信号与系统阶跃信号和冲激信号
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阶跃函数和冲激函数
பைடு நூலகம்
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
《信号与系统》管致中 ch2_8~9
东南大学 信息科学与工程学院
全响应为
uC
(t)
et (t)
零输入响应
1
1 2
et
1 2
e3t
(t)
零状态响应
1 2
et
(t)
1
1 2
e3t
(t)
自然响应
受迫响应
1 2
et
1 2
e3t
(t)
t
稳态响应
瞬态响应
东南大学 信息科学与工程学院
全响应为
uC
(t)
et (t)
零输入响应
1
1 2
的形式。将响应分为两部分： 1) 自然响应：即通解，由相应的齐次微分方程的解，
由系统的自然属性产生 2) 受迫响应：即通解，由激励项引起，
东南大学 信息科学与工程学院
最后，将两部分解相加，带入初始条件确定其中的待 定系数，最终确定全响应。
经典法的主要缺点是在激励信号比较复杂时难于确 定其特解。
东南大学 信息科学与工程学院
e
1t
(t
)
kl
1e
l1t
(t
)
kl
el
2
2t
(t
)
.
..
k
n
e
nt
(t
)
有关 m=n 和 m>n 的情况，也可以通过相似的过程得到。
东南大学 信息科学与工程学院
§2-9 线性系统响应的时域求解法
一、 近代时域法求解步骤 1、 求系统的转移算子 H(p) 2、 求系统的零输入响应
求解方法：经典法，等效源法 如果系统的初始条件为零，则本步可以省略。
件，然后利用零输入响应的求解方法求解。例题 2-4 中介绍了这种算法。 4） LT 变换法：利用拉普拉斯变换求解。这种方法最简 单。在后面 Ch5 中介绍。 本节中重点介绍系统方程法。
全响应为
uC
(t)
et (t)
零输入响应
1
1 2
et
1 2
e3t
(t)
零状态响应
1 2
et
(t)
1
1 2
e3t
(t)
自然响应
受迫响应
1 2
et
1 2
e3t
(t)
t
稳态响应
瞬态响应
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全响应为
uC
(t)
et (t)
零输入响应
1
1 2
的形式。将响应分为两部分： 1) 自然响应：即通解，由相应的齐次微分方程的解，
由系统的自然属性产生 2) 受迫响应：即通解，由激励项引起，
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最后，将两部分解相加，带入初始条件确定其中的待 定系数，最终确定全响应。
经典法的主要缺点是在激励信号比较复杂时难于确 定其特解。
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e
1t
(t
)
kl
1e
l1t
(t
)
kl
el
2
2t
(t
)
.
..
k
n
e
nt
(t
)
有关 m=n 和 m>n 的情况，也可以通过相似的过程得到。
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§2-9 线性系统响应的时域求解法
一、 近代时域法求解步骤 1、 求系统的转移算子 H(p) 2、 求系统的零输入响应
求解方法：经典法，等效源法 如果系统的初始条件为零，则本步可以省略。
件，然后利用零输入响应的求解方法求解。例题 2-4 中介绍了这种算法。 4） LT 变换法：利用拉普拉斯变换求解。这种方法最简 单。在后面 Ch5 中介绍。 本节中重点介绍系统方程法。
信号与系统2-2冲激响应与阶跃响应课件
8
举例
已知线性非时变系统的冲激响应 h(t) et (t)，激励信号为
f (t) (t) 。试求系统的零状态响应。
解：系统零状态响应为：yzs (t) h(t) f (t) et (t) (t)
h( )
f ( )
1
0
t
0
将f(t)反折，再扫描可
yzs (t)
t e d
0
e
t 0
1
3t f1( ) f2 (t )d
1 1 1d 1 (4 t)
3t 2
2
即为重叠部分的面积。
当 3 t 1 即 t 4时：
f2 (t ) 和 f1( )没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) f1(t) f2 (t) 0
7
例 2.7
f1( )
A
2t 0 t1 f1( )
A
2 t0 1 t f1( )
(1 et ) (t)
确定积分上下限。
9
课堂练习题
自测题2.3 自测题2.4 自测题2.5
10
几条结论
f (t) f1(t) f2 (t)
f(t)的开始时间等于f1(t)和f2(t)的开始时间之和； f(t)的结束 时间等于f1(t)和f2(t)的结束时间之和。 f(t)的持续时间等于 f1(t)和f2(t)的持续时间之和。
h(t) 2e2t (t) (t)
计算机例题C2.3
已知系统的冲激响应为h(t) 3 (t) e2t (t)，求阶跃响应。
h=sym('3*Dirac(t)-exp(-2*t)*Heaviside(t)'); g=int(h); g=simple(g)
g=1/2*Heaviside(t)*(5+exp(-2*t)) 阶跃响应为
信号与系统4-3冲激序列响应与阶跃序列响应课件
k =0 时
f1(k)
1
2 1 0 1 2 k
f2 (k )
3
f1(i)
2
1
1
0 12 3 k
2 1 0 1 2
i
0
