}{n a 是等比数列，22a =，514a =，那么12231n n a a a a a a ++++=〔〕 A ．32(12)3n -- B ．16(14)n --C ．16(12)n--D ．32(14)3n --}{na 的通项公式是(1)(32)n nan =--，那么1220a a a ++⋅⋅⋅+=()〔A 〕30 〔B 〕29 〔C 〕-30 〔D 〕-29 10.等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，那么当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=〔〕A.(21)n n -B.2(1)n + C.2n D.2(1)n -二.填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，总分值是20分．{}n a 满足:35a =,121n n a a +=-(n ∈N*)，那么1a =________.12.{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,那么110a a +=________.{}n a 的公差d 不为0，19a d =．假设k a 是1a 与2k a 的等比中项，那么k =______.14.数列{}n a 的首项12a =，122nn n a a a +=+，1,2,3,n =…,那么2012a =________. 三．解答题：本大题一一共6小题，总分值是80分． 15．〔12分〕一个等比数列{}n a 中，14232812a a a a +=+=，，求这个数列的通项公式.16．〔12分〕有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。

第二章《数列》章末综合测试A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋12．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值为( ) A.13B.14C.15D.163．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于( )A ．16B ．27C ．36D ．－274．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2(n ∈N ＋)，则a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n ＋1D ．2n ＋25．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．96．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107．已知等差数列{a n }，前n 项和用S n 表示，若2a 5＋3a 7＋2a 9＝14，则S 13等于( )A ．26B ．28C ．52D ．138．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．189．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( ) A.2n n ＋1B.2n （n ＋1）C.n （n ＋1）2D.n 2（n ＋1）10．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________．12．已知{a n }是等差数列，a 4＝－20，a 16＝16，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝________．13．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．14．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，a 1＝2且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项b n ＝________．15．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝a 3，a 2＝1，a n ＋2＝11＋a n，则a 9＋a 10＝________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17．(本小题满分10分)等差数列{a n }中，前三项分别为x ，2x ，5x －4，前n 项和为S n ，且S k ＝2 550.18．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.19．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .20．(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？参考答案一、选择题1.解析：选B.由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1，故选B.2.解析：选C.依题意a n >0且n ≥2时，1a n ＝1＋1a n －1，即1a n －1a n －1＝1， ∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴1a 5＝1＋(5－1)×1＝5，∴a 5＝15.故选C. 3.解析：选B.由a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，所以a 3＋a 4a 1＋a 2＝9＝q 2， 因为数列的各项都为正数，所以q ＝3，a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝3，所以a 4＋a 5＝27. 4.解析：选A.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2.∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n a n －1＝2. 又a 1＝2，∴a n ＝2n ，故选A.5.解析：选C.因为{a n }是等比数列，所以a 3a 11＝a 5a 9＝a 27，因此a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，解得a 7＝3，又因为a 29＝a 7a 11，所以a 29a 11＝a 7＝3.故选C.6.解析：选D.由题意得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.S 10＝10a 1＋10×92×(－2)＝110.故选D. 7.解析：选A.∵a 5＋a 9＝2a 7，∴2a 5＋3a 7＋2a 9＝7a 7＝14，∴a 7＝2，∴S 13＝（a 1＋a 13）×132＝a 7×13＝26.故选A. 8.解析：选D.据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝12n (a 1＋a n )＝234，∴n ＝13，∴a 1＋a 13＝2a 7＝36，∴a 7＝18.故选D.9.解析：选A.依题意有a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，且a n ＝1＋(n －1)＝n ，于是S n ＝n （n ＋1）2， 所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1.故选A. 10.解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13(33×9)＝－5.二、填空题11.解析：由题意，知4S 2＝S 1＋3S 3.①当q ＝1时，4×2a 1＝a 1＋3×3a 1.即8a 1＝10a 1，a 1＝0不符合题意，∴q ≠1；②当q ≠1时，应有4×a 1（1－q 2）1－q ＝a 1（1－q ）1－q ＋3×a 1（1－q 3）1－q，化简得3q 2＝q ，得q ＝13或q ＝0(舍去)． 答案：1312.解析：a 16－a 4＝12d ＝36，∴d ＝3，a n ＝3n －32.∴当n ≤10时，a n <0，当n ≥11时，a n >0.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝(a 20－a 10)＋(a 19－a 9)＋…＋(a 11－a 1)＝100d ＝300.答案：30013.解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 答案：114.解析：∵由3a n ＋1－a n ＝0，可得a n ＋1a n＝13(n ∈N *)， ∴数列{a n }是公比为13的等比数列．因此a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n －1.故b n ＝12(a n ＋a n ＋1) ＝12⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫13n －1＋2×⎝⎛⎭⎫13n ＝43⎝⎛⎭⎫13n －1＝4×⎝⎛⎭⎫13n . 答案：4×⎝⎛⎭⎫13n15.解析：由a n ＋2＝11＋a n ，令n ＝1，得a 3＝11＋a 1，由a 1＝a 3，解得a 3＝5－12，由a n ＋2＝11＋a n，求得a 5＝a 7＝a 9＝5－12.令n ＝2，得a 4＝12；令n ＝4，得a 6＝23，令n ＝6，得a 8＝35，令n ＝8，得a 10＝58，所以a 9＋a 10＝5－12＋58＝45＋18. 答案：1＋458三、解答题16.解：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13， 解得a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)依题意得b n ＝4a n ＝42n －1，因为b n ＋1b n ＝42n ＋142n －1＝16， 所以{b n }是首项为b 1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{b n }的前n 项和T n ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1)． 17.解：(1)由4x ＝x ＋5x －4，得x ＝2，∴a n ＝2n ，S n ＝n (n ＋1)，∴k (k ＋1)＝2 550，得k ＝50.(2)∵S n ＝n (n ＋1)，∴1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴T ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 18.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明：因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 19.解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.20.解：(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2] ＝(n －1)a ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，（n －1）a ， n ≥2. b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购，由b n ＜12a n ，得⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ＜12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1＞7，∴n ≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。

