盘点数学归纳法在近年高考物理解题中的应用

数学归纳法在物理解题中的应用贵州省黔西第一中学陈丽珊陈海在近年高考题中高频率的出现多过程问题，这类问题很多情况下可以用数学归纳法来解决，比如说一个关于自然数n的命题，由n＝1命题成立，可推知n＝2命题成立，继而又可推出n＝3命题成立……这样就形成了一个无穷的递推，从而命题对于n>＝1的自然数都成立，下面略举几例说明这一方法的应用，供同行参考。

例1（20XX年北京高考）雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。

现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。

已知雨滴的；初始质量为，初速度为，下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为。

此后每经过同样的距离后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为、．．．．．．．．．．．．（设各质量为已知量）。

不计空气阻力。

若考虑重力的影响，求（1）第１次碰撞前、后雨滴的速度和；（2）求第ｎ次碰撞后雨滴的动能。

解析：（1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒第1次碰撞前第1次碰撞后，（2）第2次碰撞第2次碰撞后，利用（2）式得同理，第3次碰撞后，…………第n次碰撞后速度为故第ｎ次碰撞后雨滴的动能为例2（20XX年全国高考）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。

现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。

在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。

已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。

求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450。

解析：由题意知每次碰撞都发生在最低点，且为弹性正碰设小球m的摆线长度为L，向左为速度的正方向，第一次碰撞前后绝缘小球的速度分别、，金属球的速度为由动量守恒得：由机械能守恒得：且，解得，第二次碰撞前后有，由动量守恒得：由机械能守恒得：联立上式解得，同理可得第三次碰撞前后有，解得，由此可知…………第n次碰撞后，绝缘小球的速度为,金属球的速度设第一次碰前绝缘球的动能为，其中第n次碰后绝缘球的动能为，其中，则得，因为，所以2<n<3,则经过3次碰撞后绝缘小球竖直方向的夹角小于45°例3（20XX年北京高考）（1）如图1所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。

高中物理解题方法归纳法（解析版）著名物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁教授在谈到他从中国到美国留学时说：在中国学了推演法，就是学了第一定律、第二定律等，然后用这些定律解题，从一般到特殊；在美国学习了归纳法，就是从实验总结规律，从特殊到一般。

杨振宁教授的这番话，告诉我们中美学习物理的方法之不同。

在我们物理学的茫茫题海中，大部分是用推演法（即演绎法）去解的，但也有少数用归纳法解的题目。

1.什么叫归纳法？归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。

它通过许多个别的事例，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论。

归纳法可以先举事例再归纳结论，即我们通常所说之归纳法，归纳法是从个别性知识，引出一般性知识的推理，是由已知真的前提，引出可能真的结论。

它把特性或关系归结到基于对特殊的代表(token)的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式(pattern)的有限观察的规律。

2.归纳法是物理学研究方法之一。

通过样本信息来推断总体信息的技术。

要做出正确的归纳，就要从总体中选出的样本，这个样本必须足够大而且具有代表性。

3.归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。

归纳推理也可称为归纳方法.完全归纳推理，也叫完全归纳法.不完全归纳推理，也叫不完全归纳法。

4.归纳法在解物理题中的应用：物理过程与序数n有关的情况，n的个数较多，可考虑用归纳法解题。

5.用归纳法解物理题的解题程序：首先分析物理过程，找出物理过程适用的物理规律，例如用动量守恒定律或动能定理，根据物理规律写出方程式，求解出第1个物理过程的解，例如v1、s1等，然后根据第2、3个物理过程的结果（如v2、v3或s2、s3等）找出其中的规律性，列出递推公式（如v n、s n等与v1、s1及n的关系式），最后根据递推公式求解未知量，如求n或求总路程。

例1．回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展。

（1）回旋加速器的原理如图，D1和D2是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于D1圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D1、D2置于盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中。

数学知识在高中物理解题的运用摘要：物理虽然是一门独立的学科，但与数学却有着密不可分的联系，很多问题的分析和解决都需要借助数学的方法和思维。

对于高中物理来说，其中涉及了较多抽象的内容和知识，需要以数学运算为桥梁，将难懂的知识转化为直观的数值，使其更加易于理解和掌握。

具体到解题过程中，巧妙运用数学知识可以迅速找到突破口，大大提高做题效率，是高中生学习物理所需要具备的重要能力之一。

该文将立足于高中阶段的物理学习，探讨数学知识在其中的运用空间和运用方式。

关键词：数学知识;高中物理;解题运用;思考高中物理与数学的关系十分密切，在实际教学中也不难发现，物理成绩优异的学生往往也具备较强的数学素质，这也可以佐证物理与数学之间的联系之深。