f 2 (i)
3
3
5
2
y(k) 6
1
3
2 1 0 1 2 3 i
1 0
k 2 k 2 k 1 k 0,1, 2 k 3 k 4 k 4
9
有限长序列卷积和的规律
两个有限长度序列f(k)和h(k)的卷积y(k)长度也是 有限的。
定义：
f1(k) f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
f2 (i) f1(k i) i
称离散卷积或卷积和
f (k)
1 0 1 2 3
f (i) (k i)
i
k
5
任意激励信号的零状态响应
A(k(k-(nk-i))
任意信号：
f (k) f (i) (k i) i f (k) (k)
3 13
[1 2k 1 3k ] (k)
2
2
4
4.6 离散卷积
卷积和的意义
任意离散信号可分解为(k)的线性组合：
f(k)=······+f(-1)(k+1)+ f(0)(k)+ f(1)(k-1)+
······+ f(i)(k-i)+······
f (i) (k i) f (k) (k) i
10
卷积和的计算
不进位乘法法
对于两个有限序列，可以利用一种“不进位乘法”较快地求出卷积结果。
例：求
y(k)= f1(k) f2(k)
信号与系统§2.2 冲激响应和阶跃响应
f (t) a (a) 数乘器h(t) = aδ(t) f (t) af (t) f (t)
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ(t-T) f (t)
d dt
d f (t) dt
∫
∫
t 微分器h(t) =δ'(t)
(d) 微分器h(t) =ε(t)
▲
■
第 5页
∫－∞ ,对因果系统：∫0
t
−
▲
■
第 6页
举例
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 h •当n > m时， (t )不含 (t )及其各阶导数； δ 及其各阶导数；
h •当n = m时， (t )中应包含 (t )； δ h •当n < m时， (t )应包含 (t )及其各阶导数。 δ 及其各阶导数。
▲
■
第 4页
3. 基本单元的冲激响应
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) dt m−1
n
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
m
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
▲ ■ 第 3页
h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +L+ a1h(1) (t) + a0h(t)
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ(t-T) f (t)
d dt
d f (t) dt
∫
∫
t 微分器h(t) =δ'(t)
(d) 微分器h(t) =ε(t)
▲
■
第 5页
∫－∞ ,对因果系统：∫0
t
−
▲
■
第 6页
举例
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 h •当n > m时， (t )不含 (t )及其各阶导数； δ 及其各阶导数；
h •当n = m时， (t )中应包含 (t )； δ h •当n < m时， (t )应包含 (t )及其各阶导数。 δ 及其各阶导数。
▲
■
第 4页
3. 基本单元的冲激响应
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) dt m−1
n
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
m
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
▲ ■ 第 3页
h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +L+ a1h(1) (t) + a0h(t)
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]
1.4 阶跃函数和冲激函数
(t 2) 2 (t ) d t
板书：例1.4-1，例1.4-2，
d [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
13
通信与信息工程学院基础教学部
练习
通信与信息工程学院基础教学部
14
练习答案
通信与信息工程学院基础教学部
15
5.复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函 数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n)
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
3.ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
(k )
或
i
(i)
j 0
k
ε(k) = δ(k)+ δ(k – 1)+…
(k ) (k j )
通信与信息工程学院基础教学部
19
小结：
• • • 单位阶跃信号的定义 单位冲激信号的定义、性质 西电精品课程视频（来源于网络）