复习课 数列 课时目标 综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题．一、填空题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c2.已知等比数列{a n }11233＋a 4＋a 5＝________.3．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为________．4．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项为______________．5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是________． 6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于________．7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．8．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____________．9．如果b 是a ，c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且x ，y ，z 都是正数，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝______.10．等比数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则a 13＋a 14＋a 15＝____________.二、解答题11．设{a n }是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项a n .12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．能力提升13．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋…＋k n .14．设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t >0，n ＝2,3,4，…)．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1b n －1 (n ＝2,3,4，…)．求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1.1．等差数列和等比数列各有五个量a 1，n ，d ，a n ，S n 或a 1，n ，q ，a n ，S n .一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和d (或q )，问题可迎刃而解．2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：①建立基本量的方程(组)求解；②巧用等差数列或等比数列的性质求解；③构建递推关系求解．复习课 数 列答案作业设计1．1解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1. 2．84解析 由题意可设公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，又a 1＝3，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×4×(1＋2＋4)＝84.3．8解析 设项数为2n ，公比为q .由已知S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1.①S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n .②②÷①得，q ＝17085＝2， ∴S 2n ＝S 奇＋S 偶＝255＝a 1(1－q 2n )1－q ＝1－22n1－2，∴2n ＝8. 4．a n ＝n ＋1解析 由题意a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，得a 1d ＝2d 2.又d ≠0，∴a 1＝2d ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35. ∴d ＝1，a 1＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1.5.34解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 6．132解析 ∵{a n }是各项不为0的正项等比数列，∴{b n }是等差数列． 又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2，∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ，＝－(n －232)2＋2324∴当n ＝11或12时，S n 最大，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132.7．2,4,8解析 设这三个数为a q ，a ，aq .由a q·a ·aq ＝a 3＝64，得a ＝4. 由a q ＋a ＋aq ＝4q ＋4＋4q ＝14.解得q ＝12或q ＝2. ∴这三个数从小到大依次为2,4,8.8．5解析 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11.则⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192， ∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5.9．0解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，设公差为d ，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝－d log m x ＋2d log m y －d log m z＝d log m y 2xz＝d log m 1＝0. 10．48 解析 易知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝3S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝9，∴S 6S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2. ∴a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3)q 12＝S 3·q 12＝3×24＝48.11．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ＋1⎝⎛⎭⎫12a n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫12d . ∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝⎝⎛⎭⎫12d .∴b 1b 2b 3＝b 32＝18，∴b 2＝12. ∴⎩⎨⎧ b 1＋b 3＝178b 1·b 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝2b 3＝18.当⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2时，q 2＝16，∴q ＝4(q ＝－4<0舍去) 此时，b n ＝b 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫18·4n －1＝22n －5. 由b n ＝⎝⎛⎭⎫125－2n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝5－2n .当⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝2b 3＝18时，q 2＝116，∴q ＝14⎝⎛⎭⎫q ＝－14<0舍去 此时，b n ＝b 1q n －1＝2·⎝⎛⎭⎫14n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －3＝12na ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴a n ＝2n －3.综上所述，a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.12．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2 ∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t 36总成立， 又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0， ∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.13．解 由题意知a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )．∵d ≠0，由此解得2d ＝a 1.公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3.∴ak n ＝a 1·3n －1. 又ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n ＋12a 1， ∴a 1·3n －1＝k n ＋12a 1. ∵a 1≠0，∴k n ＝2·3n －1－1，∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)－n ＝3n －n －1.14．(1)证明 由a 1＝S 1＝1，S 2＝1＋a 2，得a 2＝3＋2t 3t ，a 2a 1＝3＋2t 3t. 又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ，①3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t .②①－②，得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0.∴a n a n －1＝2t ＋33t ，(n ＝2,3，…)． ∴数列{a n }是一个首项为1，公比为2t ＋33t的等比数列．(2)解 由f (t )＝2t ＋33t ＝23＋1t ，得b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1b n －1＝23＋b n －1. ∴数列{b n }是一个首项为1，公差为23的等差数列． ∴b n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13. (3)解 由b n ＝2n ＋13，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和53，公差均为43的等差数列． 于是b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1 ＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋b 6(b 5－b 7)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1)＝－43(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝－43·12n ⎝⎛⎭⎫53＋4n ＋13 ＝－49(2n 2＋3n )．。