在物理解题过程中，合理运用数学知识和思维，可以化抽象为直观、化繁琐为简明，因此，思考总结如何将数学知识运用到物理解题当中，可以加强物理解题能力，提高物理学习水平。

1数学知识在高中物理运用中需注意的问题1.1结合解题实际，合理运用知识。

虽然物理与数学联系紧密，在解题时常常需要引入数学知识来辅助，但是物理仍与数学有着本质区别，是一门独立的学科。

因此，在解题时，要注意读懂题意，明晰题目情景，充分了解解题实际后，再考虑是否需要运用数学知识、运用何种数学知识。

比如，在计算位移问题时，会出现此类问题：一辆车车速20m/s，以4m/s2的加速度刹车，求刹车后6s内的位移[1]。

对该题来说，该车辆在刹车5s后车速已经降至0，在第6s内无位移，因此在计算时就不能简单地用数学思维和方法计算，否则就很容易落入出题人的陷阱，造成失分。

1.2选择性运用数学知识，避免增大计算量。

高中物理教材上，有很多定律、公理，学生可以直接将其当作结论运用在解题过程中，解题更加快捷高效，采用数学知识反而更加繁琐，增大了计算量，容易出现错误。

因此，解题时不能一味地依赖数学方法，要对物理知识有充足的掌握，学会选择性运用数学知识。

实验题答题技巧（一）近几年高考对实验的考查，多以一大带一小的形式，其中第一小题为常规实验题，侧重考查基本实验仪器的读数或常规型实验。

第二小题侧重对学生实验迁移能力的考查，常以设计性实验来体现，主要为电学实验，也有力学实验。

只要扎扎实实掌握课本实验的实验原理、实验方法、数据处理的方法及分析，灵活迁移到解决创新性、设计性实验中，就能稳得实验题高分。

分类型突破如下：一、应用型实验题所谓应用型实验，就是以熟悉和掌握实验仪器的使用方法及其在实验中的应用为目的的一类实验；或者用实验方法取得第一手资料，然后用物理概念、规律进行分析处理，并以解决实际问题为主要目的的实验。

主要有：①仪器的正确操作与使用，如打点计时器、电流表、电压表、多用电表等，在实验中能正确地使用它们是十分重要的(考核操作、观察能力)；②物理知识的实际应用，如科技、交通、生产、生活、体育等诸多方面都有物理实验的具体应用问题。

【答题技巧】应用型实验题解答时可从以下两方面入手：(1)熟悉仪器并正确使用。

实验仪器名目繁多，具体应用因题而异，所以，熟悉使用仪器是最基本的应用。

如打点计时器的正确安装和使用，滑动变阻器在电路中起限流和分压作用的不同接法，多用电表测不同物理量的调试等，只有熟悉它们，才能正确使用它们。

熟悉仪器，主要是了解仪器的结构、性能、量程、工作原理、使用方法、注意事项，如何排除故障、正确读数和调试，使用后如何保管等。

(2)理解实验原理面对应用性实验题，一定要通过审题，迅速地理解其实验原理，这样才能将实际问题模型化，运用有关规律去研究它。

具体地说，应用型实验题的依托仍然是物理知识、实验能力等。

解答时要抓住以下几点：①明确实验应该解决什么实际问题(分清力学、电学、光学等不同实际问题)；②明确实验原理与实际问题之间的关系(直接还是间接)；③明确是否仅用本实验能达到解决问题的目的，即是否还要联系其它物理知识，包括数学知识；④明确是否需要设计实验方案；⑤明确实际问题的最终结果。

探索篇•方法展示例谈“数学归纳法”在物理问题中的应用陈蒙（湖北省十堰市第一中学，湖北十堰）“数学归纳法”是一种研究问题的方法，特征一般是从个别的、特殊的现象和规律出发，推出具有一般原理性和普遍适用的结论或规律。

数学归纳法对学生逻辑分析能力和数学应用能力有较高的要求。

题目往往要求学生结合已知条件，进行多次过程分析，然后再进行归纳，合理推导，进而得到结论。

高考物理题中也数次出现了这样的情景，在处理多过程问题时，很多情况下可以用数学归纳法来分析解决。

在此，通过举几个典型例说明这一方法在处理多过程物理问题中的应用。

例1有一弹性小球让其从4.9m 高处自由落下（不计空气阻力），已知，小球与水平地面每次碰撞后，由于机械能的损失，速率减小为碰前的7/9，不考虑小球与地面碰撞的时间，求出小球从开始下落一直到运动停止所用的总时间。