通信与信息工程学院基础教学部
20
冲激信号尺度变换的证明 从 ( t ) 定义看：
pt 1
pat 1
2 t
2
O
2a
O
a
2a
t
t 强度为1 p(t)面积为1，
2
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
通信与信息工程学院基础教学部
17
三、序列δ(k)和ε(k)
信号与系统冲激响应和阶跃响应
r t
t2
t
t
a t a t
b
bu
t t
c
u
t
rt aut
h 0 1 ,h '0 2
代入h(t),得
hh'00A A113AA2212
h(t)1ete3t u(t)
A A121212
2
X
12
第
用奇异函数项相平衡法求待定系数 页
h ( t ) A 1 e t A 2 e 3 tu ( t )
RC (t)A (t)
1 RCA1 A
RC
X
波形
htvC(t)R 1C eR 1C tu(t)
vC (t) h(t) 1 RC
iC(t)
CdvC(t) dt
O
注意！
iC (t)
R12CeR1Ctu(t)
1 (t)
R
1
O R
电容器的电流在
t =0时有一冲激， 这就是电容电压突
1 R 2C
变的原因 。
•当nm时 ， ht中 应 包 t含 ；
•当nm时 ， ht应 包含 t及 其 各 阶 导 数 。 X
10
第
例2-5-2 页
求系统 d d 2r t(2 t)4d d r(tt)3 r(t)的 冲d d e 激(tt响) 应2 e 。(t) 解：
将e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
CtR1CeR1Ctut
X
6
方法2：奇异函数项相平衡原理
第 页
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
RC dvdCt(t)vC(t)(t) t vC(t)Ae RCu(t)
信号与系统§1.4 阶跃函数和冲激函数
= f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
■ 第 ▲1 页
■
第 23 页
取样性质举例
sin(t ) (t) sin( ) (t) 2 (t)
sin(t
)
(t)
d
t
2
4
4
2
4
2
0 sin(t
)
(t
1) d t
?
0
3
4
9
sin(t
) (t) d t
?
2
1
4
2
1
2 (
1
t) d
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分
有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函
数。
阶跃函数
冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第1页
一、单位阶跃函数
1. 定义
下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γn
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
f (t)
(t) f (t)d t f (0)
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
举例
▲
■
第 11 页
2.冲激偶
s(t )
■ 第 ▲1 页
■
第 23 页
取样性质举例
sin(t ) (t) sin( ) (t) 2 (t)
sin(t
)
(t)
d
t
2
4
4
2
4
2
0 sin(t
)
(t
1) d t
?
0
3
4
9
sin(t
) (t) d t
?
2
1
4
2
1
2 (
1
t) d
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分
有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函
数。
阶跃函数
冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第1页
一、单位阶跃函数
1. 定义
下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γn
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
f (t)
(t) f (t)d t f (0)
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
举例
▲
■
第 11 页
2.冲激偶
s(t )
1-2阶跃信号和冲激信号
函数， 则按广义函数定义和δ函数的筛选性质， 有
[ f (t) (t)](t)dt
(t)[ f (t)(t)] f (0)(0)
f (0) (t)(t)dt [ f (0) (t)](t)dt
根据广义函数相等的定义，得到
信号与系统 signals and systems
第1章 信号与系统的基本概念
1.0 信号与系统 1.1 信号的描述和分类 1.2 信号的基本特性 1.3 信号的基本运算 1.4 阶跃信号和冲激信号 1.5 系统的描述 1.6 系统的特性和分类 1.7 信号与系统的分析方法
山东科技大学 信息学院
信号与系统 signals and systems
山东科技大学 信息学院
信号与系统 signals and systems 表 1.1 广义函数与普通函数的对应关系