数列（必修5第二章）水平测试A 卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2，…，n})上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的． 其中说法正确的序号是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④2．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－2 B ．－12 C.12D ．23．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．644．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝12,2a 6－a 5＝15，则a 4等于( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．135．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．366．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝2，则a 9＋a 10等于( ) A.12 B ．2 C.14D ．4 7．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60，则{a n ＋b n }的前20项和为( )A ．700B ．710C ．720D ．7308．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．1219．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数也是常数的是( )A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 1310．△ABC 中，tanA 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则tanC 等于( )A ．－12 B.12 C ．－112 D.112二、填空题（每小题4分，共28分)11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋9，则数列{a n }的最大项是______．12．若数列{a n }满足a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，且S 9＝27.则a 2＋a 8＝______.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝a 6＝12，则{a n }的通项公式为______．14．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝4a 25，a 2＝2，则{a n }的前5项和S 5等于________．15．在数列{a n }中a n ＝n(sinnπ2＋cos nπ2)，前n 项和为S n ，则S 100＝__________. 16．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n(n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.17．在数列{a n }中，a n ＝3n －7，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2)，若a n ＋log k b n为常数，则满足条件的k 值为______．三、解答题(72分)18．(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，求该数列的通项公式．19．(14分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .20．(14分)已知等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＋1<a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值及相应的n 值．21．(15分)记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＋a4＝6，S4＝10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝a n·2n(n∈N*)，求数列{a n}的前n项和T n.22．(15分)设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝na n－2n(n－1)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n＋1}的前n项和为T n，试求T n的取值范围．答案解析1、解析：数列的项数可以是无限的，通项公式的表示不唯一，故②④错误． 答案：C2、解析：a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝－a 3＋2d ＝2d ＝－1，∴d ＝－12.答案：B3、解析：a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 答案：A4、解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d ＝12a 1＋6d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2， ∴a 4＝a 1＋3d ＝9. 答案：B5、解析：∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.答案：C6、解析：由题得a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8，a 9＋a 10成等比数列，首项为4，公比为12， ∴a 9＋a 10＝4×(12)4＝14.答案：C7、解析：{a n ＋b n }的前20项和S 20＝(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 20＋b 20)＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 20)＝20(a 1＋a 20)2＋20(b 1＋b 20)2＝10(a 1＋a 20＋b 1＋b 20)＝720. 答案：C 8、解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴前n 项的和S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n)＝n ＋1－1，当n ＋1－1＝10时，n ＝120.答案：C9、解析：∵a 2＋a 6＋a 10＝3a 6，∴a 6为定值．S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6为定值．答案：B10、解析：由题意知：tanA ＝－1－(－4)7－3＝34，tan 3B ＝412＝8，∴tanB ＝2，∴tanC ＝－tan(A ＋B)＝－tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－34＋21－34×2＝112.答案：D 11、解析：∵a n ＝n n 2＋9，∴a n ＝1n ＋9n，∵n ＋9n ≥2n·9n ＝6，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时取“＝”号，∴n ＝3时，a n 的最大项是a 3＝39＋9＝16.答案：1612、解析：由a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1得{a n }为等差数列． ∵S 9＝27，∴9(a 1＋a 9)2＝27.∴a 1＋a 9＝6，∴a 2＋a 8＝6. 答案：613、解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝12a 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n.答案：a n ＝2n14、解析：因为a 3a 9＝4a 25，所以q 2＝4，又q>0，所以q ＝2，又a 2＝2，所以a 1＝1，S 5＝1－251－2＝31. 答案：3115、解析：sin nπ2＋cos nπ2＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝4k 时1 n ＝4k ＋1时－1 n ＝4k ＋2时－1 n ＝4k ＋3时，∴S 100＝(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(97－98－99＋100)＝0.答案：016、解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n)－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2， 当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)． 则a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n.答案：2n 2＋6n17、解析：∵b n ＝b 1·(127)n －1＝13·(13)3n －3＝(13)3n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k (13)3n －2＝3n －7＋(3n －2)·log k 13＝(3＋3log k 13)n －7－2log k 13.若a n ＋log k b n 为常数，则3＋3log k 13＝0，则k ＝3.