解析:小球第一次落地时的速度为：v 0=2gh 0√=2×9.8×4.9√=9.8m/s第一次下落时间为：t 0=2h 0/g √=2×4.9÷9.8√=1s第一次碰后速度为：v 1=v 0×79第一次碰后，上升再落回地面时间为：2t 1=2v 1/g=2×79s第二次碰后速度为：v 2=v 1×79=v 0×（79）2第二次碰后，上升再落回地面的时间为:2t 2=2v 1/g=2×（79）2s 可以推知，第n 次碰后，上升再落回地面的时间为：2t n =2v n /g=2×（79）ns 故，所求总时间可以表示：T =t 0+2t 1+2t 2+…+2t n进而求和可得:T =8s 例2通过对前两次过程分析后显示出来结论的规律，然后通过数学归纳法得出多次后的结论，最后由数列求和，数学思想渗透较多。

下面再分析一道多过程的碰撞问题，此题为一道高考原题，体会一下归纳法在处理多过程碰撞问题上的应用：例2.质量为m 绝缘球与质量为M =的金属球并排悬挂在一起，如图所示。

数学知识在高中物理题中的运用研究随着科学技术的发展和社会需求的提高，人们对于高中物理课程的要求也越来越高。

高中物理作为自然科学的一个重要分支，是研究自然现象和物质本质的基础和最重要的工具之一。

在高中物理课程中，数学知识是不可或缺的。

数学知识作为物理学的重要基础，能够深刻地解释和说明各种物理现象，提高学生掌握物理学知识和解决问题的能力。

在高中物理题中，数学知识的运用也是关键。

一、在高中物理题中，数学知识的运用范围广泛。

物理学是一门通过实验、计算和模型建立等科学方法研究物体的本质和运动规律的学科。

在物理学中，常常需要用到数学知识进行分析和计算。

高中物理题中，数学知识的运用包括但不限于以下范围：1. 几何学：几何学是物理学中的一项基础知识，它可以帮助我们理解和解释物理学中的各种位置和运动规律。

在高中物理中，涉及到的几何学内容较为广泛，包括平面几何、空间几何、立体几何等。

通过几何学的知识，学生可以更好地理解力学、电学、光学、热学等各个方面的知识。

2. 微积分学：微积分学是物理学中的重要工具，可以用来描述物体的变化情况。

在高中物理中，常常需要用到微积分来分析物体的变化情况，如物理学中的速度、加速度、功率等等。

3. 三角函数：三角函数是高中物理中常用的一种数学工具，通过三角函数可以解决许多物理学中的问题。

例如，通过正弦、余弦和正切函数可以解决物体在斜面上的运动和力的分解等。

4. 统计学：统计学是科学研究中的一种重要分支，通过统计学的方法可以分析和处理复杂的数据。

在高中物理题中，常常需要用到统计学的知识来处理物理实验数据，从而得出结论。

二、数学知识在高中物理题中的运用方法多样。

在高中物理学习过程中，数学知识的运用需要学生具备一定的数学基础，同时也需要运用到数学知识的方法。

数学在物理中的运用方法多种多样，常见的方法有以下几种：1. 分析与计算：物理学强调对物质存在的本质和运动规律的分析和研究，数学知识在其中起到了决定性的作用。

数学方法在物理学中的应用（一）物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。

高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。

可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。

复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。

在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。

在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。

一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。

1．利用三角函数求极值y ＝acos θ＋bsin θ＝ ( + )令sin φ＝，cos φ＝ 则有：y ＝ (sin φcos θ＋cos φsin θ)＝sin (φ＋θ) 所以当φ＋θ＝π2时，y 有最大值，且y max ＝。

【典例1】在倾角θ=30°的斜面上,放置一个重量为200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为μ=33,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何?解得:F =αμαθμθsin cos cos (sin ++mg 因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数 y=cos + = ( cos + sin ) = (sin cos + cos sin ) =sin(+ ) 其中 sin = ，cos =，即 tan = 。

当+ = 90 时，即 = 90 - 时，y 取最大值。

F 最小值为,由于 = ，即 tan = ，所以 = 60。

带入数据得 F min = 100N,此时 = 30 。

浅析数学知识在高中物理解题中的运用数学与物理是紧密相关的学科，在高中阶段的物理学习中，数学知识是解题的基础和工具之一。

物理学作为一门实证科学，借助数学的方法和工具来研究物质的运动、变化和相互作用。

本文就数学知识在高中物理解题中的运用来进行浅析，着重介绍常见的数学思维和方法在物理解题中的应用。

一、物理量的量纲分析物理量的量纲分析是物理问题求解的重要内容之一。

在物理学习中，我们经常需要通过已知的一些物理量来求解其他联系物理量的关系。

这时，可以借助量纲分析的方法来简化问题和验证方程式的正确性。

量纲分析的基本原理是根据量纲平衡原理，通过建立物理量之间的量纲关系式，从而推导出具体的物理方程。

例如，对于物体自由落体运动问题，已知时间t、速度v、物体质量m和重力加速度g，我们可以采用量纲分析方法，设想速度v与时间t、质量m和重力加速度g之间存在关系式v=kmt^n g^p，通过将物理量化为相应的量纲，比较各量纲项的系数，得到关系式中各个物理量的指数。