广义函数的基本运算： （1）相等
若 Ng1[(t)] Ng2[(t)] , 则定义 g1(t) g2 (t)
山东科技大学 信息学院
信号与系统 signals and systems （2）相加
性质1 δ函数的微分和积分
1.微分
(t)(t)dt (0)
Ng(n)
[(t)]
(t )
N g [(1)n ( n)
(t)]
单位冲激偶
(′t) (1 )
'(t)(t)dt
o
t
(1) (t) '(t)dt '(0)
(－ 1)
1.4 阶跃信号和冲激信号
1.4.1 连续时间阶跃信号
信号与系统 阶跃响应与冲激响应
一、 实验目的1.观察和测量RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化对响应状态的影响；2.掌握有关信号时域的测量方法。
二、实验设备1.双踪示波器 1台2.信号系统实验箱 1台三、实验原理实验如图1-1所示为RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的电路连接图，图1-1（a ）为阶跃响应电路连接示意图；图1-1（b ）为冲激响应电路连接示意图。
图1-1 (a) 阶跃响应电路连接示意图图1-1 (b) 冲激响应电路连接示意图其响应有以下三种状态：（1） 当电阻R ＞2 LC时，称过阻尼状态； （2） 当电阻R = 2 LC时，称临界状态； （3） 当电阻R ＜2LC时，称欠阻尼状态。
现将阶跃响应的动态指标定义如下：上升时间t r ：y(t)从0到第一次达到稳态值y （∞）所需的时间。
0.1μC2C2 0.1μ峰值时间t p：y(t)从0上升到y max所需的时间。
±%误差范围所需的时间。
调节时间t s：y(t)的振荡包络线进入到稳态值的5路后得到的尖顶脉冲代替冲激信号。
四、实验内容1.阶跃响应波形观察与参数测量设激励信号为方波，其幅度为1.5V，频率为500Hz。
实验电路连接图如图1-1（a）所示。
①连接P702与P914, P702与P101。
(P101为毫伏表信号输入插孔).② J702置于“脉冲”，拨动开关K701选择“脉冲”；③按动S701按钮,使频率f=500Hz，调节W701幅度旋钮，使信号幅度为1.5V。
（注意：实验中，在调整信号源的输出信号的参数时，需连接上负载后调节）④示波器CH1接于TP906，调整W902，使电路分别工作于欠阻尼、临界和过阻尼三种状态，并记录实验数据⑤ TP702为输入信号波形的测量点，可把示波器的CH2接于TP702上，便于波形比较。
在欠阻尼状态下的波形如下：在临界状态下的波形如下：在过阻尼状态下的波形如下：2.冲激响应的波形观察冲激信号是由阶跃信号经过微分电路而得到。
信号与系统第一章第二节
例子
0 (当t 2 ) 1 vc (t ) (t ) (当 t ) 2 2 2 1 (当t ) 2 电流ic(t)为
：
从物理方面理解函数的意义。电路图如下： 电压源vc(t)接向电容元件Ｃ，假定vc(t)是斜变信号。
vc (t )
ic (t )
c
vc (t )
ic (t )
dvc (t ) ic (t ) c dt c [u (t ) u (t )] 2 2
1
1 2
c
2
0 2
t
0 2
t 0 2
t
如果0的极限情况，则vc(t)成为阶跃信号，它的微分— —电流ic(t)是冲激函数其表达式为： vc (t ) u (t ) v (t )
信号与系统
孔艳岩
495239861
1.4 阶跃信号和冲激信号 1.单位斜变信号
斜变信号也称斜升信号。 它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。 如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号。
(1)单位斜变信号
f (t )
如果将起始点移至t0,则可写成
0 t 0 f (t ) t t 0
1
0
1
t
与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或 规定sgn(0)=0. 显然，阶跃信号来表示符号函数
sgn( t ) 2u (t ) 1
2、阶跃函数的性质：
（1）可以方便地表示某些信号
f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
信号与系统冲激响应和阶跃响应
对系统的微分方程进行拉普拉斯变换
01
将时域中的微分方程转换为复平面上的代数方程。
求解代数方程
02 根据复平面上的代数方程，求解系统的输出响应的拉
普拉斯变换式。
对输出响应的拉普拉斯变换式进行反变换
03
将复平面上的输出响应的拉普拉斯变换式反变换回时
域，得到系统的阶跃响应。
频域分析法求解阶跃响应
确定系统的频率响应函数
02 冲激响应与阶跃响应概述
冲激函数定义及性质
定义
冲激函数是一种特殊的信号，它在某一时刻取值为无穷大，而在其他时刻取值 为零。
性质
冲激函数具有筛选性、可加性、奇偶性等性质，其中筛选性是指冲激函数与任 何函数相乘的结果都等于该函数在冲激时刻的值。
阶跃函数定义及性质
定义
阶跃函数是一种在某一时刻发生跳变的信号，它的取值在跳变前为0，跳变后为1 （或其他常数）。
卷积积分法求解冲激响应
确定系统单位冲激响应。
利用卷积积分公式，将输入信号与系统单位冲激响应进 行卷积运算。
将输入信号表示为冲激函数的线性组合。
对卷积结果进行积分，得到系统的零状态响应，即为冲 激响应。
04 离散时间系统冲激响应分 析
差分方程求解方法
迭代法
通过逐步代入差分方程，求解系统的冲激响应。