答案：318、解：由S 1＝1得a 1＝1，又由S 2＝2可知a 2＝1. ∵S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，∴S n ＋1－S n －2S n ＋2S n －1＝0(n ∈N * 且n ≥2)， 即(S n ＋1－S n )－2(S n －S n －1)＝0(n ∈N *且n ≥2)，∴a n ＋1＝2a n (n ∈N *且n ≥2)，故数列{a n }从第2项起是以2为公比的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝12n －2，n>1，n ∈N *.19、解：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16a 1＝－4d. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n(n －1)＝n(n －9)，或S n ＝8n －n(n －1)＝－n(n －9)．20、解：(1)设公比为q ，则q 6＝a 8a 2＝164，a n ＋1<a n ，所以q ＝12.于是a 1＝a 2q ＝64.所以，通项公式为a n ＝64·(12)n －1＝27－n (n ∈N )．(2)设b n ＝log 2a n ，则b n ＝log 227－n ＝7－n.所以，数列{b n }是以首项为6，公差为－1的等差数列．T n ＝6n ＋n (n －1)2(－1)＝－12n 2＋132n ＝－12(n －132)2＋1698.由n 是自然数，知n ＝6或n ＝7时，T n 最大，其最值为T 6＝T 7＝21.21、解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 4＝6，S 4＝10，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝64a 1＋4×32d ＝10， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝32a 1＋3d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)＝n ，故所求等差数列{a n }的通项公式为a n ＝n. (2)依题意，b n ＝a n ·2n ＝n·2n ， ∴T n ＝b 1＋b n ＋…＋b n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，又2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)·2n ＋n·2n ＋1， 两式相减得－T n ＝(2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n )－n·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n·2n ＋1＝(1－n)·2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.22、解：(1)由S n ＝na n －2n(n －1)，得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ， ∴a n ＋1－a n ＝4.所以，数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． ∴a n ＝4n －3. (2)∵T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)(4n ＋1)＝14[1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1] ＝14(1－14n ＋1)<14. 又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15.∴15≤T n <14，即T n 的取值范围是[15，14)．。

苏教版必修五第二章数列单元测试试卷本试卷满分100分，考试时间80分钟．命题人：高雪伟一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知等差数列{}n a 中，24612a a a ++=，1359a a a ++=，则16a a +＝ A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且202020202020a S ==，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．﹣2 C ．2019 D ．﹣2019 3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，9362a a a =-，则8a 的值为 A ．2 B ．12 C ．14 D ．184．已知{}n a 是首项为1的等差数列，{}n b 是公比为12的等比数列，已知数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2332n nn S +=-，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 A ．(3)26nn +⋅- B ．1(23)26n n +-⋅+C ．(23)24nn -⋅+ D ．1(21)22n n +-⋅+5．已知数列{}n a 满足11a =，n a Z ∈，且11132nn n a a +--<+，12132n n n a a ++->-，则2021a ＝A ．2019318-B ．2020318-C ．2021318-D ．2022318-二、 多项选择题（本大题共2小题，每小题5分， 共计10分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件1a ＞1，2019a 2020a ＞1，2019202011a a --＜0，下列结论正确的是A ．20192020S S <B ．2019202110S S -<C ．2019T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S (n S ≠0)，且满足140n n n a S S -+=(n ≥2)，114a =，则下列说法正确的是A ．数列{}n a 的前n 项和为14n S n=B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 8．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知在n S 中只有7S 最小，则15132S S - 0．（填“＞”或“＝”或“＜”）9．已知等比数列{}n a 满足3a ＝4，前n 项和n S 满足639S S =，则624135222a a aa a a +++++ 20192a a +++等于 ． 10．已知首项为1的数列{}n a 满足2212(24)1n n n na a na n n a +++=+，n n n c a =，则数列{}n c 的通项公式为 ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为210n S n n =-+，则不等式1212111na a a a a +++<++n a +成立的正整数n 的最大值为 ．四、解答题（本大题共4小题，共计45分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 12．（本题满分10分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2219a a =，618S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小．13．（本题满分10分）n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知429a a =，313S =，且公比q ＞0．（1）求n a 及n S ；（2）是否存在常数λ，使得数列{}n S λ+是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 12．（本题满分11分）中国足协近日公布了2018版职业俱乐部准入规程：对各中超、中甲俱乐部的青训资金投入提出了具体的要求．某中甲俱乐部对“一线队引援”和“青训”投入分别规划如下：2017年，该俱乐部在“一线队引援”投入资金为16000万元，“青训”投入资金为1000万元，计划从2018年起，每年“一线队引援”投入比上一年减少一半，“青训”投入比上一年增加一倍．（1）请问哪一年该俱乐部“一线队引援”和“青训”投入总和最少？ （2）从2017年起（包括2017年），该俱乐部经过多少年“一线队引援”与“青训”总投入之和不低于62000万元？（总投入是指各年投入之和）15．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ．参考答案1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．AC 7．AD8．＞9．102(41)3-10．1232n--11．912．13．14．15．解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n nS S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)，①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i i ii i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5．。

高二数学必修5第二章数列单元测试（含答案）班级：________学号：__________姓名：__________成绩：__________ 一、 选择题。

（每题4分，10题共40分） 1、等差数列—3，1，5，…的第15项的值是（） A ．40 B ．53 C ．63 D ．76 2、等比数列{}n a 中，===+q a a a a 则,8,63232（ ）A ．2B ．21C ．2或21D ．－2或21-3、已知,231,231-=+=b a 则,a b 的等差中项为（）A ．3B ．2C ．31 D ．214．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列, 则2a ＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ． －105、设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（ ）A ．41B ．21C ．81D ．16、设n S 为等差数列{}n a 的前项和，若36324S S ==，，则9a =（ ）A. 15B. 45C. 192D. 27 7、某工厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值( D ) A.1.14a B. 1.15aC.11(1.16－1)aD.11(1.15－1)a .8．等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是（ C ）A ．130B ．170C ．210D ．260 9、若等差数列共有2n ＋1(n ∈N ＋)项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数＝（ ）A ．5B ．4C ．3D ．610．若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 取最大值时n =( B ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．14或15二、填空题。