二、函数与曲线函数与曲线是数学中经常用到的工具，在解决物理问题中也具有重要作用。

函数是自变量和因变量之间的关系，而物理中很多量之间正是存在这样的关系。

例如，牛顿第二定律F=ma中，力F是由质量m和加速度a决定的函数关系，通过对这个关系进行函数分析和运算，可以从中找到物理量之间的相互关系。

曲线是函数的图像，通过观察曲线的特征，可以了解函数的性质和规律。

在物理学习中，常会遇到各种不同形状的曲线，并需要通过对曲线进行分析来解决物理问题。

例如，质点在摩擦力作用下的滑动问题中，通过绘制重力与摩擦力之间的关系曲线，可以确定质点处于静止、匀速运动或加速运动的条件。

三、几何与向量几何与向量是数学中的重要分支，也是解决物理问题的常用工具。

在物理学中，常常需要通过向量分析来研究物体的运动和相互作用。

几何在物理学中的应用主要体现在力的合成和分解、力矩和力的平衡等问题上。

这些问题时常出现在静力学和动力学中，通过画出力的几何图形，可以直观地分析出力的性质和作用方向。

数学知识在高考物理解题中的应用作者：***来源：《理科爱好者(教育教学版)》2020年第02期【摘要】数学知识在物理学中有着大量的应用，特别是在力学计算方面和图像分析方面。

数学中的极限、概率统计、三角函数、正弦定理、向量的加减法、函数的单调性以及求导的思想等贯穿在整个物理学中。

所以在解物理题目时，要是能很好地运用数学方面的知识和技巧会让解题变得更加方便和准确[1]。

这样既能起到高效解题的作用，同时也是对各个学科核心素养能力的一种综合性提升。

【关键词】高考物理题;数学定理;核心素养在解物理题目中，要是能很好地运用数学方面的知识和技巧会让解题变得更加方便和准确。

下面就以全国卷的两道高考题为例。

1 正弦定理的应用（2017全国卷一21）如图1，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。

初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）。

现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。

在OM由竖直被拉到水平的过程中A.MN上的张力逐渐增大B.MN上的张力先增大后减小C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先增大后减小常规解析：对重物进行受力分析，初始位置OM绳子的张力TOM为重力G，MN绳子上的张力TMN 为0。

向上拉MN绳子的过程中，根据受力分析图（如图2所示）以及小球的重力始终不变的条件可以得出OM绳子上的张力TOM先从重力G增大到TOM，再从TOM减小到TOM′，所以TOM先增大后减小;而MN绳子上的张力TMN从初始的0增大到TMN，再增加到TMN′，所以TMN逐渐增大，所以选AD。

此方法为常规作图法。

应用正弦定理解题：通过数学的正弦定理以及函数的增减性可以直观地得出结论，并做出正确答案。

2 导数的应用（2018全国卷三20）如图4（a），在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R 在PQ的右侧。