区别
冲激响应描述的是系统在极短时间内对输入信号的响应，而阶跃响应描述的是系统在长时间内对输入信号的响应。 此外，冲激响应可以通过卷积运算得到系统的零状态响应，而阶跃响应则可以通过对冲激响应进行积分得到。
03 连续时间系统冲激响应分 析
微分方程求解方法
经典法
01
通过求解系统微分方程的通解，并根据初始条件确定特解，从
第一章绪论2阶跃信号冲激信号
τ
τ − 0
2
τ
2
t
冲激信号可以看作图示矩形脉冲在τ→ 冲激信号可以看作图示矩形脉冲在τ→0时的极限 τ→0
1 δ (t) = lim τ [u(t + τ ) − u(t − τ ) 2 2
τ →0
]
信号与系统 第一章 绪论
S =1
1
τ
0
t
δ(t)
(1)
τ
冲激信号用符号表示： 冲激信号用符号表示：δ(t) 它的冲激强度表示矩形脉冲的面 可在图形中用括号标出。 积，可在图形中用括号标出。
阶跃信号具有非常明显的单边特性， 阶跃信号具有非常明显的单边特性，它和其他信号相 具有非常明显的单边特性 乘可以截断信号。 乘可以截断信号。实际中常利用他的这个特性表示 单边信号或区间信号，即信号的加窗或取单边。 单边信号或区间信号，即信号的加窗或取单边。
sin( t )
f1 (t ) = sin t • u (t )
0
t0
t
信号与系统 第一章 绪论
(2)矩形脉冲 (2)矩形脉冲信号 矩形脉冲信号
1 u(t)
G(t) = u(t) −u(t −t0 )
t
1
0 u(t-t0)
G τ (t )
1
τ 0
2
0 1
t0
t−Βιβλιοθήκη τ2tτ
Gτ (t) = u(t + ) − u(t − ) 2 2
0
τ
t0
t
信号与系统 第一章 绪论
sin( t ) 1
1
0
t
T
−1
t
T
信号与系统 第一章 绪论
0 −1
信号与系统 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
t t t t g ( t ) Ae u ( t ) e u ( t ) Ae e u(t ) 将
代入
d g (t ) g (t ) (t ) 2e t u (t ) dt
得
( A 1) (t ) ( Aet et )u(t ) ( Aet et )u(t ) (t ) 2et u(t )
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
信号与系统
小
冲激响应的定义 •零状态；
结
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ( t )，看 响应 h( t )，h( t )不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 （1）系统的在 x(t ) 激励下的零状态响应为 yzs (t ) x(t )* h(t ) （2）LTI系统因果性的充要条件可表示为 当
信号与系统
二．阶跃响应
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
u (t ) ( ) d
t
t
d (t ) u (t ) dt
dg (t ) h(t ) = dt
g (t ) h( ) d
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限
t
信号与系统重点内容
信号与系统重点内容
1.阶跃信号、冲激信号、正弦信号、指数信号的s变换，傅里叶变换，z变换。
2.抽样定理的内容。
（抽样频率的选择原则等）
3.冲激信号与其他信号相乘的运算（时域相乘运算）；单位序列和sin信号相
乘的运算（z域相乘运算）
4.阶跃信号与冲激信号的关系，及相应运算。
5.傅里叶变换的性质(第三章傅里叶性质表格)，会利用性质计算简单的傅里叶
变换，比如阶跃函数的，冲激函数，指数函数的，正弦函数的等。
6.s变换的的性质(第四章s变换表格)，会利用性质计算简单的s变换，比如
阶跃函数的，冲激函数，指数函数的，正弦函数的等。
7.会利用性质计算简单的z变换。
如，阶跃序列，单位序列，指数等。
8.s域和z域的稳定性。
会判断，会求解。
（五章和七章）
9.零输入和零状态响应的概念，并会在s域和z域中求解。
10.会求利用z变化求解差分方程，求零输入响应，零状态响应，系统函数等。
11.会利用s变换，求解微分方程，求系统函数，零输入，零状态，会画模拟图，
会求零、极点，
12.系统无失真传输，系统函数的特点。
13.时域信号的平移、反转、压缩等（会画图）。
14.z域卷积和定理；频域的卷积定理；s域卷积定理。
会利用卷积定理计算零
状态响应，比如Y（s）=F（s）.H(s)（z域和频域用法也一样）。
信号与系统阶跃信号和冲激信号
： ( k )
( k ) t f t d t 1 f 0 k
② 平均面积
和连续函数的乘积 ④ f ， t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0 ) t
0 u ( t t ) 0 1
t
u( t t 0 )
1
O
1
t t 0 , t 0 0 t t 0
0
t0 u(t t0 )
t
由宗量 t O t t 0 可 t 知 t , 即 时 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0 时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
无穷 t 0 ★ 幅度 0 t 0