（每题4分，4题共16分） 11、数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a ，则=4a12、 数列{}n a 的前ｎ项的和231n S n n =++则此数列的通项公式是__．13、两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =__________. 14、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8765S S S S >=< ，则下列结论一定正确的有(1)．0<d (2)．07=a (3)59S S > (4)01<a(5)．6S 和7S 均为n S 的最大值 三、解答题。

章末检测卷(二)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n ＝________.答案 672解析 由2 014＝1＋3(n －1)，解得n ＝672.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．答案 2解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，∴d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5＝________.答案 1解析 ∵a 3·a 11＝a 27＝16，∴a 7＝4，∴a 5＝a 7q 2＝422＝1. 4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________.答案 88解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为________．答案 120解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120. 6．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013＝________.答案 －1 007解析 S 2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________. 答案 －1或2解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.8．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是________． 答案 －4解析 由题意，知a 6≥0，a 7＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝23＋5d ≥0a 1＋6d ＝23＋6d ＜0， ∴－235≤d ＜－236. ∵d ∈Z ，∴d ＝－4.9．在等比数列{a n }中，a 1＝1,9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为________． 答案 3116解析 若q ＝1，则9S 3＝27a 1，S 6＝6a 1，∵a 1≠0，∴9S 3≠S 6，矛盾，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q， 解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.∴1a n ＝(12)n －1. ∴{1a n }的前5项和S 5＝1－(12)51－12＝3116. 10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为________． 答案 (1＋q )12－1解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为 S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，∴该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1 ＝(1＋q )12－1.11．{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________． 答案 2解析 设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.12．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝______.答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1，∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63. 13．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)，∴a n ＝2a n －1，经检测n ＝1也符合，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.14．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．答案 5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2(q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．16．(14分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n ＋2n ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23. 17．(14分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1. (1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 18．(16分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{1S n }的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38. (1)解 因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ S 5＝70，a 27＝a 2a 22， 即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d ). 解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．(2)证明 由(1)可得S n ＝2n 2＋4n .所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n (n ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. 所以T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n －1＋1S n＝14⎝⎛⎭⎫1－13＋14⎝⎛⎭⎫12－14＋14⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，即T n ＋1＞T n ，所以数列{T n }是递增数列， 所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38. 19．(16分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1. (2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝⎛⎭⎫13n －1， 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列． 从而∑n ＝1m 1a n ＝35⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列， 从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *).故∑n ＝1m1a n <1. 综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n <1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立． 20．(16分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1. ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n . ∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1， 两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 数列 2.1 数列学业分层测评 苏教版必修5(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2. 那么可以称为数列的有________．【解析】 由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列． 【答案】 ①②③④2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x 的值是________．【解析】 观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x 为15.【答案】 153．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________． ①a n ＝n 2－n ＋1；②a n ＝n n －12；③a n ＝n n ＋12；④a n ＝n 2＋1.【解析】 令n ＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.【答案】 ③4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________．【解析】 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20. 【答案】 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项.【导学号：91730023】【解析】 数列的通项为a n ＝3n －1. ∵25＝20＝3×7－1， ∴25是数列的第7项． 【答案】 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)图2­1­2【解析】 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2， 故第n 个图形中的点数为n 2. 【答案】 n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. 【解析】 ∵a n ＝3－2n，∴a 2n ＝3－22n，a 2a 3＝3－223－23＝15. 【答案】 3－22n158．