导线PQ中通有正弦交流电流i的变化如图4（b）所示，规定从Q到P为电流的正方向。

四、数学方法在物理中的应用高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，利用数学知识解决物理问题是高考物理考查的能力之一．借助数学方法，可使一些复杂的物理问题，显示出明显的规律性，能快速简捷地解决问题．可以说任何物理试题的求解过程实际上都是将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论的过程．下面是几种物理解题过程中常用的数学方法．一、三角函数法1．三角函数求极值(1)y ＝sin α，当α＝90°时，y max ＝1；(2)y ＝cos α，当α＝0时，y max ＝1.例1 (2022·广西北海市模拟)在仰角α＝30°的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图所示．运动员从坡上方A 点开始下滑，到起跳点O 时借助设备和技巧，保持在该点的速率不变而以与水平面成θ角的方向起跳．最后落在坡上B 点，坡上O 、B 两点距离为L .已知A 点高于O 点h ＝50 m ，不计摩擦和阻力，则O 、B 两点距离L 最大值为多少？此时起跳角为多大？(取g ＝ 10 m/s 2)____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________2．辅助角求极值三角函数：y ＝a cos θ＋b sin θy ＝a cos θ＋b sin θ＝a 2＋b 2sin(θ＋α)，其中tan α＝a b. 当θ＋α＝90°时，有极大值y max ＝a 2＋b 2.例2 (多选)如图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆，与水平方向夹角为30°，质量为m 的小球套在杆上，在大小不变、方向与斜杆成α角的拉力F 作用下，小球沿杆由底端匀速运动到顶端．已知小球与斜杆之间的动摩擦因数为μ＝33，则关于拉力F 的大小和F 的做功情况，下列说法正确的是( )A ．当α＝30°时，拉力F 最小B ．当α＝30°时，拉力F 做功最小C ．当α＝60°时，拉力F 最小D ．当α＝60°时，拉力F 做功最小3．正弦定理 在如图所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等，即：a sin A ＝b sin B ＝c sin C .例3 (2022·河北衡水市模拟)如图所示为一个半径r ＝48 cm 的薄壁圆柱形鱼缸的横截面，O 为圆心．鱼缸内装满水，水中有一条小鱼(可视为质点)．观察水中图示位置的小鱼时，人眼睛所接收的光线恰与小鱼和圆心连线的延长线垂直，图中β＝53°.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.若认为玻璃和水的折射率均为n ＝43.求小鱼到圆心O 的距离．____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________4．余弦定理在如图所示的三角形中，有：a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos Ab 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos Bc 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C例4 (2022·湖南娄底市模拟)在半径为R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B .一质量为m 、带有电荷量q 的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点(AP＝d)射入磁场(不计重力影响)．(1)如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度大小；(2)如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点的切线方向的夹角为φ(如图)．求入射粒子的速度大小．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 二、均值不等式由均值不等式a＋b≥2ab(a>0，b>0)可知：(1)两个正数的积为定值时，若两数相等，和最小；(2)两个正数的和为定值时，若两数相等，积最大．例5如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限区域中，有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小为E＝k v0.在第二象限有一半径为R＝b的圆形区域磁场，圆形磁场的圆心O1坐标为(－b，b)，与两坐标轴分别相切于P点和N点，磁场方向垂直纸面向里．在x＝3b处垂直于x轴放置一平面荧光屏，与x轴交点为Q.大量的电子以相同的速率在纸面内从P点进入圆形磁场，电子的速度方向在与x轴正方向成θ角的范围内，其中沿y轴正方向的电子经过磁场到达N点，速度与x轴正方向成θ角的电子经过磁场到达M点且M点坐标为(0,1.5b)．忽略电子间的相互作用力，不计电子的重力，电子的比荷为em＝v0kb.求：(1)圆形磁场的磁感应强度大小；(2)θ角的大小；(3)电子打到荧光屏上距Q点的最远距离．____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________三、利用二次函数求极值二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c(1)当x ＝－b 2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a(若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)． (2)利用一元二次方程判别式求极值．用判别式Δ＝b 2－4ac ≥0有解可求某量的极值．例6 如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为g )( )A.v 216gB.v 28gC.v 24gD.v 22g例7 (2022·山东临沂市期末)真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场．在电场中，若将一个质量为m 、带正电的小球由静止释放，运动中小球速度方向与竖直方向夹角为37°(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．现将该小球从电场中某点以初速度v 0竖直向上抛出．求运动过程中(1)小球受到的电场力的大小及方向；(2)小球的最小速度的大小及方向．____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________四、数学归纳法和数列法凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是与原来完全相同的重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该类问题求解的基本思路为：(1)逐个分析开始的几个物理过程；(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．等差数列：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d (d 为公差)．等比数列：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ，q ≠1na 1，q ＝1(q 为公比)．例8 一小球从h 0＝45 m 高处自由下落，着地后又弹起，然后又下落，每与地面相碰一次，速度大小就变化为原来的k 倍．若k ＝12，求小球从下落直至停止运动所用的时间．(g 取10 m/s 2，碰撞时间忽略不计)____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 例9 如图所示，质量M ＝2 kg 的平板小车左端放有质量m ＝3 kg 的小铁块(可视为质点)，它和小车之间的动摩擦因数μ＝0.5.开始时，小车和铁块共同以v 0＝3 m/s 的速度向右在光滑水平面上运动，车与竖直墙发生正碰，碰撞时间极短且碰撞中不损失机械能．车身足够长，使铁块不能和墙相撞，且始终不能滑离小车．g 取10 m/s 2.求小车和墙第一次碰后直至其最终恰好靠墙静止这段时间内，小车运动的总路程．____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________。