物理意义：闪电， 瞬间放电
描述（公式或图形表达）
1 ( t ) lim p ( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t)
1 sgn( t) 1 t 0 t 0
O
2
2
sgn t
1
O
t
-1
1 sgn( t ) u ( t ) u ( t ) 2 u ( t ) 1 u ( t) [sgn( t) 1 ] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
( k ) t f t d t 1 f 0 k
② 平均面积
和连续函数的乘积 ④ f ， t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0 ) t
0 u ( t t ) 0 1
t
u( t t 0 )
1
O
1
t t 0 , t 0 0 t t 0
0
t0 u(t t0 )
t
由宗量 t O t t 0 可 t 知 t , 即 时 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0 时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
无穷 t 0 ★ 幅度 0 t 0
物理意义：闪电， 瞬间放电
描述（公式或图形表达）
1 ( t ) lim p ( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t)
1 sgn( t) 1 t 0 t 0
O
2
2
sgn t
1
O
t
-1
1 sgn( t ) u ( t ) u ( t ) 2 u ( t ) 1 u ( t) [sgn( t) 1 ] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
信号与系统 冲激响应和阶跃响应
n
i
①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根） h(t )
nm
h(t ) 包含 (t ) 及其各阶导数，最阶次为m - n
i 1
mn n i t h(t ) Ci e u(t ) Dk k (t ) k 0 i 1 4.求法:直接代入确定待定系数
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
可计算得 A 0 ，即 则冲激响应为 h(t ) 由 可得
g (t ) et u(t )
d g (t ) (t ) e t u (t ) dt
y1 (t ) 2et u(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) g (t ) yzi (t ) y1 (t ) g (t ) 2et u(t ) et u(t ) et u(t )
信号与系统
一．冲激响应
d 2r (t ) dr ( t ) de( t ) 例: 系统微分方程为 4 3r ( t ) 2e( t ) 2 dt dt dt
试求其冲激响应。
解： n=2，m=1 所以h(t)中不包含 (t)。
特征方程为： 2
4 3 0
1 1, 2 3
d 2 h(t ) t 3t t 3t ( k k ) ( t ) ( k e 3 k e ) ( t ) ( k e 9 k e )u (t ) 1 2 1 2 1 2 2 dt
i
①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根） h(t )
nm
h(t ) 包含 (t ) 及其各阶导数，最阶次为m - n
i 1
mn n i t h(t ) Ci e u(t ) Dk k (t ) k 0 i 1 4.求法:直接代入确定待定系数
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
可计算得 A 0 ，即 则冲激响应为 h(t ) 由 可得
g (t ) et u(t )
d g (t ) (t ) e t u (t ) dt
y1 (t ) 2et u(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) g (t ) yzi (t ) y1 (t ) g (t ) 2et u(t ) et u(t ) et u(t )
信号与系统
一．冲激响应
d 2r (t ) dr ( t ) de( t ) 例: 系统微分方程为 4 3r ( t ) 2e( t ) 2 dt dt dt
试求其冲激响应。
解： n=2，m=1 所以h(t)中不包含 (t)。
特征方程为： 2
4 3 0
1 1, 2 3
d 2 h(t ) t 3t t 3t ( k k ) ( t ) ( k e 3 k e ) ( t ) ( k e 9 k e )u (t ) 1 2 1 2 1 2 2 dt
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斜率为单位1 t 0 t 0
2．有延迟的单位斜变信号
0 R(tt0)tt0
tt0 tt0
由宗量t -t0=0 可知起始点为 t 0 3．锯齿（单边三角形）单脉冲
f(t)K R(t)
0
0t
其它
R (t) 1
45度角
O1
t
R(t t0) 1
O t0 t0 1 t
f (t) K
任意斜角
O
t
X
二．单位阶跃信号u(t)