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30. 【解析】 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99，显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值． 【答案】 ① 二、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式． 【解】 (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ， 又a 1＝3，a 10＝21， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． 【解】 (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1. 所以0<a n <1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内．能力提升]1．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为______.【导学号：91730024】【解析】 由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2， ∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，∴a 3＝94，同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.【答案】6116图2­1­32．如图2­1­3，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．【解析】 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C ，D ，E ，A ，故动点运动的周期为5，∵a 2 016＝a 2 015＋1＝a 5×403＋1＝a 1＝1，故应在A 处． 【答案】 A3．已知数列{a n }满足a m ·n ＝a m ·a n (m ，n ∈N *)，且a 2＝3，则a 8＝________. 【解析】 由a m ·n ＝a m ·a n ，得a 4＝a 2·2＝a 2·a 2＝9，a 8＝a 2·4＝a 2·a 4＝3×9＝27.【答案】 274．设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性． 【解】 (1)由f (x )＝log 2x －log x 2， 可得f (2a n )＝a n －1a n＝2n ，所以a 2n －2na n －1＝0，解得a n ＝n ±n 2＋1. 因为0<x <1，所以0<2a n <1，所以a n <0. 故a n ＝n －n 2＋1. (2)法一：(作商比较)a n ＋1a n ＝n ＋1－n ＋12＋1n －n 2＋1＝n ＋n 2＋1n ＋1＋n ＋12＋1<1.因为a n <0，所以a n ＋1>a n .故数列{a n }是递增数列． 法二：(作差比较)a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＋12＋1－n ＋n 2＋1＝n 2＋1＋1－n 2＋2n ＋2＝2n2＋1－n>0.n2＋1＋1＋n2＋2n＋2所以数列{a n}是递增数列．。

必修5第2章数列单元试题（3）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，那么由a n +b n 所组成的数列的第37项值为（ ）A ．0B ．37C ．100D ．－37考查等差数列的性质．【解析】∵{a n }、{b n }为等差数列，∴{a n +b n }也为等差数列，设c n =a n +b n ，则c 1=a 1+b 1=100，而c 2=a 2+b 2=100，故d =c 2－c 1=0，∴c 37=100．【答案】C2．设{a n }为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为（ ）①{a n 2} ②{pa n } ③{pa n +q } ④{na n }（p 、q 为非零常数）A ．1B ．2C ．3D ．4考查对等差数列的理解．【解析】{pa n }、{pa n +q }的公差为pd （设{a n }公差为d ），而{na n }、{a n 2}不符合等差数列定义．【答案】B3．在等差数列{a n }中，a 1>0，且3a 8=5a 13，则S n 中最大的是（ ）A ．S 21B ．S 20C ．S 11D ．S 10 考查数列和的理解．【解析】3a 8=5a 13⇒d =－392a 1<0． a n ≥0⇒n ≤20．【答案】B4．在{a n }中，a 1=15，3a n +1=3a n －2（n ∈N *），则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）A ．a 21和a 22B ．a 22和a 23C ．a 23和a 24D ．a 24和a 25 考查等差数列通项及运用．【解析】a n +1－a n =32，∴a n =15+（n －1）（－32）=3247n -．a n +1a n <0⇒31（45－2n ）31（47－2n ）<0⇒245<n <247． ∴n =23．【答案】C5．若数列{a n }前n 项和S n =n 2－2n +3，则这个数列的前3项为（ ）A ．－1，1，3B ．2，1，0C ．2，1，3D ．2，1，6 考查通项及数列的和．【解析】a 1=S 1=2，又a 3=S 3－S 2=3．【答案】C 6．数列{a n }中，a n +1=nn a a 31+，a 1=2，则a 4为（ ）A ．58 B ．192 C ．516 D ．78 考查数列通项及变形． 【解析】11+n a =n a 1+3，∴n a 1=11a +3（n －1）=3n －25，∴a 4=192． 【答案】B7．设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6， S 6=S 7>S 8．下列结论错误的是（ ）A ．d <0B ．a 7=0C ．S 9>S 5D ．S 6和S 7为S n 最大值 考查等差数列求和及综合分析能力．【解析】∵S 5<S 6，S 6=S 7>S 8．由S 6=S 7⇒a 7=0，S 7>S 8⇒d <0．显然S 6=S 7且最大．【答案】C8．在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2+…+a 50=200，a 51+a 52+…+a 100=2700，则a 1等于（ ）A ．－20B ．－2021 C ．－2121 D ．－22 考查等差数列求和公式，通项公式的灵活运用．【解析】∵a 51+a 52+…+a 100=（a 1+a 2+…+a 50）+50×50d =2700．∴d =1，S 50=50a 1+24950⨯×1⇒a 1=－2021． 【答案】B9．设f （n ）=11+n +21+n +…+n21（n ∈N *），那么f （n +1）－f （n ）等于（ ） A ．121+n B ．221+n C ．121+n +221+n D ．121+n －221+n 考查函数与数列概念、项与项数的代换．【解析】f （n +1）=21+n +31+n +…+n 21+121+n +221+n ． 【答案】D10．依市场调查结果预测某种家用商品以年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）．近似地满足S n =90n （21n －n 2－5），（n =1，2，…，12），则按此预测在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是（ ）A ．5月、6月B ．6月、7日C ．7月、8日D ．8月、9日 考查数列的求和和通项．【解析】第n 个月需求量a n =S n －S n －1=301（－n 2+15n +9）， a n >1．5得301（－n 2+15n +9）>1．5．解得：6<n <9，∴n =7或8．【答案】C第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_________项．考查等差数列的性质和运用．【解析】由－5×11+21011⨯d =55，得d =2．由a n =5，a n =a 1+（n －1）d 得n =6． 【答案】612．在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______．考查等差数列通项及不等式基本知识．【解析】a n =35－4n ．由⇒⎩⎨⎧≤--≥-0)1(4350435n n 7 843≤≤n 43得a 8=3，a 9=－1， ∴最接近的为a 9=－1．【答案】－113．在等差数列{a n }中，满足3a 4=7a 7．且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n =_______．考查等差数列的前n 项和及运用．【解析】设公差为d ，得3（a 1+3d ）=7（a 1+6d ），∴d =－334a 1<0，令a n >0． 解得n <437，即n ≤9时，a n >0． 同理，n ≥10时，a n <0．∴S 9最大，故n =9．【答案】914．已知f （n +1）=f （n ）－41（n ∈N *）且f （2）=2，则f （101）=_______． 考查函数、数列的综合．【解析】f （n +1）－f （n ）=－41，f （n ）可看作是公差为－41的等差数列，f （101）=f （2）+99d =－491． 【答案】－491 三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分8分）在等差数列{a n }中，a 1=－60，a 17=－12．（1）求通项a n ，（2）求此数列前30项的绝对值的和．考查等差数列的通项及求和．【解】（1）a 17=a 1+16d ，即－12=－60+16d ，∴d =3，∴a n =－60+3（n －1）=3n －63．（2）由a n ≤0，则3n －63≤0⇒n ≤21，∴|a 1|+|a 2|+…+|a 30|=－（a 1+a 2+…+a 21）+（a 22+a 23+…+a 30）=（3+6+9+…+60）+（3+6+…+27）=2)603(+×20+2)273(+×9=765． 16．（本小题满分10分）设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n }的前n 项和，求T n ． 考查等差数列基础知识及技巧、运算能力．【解】设等差数列{a n }公差为d ，则S n =na 1+21n （n －1）d ∵S 7=7，S 15=75，∴⎩⎨⎧=+=+7510515721711d a d a ⇒⎩⎨⎧=+=+571311d a d a ∴a 1=－2，d =1，∴n S n =a 1+21（n －1）d =－2+21（n －1） ∵11++n S n －n S n =21 ∴{nS n }为等差数列，其首项为－2，公差为21， ∴T n =41n 2－49n ． 17．（本小题满分12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12， S 12>0，S 13<0．（1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1，S 2，S 3…S 12中哪一个值最大？并说明理由．考查数列的性质与最值、灵活变换能力．【解】（1）依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+=②①0212131302111212113112d a S d a S 即⎩⎨⎧<+>+06011211d a d a ，由a 3=a 1+2d =12得a 1=12－2d ，代入①②⇒－724<d <－3． （2）由d <0，可知a 1>a 2>…>a 12>a 13．因此若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使a n >0，a n +1<0时，则S n 就是S 1，S 2…S 12中最大值 由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+=<=+=01220132121116131317S a a a S a a a ∴在S 1，S 2…S 11，S 12中S 6的值最大．18．（本小题满分12分）已知f （x +1）=x 2－4，等差数列{a n }中，a 1=f （x －1）， a 2=－23，a 3=f （x ）． （1）求x 值；（2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值．考查等差数列概念及求和，函数基本知识．【解】（1）∵f （x －1）=（x －1－1）2－4=（x －2）2－4∴f （x ）=（x －1）2－4，∴a 1=（x －2）2－4，a 3=（x －1）2－4又a 1+a 3=2a 2，解得x =0或x =3．（2）∵a 1、a 2、a 3分别为0、－23、－3或－3、－23、0 ∴a n =－23（n －1）或a n =23（n －3） ①当a n =－23（n －1）时，a 2+a 5+…+a 26=29（a 2+a 26）=2351 ②当a n =23（n －3）时，a 2+a 5+…+a 26=29（a 2+a 26）=2297． 19．（本小题满分12分）设两个方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0的四个根成首项为41的等差数列，求a +b 的值．考查等差数列与方程思想．【解】不妨设a <b ，函数y =x 2－x +a 与y =x 2－x +b 的对称轴，开口大小均相同，如图所示．设数列为x 1、x 2、x 3、x 4，由已知x 1=41．∵x 1+x 4=1，∴x 4=43． 又∵x 4=x 1+3d ，∴43=41+3d ，∴d =61 ∴x 2=x 1+d =125，x 3=x 2+d =127 ∴a =x 1·x 4=163，b =x 2·x 3=125×127=14435，∴a +b =7231．。

数列单元测试题命题人：X晓光一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的。

)1．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S3－3S2＝1，那么数列{a n}的公差是()2A. 12B．1C．2D．32．设等比数列{a n}的前n项和为S n，假设8a2＋a5＝0，那么以下式子中数值不能确定的是()A. a5S5a n S n＋1＋1a5S5a n S na3B.S3C.a n D.S n3．设数列{a n}满足a1＝0，a n＋a n＋1＝2，那么a2021的值为() A．2B．1C．0D．－24．数列{a n}满足log3a n＋1＝log3a n＋1(n∈N＋1(n∈N () *)且a2＋a4＋a6＝9，那么log1(a5＋a7＋a9)的值是(a5＋a7＋a9)的值是3A．－5B．－15C．5D.155．两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且时，n的值可以是() A n＝B n7n＋45a n，那么使得为正偶数n＋3b nA．1B．2C．5D．3或1116．各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，那么2 a3＋a4a4＋a5的值为()1－5 A.2B. 5＋12C.5－12D.5＋1或25－127．数列{a n}为等差数列，假设值n为() a11n有最大值，那么使得S n>0的最大a10<－1，且它们的前n项和SA．11B．19C．20D．218．等比数列{a n}中，a1＝512，公比q＝－那么Πn中最大的是() 12，用Πn表示它的前n项之积：Πn＝a1·a2·⋯·a n，A．Π11B．Π10C．Π9D．Π89．等差数列{a n}的前n项和为S n，假设a1＝1，S3＝a5，a m＝2021，那么m＝()A．1004B．1005C．1006D．1007n，那么在数列{a10．数列{a n}的通项公式为a n＝6n－4，数列{b n}的通项公式为b n＝2100项中与数列{b n}中一样的项有()A．50项B．34项C．6项D．5项二、填空题(本大题共5个小题，每题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)＋1＝1－11．数列{a n}满足：a n 1，a1＝2，记数列{a n}的前n项之积为P n，那么P2021＝________.a n12．秋末冬初，流感盛行，XX市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，n(n∈N*)，那么该医院30天入院治疗流感的人数a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)共有________人．-1-13．等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，那么a3＋a10a1＋a8＝________.14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，那么a＋b＋c的值为________．acb6122－(2n＋1)x＋115．数列{a n}中，a1＝1，a n、a n＝0的两个根，那么数列{b n}的前＋1是方程xb nn项和S n＝________．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)2－2n＋q(p，q∈R)，n∈N*. 16．(本小题总分值12分)等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn(1)求q的值；(2)假设a3＝8，数列{b n}满足a n＝4log2b n，求数列{b n}的前n项和．17．(本小题总分值12分)等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求a n与b n；(2)求11＋＋⋯＋S1S21的值．S n-2-118．(本小题总分值12分)数列{b n}前n项和为S n，且b1＝1，b n＋1＝3S n.(1)求b2，b3，b4的值；(2)求{b n}的通项公式；(3)求b2＋b4＋b6＋⋯＋b2n的值．19．(本小题总分值12分)f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1)．设f(a1)，f(a2)，⋯，f(a n)⋯(n ∈N)是首项为m 2，公比为m的等比数列．(1)求证：数列{a n}是等差数列；(2)假设b n＝a n f(a n)，且数列{b n}的前n项和为S n，当m＝2时，求S n；(3)假设c n＝f(a n)lgf(a n)，问是否存在m，使得数列{c n}中每一项恒小于它后面的项？假设存在，求出m的取值X围；假设不存在，请说明理由．-3-11120．(本小题总分值13分)将函数f(x)＝sin4x·s in4(x＋2π)·s in2(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部最值*)．点按从小到大的顺序排成数列{a n}(n∈N(1)求数列{a n}的通项公式； (2)设b n＝2n a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的表达式．21．(本小题总分值14分)数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n＋1)(n∈N(1)求数列{a n}的通项公式；*)．(2)假设数列{b n}满足：a n＝b1b2b3＋2＋1＋3＋1＋⋯＋3＋133b nn＋1，求数列{bn}的通项公式；3a nb n(3)令c n＝4(n∈N*)，求数列{c n}的前n项和T n.-4-数列单元测试题命题人：X晓光一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的。

第2章 数 列(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在题中横线上) 1．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于________． 【解析】 观察数列可知a n ＋a n ＋1＝a n ＋2， ∴可得x ＝5＋8＝13. 【答案】 132．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6＝________. 【解析】 由等比数列性质a 2·a 6＝a 24＝42＝16. 【答案】 163．(2013·无锡检测)等差数列{a n }中，若a 1＝2，S 5＝30，则通项a n ＝________. 【解析】 S 5＝5a 1＋5×42d ＝10＋10d ＝30，∴d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . 【答案】 2n4．数列23，415，635，863，1099，…的一个通项公式为________．【解析】 这是一个分数数列，其分子构成偶数列，而分母分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式为a n ＝2n 2n －12n ＋1. 【答案】 a n ＝2n 2n －12n ＋15．(2013·哈尔滨高二检测)等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为________．【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q3＝18，a 1q ＋q 2＝12.解得q ＝2，∴S 8－S 4＝q 4S 4＝24×(18＋12)＝480. ∴S 8＝510. 【答案】 5106．(2013·临沂高二检测)若1，a 1，a 2，a 3,4成等比数列，3，b 1，b 2，b 3,5成等差数列，则a 2b 2＝________.【解析】 a 22＝1×4＝4，且a 2＞0，∴a 2＝2.2b 2＝3＋5＝8，∴b 2＝4.∴a 2b 2＝24＝12.【答案】 127．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，则a 4等于________． 【解析】 a 4＝S 4－S 3＝(2×42－3×4)－(2×32－3×3)＝11. 【答案】 118．(2013·福州高二检测)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＋a 11＝30，那么S 13的值是________．【解析】 a 2＋a 8＋a 11＝a 7－5d ＋a 7＋d ＋a 7＋4d ＝3a 7＝30，∴a 7＝10，∴S 13＝13a 7＝130. 