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f(t)(t)f(0 )(t)
f(t)(t)dtf(0)
（5）卷积性质 ft tft
（6）冲激偶
(t)(t) 奇函数
（2）奇偶性：偶
(t)(t)
（3）比例性
(at) 1 t
a
（4）微积分性质
(t)dt 0
t (t)dt(t)
f(t)(t)dtf(0)
1. 定义
任意幅度呢？
u(t)
0 u(t)1
t0
0点
无
定1义
1
或
t0
2
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号
u(t t0 )
0 u(tt0) 1
tt0, tt0
t00
1
O
t0
t
0 u(tt0) 1
tt0, tt0
t00
u(t t0 ) 1
由宗量 t t0 0 可 t 知 t0,即 时 t0 O
间 为，t0时 函数有断点，跳变点 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
p(t)1ut2ut2
p(t )
1
0
O 2
t
2
面积1；当脉宽τ↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积保持为=1 三个特点： ★宽度为→0
物理意义：闪电， 瞬间放电
★幅度无 0 穷
t 0 t 0
X
描述（公式或图形表达）
(t)l i0p m (t)l i01 m u t2 u t2
f(0)
X
3.冲激偶（冲激的导数）
s(t )
1 1
o
求导
s(t )
பைடு நூலகம்
1
2 1
2
O
1 2
1
2
成为
t
0
成为
t
(t)
(1)
O
t
(t)
求导关系
t
O
X
冲激偶δ’(t)的性质
① (t)f(t)dtf(0)
结合时移，则：
(tt0)f(t)dtf(t0)
对t的k阶 导 数： (k)tftdt1kf(k)0
t X
3．用单位阶跃信号u(t)描述其它信号
门函数：也称窗函数(宽为τ)
f t
ftut2ut2G (t)
其他函数只要被门函数处理(即乘以门
2
1 O
Gτ t
t
2
函数)，就只留下该门内的部分。
符号函数：(Signum)
sgn t
1
sgnt)(11
t 0 t0
O
t
-1
st ) g u ( n t ) u ( ( t ) 2 u ( t ) 1 u(t)1[sgtn)(1] 2
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。
但由于 t 是一个广义函数，它还有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性 3．冲激偶 4．标度变换
X
1. 抽样性(筛选性)
如果某信号f(t)在t = 0处连续，且t0处处处f(有t0)界的，函则数有值
(t)f(t)f(0 )(t)
f (t)
(t)f(t)dtf(0)
f (0)
对于移位情况：
o
t
冲激抽样信号的表达式
(t t0 )f(t) f(t0 )(t t0 ) 筛出了t0点的函数值
(tt0)f(t)dtf(t0)
X
2. 奇偶性
(t)(t)
在t=0处偶 对称
冲激导数的抽样情况：利用分部积分运算
(t)f(t)dt
f(t)(t) f(t)(t)d t
f ( t)( t) f ( 0 )( t) f ( 0 )( t)
(t) du(t) t ()du(t)
dt
X
X
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
X
定义1：狄拉克δ(t)函数 (Dirac)
(t)dt 1
(t) 0
t 0
(t)dt 0(t)dt
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零，其他为0；
➢ 积分总面积为1；
➢ t =0 时，t，为无界函数。
3个特征
X
定义2 （极限法定义）
② 平均面积 (t)dt0, 单边面积 t (t)dtt
③ (t)(t), (t0t) (tt0)
所 以(t)是 奇函 数
④ f t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0 ) t ， 和连续函数的乘积
（ 与 f ( t ) ( t ) f 0 t 不 同 ） X
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。
主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
X
一．单位斜变信号R(t)
1． 定义
0 R(t)t
(t)
强度值1
(1 )
(t t0 )
时移的单位冲激函数
(1 )
o
t
若面积为k，则强度为k。
o
t0
t
意义： 瞬间脉冲
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取0极限下，都可以进化成单位冲激信号。
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， t 可以当作时域连续信号处
4. 对(t)的标度变换（scale尺度）
at 1 t
a
另外：冲激偶的标度变换
at 1 1t
aa
(k)at
1 a
1 ak
(k)t
X
四.总结： R(t)，u(t)，(t) 之间的关系
R(t )
45° u(t)
(t)
1 1
O1
t
O
(1)
t
t
O
R(t)
↓↑
求导
u(t) 积分
↓↑
(t)
(-<t< )