【答案】 1309．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为________．【解析】 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )． ＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120. 【答案】 12010．等比数列{a n }中，前n 项和S n ＝3n＋r ，则r 等于________．【解析】 S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q －a 11－qq n .由题意S n ＝3n＋r ，∴r ＝－1. 【答案】 －111．若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且S 11＝22π3，则tan a 6的值为________．【解析】 S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6＋a 62＝11a 6＝22π3，则a 6＝2π3，则tan a 6＝－3.【答案】 － 312．(2013·石家庄高二检测)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 15|＝________.【解析】 ∵a n ＝2n －7，∴S n ＝n a 1＋a n2＝n －5＋2n －72＝n (n －6)(n ∈N *)，数列{a n }的前3项均为负值，从第4项开始为正值，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝S 15－2S 3＝153.【答案】 15313．(2013·扬州检测)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：对于任意m ，n ∈N *，都有S n＋S m ＝S n ＋m ＋2n ；若a 1＝1，则a 10＝________.【解析】 取m ＝1得S n ＋S 1＝S n ＋1＋2n ， ∴S n ＋1－S n ＝S 1－2n∴a n ＋1＝a 1－2n ＝1－2n ，∴a 10＝1－2×9＝－17. 【答案】 －1714．在数列{a n }中，a n ＝n ·(79)n ＋1，则此数列的最大项的值为________．【解析】 a n ＋1－a n ＝(79)n ＋1·7－2n9，故n ＝1,2,3时，a n ＋1＞a n ，n ＝4,5,6，…时，a n ＋1＜a n .又a 3＜a 4，∴a n 的最大项的值为a 4＝4·(79)5.【答案】 4·(79)5二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －23n ＋1.(1)求a 20；(2)710是不是该数列中的项？若是，它是第几项？ (3)在区间(13，23)内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．【解】 (1)a 20＝3×20－23×20＋1＝5861.(2)令a n ＝710，即3n －23n ＋1＝710，解得n ＝3，所以710是数列{a n }中的项，是第3项．(3)令13＜a n ＜23，即13＜1－33n ＋1＜23，∴13＜33n ＋1＜23，解得76＜n ＜83.∵n ∈N *，∴n ＝2，即在区间(13，23)内有数列{a n }中的项，且只有1项，此项为第2项．16．(本小题满分14分)(2013·德州高二检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n－1.17．(本小题满分14分)数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，且a 10＝1，a 29＝a 215. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 【解】 (1)由a 10＝1得a 1＋9d ＝1.① ∵a 29＝a 215，∴(a 9－a 15)(a 9＋a 15)＝0.∵d ≠0，∴a 9≠a 15，∴a 9＋a 15＝0，即a 1＋11d ＝0.② 由①②解得a 1＝112，d ＝－12.∴a n ＝6－n2(n ∈N *)． (2)由a n ＝6－n2≥0得n ≤12，当n ≤12时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ·112＋n n －12·(－12)＝－n 2－23n4；当n ＞12时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 12－a 13－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 12)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2×112＋02×12＋n 2－23n 4＝n 24－234n ＋66.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2－23n4n ≤12，n 24－234n ＋66n ＞12.18．(本小题满分16分)某市2013年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2014年投入128辆电力型公交车，此后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.(1)该市在2020年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？【解】 (1)由题意，得该市逐年投入的电力型公交车的数量组成一个等比数列{a n }， 其中a 1＝128，q ＝1＋50%＝1.5，则到2020年该市应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)设经过n 年电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依题意，得S n 10 000＋S n ＞13，即S n ＝a 11－q n 1－q ＝1281－1.5n1－1.5＝256(1.5n －1)＞5 000，即1.5n＞65732，故n ≥8.即到2021年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.19．(本小题满分16分)(2013·扬州检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2－4n ＋4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设各项均不为零的数列{c n }中，所有满足c k ·c k ＋1＜0的正整数k 的个数称为这个数列{c n }的变号数．令c n ＝1－4a n(n 为正整数)，求数列{c n }的变号数；(3)记数列{1a n }的前n 项的和为T n ，若T 2n ＋1－T n ≤m 15对n ∈N *恒成立，求正整数m 的最小值．【解】 (1)因为S n ＝n 2－4n ＋4，所以当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝S n －S n －1＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由已知c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， n ＝1，2n －92n －5，n ≥2.当n ≥2时，若c n ＞0，则2≤n ＜52或n ＞92；若c n ＜0，则52＜n ＜92，即c 1＜0，c 2＞0，c 3＜0，c 4＜0，当n ≥5时，c n ＞0. 所以c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0 故数列{c n }共有3个变号数，即变号数为3. (3)令g (n )＝T 2n ＋1－T n ，g (n ＋1)－g (n )＝T 2n ＋3－T n ＋1－(T 2n ＋1－T n )＝(T 2n ＋3－T 2n ＋1)－(T n ＋1－T n ) ＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝14n ＋1＋14n －1－12n －3＝－24n ＋14n ＋14n －12n －3.当n ≥2时，g (n ＋1)＜g (n )，所以g (n )单调递减，因而g (n )的最大值为g (2)＝T 5－T 2＝15＋13＋1＝2315；当n ＝1时，g (2)－g (1)＞0，所以g (2)＞g (1)．所以m 15≥2315.即m ≥23，又m 为正整数，所以正整数m 的最小值为23.20．(本小题满分16分)(2013·泗阳检测)已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，其前n 项和S n 满足S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋1，其中n ≥2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }为等差数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝a n ·12n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n .(3)设c n ＝4n ＋(－1)n －1λ·2a n (λ为非零整数，n ∈N *，试确定λ的值，使得对任意n∈N *，都有c n ＋1＞c n 成立．【解】 (1)证明：由已知，(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝1(n ≥2，n ∈N *)， 即a n ＋1－a n ＝1(n ≥2，n ∈N *)，且a 2－a 1＝1.∴数列{a n }是以a 1＝2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝n ＋1.(2)∵a n ＝n ＋1，∴b n ＝(n ＋1)·12n∴T n ＝2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1＋(n ＋1)·12n ，①12T n ＝2×122＋3×123＋…＋n ·12n ＋(n ＋1)12n ＋1.② ①－②得：12T n ＝1＋122＋123＋…＋12n －(n ＋1)·12n ＋1 ∴T n ＝3－n ＋32n.(3)∵a n ＝n ＋1，∴c n ＝4n＋(－1)n －1λ·2n ＋1.要使c n ＋1＞c n 恒成立， ∴c n ＋1－c n ＝4n ＋1－4n ＋(－1)n λ·2n ＋2－(－1)n －1λ·2n ＋1＞0恒成立，∴3·4n－3λ·(－1)n －12n ＋1＞0恒成立，∴(－1)n －1λ＜2n －1恒成立．(ⅰ)当n 为奇数时，即λ＜2n －1恒成立，当且仅当n ＝1时，2n －1有最小值为1，∴λ＜1；(ⅱ)当n 为偶数时，即λ＞－2n －1恒成立，当且仅当n ＝2时，－2n －1有最大值－2，∴λ＞－2.即－2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ＝－1.综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有c n＋1＞c n.。